课件35张PPT。选修2-3第一章：计数原理第二章：随机变量及其分布第三章：统计案例第一章：计数原理1.1：分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.2：排列与组合1.3：二项式定理两个计数原理完成一件事，共有n类办法，关键词“分类”区别1完成一件事，共分n个步骤，关键词“分步”区别2区别3每类办法都能独立地完成这件事情，它是独立的、一次的、且每次得到的是最后结果，只须一种方法就可完成这件事。每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事。各类办法是互相独立的。各步之间是互相关联的。1.2：排列与组合排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。用符号 表示.排列数公式：其中：1.2：排列与组合组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号 表示.组合数公式：其中：组合数性质：判断一个具体问题是否为组合问题,关键是看取出的元素是否与顺序有关,有关就是排列,无关便是组合.判断时要弄清楚“事件是什么”.排列组合典型例题排列组合应用题的常用方法1、基本原理法2、特殊优先法3、捆绑法4、插空法 5、间接法6、穷举法 1．对有约束条件的排列问题，应注意如下类型：
⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置；⑵某些元素要求连排（即必须相邻）；⑶某些元素要求分离（即不能相邻）；2．基本的解题方法：
（１）有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优先法）；特殊元素,特殊位置优先安排策略（２）某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”；相邻问题捆绑处理的策略（３）某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法”；不相邻问题插空处理的策略例：有4个男生和3个女生排成一排，按下列要求各有多少种不同排法：
（1）男甲排在正中间；
（2）男甲不在排头，女乙不在排尾；
（3）三个女生排在一起；
（4）三个女生两两都不相邻；相邻问题，常用“捆绑法”
不相邻问题，常用 “插空法”分组问题问题1：3个小球分成两堆，有多少种分法？问题2：4个小球分成两堆，有多少种分法？问题3：6个小球分成3堆，有多少种分法？分配问题问题1：3个小球放进两个盒子，每个盒子至少一个，有多少种放法？问题3：三名教师教六个班的课，每人至少教一个班，分配方案共有多少种？问题2：4本书分给两个同学，每人至少一本，有多少种放法？多个分给少个时，采用先分组再分配的策略练习：
(1)今有10件不同奖品,从中选6件分成三份, 二份各1件,另一份4件, 有多少种分法?
(2) 今有10件不同奖品,从中选6件分给甲乙丙三人,每人二件有多少种分法?解: (1)(2)分配问题问题1：3个小球放进两个盒子，每个盒子至少一个，有多少种放法？问题3：三名教师教六个班的课，每人至少教一个班，分配方案共有多少种？问题2：4本书分给两个同学，每人至少一本，有多少种放法？多个分给少个时，采用先分组再分配的策略例、 从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,这样有几种选法?分析:问题相当于把个30相同球放入6个不同盒子(盒子不能空的)有几种放法?这类问题可用“隔板法”处理.
解:采用“隔板法” 得:练习：
1、将8个学生干部的培训指标分配给5个不同的班级，每班至少分到1个名额，共有多少种不同的分配方法？2、从一楼到二楼的楼梯有17级，上楼时可以一步走一级，也可以一步走两级，若要求11步走完，则有多少种不同的走法？混合问题，先“组”后“排”例对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？练习：1、某学习小组有5个男生3个女生，从中选3名男生和1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有1人参加，则有不同参赛方法______种.解：采用先组后排方法:2、3 名医生和 6 名护士被分配到 3 所学校为学生体检,每校分配 1 名医生和 2 名护士,不同的分配方法共有多少种?解法一：先组队后分校（先分堆后分配）解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医生和护士.
