2022-2023学年四川省成都市重点中学高二（下）期中数学试卷（理科）（含解析）

2022-2023学年四川省成都市重点中学高二（下）期中数学试卷（理科）
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共60分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设是虚数单位，复数为复数的共轭复数，若满足，则复数在复平面内对应的点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为，双曲线的左顶点为，若双曲线的一条渐近线与直线平行，则实数的值为( )
A. B. C. D.
3. 已知是为正奇数被整除的余数，则的值为( )
A. B. C. D.
4. 下列命题错误的是( )
A. 命题“若，则”的逆否命题为“若，则”
B. 命题“，”的否定是“，”
C. 若“且”为真命题，则，均为真命题
D. “”是“”的充分不必要条件
5. 在的展开式中，项的系数为( )
A. B. C. D.
6. 从某中学甲、乙两班各随机抽取名同学，测量他们的身高单位：，所得数据用茎叶图表示如图，由此可估计甲、乙两班同学的身高情况，则下列结论正确的是( )
A. 甲乙两班同学身高的极差相等 B. 乙班同学身高的平均值较大
C. 甲乙两班同学身高的中位数相等 D. 甲班同学身高在以上的人数较多
7. 形如或的数称为“波浪数”，即十位数字比两边的数字都小已知由，，，构成的无重复数字的三位数共个，则从中任取一数恰为“波浪数”的概率为( )
A. B. C. D.
8. 函数的图像大致是( )
A. B.
C. D.
9. 已知双曲线：的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则的方程为( )
A. B. C. D.
10. “曲池”是九章算术记载的一种几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体扇环是指圆环被扇形截得的部分现有一个如图所示的曲池，面，，底面扇环所对的圆心角为，的长度是长度的倍，，则异面直线与所成角的正弦值为( )
A.
B.
C.
D.
11. 已知函数，若方程有不同的实数解，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
12. 智慧的人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质，比如电影放映机利用椭圆镜面反射出聚焦光线，探照灯利用抛物线镜面反射出平行光线如图，从双曲线右焦点发出的光线通过双曲线镜面反射，且反射光线的反向延长线经过左焦点已知入射光线斜率为，且和反射光线互相垂直其中为入射点，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. ______ ．
14. 已知的展开式中的常数项是第项，则正整数的值为______ ．
15. 某高校选派名志愿者去参加年杭州亚运会志愿者服务活动，已知这名志愿者将去三个不同场馆服务，每个场馆至少名志愿者，每名志愿者只到一个场馆服务，则不同安排方案有______ 种
16. 已知函数，若是的极小值点，则的取值范围是______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
如图是某企业年至年的污水净化量单位：吨的折线图．
注：年份代码分别对应年份．
由折线图看出，可用线性回归模型拟合和的关系，请建立关于的回归方程，并预测年该企业的污水净化量；
请用相关指数说明回归方程预报的效果．
参考数据：，；
参考公式：线性回归方程；
相关指数：
18. 本小题分
已知四棱锥如图所示，其中，，，，平面平面，点在线段上，，点在线段上．
求证：
若平面与平面所成角的余弦值为，求的值．
19. 本小题分
已知函数，．
函数为函数的导函数，当时，证明：，恒成立；
当时，证明：函数存在极值点，．
20. 本小题分
已知椭圆：的左、右焦点分别为、，若椭圆经过点，且的面积为．
求椭圆的标准方程；
设斜率为的直线与圆：交于，两点，与椭圆交于，两点，且，当取得最小值时，求直线的方程并求此时的值．
21. 本小题分
设函数，．
讨论的单调性；
若时，恒成立，求的取值范围．
22. 本小题分
在平面直角坐标系中，直线的直角坐标方程为，曲线的参数方程为为参数以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
求直线和曲线的极坐标方程；
若直线与曲线交于，两点，求．
答案和解析
1.【答案】
【解析】由题意知，，
所以，在复平面内对应的点为，在第四象限．
故选：．
2.【答案】
【解析】根据题意，抛物线上一点到其焦点的距离为，
则点到抛物线的准线的距离也为，即，解得，
所以抛物线的方程为，则，
所以，即的坐标为，
又双曲线的左顶点，一条渐近线为，
而，由双曲线的一条渐近线与直线平行，
则有，解得．故选：．
3.【答案】
【解析】因为，
因为被整除的余数，
，
．故选：．
4.【答案】
【解析】命题“若，则”的逆否命题为“若，则”，正确；
B.命题“，”的否定是“，”，因此不正确；
C.若“且”为真命题，则，均为真命题，正确；
D.由，解得：，或“”是“”的充分不必要条件，正确．
故选：．
5.【答案】
