绝密★启用前 C． sin14 cos16 sin 76 cos74 D． tan 20 tan 25 tan 20 tan 25
德州一中高一年级 6 月份阶段测试 6．如图所示，在直三棱柱 ABC - A1B1C1中，棱柱的侧面均为矩形， AA1 1，
1
数学试题 AB BC 3，cos ABC ，P是 A1B上的一动点，则 AP PC1的最小值为（ ）3
考试时间：120 分钟 2023.06 A． 3 B．2 C． 5 D． 7
注意事项： 7．如图，四面体各个面都是边长为 1的正三角形，其三个顶点在一个圆柱的下底
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 面圆周上，另一个顶点是上底面圆心，圆柱的侧面积是（ ）
2．请将答案正确填写在答题卡上 A 2 B 3 2 C 2 2 2． ． ． D．
3 4 3 2
第Ⅰ卷：选择题（共 60 分）
8．已知 f x 2 3 sinwx coswx 2cos 2wx π，（w 0），若函数在区间 ,π 内不存
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 2
在对称轴，则w的范围为（ ）
是符合题目要求.
0, 1 1 , 3 0, 1 2 , 3
1 1 2 1 2 5
a 1,m 2a b //b m A． B． C．1 6 3 4 3 3 4 0, 6 , D．3 3 0, ,．已知向量 a、b满足 ，b （2， 1），且 ，则 （ ） 3 3 6
1
A 2 B C 1． ． ． 2 D． 22 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
2 2022
| 3 4i |
．若复数 z i ，则 z 的虚部为（ ） 目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
3 4i
4
4 2 2A B C i D i 9．在 ABC中，若 a b : a c : b c 9 :10 :11，下列结论中正确的有（ ）． ． ． ．
5 5 5 5
A． sin A : sin B : sinC 4 :5 : 6 B． ABC是钝角三角形
3．在△ABC中，内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，△ABC的面积为 2 3，B ，a2 c2 3ac，3
C． ABC 2 D c 6 ABC 8 7的最大内角是最小内角的 倍 ．若 ，则 外接圆的半径为
则 b=（ ） 7
10．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也作陀罗，闽南语称作“干乐”，北方叫作“冰尜（gá）”
A． 2 2 B．2 3 C．4 D．4 2
或“打老牛”．传统古陀螺大致是木制或铁制的倒圆锥形．现有一圆锥形陀螺（如图所示），其底面
4．已知 l是直线， , 是两个不同平面，下列命题中的真命题是（ ）
半径为 3，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点 S滚动，当圆锥在平面内转回原位
A．若 l // , l // ，则 // B．若 , l // ，则 l
置时，圆锥本身恰好滚动了 3周，则（ ）
C．若 l , l // ，则 D．若 l // , // ，则 l //
A．圆锥的母线长为 9 B．圆锥的表面积为36
5 1．下列各式化简结果为 2 的是（ ） C．圆锥的侧面展开图（扇形）的圆心角为60 D．圆锥的体积为12 2π
A．1 2cos2 75 B． sin15 cos15
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11．如图，正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1，线段 B1D1上有两个动点 E，F ，且 EF
1
，则下 18．（12 分）已知向量 a (1,2)，b 2,5 ， c 2a tb t R ．2
列结论中正确的是（ ） (1)若 c b，求 t的值；
A． AC AF
(2)若 c与 a的夹角为锐角，求 t的取值范围．
B．EF∥平面 ABCD
19．（12 分）如图，在四棱锥P ABCD中，底面 ABCD是平行四边形， PA AB，点 E是 PB的
C．三棱锥 A BEF 的体积为定值
中点.
D．△AEF 的面积与△BEF的面积相等
(1)求证： PD∥平面 EAC；
12．如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 P在线段 BC1上运动时，下列命题正确的是（ ）
(2)若PC AD 2， PA AB 1， APC ，求点 P到平面 AEC的距离.
A．三棱锥 A D 31PC的体积不变
B．直线 CP与直线 AD1的所成角的取值范围为 , 4 2 20．（12 分）如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1中， AB BC，
C．直线 AP与平面 ACD1所成角的大小不变
AA AB BC 2， 为线段 AB的中点
D．二面角 P AD C E 1 .1 的大小不变 1
第Ⅱ卷：非选择题（共 90 分） (1)求证：平面 BEC1 平面 AB1C1；
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分
(2)求直线 EC1与平面 BB1C1C所成角的正切值.
π x
13．函数 y tan 的最小正周期为___________．
5 3 π21．如图所求扇形OPQ的半径为 1，圆心角为 ，C是扇形弧上的动
a b c 3
14．在△ABC中，a，b，c分别是角 A，B，C的对边，若 A 60 ，a 3，则 ______．sin A sin B sinC 点， ABCD是扇形的内接矩形，记 COP .
15．已知三棱锥 P ABC的体积为 6，且 PA 2PB 3PC 6 .则该三棱锥外接球的表面积为______.
(1)当 AB 3BC时，求 tan 2 的值；
16．如图，已知正方形 ABCD的边长为 2，点 P是半圆O上一点（包括端点A，D），
(2)记矩形 ABCD的面积为 f ( )，求 f ( )最大值，并求此时 的值.
