(共26张PPT)
21.2.1 直接开平方法
人教版九年级上册
知识回顾
一
2
整式
教学目标
1．掌握形如 x2=p(p≥0) 型方程的解法．
2．掌握形如 (mx+n)2=p(m≠0，p≥0) 型方程的解法．
新知导入
问题：求出或表示出下列各数的平方根．
121； (2) 25 ； (3) 0.81；
(4) 0； (5) 3； (6) .
（1）121的平方根为±11；
（2）25的平方根为±5；
（3）0.81的平方根为±0.9；
（4）0的平方根为0；
（5）3的平方根为±；
（6）的平方根为±.
新知探究
问题1:一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为6x2dm2，
可列出方程
10×6x2=1500，
即x1=5，x2=－5.
∵棱长不能是负值.
由此可得
x2=25
开平方得
x=±5，
∴正方体的棱长为5dm．
新知探究
对照上面方法，怎样解方程（x+3）2=5
解：我们知道， =5，由此想到:
当（x+3)2=5 ，得
于是，方程（x+3）2=5的两个根为
一元二次方程
降次
转化思想
一元一次方程
新知小结
(2)当p=0 时，方程(I)有两个相等的实数根 ；
(3)当p<0 时,因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程(I) 无实数根 .
一般的，对于可化为方程 x2 = p, (I)
(1)当p>0 时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不等的实数根 ， ；
=0
知识点一 可化为x2=p（p≥0）型方程的解法
新知小结
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法.
解一元二次方程的思路
把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程
新知探究
解方程：
例1
(1)x2－36＝0； (2)2y2＝100； (3)16p2－5＝0.
分析：用直接开平方法解一元二次方程，先将方程化成
x2＝p (p≥0)的形式，再根据平方根的意义求解．
新知探究
(1)x2－36＝0
解：移项，得
x2=36.
直接开平方，得
x=±6，
∴x1=6, x2=－6.
(2)2y2＝100
解：系数化1，得
y2＝50
直接开平方，得
y = ，
∴ y1= ,
y2= .
新知探究
(3)16p2－5＝0
解：移项，得
16p2=5.
直接开平方，得
∴p1= , p2= .
系数化1，得
用直接开平方法解一元二次方程时，首先将方程化成左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，然后根据平方根的定义求解．当整理后右边为0时，方程有两个相等的实数根．
新知练习
1. 解下列方程：
（2）36x2-1=0．
（1）4x2=81；
移项，得36x2=1，
二次项系数化为1，得
开平方，得 ，
即
解：
二次项系数化为1，得
开平方，得 ，
即
解：
新知探究
∴(x + 3)2 = 5，
（1）解方程：(x + 3)2 = 5
得 x + 3 = ，
即 x +3 = ① 或 x +3 = ②
∴ 方程 (x + 3)2= 5 的两个根为
x1 = 3+ ，x2 = 3 ．
一元二次方程
降次
转化思想
一元一次方程
例2
∵方程 x2 =25 得 x =±5.
新知探究
(2) 解方程： 2(2x－1)2－10＝0；
解：移项，得2（2x-1）2=10
二次项系数化为1，得（2x-1）2=5
开平方，得
即 或
所以
例2
新知小结
如何解形式为 (x+m)2=n (其中m，n 是常数)的一元二次方程呢？
用直接开平方法解方程时，要先将方程化为左边是含未知数的完全平方的形式，右边是非负数的形式．对形如 (mx+n)2=p(m≠0，p≥0) 的关于 x 的一元二次方程，把 (mx+n) 看作一个整体，直接开平方降次，得 ，即 ．
知识点二 形如方程（mx+n）2=p（p≥0）的解法
新知练习
2.解下列方程：
（1）(x+5)2=25；
（2）4(x-3)2-32=0．
移项，得 4(x-3)2=32，
二次项系数化为1，得 ，
开平方，得 ，
即 或 ，
所以 ， ．
解：
开平方，得 ，
即 或 ，
所以 x1=0，x2=﹣10．
解：
新知典例
解方程：y2－4y+4＝8；
例3
归纳：解形如(mx+n) =p(p≥0，m≠0)的方程时，先将方程利用平方根性质降次，转化为两个一元一次方程，再求解.