【解析】在的展开式中，通项公式为，
令，求得，可得含项的系数为，故选：．
6.【答案】
【解析】根据题意，依次分析选项：
对于，甲班同学身高的极差为，乙班同学身高的极差为，A错误；
对于，甲班同学身高的平均数为，
乙班同学身高的平均数为，B正确；
对于，甲班同学身高的中位数为，乙班同学身高的中位数为，C错误；
对于，甲班同学身高在以上的有人，乙班同学身高在以上的有人，D错误．
故选：．
7.【答案】
【解析】若三位数中间的数字为，则有个，
若三位数中间的数字为，则有个，即“波浪数”共有个；
所以从中任取一数恰为“波浪数”的概率．
故选：．
8.【答案】
【解析】根据题意，，
当时，，，则有，
当时，，，则有，
当时，，，则有，排除，
，
在区间上，，为增函数，排除．
故选：．
9.【答案】
【解析】椭圆的焦点为，
又双曲线：的一条渐近线方程为，
，解得，
双曲线方程为，
故选：．
10.【答案】
【解析】根据题意，连接、，设与延长后交于点，
设弧所在圆的半径为，弧所在圆的半径为，
由于的长度是长度的倍，则，则、是边和的中点，
则有，又由，则有，
又由面，则面，则有，为直角三角形，
故异面直线与所成角就是，
又由，则，故BC，，则，
则．
故选：．
11.【答案】
【解析】方程有不同的实数解，等价于有不同的实数解，记，
则方程，
函数，，可得函数在递增，在递减，其图象如下：
当，即，根据图象可知，故此时无解，
当时，要使方程有不同的实数解，只需，
故实数的取值范围是，故选：．
12.【答案】
【解析】设双曲线方程为，
由已知可得：，：，
联立，解得，代入，
得，整理得，
解得：，即．
故选：．
设双曲线方程为，写出，所在直线方程，联立求得点坐标，代入双曲线方程，整理得答案．
本题考查双曲线的几何性质，考查运算求解能力，是基础题．
13.【答案】
【解析】由题意可知，
，所以函数为奇函数，
则由奇函数定积分的对称性可得．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】二项展开式的通项公式为，
由题意，，，
故答案为
15.【答案】
【解析】名志愿者分成组，人数为，，，先分成三组有种分法，
则不同安排方案种，
故答案为：．
16.【答案】
【解析】，
因为是的极小值点，所以，解得．
所以，
当时，，
，，为减函数；，，为增函数，
所以是的极小值点，符合条件．
当时，令，解得或．
当时，，，为增函数；
故当，，为减函数；，，为增函数，
所以是的极小值点，符合条件．
当，即时，，
则在上为减函数，无极值点，舍去．
当时，即，
，，为减函数；，，为增函数；，，为减函数，
所以是的极大值点，舍去．
当时，即，
，，为减函数；，，为增函数；，，为减函数，
所以是的极小值点，符合条件．
综上，的取值范围为．
故答案为：．
17.【答案】由折线图中的数据得，，
，
所以，
所以关于的线性回归方程为，
将年对应的代入得，
所以预测年该企业污水净化量约为吨．
因为，
所以“污水净化量的差异”有是由年份引起的，说明回归方程预报的效果是良好的．
【解析】结合题目数据利用最小二乘法求出线性回归直线方程，代入计算即可；
利用已知数据求出相关指数，利用统计知识说明即可．
本题主要考查线性回归方程的求解，属于基础题．
18.【答案】证明：如图，连接，因为，平面平面，平面平面，平面，故平面，
而平面，故．
由题意可知，为直角梯形，，
故，又，
故，故，
又内错角相等，所以，故AC．
而，且、平面，故AC平面，
因为平面，故AC．
由得平面，，故以为原点，，，所在直线分别为、、轴，建立如
图所示的空间直角坐标系：
易得，，，，
所以，，．
设，，
则
设平面的法向量为，则
即取，得，
则平面的一个法向量为．
又因为平面的一个法向量为，
平面与平面所成角的余弦值为，
所以，，解得舍去，
故．

19.【答案】证明：，，，
令，，，
，
因为，，
所以，
所以，
所以，
所以在上单调递减，
所以，
因为，
所以，
所以，得证．
当时，，
，
因为函数存在极值点，
所以存在，使得，即，
所以，
所以，
因为，
所以，
20.【答案】因为的面积为，即，所以，则，
又因为点在椭圆上，则，
解得，，故椭圆的标准方程为：；
设直线的方程为，则原点到直线的距离，
由弦长公式可得，
将代入椭圆中可得，
则，解得，
由直线和圆相交的条件可得，即，解得，
综上可得的取值范围是；
设，，
则，，
由弦长公式可得，
由，得，
因为，所以，
则当时，取得最小值为，此时的方程为．
21.【答案】由已知，
当时，在恒成立，在上单调递增；
当时，由，得，
若时，，在上单调递增，
若时，，在上单调递减；
综上所述，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
时，恒成立，
即在时恒成立，
当时，恒成立，即，
又，则．
下面证明：当时，在时恒成立．
先证明时，，
由知，当时，在上单调递增，在上单调递减；
则，即，有，
所以当时，，
要证明，
只需证明对任意的，恒成立，
令，则，
由，得，
当即时，在上恒成立，
则在上单调递增，
于是．
当，即时，
在上单调递减，在上单调递增，
于是，
令，则，
则在上单调递增，
于是，所以恒成立，
所以时，不等式恒成立，
因此，实数的取值范围是．
22.由于直线过原点，且倾斜角为，故其极坐标方程为．
由曲线的参数方程为为参数，
得曲线的普通方程为，即，
则的极坐标方程为．
由，得，
设点，对应的极径分别为，，则，．
．
第15页，共15页