例：如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？涂色问题解法一: 按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成,
第一步, m1 = 3 种,
第二步, m2 = 2 种,
第三步, m3 = 1 种,
第四步, m4 = 1 种,
所以根据乘法原理, 得到不同的涂色方案种数共有 N = 3 × 2 ×1×1 = 6 种。
解法二: 3种颜色4块区域，则肯定有两块同色，只能A、D同色，把它们看成一个整体元素，所以涂色的方法有：
例3：如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？ 若用2色、4色、5色等,结果又怎样呢？涂色问题例、某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如右图）现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有______种.（以数字作答） 涂色问题2、将３种作物种植在如图所示的５块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有多少种？（以数字作答）1、如图，是5个区域，用红、黄、蓝、白、黑5种颜色涂这些区域，使每个区域涂一种颜色，且相邻的区域涂不同的颜色。如果颜色可反复使用，那么共有多少种涂色方法？课堂练习：1.3：二项式定理 一般地， 展开式的二项式系数
有如下性质： （1） （2） （4）（对称性）1.3：二项式定理赋值法18204. 的展开式中，第五项与第三项的二项式系
数之比为14：3，求展开式的常数项15. 展开式的二项式系数之和为128、那么展开式的项数是 ；各项系数之和为： 1、计算0.9973 的近似值（精确到0.001）0.9973= (1-0.003)3
=1?3·0.003+3·0.0032?0.0033
≈1?3·0.003
=0.991近似计算问题练习：求2.9986的近似值（精确到小数点后第三位）；2.9986=(3-0.002)6
=36?6·35·0.002+15·34·0.0022?20·33·0.0023+…
≈36?6·35·0.002+15·34·0.0022=729?2.916+0.00486
≈ 726.089求：112004被10除的余数。余数与整除问题练：①5510被8除的余数.
②5710被8除的余数.求证：5555+1能被8整除； 因为5555+1=(56?1)55+1=56·M?1+1=56·M,所以5555+1能被8整除.余数与整除问题求证：42n+1+3n+2能被13整除；42n+1+3n+2=4·16n+9·3n
=4·(13+3)n+9·3n
=4·13·M+4·3n+9·3n
=4·13·M+13·3n所以42n+1+3n+2能被13整除.求值、等式与不等式证明问题⑶求证：课件17张PPT。选修2-3第一章复习课复习:分类计数原理:定义： 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取
出m个元素的排列数.
规定：0！=1组合数的定义及其公式： 一般地，从n个不同元素中取出 m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的一个组合。
组合的定义： 二项式定理 这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式 称为二项展开式的通项公式，它表示展开式的第r+1项.解排列组合问题的常用技巧 （一）特殊元素的“优先安排法” [例1]用0，1，2，3，4这五个数，组成没有重复数字
的三位数，其中偶数共有（ ）
A.24 B.30 C.40 D.60 分析：由于该三位数是偶数，所以末尾数字必须是偶数， 又因为0不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，应优先安排。按0排在末尾和不排在末尾分为两类；0排在末尾时，有 个
0不排在末尾时，有 个
由分类计数原理，共有偶数30个.（2）相邻问题——捆绑法7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人相邻，分别有多少种站法？分析：先将甲，乙，丙三人捆绑在一起看作一个元素，与其余4人共有5个元素做全排列，有 种排法，然后对甲，乙，丙三人进行全排列
由分步计数原理可得：
种不同排法（3）不相邻问题——插空法 对于某几个元素不相邻得排列问题，可先将其它元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入即可。例：7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人不相邻，分别有多少种站法？分析：可先让其余4人站好，共有 种排法，再在这4人之间及两端的5个“空隙”中选三个位置让甲，乙，丙插入，则有 种方法，这样共有 种不同的排法。（4）顺序固定问题用“除法” 对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先将这几个元素与其它元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数.[例]五人排队，甲在乙前面的排法有几种？分析：若不考虑限制条件，则有 种排法，而甲，乙之间排法有 种，故甲在乙前面的排法只有一种符合条件，故
