苏教版高一数学新教材必修1教案[上学期]

第28课时 幂函数
教学目标：
使学生认识到幂函数同样也是一种重要的函数模型，掌握从特殊到一般地去进行类比研究幂函数的性质，并注意与指数函数进行对比学习.
教学重点：
幂函数的定义和图象.
教学难点：
幂函数的图象.
教学过程：
Ⅰ.复习引入
幂函数的定义
Ⅱ.讲授新课
问题1：我们知道，分数指数幂可以与根式相互转化．把下列各函数先化成根式形式，再指出它的定义域和奇偶性．利用计算机画出它们的图象，观察它们的图象，看有什么共同点？
　　（1）y＝；（2）y＝；（3）y＝；（4）y＝．
　　思路：先将各式化为根式形式，函数的定义域就是使这些根式有意义的实数x的集合；奇偶性直接利用定义进行判断．（1）定义域为［0，＋），（2）（3）（4）定义域都是R；其中（1）既不是奇函数也不是偶函数，（2）是奇函数，（3）（4）是偶函数．它们的图象都经过点（0，0）和（1，1），且在第一象限内函数单调递增．
　　问题2：仿照问题1研究下列函数的定义域和奇偶性，观察它们的图象看有什么共同点？
　　（1）y＝x－1；（2）y＝x－2；（3）y＝；（4）y＝．
　　思路：先将负指数幂化为正指数幂，再将分数指数幂化为根式，函数的定义域就是使这些分式和根式有意义的实数x的集合；（1）（2）（4）的定义域都是{x|x≠0}，（3）的定义域是（0，＋）；（1）（4）是奇函数，（2）是偶函数，（3）既不是奇函数也不是偶函数．它们的图象都经过点（1，1），且在第一象限内函数单调递减，并且以两坐标轴为渐近线．
总结：研究幂函数时，通常先将负指数幂化为正指数幂，再将分数指数幂化为根式（幂指数是负整数时化为分式）；根据得到的分式或根式研究幂函数的性质．函数的定义域就是使这些分式和根式有意义的实数x的集合；奇偶性和单调性直接利用定义进行判断．问题1和问题2中的这些幂函数我们要记住它们图象的变化趋势，有利于我们进行类比．
［例1］讨论函数y＝的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图．
　　思路：函数y＝是幂函数．
　　（1）要使y＝＝有意义，x可以取任意实数，故函数定义域为R．
　　（2）∵xR，∴x2≥0．∴ y≥0．
　　（3）f（－x）＝＝＝f（x），　　∴函数y＝是偶函数；
（4）∵n＝＞0，　　∴幂函数y＝在［0，＋］上单调递增．
　　由于幂函数y＝是偶函数，
　　∴幂函数y＝在（－∞，0）上单调递减．
　　（5）其图象如右图所示．
［例2］比较下列各组中两个数的大小：
　　（1）1.5，1.7；（2）0.71.5，0.61.5；（3）（－1.2），（－1.25）．
　　解析：（1）考查幂函数y＝的单调性，在第一象限内函数单调递增，
　　 ∵1.5＜1.7 ∴1.5＜1.7
　　（2）考查幂函数y＝的单调性，同理0.71.5＞0.61.5．
　　（3）先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数，
　　∵（－1.2）＝1.2，（－1.25）＝1.25，又1.2＞1.25
　　∴（－1.2）＞（－1.25）
　　点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：
　　（1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性；
　　（2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；
　　（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小．
　　［例3］求函数y＝＋2x＋4（x≥－32）值域．
　　解析：设t＝x，∵x≥－32，∴t≥－2，则y＝t2＋2t＋4＝（t＋1）2＋3．
　　当t＝－1时，ymin＝3．
　　∴函数y＝＋2x＋4（x≥－32）的值域为［3，＋∞）．
点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法．
Ⅲ.课堂练习
课本P73 1，2
Ⅳ.课时小结
［师］通过本节学习，大家能熟悉并掌握幂函数的图象，提高数学应用的能力.
Ⅴ.课后作业
课本P73 习题1，2，3，4
- 1 -第一章 集 合
第一课时 集合(一)
教学目标：
使学生掌握集合的概念和性质，集合的元素特征，有关数的集合；培养学生的思维能力，提高学生理解掌握概念的能力；培养学生认识事物的能力，引导学生爱班、爱校、爱国.
教学重点：
集合的概念，集合元素的三个特征.
教学难点：
集合元素的三个特征，数集与数集关系.
教学方法：
尝试指导法
学生依集合概念的要求、集合元素的特征，在教师指导下，能自己举出符合要求的实例，加深对概念的理解、特征的掌握.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
师生共同回顾初中代数中涉及“集合”的提法.
［师］同学们回忆一下，在初中代数第六章不等式的解法一节中提到：
一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集.
不等式解集的定义中涉及到“集合”.
Ⅱ.讲授新课
下面我们再看一组实例
幻灯片：
观察下列实例
(1)数组 1，3，5，7.
(2)到两定点距离的和等于两定点间距离的点.
(3)满足 3x－2＞x＋3 的全体实数.
(4)所有直角三角形.
(5)高一(3)班全体男同学.
(6)所有绝对值等于6的数的集合.
(7)所有绝对值小于3的整数的集合.
(8)中国足球男队的队员.
(9)参加2008年奥运会的中国代表团成员.
(10)参与中国加入WTO谈判的中方成员.
通过以上实例.教师指出：
1.定义
一般地，某些指定对象集在一起就成为一个集合(集).
师进一步指出：
集合中每个对象叫做这个集合的元素.
［师］上述各例中集合的元素是什么
［生］例(1)的元素为1，3，5，7.
例(2)的元素为到两定点距离的和等于两定点间距离的点.
例(3)的元素为满足不等式3x－2＞x＋3的实数x.
例(4)的元素为所有直角三角形.
例(5)为高一(3)班全体男同学.
例(6)的元素为－6，6.
例(7)的元素为－2，－1，0，1，2.
例(8)的元素为中国足球男队的队员.
例(9)的元素为参加2008年奥运会的中国代表团成员.
例(10)的元素为参与WTO谈判的中方成员.
［师］请同学们另外举出三个例子，并指出其元素.
［生］(1)高一年级所有女同学.
(2)学校学生会所有成员.
(3)我国公民基本道德规范.
其中例(1)的元素为高一年级所有女同学.
例(2)的元素为学生会所有成员.
例(3)的元素为爱国守法、明礼诚信、团结友爱、勤俭自强、敬业奉献.
［师］一般地来讲，用大括号表示集合.
师生共同完成上述例题集合的表示.
如：例(1){1，3，5，7}；
例(2){到两定点距离的和等于两定点间距离的点}；
例(3){3x－2＞x＋3的解}；
例(4){直角三角形}；
例(5){高一(3)班全体男同学}；
例(6){－6，6}；
例(7){－2，－1，0，1，2}；
例(8){中国足球男队队员}；
例(9){参加2008年奥运会的中国代表团成员}；
例(10){参与WTO谈判的中方成员}.
2.集合元素的三个特征
幻灯片：
问题及解释
(1)A＝{1，3}，问3，5哪个是a的元素
(2)A＝{所有素质好的人}能否表示为集合
(3)A＝{2，2，4}表示是否准确
(4)A＝{太平洋，大西洋}，B＝{大西洋，太平洋}是否表示为同一集合
生在师的指导下回答问题：
例(1)3是集合A的元素，5不是集合A的元素.例(2)由于素质好的人标准不可量化，故A不能表示为集合.例(3)的表示不准确，应表示为A＝{2，4}.例(4)的A与B表示同一集合，因其元素相同.
由此从所给问题可知，集合元素具有以下三个特征：
(1)确定性
集合中的元素必须是确定的，也就是说，对于一个给定的集合，其元素的意义是明确的.
如上例(1)、例(2)、再如
{参加学校运动会的年龄较小的人}也不能表示为一个集合.
(2)互异性
集合中的元素必须是互异的，也就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的.
如上例(3)，再如
A＝{1，1，1，2，4，6}应表示为A＝{1，2，4，6}.
(3)无序性
集合中的元素是无先后顺序，也就是说，对于一个给定集合，它的任何两个元素都是可以交换的.
如上例(1)
［师］元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于”（也可表示为）两种.
如 A＝{2，4，8，16} 4∈ A 8∈A 32A
请同学们考虑：
A＝{2，4}，B＝{{1，2}，{2，3}，{2，4}，{3，5}}，
A与B的关系如何？
虽然A本身是一个集合.
但相对B来讲，A是B的一个元素.
故A∈B.
幻灯片：
3.常见数集的专用符号
N：非负整数集(或自然数集)(全体非负整数的集合)
N*或N＋：正整数集（非负整数集N内排除0的集合）
Ｚ：整数集（全体整数的集合）
Q：有理数集（全体有理数的集合）
R：实数集（全体实数的集合）
［师］请同学们熟记上述符号及其意义.
Ⅲ.课堂练习
1.(口答)说出下面集合中的元素.
(1){大于3小于11的偶数} 其元素为 4，6，8，10
(2){平方等于1的数} 其元素为－1，1
(3){15的正约数} 其元素为1，3，5，15
2.用符号∈或填空
1∈N 0∈N －3N 0.5N N
1∈Z 0∈Z －3∈Z 0.5Ｚ Ｚ
1∈Q 0∈Q －3∈Q 0.5∈Q Q
1∈R 0∈R －3∈R 0.5∈R ∈R
3.判断正误：
(1)所有在N中的元素都在N*中(　×　)
(2)所有在N中的元素都在Z中(　√　)
(3)所有不在N*中的数都不在Z中(　×　)
(4)所有不在Q中的实数都在R中(　√　)
(5)由既在R中又在N中的数组成的集合中一定包含数0(　×　)
(6)不在N中的数不能使方程4x＝8成立(　√　)
Ⅳ.课时小结
1.集合的概念中，“某些指定的对象”，可以是任意的具体确定的事物，例如数、式、点、形、物等.
2.集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性，要能熟练运用之.
Ⅴ.课后作业
(一)1.用集合符号表示下列集合，并写出集合中的元素：
(1)所有绝对值等于8的数的集合A
(2)所有绝对值小于8的整数的集合B
分析：由集合定义：一组确定对象的全体形成集合，所以能否形成集合，就看所提对象是否确定；其次集合元素的特征也是解决问题依据所在.
解：(1)A＝{绝对值等于8的数} 其元素为：－8，8
(2)B＝{绝对值小于8的整数}
其元素为：－7，－6，－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5，6，7
2.下列各组对象不能形成集合的是（ ）
A.大于6的所有整数 B.高中数学的所有难题
C.被3除余2的所有整数 D.函数y＝图象上所有的点
解：综观四个选择支，A、C、D的对象是确定的，惟有B中的对象不确定，故不能形成集合的是B.
3.下列条件能形成集合的是（ ）
A.充分小的负数全体 B.爱好飞机的一些人
C.某班本学期视力较差的同学 D.某校某班某一天所有课程
解：综观该题的四个选择支，A、B、C的对象不确定，惟有D某校某班某一天所有课程的对象确定，故能形成集合的是D.
4.集合A的元素由kx2－3x＋2＝0的解构成，其中k∈R，若A中的元素至多有一个，求k值的范围.
解：由题A中元素即方程kx2－3x＋2＝0(k∈R)的根
若k＝0，则x＝，知A中有一个元素，符合题设
若k≠0，则方程为一元二次方程.
当Δ＝9－8k＝0即k＝时，kx2－3x＋2＝0有两相等的实数根，此时A中有一个元素.又当9－8k＜0即k＞时,kx2－3x＋2＝0无解.
此时A中无任何元素，即A＝也符合条件
综上所述 k＝0或k≥
评述：解决涉及一元二次方程问题，先看二次项系数是否确定，若不确定，如该题，则须分类讨论.其次至多有一个元素，决定了这样的集合或者含一个元素，或者不含元素，分两种情况.
5.若x∈R，则{3，x，x2－2x}中的元素x应满足什么条件
解：集合元素的特征说明{3，x，x2－2x}中元素应满足关系式
即 也就是
即x≠－1，0，3满足条件.
6.方程 ax2＋5x＋c＝0的解集是{，}，则a＝_______，c＝_______.
解：方程ax2＋5x＋c＝0的解集是{，}，那么、是方程两根
即有 eq \b\lc\{(\a\al(＋＝－,·＝)) 得 那么 a＝－6，c＝－1
7.集合A的元素是由x＝a＋b（a∈Z,b∈Z）组成，判断下列元素x与集合A之间的关系：0，，.
解：因x＝a＋b，a∈Z ,b∈Z
则当a＝b＝0时，x＝0
又＝＋1＝1＋
当a＝b＝1时，x＝1＋
又＝＋
当a＝，b＝1时，a＋b＝＋
而此时Z，故有：A，
故0∈A，∈A，A.
8.小于或等于x的最大整数与不小于x的最小整数之和是15，则x∈____________.
解：若x是整数，则有x＋x＝15，x＝与x是整数相矛盾，若x不是整数，则x必在两个连续整数之间
设n＜x＜n＋1
则有n＋（n＋1）＝15，2n＝14，n＝7 即7＜x＜8 ∴x∈（7，8）
(二)1.预习内容：课本P5～P6
2.预习提纲：
(1)集合的表示方法有几种 怎样表示？试举例说明.
(2)集合如何分类？依据是什么
集 合 (一)
1.用集合符号表示下列集合，并写出集合中的元素：
(1)所有绝对值等于8的数的集合A (2)所有绝对值小于8的整数的集合B
2.下列各组对象不能形成集合的是（ ）
A.大于6的所有整数 B.高中数学的所有难题
C.被3除余2的所有整数 D.函数y＝图象上所有的点
3.下列条件能形成集合的是（ ）
A.充分小的负数全体 B.爱好飞机的一些人
C.某班本学期视力较差的同学 D.某校某班某一天所有课程
4.集合A的元素由kx2－3x＋2＝0的解构成，其中k∈R，若A中的元素至多有一个，求k值的范围.
5.若x∈R，则{3，x，x2－2x}中的元素x应满足什么条件
6.方程 ax2＋5x＋c＝0的解集是{，}，则a＝_______，c＝_______.
7.集合A的元素是由x＝a＋b（a∈Z,b∈Z）组成，判断下列元素x与集合A之间的关系：0，，.
- 7 -第19课时 指数函数（二）
教学目标：
使学生巩固指数函数性质的理解与掌握、并能应用；培养学生观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力、化归转化能力；培养发现问题和提出问题的意识、善于独立思考的习惯，体会事物之间普遍联系的辩证观点。
教学重点：
指数函数的性质的应用
教学难点：
指数函数的性质的应用
教学过程：
教学目标
(一)教学知识点
1.指数形式的函数.
2.同底数幂.
(二)能力训练要求
1.熟练掌握指数函数概念、图象、性质.
2.掌握指数形式的函数求定义域、值域.
3.掌握比较同底数幂大小的方法.
4.培养学生数学应用意识.
(三)德育渗透目标
1.认识事物在一定条件下的相互转化.
2.会用联系的观点看问题.
●教学重点
比较同底幂大小.
●教学难点
底数不同的两幂值比较大小.
●教学方法
启发引导式
启发学生根据指数函数的形式特点来理解指数形式的函数，并能够利用指数函数的定义域、值域，结合指数函数的图象，进行同底数幂的大小的比较.
在对不同底指数比较大小时，应引导学生联系同底幂大小比较的方法，恰当地寻求中间过渡量，将不同底幂转化同底幂来比较大小，从而加深学生对同底数幂比较大小的方法的认识.
●教具准备
幻灯片三张
第一张：指数函数的定义、图象、性质(记作§2.6.2 A)
第二张：例3(记作§2.6.2B）
第三张：例4(记作§2.6.2 C）
●教学过程
Ⅰ.复习回顾
［师］上一节，我们一起学习了指数函数的概念、图象、性质，现在进行一下
回顾.
(打出幻灯片内容为指数函数的概念、图象、性质)
a＞1 0＜a＜1
图象
性质 (1)定义域：R
(2)值域：(0，＋∞)
(3)过点(0，1)
(4)在R上增函数 (4)在R上减函数
［师］这一节，我们主要通过具体的例子来熟悉指数函数的性质应用.
Ⅱ.讲授新课
［例3］求下列函数的定义域、值域
(1)y=；
(2)y=.
(3)y=2x+1
分析：此题要利用指数函数的定义域、值域，并结合指数函数的图象.注意向学生指出函数的定义域就是使函数表达式有意义的自变量x的取值范围.
解：(1)由x－1≠0得x≠1
所以，所求函数定义域为{x｜x≠1}
由≠0得y≠1
所以，所求函数值域为{y｜y＞0且y≠1}
评述：对于值域的求解，在向学生解释时，可以令=t.考查指数函数y=0.4t，并结合图象直观地得到，以下两题可作类似处理.
(2)由5x－1≥0得x≥
所以，所求函数定义域为{x｜x≥}
由≥0得y≥1
所以，所求函数值域为{y｜y≥1}
(3)所求函数定义域为R
由2x＞0可得2x+1＞1
所以，所求函数值域为{y｜y＞1}
［师］通过此例题的训练，大家应学会利用指数函数的定义域、值域去求解指数形式的复合函数的定义域、值域，还应注意书写步骤与格式的规范性.
［例4］比较下列各题中两个值的大小
(1)1.72.5,1.73
(2)0.8－0.1,0.8－0.2
(3)1.70.3，0.93.1
要求：学生练习(1)、(2)，并对照课本解答，尝试总结比较同底数幂大小的方法以及一般步骤.
解：(1)考查指数函数y=1.7x
又由于底数1.7＞1，所以指数函数y=1.7x在R上是增函数
∵2.5＜3
∴1.72.5＜1.73
(2)考查指数函数y=0.8x
由于0＜0.8＜1,所以指数函数y=0.8x在R上是减函数.
∵－0.1＞－0.2
∴0.8－0.1＜0.8－0.2
［师］对上述解题过程，可总结出比较同底数幂大小的方法，即利用指数函数的单调性，其基本步骤如下：
(1)确定所要考查的指数函数；
(2)根据底数情况指出已确定的指数函数的单调性；
(3)比较指数大小，然后利用指数函数单调性得出同底数幂的大小关系.
解：(3)由指数函数的性质知：
1.70.3＞1.70=1,
0.93.1＜0.90=1,
即1.70.3＞1，0.93.1＜1，
∴1.70.3＞0.93.1.
说明：此题难点在于解题思路的确定，即如何找到中间值进行比较.(3)题与中间值1进行比较，这一点可由指数函数性质，也可由指数函数的图象得出，与1比较时，还是采用同底数幂比较大小的方法，注意强调学生掌握此题中“1”的灵活变形技巧.
［师］接下来，我们通过练习进一步熟悉并掌握本节方法.
Ⅲ.课堂练习
1.课本P78练习2
求下列函数的定义域
(1)y＝;
(2)y＝5.
解：(1)由有意义可得x≠0
故所求函数定义域为{x｜x≠0}
(2)由x－1≥0
得x≥1
故所求函数定义域为{x｜x≥1}.
2.习题2.6 2
比较下列各题中两个值的大小
(1)30.8，30.7
(2)0.75－0.1，0.750.1
(3)1.012.7，1.013.5
(4)0.９９3.3，0.９９4.5
解：(1)考查函数y＝3x
由于3＞1，所以指数函数y＝3x在R上是增函数.
∵0.8＞0.7
∴30.8＞30.7
(2)考查函数y＝0.75x
由于0＜0.75＜1，所以指数函数y＝0.75x在R上是减函数.
∵－0.1＜0.1
∴0.75－0.1＞0.750.1
(3)考查函数y＝1.01x
由于1.01＞1，所以指数函数y＝1.01x在R上是增函数.
∵2.7＜3.5
∴1.012.7＜1.013.5
(4)考查函数y＝0.９９x
由于0＜0.９９＜1，所以指数函数y＝0.９９x在R上是减函数.
∴3.3＜4.5
∴0.９９3.3＞0.９９4.5.
Ⅳ.课时小结
［师］通过本节学习，掌握指数函数的性质应用，并能比较同底数幂的大小，
提高应用函数知
识的能力.
Ⅴ.课后作业
（一）课本P78习题2.6
1.求下列函数的定义域
(1)y＝23－x
(2)y＝32x＋1
(3)y＝（）5x
(4)y＝
解：(1)所求定义域为R.
(2)所求定义域为R.
(3)所求定义域为R.
(4)由x≠0得
所求函数定义域为{x｜x≠0}.
3.已知下列不等式，比较m、n的大小
(1)2m＜2n
(2)0.2m＞0.2n
(3)am＜an（0＜a＜1）
(4)am＞an（a＞1）
解：(1)考查函数y＝2x
∵2＞1，∴函数y＝2x在R上是增函数.
∵2m＜2n
∴m＜n；
(2)考查函数y＝0.2x
∵0＜0.2＜1
∴指数函数y＝0.2x在R上是减函数.
∵0.2m＞0.2n
∴m＜n；
(3)考查函数y＝ax
∵0＜a＜1
∴函数y＝ax在R上是减函数.
∵am＜an
∴m＞n；
(4)考查函数y＝ax
∵a＞1
∴函数y＝ax在R上是增函数，
∴am＞an
∴m＞n.
（二）1.预习内容：
函数单调性、奇偶性概念
2.预习提纲
(1)函数单调性，奇偶性的概念.
(2)函数奇偶性概念.
(3)函数单调性，奇偶性的证明通法是什么 写出基本的证明步骤.
●板书设计
§2.6.2 指数函数的性质应用(一)
1.比较同底数幂的方法：利用函数的单调性.
［例3］ ［例4］
(1) (1)
(2) (2)
(3) (3)
2.基本步骤
(1)确定所要考查的指数函数.
(2)确定考查函数的单调性.
(3)比较指数大小，然后利用指数函数单调性.
