数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.2.1等差数列的概念 课件（共28张ppt）
文档属性
| 名称 | 数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.2.1等差数列的概念 课件（共28张ppt） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-06-05 06:52:30 | ||
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文档简介
(共28张PPT)
第4章 数列
4.2.1 等差数列的概念及其通项公式
人教A版（2019）选择性必修第二册
新知导入
请看下面几个问题中的数列.
1. S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是
2. 1，2，3，4，这些数的0次幂分别是
1，1，1，1， ②
38，40，42，44，46，48 ①
新知导入
4. 某人向银行贷款万元，贷款时间为年.如果个人贷款月利率为,那么按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金元，每月支付给银行的利息（单位：元）依次为
ar ， ar-br， ar-2br， ar-3br，… . ④
3. 测量某地垂直地面方向海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度（单位：）依次为
25，24，23，22，21. ③
新知讲解
思考：你能通过运算发现以上数列的取值规律吗？
25，24，23，22，21. ③
ar ， ar-br， ar-2br， ar-3br，… . ④
对于①，我们发现
40-38=2，42-40=2，…，48-46=2.
就是每一项与它的前一项的差都等于2
如果用{}表示数列 ①，那么有
，，…， .
这表明，数列①有这样的取值规律：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数.
1，1，1，1， ②
38，40，42，44，46，48 ①
新知讲解
25，24，23，22，21. ③
对于②，，，…， .
即每一项与它的前一项的差都等于0
数列②~④也有这样的取值规律.
对于③，，，…， .
即每一项与它的前一项的差都等于-1
对于④，br，，…， .
即每一项与它的前一项的差都等于br
ar ， ar-br， ar-2br， ar-3br，… . ④
1，1，1，1， ②
38，40，42，44，46，48 ①
新知讲解
【等差数列的概念】
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示.
（符号语言）
新知讲解
由三个数组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.
这时，叫做与的等差中项.
根据等差数列的定义可以知道，.即
问题 最简单的等差数列由几个数组成？
一般地
探究：你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？
设等差数列{}的首项为，公差为.
方法一：根据等差数列的定义可得，，
所以,
… .
于是
，
……
归纳可得
.
当时，上式为，成立.
不完全归纳法
新知讲解
首项为，公差为d的等差数列{}的通项公式为
方法二：因为
，
，
……
将上述个式子相加得 ，
所以 .
当时，，符合上式
所以
累加法
新知讲解
思考 已知等差数列{}中，第项为，公差为d，此时{}的通项公式是什么？
新知讲解
已知等差数列{}的首项为，公差为d
递推公式 通项公式 通项公式的推广
an－an－1＝d (n≥2) an＝a1＋(n－1)d (n∈N*) an＝＋(n－m)d (m，n∈N*)
(1)等差数列{}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个参数，即a1 ，d ，n ， an ，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”.
新知讲解
方程思想
已知等差数列{}的首项为，公差为d
递推公式 通项公式 通项公式的推广
an－an－1＝d (n≥2) an＝a1＋(n－1)d (n∈N*) an＝＋(n－m)d (m，n∈N*)
(2) 等差数列的通项公式可以推广为an=am+(n-m)d,由此可知,已知等差数列中的任意两项,就可以求出其他的任意一项.
新知讲解
思考：观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？
由于 ，
所以当时，等差数列{}的第项
是一次函数
当时的函数值，即 .
在平面直角坐标系中画出的图象
新知讲解
在这条直线上描出点
就得到了等差数列{}的图象.
新知讲解
(1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上，这条直线的斜率为 ，在y轴上的截距为 ；
(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加 .
反之，任给一次函数 (为常数)，
则
构成一个首项为, 公差为的等差数列
新知讲解
例题讲解
例1（1）已知等差数列{}的通项公式为，求{}的公差和首项；
（2）求等差数列8，5，2，…的第20项.
例题讲解
例1（1）已知等差数列{}的通项公式为，求{}的公差和首项；
（2）求等差数列8，5，2，…的第20项.
例题讲解
例2 -401是不是等差数列-5，-9，-13，… 的项？如果是，是第几项？
课堂练习
1、在等差数列中，(1) 已知
(2) 已知
2、已知数列是等差数列， ,求数列的通项公式 .
3、已知和的等差中项是8, 和的等差中项是10，则和的等差中项是
4、在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列.
课堂练习
1、在等差数列中，(1) 已知
(2) 已知
课堂练习
2、已知数列是等差数列， ,求数列的通项公式 .
课堂练习
3、已知和的等差中项是8, 和的等差中项是10，则和的等差中项是
课堂练习
4、在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列.
课堂总结
1、一个定义：等差数列
2、一个概念：等差中项
3、一个公式：等差数列的通项公式：一般形式：an＝a1＋(n－1)d
推广形式：an＝＋(n－m)d
4、一种思想：方程思想：
在四个量中，可以通过列方程的方法知三求一
作业布置
课本15页练习1-4题
思考题 已知数列满足记 .
求证：数列是等差数列．
课堂练习
思考题 已知数列满足记 .
求证：数列是等差数列．
.
证明：，
即 ，所以数列是等差数列
等差中项法
课堂练习
思考题 已知数列满足记 .
求证：数列是等差数列．
证明：
为常数.
又
数列是首项为，公差为的等差数列．
定义法
方法归纳
等差数列的证明与判定的方法
(1) 定义法：
或 是等差数列
(2) 定义变形法：
验证是否满足
(3) 等差中项法：
是等差数列
(4) 通项公式法：
通项公式形如 是等差数列.
