2022-2023学年河北省保定市区高三（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年河北省保定市区高三（下）期中数学试卷
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共9小题，共45分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设集合，，则等于( )
A. B. C. D.
2. 设，是不共线的两个平面向量，已知，，若，，三点共线，则( )
A. B. C. D.
3. 如图所示是函数均为正整数且，互质的图象，则( )
A. ，是奇数且 B. 是偶数，是奇数，且
C. 是偶数，是奇数，且 D. ，是奇数，且
4. 已知事件，，，则( )
A. B. C. D.
5. 某船从处向东偏北方向航行千米后到达处，然后朝西偏南的方向航行千米到达处，则处与处之间的距离为( )
A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米
6. 设函数，若对任意的恒成立，则( )
A. B.
C. D.
7. 已知平面向量，则( )
A. B.
C. 与的夹角为钝角 D. 在上的投影向量的模为
8. 如图所示，用一束与平面成角的平行光线照射半径为的球，在平面上形成的投影为椭圆及其内部，则椭圆的( )
A. 长轴长为
B. 离心率为
C. 焦距为
D. 面积为
9. 已知集合，都是的子集，，中都至少含有两个元素，且，满足：
对于任意，，若，则；
对于任意，，若，则．
若中含有个元素，则中含有元素的个数是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共3小题，共15分。在每小题有多项符合题目要求）
10. 已知，，且，则( )
A. B.
C. D.
11. 已知在的二项展开式中，第项为常数项，则( )
A. B. 展开式中项数共有项
C. 含的项的系数为 D. 展开式中有理项的项数为
12. 已知函数，且对于都有成立现将函数的图象向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变得到函数的图象，则下列说法正确的是( )
A. B. 函数相邻的对称轴距离为
C. 函数是奇函数 D. 函数在区间上单调递增
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 已知正为坐标原点的顶点，在抛物线上，则的边长等于______ ．
14. 函数在区间上的最小值为______ ．
15. 已知向量，且与互相垂直，则 ______ ．
16. 一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为，，，当且仅当，时称为“凹数”如，若，，，且，，互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知中，角、、所对的边分别为、、，且．
求的值；
若的面积，且，求的外接圆半径．
18. 本小题分
已知等差数列的前项和为，且满足，．
求的通项公式；
若数列满足，求的前项和．
19. 本小题分
为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验研究人员将疫苗注射到只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按，，，，分组，绘制频率分布直方图如图所示实验发现小白鼠体内产生抗体的共有只，这只小白鼠中的该项指标值不小于的有只，假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立．
填写下面的列联表，并根据表中数据及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于有关单位：只
抗体 指标值 合计
小于 不小于
有抗体
没有抗体
合计
为检验疫苗两次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有只小白鼠产生抗体用频率估计概率，记一只小白鼠注射次疫苗后产生抗体的概率是，并以作为人体注射次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记个人注射次疫苗后产生抗体的数量为随机变量求的值，并求随机变量的方差．
参考公式：其中为样本容量
20. 本小题分
如图，已知直四棱柱，底面是菱形，，，，是和的交点，是的中点．
证明：平面；
求直线平面的距离．
21. 本小题分
已知椭圆的离心率为，为椭圆上一点，，为椭圆上不同两点，为坐标原点．
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ线段的中点为，当面积取最大值时，是否存在两定点，，使为定值？若存在，求出这个定值；若不存在，请说明理由．
22. 本小题分
已知函数，．
当时，求函数的极值；
当，求在上的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，，
则．故选：．
2.【答案】
【解析】根据题意，若，，三点共线，则，
又由，，则有，
解得；
故选：．

3.【答案】
【解析】由幂函数性质可知：与恒过点，即在第一象限的交点为，
当时，，则，
又图象关于轴对称，
为偶函数，
，
又，互质，
为偶数，为奇数．
故选：．
4.【答案】
【解析】，，
，，
由全概率公式得，，
，
．
故选：．
5.【答案】
【解析】如图所示，
中，，，，
由余弦定理可得
，
解得，
所以处与处之间的距离为千米．
故选：．
6.【答案】
【解析】由，
得，
所以，其中，，
因为，
所以，
所以，即，
所以，
因为，
，
所以，且，
所以既不是奇函数，也不是偶函数，所以选项A，都不正确；
对于，，，；
因为，
所以，而不能恒成立；
所以选项C不正确，选项D正确．
故选：．

7.【答案】
【解析】解：已知平面向量，，
对于选项A，向量不能比较大小，即选项A错误；
对于选项B，，则，即与不垂直，即选项B错误；
对于选项C，，即与的夹角为锐角，即选项C错误；
对于选项D，在上的投影向量的模为，即选项D正确．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：如图所示，用一束与平面成角的平行光线照射半径为的球，
在平面上形成的投影为椭圆及其内部，则椭圆的，，则，长轴长为，
所以离心率为：，焦距为，面积为
故选：．
9.【答案】
【解析】若取，则，
此时，包含个元素．
下面推导其正确性：
设且，，，，，，集合的元素如下：
且