符合条件的排法有 种.（5）分堆问题例. 6本不同的书分成3堆,各堆分别1，2，3本，则共有多少分法？例. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有
多少分法？解：分三步取书得 种方法Why?1 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4
个队, 有多少分法？2.某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为______ 回目录元素相同问题隔板策略例.有10个运动员名额，再分给7个班，每
班至少一个,有多少种分配方案？ 解：因为10个名额没有差别，把它们排成
一排。相邻名额之间形成９个空隙。在９个空档中选６个位置插个隔板，
可把名额分成７份，对应地分给７个
班级，每一种插板方法对应一种分法
共有___________种分法。在处理排列组合综合题时，通过分析条件按元素的性质分类，做到不重复，不遗漏按事件的发生过程分类、分步，正确地交替使用两个原理，这是解决排列问题的最基本，也是最重要的思想方法。二项式定理有哪些题型？知识梳理：1.两个计数原理：______________(分类)
_______________(分步)2.排列：（1）排列的定义：____________
（2）排列数公式：____________3.组合：（1）组合的定义：__________
（2）组合数公式：____________
（3）组合数性质：①_______②________4.排列组合基本方法：特殊元素法、特殊位置法、捆绑法、插空法、排除法、隔板法、分堆5.排列组合应用题的关键：区别它是排列问题，还是组合问题，也就是看它有无顺序6.二项式定理：______________
通项：_____________7.二项式系数的性质：①对称性_______
②增减性________最大值__________
③二项式系数之和____________8.注意区别“二项式系数”和“项的系数”9.关于二项式定理的类型题：
求展开式、求指定项、求指定项的系数、求二项式系数和、求展开式中指定的项的系数和（赋值法）、整除问题等。课件100张PPT。第一课时：排列与组合第一课时：排列与组合[课前导引]第一课时：排列与组合[课前导引] 1. 从正方体的6个面中选取3个面，其中有两个面不相邻的选法共有 ( )A. 8种 B. 12种 C. 16种 D. 20种第一课时：排列与组合[课前导引] 1. 从正方体的6个面中选取3个面，其中有两个面不相邻的选法共有 ( )A. 8种 B. 12种 C. 16种 D. 20种B 2. 某人抛掷硬币8次，其中4次正面向上，则证明向上的4次中恰有3次连在一起的情形的不同种数有_________. 2. 某人抛掷硬币8次，其中4次正面向上，则证明向上的4次中恰有3次连在一起的情形的不同种数有_________. [解析] 把正面向上的4次中恰有3次连在一起看成一个元素，与另一次这两个不同元素插入反面向下的4次的5个空挡中，故共有A52=20种不同情形. 2. 某人抛掷硬币8次，其中4次正面向上，则证明向上的4次中恰有3次连在一起的情形的不同种数有_________. [解析] 把正面向上的4次中恰有3次连在一起看成一个元素，与另一次这两个不同元素插入反面向下的4次的5个空挡中，故共有A52=20种不同情形.20[考点搜索][考点搜索] 1. 不附加条件的排列组合题，大多用分类讨论的方法，注意分类不重不漏. 2. 若元素必须相附，一般采用看作一个整体的方法. 3. 元素不相邻，采用插空法. 4. 排列组合的混合型问题，交替使用两个原理.[链接高考][链接高考] [例1] (1) 在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中, 大于23145且小于43521的数共有 ( ) A. 56个 B. 57个 C. 58个 D. 60个[链接高考] [例1] (1) 在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中, 大于23145且小于43521的数共有 ( ) A. 56个 B. 57个 C. 58个 D. 60个C (2) 某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图），现要栽种4种颜色的花，每部分栽种一种，且相邻部分不能栽种相同颜色的花，不同的栽种方法共 有______种. (用数字作答) [解析] 本题是一道涂色问题的应用题,可以将不相邻的区域合并成涂同一颜色的区域，再用颜色进 行排列；也可以根 据条件分布涂色. 