江西省丰城市东煌高级中学校2022-2023学年高一下学期6月月考数学试卷（含解析）

东煌高级中学校2022-2023学年高一下学期6月月考
数学
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．在中，若，则边的长为（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数（为虚数单位），则（ ）
A． B．2 C． D．
3．如图，是上靠近的四等分点，是上靠近的四等分点，是的中点，设，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知，，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
5．已知函数的图象关于直线对称，则下面不是的零点为（ ）
A． B． C． D．
6．设，为坐标原点，若、、三点共线，则的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
7．若向量满足,则的夹角为( )
A． B． C． D．
8．已知函数的相邻两个零点差的绝对值为，则函数的图象可由（ ）
A．函数的图象向左平移个单位长度而得
B．函数的图象向右平移个单位长度而得
C．函数的图象向右平移个单位长度而得
D．函数的图象向右平移个单位长度而得
二、多选题（每小题5分，共20分）
9．已知是锐角，那么下列各值中，能取得的值是（ ）
A． B． C． D．
10．若复数，则下列说法正确的是（ ）
A．在复平面内对应的点位于第四象限 B．
C． D．的共轭复数
11．若点D，E，F分别为的边BC，CA，AB的中点，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．的内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是（ ）
A．斜三角形ABC中，
B．若，，，则有两解
C．若，则一定为直角三角形
D．若，则外接圆半径为
三、填空题（每小题5分，共20分）
13．已知，则________________．
14．已知向量，，则平面向量在向量方向上的投影为________．
15．，且，复数在复平面上对应的点，复平面上的动点的集合所对应区域的面积为______.
16．已知等边 的边长为1，．则 的面积为
四、解答题
17．（10分）已知函数
(1)若α是第一象限角，且，求g（α）的值：
(2)求使成立的x的取值集合；
18．（12分）已知复数，且为纯虚数（是z的共轭复数）.
(1)求m的值；
(2)复数在复平面对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.
19．（12分）已知函数，其中，再从下列①②③三个条件中选择两个作为已知条件：
①；②的最小正周期为；③的图像经过点．
(1)请写出你选择的条件，并求的解析式；
(2)在（1）的条件下，求的单调递增区间．
20．（12分）如图，嘉北郊野公园内一条笔直的公路经过三个微景点，，.后又开发了新观赏园，经测量新观赏园位于微景点的北偏东方向处，位于微景点的正北方向，还位于微景点的北偏西方向上.已知.
(1)求的正弦值.
(2)公园准备由观赏园向景点修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长.（结果精确到）
21．（12分）已知向量，，设，.
（1）求的值；
（2）求夹角的大小.
22．（12分）已知锐角中，角、、所对边为、、，且．
(1)求角；
(2)若，求的取值范围．
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参考答案：
1．B
【分析】利用正弦定理即可.
【详解】因为，
所以由正弦定理得：
，
故选：B.
2．C
【分析】利用复数的除法运算求出z，根据复数的乘方求出，结合复数的求模公式计算即可得出结果.
【详解】由题意知，
，
所以，
所以，
故选：C
3．C
【分析】根据平面向量基本定理，结合向量线性运算求解即可.
【详解】因为是上靠近的四等分点，是上靠近的四等分点，是的中点，
所以.
故选：C.
4．B
【分析】首先根据正弦两角和差公式得到，再利用同角三角函数的商数关系求解即可.
【详解】由题知：
，解得，
所以.
故选：B
5．C
【分析】根据正弦函数的对称性可得的值，根据零点的定义将选项逐个代入即可得结果.
【详解】由题意得，
所以
代入选项验证可知.都是函数的零点，不是函数的零点，
故选：C.
6．D
【分析】根据题意首先求出和的坐标，再根据两个向量共线的性质得到，然后结合所求的式子的结构特征利用基本不等式求出其最小值．
【详解】解：由题意可得：，，，
所以，．
又、、三点共线，
，从而 ，
可得．
又，
，当且仅当，即，时取等号，故的最小值是8．
故选：D．
7．D
【分析】由向量垂直有，求出、，进而求解向量的夹角即可.
【详解】由题设，，即，
所以，则，又，
故的夹角为.
故选：D
8．B
【分析】由三角恒等变换得，进而根据题意得，进而根据三角函数平移变换即可得答案.
【详解】 ，
因为函数的相邻两个零点差的绝对值为，
所以函数的最小正周期为，所以，
，而，
故的图象可由的图象向右平移个单位长度而得.
故选:B.