第4章 数列
4.2.1 等差数列的概念及其通项公式
人教A版（2019）选择性必修第二册
新知导入
请看下面几个问题中的数列.
1. S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是
2. 1，2，3，4，这些数的0次幂分别是
1，1，1，1， ②
38，40，42，44，46，48 ①
新知导入
4. 某人向银行贷款万元，贷款时间为年.如果个人贷款月利率为,那么按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金元，每月支付给银行的利息（单位：元）依次为
ar ， ar-br， ar-2br， ar-3br，… . ④
3. 测量某地垂直地面方向海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度（单位：）依次为
25，24，23，22，21. ③
新知讲解
思考：你能通过运算发现以上数列的取值规律吗？
25，24，23，22，21. ③
ar ， ar-br， ar-2br， ar-3br，… . ④
对于①，我们发现
40-38=2，42-40=2，…，48-46=2.
就是每一项与它的前一项的差都等于2
如果用{}表示数列 ①，那么有
，，…， .
这表明，数列①有这样的取值规律：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数.
1，1，1，1， ②
38，40，42，44，46，48 ①
新知讲解
25，24，23，22，21. ③
对于②，，，…， .
即每一项与它的前一项的差都等于0
数列②~④也有这样的取值规律.
对于③，，，…， .
即每一项与它的前一项的差都等于-1
对于④，br，，…， .
即每一项与它的前一项的差都等于br
ar ， ar-br， ar-2br， ar-3br，… . ④
1，1，1，1， ②
38，40，42，44，46，48 ①
新知讲解
【等差数列的概念】
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示.
（符号语言）
新知讲解
由三个数组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.
这时，叫做与的等差中项.
根据等差数列的定义可以知道，.即
问题 最简单的等差数列由几个数组成？
一般地
探究：你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？
设等差数列{}的首项为，公差为.
方法一：根据等差数列的定义可得，，
所以,
… .
于是
，
……
归纳可得
.
当时，上式为，成立.
不完全归纳法
新知讲解
首项为，公差为d的等差数列{}的通项公式为
方法二：因为
，
，
……
将上述个式子相加得 ，
所以 .
当时，，符合上式
所以
累加法
新知讲解
思考 已知等差数列{}中，第项为，公差为d，此时{}的通项公式是什么？
新知讲解
已知等差数列{}的首项为，公差为d
递推公式 通项公式 通项公式的推广
an－an－1＝d (n≥2) an＝a1＋(n－1)d (n∈N*) an＝＋(n－m)d (m，n∈N*)
(1)等差数列{}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个参数，即a1 ，d ，n ， an ，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”.
新知讲解
方程思想
已知等差数列{}的首项为，公差为d
递推公式 通项公式 通项公式的推广
an－an－1＝d (n≥2) an＝a1＋(n－1)d (n∈N*) an＝＋(n－m)d (m，n∈N*)
(2) 等差数列的通项公式可以推广为an=am+(n-m)d,由此可知,已知等差数列中的任意两项,就可以求出其他的任意一项.
新知讲解
思考：观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？
由于 ，
所以当时，等差数列{}的第项
是一次函数
当时的函数值，即 .
在平面直角坐标系中画出的图象
新知讲解
在这条直线上描出点
就得到了等差数列{}的图象.
新知讲解
(1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上，这条直线的斜率为 ，在y轴上的截距为 ；
(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加 .
反之，任给一次函数 (为常数)，
则
构成一个首项为, 公差为的等差数列
新知讲解
例题讲解
例1（1）已知等差数列{}的通项公式为，求{}的公差和首项；
（2）求等差数列8，5，2，…的第20项.
例题讲解
例1（1）已知等差数列{}的通项公式为，求{}的公差和首项；
（2）求等差数列8，5，2，…的第20项.
例题讲解
例2 -401是不是等差数列-5，-9，-13，… 的项？如果是，是第几项？
课堂练习
1、在等差数列中，(1) 已知
(2) 已知
2、已知数列是等差数列， ,求数列的通项公式 .
3、已知和的等差中项是8, 和的等差中项是10，则和的等差中项是
4、在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列.
课堂练习
1、在等差数列中，(1) 已知
(2) 已知
课堂练习
2、已知数列是等差数列， ,求数列的通项公式 .
课堂练习
3、已知和的等差中项是8, 和的等差中项是10，则和的等差中项是
课堂练习
4、在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列.
课堂总结
1、一个定义：等差数列
2、一个概念：等差中项
3、一个公式：等差数列的通项公式：一般形式：an＝a1＋(n－1)d
推广形式：an＝＋(n－m)d
4、一种思想：方程思想：
在四个量中，可以通过列方程的方法知三求一
作业布置
课本15页练习1-4题
思考题 已知数列满足记 .
求证：数列是等差数列．
课堂练习
思考题 已知数列满足记 .
求证：数列是等差数列．
.
证明：，
即 ，所以数列是等差数列
等差中项法
课堂练习
思考题 已知数列满足记 .
求证：数列是等差数列．
证明：
为常数.
又
数列是首项为，公差为的等差数列．
定义法
方法归纳
等差数列的证明与判定的方法
(1) 定义法：
或 是等差数列
(2) 定义变形法：
验证是否满足
(3) 等差中项法：
是等差数列
(4) 通项公式法：
通项公式形如 是等差数列.