由表得：且，
此时要满足，有，如下表：
且
当，上表第一列有且均属于集合，而，矛盾；
当，上表第一列有，且均属于集合，而，矛盾；
当时，则，且均属于集合，
而，此时只需满足，
则，，，
可得，且，
注意，
所以，故共有个元素．
故选：．
分别给出具体的集合和集合，然后证明正确性即可．
本题考查元素与集合的关系，考查列举法、集合中元素的性质等基础知识，考查运算求解能力，是难题．
10.【答案】
【解析】 ，当且仅当取等号，故A 正确；
，，且， ，故B 正确；
，故 D 正确；
取，则 ，故C错误；
故选： ．

11.【答案】
【解析】该二项式展开式的通项为
．
因为第项为常数项，所以当时，，
解得所以通项为．
展开式中项数共有项，故A正确，B错误．
含的项得，即，所求的系数为，
故C正确．
根据通项公式，由题意得
，令，，则，即，
，应为偶数，
可取，，，即可取，，，
第项，第项与第项为有理项．
故D正确．

12.【答案】
【解析】解：函数，且对于都有成立，即成立，
成立，故函数的最小正周期为，，
现将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象；
再把所有点的横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变得到函数的图象．
，故A正确；
函数相邻的对称轴距离为半个周期，即，故B正确；
函数是偶函数，故 C错误；
在区间上，，函数单调递增，故D正确，
故选：．
13.【答案】
【解析】解：由抛物线及等边三角形的对称性可知，如图所示，
设的边长为，则，
因为点在抛物线上，
所以，
解得：．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：，
，，，
，当且仅当，即时，等号成立，
即函数在区间上的最小值为．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】解：向量，
，又与互相垂直，
，．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】解：，，，且，，互不相同所组成的三位数的所有可能情况为：，，，，，
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共个数字，
其中是“凹数”的有，，，，，，，，共个数，
故所求概率为．
故答案为：．
17.【答案】解：由，可得，
由得：，解得．
由余弦定理，得到，
由正弦定理，
所以．
18.【答案】解：由题意，设等差数列的公差为，
则，
整理，得，
解得，
，．
由可得，，
则，
，
两式相减，
可得
，
，
．
19.【答案】解：由频率分布直方图，知只小白鼠按指标值分布为：
在内有只；
在内有只；
在内有只；
在内有只；
在内有只．
由题意，有抗体且指标值小于的有只，而指标值小于的小白鼠共有只，所以指标值小于且没有抗体的小白鼠有只，
同理，指标值不小于且没有抗体的小白鼠有只，故列联表单位：只如下：
抗体 指标值 合计
小于 不小于
有抗体
没有抗体
合计
零假设为：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小无关联，
根据列联表中数据，得，
根据的独立性检验，推断不成立，
即可以认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于有关，此推断犯错误的概率不大于；
令事件“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，
事件“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体”，
事件“小白鼠注射次疫苗后产生抗体”，
记事件，，发生的概率分别为，，，
则，
所以，
所以一只小白鼠注射次疫苗后产生抗体的概率；
由题意知随机变量，所以，
因为最大，所以，
即，解得，
因为是整数，所以或，
所以接受接种试验的人数或，
当接种人数为时，，
当接种人数为时，．
20.【答案】证明：在直四棱柱中，底面，而底面，
，
已知底面是菱形，
，
而，，平面，
平面，又，
平面，
而平面，
，
在菱形中，已知，，可得，
又，在中，，
，而是的中点，知，
又，，平面，
所以平面．
解：，平面，平面，
平面，即点到平面的距离为所求，
在三棱锥中，易知到平面的距离等于到直线的距离为，且，
在中，，，，可得，即，
，
设到平面的距离为，由三棱锥体积关系，
得，解得，
故直线平面的距离为．
21.【答案】解：Ⅰ由可设，，则，
则方程化为，
又点在椭圆上，则，解得，
因此椭圆的方程为．
Ⅱ当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立直线和椭圆的方程消去得，，
化简得：，
，
当时，取得最大值，即此时，
又，，
则，即
令，则，
因此平面内存在两点、使得．
当直线的斜率不存在时，设，
则，
即当取得最大值．
此时中点的坐标为，满足方程，
即．
22.【答案】解：当时，，
则，
所以在，上，，单调递减，
在上，，单调递增，
所以，．
因为，所以，
令，得或，
因为，所以，
当时，即时，
在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
所以，
当时，即时，
在上，，单调递减，
所以，
综上所述，时，，
时，．