3.学生练习
Ⅰ.复习引入
指数函数的定义与性质
Ⅱ.讲授新课
［例1］某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84%. 画出这种物质的剩留量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，剩留量是原来的一半（结果保留一个有效数字）.
解：⑴先求出函数关系式：
设这种物质最初的质量是1，经过 x 年，剩留量是 y. 那么
经过1年，剩留量y＝1×84%＝0.841;
经过2年，剩留量y＝0.84×84%＝0.842;
…………
经过x年，剩留量y＝0.84x（x≥0）.
⑵描点作图：根据函数关系式列表如下：
x 0 1 2 3 4 5 6 …
y 1 0.84 0.71 0.59 0.50 0.42 0.35 …
根据上表描点作出指数函数y＝0.84x（x≥0）的图象（图略）.从图上看出y＝0.5，只需x≈4.
答：约经过4年，剩留量是原来的一半.
［例2］求下列函数的定义域和值域：
⑴ y＝ ⑵ y＝（）
活动设计：学生用图形计算器作出函数图像，观察图像，分析讨论定义域值域，然后准确解答，教师引导、整理
解：⑴要使函数有意义，必须1－ax≥0，即ax≤1
当a＞1时 x≤0； 当0＜a＜1时 x≥0
∵ax＞0 ∴0≤1－ax＜1 ∴值域为0≤y＜1
⑵要使函数有意义，必须 x＋3≠0 即 x≠－3
∵≠0 ∴y＝（）≠（）0＝1
又∵y＞0 ∴值域为 （0，1）∪（1，＋∞）
［例3］求函数y＝（）的单调区间，并证明
活动设计：学生用图形计算器作出函数图像，观察图像，分析讨论单调区间，然后准确解答，教师引导、整理（图见上）
解（用复合函数的单调性）：
设：u＝x2－2x 则：y＝（）u
对任意的1＜x1＜x2，有u1＜u2，又∵y＝（）u是减函数
∴y1＜y2 ∴y＝（）在[1，＋∞）是减函数
对任意的x1＜x2≤1，有u1＞u2，又∵y＝（）u是减函数
∴y1＜y2 ∴y＝（）在[1，＋∞）是增函数
引申：求函数y＝（）的值域 （0＜y≤2）
Ⅲ. 课堂总结
对于函数y＝f（u）和u＝g（x），如果u＝g（x）在区间（a，b）上是具有单调性，当x∈（a，b）时，u∈（m，n），且y＝f（u）在区间（m，n）上也具有单调性，则复合函数y＝f（g（x））在区间（a，b）具有单调性：
①若u＝g（x）在（a，b）上单调递增，y＝f（u）在（m，n）上单调递增，则复合函数y＝f（g（x））在区间（a，b）上单调递增；
②若u＝g（x）在（a，b）上单调递增，y＝f（u）在（m，n）上单调递减，则复合函数y＝f（g（x））在区间（a，b）上单调递减；
③若u＝g（x）在（a，b）上单调递减，y＝f（u）在（m，n）上单调递增，则复合函数y＝f（g（x））在区间（a，b）上单调递减；
④若u＝g（x）在（a，b）上单调递减，y＝f（u）在（m，n）上单调递减，则复合函数y＝f（g（x））在区间（a，b）上单调递增；
复合函数单调性的规律见下表：
y＝f（u） 增 ↗ 减 ↘
u＝g（x） 增 ↗ 减 ↘ 增 ↗ 减 ↘
y＝f（g（x）） 增 ↗ 减 ↘ 减 ↘ 增 ↗
以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.
活动设计：教师提出问题，学生思考、分析讨论，教师引导、整理
下面只证明① 设x1、x2∈（a，b），且x1＜x2
∵u＝g（x）在（a，b）上是增函数，∴g（x1）＜g（x2），且g（x1）、g（x2）∈（m，n）
∵y＝f（u）在（m，n）上是增函数，∴f（g（x1））＜f（g（x2））.
所以复合函数y＝f（g（x））在区间（a，b）上是增函数。
Ⅳ. 课后作业
课本P54 习题：3，4，5，6.
- 7 -第三课时 子集、全集、补集(一)
教学目标：
使学生理解子集、真子集概念，会判断和证明两个集合包含关系，会判断简单集合的相等关系；通过概念教学，提高学生逻辑思维能力，渗透等价转化思想；渗透问题相对论观点.
教学重点：
子集的概念，真子集的概念.
教学难点：
元素与子集，属于与包含间的区别；描述法给定集合的运算.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
1.集合的表示方法 列举法、描述法
2.集合的分类 有限集、无限集
由集合元素的多少对集合进行分类，由集合元素的有限、无限选取表示集合的方法.故问题解决的关键主要在于寻求集合中的元素，进而判断其多少.
Ⅱ.讲授新课
［师］同学们从下面问题的特殊性，去寻找其一般规律.
幻灯片(A)：
我们共同观察下面几组集合
(1)A＝{1，2，3}，B＝{1，2，3，4，5}
(2)A＝{x｜x＞3}，B＝{x｜3x－6＞0}
(3)A＝{正方形}，B＝{四边形}
(4)A＝，B＝{0}
(5)A＝{直角三角形}，B＝{三角形}
(6)A＝{a，b}，B＝{a，b，c，d，e}
［生］通过观察上述集合间具有如下特殊性
(1)集合A的元素1，2，3同时是集合B的元素.
(2)集合A中所有大于3的元素，也是集合B的元素.
(3)集合A中所有正方形都是集合B的元素.
(4)A中没有元素，而B中含有一个元素0，自然A中“元素”也是B中元素.
(5)所有直角三角形都是三角形，即A中元素都是B中元素.
(6)集合A中元素A、B都是集合B中的元素.
［师］由上述特殊性可得其一般性，即集合A都是集合B的一部分.从而有下述结论.
幻灯片(B)：
1.子集
定义：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A.记作AB（或BA），这时我们也说集合A是集合B的子集.
［师］请同学们各自举两个例子，互相交换看法，验证所举例子是否符合定义.
［师］当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，则记作AB（或B A）.
如：A＝{2，4}，B＝{3，5，7}，则AB.
［师］依规定，空集是任何集合子集.
请填空：_____A(A为任何集合).
［生］A
［师］由A＝{正三角形}，B＝{等腰三角形}，C＝{三角形}，则从中可以看出什么规律？
［生］由题可知应有AB，BC.
这是因为正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形一定是三角形，那么正三角形也一定是三角形.故AC.
［师］从上可以看到，包含关系具有“传递性”.
(1)任何一个集合是它本身的子集
［师］如A＝{9，11，13}，B＝{20，30，40}，那么有AA，BB.
师进一步指出：
如果AB，并且A≠B，则集合A是集合B的真子集.
这应理解为：若AB，且存在b∈B，但bA，称A是B的真子集.
A是B的真子集，记作AB(或BA)真子集关系也具有传递性若AB，BC，则AC.
那么_______是任何非空集合的真子集.
［生］应填
2.例题解析
［例1］写出{a、b}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集.
分析：寻求子集、真子集主要依据是定义.
解：依定义：{a，b}的所有子集是、{a}、{b}、{a，b}，其中真子集有、{a}、{b}.
注：如果一个集合的元素有n个，那么这个集合的子集有2n个，真子集有2n－1个.
［例2］解不等式x－3＞2，并把结果用集合表示.
解：由不等式x－3＞2知x＞5
所以原不等式解集是{x｜x＞5}
［例3］（1）说出0，｛0｝和的区别；（2）｛｝的含义
Ⅲ.课堂练习
1．已知A＝{x｜x＜－2或x＞3}，B＝{x｜4x＋m＜0}，当AB时，求实数m的取值范围.
分析：该题中集合运用描述法给出，集合的元素是无限的，要准确判断两集合间关系.需用数形结合.
解：将A及B两集合在数轴上表示出来
要使AB，则B中的元素必须都是A中元素
即B中元素必须都位于阴影部分内
那么由x＜－2或x＞3及x＜－知 －＜－2即m＞8
故实数m取值范围是m＞8
2．填空：
｛a｝ ｛a｝，a ｛a｝， ｛a｝，｛a，b｝ ｛a｝，0 ，｛0｝ ，1 ｛1,｛2｝｝，｛2｝ ｛1,｛2｝｝， ｛｝
Ⅳ.课时小结
1.能判断存在子集关系的两个集合谁是谁的子集，进一步确定其是否是真子集.
2.清楚两个集合包含关系的确定，主要靠其元素与集合关系来说明.
Ⅴ.课后作业
（一）课本P10习题1.2 1，2
补充：
1.判断正误
(1)空集没有子集 （ ）
(2)空集是任何一个集合的真子集 （ ）
(3)任一集合必有两个或两个以上子集 （ ）
(4)若BA，那么凡不属于集合a的元素，则必不属于B （ ）
分析：关于判断题应确实把握好概念的实质.
解：该题的5个命题，只有(4)是正确的，其余全错.
对于(1)、(2)来讲，由规定：空集是任何一个集合的子集，且是任一非空集合的真子集.
对于(3)来讲，可举反例，空集这一个集合就只有自身一个子集.
对于(4)来讲，当x∈B时必有x∈A，则xA时也必有xB.
2.集合A＝{x｜－1＜x＜3，x∈Z}，写出A的真子集.
分析：区分子集与真子集的概念.空集是任一非空集合的真子集，一个含有n个元素的子集有2n，真子集有2n－1个.
则该题先找该集合元素，后找真子集.
解：因－1＜x＜3，x∈Z，故x＝0，1，2
即a＝{x｜－1＜x＜3，x∈Z}＝{0，1，2}
真子集：、{1}、{2}、{0}、{0，1}、{0，2}、{1，2}，共7个
3.(1)下列命题正确的是 （ ）
A.无限集的真子集是有限集 B.任何一个集合必定有两个子集
C.自然数集是整数集的真子集 D.{1}是质数集的真子集
(2)以下五个式子中，错误的个数为 （ ）
①{1}∈{0，1，2} ②{1，－3}＝{－3，1} ③{0，1，2}{1，0，2}
④∈{0，1，2} ⑤∈{0}
A.5 B.2 C.3 D.4
(3)M＝{x｜3＜x＜4}，a＝π，则下列关系正确的是 （ ）
A.aM B.aM C.{a}∈M D.{a}M
解：(1)该题要在四个选择支中找到符合条件的选择支.必须对概念把握准确，并不是所有有限集都是无限集子集，如{1}不是{x｜x＝2k，k∈Z}的子集，排除A.由于只有一个子集，即它本身，排除B.由于1不是质数，排除D.故选C.
(2)该题涉及到的是元素与集合，集合与集合关系.
①应是{1}{0，1，2}，④应是{0，1，2}，⑤应是{0}
故错误的有①④⑤，选C.
(3)M＝{x｜3＜x＜4}，a＝π
因3＜a＜4，故a是M的一个元素.
{a}是{x｜3＜x＜4}的子集，那么{a}M.选D.
4.判断如下a与B之间有怎样的包含或相等关系：
(1)A＝{x｜x＝2k－1，k∈Z}，B＝{x｜x＝2m＋1，m∈Z}
(2)A＝{x｜x＝2m，m∈Z}，B＝{x｜x＝4n，n∈Z}
解：(1)因A＝{x｜x＝2k－1，k∈Z}，B＝{x｜x＝2m＋1，m∈Z}，故A、B都是由奇数构成的，即A＝B.
(2)因A＝{x｜x＝2m，m∈Z}，B＝{x｜x＝4n，n∈Z}，
又 x＝4n＝2·2n
在x＝2m中，m可以取奇数，也可以取偶数；而在x＝4n中，2n只能是偶数.
故集合A、B的元素都是偶数.但B中元素是由A中部分元素构成，则有BA.
评述：此题是集合中较抽象题目.注意其元素的合理寻求.
5.已知集合P＝{x｜x2＋x－6＝0}，Q＝{x｜ax＋1＝0}满足QP，求a所取的一切值.
解：因P＝{x｜x2＋x－6＝0}＝{2，－3}
当a＝0时，Q={x｜ax＋1＝0}＝，QP成立.
又当a≠0时，Q＝{x｜ax＋1＝0}＝{－}，
要QP成立，则有－＝2或－＝－3，a＝－或a＝.
综上所述，a＝0或a＝－或a＝
评述：这类题目给的条件中含有字母，一般需分类讨论.
本题易漏掉a＝0，ax＋1＝0无解，即Q为空集情况.
而当Q＝时，满足QP.
6.已知集合A＝{x∈R｜x2－3x＋4＝0}，B＝{x∈R｜（x＋1）（x2＋3x－4＝0}，要使APB，求满足条件的集合P.
解：由题A＝{x∈R｜x2－3x＋4＝0}＝
B＝{x∈R｜（x＋1）（x2＋3x－4）＝0}＝{－1，1，－4}
由APB知集合P非空，且其元素全属于B，即有满足条件的集合P为：
{1}或{－1}或{－4}或{－1，1}或{－1，－4}或{1，－4}或{－1，1，－4}
评述：要解决该题，必须确定满足条件的集合P的元素.
而做到这点，必须化简A、B，充分把握子集、真子集的概念，准确化简集合是解决问题的首要条件.
7.已知AB，AC，B＝{0，1，2，3，4}，C＝{0，2，4，8}，则满足上述条件的集合A共有多少个？
解：因AB，AC，B＝{0，1，2，3，4}，C＝{0，2，4，8}，由此，满足AB，有，{0}，{1}，{2}，{3}，{4}，{0，1}，{0，2}，{2，3}，{2，4}，{0，3}，{0，4}，{1，2}，{1，3}，{1，4}，{3，4}，{0，2，4}，{0，1，2}，{0，1，3}，{0，1，4}，{1，2，3}，{1，2，4}，{2，3，4}，{0，3，4}，{0，1，2，3}，{1，2，3，4}，{0，1，3，4}，{0，2，3}，{1，3，4}，{0，1，2，4}，{0，2，3，4}，{0，1，2，3，4}，共25＝32个.
又满足AC的集合A有
，{0}，{2}{4}，{8}，{0，2}，{0，4}，{0，8}{2，4}，{2，8}，{4，8}，{0，2，4}，{0，2，8}，{0，4，8}，{2，4，8}，{0，2，4，8}，共24＝8×2＝16个.
其中同时满足AB，AC的有8个
，{0}，{2}，{4}，{0，2}，{0，4}，{2，4}，{0，2，4}，实际上到此就可看出，上述解法太繁.由此得到解题途径.
有如下思路：
题目只要A的个数，而未让说明A的具体元素，故可将问题等价转化为B、C的公共元素组成集合的子集数是多少.
显然公共元素有0、2、4，组成集合的子集有23＝8 (个)
8.设A＝{0，1}，B＝{x｜xA}，则A与B应具有何种关系？
解：因A＝{0，1}，B＝{x｜xA}
故x为，{0}，{1}，{0，1}，即{0，1}是B中一元素.故A∈B.
评注：注意该题的特殊性，一集合是另一集合的元素.
9.集合A＝{x｜－2≤x≤5}，B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}，
(1)若BA，求实数m的取值范围. (2)当x∈Z时，求A的非空真子集个数.
(3)当x∈R时，没有元素x使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围.
解：(1)当m＋1＞2m－1即m＜2时，B＝满足BA.
当m＋1≤2m－1即m≥2时，要使B≤A成立，
需，可得2≤m≤3
综上m≤3时有BA
(2)当x∈Z时，A＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}
所以，A的非空真子集个数为：28－2＝254
(3)∵x∈R，且A＝{x｜－2≤x≤5}，B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}，又没有元素x使x∈A与x∈B同时成立.
则①若B＝即m＋1＞2m－1，得m＜2时满足条件.
②若B＝，则要满足条件有：或解之m＞4
综上有m＜2或m＞4
评述：此问题解决：（1）不应忽略；（2）找A中的元素；（3）分类讨论思想的运用.
（二）1.预习内容：课本P9
2.预习提纲：
(1)求一个集合补集应具备的条件.
(2)能正确表示一个集合的补集.
子集、全集、补集(一)
1.判断正误
(1)空集没有子集 （ ）
(2)空集是任何一个集合的真子集 （ ）
(3)任一集合必有两个或两个以上子集 （ ）
(4)若BA，那么凡不属于集合a的元素，则必不属于B （ ）
2.集合A＝{x｜－1＜x＜3，x∈Z}，写出A的真子集.
3.(1)下列命题正确的是 （ ）
A.无限集的真子集是有限集 B.任何一个集合必定有两个子集
C.自然数集是整数集的真子集 D.{1}是质数集的真子集
(2)以下五个式子中，错误的个数为 （ ）
①{1}∈{0，1，2} ②{1，－3}＝{－3，1} ③{0，1，2}{1，0，2}
④∈{0，1，2} ⑤∈{0}
A.5 B.2 C.3 D.4
(3)M＝{x｜3＜x＜4}，a＝π，则下列关系正确的是 （ ）
A.aM B.aM C.{a}∈M D.{a}M
4.判断如下a与B之间有怎样的包含或相等关系：
(1)A＝{x｜x＝2k－1，k∈Z}，B＝{x｜x＝2m＋1，m∈Z}
(2)A＝{x｜x＝2m，m∈Z}，B＝{x｜x＝4n，n∈Z}
5.已知集合P＝{x｜x2＋x－6＝0}，Q＝{x｜ax＋1＝0}满足QP，求a所取的一切值.
6.已知集合A＝{x∈R｜x2－3x＋4＝0}，B＝{x∈R｜（x＋1）（x2＋3x－4＝0），要使APB，求满足条件的集合P.
7.已知AB，AC，B＝{0，1，2，3，4}，C＝{0，2，4，8}，则满足上述条件的集合A共有多少个？
8.设A＝{0，1}，B＝{x｜xA}，则A与B应具有何种关系？
9.集合A＝{x｜－2≤x≤5}，B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}，
(1)若BA，求实数m的取值范围. (2)当x∈Z时，求A的非空真子集个数.
(3)当x∈R时，没有元素x使x∈A与x∈B同时成立，求实数m的取值范围.
- 1 -第二课时 集合(二)
教学目标：
使学生了解有限集、无限集概念，掌握表示集合方法，了解空集的概念及其特殊性；通过本节教学，培养学生逻辑思维能力；渗透抽象、概括的思想.
教学重点：
集合的表示方法，空集.
教学难点：
正确表示一些简单集合.
教学方法：
自学辅导法
在学生自学基础上，进行概括、总结.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
集合元素的特征有哪些 怎样理解 试举例说明.
集合与元素关系是什么 如何表示
Ⅱ.讲授新课
1.集合的表示方法
通过学习提纲，师生共同归纳集合表示方法，常用表示方法有：
（1）列举法：把集合中元素一一列举出来的方法.
（2）描述法：用确定条件表示某些对象是否属于这个集合的方法.
［师］由方程x2－1＝0的所有解组成的集合可以表示为{－1，1}，不等式x－3＞2的解集可以表示为{x｜x－3＞2}.
下面请同学们思考：
幻灯片(A)：
请用列举法表示下列集合
(1)小于5的正奇数
(2)能被3整除且大于4小于15的自然数
(3)方程x2－9＝0的解的集合
(4){15以内的质数}
(5){x｜∈Z , x∈Z}
［生］(1)满足题条件小于5的正奇数有1，3.故用列举法表示为{1，3}
(2)能被3整除且大于4小于15的自然数有6，9，12.故用列举法表示为{6，9，12}
(3)方程x2－9＝0的解为－3，3.故用列举法表示为{－3，3}
(4)15以内的质数 2，3，5，7，11，13.故该集合用列举法表示为{2，3，5，7，11，13}
(5)满足∈Z的x有：3－x＝±1，±2，±3，±6，解之x＝2，4，1，5，0，6，－3，9.故用列举法表示为{2，4，1，5，0，6，－3，9}
［师］通过我们对上述题目求解，可以看到问题求解的关键应是什么
［生］依题找出集合中的所有元素是问题解决的关键所在.
［师］用列举法表示集合时，要注意元素不重不漏，不计次序地用“，”隔开并放在大括号内.
除了刚才练习题目中涉及到的问题外，还有如下问题，注意比较各问题的形式，试用描述法表示下列集合.
(6)到定点距离等于定长的点
让学生充分考虑，相互研讨后师给出结果
{（x，y）|（x－a）2＋（y－b）2＝r2}
(7)方程组的解集为｛（x，y）|｝
(8)由适合x2－x－2＞0的所有解组成集合
{x｜x2－x－2＞0}
下面给出问题，经学生考虑后回答：
幻灯片（B）：
用描述法分别表示：
(1)抛物线x2＝y上的点.
(2)抛物线x2＝y上点的横坐标.
(3)抛物线x2＝y上点的纵坐标.
(4)数轴上离开原点的距离大于6的点的集合.
(5)平面直角坐标系中第Ⅰ、Ⅲ象限点的集合.
［生］(1)集合中的元素是点.它是坐标平面内的点，其坐标是一个有序实数.对，可表示为{（x，y）｜x2＝y}
(2)集合中的元素是实数.该实数是平面上点的横坐标，用描述法表示即为{x｜x2＝y}.
(3)集合中的元素是实数.该实数是符合条件的平面上点的纵坐标.用描述法表示即为 {y｜x2＝y}.
(4)该集合中元素是点.而数轴上的点可以用其坐标表示，其坐标是一个实数，所以可以表示成{x∈R||x|＞6}.
(5)平面直角坐标系中点是该集合元素.该点可以用一对有序实数对表示，用描述法即可表示为{（x，y）｜xy＞0}.
［师］同学们通过对上述问题的解答，解决该类问题的关键是什么
［生］(经讨论后得出结论)
解决该类问题关键是找出集合中元素的公共属性，确定代表元素.
［师］集合中元素的公共属性可以用文字直接表述，也可用数学关系表示，但必须抓住其实质.
［师］再看几例
1.用列举法表示1到100连续自然数的平方；
2.{x}，{x，y}，{（x，y）}的含义是否相同.
