河南省商丘市睢县第三高级中学2022-2023学年高一下学期5月月考数学试题（Word版含答案）

睢县第三高级中学2022-2023学年高一下学期5月月考
数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章至第八章。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若为坐标原点，向量，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．已知，复数，若为纯虚数，则（ ）
A． B． C． D．
3．的内角的对边分别为，若，则（ ）
A．2 B． C．3 D．
4．已知是两条不同的直线，是一个平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．某广场设置了一些石凳供大家休息，如图，每个石凳都是由正方体截去八个相同的正三棱锥得到的几何体，则下列结论不正确的是（ ）
A．该几何体的侧面是等边三角形或正方形 B．该几何体恰有12个面
C．该几何体恰有24条棱 D．该几何体恰有12个顶点
6．位于灯塔处正西方向相距海里的处有一艘甲船燃油耗尽，需要海上加油．位于灯塔处北偏东30°方向有一艘乙船（在处），乙船与甲船（在处）相距海里，乙船为了尽快给甲船进行海上加油，则乙船航行的最佳方向是（ ）
A．西偏南15° B．西偏南30° C．南偏西45° D．南偏西65°
7．在四面体中，平面，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．已知正三角形的边长为2，动点满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知向量，若，则的值可能为（ ）
A．2 B．－2 C．3 D．－3
10．若复数满足，则（ ）
A．的实部为 B．的虚部为1 C． D．
11．如图，正方体的棱长为3，动点在侧面内运动（含边界），且，则（ ）
A．点的轨迹长度为 B．点的轨迹长度为
C．的最小值为 D．的最小值为
12．如图，等腰梯形是由斜二测画法得到的平面四边形水平放置的直观图，，点在线段上，对应原图中的点，则在原图中，下列说法正确的是（ ）
A．四边形的面积为 B．
C．在上的投影向量为 D．的取值范围为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在复平面内表示的点为，满足，则点所组成图形的面积为______．
14．如图1，小明同学发现家里的地板是由正六边形木质地板组合而成的，便临摹出了家里地板的部分图形，其平面图如图2所示，若，则______．
15．如图，在四棱锥中，平面平面，底面为矩形，且．若与平面所成的角为，则四棱锥外接球的表面积为______．
16．某园区有一块三角形空地（如图），其中，现计划在该空地上划分三个区域种植不同的花卉，若要求，则的最小值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知向量，向量．
（1）若向量，求向量的坐标；
（2）若向量在向量上的投影向量的坐标为，求向量的夹角大小．
18．（12分）在复平面内，复数对应的点分别是．
（1）求；
（2）已知虚数的实部等于复数的虚部，且是关于的方程的一个根，求实数的值以及．
19．（12分）如图，在正四棱台中，．
（1）求正四棱台的体积；
（2）若分别为棱的中点，证明：相交于一点．
20．（12分）的内角的对边分别为，且．
（1）求；
（2）若为锐角三角形，，求周长的取值范围．
21．（12分）如图，在直四棱柱中，，底面是直角梯形，，，，，，点为上一点，且．
（1）证明：平面平面．
（2）点是上一点，且平面，求四面体的体积．
22．（12分）已知为中边上的中线，．
（1）若，求的长；
（2）若，求的值及的值．
睢县第三高级中学2022-2023学年高一下学期5月月考
数学参考答案
1．A 因为，所以点的坐标为．
2．B 为纯虚数，所以解得，所以，即．
3．D 由余弦定理得，得．
4．C 若，，则或，A错误；平行于同一平面的两条直线可能平行，可能异面，也可能相交，B错误；若，则与不一定垂直，D错误．
5．B 据图可得该几何体的侧面是等边三角形或正方形，A正确；该几何体恰有14个面，B不正确；该几何体恰有24条棱，C正确；该几何体恰有12个顶点，D正确．
6．A 如图，，由正弦定理得，解得．因为，所以，因为，所以乙船航行的最佳方向为西偏南．
7．D 由余弦定理可得，解得．所以，在中，，则，设点到平面的距离为，由，可得，解得，即点到平面的距离为．
8．C 因为动点满足，所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，设为的中点，则．
9．AD 因为，所以，解得或2．
10．AC 设，则，因为，所以，A正确，B错误．，C正确，D错误．
11．AD 若，则在平面上的投影在上，则，所以点的轨迹为，所以点的轨迹长度为，将平面翻折到与平面重合，此时，，三点共线，取得最小值，最小值为，故选AD．
12．BCD 如图1，过作交于，作交于，
则，画出原图，如图2所示，以点为坐标原点建立平面直角坐标系．
，四边形的面积为，A错误，B正确．，则在上的投影向量为，C正确．
设，因为，所以，
则，则，
，因为函数在上单调递减，所以当时，，当时，，所以的取值范围为，D正确．
13． 的解集是以为圆心，1为半径的圆及其内部所有点组成的集合，其面积．
14．3 连接（图略）．因为，所以．
15． 取为的中点（图略），则，因为平面平面且相交于，所以平面，则为与平面所成的角，即，解得，．易知平面，且，所以四棱锥外接球的球心为矩形的中心，四棱锥外接球的半径，即四棱锥外接球的表面积为．
16． 如图，因为，所以在如图所示的圆上，圆的半径为，
由圆周角的性质可得，连接，可得，所以当为与圆的交点时，取最小值，即，又，在中，，根据余弦定理可知，所以的最小值为．
17．解：（1）设，所以，因为，所以，
解得或，所以或．
（2）由题可知，所以，
设向量的夹角为，所以，
即向量的夹角大小为．
18．解：（1）由题可知，
因为，所以．
（2）因为，
所以复数的虚部为－1，设，
所以，整理得，
所以得所以实数的值为．
19．（1）解：连接，取分别为和的中点．
因为为正四棱台，所以，且为的高．
因为，所以，
所以正四棱台的体积为．
（2）证明：因为分别为棱的中点，所以，
所以，所以为梯形，则与必相交．
设，因为平面，所以平面，
因为平面，所以平面，
又平面平面，所以，则交于一点．
20．解：（1）由，可得，
所以，
即，则，所以或．
（2）因为为锐角三角形，所以，
由正弦定理，得．
因为为锐角三角形，所以所以，所以，所以，
所以，则周长的取值范围为．
21．（1）证明：因为，所以，，又，所以四边形为矩形，即．
由题可知平面，所以，又，所以平面，
因为平面，所以平面平面．
（2）解：作，交于点，连接，则
因为平面平面，所以平面，
因为平面，又，所以平面平面．
平面和平面，平面的交线分别为和，所以．
因为，所以．
四面体的体积为．
22．解：设，则，．
（1）因为，所以，
所以，所以，
所以，又为中边上的中线，所以，
则为正三角形，所以．
（2）依题意可得，设，由余弦定理得，
整理得，即．
由正弦定理得，
即，整理得，
则，则．
由余弦定理得，则，
整理得，即．