解法一：把不相邻的区域合并后，成为4个“大区域”，然后再把4种颜色对应全排列46 25 1 3 46 35 1 2 36 24 1 5 36 24 1 5 24 35 1 6 共5种合并方法，所以5×A44=120种栽种方法. 解法二：先从区域1开始种，栽种方法有4种，则区域6有3种栽法，区域5有2种栽法，若区域4与区域6栽种同一种花,则区域2、3两块各有2种栽法，故总共有 4×3×2×2×2=96种；若区域4与区域6不栽同一种花，则区 域2、3两块中有1种栽 法，总共有4×3×2× 1×1=24，所以一共有 120种栽种方法. [例2] 有5张卡片, 它们的正、反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？ [例2] 有5张卡片, 它们的正、反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？ [解析] 在解本题时应考虑两方面的问题：(1) 0不能作百位，但0与1在同一卡片上，因此着眼于限制条件，必须同时考虑0与1的分类. (2) 每张卡片都有正面与反面两种可能，解法上既可用直接法也可用排除法. 解法一：直接法，从0与1两个特殊值着手，可分三类： (1) 取0不取1, 可先从另四张卡片上选一张作百位，有C41种方法；0可在后两位有C21种方法；最后需从剩下的三张中任取一张，有C31种方法；又除含0的那张外，其他两张都有正面或反面两种可能，故此时可得不同的三位数有C41C21C31·22(个). (2) 取1不取0，同上分析可得不同的三位数C42·23·A33(个). (3) 0和1都不取, 有不同三位数C42·23· A33(个). 综上所述，共有不同的三位数C41·C21 C31·22+C42·22·A33+C43·23·A33=432(个). 解法二：间接法，任取三张卡片可以组成不同三位数C53·23·A33(个)，其中0在百位的有C42·22·A22(个)，这是不合题意的, 故共有不同三位数: C53·23·A33?C42· 22·A22(个). [例3] 四面体的顶点和各棱中点共10个点,在其中取4个不共面的点,则不同的取法共有 ( ) A. 150种 B. 147种 C. 144种 D. 141种 [解析] 方法一, 从10个点中, 任意取4个点的不同取法共有C104种，其中，所取4个点共面的可分为两类： 第一类，4个点同在四面体的一个面上，共有4C64种取法. 第二类, 4个点不同在四面体的一个面上，可分为两种情形：①4个点分布在不共面的两条棱上，这只能是恰有1个点是某棱的中点, 另3点在棱上，因为共有6条棱, 所以有6种取法；②4个点所在的不共面的棱不止两条，这时，4个点必然都是棱的中点，它们所在的4条棱必然是空间四边形的四条边，故有3种不同的取法. 第二类, 4个点不同在四面体的一个面上，可分为两种情形：①4个点分布在不共面的两条棱上，这只能是恰有1个点是某棱的中点, 另3点在棱上，因为共有6条棱, 所以有6种取法；②4个点所在的不共面的棱不止两条，这时，4个点必然都是棱的中点，它们所在的4条棱必然是空间四边形的四条边，故有3种不同的取法. 所以符合题意的不同取法种数为C104?(4C64+6+3)=141. 方法二, 在四面体中取定一个面, 记为?, 那么取不同不共面的4个点, 可 分为四类： 第一类, 恰有3个点在? 上, 这时该 3点必然不在同一条棱上, 因此, 4个点 的不同取法数为4(C63?3)=68. 第二类，恰有2个点在α上，可分两种情况：①该2点在同一条棱上，这时4个点的不同取法数为4C32(C42-3)=27; ②该2点不在同一条棱上，这时4个点的不同取法数为(C62-3C32)(C42-1)=30. 第三类，恰有1个点在α上，可分为两种情形：①该点是棱的中点，这时4个点的不同取法数为3×3=9；②该点不是棱的中点，这时4个点的不同取法数为3×2=6. 第三类，恰有1个点在α上，可分为两种情形：①该点是棱的中点，这时4个点的不同取法数为3×3=9；②该点不是棱的中点，这时4个点的不同取法数为3×2=6. 第四类，4个点都不在α上，只有1种取法. 应用分类计数原理，得所求的不同取法数为68+27+30+9+6+1=141. [例4] 4个男同学，3个女同学站成一排: (1) 3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？ (2) 任何两个女同学彼此不相邻,有多少种不同的排法？ (3) 其中甲、乙两同学之间必须有3人，有多少种不同的排法？ (4) 甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？ (5) 女同学从左到右按高矮顺序排，有多少种不同的排法？