北师大版初中数学九年级上册 1.1 菱形的性质与判定的综合应用教案

§1.1 菱形的性质与判定的综合应用
内容来源：第一章 特殊的平行四边形->1 菱形的性质与判定
主　　题：菱形的性质与判定的综合应用
课　　时：第3课时（共3课时）
授课对象：九年级学生
目标确定的依据
课程标准
探索并证明菱形的性质定理：菱形的四条边相等，对角线垂直；以及它们的判定定理：四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
2．教材分析
本课时是在学生理解菱形的概念、菱形与平行四边形之间的关系，探索并证明了菱形的性质定理及判定定理的基础上，运用菱形的性质定理和判定定理解决一些问题，一方面可以巩固对菱形的性质定理与判定定理的理解，另一方面在解决问题的过程中使学生认识性质定理与判定定理的区别，正确应用有关定理.
3. 学情分析
学生的知识技能基础：学生前两课时经历了对菱形的性质定理及判定定理的探究及验证过程，理解了菱形的性质定理及判定定理；八年级下册学行四边形的性质与判定，能根据实际问题运用性质定理和判定定理解决数学问题，这些都为本课时学习提供了知识技能基础.
学生的活动经验基础：学生在探索图形性质和判定时，经历“观察—操作—猜想—验证”等数学活动，积累了数学的活动经验；在活动过程中，学生能够进行自主探究并与小组成员合作交流.
4. 学习目标
（1）经历探索利用对角线长乘积求菱形面积的计算公式，提升探究几何结论的能力.
（2）会运用菱形的性质定理，计算菱形中相关的线段长度和菱形面积，掌握运用菱形性质定理解决几何问题的方法.
（3）通过拼摆纸条、折纸活动，经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，了解制作菱形的方法，感受数学与生活的联系，进一步发展数学语言表达能力，合情推理能力与演绎推理能力.
教学重点： 灵活运用菱形的性质与判定定理进行计算或推理.
教学难点： 通过纸条的拼、折得到菱形，并推理验证.
5. 学法分析
自主探究、合作学习
6. 教学资源准备：
课件、微课、Flash、四张条形纸条、多媒体平台
7. 教学过程分析
【第一环节】 游戏引入 (播放Flash动画)
1.如图1，Rt△ABO的面积是 ；
2.如图2，将Rt△ABO沿着AO翻折，得到△ABD，则△ABD的面积是 ；
3.如图3，将△ABD沿着BD翻折，得到四边形ABCD，则四边形ABCD的面积是 ；
图1 图2 图3
师：我想知道你是怎么得到四边形的面积的？（四边形ABCD面积可以看成4个全等的直角三角形的面积和，或看成上下（左右）两个全等的三角形的面积和.）
师：刚才翻折的过程中，你发现了哪些相等的线段？（AO=OC,BO=OD，AB=BC=CD=AD），对角线AC，BD有什么位置关系？（AC⊥BD）
师：现在，你知道四边形ABCD是什么图形吗？为什么？（菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形；四边相等的四边形是菱形.）
师：今天我们进一步学习菱形的性质与判定的综合应用.
设计意图：
1. 通过图形游戏引入，Flash动画直观地将一个直角三角形经过两次翻折得到菱形，体会利用三角形的面积计算菱形的面积，为推导出菱形的面积计算方法做铺垫.
2. 通过图形游戏引入，认识菱形的轴对称性，巩固菱形的两个判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，四边相等的四边形是菱形.
【第二环节】 探索新知
1.推导菱形面积计算公式
师：已知：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O.
问题：你能用含AC,BD的式子表示菱形ABCD的面积吗？
师：同学们先独立思考，然后分享你的方法.
学生展示，老师引导，梳理方法，总结出菱形的面积计算方法：菱形的面积等于其对角线长的乘积的一半.
解法一：
菱形ABCD的面积 = △ABD的面积+△BCD的面积
= 2×△ABD的面积
解法二：
菱形ABCD的面积 = △ABC的面积+△ADC的面积
= 2×△ABC的面积
解法三：菱形ABCD的面积 = 4×Rt△ABO的面积
解法四：
菱形ABCD的面积 = △ABD的面积+△BCD的面积
结论：
菱形的面积等于其对角线长的乘积的一半.
知识延伸：
推导对角线互相垂直的四边形的面积计算方法：对角线互相垂直的四边形的面积等于其对角线长的乘积的一半.