则 PA PB的取值范围是________.
22．如图，在三棱柱 ADP BCQ中，侧面 ABCD为矩形．
四、解答题：本小题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(1)设 M为 AD中点，点 N在线段 PC上且 NC 2PN，求证： PM∥平面 BDN；
17.（10 分）如图，在圆内接四边形 ABCD中， B 120 ，AB 2，AD 2 2， ABC的面积为 3 .
5
(1)求 AC； (2)若二面角Q BC D的大小为 ， , ，且 AD cos AB 4 6
，
(2)求 ACD . 求直线 BD和平面 QCB所成角的正弦值的取值范围.
第 3页 共 4页 ◎ 第 4页 共 4页参考答案 2023.06
k k k 1
一、单选题 1．B 2．A 3．C 4．C 5．C 6．D 可得函数的对称轴为 x 3 k Z ，由题意知， 3 且 3 ，≤ ≥
2w 2w 2 2w
【详解】连接 BC1，得V A1BC1，以 A1B所在直线为轴，将V A1BC1所在 k 1 3k 4 1 3k 4 2即 ≤w≤ ， k Z ，若使该不等式组有解，则需满足 k ≤ ，即 k ，又w 0，
3 6 3 6 3
平面旋转到平面 ABB1A1， 3k 4 1 1 2
故0≤ ，即 k
4 4 2
，所以 k≤ ，又 k Z ，所以 k 0或 k 1 ，所以w 0, , ．6 3 3 3 6 3 3
设点C1的新位置为C ，连接 AC ，则有 AP PC1 AP PC AC ，如 9．ACD 10．AB 11．BC 12．ABD
图，当 A,P,C 三点共线时，则 AC 即为 AP PC1的最小值. 13． 3π 14．2 15． 49π 16． 0,2 2 2
1
在三角形 ABC中， AB BC 3， cos ABC ， 【详解】以O为原点，OD为 x轴，建立直角坐标系，
3
正方形 ABCD的边长为 2，所以半圆O的半径为1，
由余弦定理得：
则 P cosθ,sinθ ， 0, ， A 1,0 B 1, 2
AC AB 2 BC 2
， ，
2AB BC cosB 3 3 1 2 3 2 ,
3
所以 PA 1 cos , sin ， PB 1 cos , 2 sin AC 2 AC 2 ，所以 1 1 ，即 1 ,
A AB PA PB 1 cos
2 sin 2 sin
在三角形 1 中， AA
1 1， AB 3，
2 2cos 2sin 2 2 sin
2，因为 0, ，所以
5
2 2 AA B 60
, ，由勾股定理可得： A 1B AA1 AB 1 3 2 ,且 1 . 4 4 4 4
2
同理可求：C1B 2，因为 A1B BC1 A1C1 2， 所以 sin ,1 ，所以 PA PB 0, 2 2 2 故答案为： 0,2 2 2 4 2
所以V A1BC1为等边三角形，所以 BA1C1 60 ， 解答题只给出了详细解答过程，评分标准由两区组内老师们商议给出
所以在三角形 AA1C 中， AA1C AA1B BA1C 120 , AA1 1, A1C 2 , 17．(1) 2 3 (5 分) (2) 45 (5 分)
1
1 【详解】（1）因为 ABC的面积为 3，所以 AB BC sin B 3 .
由余弦定理得： AC 1 4 2 1 2 2
7. 2
又因为 B 120 ， AB 2，所以 BC 2 .
故选：D.
由余弦定理得， AC 2 AB2 BC 2AB BC cos B，
7．C 8．C
AC 2 22 22 2 2 2cos120 12，所以 AC 2 3 .
【详解】函数化简得 f x 3 sin 2wx cos 2wx 1 2sin 2wx
6
1，
（2）因为 ABCD为圆内接四边形，且 B 120 ，所以 D 60 .又 AD 2 2，由正弦定理可得，
由 2wx
k k Z ，
6 2 AD AC sin ACD AD sin D ，故 2 2 sin 60 2 .因为 AC AD，所以
sin ACD sin D AC
2 3 2
1
0 ACD 60 ，所以 ACD 45 . 2 2 2 1由余弦定理得 AC PA PC 2PA PC cos APC 1 4 2 1 2 3，
2
16 5 , 0 18．(1) (2) (0, )29 4 所以 AC 3，所以 PA2 AC 2 PC 2，所以PA AC，
【详解】（1）因为 a (1,2)，b 2,5 ， c 2a tb t R ， 又因为 PA AB， AB AC A， AB 平面 ABCD， AC 平面 ABCD，
所以 c 2(1, 2) t( 2,5) (2 2t, 4 5t)， 所以 PA 平面 ABCD.
c b 在 ABC中， AB 1， BC 2， AC 3，所以 AB
2 AC 2 BC 2，所以 AB AC，
因为 ，所以 c b （2 2 2t） 5(4 5t) 0，
t 16
所以 S 1 AB AC 3 1 1 3 3△ABC ，所以VP ABC S△ABC PA 1 .解得
29 2 2 3 3 2 6
1 3
（2）因为 c与 a的夹角为锐角， 因为点 E是 PB的中点，所以VP ACE V2 P ABC
.