解：整理，得（y-2）2=8
开平方，得
即 或
所以
完全平方公式
新知练习
3. 解方程 （1）4x2 ﹣ 4x+1=4 （2）25x2﹣10x+1=9
解：整理，得（2x-1）2=4
开平方，得 2x-1=±2
即 2x-1=2 或 2x-1=﹣2
∴x1=1.5 或 x2 =﹣0.5
解：整理，得（5x-1）2=9
开平方，得 5x-1=±3
即 5x-1=3 或 5x-1=﹣3
∴x1= 或 x2 =
新知典例
解方程： 4（3x-1）2-9（3x+1）2＝0；
例4
解：整理，得 4（3x-1）2=9（3x+1）2
两边开平方，得2（3x-1）=±3（3x+1）
∴
即2（3x-1）=3（3x+1），或2（3x-1）=﹣3（3x+1）
6x-2=9x+3 ，或6x-2=﹣9x﹣3
∴
整体
思想
{
新知练习
4.解方程 4(2x－1)2＝9(2x＋1)2.
解：整理，得 4（2x-1）2=9（2x+1）2
两边开平方，得2（2x-1）=±3（2x+1）
即2（2x-1）=3（2x+1），或2（2x-1）=﹣3（2x+1）
∴
4x-2=6x+3 ，或4x-2=﹣6x﹣3
∴ ,
课堂总结
开方
求解
变形
将方程化为含未知数的完全平方式＝非负常数的形式；
利用平方根的定义，将方程转化为两个一元一次方程；
解一元一次方程，得出方程的根．
1．直接开平方法解一元二次方程的步骤：
2．两种数学思想：整体思想、转化思想．
课堂练习
1．方程x2－16＝0的根为( )
A．x＝4 B．x＝16
C．x＝±4 D．x＝±8
2．方程x2＋m＝0有实数根的条件是( )
A．m＞0 B．m≥0
C．m＜0 D．m≤0
C
D
课堂练习
3.解方程
(2)2x2＋4＝12；
(1)3x2＝27；
解：x2＝9
∴x1＝3，x2＝－3
解： 2x2＝8
x2＝4
∴x1＝2，x2＝－2
课堂练习
4.解方程
(1)2(x－2)2－6＝0；
(2)x2－2x＋1＝2.
解： (x－2)2＝3
x－2＝±
∴x1＝2＋，x2＝2－
解： (x－1)2＝2.
x－1＝±
∴x1＝1＋，x2＝1－
谢谢
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人教版九年级上册数学21.2.1 直接开平方法教学设计
课题 21.2.1 直接开平方法 单元 第21单元 学科 数学 年级 九
教材分析 本课是人教版九年级上册 21 章第2部分配方法的第1 节直接开平方法。解一元二次方程是中学数学的主要内容之一,在初中数学中占有重要地位。直接开平方法是一元二次方程解法的起始课，直接开平方法是解一元二次方程的基础方法。它的推导建立在平方根意义和开方运算的基础上，它是配方法的基础.
核心素养分析 从复习平方根求解开始导入新课，类比得出直接开平方法，让学生从结合学过的知识得出解决新问题方法的过程中，充分体验类比思想的运用，便于学生在以后的学习、工作、生活中运用类比思想，有利于学生把新问题与已学、已掌握知识进行类比，得出解决新问题的方法，构建、锻炼学生独立思考解决问题的能力。
学习 目标 1．掌握形如 x2=p(p≥0) 型方程的解法． 2．掌握形如 (mx+n)2=p(m≠0，p≥0) 型方程的解法．
重点 掌握形如 x2=p(p≥0) 型方程的解法．
难点 掌握形如 (mx+n)2=p(m≠0，p≥0) 型方程的解法．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
知识回顾 1.只含有1个未知数。并且未知数的最高次数是2。这样的整式方程叫做一元二次方程.。判断一个方程是否是一元二次方程.必须满足①是整式方程:②只含有一个未知数;③未知数的最高次数是2..④二次项系数不能为 0. 2.一元二次方程的一般形式为: ax2+ bx+c = 0（a≠0）.其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项.注意各项系数的符号. 学生回答，检查、巩固已学知识. 上节课的基础概念较多，需要复习、巩固。
导入新课 问题：求出或表示出下列各数的平方根． （1）121；(2) 25 ；(3) 0.81；(4) 0； (5) 3；(6) . 解：（1）121的平方根为±11；（2）25的平方根为±5；（3）0.81的平方根为±0.9；（4）0的平方根为0； （5）3的平方根为±√3；（6）9/16的平方根为±3/4. 学生思考、回顾求一个数的平方根的计算过程。 复习平方根的解法，为类比做铺垫。