［生］{x}表示单元素集合；{x，y}表示两个元素集合；{（x，y）}表示含一点集合.
而对于1题经教师指导给出结论，该集合列举法表示为{1，4，9，25，…，1002}.
3. {x｜y＝x2＋1}，{y｜y＝x2＋1}，{（x，y）｜y＝x2＋1}，的含义是否相同.
(3)集合相等
两个集合相等、应满足如下关系：
A＝{2，3，4，5}，B＝{5，4，3，2}，即有集合A的元素都是集合B的元素，集合B的元素都是集合A的元素.
幻灯片：
一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素.我们就说集合A等于集合B.记作A＝B.
用式子表示：如果AB，同时BA，那么A＝B.
如：{a，b，c，d}与{b，c，d，a}相等；
{2，3，4}与{3，4，2}相等；
{2，3}与{3，2}相等.
［师］请同学互相举例并判断是否相等.
稍微复杂的式子特别是用描述法给出的要认真分辨.
如：A＝{x｜x＝2m＋1，m∈Z}，B＝{x｜x＝2n－1，n∈Z}.
2.集合的分类
师指出：
（1）有限集——含有有限个元素的集合.
（2）无限集——含有无限个元素的集合.
那么投影(A)中的集合和（B）中的集合是有限集还是无限集，经重新投影后，学生作答.
［生］幻灯片（A）中的五个集合都是有限集；幻灯片（B）中的五个集合都是无限集.
3.空集
［师］表示空集，既不含任何元素的集合.
例如：{x｜x2＋2＝0}，{x｜x2＋1＜0}
请学生相互举例、验证，师补充说明：
4.［师］集合的表示除了列举法和描述法外，还有恩韦图(文氏图)叙述如下：
画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合.如图：
表示任意一个集合A
边界用直线还是曲线，用实线还是虚线都无关紧要，只要封闭并把有关元素和子集统统包含在里边就行，但不能理解成圈内每个点都是集合的元素.
Ⅲ.课堂练习
1.解：(1)满足题意的集合可用描述法表示
{x∈N｜x＞10}；它是一个无限集.
(2)满足题意的集合可用列举法表示如下：
{2，3，6}；它是一个有限集.
(3)满足题意的集合可用列举法表示如下：
{－2，2}；它是一个有限集.
(4)满足题意的集合可用列举法表示如下：
{2，3，5，7}；它是一个有限集.
2.解：(1)该集合可用描述法表示如下：
{x｜x是4与6的公倍数}；它是一个无限集.
(2)该集合可用描述法表示如下：
{x｜x＝2n，n∈N*}；它是一个无限集.
(3)该集合可用描述法表示如下：
{x｜x2－2＝0}；它是一个有限集.
(4)不等式4x－6＜5的解集可用描述法表示如下：
{x｜x＜}；它是一个无限集.
问题的解决主要靠判断集合中元素的多少，进而确定表示方法.
3.判断正误：
（1）x＝－1，0，1时，y＝x2＋1的值的集合是｛2，1，2｝
（2）方程组的解集是｛1，－1｝
（3）方程x2＋2x－3＝0的解集是
{x｜1，－3}，{x｜x＝1，x＝－3}，{ 1或－3}，｛（1，－3）｝，｛1｝或｛－3｝
4.方程组的解集用列举法表示为_____________；用描述法表示为_______.
解：因的解集为方程组的解.
解该方程组x＝，y＝－
则用列举法表示为{（，－）}；用描述法表示为｛（x，y）|}
5.{(x，y)｜x＋y＝6，x，y∈N}用列举法表示为__________.
解：因x＋y＝6，x，y∈N的解有：
故列举法表示该集合，就是{(0，6),(1，5),(2，4),(3，3),(4，2),(5，1),(6，0)}
Ⅳ.课时小结
1.通过学习，弄清表示集合的方法有几种，并能灵活运用，一个集合并不是只要是有限集就用列举法表示，只要是无限集就用描述法表示，在某种情况下，两种方法都可以.
2.注意在解决问题时所起作用，这一小节仅仅是认识，具体性质在下一节将研究.
Ⅴ.课后作业
（一）1.用列举法表示下列集合：
(1)x2－4的一次因式组成的集合. (2){y｜y＝－x2－2x＋3，x∈R,y∈N}.
(3)方程x2＋6x＋9＝0的解集. (4){20以内的质数}.
(5){（x，y）｜x2＋y2＝1，x∈Z,y∈Z}. (6){大于0小于3的整数}.
(7){x∈R｜x2＋5x－14＝0}.
(8){（x，y）}｜x∈N，且1≤x＜4，y－2x＝0}.
(9){（x，y）｜x＋y＝6，x∈N，y∈N}.
分析：用列举法表示集合的关键是找出集合中的所有元素，要注意不重不漏，不计次序地用“，”隔开放在大括号内.
解：(1)因x2－4＝（x－2）（x＋2），故符合题意的集合为{x－2，x＋2}.
(2)y＝－x2－2x＋3＝－（x＋1）2＋4，即y≤4，又y∈N，∴y＝0，1，2，3，4.
故{y｜y＝－x2－2x＋3，x∈R,y∈N}＝{0，1，2，3，4}.
(3)由x2＋6x＋9＝0得 x1＝x2＝－3 ∴方程x2＋6x＋9＝0的解集为{－3}.
(4){20以内的质数}＝{2，3，5，7，11，13，17，19}.
(5)因x∈Z , y∈Z ，则x＝－1，0，1时，y＝0，1，－1.
那么{(x，y)｜x2＋y2＝1，x∈Z ,y∈Z}＝{（－1，0），（0，1），（0，－1），（1，0）}.
(6){大于0小于3的整数}＝{1，2}.
(7)因x2＋5x－14＝0的解为x1＝－7，x2＝2，则{x∈R｜x2＋5x－14＝0}＝{－7，2}.
(8)当x∈N且1≤x＜4时，x＝1，2，3，此时y＝2x，即y＝2，4，6.
那么{（x，y）｜x∈N且1≤x＜4，y－2x＝0}＝{（1，2），（2，4），（3，6）}.
(9){（x，y）｜x＋y＝6，x∈N，y∈N}＝{（0，6）（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），（6，0）}.
2.用描述法表示下列集合：
(1)方程2x＋y＝5的解集. (2)小于10的所有非负整数的集合.
(3)方程ax＋by＝0（ab≠0）的解. (4)数轴上离开原点的距离大于3的点的集合.
(5)平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅲ象限点的集合.
(6)方程组的解的集合. (7){1，3，5，7，…}.
(8)x轴上所有点的集合. (9)非负偶数.
(10)能被3整除的整数.
分析：用描述法表示集合的关键是找出集合中元素的公共属性，确定代表元素，公共属性可以用文字直接表述，也可用数学关系表示，但要抓住其实质.
解：(1){（x，y）｜2x＋y＝5}.
(2)小于10的所有非负整数的集合用描述法表示为{x｜0≤x＜10，x∈Z}.
(3)方程ax＋by＝0（ab≠0）的解用描述法表示为{（x，y）｜ax＋by＝0（ab≠0）}.
(4)数轴上离开原点的距离大于3的点的集合用描述法表示为{x｜x＞3}.
(5)平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅲ象限点的集合用描述法表示为{（x，y）｜xy＜0}.
(6)方程组的解的集合用描述法表示为{（x，y）｜}.
(7){1，3，5，7，…}用描述法表示为{x｜x＝2k－1，k∈N*}.
(8)x轴上所有点的集合用描述法表示为{（x，y）｜x∈R，y＝0}.
(9)非负偶数用描述法表示为{x｜x＝2k，k∈N}.
(10)能被3整除的整数用描述法表示为{x｜x＝3k，k∈Z}.
3.已知A＝{－2，－1，0，1}，B＝{x｜x＝｜y｜，y∈A}，求B.
解：∵y∈A ∴y＝－2，－1，0，1
此时｜y｜＝0，1，2，则有B＝{0，1，2}.
4.将方程组的解集用列举法、描述法分别表示.
解：因的解为（3，－7）
则用描述法表示该集合：{（x，y）｜}；
用列举法表示该集合：{（3，－7）}.
5.设集合A＝{x｜x＝2k，k∈Z}，B＝{x｜x＝2k＋1，k∈Z}，C＝{x｜x＝4k＋1，k∈Z}，又有a∈A，b∈B，判断元素a＋b与集合A、B和C的关系.
解：因A＝{x｜x＝2k，k∈Z}，B＝{x｜x＝2k＋1，k∈Z}，则集合A由偶数构成，集合B由奇数构成.
即a是偶数，b是奇数 设a＝2m，b＝2n＋1（m∈Z ,n∈Z）
则a＋b＝2（m＋n）＋1是奇数，那么a＋bA，a＋b∈B
又C＝{x｜x＝4k＋1，k∈Z}是由部分奇数构成且x＝4k＋1＝2·2k＋1
故m＋n是偶数时，a＋b∈C；m＋n不是偶数时，a＋bC.
综上a＋bA，a＋b∈B，a＋bC.
（二）预习内容：1.预习课本P8～P9 子集，子集的概念及空集的性质.
2.预习提纲：
(1)两个集合A、B具有什么条件，就能说明一个集合是另一个集合的子集？
(2)一个集合A是另一个集合B的真子集，则其应满足条件是什么
(3)空集有哪些性质
集 合 (二)
1.用列举法表示下列集合：
(1)x2－4的一次因式组成的集合.
(2){y｜y＝－x2－2x＋3，x∈R,y∈N}.
(3)方程x2＋6x＋9＝0的解集.
(4){20以内的质数}.
(5){（x，y）｜x2＋y2＝1，x∈Z,y∈Z}.
(6){大于0小于3的整数}.
(7){x∈R｜x2＋5x－14＝0}.
(8){（x，y）}｜x∈N，且1≤x＜4，y－2x＝0}.
(9){（x，y）｜x＋y＝6，x∈N，y∈N}.
2.用描述法表示下列集合：
(1)方程2x＋y＝5的解集.
(2)小于10的所有非负整数的集合.
(3)方程ax＋by＝0（ab≠0）的解.
(4)数轴上离开原点的距离大于3的点的集合.
(5)平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅲ象限点的集合.
(6)方程组的解的集合.
(7){1，3，5，7，…}.
(8)x轴上所有点的集合.
(9)非负偶数.
(10)能被3整除的整数.
3.已知A＝{－2，－1，0，1}，B＝{x｜x＝｜y｜，y∈A}，求B.
4.将方程组的解集用列举法、描述法分别表示.
5.设集合A＝{x｜x＝2k，k∈Z}，B＝{x｜x＝2k＋1，k∈Z}，C＝{x｜x＝4k＋1，k∈Z}，又有a∈A，b∈B，判断元素a＋b与集合A、B和C的关系.
表示{3，9，27}
表示{4，6，10}
- 7 -高一数学综合训练（二） 11.5
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合M＝{(x，y)|x＋y＝3}，N＝{(x，y)|x－y＝5}，那么集合M∩N为
A.x＝4，y＝－1 B.(4，－1) C.{4，－1} D.{(4，－1)}
2.已知集合A＝{x|x2－5x+6<0}，B＝{x|x< }，若AB，则实数a的范围为
A.［6，+∞ B.(6，+∞) C.(－∞，－1) D.(－1，+∞)
3.满足{x|x2－3x＋2＝0}M{x∈N|0A.2 B.4 C.6 D.8
4.若不等式mx2＋mnx＋n>0的解集为{x|1A. B. C.－ D.－
5.设函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间（－∞，上是减函数，则实数a的范围是
A.a≥－3 B.a≤－3 C.a≥3 D.a≤5
6.在直角坐标系中，函数y＝|x|的图象
A.关于对称轴、原点均不对称 B.关于原点对称
C.关于x轴对称 D.关于y轴对称
7.已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，那么f(2)等于
A.－26 B.－18 C.－10 D.10
8.函数y＝log(x2－6x＋17)的值域是
A.R B.［8，+ C.(－∞，－ D.［－3，+∞)
9.若a>1，b>1，且lg(a＋b)＝lga＋lgb，则lg(a－1)＋lg(b－1)的值等于
A.0 B.lg2 C.1 D.－1
10.设有两个命题①关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对于一切x∈R恒成立，②函数f(x)＝－(5－2a)x是减函数，若此二命题有且只有一个为真命题，则实数a的范围是
A.(－2，2) B.(－∞，2) C.(－∞，－2) D.(－∞，－2］
11.已知函数y＝f(2x)定义域为［1，2］，则y＝f(log2x)的定义域为
A.［1，2］ B.［4，16］ C.［０，1］ D.（－∞，0］
12.已知f(x)＝x2－bx＋c，且f(0)＝3，f(1＋x)＝f(1－x)，则有
A.f(bx)≥f(cx) B.f(bx)≤f(cx)
C.f(bx)二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上)
13.高一某班有学生45人，其中参加数学竞赛的有32人，参加物理竞赛的有28人，另外有5人两项竞赛均不参加，则该班既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有__________人.
14.已知f(x)＝x2＋ax＋b，满足f(1)＝0，f(2)＝0，则f(－1)=______.
15.函数y＝的最大值是______.
16. y＝(a2－1)x在R上单调递减，则实数a的取值范围是__________.
17.当x∈(1，2)，不等式(x－1)218.已知2x＝7y＝196，则 ＋＝__________.
第Ⅱ卷
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
二、填空题
13 14 15
16 17 18
三、解答题(本大题共5小题，共66分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19.设全集U＝{不超过5的正整数}，A＝{x|x2－5x＋q＝0}，B＝{x|x2＋px＋12＝0}，
(CUA)∪B＝{1，3，4，5}，求p、q和集合A、B.
20.设f(x)＝ (a>b>0)，求f(x)的单调区间并证明f(x)在其单调区间的单调性.
21.设函数f(x)＝|lgx|，若0f(b)，证明：ab<1.
22.某种细菌每隔两小时分裂一次，（每一个细菌分裂成两个，分裂所须时间忽略不计），研究开始时有两个细菌，在研究过程中不断进行分裂，细菌总数y是研究时间t的函数，记作y＝f(t).（1）写出函数y＝f(t)的定义域和值域.（2）在所给坐标系中画出y＝f(t)(0≤t<6)的图象.（3）写出研究进行到n小时（n≥0，n∈Z)时，细菌的总数有多少个（用关于n的式子表示）？
23. 设0≤x≤2，求函数y＝4－a·2x＋＋1的最大值和最小值.
高一数学综合训练（二）答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D A C D B D A C A D B B
二、填空题
13. 20 14. 6 15. 4 16.－＜a＜－1或1＜a＜ 17. (1,2］ 18.
三、解答题(本大题共5小题，共66分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19.设全集U＝{不超过5的正整数}，A＝{x|x2－5x＋q＝0}，B＝{x|x2＋px＋12＝0}，
(CUA)∪B＝{1，3，4，5}，求p、q和集合A、B.
P＝－7，q＝6，A＝{2，3}，B＝{3，4}
20.设f(x)＝ (a>b>0)，求f(x)的单调区间并证明f(x)在其单调区间的单调性.
考查函数单调性及逻辑推理能力.
【解】 函数f(x)＝ 的定义域(－∞，－b)∪(－b，+∞)，f(x)在(－∞，－b)是减函数，f(x)在(－b，+∞)内也是减函数，证明如下：
设x2>x1>－b,则f(x2)－f(x1)＝ －
＝(1＋)－(1＋)＝－＝
∵a>b>0，x2>x1>－b ∴a－b>0，x1－x2<0，x2＋b>0，x1＋b>0
即f(x2)同理，可证f(x)在(－∞，－b)上为减函数
21.设函数f(x)＝|lgx|，若0f(b)，证明：ab<1.
考查对数函数性质、分类讨论思想.
【解】 由题设，显然a、b不能同在（1，+∞)
否则，f(x)＝lgx，且a由0①当0②当b>1时，∵0由f(a)>f(b)，得－lga>lgb，即>b， ∴ab<1
由①②可知ab<1
22.某种细菌每隔两小时分裂一次，（每一个细菌分裂成两个，分裂所须时间忽略不计），研究开始时有两个细菌，在研究过程中不断进行分裂，细菌总数y是研究时间t的函数，记作y＝f(t).（1）写出函数y＝f(t)的定义域和值域.（2）在所给坐标系中画出y＝f(t)(0≤t<6)的图象.（3）写出研究进行到n小时（n≥0，n∈Z)时，细菌的总数有多少个（用关于n的式子表示）？
考查函数应用及分析解决问题能力.
【解】 （1）y＝f(t)定义域为t∈［0，+∞)
值域为{y|y＝2n，n∈N*}
（2）0≤t<6时，为一分段函数
y= 图象如图
（3）n为偶数时，y＝2， n为奇数时，y＝2
∴y＝
23. 设0≤x≤2，求函数y＝4－a·2x＋＋1的最大值和最小值.
解：设2x＝t，∵０≤x≤2，∴1≤t≤4
原式化为：y＝(t－a)2＋1
当a≤1时，ymin＝－a＋，ymax＝－4a＋9；
当1＜a≤时，ymin＝1，ymax＝－a＋；
当a≥4时，ymin＝－4a＋9，ymax＝－a＋.第20课时 指数函数（三）
教学目标：
使学生了解函数图象的变换；能运用指数函数的图象和性质解决一些简单问题，培养发现问题和提出问题的意识、善于独立思考的习惯，体会事物之间普遍联系的辩证观点。
教学重点：
函数图象的变换；指数函数性质的运用
教学难点：
函数图象的变换；指数函数性质的运用
教学过程：
教学目标
(一)教学知识点
1.指数形式的复合函数.
2.指数形式复合函数的单调性.
3.指数形式复合函数的奇偶性.
(二)能力训练要求
1.掌握指数形式的复合函数的单调性的证明方法.
2.掌握指数形式的复合函数的奇偶性的证明方法.
3.培养学生的数学应用意识.
(三)德育渗透目标
1.认识从特殊到一般的研究方法.
2.用联系的观点看问题.
3.了解数学在生产实际中的应用.
●教学重点
1.函数单调性的证明通法.
2.函数奇偶性的证明通法.
●教学难点
指数函数的性质应用.
●教学方法
启发式
启发学生运用证明函数单调性的基本步骤对指数形式的复合函数的单调性进行证明，但应在变形这一关键步骤帮助学生总结、归纳有关指数形式的函数变形技巧，以利于下一步的判断.
在运用证明函数奇偶性的基本步骤对指数形式的复合函数的奇偶性证明时，应提醒学生考查函数的定义域是否关于原点对称，以培养学生的定义域意识，并引导学生得指数形式的复合函数判断奇偶性的常用等价形式，以帮助学生形成系统的知识结构.
●教具准备
幻灯片三张
第一张：判断及证明函数单调性的基本步骤、判断及证明函数奇偶性的基本步骤(记作
§2.6.3 A）
第二张：例5证明过程(记作§2.6.3 B）
第三张：例6证明过程(记作§2.6.3 C）
●教学过程
Ⅰ.复习回顾
［师］上一节，我们一起学习了指数函数的性质应用，这一节，我们学习指数形式的复合函数的单调性、奇偶性的证明方法.首先，大家来回顾一下第二章第一单元所学的证明函数单调性、奇偶性的基本步骤.
［生］判断及证明函数单调性的基本步骤：
假设→作差→变形→判断.
［生］判断及证明函数奇偶性的基本步骤：
(1)考查函数定义域是否关于原点对称；
(2)比较f（－x）与f（x）或者－f（x）的关系；
(3)根据函数奇偶性定义得出结论.
(给出幻灯片§2.6.3 A，老师结合幻灯片内容加以强调说明)
［师］在函数单调性的证明过程中，“变形”是一关键步骤，变形的目的是为了易于判断，判断有两层含义：一是对差式正负的判断；二是对增减函数定义的判断.
另外，在函数奇偶性的判断及证明过程中，定义域的考查容易被大家忽略，而函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，大家应予以重视.
下面，我们通过例题来一起熟悉并掌握证明函数单调性，奇偶性的方法.
Ⅱ.讲授新课
[例5]当a＞1时，证明函数f(x)=是奇函数.
分析：此题证明的结构仍是函数奇偶性的证明，但在证明过程中的恒等变形用到推广的实数范围内的指数幂运算性质.同时，应注意首先考查函数的定义域.
证明：由ax－1≠0 得x≠0
故函数定义域{x｜x≠0}关于原点对称.
又f(－x)=
=
－f(x)=－
∴f(－x)=－f(x)
所以函数f(x)=是奇函数.
［师］对于f（－x）与f（x）关系的判断，也可采用如下证法：
＝－1
即f（－x）＝－f（x）
评述：对于指数形式的复合函数的奇偶性的证明，常利用如下的变形等价形式：
f（－x）＝f（x）＝1（f（x）≠0），
f（－x）＝－f（x）
＝－1（f（x）≠0）.
这种变形的等价形式主要是便于实数指数幂运算性质，要求学生在解决相关类型题时，予以尝试和体会.
［例6］设a是实数，f(x)=a－ (x∈R)
(1)试证明对于任意a,f(x)为增函数；
(2)试确定a值，使f(x)为奇函数.
分析：此题的形式较为复杂，但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明.还应要求学生注意不同题型的解答方法.
(1)证明：设x1,x2∈R,且x1＜x2
则f(x1)－f(x2)=(a－
=
=
由于指数函数y=2x在R上是增函数，且x1＜x2,所以即＜0
又由2x＞0得+1＞0，+1＞0
所以f(x1)－f(x2)＜0
即f(x1)＜f(x2)
因为此结论与a取值无关，所以对于a取任意实数，f(x)为增函数.
评述：上述证明过程中，对差式正负判断时，利用了指数函数的值域及单调性.
(2)解：若f(x)为奇函数，则f(－x)=－f(x)
即a－
变形得:
2a=
=
解得a=1
所以当a=1时，f(x)为奇函数.
