山东省济南天桥区黄河双语学校2023年5月高一下学期数学月考考试试卷（含答案）

高一下学期数学月考试卷
（满分150分 时间：120分钟）
一.单选题。（共8小题，每小题5分，共40分）
1.已知（1+i）z=3－i，其中i为虚数单位，则=（ ）
A.5 B. C.2 D.
2.已知复数z=（i为虚数单位），则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.如图，正方形O’A’B’C’的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）
A.4 B.6 C.8 D.2+2
（第3题图） （第4题图）
4.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
5.设b，c表示两条直线，α，β表示两个平面，下列命题正确的是（ ）
A.若b∥α，cα，则b∥c B.若bα，b∥c，则cα
C.若c∥α，α⊥β，则c⊥β D.若c∥α，c⊥β，则α⊥β
6.已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，若过直线OP的平面截圆锥所得的截面是面积为4的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（ ）
A.4π B.2π C.4π D.（4+4）π
7.已知圆锥的母线长为10，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为（ ）
A.π B.32π C.16π D.π
8.已知在正方体中，AD1，A1D交于点O，则（ ）
A.OB⊥平面ACC1A1 B.OB⊥平面A1B1CD
C.OB∥平面CD1B1 D.OB⊥BC1
二．多选题.（共4小题，每小题5分，共20分）
9.已知复数z=3+4i，下列说法正确的是（ ）
A.复数z的实部为3 B.复数z的共轭复数为3－4i
C.复数z的虚部为4i D.复数z的模为5
10.如图，点A，B，C，M，N是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足MN∥平面ABC的有（ ）
A. B. C. D.
11.如图，一个圆柱盒一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是（ ）
A.圆锥的侧面积为2πR2 B.圆柱与球的表面积比为
C.圆柱的侧面积与球的表面积相等 D.圆柱与球的体积比为
（第11题图） （第12题图）
12.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF以及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，下列说法正确的是（ ）
A.AG⊥平面EFH B.AH⊥平面EFH C.HF⊥平面AEH D.HG⊥平面AEF
二.填空题。(共4小题，每小题5分，共20分)
13.设复数z=1+2i，（i是虚数单位），则在复平面内，复数z2对应的点的坐标为 .
14.设复数z=+（m2+2m－15）i为实数，则实数m的值是 .
15.如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上下底面以及母线均相切，已知圆柱的底面半径为3，则圆柱的体积为 .
16.已知圆柱的轴截面是正方形，若圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的表面积与球的表面积之比为 .
三.解答题。
17.（10分）求实数m的值或取值范围，使得复数z=m2+m－2+（m2－1）i分别满足：
（1）z是实数.
（2）z是纯虚数.
（3）z是平面中对应的点位于第二象限.
18.(12分)蒙古包是蒙古族牧民的居住一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活，蒙古包古代称穹庐，如图1所示，一个普通的蒙古包可视为一个圆锥和一个圆柱的组合，如图2所示，已知该圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面直径为6米.
（1）求该蒙古包的侧面积.
（2）求该蒙古包的体积.
19.（12分）已知复数z使得z+2i∈R，∈R，其中i是虚数单位.
（1）求复数z的共轭复数.
（2）若复数（z+mi）2在复平面上对应的点在第四象限，求实数m的取值范围.
20.（12分）如图，AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，AD与CE不相等，AC=AD=AB=1，BC=，四棱锥B-ACED的体积为，F为BC的中点，求：
（1）CE的长度.
（2）证明：AF∥平面BDE.
（3）平面BDE∥平面BCE.
21.（12分）已知有正方体ABCD-A1B1C1D1中，截下一个四棱锥E-ABCD，AA1=4，E为CC1的.中点.
（1）求四棱锥E-ABCD的表面积.
（2）求四棱锥E-ABCD的体积与剩下部分的体积之比.
（3）若点F是AB上的中点，求三棱锥C-DEF体积.
22.(12分)已知点O是正方形ABCD两对角线的交点，DE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，且AB=BF=2DE.
（1）求证：EO⊥平面AFC.
（2）试问在线段DF（不含端点）上是否存在一点R，使得CR∥平面ABF，若存在，请指出R的位置，若不存在，说明理由.
答案解析
一.单选题。（共8小题，每小题5分，共40分）
1.已知（1+i）z=3－i，其中i为虚数单位，则=（ B ）
A.5 B. C.2 D.
2.已知复数z=（i为虚数单位），则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（ D ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.如图，正方形O’A’B’C’的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形的周长是（ B ）
A.4 B.6 C.8 D.2+2
（第3题图） （第4题图）
4.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为（ D ）
A. B. C. D.
5.设b，c表示两条直线，α，β表示两个平面，下列命题正确的是（ D ）
A.若b∥α，cα，则b∥c B.若bα，b∥c，则cα
C.若c∥α，α⊥β，则c⊥β D.若c∥α，c⊥β，则α⊥β
6.已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，若过直线OP的平面截圆锥所得的截面是面积为4的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（ A ）
A.4π B.2π C.4π D.（4+4）π
7.已知圆锥的母线长为10，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为（ D ）
A.π B.32π C.16π D.π
8.已知在正方体中，AD1，A1D交于点O，则（ C ）
A.OB⊥平面ACC1A1 B.OB⊥平面A1B1CD
C.OB∥平面CD1B1 D.OB⊥BC1
二．多选题.（共4小题，每小题5分，共20分）
9.已知复数z=3+4i，下列说法正确的是（ ABD ）
A.复数z的实部为3 B.复数z的共轭复数为3－4i
C.复数z的虚部为4i D.复数z的模为5
10.如图，点A，B，C，M，N是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足MN∥平面ABC的有（ AD ）
A. B. C. D.
11.如图，一个圆柱盒一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是（ BCD ）
A.圆锥的侧面积为2πR2 B.圆柱与球的表面积比为
C.圆柱的侧面积与球的表面积相等 D.圆柱与球的体积比为
（第11题图） （第12题图）
12.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF以及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，下列说法正确的是（ BCD ）
A.AG⊥平面EFH B.AH⊥平面EFH C.HF⊥平面AEH D.HG⊥平面AEF
二.填空题。(共4小题，每小题5分，共20分)
13.设复数z=1+2i，（i是虚数单位），则在复平面内，复数z2对应的点的坐标为 （﹣3，4） .