讲授新课 问题1:一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？ 解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为6x2dm2， 可列出方程10×6x2=1500， 由此可得x2=25 即x1=5，x2=－5. ∵棱长不能是负值. ∴正方体的棱长为5dm． 对照上面方法，怎样解方程（x+3）2=5 解：我们知道，=5，由此想到: 当（x+3)2=5 ，得 于是，方程（x+3）2=5的两个根为 【新知小结】 知识点一 可化为x2=p（p≥0）型方程的解法 一般的，对于可化为方程 x2 = p, (I) (1)当p>0 时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不等的实数根 ， ； (2)当p=0 时，方程(I)有两个相等的实数根x1=x2=0 (3)当p<0 时,因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程(I) 无实数根 . 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法. 解一元二次方程的思路 把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程 【例1】解方程：(1)x2－36＝0； (2)2y2＝100； (3)16p2－5＝0. 分析：用直接开平方法解一元二次方程，先将方程化成 x2＝p (p≥0)的形式，再根据平方根的意义求解． 解： 用直接开平方法解一元二次方程时，首先将方程化成左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，然后根据平方根的定义求解．当整理后右边为0时，方程有两个相等的实数根． 【新知练习】 1.解下列方程 【例2】（1）解方程：(x + 3)2 = 5 (2) 解方程： 2(2x－1)2－10＝0； 【新知小结】 知识点2 如何解形式为 (x+m)2=n (其中m，n 是常数)的一元二次方程呢？ 用直接开平方法解方程时，要先将方程化为左边是含未知数的完全平方的形式，右边是非负数的形式．对形如 (mx+n)2=p(m≠0，p≥0) 的关于 x 的一元二次方程，把 (mx+n) 看作一个整体，直接开平方降次，得 mx+n=± ，即 x= ． 【新知练习】 2.解下列方程： 【例3】解方程：y2－4y+4＝8； 归纳：解形如(mx+n) =p(p≥0，m≠0)的方程时，先将方程利用平方根性质降次，转化为两个一元一次方程，再求解. 【新知练习】 3. 解方程 （1）4x2﹣4x+1=4 （2）25x2﹣10x+1=9 解：（1）4x2 ﹣ 4x+1=4 整理，得（2x-1）2=4 开平方，得 2x-1=±2 即 2x-1=2 或 2x-1=﹣2 ∴x1=1.5 或 x2 =﹣0.5 （2）25x2﹣10x+1=9 整理，得（5x-1）2=9 开平方，得 5x-1=±3 即 5x-1=3 或 5x-1=﹣3 ∴x1=4/5 或 x2 = 2/5 【例4】解方程： 4（3x-1）2-9（3x+1）2＝0 【新知练习】 4.解方程 4(2x－1)2＝9(2x＋1)2. 学生通过实际问题体会直接开平方法解 x2=p(p≥0) 型方程。 学生总结用公共点的个数来判断直线和圆的位置关系。 学生根据例题和练习总结归纳x2=p（p≥0）型方程的解法。 学生通过所学知识做例题。 学生上台板演，其余学生写在练习本上。 学生在老师的引导下，类比例1解决例2 学生上台板演，其余学生写在练习本上。 在教学中运用类比思想引导学生从导入问题中获得问题1中方程的解法，使学生体验用类比思维解决新问题的过程，培养学生的探索意识和科学精神。 对概念的分析和归纳,培养学生的口头表达能力和语言组织能力,同时渗透类比思想. 教师引导学生总结，为下一个类型方程做好铺垫。 教师注意强调解一元二次方程的基本思路就是降次，将二次降为一次。 通过例题来巩固、强化课堂上所学的知识，并且培养学生综合运用所学的知识和技能解决问题的能力，培养学生的应用意识。 教师和学生一起订正存在的问题，注意解题格式，根据学生熟练程度可以简化步骤。 教师注意强调由“二次”降为“一次”的转化思想。 教师随机批改座位上同学练习并指导，教师带领全班同学批改板演。 强调“降次”为解一元二次方程的主思路. 强调“整体思想”，不要习惯性的去括号。另外注意正负号的添加。
课堂练习 1．方程x2－16＝0的根为( C ) A．x＝4 B．x＝16 C．x＝±4 D．x＝±8 2．方程x2＋m＝0有实数根的条件是( D ) A．m＞0 B．m≥0 C．m＜0 D．m≤0 与学生做练习，教师订正答案。 通过各种题型的练习，进一步提高学生新知掌握程度，使学生的认知结构更加完善。同时强化本课的教学重点，突破教学难点。
课堂小结 本节课你学到了什么？ 1．直接开平方法解一元二次方程的步骤： 2．两种数学思想：整体思想、转化思想． 学生总结本节课所学内容。 充分发挥学生的主体作用，有助于学生在理解新知识的基础上，及时把知识系统化，条理化。
板书 课题：21.2.1 直接开平方法 一、知识点一 可化为x2=p（p≥0）型方程的解法 二、知识点2 解形式为 (x+m)2=n (其中m，n 是常数)的一元二次方程 三、知识点3 解形式为 a(x+m)2=b(x+n)2 (其中a,b,m，n 是常数)的一元二次方程
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