评述：此题并非直接确定a值，而是由已知条件逐步推导a值.应要求学生适应这种探索性题型.
Ⅲ.课堂练习
已知函数f(x)为偶函数，当x∈(0,+∞)时，f(x)=－2x+1,求当x∈(－∞，0)时，f(x)的解析式.
解：设x∈（－∞，0），则－x∈（0，＋∞），由x∈（0，＋∞）时，f（x）＝－2x＋1得f（－x）＝－2-x＋1
又由函数f（x）为偶函数得
f（－x）＝f（x）
∴f（x）＝－2-x＋1.
即当x∈（－∞，0）时，f（x）＝－2-x＋1.
Ⅳ.课时小结
［师］通过本节学习，要求大家进一步熟悉指数函数的性质应用，并掌握函数单调性.奇偶性证明的通法.
Ⅴ.课后作业
（一）1.课本P75习题2.6
4.求证：
(1)f（x）＝（a＞0，a≠1)是奇函数；
(2)f（x）＝（a＞0，a≠1）是偶函数.
证明：(1)∵f（－x）＝＝－f（x）
即f（－x）＝－f（x），故f（x）是奇函数.
(2)f（－x）＝
＝－
＝＝f（x）
即f（－x）＝f（x），故f（x）＝是偶函数.
2.已知函数f(x)=，
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)求证函数f(x)在(－∞,+∞)上是增函数.
(1)解：首先考查函数定义域R，故定义域关于原点对称.
又∵f（－x）＝
＝＝－f（x）
即f（－x）＝－f（x）
∴f（x）是奇函数.
(2)证明：设x1＜x2，则
f（x1）－f（x2）＝
＝
＝
＝
∵x1＜x2 ∴
∴＜0.
又∵2＞＋1＞0，＋1＞0
∴＜0
∴f（x1）－f（x2）＜0
即f（x1）＜f（x2）
∴f（x）在（－∞，＋∞)上是增函数.
（二）1.预习内容：课本P76
2.预习提纲：
(1)对数与指数有何联系
(2)对数式与指数式如何互化
●板书设计
§2.6.3 指数函数的性质应用(二)
1.单调性证明通法：比较自变量大小与相应函数值大小是具有一致性，还是相反性.
2.奇偶性证明通法
①考查定义域
②比较f（－x），f（x），－f（x）三者的关系
3.[例5]
4.［例6］
5.学生练习
Ⅰ.复习引入
指数函数y＝ax（a＞0且a≠1）的定义、图象、性质：定义域、值域、单调性、奇偶性
Ⅱ.讲授新课
［例1］用计算器或计算机作出的图象，并在同一坐标系下作出下列函数的图象，并指出它们与指数函数y＝2x的图象的关系
⑴y＝2x+1与y＝2x+2. ⑵y＝2x－1与y＝2x－ 2.
活动设计：学生用计算器或计算机作出的图象，观察分析讨论，教师引导、整理
解：⑴作出图象，显示出函数数据表
比较函数y＝2x+1、y＝2x+2与y＝2x的关系：
从上表可以看出，y＝2－3+1与y＝2－2相等，y＝2－2+1与y＝2－1相等，y＝22+1与y＝23相等，…. 由此可知，将指数函数y＝2x的图象向左平行移动1个单位长度，就得到函数y＝2x+1的图象，将指数函数y＝2x的图象向左平行移动2个单位长度，就得到函数y＝2x+2的图象。
⑵作出图象，显示出函数数据表
比较函数y＝2x－1、y＝2x－2与y＝2x的关系：
从上表可以看出，y＝2－1－2与y＝2－3相等，y＝20－2与y＝2－2相等，y＝23－2与y＝21相等，…. 由此可知，将指数函数y＝2x的图象向右平行移动1个单位长度，就得到函数y＝2x－1的图象，将指数函数y＝2x的图象向右平行移动2个单位长度，就得到函数y＝2x－2的图象。
小结：⑴ y＝2x－m与y＝2x的关系
当m>0时，将指数函数y＝2x的图象向右平行移动m个单位长度，就得到函数y＝2x－m的图象，当m<0时，将指数函数y＝2x的图象向左平行移动m个单位长度，就得到函数y＝2x+m的图象
［例2］⑴已知函数 y＝（）︱x︱用计算器或计算机作出函数图像，求定义域、值域，并探讨y＝（）x与y＝（）︱x︱图像的关系。
解： 定义域：x∈R 值域：0＜y≤1
关系：将y＝（）x的图像y轴右侧的部分翻折到y轴左侧的到y＝（）︱x︱的图像，y＝（）︱x︱是偶函数，关于y轴对称
⑵已知函数 y＝（）︱x－1︱用计算器或计算机作出函数图像，求定义域、值域，并探讨y＝（）x－1与y＝（）︱x－1︱图像的关系。
解： 定义域：xR 值域：0＜y≤1
关系：将y＝（）x－1的图像在直线x=1右侧的部分翻折到直线x=1左侧的到
y＝（）︱x－1︱的图像，y＝（）︱x－1︱不是偶函数，但是关于直线x=1对称
⑵推广：对于有些复合函数的图象，则常用基本函数图象+变换方法作出：
基本函数图象+变换：即把我们熟知的基本函数图象，通过平移、作其对称图等方法，得到我们所要求作的复合函数的图象，如上例，这种方法我们遇到的有以下几种形式：
函 数 y=f(x)
y=f(x+a) a>0时，向左平移a个单位；a<0时，向右平移|a|个单位.
y=f(x)+a a>0时，向上平移a个单位；a<0时，向下平移|a|个单位.
y=f(-x) y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y轴对称.
y=-f(x) y=-f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称.
y=-f(-x) y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点轴对称.
y=f(|x|) y=f(|x|)是偶函数，图象关于y轴对称，x0时函数即y=f(x)，所以x<0时的图象与x0时y=f(x)的图象关于y轴对称.
y=|f(x)| ∵，∴y=|f(x)|的图象是y=f(x)0与y=f(x)<0图象的组合.
y=f-1(x) y=f-1(x)与y=f(x)的图象关于直线y=x对称.
以上是在高一阶段我们看到的几种函数图象的变换，但随着知识的增加，还会有许多较复杂的变换，以后再作研究.
［例3］探讨函数y＝ax和y＝a－x （a＞0且a≠1）的图象的关系，并证明
活动设计：学生用计算器作出函数图像，观察分析讨论，教师引导、整理
证：设P1(x1, y 1)是函数y＝ax （a＞0且a≠1）的图象上任意一点
则y1＝a 而P1(x1, y 1)关于y轴的对称点Q是(x1, y 1)
∴ y1＝a＝a－（－） 即Q在函数y＝a－x的图象上
由于P1是任意取的
所以y＝ax上任一点关于y轴的对称点都在y＝a－x的图象上
同理可证：y＝a－x 图象上任意一点也一定在函数y＝ax的图象上
∴ 函数y＝ax和y＝a－x的图象关于y轴对称。
［例4］已知函数 y＝ 求：
⑴函数的定义域、值域 ⑵判断函数的奇偶性
活动设计：学生用计算器作出函数图像，观察分析讨论，教师引导、整理
解：⑴ 定义域为 R
由y＝ 得 22x－2y－2x＋1＝0
∵x∈R, ∴△≥0, 即 4y2－4≥0， ∴y2≥1, 又∵y＞0，∴y≥1
⑵ ∵定义域为 R （是关于原点的对称区间）
又∵ f（－x）＝＝f（x）, ∴f（x） 是偶函数。
Ⅲ. 课时小结
函数图像的变换
Ⅳ. 课后作业
课本P55习题 7~10
- 6 -第15课时 分数指数幂
教学目标：
使学生进一步熟悉对数定义与幂的运算性质，理解对数运算性质的推导过程，熟悉对数的运算性质的内容，熟练运用对数的运算性质进而化简求值，明确对数的运算性质与幂的运算性质的区别.能运用联系的观点解决问题，认识事物之间的相互联系与相互转化.
教学重点：
证明对数运算性质.
教学难点：
对数运算性质的证明方法与对数定义的联系.
教学过程：
教学目标
(一)教学知识点
1.分数指数幂的概念.
2.有理指数幂的运算性质.
(二)能力训练要求
1.理解分数指数幂的概念.
2.掌握有理指数幂的运算性质.
3.会对根式、分数指数幂进行互化.
(三)德育渗透目标
培养学生用联系观点看问题.
●教学重点
1.分数指数幂的概念.
2.分数指数幂的运算性质.
●教学难点
对分数指数幂概念的理解.
●教学方法
发现教学法
1.在利用根式的运算性质对根式的化简过程中，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律.
2.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步将其推广到实数范围内，但无须进行严格的推证，由此让学生体会发现规律，并由特殊推广到一般的研究方法.
●教具准备
幻灯片二张
第一张：回顾性质(记作§2.5.2 A)
第二张：变形举例(记作§2.5.2 B)
●教学过程
Ⅰ.复习回顾
［师］上一节课，我们一起复习了整数指数幂的运算性质，并学习了根式的运算性质.
(给出幻灯片§2.5.1 A)
整数指数幂运算性质 根式运算性质
(1)am·an=am+n(m,n∈Z)
(2)(am)n=am·n(m,n∈Z) ＝
(3)(a·b)n=an·bn(n∈Z)
［师］对于整数指数幂运算性质(2)，当a＞0，m,n是分数时也成立.
(说明：对于这一点，课本采用了假设性质(2)对a＞0，m,n是分数也成立这种方法，我认为不妨先推广了性质(2)，为下一步利用根式运算性质推导正分数指数幂的意义作准备)
［师］对于根式的运算性质，大家要注意被开方数an的幂指数n与根式的根指数n的一致性.接下来，我们来看几个例子.
(打出幻灯片§2.5.2 B)(说明：对于例子可设计为填空题，让学生参与得出)
例子：当a＞0时
①
②
③
④
［师］上述推导过程主要利用了根式的运算性质，例子③、④、⑤用到了推广的整数指数幂运算性质(2).因此，我们可以得出正分数指数幂的意义.
Ⅱ.讲授新课
1.正数的正分数指数幂的意义
(a＞0,m,n∈N*,且n＞1)
［师］大家要注意两点，一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是根式与分数指数幂可以进行互化.
另外，我们还要对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定.
2.规定(板书)
(1) (a＞0,m,n∈N*,且n＞1)
(2)0的正分数指数幂等于0.
(3)0的负分数指数幂无意义.
［师］规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数推广到有理数指数.当a＞0时，整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用.即对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质.
3.有理指数幂的运算性质(板书)
(1)ar·as=ar+s(a＞0,r,s∈Q)
(2)(ar)s=ar·s(a＞0,r,s∈Q)
(3)(a·b)r=ar·br(a＞0,b＞0,r∈Q)
［师］说明：若a＞0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用，有关概念和证明在本书从略.
这一说明是为下一小节学习指数函数作铺垫.接下来，大家通过例题来熟悉一下本节的内容.
4.例题讲解
［例2］求值：8，100,()-3,().
分析：此题主要运用有理指数幂的运算性质.
解：8=(23) =23×=22=4
100=(102) =10=10-1=
()-3=(2-2)-3=2(-2)×(-3)=26=64
()=()=()-3=
［例3］用分数指数幂的形式表示下列各式：
a2·,a3·, (式中a＞0)
解：a2·=a2·a=a2+=a
a3·=a3·a=a=a
=(a·a)=(a)=a
［师］为使大家进一步熟悉分数指数幂的意义与有理指数幂的运算性质，我们来做一下练习题.
Ⅲ.课堂练习
课本P70练习
1.用根式的形式表示下列各式(a＞0)
a，a，a，a
解：a＝
a＝
a＝
a＝
2.用分数指数幂表示下列各式：
（1） （2）（a＋b＞0）
（3） （4）（m＞n）
（5）（p＞0） （6）
解：(1) ＝x
(2) ＝（a＋b）
(3) ＝（m－n）
(4) ＝（m－n）＝（m－n）2
(5) （p＞0）＝（p6·q5）＝p·q＝p3·q
(6) ＝m3·m＝m
3.求下列各式的值：
(1)25 （2）27
（3）（） （4）（）
（5） （6）2××
解：(1)＝53＝125
(2)＝32＝9
(3)
(4)
(5)
=
(6)2××＝2×3×（）×（3×22）＝2×3×3×2×3×2＝（2×2×2）×（3×3×3）＝2×3＝2×3＝6
要求：学生板演练习，做完后老师讲评.
Ⅳ.课时小结
［师］通过本节学习，要求大家理解分数指数幂的意义，掌握分数指数幂与根式的互化，熟练运用有理指数幂的运算性质.
Ⅴ.课后作业
（一）1.课本P70习题2.5
2.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数)
（1） （2）
（3） （4）
解：（1）＝
（2） ＝[a·（a·a）]＝a·a·a＝a
（3）＝（ab2＋a2b）
（4）＝（a3＋b3）＝（a3＋b3）
3.求下列各式的值：
(1)｜2｜ （2）（）
（3）10000 （4）（）
解：（1）｜2｜＝（112）＝11＝11
（2）（）＝（）＝（）·（）－1＝
(3)10000＝（104）＝10＝10－3＝0.001
(4) （）＝（）＝[（）3] ＝（）＝（）－2＝
4.用计算器求值(保留4位有效数字)
(1)5 （2）321 （3）73
（4）67 (5)8·3 （6）25·8
解：（1）5＝1.710 (2)321＝46.88
（3）73＝0.1170 (4)67＝28.90
（5）8·3＝2.881 （6）25·8＝0.08735
（二）1.预习内容：课本P69
2.预习提纲：
(1)根式的运算如何进行
(2)利用有理指数幂运算性质进行化简、求值，有哪些常用技巧
●板书设计
§2.5.2 分数指数幂
1.正分数指数幂意义
a＝（a＞0，m，n∈N*，n＞1）
2.规定
(1)a＝（a＞0，m，n∈N*，n＞1），
(2)0的正分数指数幂等于0，
(3)0的负分数指数幂无意义.
3.有理指数幂性质
（1）ar·as＝ar＋s
（2）（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈Q）
（3）（a·b）r＝ar·br（a＞0，b＞0，r∈Q）
4.例题
［例1］［例2］
5.学生练习
教学目的：
1.理解分数指数幂的概念.
2.掌握有理指数幂的运算性质.
3.会对根式、分数指数幂进行互化.
4．培养学生用联系观点看问题.
教学重点：1.分数指数幂的概念.
2.分数指数幂的运算性质.
教学难点：对分数指数幂概念的理解.
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教材分析：教材分析：
本节在根式的基础上将指数概念扩充到有理指数幂，并给出了有理指数幂的运算性质在分数指数幂概念之后，课本也注明“若a＞0， p是一个无理数，则表示一个确定的实数”为高中三年级限定选修课学习导数时做准备
在利用根式的运算性质对根式的化简过程，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步将其推广到实数范围内，但无须进行严格的推证，由此让学生体会发现规律，并由特殊推广到一般的研究方法.
教学过程：
一、复习引入：
1．整数指数幂的运算性质：
2．根式的运算性质：
①当n为任意正整数时，()=a.
②当n为奇数时，=a；当n为偶数时，=|a|=.
⑶根式的基本性质：，（a0）
用语言叙述上面三个公式：
⑴非负实数a的n次方根的n次幂是它本身.
⑵n为奇数时，实数a的n次幂的n次方根是a本身；n为偶数时，实数a的n次幂的n次方根是a的绝对值.
⑶若一个根式(算术根)的被开方数是一个非负实数的幂，那么这个根式的根指数和被开方数的指数都乘以或者除以同一个正整数，根式的值不变.
3．引例：当a＞0时
①
②
③
④
上述推导过程主要利用了根式的运算性质，例子③、④、⑤用到了推广的整数指数幂运算性质(2).因此，我们可以得出正分数指数幂的意义.
二、讲解新课：
1.正数的正分数指数幂的意义
(a＞0,m,n∈N*,且n＞1)
要注意两点：一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是根式与分数指数幂可以进行互化.
另外，我们还要对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定.
2.规定：
(1) (a＞0，m,n∈N*,且n＞1)
(2)0的正分数指数幂等于0.
(3)0的负分数指数幂无意义.
规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数推广到有理数指数.当a＞0时，整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用.即对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质.
3.有理指数幂的运算性质:
说明：若a＞0，P是一个无理数，则表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用，有关概念和证明在本书从略.?
三、讲解例题：
例1求值：.
解：
例2用分数指数幂的形式表示下列各式：
(式中a＞0)
解：
例3计算下列各式（式中字母都是正数）
分析：（1）题可以仿照单项式乘除法进行，首先是系数相乘除，然后是同底数幂相乘除，并且要注意符号
（2）题按积的乘方计算，而按幂的乘方计算，等熟练后可简化计算步骤
解
例4计算下列各式：
分析：（1）题把根式化成分数指数幂的形式，再计算
（2）题先把根式化成分数指数幂的最简形式，然后计算
解：
四、练习：课本P14练习
1.用根式的形式表示下列各式(ａ＞０)
解：
2.用分数指数幂表示下列各式：
(1) （２）（ａ＋ｂ＞０）
（３） （４）（ｍ＞ｎ）
(5)（ｐ＞０） (6)
解：(1)
(2)
(3)
(4) ＝（ｍ－ｎ）２
(5)
(6)
五、小结 本节课学习了以下内容：
分数指数幂的意义，分数指数幂与根式的互化，有理指数幂的运算性质.
六、课后作业：
1.课本P75习题2.5
2.用计算器求值(保留4位有效数字)
(1) （２） （３）
（４） (5) （６）２５·
解：（１）＝１.７１０ (2) ＝４６.８８
（３）＝０.１１７０ （4） ＝２８.９０
（５）＝２.８８１ （６）２５·＝０.０８７３５
七、板书设计（略）
八、课后记：第30、31课时 函数模型及其应用
教学目标：
使学生从所熟悉的生活、生产和其他学科的实际问题出发，进行观察、比较、分析、综合、抽象、概括和必要的逻辑推理，得出数学概念和规律，通过构造出一个对应的数学模型而使问题清晰化、具体化，找到有效的解题途径——构建数学模型，使实际生活问题抽象为数学问题．逐步把数学知识用到生产、生活的实际中，形成应用数学的意识，培养分析问题和解决问题的能力．
教学重点：
一是实际问题数学化，二是对得到的函数模型进行解答，得出数学问题的解.
教学难点：
实际问题数学化.