(3个女生身高互不相等) [解析] (1) 3个女同学是特殊元素，我们先把她们排好，共有P33种排法；由于3个女同学必须排在一起，我们可视排好的女同学为一整体，再与甲同学排队，这时是5个元素的全排列，应有A55种排法，由乘法原理，有A33A55种=720种不同排法. (2) 先将男生排好, 共有A44种排法, 再在这4个男生的中间及两头的5个空档中插入3个女生有A53种方案, 故符合条件的排法共有A44A53=1440种不同排法. (3) 甲、乙2人先排好，有A22种排法,再从余下5人中选3个排在甲、乙2人中间, 有A53种排法, 这时把已排好的5人视为一个整体, 与最后剩下的2人再排, 又有A33种排法，这样总共有A22 A53A33 =720种不同排法. (4) 安排甲、乙和丙3人以外的其他4人，有A44种排法；由于甲、乙要相邻, 故再把甲、乙排好, 有A22种排法, 最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人的空档中有A52种排法, 这样, 总共有A44 A22 A52=960种不同排法. [评注] 排列问题中，部分元素相邻的问题可用“视一法”解；部分元素不相邻的问题可用“插入法”解，部分元素定序的问题也可用“插入法”解. [例5] 按以下要求分配6本不同的书, 各有几种分法？
(1) 平均分给甲、乙、丙三人，每人2本；
(2) 平均分成三份，每份2本；
(3) 甲、乙、丙三人一人得1本，一人得2本，一人得3本； (4) 分成三份，一份一本，一份2本，一份3本；
(5) 甲、乙、丙三人中，一人得4本，另二人每人得1本；
(6) 分成三份，一份4本，另两份每份1本；
(7) 甲得1本，乙得1本，丙得4本 (均只要求列式).[解析] [例6] 将4个编号为1、2、3、4的小球放入4个编号为1、2、3、4的盒子中，(1)有多少种放法？(2)每盒至多一球，有多少种放法？(3)恰好有一个空盒，有多少种放法？(4)每个盒内放一个求，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同, 有多少种放法？(5)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？(6) 把4个不同的小球换成20个相同的小球，要求每个盒内的球数不少于它的编号数，有多少种放法？[解析][解析] (4) 1个球的编号与盒子编号相同的选法有C41种，当1个球与1个盒子的编号相同时,同局部列举法可知其余3个球的投放方法有2种，故共有C41×2=8种. (5) 先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放两个球，余下两个盒子各放一个，由于球是相同 的即没有顺序，所以属于组合问题. 故共 有C43 C31=12种放法. (6) (隔板法)先将编号为1、2、3、4的4个盒子分别放0、1、2、3个球，再把剩下的14个球分成四组，即●●●●●●●●●●●●●●这14个球中间13个空挡中放入三块隔板，共有C133=286种. 如●●|●●●●●|●●●|●●●●， 即编号为1、2、3、4盒子分别再放2、5、3、4个球. [评注] 1. 做排列组合应用题，首先要分清问题的类型，是用基本计数原理，还是排列问题或是组合问题. 2. 第(3)小题常见的错误解法: 即先选出3个球放入4个盒子中的三个，有C43 C43种，再把剩下的一个球放入有球的三个盒子中的一个有3种，故有C43 C43×3=288种放法，请读者细心体会为什么出现重复情形. 3. 第(6)小题的“投题”问题实际上是转化为求不定方程x+y+z+ω =14有多少组正整数；若先将编号为1、2、3、4的4个盒子分别放1、2、3、4个球，则转化为求不定方程x+y+z+ω =10有多少组非正整数.第二课时：二项式定理的应用第二课时：二项式定理的应用[解析][解析]答案：C[解析][考点搜索][考点搜索] 1. 已知二次式，探求二项展开式中的特殊项. 2. 已知三项式，求展开式式中某一项或某一项的系数. 3. 求展开式中某些项的系数和与差. 4. 二项展开式定理和二项展开式的性质的综合应用.[链接高考][链接高考][例1](1) 第6项; (2) 第3项的系数;
(3) 含x9的项; (4) 常数项.[链接高考][例1](1) 第6项; (2) 第3项的系数;
(3) 含x9的项; (4) 常数项.[解析][例2](1) 展开式中含x的一次幂的项;
(2) 展开式中所有含x的有理项;
(3) 展开式中系数最大的项.[解析][例3][解析] 令x=1, 则①②[解析] 令x=1, 则①②(2) (①?②)÷2, 得(3) (①+②)÷2, 得(3) (①+②)÷2, 得[例4][例4][解析] [评注] 要求三项式n次幂的展开式中的特定项, 一般通过结合律, 借助于二项式定理的通项求解. 如解法一, 当幂指数较小时, 可以直接写出展开的全部或局部, 如解法二. 二项式定理是用组合方法推出的, 因而解法三也不失为一种好方法. [例5] (1) 9192除以100的余数是几?
(2) 求证: 32n+2?8n ?9(n?N*)能被64整除. [例5] (1) 9192除以100的余数是几?
(2) 求证: 32n+2?8n ?9(n?N*)能被64整除.[解析][例6] 已知(1+3x)n的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中系数最大的项及二项式系数最大的项.[例6] 已知(1+3x)n的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中系数最大的项及二项式系数最大的项.[解析]