师：若对角线AC，BD仍然互相垂直，但不互相平分，此时，四边形ABCD的面积=AC×BD？试一试.
推导过程：
∵AC⊥BD
∴四边形ABCD的面积 = △ ABD的面积+△BCD的面积
=
=
师：请同学们把结论整理在学案上
结论：
对角线互相垂直的四边形的面积等于其对角线长的乘积的一半 .
师：显然，通过刚才的推理，我们知道求四边形的面积可以转化为求三角形的面积,这正体现了数学中转化的思想,将新知识转化为旧知识，将未知转化为已知.同时，在刚才的学习过程中，我们先探究了对角线垂直平分的特殊四边形—菱形的面积计算方法，接着探究了对角线互相垂直的四边形的面积计算方法，这正是数学中探究解决问题常用到的一种方法:从特殊到—般.
3.介绍菱形面积的另一种计算公式：菱形的面积=底×高.
师：菱形是特殊的平行四边形，那么菱形的面积还可以怎么计算？
设计意图：
1.利用菱形的对角线互相垂直平分的性质将菱形转化为三角形，推导出菱形的面积计算方法，即菱形的面积等于其对角线长的乘积的一半，体现了转化和分割图形求面积的方法.
2.通过知识延伸，了解“对角线互相垂直的四边形的面积等于其对角线长的乘积的一半”的结论，掌握从特殊到一般的探究解决问题的方法.
3.通过菱形与平行四边形的关系，掌握菱形的面积也可以用底乘高来计算.
4.如果学生在推导菱形面积的公式过程中,用到了上面的解法四，直接利用几何画板改变图形的形状（保证对角线互相垂直）得到一般结论.
【第三环节】 新知应用
例 如图，四边形ABCD是边长为13cm菱形，其中对角线BD长为10cm，则：
（1） 对角线AC的长为 cm；
（2） 菱形ABCD的面积为 cm2；
（3） 菱形ABCD的高DH为 cm .
解：(1)AC=24(cm).（2）S菱形ABCD=120(cm 2 ).（3）DH=(cm ).
设计意图：
评价学生的新知掌握情况—菱形的面积计算方法及运用菱形的性质解决问题的情况.
【第四环节】 实践操作
师：在前面的学习中，我们运用菱形的性质解决了一些问题.用两张等宽的纸条,你能制作菱形吗？
请看视频 (播放视频)
活动一 (教材P8 做一做)
如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是菱形吗？为什么？
师：动手操作，同时思考下面的问题：
(1)四边形ABCD是平行四边形吗？为什么？ （两张纸条的两长边分别平行）
(2)题目中的“等宽”怎样理解？（平行四边形一组邻边上的高相等.）
(3)要证明平行四边形ABCD是菱形，还需要什么条件？（一组邻边相等.）
师：组内交流,互助释疑.
要求：小组长组织交流，确定一个记录人，一个中心发言人.
师：请小组发言人分享你们小组的成果,回答上面思考的问题.
学生展示，老师板书，画出图形，写出“已知”，“求证”，板书其中一种证明过程，PPT给出另一种解题方法的参考答案.
已知：在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F, AE=AF .
求证：四边形ABCD是菱形.
(板书)方法1：证明：∵AB//CD,AD//BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴ .
∵AE=AF,
∴ BC=CD.
∴平行四边形ABCD是菱形.
（PPT展示）方法2： 证明：∵AB//CD,AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴ ∠B= ∠D.
∵AE⊥BC，AF⊥CD ，
∴∠AEB= ∠AFD=90°.
在△ABE和△ADF中
∠B= ∠D
∠AEB= ∠AFD
AE=AF
∴△ABE≌△ADF.
∴AB=AD.
∴平行四边形ABCD是菱形.
证明方法：
方法1：先证四边形ABCD是平行四边形，利用菱形面积公式，再得到BC=CD（一组邻边相等）；
方法2：先证四边形ABCD是平行四边形，再利用AAS证△ABE≌△ADF，得到AB=AD（一组邻边相等）；
方法3：如图，先证四边形ABCD是平行四边形，连接AC，利用角平分线的判定定理得到∠1=∠2.又因为AD//BC，得∠DAC=∠1，从而得到∠DAC=∠2，再利用“等角对等边.”证出AD=DC（一组邻边相等）.