教学过程：
［例1］一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月（以30天计算）有20天每天可卖出400份，其余10天只能卖250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买多少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能赚多少钱？
　　解析：本题所给条件较多，数量关系比较复杂，可以列表分析：
　　设每天从报社买进x份（250≤x≤400）．
数量（份） 价格（元） 金额（元）
买进 30 0.20 6x
卖出 20x＋10×250 0.30 6x＋750
退回 10（x－250） 0.08 0.8x－200
　　则每月获利润y＝［（6x＋750）＋（0.8x－200）］－6x＝0.8x＋550（250≤x≤400）．
　　y在x［250，400］上是一次函数．
　　∴x＝400元时，y取得最大值870元．
　　答：每天从报社买进400份时，每月获的利润最大，最大利润为870元．
点评：自变量x的取值范围［250，400］是由问题的实际意义决定的，建立函数关系式时应注意挖掘．
　 ［例2］某人从A地到B地乘坐出租车，有两种方案，第一种方案：租用起步价10元，每km价为1.2元的汽车；第二种方案：租用起步价为8元，每km价为1.4元的汽车，按出租车管理条例，在起步价内，不同型号行驶的里程是相等的．则此人从A地到扫地选择哪一种方案比较合适．
　　答案：当A、B距离在起步价以内时，选择第二种方案；
　　当A、B距离在（a，a＋10）时，选择第二种方案；
　　当A、B距离恰好为a＋10时，选择两种方案均可以；
　　当A、B距离大于a＋10时，选择第一种方案．
（其中a为起步价内汽车行驶的里程）
点评：信息量大是数学应用题的一大特点，当所给条件错综复杂，一时难以理清关系时，可采用列表分析的方法，有些典型应用题也可以画出相应的图形，建立坐标系等．
　　［例3］按复利计算利率的储蓄，银行整存一年，年息8％，零存每月利息2％，现把2万元存入银行3年半，求取出后本利的和
　　解析：3年半本利和的计算问题，应转为3年按年息8％计算，而半年按6个月（月息2％）计算，又由于是复利问题，故取出2（1＋8％）3（1＋2％）6万元．
　 ［例4］某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路，下图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图形中较符合该生走法的是（　　）
　　解析：由于d0表示学生的家与学校的距离，因而首先排除A、C选项，又因为图中线段的斜率的绝对值表示前进速度的大小，因而排除B，故只能选择D．
　　［例5］容器中有浓度为m％的溶液a升，现从中倒出b升后用水加满，再倒出b升后用水加满，求这样进行了10次后溶液的浓度
　　　　　（1－）10·m％
　　总结解应用题的策略：
一般思路可表示如下：
　　因此，解决应用题的一般程序是：
　　①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；
　　②建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
　　③解模：求解数学模型，得出数学结论；
　　④还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义．
　　［例6］某地方政府为保护地方电子工业发展，决定对某一进口电子产品征收附加税．已知这种电子产品国内市场零售价为每件250元，每年可销售40万件，若政府增加附加税率为每百元收t元时，则每年销售量将减少 t万件．
　　（1）将税金收入表示为征收附加税率的函数；
　　（2）若在该项经营中每年征收附加税金不低于600万元，那么附加税率应控制在什么范围？
　　解析：（1）设每年销售是x万件，则每年销售收入为250x万元，征收附加税金为y＝250x·t％．
　　依题意，x＝40－t．
　　所求的函数关系式为y＝250（40－t）t％．
　　（2）依题意，250（40－t）·t％≥600，即t2－25t＋150≤0，
　　∴10≤t≤15．
即税率应控制在10％～15％之间为宜．
注意点：
1．在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．
　　2．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母，列表，画图，建立坐标系等，以使实际问题数学符号化．
　　3．对于建立的各种数学模型，要能够模型识别，充分利用数学方法加以解决，并能积累一定数量的典型的函数模型，这是顺利解决实际问题的重要资本．
本节内容主要是运用所学的函数知识去解决实际问题，要求学生掌握函数应用的基本方法和步骤．函数的应用问题是高考中的热点内容，必须下功夫练好基本功．本节涉及的函数模型有：一次函数、二次函数、分段函数及较简单的指数函数和对数函数．其中，最重要的是二次函数模型．
　　［例7］将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个．若每个销售涨价一元，则日销售量减少10个．为获得最大利润，则此商品当日销售价应定为每个多少元？
　　解析：设每个涨价x元，则实际销售价为（10＋x）元，销售的个数为（100－10x），则利润为y＝（10＋x）（100－10x）－8（100－10x）＝－10（x－4）2＋360（0≤x≤10）．
　　因此x＝4，即售价定为每个14元时，利润最大．
　　［例8］为保护环境，实现城市绿化，某房地产公司要在拆迁地矩形ABCD（如下图所示）上规划出一块矩形地面建造住宅区小公园POCR（公园的两边分别落在BC和CD上），但不能超过文物保护三角形AEF的红线EF．问如何设计才能使公园占地面积最大？并求出最大面积．已知AB＝CD＝200m，BC＝AD＝160m，AE＝60m，AF＝40m．
解析：设PO＝x，
则S＝－（x－190）2＋×1902，0＜x＜200，
即x＝190时，最大面积为24067m2．
　 总结：
解决函数应用题的流程图是：
　　解决函数应用题的基本步骤是：
　　第一步：认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题实际背景，然后进行科学的抽象、概括，将实际问题转化成实际问题，即实际问题数学化．
　　第二步：运用所学的数学知识和数学方法解答函数问题，得出函数问题的解．
　　第三步：将所得函数问题的解代入实际问题进行验证，看是否符合实际，并对实际问题作答．
课后练习
　　1．某城市出租汽车统一价格，凡上车起步价为6元，行程不超过2km者均按此价收费，行程超过2km，按1.8元/km收费，另外，遇到塞车或等候时，汽车虽没有行驶，仍按6分钟折算1km计算，陈先生坐了一趟这种出租车，车费17元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程介于（　　）
　　A．5～7km　 　　　B．9～11km 　　　　C．7～9km　　 　　　D．3～5km
　　答案：A
　　2．某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20％，要使水中杂质减少到原来的5％以下，则至少需要过滤的次数为（　　）（参考数据lg2＝0.3010，lg3＝0.4771）
　　A．5　　 　　　 B．10　　　　 C．14　　　 　　　 D．15
　　答案：C
　　3．有一批材料可以建成200m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如下图所示），则围成的矩形最大面积为________m2（围墙厚度不计）．
　　解析：设矩形宽为xm，则矩形长为（200－4x）m，
则矩形面积为
S＝x（200－4x）＝－4（x－25）2＋2500（0＜x＜50），
　　∴x＝25时，S有最大值2500m2．
　　4．一家人（父亲、母亲、孩子）去某地旅游，有两个旅行社同时发出邀请，且有各自的优惠政策．甲旅行社承诺，如果父亲买一张全票，则其家庭成员均可享受半价，乙旅行社承诺，家庭旅行算团体票，按原价的计算，这两家旅行社的原价是一样的，若家庭中孩子数不同，试分别列出两家旅行社优惠政策实施后的孩子个数为变量的收费表达式，比较选择哪家更优惠？
　　解答：设两家旅行社的原价为a（a＞0），家庭孩子个数为x（xN*），甲、乙两家旅行收费分别为f（x）和g（x），
　　则f（x）＝a＋（x＋1）·＝x＋a（xN*），
　　g（x）＝（x＋2）·＝x＋（xN*），
　　g（x）≥f（x），得 x＋≤x＋，∴x≥1．
　　因此，当家庭只有1个孩子时，两家随便选择，当孩子数多于1个时，应选择甲旅行社．
　　5．某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80％出售，同时当顾客在该商场内消费满一定金额后，按以下方案获得相应金额的奖券：
消费金额的范围 ［200，400） ［400，500） ［500，700） ［700，900） …
获得奖券的金额 30 60 100 130 …
　　根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如：购买标价400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为400×0.2＋30＝110元，设购买商品的优惠率＝．
　　试问：（1）若购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？
　　（2）对于标价在［500，800］内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可获得不小于的优惠率？
　　答案：（1）优惠率为33％；
　　（2）标价在［625，750］内的商品，购买时可获得不小于的优惠率．
　　6．经市场调查，某商品在近100天内，其销售量和价格均为时间t的函数，且销售量近似地满足关系g（t）＝－t＋，（tN，0＜t≤100），在前40天里价格为f（t）＝t＋22（tN，0＜t≤40），在后60天里价格为f（t）＝－t＋52（tN，40＜t≤100），求这种商品的日销售额的最大值．
　　解析：由题意知，当0＜t≤40，h（t）＝－（t－10.5）2＋；
　　当40＜t≤100，h（t）＝（t－106.5）2－；∴t＝10或11时，这种商品的日销售额的最大值为808.5．
第30、31课时 函数模型及其应用
［例1］一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月（以30天计算）有20天每天可卖出400份，其余10天只能卖250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买多少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能赚多少钱？
　　
　 ［例2］某人从A地到B地乘坐出租车，有两种方案，第一种方案：租用起步价10元，每km价为1.2元的汽车；第二种方案：租用起步价为8元，每km价为1.4元的汽车，按出租车管理条例，在起步价内，不同型号行驶的里程是相等的．则此人从A地到扫地选择哪一种方案比较合适．
　　
　　［例3］按复利计算利率的储蓄，银行整存一年，年息8％，零存每月利息2％，现把2万元存入银行3年半，求取出后本利的和
　　
　 ［例4］某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路，下图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图形中较符合该生走法的是（　　）
　　
　　［例5］容器中有浓度为m％的溶液a升，现从中倒出b升后用水加满，再倒出b升后用水加满，求这样进行了10次后溶液的浓度
　　　　　
　　
　　［例6］某地方政府为保护地方电子工业发展，决定对某一进口电子产品征收附加税．已知这种电子产品国内市场零售价为每件250元，每年可销售40万件，若政府增加附加税率为每百元收t元时，则每年销售量将减少 t万件．
　　（1）将税金收入表示为征收附加税率的函数；
　　（2）若在该项经营中每年征收附加税金不低于600万元，那么附加税率应控制在什么范围？
　　
　　［例7］将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个．若每个销售涨价一元，则日销售量减少10个．为获得最大利润，则此商品当日销售价应定为每个多少元？
　　
　　［例8］为保护环境，实现城市绿化，某房地产公司要在拆迁地矩形ABCD（如下图所示）上规划出一块矩形地面建造住宅区小公园POCR（公园的两边分别落在BC和CD上），但不能超过文物保护三角形AEF的红线EF．问如何设计才能使公园占地面积最大？并求出最大面积．已知AB＝CD＝200m，BC＝AD＝160m，AE＝60m，AF＝40m．
　
课后练习
　　1．某城市出租汽车统一价格，凡上车起步价为6元，行程不超过2km者均按此价收费，行程超过2km，按1.8元/km收费，另外，遇到塞车或等候时，汽车虽没有行驶，仍按6分钟折算1km计算，陈先生坐了一趟这种出租车，车费17元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程介于（　　）
　　A．5～7km　 　　　B．9～11km 　　　　C．7～9km　　 　　　D．3～5km
　 2．某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20％，要使水中杂质减少到原来的5％以下，则至少需要过滤的次数为（　　）（参考数据lg2＝0.3010，lg3＝0.4771）
　　A．5　　 　　　 B．10　　　　 C．14　　　 　　　 D．15
　 3．有一批材料可以建成200m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如下图所示），则围成的矩形最大面积为________m2（围墙厚度不计）．
　
　
　　4．一家人（父亲、母亲、孩子）去某地旅游，有两个旅行社同时发出邀请，且有各自的优惠政策．甲旅行社承诺，如果父亲买一张全票，则其家庭成员均可享受半价，乙旅行社承诺，家庭旅行算团体票，按原价的计算，这两家旅行社的原价是一样的，若家庭中孩子数不同，试分别列出两家旅行社优惠政策实施后的孩子个数为变量的收费表达式，比较选择哪家更优惠？
　　
　　5．某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80％出售，同时当顾客在该商场内消费满一定金额后，按以下方案获得相应金额的奖券：
消费金额的范围 ［200，400） ［400，500） ［500，700） ［700，900） …
获得奖券的金额 30 60 100 130 …
　　根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如：购买标价400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为400×0.2＋30＝110元，设购买商品的优惠率＝．
　　试问：（1）若购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？
　　（2）对于标价在［500，800］内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可获得不小于的优惠率？
　　
　　6．经市场调查，某商品在近100天内，其销售量和价格均为时间t的函数，且销售量近似地满足关系g（t）＝－t＋，（tN，0＜t≤100），在前40天里价格为f（t）＝t＋22（tN，0＜t≤40），在后60天里价格为f（t）＝－t＋52（tN，40＜t≤100），求这种商品的日销售额的最大值．
　　
- 12 -第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
第1课时 函数的概念和图象（一）
教学目标：
使学生理解函数的概念，明确决定函数的三个要素，学会求某些函数的定义域，掌握判定两个函数是否相同的方法；使学生理解静与动的辩证关系.
教学重点：
函数的概念，函数定义域的求法.
教学难点：
函数概念的理解.
教学过程：
Ⅰ.课题导入
［师］在初中，我们已经学习了函数的概念，请同学们回忆一下，它是怎样表述的？
（几位学生试着表述，之后，教师将学生的回答梳理，再表述或者启示学生将表述补充完整再条理表述）.
设在一个变化的过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有惟一的值与它对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量.
［师］我们学习了函数的概念，并且具体研究了正比例函数，反比例函数，一次函数，二次函数，请同学们思考下面两个问题：
问题一：y＝1（x∈R）是函数吗？
问题二：y＝x与y＝是同一个函数吗？
（学生思考，很难回答）
［师］显然，仅用上述函数概念很难回答这些问题，因此，需要从新的高度来认识函数概念（板书课题）.
Ⅱ.讲授新课
［师］下面我们先看两个非空集合A、B的元素之间的一些对应关系的例子.
在（1）中，对应关系是“乘2”，即对于集合A中的每一个数n，集合B中都有一个数2n和它对应.
在（2）中，对应关系是“求平方”，即对于集合A中的每一个数m，集合B中都有一个平方数m2和它对应.
在（3）中，对应关系是“求倒数”，即对于集合A中的每一个数x，集合B中都有一个数 和它对应.
请同学们观察3个对应，它们分别是怎样形式的对应呢？
［生］一对一、二对一、一对一.
［师］这3个对应的共同特点是什么呢？
[生甲]对于集合A中的任意一个数，按照某种对应关系，集合B中都有惟一的数和它对应.
［师］生甲回答的很好，不但找到了3个对应的共同特点，还特别强调了对应关系，事实上，一个集合中的数与另一集合中的数的对应是按照一定的关系对应的，这是不能忽略的. 实际上，函数就是从自变量x的集合到函数值y的集合的一种对应关系.
现在我们把函数的概念进一步叙述如下：（板书）
设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有惟一确定的数f(x)和它对应，那么就称f︰A→B为从集合A到集合B的一个函数.
记作：y＝f(x)，x∈A
其中x叫自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y（或f(x)）值叫做函数值，函数值的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫函数的值域.
一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域是R，值域也是R.对于R中的任意一个数x，在R中都有一个数f(x)＝ax＋b(a≠0)和它对应.
反比例函数f(x)＝ (k≠0)的定义域是A＝{x|x≠0}，值域是B＝{f(x)|f(x)≠0}，对于A中的任意一个实数x，在B中都有一个实数f(x)＝ (k≠0)和它对应.
二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c（a≠0）的定义域是R，值域是当a＞0时B＝{f(x)|f(x)≥}；当a＜0时，B＝{f(x)|f(x)≤}，它使得R中的任意一个数x与B中的数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)对应.
函数概念用集合、对应的语言叙述后，我们就很容易回答前面所提出的两个问题.
y=1（x∈R）是函数，因为对于实数集R中的任何一个数x，按照对应关系“函数值是1”，在R中y都有惟一确定的值1与它对应，所以说y是x的函数.
Y＝x与y＝不是同一个函数，因为尽管它们的对应关系一样，但y＝x的定义域是R，而y＝的定义域是{x|x≠0}. 所以y＝x与y＝不是同一个函数.
［师］理解函数的定义，我们应该注意些什么呢？
（教师提出问题，启发、引导学生思考、讨论，并和学生一起归纳、总结）
注意：①函数是非空数集到非空数集上的一种对应.
②符号“f:A→B”表示A到B的一个函数，它有三个要素；定义域、值域、对应关系，三者缺一不可.
③集合A中数的任意性，集合B中数的惟一性.
④f表示对应关系，在不同的函数中，f的具体含义不一样.
⑤f(x)是一个符号，绝对不能理解为f与x的乘积.
［师］在研究函数时，除用符号f(x）表示函数外，还常用g(x) 、F（x)、G（x)等符号来表示
Ⅲ.例题分析
［例1］求下列函数的定义域.
(1)f(x)＝ (2)f(x)＝ (3)f(x)＝＋
分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定.如果只给出解析式y＝f(x)，而没有指明它的定义域.那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数x的集合.
解：(1)x－2≠0，即x≠2时，有意义
∴这个函数的定义域是{x｜x≠2}
(2)3x＋2≥0，即x≥－时有意义
∴函数y＝的定义域是[－，＋∞）
(3)
∴这个函数的定义域是{x｜x≥－1}∩{x｜x≠2}＝[－1，2）∪（2，＋∞）.
注意：函数的定义域可用三种方法表示：不等式、集合、区间.
从上例可以看出，当确定用解析式y＝f（x）表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：
(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；
(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；
(3)如果f（x）是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合；
(4)如果f（x）是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合(即使每个部分有意义的实数的集合的交集)；
(5)如果f(x)是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合.
例如：一矩形的宽为x m，长是宽的2倍，其面积为y＝2x2，此函数定义域为x＞0而不是全体实数.
由以上分析可知：函数的定义域由数学式子本身的意义和问题的实际意义决定.
［师］自变量x在定义域中任取一个确定的值a时，对应的函数值用符号f(a)来表示.例如，函数f(x)＝x2＋3x＋1，当x＝2时的函数值是f(2)＝22＋3·2＋1＝11
注意：f(a)是常量，f(x)是变量 ，f(a)是函数f(x)中当自变量x＝a时的函数值.
下面我们来看求函数式的值应该怎样进行呢？
[生甲]求函数式的值，严格地说是求函数式中自变量x为某一确定的值时函数式的值，因此，求函数式的值，只要把函数式中的x换为相应确定的数（或字母，或式子）进行计算即可.
［师］回答正确，不过要准确地求出函数式的值，计算时万万不可粗心大意噢!
[生乙]判定两个函数是否相同，就看其定义域或对应关系是否完全一致，完全一致时，这两个函数就相同；不完全一致时，这两个函数就不同.
［师］生乙的回答完整吗？
［生］完整!（课本上就是如生乙所述那样写的）.
［师］大家说，判定两个函数是否相同的依据是什么？
［生］函数的定义.
［师］函数的定义有三个要素：定义域、值域、对应关系，我们判定两个函数是否相同为什么只看两个要素：定义域和对应关系，而不看值域呢？
（学生窃窃私语：是啊，函数的三个要素不是缺一不可吗？怎不看值域呢？）
（无人回答）
［师］同学们预习时还是欠仔细，欠思考!我们做事情，看问题都要多问几个为什么!函数的值域是由什么决定的，不就是由函数的定义域与对应关系决定的吗!关注了函数的定义域与对应关系，三者就全看了!
（生恍然大悟，我们怎么就没想到呢？）
[例2]求下列函数的值域
(1)y＝1－2x （x∈R） (2)y＝｜x｜－1 x∈{－2，－1，0，1，2}
(3)y＝x2＋4x＋3 （－3≤x≤1）
分析：求函数的值域应确定相应的定义域后再根据函数的具体形式及运算确定其值域.
对于(1)(2)可用“直接法”根据它们的定义域及对应法则得到(1)(2)的值域.
对于(3)可借助数形结合思想利用它们的图象得到值域，即“图象法”.
解：(1)y∈R
(2)y∈{1，0，－1}
(3)画出y＝x2＋4x＋3（－3≤x≤1）的图象，如图所示，
当x∈[－3，1]时，得y∈[－1，8]
Ⅳ.课堂练习
课本P24练习1—7.
Ⅴ.课时小结
本节课我们学习了函数的定义（包括定义域、值域的概念）、区间的概念及求函数定义域的方法.学习函数定义应注意的问题及求定义域时的各种情形应该予以重视.（本小结的内容可由学生自己来归纳）
Ⅵ.课后作业
课本P28，习题1、2.
- 4 -第27课时 对数函数的运用
教学目标：
使学生掌握对数形式复合函数的单调性的判断及证明方法，掌握对数形式复合函数的奇偶性的判断及证明方法，培养学生的数学应用意识；认识事物之间的内在联系及相互转化，用联系的观点分析问题、解决问题.
教学重点：
复合函数单调性、奇偶性的讨论方法.
教学难点：
复合函数单调性、奇偶性的讨论方法.
教学过程：
［例1］设loga＜1，则实数a的取值范围是
A.0＜a＜ B. ＜a＜1
C.0＜a＜或a＞1 D.a＞
解：由loga＜1＝logaa得
(1)当0＜a＜1时，由y＝logax是减函数，得：0＜a＜
(2)当a＞1时，由y＝logax是增函数，得：a＞，∴a＞1
综合（1）(2)得：0＜a＜或a＞1 答案：C
［例2］三个数60.7，0.76，log0.76的大小顺序是
A.0.76＜log0.76＜60.7 B.0.76＜60.7＜log0.76
C.log0.76＜60.7＜0.76 D.log0.76＜0.76＜60.7
解：由于60.7＞1，0＜0.76＜1，log0.76＜0 答案：D
［例3］设0＜x＜1，a＞0且a≠1，试比较|loga(1－x)|与|loga(1+x)|的大小
解法一：作差法
|loga(1－x)|－|loga(1+x)|＝| |－| |
＝(|lg(1－x)|－|lg(1+x)|)
∵0＜x＜1，∴0＜1－x＜1＜1+x
∴上式＝－ [（lg(1－x)+lg(1+x)]＝－·lg(1－x2)
由0＜x＜1，得lg(1－x2)＜0，∴－·lg(1－x2)＞0，
∴|loga(1－x)|＞|loga(1+x)|
解法二：作商法
＝|log(1－x)(1+x)|
∵0＜x＜1 ∴0＜1－x＜1+x
∴|log(1－x)(1+x)|＝－log(1－x)(1+x)＝log(1－x)
由0＜x＜1 ∴1+x＞1，0＜1－x2＜1
∴0＜(1－x)(1+x)＜1 ∴＞1－x＞0
∴0＜log(1－x) ＜log(1－x)(1－x)＝1
∴|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|
解法三：平方后比较大小
∵loga2（1－x）－loga2(1＋x)＝[loga(1－x)＋loga(1＋x)][loga（1－x）－loga(1＋x)]
＝loga(1－x2)·loga＝·lg(1－x2)·lg
∵0＜x＜1，∴0＜1－x2＜1，0＜＜1
∴lg(1－x2)＜0，lg＜0
∴loga2(1－x)＞loga2(1+x)
即|loga(1－x)|＞|loga(1+x)|
解法四：分类讨论去掉绝对值
当a＞1时，|loga（1－x）|－|loga(1+x)|
＝－loga(1－x)－loga(1+x)＝－loga(1－x2)
∵0＜1－x＜1＜1+x，∴0＜1－x2＜1
∴loga(1－x2)＜0， ∴－loga(1－x2)＞0
当0＜a＜1时，由0＜x＜1，则有loga（1－x）＞0，loga(1+x)＜0
∴|loga(1－x)|－|loga(1+x)|＝|loga(1－x)+loga(1+x)|＝loga(1－x2)＞0
∴当a＞0且a≠1时，总有|loga（1－x）|＞|loga(1+x)|
［例4］已知函数f(x)＝lg[（a2－1）x2＋(a＋1)x＋1]，若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围.
解：依题意(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1＞0对一切x∈R恒成立.
当a2－1≠0时，其充要条件是：
解得a＜－1或a＞
又a＝－1，f(x)＝0满足题意，a＝1不合题意.
所以a的取值范围是：（－∞，－1]∪（，+∞）
［例5］已知f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，比较f(x)与g(x)的大小
解：易知f(x)、g(x)的定义域均是：（0，1）∪（1，+∞）
f(x)－g(x)＝1＋logx3－2logx2＝logx(x).
①当x＞1时，若x＞1，则x＞，这时f(x)＞g(x).
若x＜1，则1＜x＜，这时f(x)＜g(x)
②当0＜x＜1时，0＜x＜1，logxx＞0，这时f(x)＞g(x)
故由（1）、（2）可知：当x∈(0，1)∪（，+∞）时，f(x)＞g(x)
当x∈（1，）时，f(x)＜g(x)
［例6］解方程：2(9x－1－5)＝[4（3x－1－2）]
解：原方程可化为
(9x－1－5)＝[4（3x－1－2）]
∴9x－1－5＝4(3x－1－2) 即9x－1－4·3x－1+3＝0
∴(3x－1－1)(3x－1－3)＝0 ∴3x－1＝1或3x－1＝3
∴x＝1或x＝2 经检验x＝1是增根
∴x＝2是原方程的根.