9．AC
【分析】由于，，，所以由正弦函数的性质可得，，从而可得答案
【详解】解：因为，
又是锐角，所以，，
可得，，
可得，．
可得，，，．
故选：AC．
10．AD
【分析】根据复数的几何意义、复数模的公式、复数的四则运算及共轭复数的定义求解即可.
【详解】由，
在复平面内对应的点为，位于第四象限，故A正确；
，故B错误；
，故C错误；
的共轭复数，故D正确.
故选：AD.
11．ABC
【分析】根据题意，结合平面向量的线性运算，依次求解即可.
【详解】A：在中，，故A正确；
B：，故B正确；
C： ，故C正确；
D：，故D错误.
故选：ABC.
12．ABC
【分析】利用两角和的正切公式以及三角形的内角和性质可判断A；利用余弦定理可判断B；利用正弦定理的边角互化可判断C；利用余弦定理以及正弦定理可判断D.
【详解】A，斜三角形ABC中，
，故A正确；
B，由余弦定理可得，所以，
整理可得，，此方程有两个解，故B正确；
C，
，所以或（舍），
整理可得，所以一定为直角三角形，故C正确；
D，由余弦定理可得，
所以，
正弦定理可得，解得，故D错误.
故选：ABC
13．
【分析】由条件解出，进而求得.
【详解】由，解得，所以．
故答案为：-3.
14．3
【详解】根据平面向量数量积的坐标表示可得，根据向量的几何意义可得，结合投影向量的概念计算即可求解.
由题意知，
，，
所以向量在向量上的投影为.
故答案为：3.
15．
【分析】由复数与复平面的关系，可确定复平面的点在第一象限的单位圆上，再结合面积公式即可求解.
【详解】设，，则，且，，故所对应的区域为个单位圆，面积为
故答案为：
【点睛】本题考查复数与复平面的关系，复数的几何意义，属于基础题
16．
【分析】建立直角坐标系，求出的坐标，得出的大小，设的夹角为，则可以求出点到直线的长度为，从而得出的面积.
【详解】以的中点为原点，所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则，
因为,
所以，
故，
，，
设的夹角为，
，
所以，，
点到直线的长度为，
的面积为.
故答案为：
17．(1)
(2)或.
【解析】(1)
，
因为，故，而是第一象限角，故.
而.
(2)
即为即，
故或，故或.
故的解集为：或.
18．(1)3
(2)
【分析】（1）先化简复数为，再根据为纯虚数求解；
（2）先化简复数，再根据复数在复平面对应的点在第一象限求解.
(1)
解：因为复数，
所以，
则，
因为为纯虚数，
所以，解得；
(2)
复数，
因为复数在复平面对应的点在第一象限，
所以，解得.
19．(1)条件选择见详解，
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换化简得出，
选择①②，由可求得的值，再由正弦型函数的周期公式可求得的值，进而得出的解析式；
选择②③，由正弦型函数的周期公式可求得的值，再由可求得的值，进而得出的解析式；
选择①③，由可求得的值，再由结合可求得的值，进而可得的解析式；
（2）解不等式可得出函数的单调递增区间．
【详解】（1）依题意有
，
选择①②，
因为，所以，
又因为的最小正周期为，所以，
所以；
选择②③，
因为的最小正周期为，所以，所以，
又因为， 所以，
所以；
若选择①③，
因为，所以，所以，
又因为，所以，
所以，又，所以，
所以．
（2）依题意，令，
解得，
所以的单调递增区间．
20．(1).
(2)约 .
【分析】（1）根据已知条件，在△中应用正弦定理即可求的正弦值.
（2）过作，交延长线于点，易知：、，进而求出、，最后由即可确定所修公路的长.
(1)
由题设，易知：，若，
在△中，，又，
∴，故的正弦值为.
(2)
由题设，观赏园向景点修建一条笔直的公路为，
如下图，过作，交延长线于点，
∴，故，
又，即，可得，
∴，
综上，，故观赏园向景点修建一条笔直的公路长约为 .
21．（1）；（2）.
【分析】（1）由平面向量模长的坐标运算可直接求解得到结果；
（2）利用平面向量坐标运算求得，和；利用平面向量数量积的运算律可求得，和，由向量夹角公式可求得结果.
【详解】（1），
；
（2）由题意得：，，，
，
，
，
，又，.
22．(1)
(2)
【分析】（1）利用两角和的正切公式及诱导公式计算可得；
（2）利用正弦定理将边化角，再转化为关于的三角函数，根据的取值范围及正弦函数的性质计算可得.
（1）
解：因为，所以，
所以，从而，
即，
所以，因为，所以．
（2）
解：因为，，由正弦定理，有
所以，，
所以，
又因为为锐角三角形，
所以，即，所以，
所以，从而的取值范围为．