活动二 变式演练
师：如果只有一张这样的纸条，你能用折纸的办法得到一个菱形吗？
活动二：如图，是一张只有一组对边平行的纸条，你能用折纸的办法得到一个菱形吗？(要求：用笔描出折痕和折纸得到的四边形.)
学生先动手操作，再合作交流.
要求：小组长组织交流，确定一个记录人，一个中心发言人.
师：请小组代表展示折纸的过程，并说明理由. （请同学演示讲解，其他同学跟着操作.）
方法1：① 如图1，任意折出一条折痕AC，②如图2，再次折叠，使折痕两端点A,C重合，得到△ABO,并折出折痕AB. ③打开纸条，得到四边形ABCD就是菱形. 理由：对角线互相垂直平分的四边形是菱形.
图1 图2 图3
方法2：①如图，任意折出一条折痕AC. ②折出折痕AB，CD. 打开纸条，得到四边形ABCD就是菱形.
理由：四边相等的四边形是菱形.
师：若是任意一张不规则的纸片，你能用折纸的办法得到一个菱形吗？如图，若是一张锐角三角形纸片ABC, 你能折出一个菱形，使∠A为菱形的一个内角吗？（教材P10 问题解决）作为家庭作业，同学们课后继续探究.
设计意图：
设计三个活动，从教材的“做一做”，到变式演练，再回到教材P10的“问题解决”，利用教材提供的素材，层层递进，运用菱形的判定定理解决实际问题.
让学生经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，感受数学与生活的联系，丰富学生的数学活动经验，提高自主探究解决问题的能力.
通过活动一，鼓励学生一题多证，引导学生在与他人交流中比较证明方法的异同，提高演绎推理的能力.
【第五环节】 梳理总结
1. 我学会了…..
2. 我体会到…..
3. 我还有哪些疑问……
设计意图：
对本节课所学新知识和涉及的数学思想方法进行梳理和整理.
【第六环节】课后练习
必做：课本P9 习题1.3 1,3,4
做一做：任意一张不规则的纸片,你能用折纸的办法得到一个菱形吗？
P10 问题解决
选作：在四边形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC＝2AD，EA＝ED＝2，AC与ED相交于点F．当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．
设计意图：
满足不同的学生在数学上的不同发展的需要，提供学生探索、交流的资源．
【第七环节】 课堂结语
“用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界”，努力学好数学！
【第八环节】 板书设计
(
§1.1
菱形
的性质与判定
（第3课时）
)
(
已知： 在四边形
ABCD
中,
AB
∥
CD
，
AD
∥
BC
，
AE
⊥
BC
于
点
E
，
AF
⊥
CD
于
点
F
,
AE
=
AF
.
求证
：四边形
ABCD
是
菱形
.
证明
：
∵
AB
//
CD
,
AD
//
BC
，
∴四边
形
ABCD
是
平行四边形
.
∵
AE
⊥
BC
,
AF
⊥
CD
,
∴
,
∵
AE
=
AF
,
∴
BC
=
CD
.
∴
平行四边形
ABCD
是
菱形
.
)
8. 教后反思
（1）本节课首先用Flash动画展示一个直角三角形经过两次翻折得到菱形的过程，成功吸引了学生的“眼球”.同时，学生在观察得到“暗示”：菱形与直角三角形“相关”，为后续引导学生顺利推导出菱形的面积计算公式铺路.
（2）其次，根据推导菱形面积的计算公式时课堂生成的问题，引导学生观察，触动学生思考，利用几何画板改变图形的形状（保证对角线互相垂直）得到一般结论：对角线互相垂直的四边形的面积等于其对角线长的乘积的一半.从探究的过程中，掌握从特殊到一般的探究解决问题的方法.巩固对菱形性质定理的理解.提高灵活运用菱形性质定理解决问题的能力.
（3）最后，设计了三个学生操作活动，利用预先准备的“纸条”等学具，引导学生经历从教材的“做一做”→变式演练→到教材P10的“问题解决”的过程，层层递进，成功运用菱形的判定定理解决了实际问题.学生在经历“探索—发现—猜想—证明”的过程中，感受了数学与生活的联系，丰富了学生的数学活动经验，提高了自主探究解决问题的能力.
总之，Flash和几何画板动态展示，设计学生活动、生成问题、解决问题.学生在主动探寻、交流中提高了演绎推理的能力，并获得比较深刻的数学感悟.本节课侧重于动手操作，启发思维，对几何证明的规范书写训练略显不足，需在课后作业中弥补.
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