［例7］解方程log2（2-x－1）(2-x+1－2)＝－2
解：原方程可化为：
log2（2-x－1）(－1)log2[2（2-x－1）]＝－2
即：log2(2-x－1)[log2(2-x－1)＋1]＝2
令t＝log2(2-x－1)，则t2＋t－2＝0
解之得t＝－2或t＝1
∴log2(2-x－1)＝－2或log2(2-x－1)＝1
解之得：x＝－log2或x＝－log23
- 3 -第14课时 根式
教学目标：
使学生进一步熟悉对数定义与幂的运算性质，理解对数运算性质的推导过程，熟悉对数的运算性质的内容，熟练运用对数的运算性质进而化简求值，明确对数的运算性质与幂的运算性质的区别.能运用联系的观点解决问题，认识事物之间的相互联系与相互转化.
教学重点：
证明对数运算性质.
教学难点：
对数运算性质的证明方法与对数定义的联系.
教学过程：
教学目标
(一)教学知识点
1.n次方根定义.
2.根式概念.
(二)能力训练要求
1.理解n次方根定义.
2.理解根式的概念.
3.正确运用根式运算性质化简、求值.
4.了解分类讨论思想在解题中的应用.
(三)德育渗透目标
1.掌握由特殊到一般的归纳方法.
2.培养学生认识、接受新事物的能力.
●教学重点
根式概念.
●教学难点
根式概念的理解.
●教学方法
学导式
本节是指数与指数函数的入门课，概念性较强，为突破根式概念理解这一教学难点，关键在于使学生理解n次方根定义，故结合学生在初中已经熟悉的平方根、立方根的概念，由特殊逐渐地过渡到一般的n次方根定义，使学生易于接受，并且引导学生主动参与了教学活动.
在得出根式概念后，要引导学生注意它与n次方根的关系，并强调说明根式是n次方根的一种表示形式，加强学生对概念的理解.
●教具准备
幻灯片四张
第一张：整数指数幂概念、运算性质(记作§2.5.1 A)
第二张：n次方根举例(记作§2.5.1　B)
第三张：根式性质推导(记作§2.5.1　C)
第四张：本节例题(记作§2.5.1　D)
●教学过程
Ⅰ.复习回顾
［师］在初中，我们已经学习了整数指数幂的概念及其性质.现在，我们一起来看屏幕.
(打出幻灯片§2.5.1　A)
整数指数幂概念 整数指数幂运算性质
an＝（n∈N*） （1）aman＝am＋n（m，n∈Z）
a0＝1 （2）（am）n＝am·n（m，n∈Z）
a－n＝ （3）（ab）n＝an·bn（n∈Z）
［师］因为am÷an可看作am·a－n，所以am÷an＝am－n可以归入性质(1)；又因为()n可看作an·b-n，所以（）n＝可以归入性质(3).
我们复习这部分内容是为下一节学习分数指数幂打基础.
［师］另外，我们在初中还学方根、立方根这两个概念.(打出幻灯片§2.5.1 B)
22＝4
（－2）2＝4 2，－2叫4的平方根
23＝8 2叫8的立方根
（－2）3333333＝－8 －2叫－8的立方根
25＝32 2叫32的5次方根
… …
2n＝a 2叫a的n次方根
［师］我们一起来看，若22＝4，则2叫4的平方根；若23＝8，2叫8的立方根；若25＝32，则2叫32的5次方根，类似地，若2n＝a，则2叫a的n次方根.这样，我们可以给出n次方根的定义.
Ⅱ.讲授新课
1.n次方根的定义(板书)
若xn＝a（n＞1且n∈N*），则x叫a的n次方根.
［师］n次方根的定义给出了，我们考虑这样一个问题，x如何用a表示呢 (提示学生看幻灯片§2.5.1 B，并叫学生回答).
［生］正数的平方根有两个且互为相反数，负数没有平方根；正数的立方根是正数，负数的立方根是负数.
［师］跟平方根一样，偶次方根有下列性质：
在实数范围内，正数的偶次方根有两个且互为相反数，负数没有偶次方根；跟立方根一样，奇次方根有下列性质：
在实数范围内，正数的奇次方根是正数，负数的奇次方根是负数.
这样，我们便可得到n次方根的性质
2.n次方根的性质(板书)
x＝（k∈N*）
其中叫根式，n叫根指数，a叫被开方数.
［师］请大家注意，根式是n次方根的一种表示形式，并且，由n次方根的定义，我们可以得到根式的运算性质.
3.根式的运算性质(板书)
①（）n＝a
②＝
［师］关于性质的推导，我们一起来看屏幕：
(打出幻灯片§2.5.1 C)
性质①推导过程：
当n为奇数时，x＝，由xn＝a得（）n＝a；
当n为偶数时，x＝±，由xn＝a得（）n＝a；
综上所述，可知：（）n＝A.
性质②推导过程：
当n为奇数时，由n次方根定义得：
a＝；
当n为偶数时，由n次方根定义得：a＝±
则｜a｜＝｜±｜＝
综上所述：＝
[师］性质②有一定变化，即对于n应分奇数与偶数两种情况来讨论，大家应重点掌握，接下来，我们通过例题来熟悉根式运算性质的应用.(打出幻灯片§2.5.1 D）
［例1］求下列各式的值
(1) （2）
(3) （4）（a＞b）
解：(1) ＝－8
(2) ＝｜－10｜
(3) ＝｜3－π｜＝π－3
(4) ＝｜a－b｜＝a－b（a＞b）
［师］根指数n为奇数的题目较易处理，而例题侧重于根指数n为偶数的运算，说明此类题目容易出错，应引起大家的注意.为使大家进一步熟悉根式性质的运用，我们来做练习题.
Ⅲ.课堂练习
(1) （2）
（3） （4）
解：(1) ＝＝－2
(2) ＝＝（－3）2＝9
(3) ＝｜－｜＝－
(4) ＝
＝｜－｜＝－
Ⅳ.课时小结
［师］通过本节学习,大家要能在理解根式概念的基础上,正确运用根式的运算性质解题.
Ⅴ.课后作业
（一）求下列各式的值：
(1) （2）
（3） （4）
解：（1）＝＝－3
(2) ＝｜π－4｜＝4－π
(3) ＝＝｜a3｜
(4) ＝｜｜＝
（二）1.预习内容：课本P71～P72.
2.预习提纲：
(1)根式与分数指数幂有何关系
(2)整数指数幂运算性质推广后有何变化
●板书设计
§2.5.1 根 式
1.方根定义
若xn＝a（n＞1且n∈N*），则x叫a的n次方根
2.n次方根性质
x＝
3.根式运算性质
①（）n＝a
②＝
4.例题分析
5.学生练习
教学目的：
1．掌握根式的概念和性质，并能熟练应用于相关计算中
2．培养培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、化归转化能力；
教学重点：根式的概念性质
教学难点：根式的概念
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教材分析：
指数函数是基本初等函数之一，应用非常广泛它是在本章学习完函数概念和两个基本性质之后较为系统地研究的第一个初等函数
为了学习指数函数应该将初中学过的指数概念进行扩展，初中代数中学习了正整数指数、零指数和负整数指数的概念和运算性质本节在此基础上学习的运算性质为下一节学习分数指数幂概念和性质做准备
教学过程：
一、复习引入：
1．整数指数幂的概念
2．运算性质：
3．注意
① 可看作 ∴==
② 可看作 ∴==
二、讲解新课：
1．根式：
⑴计算（可用计算器）
①= 9 ，则3是9的平方根 ；
②=－125 ，则－5是－125的立方根 ；
③若=1296 ，则6是1296 的 4次方根 ；
④=693.43957 ，则3.7是693.43957的5次方根 .
⑵定义：
一般地，若 则x叫做a的n次方根
叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数
例如，27的3次方根表示为，-32的5次方根表示为，的3次方根表示为；16的4次方根表示为，即16的4次方根有两个，一个是，另一个是-，它们绝对值相等而符号相反.
⑶性质：
①当n为奇数时：正数的n次方根为正数，负数的n次方根为负数
记作：
②当n为偶数时，正数的n次方根有两个（互为相反数）
记作：
③负数没有偶次方根，
④ 0的任何次方根为0
注：当a0时，0，表示算术根，所以类似=2的写法是错误的.
⑷常用公式
根据n次方根的定义，易得到以下三组常用公式：
①当n为任意正整数时，()=a.例如，()=27，()=-32.
②当n为奇数时，=a；当n为偶数时，=|a|=.
例如，=-2，=2；=3，=|-3|=3.
⑶根式的基本性质：，（a0）.
注意，⑶中的a0十分重要，无此条件则公式不成立. 例如.
用语言叙述上面三个公式：
⑴非负实数a的n次方根的n次幂是它本身.
⑵n为奇数时，实数a的n次幂的n次方根是a本身；n为偶数时，实数a的n次幂的n次方根是a的绝对值.
⑶若一个根式(算术根)的被开方数是一个非负实数的幂，那么这个根式的根指数和被开方数的指数都乘以或者除以同一个正整数，根式的值不变.
三、讲解例题：
例1（课本第71页 例1）求值
①= -8 ；
②= |-10| = 10 ；
③= || = ；
④= |a- b| = a- b .
去掉‘a>b’结果如何？
例2求值：
分析：（1）题需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质；
解：
四、练习：
五、小结 本节课学习了以下内容：
1．根式的概念；
2．根式的运算性质：
①当n为任意正整数时，()=a.
②当n为奇数时，=a；当n为偶数时，=|a|=.
⑶根式的基本性质：，（a0）.
六、课后作业：
七、板书设计（略）
八、课后记：对称变换
对称变换都有哪些内容？
【答】 对称变换主要有
①y=f(－x)与y=f(x)的图象关于y轴对称;
若f(－x)=f(x),则函数自身的图象关于y轴对称.
②y=－f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称.
③y=－f(－x)与y=f(x)的图象关于原点对称;
若f(－x)=－f(x),则函数自身的图象关于原点对称.
④y=f－1(x)与y=f(x)的图象关于直线y=x对称.
⑤y=－f－1(－x)与y=f(x)的图象关于直线y=－x对称.
⑥y=f(2a－x)与y=f(x)的图象关于直线x=a对称；
若f(x)=f(2a－x)(或f(a＋x)=f(a－x))则函数自身的图象关于直线x=a对称.
⑦y=2b－f(x)与y=f(x)的图象关于直线y=b对称.
⑧y=2b－f(2a－x)与y=f(x)的图象关于点(a,b)对称.
［案例1］证明函数y= (a≠1)的图象关于直线y=x对称.
本题考查对函数图象本身关于直线对称的理解.
【分析】 利用函数解析式与它的反函数的解析式若为同一个函数，则函数图象关于直线y=x对称，也可利用函数图象上任意点关于直线的对称点也在已知函数的图象上，则函数图象关于直线y=x对称.
【证法一】 ∵a≠1,y= (1＋) ∴y
由y= 得x(ay－1)=y－1,x=
∴y=(a≠1)的反函数是y=
∴y=的图象关于直线y=x对称.
【证法二】 设点P(x′,y′)是这个函数图象上任一点，则x′≠且y′=①
易知点P关于直线y=x的对称点P′的坐标为(y′,x′)由①得y′(ax′－1)=x′－1②
即x′(ay′－1)=y′－1
如果ay′－1=0,则y′=,代入①得=.
解得a=1,与已知矛盾.
于是ay′－1≠0,∴由②得x′=
这说明点P′(y′,x′)也在已知函数的图象上.
因此，这个函数的图象关于直线y=x成对称图形.
【评注】 要分清函数本身关于直线y=x对称与两个函数关于直线y=x对称的区别.
1.已知函数y=f(x)的图象如图2—3，则下列函数所对应的图象中，不正确的是( )
A.y=|f(x)|
B.y=f(|x|)
C.y=f(－x)
D.y=－f(x)
【解析】 y=f(|x|)是偶函数，图象关于y轴对称. 【答案】 B
8.设函数y=2x的图象为C，某函数的图象C′与C关于直线x=2对称，那么这个函数是( )
A.y=2－x B.y=22－x
C.y=24－x D.y=2x－4
【解析】 ∵y=f(x)的图象与y=f(4－x)的图象关于直线x=2对称，设f(x)=2x,则f(4－x)=24－x.
【答案】 C
10.设函数y=f(x)的定义域是R，且f(x－1)=f(1－x),那么f(x)的图象有对称轴( )
A.直线x=0 B.直线x=1
C.直线y=0 D.直线y=1
【解析】 设x－1=t,则f(t)=f(－t)，函数为偶函数，关于y轴对称. 【答案】 A
12.已知函数f(x)=(x≠2),那么函数f(x＋1)的图象关于直线y=x成对称图形的函数是( )
A.y=(x≠1) B.y=(x≠1)
C.y=(x≠1) D.y=(x≠0)
【解析】 ∵f(x＋1)=y==1＋ (x≠1)
∴x=1＋,即上式的反函数是y=(x≠1). 【答案】 B
13.函数y=的图象关于点_____对称.
【解析】 y==－1＋,y=的图象是由y=的图象先右移1个单位，再下移1个单位而得到，故对称点为(1，－1). 【答案】 (1，－1)
16.定义在R上的函数y=f(x)、y=f(－x)、y=－f(x)、y=－f(－x)的图象重合，它们的值域为_____.
【解析】 函数y=f(x)与y=f(－x)的图象重合，说明函数y=f(x)的图象关于y轴对称；y=f(x)与y=－f(x)图象重合，说明y=f(x)的图象关于x轴对称；y=f(x)与y=－f(－x)的图象重合，说明y=f(x)的图象关于原点对称.即若y=f(x)上任一点(x,y),则也有点(－x,y)、(x,－y)、(－x,－y);根据函数的定义，对于任一x∈R,只能有惟一的y与之对应，从而y=－y,即y=0，故函数的值域为{0}.
17.已知函数f(x)定义域为R，则下列命题中
①y=f(x)为偶函数，则y=f(x＋2)的图象关于y轴对称.
②y=f(x＋2)为偶函数，则y=f(x)关于直线x=2对称.
③若f(x－2)=f(2－x),则y=f(x)关于直线x=2对称.
④y=f(x－2)和y=f(2－x)的图象关于x=2对称.
其中正确命题序号有_____(填上所有正确命题序号).
【解析】 ①y=f(x)是偶函数，而f(x＋2)是将f(x)的图象向左平移2个单位得到的，则对称轴左移2个单位为x=－2,所以f(x＋2)图象关于直线x=－2对称.
②y=f(x＋2)为偶函数，则f(x＋2)=f(2－x),所以y=f(x)图象关于直线x=2对称.
③令x－2=t,则2－x=－t,得f(t)=f(－t),y=f(x)的图象关于y轴对称.
④f(x)与f(－x)的图象关于y轴对称，将f(x)与f(－x)的图象分别向右平移2个单位，分别得到f(x－2)与f(2－x)的图象，对称轴右移2个单位为直线x=2. 【答案】 ②④
18.若函数y=f(x)=的图象关于直线y=x对称，求a,b应满足的条件.
【解】 由y=f(x)= (x≠),得2xy－by=2ax＋1
∴2(y－a)x=by＋1,∴x=
∴y=f(x)的反函数是f－1(x)= (x≠a)
∵y=f(x)的图象关于直线y=x对称，则函数y=f(x)反函数就是它本身.
∴=，比较系数得b=2a.
即为a,b所满足的条件.
20.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋2)=－f(x),又当－1≤x≤1时，f(x)=x3.
(1)证明直线x=1是函数f(x)的图象的一条对称轴；(2)当x∈［1,5］时，求f(x)的解析式.
【解】 (1)设(x0,y0)是f(x)的图象上任意一点，它关于x=1对称的点为(x1,y1),则y0=y1,x0=2－x1,
∴y1=f(2－x1)=－f(－x1)=f(x1)
∴(x1,y1)也在y=f(x)的图象上，命题成立.
(2)∵f(x)的图象关于x=1对称，故当1≤x≤3时，f(x)=(2－x)3
又当3∴f(x)=
图2—3第7课时 函数的图象
教学目标：
使学生掌握作函数图象的一般步骤，会运用平移变换和翻折变换作图.
教学重点：
用平移变换和翻折变换作图.
教学难点：
用平移变换和翻折变换作图.
教学过程：
(1)作函数图象的一般步骤：
①确定函数的定义域(决定图象的左、右位置)和值域(决定图象的上、下位置).
②化简函数的表达式(如含绝对值的函数应化为分段函数).
③讨论函数的性质(如奇偶性、单调性、周期性等图象特征及图象上特殊点的位置).
④利用基本函数图象作出所需函数的图象.
(2)描绘函数图象的基本方法有
①描点法：通过列表、描点、连线三步，画出函数的图象.
②图象变换法：一个函数图象经过适当的变换，得到另一个与之有关的函数图象.
问题1：平移变换都有哪些内容？
【答】 平移变换主要有
①水平平移y＝f(x±a)(a>0)的图象，可由y＝f(x)的图象向左或右平移a个单位得到.
②竖直平移y＝f(x)±b(b>0)的图象，可由y＝f(x)的图象向上或向下平移b个单位而得到.
问题2：翻折变换都有哪些内容？
【答】 翻折变换主要有
①y＝f(|x|)的图象在y轴右侧(x>0)的部分与y＝f(x)的图象相同，在y轴左侧部分与其右侧部分关于y轴对称.
②y＝|f(x)|的图象在x轴上方部分与y=f(x)的图象相同，其他部分图象为y＝f(x)图象下方部分关于x轴的对称图形.
[例1]作函数y＝ eq \b\lc\{(\a\al(x＋1 x≤1,（5－x） 1＜x≤3,4－x x＞3)) 的图象.
[例2]作函数y＝x2－2︱x︱－2的图象.
[例3]作函数y＝︱x2－2x︱＋2的图象.
[例4]如何由函数y＝x2的图像变换得到函数y＝（x－1）2＋2的图象？
[例5]作函数y＝－3的图象.
总结：图像平移
[例6]作函数y＝x ＋ 的图象.
扩展：y＝ax ＋ （a＞0，b＞0）的图像.
练习题：
1.如图为函数f(x)的图象，那么f(x)是 ( )
A.f(x)＝ B.f(x)＝x2－2|x|＋1
C.f(x)＝|x2－1| D.f(x)＝
【解析】 ∵A:f(x)=||x|－1|;B:f(x)=(|x|－1)2;D:f(x)=|x＋1|
∴可以看出B、C对应的图象应是曲线，不符合要求，
而D在x=1时，不符合要求. 【答案】 A
2.若把函数f(x)的图象作平移变换，使图象上的点P(1，0)变换成点Q(2，－1)，则函数y＝f(x)的图象经此变换后所得图象的函数解析式为 ( )
A.y＝f(x－1)－1 B.y＝f(x＋1)－1
C.y＝f(x－1)＋1 D.y＝f(x＋1)＋1 【答案】 A
EMBED PBrush
- 1 -第29课时 函数与方程
教学目标：
使学生掌握二次函数与二次方程这二者之间的相互联系，能运用数形结合、等价转化等数学思想.
教学重点：
利用函数的图象研究二次方程的根的分布问题.
教学难点：
利用函数的图象研究二次方程的根的分布问题.
教学过程：
Ⅰ.复习引入
初中二次函数的图象及有关的问题
Ⅱ.讲授新课
　　问题：二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）之间有怎样的关系？
　　我的思路：（1）当△＝b2－4ac＞0时，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有两个交点（x1，0）、（x2，0），（不妨设x1＜x2）对应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）有两个不等实根x1、x2；
　　（2）当△＝b2－4ac＝0时，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有且只有一个交点（x0，0），对应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）有两个相等实根x0；
　　（3）当△＝b2－4ac＜0时，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴没有公共点，对应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）没有实根．
　　［例1］已知集合A＝{x|x2－5x＋4≤0}与B＝{x|x2－2ax＋a＋2≤0，aR}，若A∪B＝A，求a的取值范围．
　　解析：本例主要考查学生对于二次方程的根的分布解决能力和灵活转化意识．
　　∵A＝［1，4］，A∪B＝A，∴BA．
　　若B＝，即x2－2ax＋a＋2＞0恒成立，则△＝4a2－4（a＋2）＜0，
　　∴－1＜a＜2；
　　若B≠，解法一：△＝4a2－4（a＋2）≥0，　　∴a≥2或a≤－1．
　　∵方程x2－2ax＋a＋2＝0的两根为x1，2＝a±．
　　则B＝{x|a－≤x≤a＋}，由题意知
　　 eq \b\lc\{(\a\al(a－≥1,a＋≤4))
　　解之得2≤a≤，综合可知a（－1，］．
　　解法二：f（x）＝x2－2ax＋a＋2，
　　如图知
　　解之得2≤a≤，综上可知a（－1，］．
　　［例2］已知x的不等式＞ax的解区间是（0，2），求a的值．
　　解析：本题主要考查含参数无理不等式的解法，运用逆向思维解决问题．
　　解法一：在同一坐标系中，分别画出两个函数y1＝和y2＝ax的图象．
如下图所示，欲使解区间恰为（0，2），则直线y＝ax必过点（2，2），则a＝1．
解法二：∵0＜x＜2，当a≥0时，则4x－x2＞a2x2．
　　∴0＜x＜，则＝2，∴a＝1．
　　当a＜0时，原不等式的解为（0，4），与题意不符，
∴a＜0舍去．
综上知a＝1．
　　［例3］已知函数f（x）＝x2＋2bx十c（c＜b＜1），f（1）＝0，且方程f（x）＋1＝0有实根，
　　（1）证明：－3＜c≤－1且b≥0；
　　（2）若m是方程f（x）＋1＝0的一个实根，判断f（m－4）的正负，并说明理由．
　　解析：（1）由f（1）＝0，则有b＝－，
　　又因为c＜b＜1，消去b解之得－3＜c＜－；　　　　　　　　　　　　　　　　①
　　又方程f（x）＋1＝0有实根，即x2＋2bx＋c＋1＝0有实根，
　　故△＝4b2－4（c＋1）≥0，消去b解之得c≥3或c≤－1；　　　　　　　　　　　②
　　由①②可知，－3＜c≤－1且b≥0．
　　（2）f（x）＝x2＋2bx＋c＝（x－c）（x－1），f（m）＝－1＜0，∴c＜m＜1，
　　从而c－4＜m－4＜－3＜c，
　　∴f（m－4）＝（m－4－c）（m－4－1）＞0，即f（m－4）的符号为正．
Ⅲ.课后作业
1．关于x的不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是（－∞，－）∪（，＋∞），求ab的值
　 解析：方程ax2＋bx＋2＝0的两根为－、，
　　则 ∴ ∴ab＝24．
2．方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，求实数a的取值范围．
　　解析：方法一：利用韦达定理，设方程x2－2ax＋4＝0的两根为x1、x2，
　　则解之得2≤a＜．
　　方法二：利用二次函数图象的特征，设f（x）＝x2－2ax＋4，
　　则解之得2≤a＜．
3．已知不等式ax2－5x＋b＞0的解集为{x|－3＜x＜－2}，求不等式6x2－5x＋a＞0的解集．
解析：由题意，方程ax2－5x＋b＝0的两根为－3、－2，由韦达定理得
则所求不等式为6x2－5x－1＞0，解之得x＜－或x＞1．
4．关于x的不等式组的整数解的集合为{－2}，求实数k的取值范围．
　　解析：不等式组可化为，
　　∵x＝－2，（如下图）
　　∴（2x＋5）（x＋k）＜0必为－＜x＜－k，－2＜－k≤3，得－3≤k＜2．
　　
- 3 -第24课时 对数函数（一）
教学目标：
使学生理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象和性质，培养学生数形结合的意识.学会用联系的观点分析问题，认识事物之间的相互转化，了解对数函数在生产实际中的简单应用.