12
所以 c a 0，且 c与 a不共线， 因为 PA AB，且 E是 PB的中点， PA AB 1，所以 AE 1 2 PB .
2 2
由 c a 0，得 2 2t 2(4 5t) 0，解得 t
5
，
4 因为 AC AB，PA AC， PA AB A，
2 2t 4 5t
当 c与 a共线时， ，解得 t 0， 又因为 AB 平面 ABP， PA 平面 ABP，所以 AC 平面 ABP，1 2
5 因为 AE 平面 ABP 1 6，所以 AC AE，所以 S△ABC AC AE ，所以当 t 且 t 0时，
4 c
与 a的夹角为锐角， 2 4
1
5 ,0 令点 P到平面 ACE的距离为 h，则
S△AEC h VP ACE ，
所以所求的 t的取值范围为 4
(0, ) 3
1 6 3 2
2 即 h ，即 h .19．(1)证明见解析 (2) 3 4 12 2
2
5
（1）证明：连结 BD交 AC于点 O，连接 EO. 20．(1)证明见解析(2) 5
【详解】（1）证明：在直三棱柱 ABC - A1B1C1中，
BB1 平面 ABC，所以 BB1 BC .
又因为 AB BC， AB BB1 = B， AB 平面 ABB1A1， BB1 平面 ABB1A1，
所以 BC 平面 ABB1A1 .因为 BE 平面 ABB1A1，所以 BC BE .
又因为 BC∥B1C1，所以 B1C1 BE .
显然，O为 BD的中点，又因为 E为 PB的中点，所以 EO∥PD .
又因为 PD 面 EAC， EO 面 EAC，所以 PD∥平面 EAC； 因为 AB AA1 BB1，E为线段 AB1的中点，
（2）在△PAC中， PA 1， PC 2， APC ， 所以 BE AB1 .因为 B1C1 AB1 B1， AB1 平面 AB1C1，B1C1 平面 AB1C1，3
2
所以 BE 平面 AB1C1 , （2） BC sin ,AB OB OA cos
sin
，
3
又 BE 平面 BEC1，所以平面 BEC1 平面 AB1C1 .
S sin cos sin 所以 sin cos
1
sin 2 1 sin 2 1 1 cos 2
3 3 2BB 2 3（2）取 1的中点 F，连接 EF， FC1，
1 sin 2 3 cos 2 3 1 sin 2 π 3
2 6 6 3 6 6
π π π 3
所以当 2 2kπ 0 ，即 ， ．6 2 3 6
f max 6
则 EF∥AB, AB BC，所以 EF BC .
因为在直三棱柱 ABC - A1B1C1中 BB1 AB，所以 EF BB1，
7 ,1
又因为 BC BB1 B，BC 平面 BB1C1C， BB1 平面 BBCC
22．(1)证明见解析； (2) .
1 1 ， 7
所以 EF 平面 BB1C1C .所以 EC1F 为直线EC1与平面BB1C1C所成的角. (1)连接 MC交 BD于 E，连接 NE，
因为 AA1 AB BC 2，所以EF 1， B1C1 2， B1F 1，
所以 FC1 2
2 12 5 .
因为 EF 平面 BB1C1C， FC1 平面 BB1C1C，所以 EF FC1，
所以 tan EC F
EF 5
1 ，FC1 5
所以直线 EC1与平面 BB1C1C
5
所成角的正切值为 .
5 因为侧面 ABCD为矩形，
21．(1) tan 2 8 3 (2) π ，f 3 所以 AD∥BC，又 M为 AD中点，
13 6 max 6 EC BC
所以 2，
tan BC BC 3 EM DM
【详解】（1）OA 3 BC，所以 OB 3 4 ，
3 BC 3BC
3 又因为 NC 2PN，
2 tan 8 3 CN CE
所以 tan 2 ． 所以 2．
1 tan2 13 NP EM
3
所以 PM∥NE，又 PM 平面 NBD， NE 平面 NBD，
所以 PM∥平面 BDN．
(2)在平面 QBC中，过点 C作射线CF BC，
因为底面 ABCD为矩形，所以 BC CD，
所以 DCF 为二面角Q BC D的平面角，且 DCF ．
又CF CD C，所以BC 平面 CDF，
在平面 DCF中，过点 D作DG FC，垂足为 G，
因为BC 平面 DCF，DG 平面 DCF，
所以DG BC，又 BC FC C，BC 平面 BCQ，FC 平面 BCQ，
所以DG 平面 BCQ，
于是 DG为点 D到平面 BCQ的距离，且DG DC sin ，
设直线 BD和平面 PAD所成角为 ，
DG ABsin sin 2 5
则 sin 1， ,BD ，AB2 AD2 1 cos2 1 cos 2 4 6
由
5 3 2 2 3 , ，可得 cos , , cos 0, ， 4 6
2 2
4
2 1 1
∴ ,1 ,
2
1 7 ,1
1 cos 2 7 1 cos 2
7
7
所以直线BD和平面PAD所成角的正弦值的取值范围是 ,17
4
