2022-2023学年陕西省宝鸡市重点中学高二（下）期中数学试卷（理科）（含解析）

2022-2023学年陕西省宝鸡市重点中学高二（下）期中数学试卷（理科）
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共60分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. ( )
A. B. C. D.
2. 用反证法证明命题：“若，，，，，，且，则，，，中至少有一个负数”的假设为( )
A. ，，，中至少有一个正数 B. ，，，全都为正数
C. ，，，全都为非负数 D. ，，，中至多有一个负数
3. 已知，则在的展开式中，含的系数为( )
A. B. C. D.
4. 在的展开式中，的系数为( )
A. B. C. D.
5. 函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
6. 函数的图象如图所示，则下列数值排序正确的是( )
A. B.
C. D.
7. 两个女生和四个男生排成一排，其中两个女生必须排在一起的不同排法有几种( )
A. B. C. D.
8. 设函数，则( )
A. B. C. D.
9. 设复数，则( )
A. B. C. D.
10. 已知为虚数单位，为的共轭复数，则复数在复平面内对应的点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
11. 若存在，使得关于的不等式成立，则实数的最小值为( )
A. B. C. D.
12. 若实数，，，且满足，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 已知复数其中为虚数单位，则复数 ______ ．
14. 德国数学家科拉茨年提出了一个著名的陦想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半即如果是奇数，则将它乘加即不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到对于科拉茨猜想，目前既也不能证明，也不能否定现在请你研究：如果对正整数首项按照上述规则施行变换后的第项为注：可以多次岕现，则的所有不同值的个数为______ ．
15. 已知函数，，其中为实数，为的导函数，若，则的值为______．
16. 某商场从生产厂家以每件元购进一批商品，若该商品零售价为元，销量单位：件与零售价单位：元有如下关系：，则该商品零售价定为______ 元时利润最大，利润的最大值为______ 元
三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知二项式的展开式中共有项．
求展开式的第项的二项式系数；
求展开式中的常数项．
18. 本小题分
已知复数：，．
若复数满足，求；
在复平面内，为原点，向量，，分别对应复数，，，且与同向，，求．
19. 本小题分
由数字、、、、、组成无重复数字的六位数，求：
六位偶数的个数；
求三个偶数互不相邻的六位数的个数；
求恰有两个偶数相邻的六位数的个数；
奇数字从左到右，从小到大依次排列的六位数的个数．
20. 本小题分
已知函数，．
当时，求函数的极值；
当，求在上的最大值．
21. 本小题分
如图，三棱锥，，，，平面平面，点为的中点．
若，求直线与平面所成角的正弦值
若，求的长．
22. 本小题分
已知函数，其中．
若在内为减函数，求实数的取值范围；
求函数在上的最大值．
答案和解析
1.
【解析】解：由题意可得：．
故选：．
2.
【解析】解：“，，，中至少有一个负数”的否定为“，，，全都为非负数”，
由用反证法证明数学命题的方法可得，应假设“，，，全是非负数”，
故选：．
3.
【解析】解：，
表示个因式的乘积，
在这个因式中，有个因式选，其余的个因式中有一个选，剩下的两个因式选，即可得到含 的项，
故含的项系数是
故选：．
4.
【解析】解：的展开式中，的系数为．
故选：．
5.
【解析】解：根据极值点定义，在极值点处导函数为，且在极值点左右两侧单调性性不同，
当导函数先负后正的时候函数有极小值点，观察图象可知函数有个极小值点．
故选：．
6.
【解析】解：由图象可得在递增，在递减，在递增，
即有，，即；
而表示两点，的斜率，且为，
又为点处的切线的斜率，
两点，的斜率为，由图象可得点处的切线的斜率小于，
所以．
故选：．
7.
【解析】解：因两个女生要排在一起，所以将两个女生视为一个人，
第一步，将两个女生的整体与其余四个男生进行全排列，有种不同排法．
第二步，对于其中的每一种排法，两个女生之间有种不同排法．
由分步计数原理可知共有种不同排法．
故选：．
8.
【解析】解：函数，
所以；
故．
故选：．
9.
【解析】设，则，
所以由，得，
所以，
所以，
所以，，
所以

10.
【解析】设，，则，解得，
于是，
所以复数所在的复平面内对应的点在第二象限，
故选：．
11.
【解析】解：由两边取对数可得，
令，则，
因为，所以，
则不等式可转化为，
又因为，
所以，因为存在，使得关于的不等式成立，
所以存在，成立，故求的最小值即可，
令，，
所以，
令，，
所以，
令，，
所以，
所以在上单调递减，所以，
所以，所以在上单调递减，
所以，
所以，
所以在上单调递减，
所以，
所以，
所以实数的最小值为．
故选：．
12.
【解析】解：由，，，
得，，，令，则，
当时，，当时，，所以在上是增函数，
在上是减函数，于是，即，
又，，所以；，
因为，所以，，，
因此，于是，又，，所以；
令，则，所以在上是增函数，，，即，，，
于是，又，，所以；
综上．
故选：．
13.
【解析】解：，
．
故答案为：．
14.
【解析】解：如果正整数按照上述规则施行变换后第八项为，
则变换中的第项一定为，
变换中的第项一定为，
变换中的第项可能为，也可能是，
变换中的第项可能是，也可能是，
变换中的第项为时，变换中的第项是，变换中的第项是或，变换中的第项是或，
变换中的第项为时，变换中的第项是或，变换中的第项是或，变换中的第项是或或或，
如图得到的反推结果：
故答案为：．
15.
【解析】解：因为，所以，又，所以；
故答案为：．
16.
【解析】解：设该商品的利润为元，由题意知，
，
则，
令得或舍，
当时，，当时，，
因此当时，有最大值，．
故答案为：；．
17.解：由题意可得，
所以展开式的第项的二项式系数为；
二项式的展开式的通项公式为，，，，，
令，则，所以展开式的常数项为．
【解析】由题意求出的值，然后根据二项式系数的性质即可求解；求出展开式的通项公式，然后令的指数为，进而可以求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
18.解：；
，，且与同向，
设，，
，且，，
，
，．
19.解：偶数的个位数字必须是偶数．因而先排个位，满足条件的六位偶数共有个；
先个排偶数，若奇数也不相邻，有种，如有两个奇数相邻，有种，故有种；
用捆绑法，先从三个偶数中选出两个捆绑在一起看作一个偶数，然后排奇数，再从四个空里选两个空插这两个元素，满足条件的恰有两个偶数相邻的六位数共有个；
满足条件的奇数字从左到右从小到大依次排列的六位数共有个．
20.解：当时，，
则，
所以在，上，，单调递减，
在上，，单调递增，
所以，．
因为，所以，
令，得或，
因为，所以，
当时，即时，
在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
所以，
当时，即时，
在上，，单调递减，
所以，
综上所述，时，，
时，．
21.解：取得中点，连接，由于，因此，
又平面平面，又平面平面，平面，
平面．
以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
，，，
则，，
当时，，，
取平面的一个法向量为，
，
设直线与平面所成的角为，
，
直线与平面所成角的正弦值为．
由题意知，
又，，
，．
即，，又，可得，
在中，，，
．
22.．
若在内为减函数，则在内恒成立．
而，在上恒成立．
若，则恒成立．
若，则，
，
综上．
由知当时，在内单调递减，
．
当时，，，
则．
当时，，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
的最大值只能在或处
．
当时，，
．
当时，，
．
当时，，
．
综上，．
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