2022-2023学年下学期湖南省三市教研高一期中（5月）联考数学试卷（含解析）

2022-2023学年下学期湖南省湘潭市、衡阳市、邵阳市三市教研期中联考（5月）
高一数学试卷
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知复数满足，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2. 已知，，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
3. 已知正六边形中，( )
A. B. C. D.
4. 设，，，则( )
A. B. C. D.
5. 如图，水平放置的的斜二测直观图是图中的，若，，则的面积为( )
A. B. C. D.
6. 函数的零点所在区间为( )
A. B. C. D.
7. 若为锐角三角形，则( )
A. B.
C. D.
8. 已知直线和是曲线的两条对称轴，且函数在区间上单调递减，则的值是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知函数，则( )
A. 是的周期 B. 的图象关于对称
C. 在上单调递增 D. 的值域为
10. 在平行四边形中，，，点是的三边上的任意一点，设，则下列结论正确的是( )
A. ， B. 当点为中点时，
C. 的最大值为 D. 满足的点有且只有一个
11. 下列关于复数知识的论述，错误的有( )
A.
B. 方程在复数范围内无根
C. 对任意，，，有
D. 在复数集内因式分解的结果是
12. 水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时秒，经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，则下列叙述正确的是( )
A. ，，
B. 当时，点到轴的距离的最大值为
C. 当时，函数单调递减
D. 当时，
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 已知函数，则下列结论中正确的个数为 填写所有正确结论的序号
为偶函数的一个周期为在上单调递减的值域为．
14. 若，则向量在向量上投影向量的坐标为 ．
15. 已知函数，若，恒成立，则实数的取值范围是 ．
16. 平面向量与的夹角为，，，则 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知
若角的终边过点，始边为非负半轴，求
若，分别求和的值．
18. 本小题分
已知是同一平面内的三个向量，其中．
若，且，求的坐标；
若，且与垂直，求与的夹角．
19. 本小题分
已知复数，其白，为实数且
若，求
若为纯虚数，且，求的取值范围．
20. 本小题分
年湖南省油菜花节，益阳市南县罗文村湖南省首个涂鸦艺术村通过层层遴选，最终在全省个申办村庄中脱颖而出，取得了此次活动的会场承办权，主办方为了让油菜花种植区与观赏路线布局最优化、合理，设计者们首先规划了一个平面图如图．
已知：，，，四点共圆，，，，，其中，不计宽度是观赏路线，与是油菜花区域．
求观赏路线的长度
因为场地原因，只能使，求区域面积的最大值．
21. 本小题分
对于函数，，若存在实数使得函数，那么称函数为，的积函数．
设函数，，，试判断是否为，的积函数若是，请求出的值若不是，请说明理由
设函数其中，，，且函数图象的最低点坐标为，若函数，是，的积函数，且对于任意实数，恒成立，求实数的取值范围．
22. 本小题分
在
向量与平行，这三个条件中任选一个，补充在下
面题干中，然后解答问题．
已知内角，，的对边分别为，，，且满足__________．
求角
若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分
答案和解析
1.【答案】
【解析】，
．
则复数的虚部为．

2.【答案】
【解析】因为，，且，
所以，
当且仅当，即时等号成立．
故选D．

3.【答案】
【解析】如图，设正六边形的中心为，则，，所以．
故选D．

4.【答案】
【解析】根据对数函数在定义域内为单调递增可知，即
，由三角函数单调性可知
利用指数函数为单调递增可得
所以，故选：

5.【答案】
【解析】在中，由，
得，
所以，则，
由斜二测直观图可推出中，，，
故的面积为．
故选：．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了判断函数零点所在区间，涉及指数函、对数函数的性质，属中档题．
【解答】
解：因为函数在上单调递减，
函数在上单调递减，
所以在上单调递减．
当时，恒成立，
，，，
因为，所以．
又，所以，
所以，
的零点所在区间为．

7.【答案】
【解析】因为与的大小关系不明确，故而无法判断与的大小，故A，B错误
因为为锐角三角形，所以，则，
所以，即，
所以，，故C错误，D正确．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查的图象和性质，属于中档题．
根据函数的对称轴和单调性可得，从而求得的值．
【解答】
解：由在上单调递减，且是函数的一条对称轴可知是最小值，
由两条对称轴直线和，
可知也是对称轴，且，故．
又，解得，故选：．

9.【答案】
【解析】因为，
所以为奇函数，
因为，
，
所以不是的周期，是的周期，项错误；
因为，
所以的图象关于直线对称，项正确；
考虑在上，
作出函数的图象，如图，
结合解析式与图象可知、项正确．
故选BCD．

10.【答案】
【解析】如图，建立直角坐标系，其中
设点，则，
由，
，A正确，
对于，当点为中点时，，，B正确；
对于，，
，当时，取得最大值为，C正确
对于，由令，
满足条件的点不只有一个，D错误．
故答案为．
11.【答案】
【解析】与不能比较大小，故选项A错误；
方程在复数范围内有根，故选项B错误；
复数的加法运算满足结合律，所以对任意，，，有，选项C正确；
在复数集内因式分解的结果是，选项D错误．
故选ABD．

12.【答案】
【解析】因为在圆上，
所以圆的半径，
又，
所以，
又，
所以，
所以，
所以A正确
当时，，所以时，取得最大值，所以B正确
当时，，此时函数不单调，所以C错误
当时，，此时， ，所以D正确．
故选ABD．

13.【答案】
【解析】由条件易知，所以为偶函数，正确
因为，，，故不是的周期，错误
当时，，所以，，
从而可知在上单调递减，正确
当时，，所以，
当时，，，
又易知是的周期，故的值域为，正确．
综上所述，正确的结论为．

14.【答案】
【解析】由可得，
所以向量在向量方向上的投影向量的坐标为：
故答案为：．

15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查一元二次不等式的恒成立问题，属于中档题．
【解答】
解：，，，
在上递减，，．

16.【答案】
【解析】由题意得，，
．

17.【答案】解：
，
因为角的终边过点，
所以，
所以；
因为，所以，解得，
所以，
．
18.【答案】解：设，
因为，又，所以，
又，所以，
由联立，解得或
所以或；
因为，
所以，
又，解得，
所以，
又，解得，
所以与的夹角．

19.解：，
即解得或，
故或
，
为纯虚数，且，
，
即，
又，，，
即的取值范围为．
20.【答案】解：，，，四点共圆，，，
又，．
在中，由正弦定理得，
，，，
在中，由余弦定理可知，，
即，解得，
故AD
在中，，
，
在中，由余弦定理有，
当且仅当时取“”，
．

21.【解析】因为
，
，所以是、的积函数，且
由题意可得，
因为函数图象的最低点坐标为，
由基本不等式得，
当且仅当，即当时，等号成立，则解得
所以，
，
令，，
由对勾函数的单调性知，函数在上单调递减，
则，所以，
因此，实数的取值范围为．
22.解：若选择由及正弦定理可得，
即，
由余弦定理得，
．
若选择由及正弦定理得，
即，整理得，
，，可得．
若选择由可得，
，
，可得．
由已知及余弦定理可得
，
由为锐角三角形可得且，
解得
所以：面积
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