14.设复数z=+（m2+2m－15）i为实数，则实数m的值是 3 .
15.如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上下底面以及母线均相切，已知圆柱的底面半径为3，则圆柱的体积为 54π .
16.已知圆柱的轴截面是正方形，若圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的表面积与球的表面积之比为 .
三.解答题。
17.（10分）求实数m的值或取值范围，使得复数z=m2+m－2+（m2－1）i分别满足：
（1）z是实数.
（2）z是纯虚数.
（3）z是平面中对应的点位于第二象限.
（1）由题意知：
m2－1=0
m=±1
（2）由题意知：
解得m=﹣2
（3）由题意知：
解得m的取值范围是（﹣2，﹣1）
18.(12分)蒙古包是蒙古族牧民的居住一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活，蒙古包古代称穹庐，如图1所示，一个普通的蒙古包可视为一个圆锥和一个圆柱的组合，如图2所示，已知该圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面直径为6米.
（1）求该蒙古包的侧面积.
（2）求该蒙古包的体积.
（1）已知BC=DE=3m，AE=2m，BE=3m，
∴AD==m
圆柱的侧面积：2π×BC×BE=2π×3×3=18π平方米
圆锥的侧面积：×2π×DE×AD=×2π×3×=3π
蒙古包侧面积：（3π+18π）平方米
圆锥的体积：V=Sh=×π×32×2=6π立方米
圆柱的体积V=Sh=π×32×3=27π立方米
蒙古包体积：6π+27π=33π立方米
19.（12分）已知复数z使得z+2i∈R，∈R，其中i是虚数单位.
（1）求复数z的共轭复数.
（2）若复数（z+mi）2在复平面上对应的点在第四象限，求实数m的取值范围.
（1）设z=a+bi
∴z+2i=a+（b+2）i∈R
∴b=﹣2
∴ ==+i∈R
∴=0
解得x=4
∴z=4－2i
∴=4+2i
（2）∵m为实数，
（z+mi）2=（12+4m－m2）+8（m－2）i
∴
解得﹣2＜m＜2
∴m的取值范围是（﹣2，2）
20.（12分）如图，AD⊥平面ABC，CE⊥平面ABC，AD与CE不相等，AC=AD=AB=1，BC=，四棱锥B-ACED的体积为，F为BC的中点，求：
（1）CE的长度.
（2）证明：AF∥平面BDE.
（3）平面BDE∥平面BCE.
（1）∵四边形ABCD为梯形，且平面ABC⊥∥ACED
∵BC2=AC2+AB2
∴AB⊥AC
∵平面ABC∩平面ACED=AC
∴AB⊥平面ACED
VB-ACED=×（AD+CE）×AC×AB=××（1+CE）×1×1=
∴CE=2
（2）取BE的中点G，连接GF，GD，则GF为三角形BCE的中位线。
∴GF∥EC∥DA GF=CE=DA
∴四边形GFAD为平行四边形，
∴AF∥GD
GD平面BDE，AF 平面BDE
∴AF∥平面BDE
（3）∵AB=AC,F为BC的中点
∴AF⊥BC
∵GF⊥AF，BC∩GF=F，
∴AF⊥平面BCE
∴平面BDE∥平面BCE
21.（12分）已知有正方体ABCD-A1B1C1D1中，截下一个四棱锥E-ABCD，AA1=4，E为CC1的.中点.
（1）求四棱锥E-ABCD的表面积.
（2）求四棱锥E-ABCD的体积与剩下部分的体积之比.
（3）若点F是AB上的中点，求三棱锥C-DEF体积.
（1）四棱锥的表面是由正方形ABCD和四个直角三角形围成.
△ABE和△ADE全等，△BCE和△DCE全等.
SABCD=22=4 S△BCE=×2×1=1
BE==
S△ABE=×2×=
∴S=4+2×1+2×=6+2
（2）∵EC为四棱柱E-ABCD的高，且EC=1
∴V=×SABCD×EC=×4×1=
正方体体积为23=8
VE-ABCD：V1=:8=1:6
∴VE-ABCD：V剩余=1：5
（3）S△CDF=S△ABCD=2，其中CE⊥平面ABCD
∴VC-DEF=×2×1=
22.(12分)已知点O是正方形ABCD两对角线的交点，DE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，且AB=BF=2DE.
（1）求证：EO⊥平面AFC.
（2）试问在线段DF（不含端点）上是否存在一点R，使得CR∥平面ABF，若存在，请指出R的位置，若不存在，说明理由.
连接FO，设AB=BF=2DE=2a
则DO=OB=a
∴OE=a，FO=a，EF=3a，在△EOF中，由EO2+FO2=EF2，
∴EO⊥OF
又DE⊥平面ABCD，
∴DE⊥AC，而BD⊥AC
∴AC⊥平面DOE，故AC⊥EO
∴EO⊥平面AFC
（2）找不到这样的R，使得CR⊥平面ABF。