教学重点：
对数函数的图象和性质.
教学难点：
对数函数与指数函数的关系.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
［师］我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题.某种细胞分裂时，得到的细胞的个数y是分裂次数x的函数，这个函数可以用指数函数y＝2x表示.
现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个……细胞，那么，分裂次数x就是要得到的细胞个数y的函数.根据对数的定义，这个函数可以写成对数的形式就是x＝log2y.
如果用x表示自变量，y表示函数，这个函数就是y＝log2x.
这一节，我们来研究对数函数.
Ⅱ.讲授新课
1.对数函数定义
一般地，当a＞0且a≠1时，函数y＝logax叫做对数函数.
［师］这里对数函数的解析式可以由指数函数求得，对数函数的定义域、值域也就是指数函数的值域、定义域.
即对数函数的定义域是（0，+∞)，值域是R.
［师］画出下列两组函数的图象，并观察各组函数的图象，寻找它们之间的关系：
（1）y＝2x，y＝log2x； （2）y＝（）x，y＝logx
它们的图象关于直线y＝x对称.
所以y＝logax的图象与y＝ax的图象关于直线y＝x对称.因此，我们只要画出和y＝ax的图象关于y＝x对称的曲线，就可以得到y＝logax的图象，然后根据图象特征得出对数函数的性质.
2.对数函数的图象和性质
a>1 0图象
性质 定义域：（0，+∞）
值域：R
过点（1，0），即当x＝1时，y＝0
x∈（0，1）时y＜0x∈（1，＋∞）时y＞0 x∈（0，1）时y＞0x∈（1，＋∞）时y＜0
在（0，+∞）上是增函数 在（0，+∞）上是减函数
［师］接下来，我们通过例题来看一下对数函数性质的简单应用.
3.例题讲解
［例1］求下列函数的定义域
（1）y＝logax2 (2)y＝loga(4－x) (3)y＝loga(9－x2)
分析：此题主要利用对数y＝logax的定义域（0，+∞）求解
解：（1）由x2＞0，得x≠0 所以函数y＝logax2的定义域是{x|x≠0}
(2)由4－x＞0，得x＜4 所以函数y=loga(4－x)的定义域是{x|x＜4}
(3)由9－x2＞0得－3＜x＜3 所以函数y=loga(9－x2)的定义域是{x|－3＜x＜3}
评述：此题只是对数函数性质的简单应用，应强调学生注意书写格式.
［师］为使大家进一步熟悉对数函数的图象和性质，我们来做练习.
Ⅲ.课堂练习
课本P69练习
1.画出函数y＝log3x及y＝的图象，并且说明这两个函数的相同性质和不同性质.
相同性质：两图象都位于y轴右方，都经过点（1，0），这说明两函数的定义域都是（0，+∞），且当x＝1，y＝0.
不同性质：y＝log3x的图象是上升的曲线，y＝的图象是下降的曲线，这说明前者在（0，+∞）上是增函数，后者在（0，+∞）上是减函数.
2.求下列函数的定义域：
（1）y＝log5(1－x) （2）y＝
（3）y＝log7 （4）y＝
解：（1）由1－x＞0得x＜1 ∴所求函数定义域为{x|x＜1}
(2）由log2x≠0，得x≠1，又x＞0 ∴所求函数定义域为{x|x＞0且x≠1}
(3)由 eq \b\lc\{(\a\al(＞0,1－3x≠0)) ，得x＜ ∴所求函数定义域为{x|x＜}
(4)由，得 ∴x≥1
∴所求函数定义域为{x|x≥1}
要求：学生板演练习，老师讲评.
Ⅳ.课时小结
［师］通过本节学习，大家应逐步掌握对数函数的图象与性质，并能利用对数函数的性质解决一些简单问题，如求对数形式的复合函数的定义域问题.
Ⅴ.课后作业
（一）课本P70习题1，2
（二）1.预习内容：P67例2、例3
2.预习提纲：
（1）同底数的两对数如何比较大小？
（2）不同底数的两对数如何比较大小？
- 1 -第4课时 复合函数
教学目标：
使学生掌握与复合函数有关的各类问题.
教学重点：
复合的含义.
教学难点：
复合函数的讨论.
教学过程：
[例1]已知f（x）＝x2－x＋7，求f（2x－1）
解：f（2x－1）＝（2x－1）2－（2x－1）＋7
＝4x2－6x＋9
[例2]已知f（x＋1）＝x2＋3x＋4，求f（x）
解法一：令t＝x＋1，则x＝t－1
有：f（t）＝（t－1）2＋3（t－1）＋4
＝t2＋t＋2
即：f（x）＝x2＋x＋2
解法二：f（x＋1）＝（x＋1）2＋x＋3
＝（x＋1）2＋（x＋1）＋2
∴ f（x）＝x2＋x＋2
练习：
1．已知f（x＋）＝x2＋，求f（x）
2．已知f（x－1）＝x2－3x＋4，求f（2x－3）
［例3］(1)已知函数f（x）的定义域为(0，1)，求f（x2）的定义域.
(2)已知函数f（2x＋1）的定义域为(0，1)，求f（x）的定义域.
(3)已知函数f（x＋1）的定义域为[－2，3]，求f（2x2－2）的定义域.
分析：(1)求函数定义域就是求自变量x的取值范围，求f（x2）的定义域就是求x的范围，而不是求x2的范围，这里x与x2的地位相同，所满足的条件一样.
(2)应由0＜x＜1确定出2x＋1的范围，即为函数f（x）的定义域.
(3)应由－2≤x≤3确定出x＋1的范围，求出函数f（x）的定义域进而再求f（2x2－2）的定义域.它是(1)与(2)的综合应用.
解：(1)∵f（x）的定义域为(0，1)
∴要使f（x2）有意义，须使0＜x2＜1，即－1＜x＜0或0＜x＜1∴函数f（x2）的定义域为{x｜－1＜x＜0或0＜x＜1}
(2)∵f（2x＋1）的定义域为（0，1），即其中的函数自变量x的取值范围是0＜x＜1，令t＝2x＋1，∴1＜t＜3，∴f（t）的定义域为1＜x＜3 ∴函数f（x）的定义域为{x｜1＜x＜3}
(3)∵f（x＋1）的定义域为－2≤x≤3，∴－2≤x≤3
令t＝x＋1，∴－1≤t≤4
∴f（t）的定义域为－1≤t≤4
即f(x)的定义域为－1≤x≤4，要使f（2x2－2）有意义，须使－1≤2x2－2≤4，
∴－≤x≤－或≤x≤
函数f（2x2－2）的定义域为{x｜－≤x≤－或≤x≤}
评述：（1）对于复合函数f [ｇ（x）]而言，如果函数f（x）的定义域为A，则f [ｇ（x）]的定义域是使得函数ｇ（x）∈A的x取值范围.
（2）如果f [ｇ（x）]的定义域为A，则函数f(x)的定义域是函数ｇ(x)的值域.
[例4]已知f（x）＝，求f（x2－1）
解：f（x2－1）＝
＝
[例5]已知f（f（x））＝2x－1，求一次函数f（x）
解：设f（x）＝kx＋b，则：
f（f（x））＝k f（x）＋b＝k（kx＋b）＋b＝k2x＋kb＋b＝2x－1
∴ 得：k＝，b＝1－或k＝－，b＝＋1
∴f（x）＝x＋1－或f（x）＝－x＋＋1
[例6]已知函数满足2f（x）＋f（ ）＝x，求f（x）
解：令t＝ ，则有2f（ ）＋f（t）＝
即：2f（ ）＋f（x）＝
∴f（x）＝
课后作业：
1．已知f（＋1）＝x＋2，求f(x)的解析式.
分析：此题目中的“f”这种对应法则，需要从题给条件中找出来，这就要有整体思想的应用.即：求出f及其定义域.
解：设t＝＋1≥1，则＝t－1，
∴x＝（t－1）2
∴f（t）＝（t－1）2＋2（t－1）＝t2－1（t≥1）
∴f（x）＝x2－1（x≥1）
2．（1）已知函数y＝f（x）的定义域为[0，1]，求f（x－1）的定义域.
解：∵f（x）中0≤x≤1
∴0≤x－1≤1，即1≤x≤2
（2）已知函数y＝f（x－1）的定义域为[0，1]，求f（x）的定义域.
解：函数y＝f（x－1）中0≤x≤1
∴－1≤x－1≤0
即：y＝f（x）的定义域为[－1，0]
（3）已知函数y＝f（x－2）的定义域为[1，2]，求y＝f（x＋3）的定义域.
3．已知函数f（x）是一次函数，且满足关系式3f（x＋1）－2f（x－1）＝2x＋17，求f(x)的解析式.
解：设f（x）＝ax＋b则
3f（x＋1）－2f（x－1）
＝3ax＋3a＋2b＋2a－2b＝ax＋b＋5a＝2x＋17
∴a＝2，b＝7
∴f（x）＝2x＋7
- 1 -第26课时 对数函数（三）
教学目标：
使学生掌握对数形式复合函数的单调性的判断及证明方法，掌握对数形式复合函数的奇偶性的判断及证明方法，培养学生的数学应用意识；认识事物之间的内在联系及相互转化，用联系的观点分析问题、解决问题.
教学重点：
函数单调性、奇偶性证明通法.
教学难点：
对数运算性质、对数函数性质的应用.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
［师］上一节课后，我要求大家预习函数单调性，奇偶性的证明方法，现在，我们进行一下回顾.
1.判断及证明函数单调性的基本步骤：
假设——作差——变形——判断
说明：变形目的是为了易于判断；判断有两层含义：一是对差式正负的判断；二是对增减函数定义的判断.
2.判断及证明函数奇偶性的基本步骤：
①考查函数定义域是否关于原点对称；②比较f(－x)与f(x)或者－f(x)的关系；③根据函数奇偶性定义得出结论.
说明：考查函数定义域容易被学生忽视，应强调学生注意.
［师］接下来，我们一起来看例题
Ⅱ.讲授新课
［例1］判断下列函数的奇偶性：
（1）f(x)＝lg (2)f(x)＝ln(－x)
分析：首先要注意定义域的考查，然后严格按照奇偶性证明基本步骤进行.
解：（1）由＞0可得－1＜x＜1
所以函数的定义域为：（－1，1）关于原点对称
又f(－x)＝lg＝lg（）－1＝－lg＝－f(x)
即f(－x)＝－f(x)
所以函数f(x)＝lg是奇函数
评述：此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质，说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形.
解：（2）由－x＞0可得x∈R
所以函数的定义域为R关于原点对称
又f(－x)＝ln(＋x)＝ln eq \f((+x) (－x),－x)
＝ln eq \f(1,－x) ＝－ln(－x)＝－f(x)
即f(－x)＝－f(x)
所以函数f(x)＝ln(－x)是奇函数
评述：此题定义域的确定可能稍有困难，可以讲解此点，而函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，应要求学生掌握.
[例2]（1）证明函数f(x)＝log2(x2＋1)在（0，+∞）上是增函数
（2）问：函数f(x)＝log2(x2＋1)在（－∞，0）上是减函数还是增函数？
分析：此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉上一节利用对数函数单调性比较同底数对数大小的方法.
（1）证明：设x1,x2∈(0,+∞)，且x1＜x2
则f(x1)－f(x2)＝log2(x12+1)－log2(x22+1)
∵0＜x1＜x2 ∴x12+1＜x22+1
又∵y＝log2x在（0，+∞）上是增函数.
∴log2(x12+1）＜log2(x22+1) 即f(x1)＜f(x2)
∴函数f(x)＝log2(x2+1)在（0，+∞）上是增函数.
（2）是减函数，证明可以仿照上述证明过程.
评述：此题可引导学生总结函数f(x)＝log2(x2+1)的增减性与函数y＝x2+1的增减性的关系，并可在课堂练习之后得出一般性的结论.
[例3]求函数y＝log（x2－2x－3）的单调区间.
解：定义域x2－2x－3＞0 解得x＞3或x＜－1
单调减区间是（3，＋∞）
[例4] 已知y＝loga(2－ax)在[0，1]上是x的减函数，求a的取值范围.
解：∵a＞0且a≠1 ∴函数t＝2－ax是减函数
由y＝loga(2－ax)在[0，1]上x的减函数，知y＝logat是增函数，∴a＞1
由x＝1时，2－ax＝2－a＞0，得a＜2
∴1＜a＜2
Ⅲ.课堂练习
（1）证明函数y＝log (x2+1)在（0，+∞）上是减函数；
（2）判断函数y＝log (x2+1)在（－∞,0）上的增减性.
证明：（1）设0＜x1＜x2，则
f(x1)－f(x2)＝log (x12+1)－log (x22+1)＝log
∵0＜x1＜x2，∴0＜x12＜x22， ∴＜
而logx是减函数 ∴log＞log＝log1＝0
∴f(x1)－f(x2)＞0 即f(x1)＞f(x2)
∴函数y＝ log (x2+1)在（0，+∞）上是减函数
（2）设x1＜x2＜0，则f(x1)－f(x2)＝ log (x12+1)－log (x22+1)
∵x1＜x2＜0，∴x12＞x22＞0
而函数y＝ logx在（0，+∞）上是减函数.
∴log (x12+1）＜log (x22+1) 即f(x1)＜f(x2)
∴y＝ log (x2+1)在（－∞，0）上是增函数.
Ⅳ.课时小结
［师］通过本节学习，大家能进一步熟悉对数函数的性质应用，并掌握证明函数单调性，奇偶性的通法，提高数学应用的能力.
Ⅴ.课后作业
（一）课本P70 4，5，8
（二）补充
1.求y＝log0.3(x2－2x)的单调递减区间.
解：先求定义域：由x2－2x＞0,得x(x－2)＞0
∴x＜0或x＞2 ∵函数y＝log0.3t是减函数
故所求单调减区间即t＝x2－2x在定义域内的增区间.
又t＝x2－2x的对称轴为x＝1
∴所求单调递减区间为（2，+∞）
2.求函数y＝log2(x2－4x)的单调递增区间
解：先求定义域：由x2－4x＞0得x(x－4)＞0
∴x＜0或x＞4 又函数y＝log2t是增函数
故所求单调递增区间为t＝x2－4x在定义域内的单调递增区间.
∵t＝x2－4x的对称轴为x＝2
∴所求单调递增区间为：（4，+∞）
3. 已知y＝loga (2－ax)在［0，1］上是x的减函数，求a的取值范围.
解：∵a＞0且a≠1 当a＞1时，函数t＝2－ax >0是减函数
由y＝loga (2－ax)在［0，1］上是x的减函数，知y＝loga t是增函数，
∴a＞1 由x∈［0，1］时，2－ax ≥2－a＞0，得a＜2, ∴1＜a＜2
当00是增函数
由y＝loga (2－ax)在［0，1］上x的减函数，知y＝loga t是减函数，
∴0综上述，0- 3 -第17课时 指数综合训练（二）
教学目标：
使学生进一步熟悉对数定义与幂的运算性质，理解对数运算性质的推导过程，熟悉对数的运算性质的内容，熟练运用对数的运算性质进而化简求值，明确对数的运算性质与幂的运算性质的区别.能运用联系的观点解决问题，认识事物之间的相互联系与相互转化.
教学重点：
证明对数运算性质.
教学难点：
对数运算性质的证明方法与对数定义的联系.
教学过程：
教学目标
(一)教学知识点
有理指数幂运算性质.
(二)能力训练要求
1.进一步熟悉有理指数幂运算性质.
2.掌握化简、求值的技巧.
3.培养学生的数学应用意识.
(三)德育渗透目标
帮助学生认识事物之间的普遍联系.
●教学重点
有理指数幂运算性质运用.
●教学难点
化简、求值技巧.
●教学方法
启发引导式
启发学生注意寻求已知条件与所求之间或是已知条件本身内部的内在联系，并运用学生所熟悉的平方差、立方和、立方差公式进一步变形求解.
引导学生注意总结在化简、求值过程中所运用的常见变形技巧，并展开同学之间的相互交流，以便形成灵活多样的解题方法.
●教具准备
幻灯片一张：本节例题.
●教学过程
Ⅰ.复习回顾
［师］上一节，我们熟悉了有理指数幂运算性质在化简、求值中的应用，并了解了部分解题技巧，这一节，我们继续加强这方面的训练.
Ⅱ.讲授新课
说明：本节课以学生为主进行训练，老师适当加以引导.
［例7］化简
(
分析：此题中，分子运用平方差公式展开，即可约去分母达到化简目的.
解：
=
=
评述：此题注重了分子、分母指数间的联系，即(,由此联想到平方差公式的特点，进而使问题得到解决.
［例8］已知x+x－1=3,求下列各式的值
(1)
(2)
分析：(1)题若平方则可出现已知形式，但开方时应注意正负的讨论；
(2)题若立方则可出现(1)题形式与已知条件，需将已知条件与(1)题结论综合；或者，可仿照(1)题作平方处理，进而利用立方和公式展开.
(1)解：∵（
=
=x1+x-1+2
=3+2=5
∴=±
又由x+x-1=3得x＞0
所以
(2)解法一：
=
=
=
= (3－1)
=2
解法二：
=
=x3+x－3+2
而x3+x-3
=(x+x-1)(x2+x-2－1)
=(x+x-1)[(x+x-1)2－3]
=3×(32－3)
=18
∴=20
又由x+x-1=3得x＞0
∴
评述：(1)题注重了已知条件与所求之间的内在联系，但开方时正负的取舍容易被学生所忽视，应强调以引起学生注意.
(2)题解法一注意了(1)题结论的应用，显得颇为简捷，解法二注重的是与已知条件的联系，体现了对立方和公式、平方和公式的灵活运用，而且具有一定层次，需看透问题实质方可解决得彻底，否则可能半途而废.另外，(2)题也体现了一题多解.
Ⅲ.课堂练习
1.课本P71习题2.5
6.(1)计算下列式子：
＝
=＝
2.已知x-3+1=a,求a2－2ax-3+x-6的值.
解法一：a2－2ax-3＋x-6
＝（x-3＋1）2－2（x-3＋1）x-3＋x-6
＝x-6＋2x-3＋1－2x-6－2x-3＋x-6
＝2x-6－2x-6＋2x-3－2x-3＋1
＝1
解法二：由x-3＋1＝a
得x-3＝a－1
x-6＝（x-3）2＝（a－1）2
∴a2－2ax-3＋x-6
＝a2－2a（a－1）＋（a－1）2
＝[a－（a－1）]2
＝（a－a＋1）2
＝1
评述：此题可以将a换成x的关系式代入化简，也可将x-3换成a的关系式代入化简，要求学生注意解题的灵活性.
Ⅳ.课时小结
［师］通过本节学习，要求大家进一步熟悉有理指数幂运算性质在化简求值中的应用，并掌握一定的解题技巧，提高数学解题的能力.
Ⅴ.课后作业
（一）课本P71习题2.5
6.计算下列各式：
(2)(a2－2＋a-2）÷（a2－a-2）
＝（a2－2·a1·a-1＋a-2）÷（a2－a-2）
＝
＝
＝
评述：此题应注意把2变形为2·a1·a-1目的是为了凑出(a－a-1)2的完全平方展开式.
7.已知x＋x-1＝3，求下列各式的值：
（3）；
（4）
解：(3)；
(4).
＝
＝4
＝±4
（二）1.预习内容：P75～P77
2.预习提纲：
(1)函数y=2x与y=2-x的图象有何关系
(2)指数函数的图象、性质分几种情况
●板书设计
§2.5.4 指数综合训练(二)
［例7］化简：
÷
分析
解答
［例8］已知x＋x-1＝3，求下列各式的值
(1)
（2）
分析、解答
学生练习 1题 2题第五课时 交集、并集(一)
教学目标：
使学生正确理解交集与并集的概念，会求两个已知集合交集、并集；通过概念教学，提高逻辑思维能力，通过文氏图的利用，提高运用数形结合解决问题的能力；通过本节教学，渗透认识由具体到抽象过程.
教学重点：
交集与并集概念.数形结合思想.
教学难点：
理解交集与并集概念、符号之间区别与联系.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
集合的补集、全集都需考虑其元素，集合的元素是什么这一问题若解决了，涉及补集、全集的问题也就随着解决.
Ⅱ.讲授新课
［师］我们先观察下面五个图
幻灯片：
请回答各图的表示含义.
［生］图(1)给出了两个集合A、B.
图(2)阴影部分是A与B公共部分.
图(3)阴影部分是由A、B组成.
图(4)集合A是集合B的真子集.
图(5)集合B是集合A的真子集.
师进一步指出
图(2)阴影部分叫做集合A与B的交集.
图(3)阴影部分叫做集合A与B的并集.
由(2)、(3)图结合其元素的组成给出交集定义.
幻灯片：
1.交集
一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集.
记作A∩B（读作“A交B”）
即A∩B＝{x｜x∈A，且x∈B}
借此说法，结合图(3)，请同学给出并集定义
幻灯片：
2.并集
一般地，由所有属于A或属于B的元素组成的集合，叫做集合A与B的并集.
A与B的并集记作A∪B（读作“A并B”）
即A∪B＝{x｜x∈A，或x∈B}
学生归纳以后，教师给予纠正.
那么图(4)、图(5)及交集、并集定义说明A∩B＝A{图（4）}，A∩B＝B{图（5)}
3.例题解析(师生共同活动)
［例1］设A＝{x｜x＞－2}，B＝{x｜x＜3}，求A∩B.
解析：此题涉及不等式问题，运用数轴即利用数形结合是最佳方案.
解：在数轴上作出A、B对应部分，如图A∩B为阴影部分
A∩B＝{x｜x＞－2}∩{x｜x＜3}＝{x｜－2＜x＜3}
［例2］设A＝{x｜x是等腰三角形}，B＝{x｜x是直角三角形}，求A∩B.
解析：此题运用文氏图，其公共部分即为A∩B.
解：如右图表示集合A、集合B，其阴影部分为A∩B.
A∩B＝{x｜x是等腰三角形}∩{x｜x是直角三角形}＝{x｜x是等腰直角三角形}
［例3］设A＝{4，5，6，8},B＝{3，5，7，8}，求A∪B.
解析：运用文氏图解答该题
解：如右图表示集合A、集合B，其阴影部分为A∪B
则A∪B＝{4,5,6,8}∪{3,5,7,8}＝{3,4,5,6,7,8}.
［例4］设A＝{x｜x是锐角三角形}，B＝{x｜x是钝角三角形}，求A∪B.
解：A∪B＝{x｜x是锐角三角形}∪{x｜x是钝角三角形}＝{x｜x是斜三角形}
{例5}设A＝{x｜－1＜x＜2}，B＝{x｜1＜x＜3}，求A∪B.
解析：利用数轴，将A、B分别表示出来，则阴影部分即为所求.
解：将A＝{x｜－1＜x＜2}及B＝{x｜1＜x＜3}在数轴上表示出来.如图阴影部分即为所求.
A∪B＝{x｜－1＜x＜2}∪{x｜1＜x＜3}＝{x｜－1＜x＜3}
［师］设a,b是两个实数，且a＜b，我们规定：
实数值R也可以用区间表示为（-∞,+∞）,“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”，我们还可以把满足x≥a,x＞a,x≤b,x＜b的实数x的集合分别表示为[a,+∞],(a,+∞),(-∞,b),(-∞,b).
Ⅲ.课堂练习
1.设a＝{3，5，6，8}，B＝{4，5，7，8}，
(1)求A∩B，A∪B.
(2)用适当的符号(、)填空：
A∩B_____A，B_____A∩B，A∪B______A，A∪B______B，A∩B_____A∪B.
解：(1)因A、B的公共元素为5、8
故两集合的公共部分为5、8,则A∩B＝{3，5，6，8}∩{4，5，7，8}＝{5，8}
又A、B两集合的元素3、4、5、6、7、8.
故A∪B＝{3，4，5，6，7，8}
(2)由文氏图可知
A∩BA，BA∩B，A∪BA，A∪BB，A∩BA∪B
2.设A＝{x｜x＜5}，B＝{x｜x≥0}，求A∩B.
解：因x＜5及x≥0的公共部分为 0≤x＜5
故A∩B＝{x｜x＜5}∩{x｜x≥0}＝{x｜0≤x＜5}
3.设A＝{x｜x是锐角三角形}，B＝{x｜x是钝角三角形}，求A∩B.
解：因三角形按角分类时，锐角三角形和钝角三角形彼此孤立.故A、B两集合没有公共部分.
A∩B＝{x｜x是锐角三角形}∩{x｜x是钝角三角形}=
4.设A＝{x｜x＞－2}，B＝{x｜x≥3}，求A∪B.
解：在数轴上将A、B分别表示出来，阴影部分即为A∪B，故A∪B＝{x｜x＞－2}
5.设A＝{x｜x是平行四边形}，B＝{x｜x是矩形}，求A∪B.
解：因矩形是平行四边形.故由A及B的元素组成的集合为A∪B，A∪B
＝{x｜x是平行四边形}
6.已知M＝{1}，N＝{1，2}，设A＝{（x，y）｜x∈M，y∈N}，B＝{（x，y）｜x∈N， y∈M}，求A∩B，A∪B.
解析：M、N中元素是数.A、B中元素是平面内点集，关键是找其元素.
解：∵M＝{1}，N＝{1，2}则A＝{（1，1），（1，2）}，B＝{（1，1），（2，1）}，故A∩B＝{（1，1）}，A∪B＝{（1，1），（1，2），（2，1）}.
Ⅳ.课时小结
在求解问题过程中要充分利用数轴、文氏图，无论求解交集问题，还是求解并集问题，关键还是寻求元素.
Ⅴ.课后作业
课本P13习题1.3 2～7
参考练习题:
1.设A＝{x｜x＝2n，n∈N*}，B＝{x｜x＝2n，n∈N}，则A∩B＝_______，A∪B＝_______.
解：对任意m∈A，则有m＝2n＝2·2n－1，n∈N*因n∈N*，故n－1∈N，有2n－1∈N，那么m∈B
即对任意m∈A有m∈B，所以AB，而10∈B但10A，即AB，那么A∩B＝A，A∪B＝B.
评述：问题的求解需要分析各集合元素的特征，以及它们之间关系，利用真子集的定义证明A是B的真子集，这是一个难点，只要突破该点其他一切都好求解.
2.求满足{1，2}∪B＝{1，2，3}的集合B的个数.
解：满足{1，2}∪B＝{1，2，3}的集合B一定含有元素3，B＝{3}还可含1或2，其中一个有{1，3}，{2，3}，还可含1、2，即{1，2，3},那么共有4个满足条件的集合B.
评述：问题解决的关键在于集合B的元素可以是什么数，分类讨论在解题中作用不可忽视.以集合B元素多少进行分类.
3.A＝{x｜x＜5}，B＝{x｜x＞0}，C＝{x｜x≥10}，则A∩B，B∪C，A∩B∩C分别是什么
解：因A＝{x｜x＜5}，B＝{x｜x＞0}，C＝{x｜x≥10}，在数轴上作图，则A∩B＝{x｜0＜x＜5}，B∪C＝{x｜0＜x}，A∩B∩C＝
评述：将集合中元素利用数形结合在数轴上找到，那么运算结果寻求就易进行.
4.设A＝{－4，2，a－1，a2}，B＝{9，a－5，1－a}，已知A∩B＝{9}，求A.
解：因A∩B＝{9}，则a－1＝9或a2＝9
a＝10或a＝±3
当a＝10时，a－5＝5，1－a＝－9
当a＝3时，a－1＝2不合题意.
a＝－3时，a－1＝－4不合题意.
故a＝10，此时A＝{－4，2，9，100}，B＝{9，5，－9}，满足A∩B＝{9}，那么a＝10.
评述：合理利用元素的特征——互异性找A、B元素.
5.已知A＝{y｜y＝x2－4x＋6，x∈R , y∈N}，B＝{y｜y＝－x2－2x＋7，x∈R ,y∈N}，
求A∩B，并分别用描述法，列举法表示它.
解：y＝x2－4x＋6＝（x－2）2＋2≥2，A＝{y｜y≥2，y∈N}
又y＝－x2－2x＋7＝－（x＋1）2＋8≤8
∴B＝{y｜y≤8，y∈N}
故A∩B＝{y｜2≤y≤8}＝{2，3，4，5，6，7，8}.
评述：此题注意组成集合的元素有限，还是无限.集合的运算结果，应还是一个集合.
6.已知非空集合A＝{x｜2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x｜3≤x≤22}，则能使A(A∩B)成立的所有a值的集合是什么？
解：由题有：AA∩B，即AB， A非空，用数轴表示为，
那么
由方程表示为：6≤a≤9
评述：要使AA∩B，需AA且AB，又AA恒成立，故AB，由数轴得不等式.注意A是非空.若去掉这一条件效果如何.求解过程及结果是否会变化.请思考.
交集、并集(一)
1.设A＝{x｜x＝2n，n∈N*}，B＝{x｜x＝2n，n∈N}，则A∩B＝_______，A∪B＝_______.
2.求满足{1，2}∪B＝{1，2，3}的集合B的个数.
3.A＝{x｜x＜5}，B＝{x｜x＞0}，C＝{x｜x≥10}，则A∩B，B∪C，A∩B∩C分别是什么
4.设A＝{－4，2，a－1，a2}，B＝{9，a－5，1－a}，已知A∩B＝{9}，求A.
5.已知A＝{y｜y＝x2－4x＋6，x∈R , y∈N}，B＝{y｜y＝－x2－2x＋7，x∈R ,y∈N}，
求A∩B，并分别用描述法，列举法表示它.
6.已知非空集合A＝{x｜2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x｜3≤x≤22}，则能使A(A∩B)成立的所有a值的集合是什么？
- 5 -第四课时 子集、全集、补集(二)
教学目标：
使学生了解全集的意义，理解补集的概念；通过概念教学，提高学生逻辑思维能力和分析、解决问题能力；渗透相对的观点.
教学重点：
补集的概念.
教学难点：
补集的有关运算.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
1.集合的子集、真子集如何寻求 其个数分别是多少
2.两个集合相等应满足的条件是什么
Ⅱ.讲授新课
［师］事物都是相对的，集合中的部分元素与集合之间关系就是
部分与整体的关系.
请同学们由下面的例子回答问题：
幻灯片（A）：
看下面例子
A＝{班上所有参加足球队同学}
B＝{班上没有参加足球队同学}
S＝{全班同学}
那么S、A、B三集合关系如何
［生］集合B就是集合S中除去集合A之后余下来的集合.
即为如图阴影部分
由此借助上图总结规律如下：
幻灯片(B)：
1.补集
一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集(即AS)，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中集合A的补集(或余集).
记作CSA，即CSA＝{x｜x∈3且xa}
上图中阴影部分即表示A在S中补集CSA
2.全集
如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，记作U.
［师］解决某些数学问题时，就可以把实数集看作全集U，那么有理数集Q的补集CUQ就是全体无理数的集合.
举例如下：请同学们思考其结果.
幻灯片(C)：
举例，请填充
(1)若S＝{2，3，4}，A＝{4，3}，则CSA＝____________.
(2)若S＝{三角形}，B＝{锐角三角形}，则CSB＝___________.
(3)若S＝{1，2，4，8}，A＝，则CSA＝_______.
(4)若U＝{1，3，a2＋2a＋1}，A＝{1，3}，CUA＝{5}，则a＝_______
(5)已知A＝{0，2，4}，CUA＝{－1，1}，CUB＝{－1，0，2}，求B＝_______
(6)设全集U＝{2，3，m2＋2m－3}，a＝{｜m＋1｜，2}，CUA＝{5}，求m.
(7)设全集U＝{1，2，3，4}，A＝{x｜x2－5x＋m＝0，x∈U}，求CUA、m.
师生共同完成上述题目，解题的依据是定义
例(1)解：CSA＝{2}
评述：主要是比较A及S的区别.
例(2)解：CSB＝{直角三角形或钝角三角形}
评述：注意三角形分类.
例(3)解：CSA＝3
评述：空集的定义运用.
例(4)解：a2＋2a＋1＝5，a＝－1±
评述：利用集合元素的特征.
例(5)解：利用文恩图由A及CUA先求U＝{－1，0，1，2，4}，再求B＝{1，4}.
例(6)解：由题m2＋2m－3＝5且｜m＋1｜＝3解之 m＝－4或m＝2
例(7)解：将x＝1、2、3、4代入x2－5x＋m＝0中，m＝4或m＝6
当m＝4时，x2－5x＋4＝0，即A＝{1，4}
又当m＝6时，x2－5x＋6＝0，即A＝{2，3}
故满足题条件：CUA＝{1，4}，m＝4；CUB＝{2，3}，m＝6.
评述：此题解决过程中渗透分类讨论思想.
Ⅲ.课堂练习
课本P10练习 1，2，3，4
Ⅳ.课时小结
1.能熟练求解一个给定集合的补集.
2.注意一些特殊结论在以后解题中的应用.
Ⅴ.课后作业
（一）课本P10习题1.2 3，4
3.解：因有一组对边平行的四边形是梯形.故S集合是由梯形、平行四边形构成，而A＝{x｜x是平行四边形}，那么CSA＝{x｜x是梯形}.
补充：
1.判断下列说法是否正确，并在题后括号内填“?”或“?”：
(1)若S＝{1，2，3}，A＝{2，1}，则CSA＝{2，3} （ ）
(2)若S＝{三角形}，A＝{直角三角形}，则CSA＝{锐角或钝角三角形} （ ）
(3)若U＝{四边形}，A＝{梯形}，则CUA＝{平行四边形} （ ）
(4)若U＝{1，2，3}，A＝，则CUA＝A （ ）
(5)若U＝{1，2，3}，A＝5，则CUA＝ （ ）
(6)若U＝{1，2，3}，A＝{2，3}，则CUA＝{1} （ ）
(7)若U是全集且AB，则CUACUB （ ）
解：紧扣定义，利用性质求解相关题目.(2)(5)(6)正确，其余错误.
在(1)中，因S＝{1，2，3}，A＝{2，1}，则CSA＝{3}.
(2)若S＝{三角形}，则由A＝{直角三角形}得CSA＝{锐角或钝角三角形}.
(3)由梯形及平行四边形构成的图形集合不一定是四边形的全部.如既不是梯形，也不是平行四边形.
(4)因U＝{1，2，3}，A＝，故CUA＝U.
(5)U＝{1，2，3}，A＝5，则CUA＝.
(6)U＝{1，2，3}，A＝{2，3}，则CUA＝{1}.
(7)若U是全集且A＝B，则CUACUB.
评述：上述题目涉及补集较多，而补集问题解决前提必须考虑全集，故一是先看全集U，二是由A找其补集，应有A∪(CUA)＝U.
2.填空题
(1)A＝{x∈R｜x≥3}，U＝R，CUA＝_____________________.
(2)A＝{x∈R｜x＞3}，U＝R，CUA＝_____________________.
(3)已知U中有6个元素，CUA＝，那么A中有_______个元素.
(4)U＝R，A＝{x｜a≤x≤b}，CUA＝{x｜x＞9或x＜3＝，则a＝_______，b＝_________
解：由全集、补集意义解答如下：
(1)由U＝R及A＝{x｜x≥3}，知CUA＝{x｜x＜3＝(可利用数形结合).对于(2)，由U＝R及A＝{x｜x＞3}，知CUA＝{x｜x≤3}，注意“＝”成立与否.对于(3)，全集中共有6个元素，A的补集中没有元素，故集合A中有6个元素.对于(4)，全集为R因A＝{x｜a≤x≤B}，其补集CUA＝{x｜x＞9或x＜3}，则A＝3，B＝9.
3.已知U＝{x∈N｜x≤10}，A＝{小于10的正奇数}，B＝{小于11的质数}，求CUA、CUB.
解：因x∈N，x≤10时，x＝0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10
A＝{小于10的正奇数}＝{1，3，5，7，9}，B＝{小于11的质数}＝{2，3，5，7}，那么CUA＝{0，2，4，6，8，10}，CUB＝{0，1，4，6，8，9，10}.
4.已知A＝{0，2，4，6}，CUA＝{－1，－3，1，3}，CUB＝{－1，0，2}，用列举法写出B.
解：因A＝{0，2，4，6}，CUA＝{－1，－3，1，3}，
故U＝A∪（CUA）＝{0，1，2，3，4，6，－3，－1}
而CUB＝{－1，0，2}，故B＝{－3，1，3，4，6}.
5.已知全集U＝{2，3，a2－2a－3}，A＝{2，｜a－7｜}，CUA＝{5}，求a的值.
解：由补集的定义及已知有：a2－2a－3＝5且｜a－7｜＝3，由a2－2a－3＝5有a＝4或a＝－2，当a＝4时，有｜a－7｜＝3，当a＝－2时｜a－7｜＝9(舍)
所以符合题条件的a＝4
评述：此题和第4题都用CUA＝{x｜x∈5，且xA}，有U中元素或者属于A，或者属于CUA.二者必居其一，也说明集合A与其补集相对于全集来说具有互补性，这一点在解题过程中常会遇到，但要针对全集而言.
6.定义A－B＝{x｜x∈A，且xB}，若M＝{1，2，3，4，5}，N＝{2，4，8}，求N－M的表达式.
分析：本题目在给出新定义的基础上，应用定义解决问题.要准确把握定义的实质，才能尽快进入状态.
解：由题所给定义：N－M＝{x｜x∈N，且xM}＝{8}
评述：从所给定义看：类似补集但又区别于补集，A－B与CAB中元素的特征相同，后者要求BA.而前者没有这约束，问题要求学生随时接受新信息，并能应用新信息解决问题.
7.已知集合M＝{x2＋x－2＝0}，N＝{x｜x＜a}，使MCRN的所有实数a的集合记为A，又知集合B＝{y｜y＝－x2－4x－6}，试判断A与B的关系.
分析：先找M中元素，后求B中元素取值范围.
解：因x2＋x－2＝0的解为－2、1，即M＝{－2，1}，N＝{x｜x＜a}，
故CRN＝{x｜x≥a}，使MCRN的实数a的集合A＝{a｜a≤－2}，
又y＝－x2－4x－6＝－（x＋2）2－2≤－2
那么B＝{y｜y≤－2}，故A＝B
8.已知I＝R，集合A＝{x｜x2－3x＋2≤0}，集合B与CRA的所有元素组成全集R，集合B与CRA的元素公共部分组成集合{x｜0＜x＜1或2＜x＜3}，求集合B.
解：因a＝{x｜x2－3x＋2≤0}＝{x｜1≤x≤2}，所以CRA＝{x｜x＜1或x＞2}
B与CRA的所有元素组成全集R,则AB.B与CRA的公共元素构成{x｜0＜x＜1或2＜x＜3}，则{x｜0＜x＜1或2＜x＜3}B
在数轴上表示
集合B为A及{x｜0＜x＜1或2＜x＜3}的元素组成，即B＝{x｜0＜x＜3}.
评述：研究数集的相互关系时,可将题设通过数轴示意,借助直观性探究,既易于理解.又能提高解题速度.上面提到的所有元素与公共元素是后面将要研究的交集、并集，就是B∪CRA＝R，B∩CRA＝{x｜0＜x＜1或2＜x＜3}.
9.设U＝{（x，y）｜x,y∈R},A＝{(x，y)｜＝1}，B＝{（x，y）｜y＝x＋1}，求CUA与B的公共元素.
解：a＝{（x，y）｜y＝x＋1，x≠2}，它表示直线y＝x＋1去掉(2，3)的全体，从而CUA＝{（2，3）}，而B＝{（x，y）｜y＝x＋1}表示直线y＝x＋1上的全体点的集合.如图所示，CUA与B的公共元素就是(2，3).
评述：关于点集问题通常将其转化为直角坐标平面上的图形的问题来加以研究可以得到直观形象，简捷明了的效果.
（二）1.预习内容：课本P10～P11
2.预习提纲：
(1)交集与并集的含义是什么 能否说明
(2)求两个集合交集或并集时如何借助图形.
子集、全集、补集(二)
1.判断下列说法是否正确，并在题后括号内填“?”或“?”：
(1)若S＝{1，2，3}，A＝{2，1}，则CSA＝{2，3} （ ）
(2)若S＝{三角形}，A＝{直角三角形}，则CSA＝{锐角或钝角三角形} （ ）
(3)若U＝{四边形}，A＝{梯形}，则CUA＝{平行四边形} （ ）
(4)若U＝{1，2，3}，A＝，则CUA＝A （ ）
(5)若U＝{1，2，3}，A＝5，则CUA＝ （ ）
(6)若U＝{1，2，3}，A＝{2，3}，则CUA＝{1} （ ）
(7)若U是全集且AB，则CUACUB （ ）
2.填空题：
(1)A＝{x∈R｜x≥3}，U＝R，CUA＝_____________________.
(2)A＝{x∈R｜x＞3}，U＝R，CUA＝_____________________.
(3)已知U中有6个元素，CUA＝，那么A中有_______个元素.
(4)U＝R，A＝{x｜a≤x≤b}，CUA＝{x｜x＞9或x＜3}，则a＝_______，b＝_________
3.已知U＝{x∈N｜x≤10}，A＝{小于10的正奇数}，B＝{小于11的质数}，求CUA、CUB.
4.已知A＝{0，2，4，6}，CUA＝{－1，－3，1，3}，CUB＝{－1，0，2}，用列举法写出B.
5.已知全集U＝{2，3，a2－2a－3}，A＝{2，｜a－7｜}，CUA＝{5}，求a的值.
6.定义A－B＝{x｜x∈A，且xB}，若M＝{1，2，3，4，5}，N＝{2，4，8}，求N－M的表达式.
7.已知集合M＝{x2＋x－2＝0}，N＝{x｜x＜a}，使MCRN的所有实数a的集合记为A，又知集合B＝{y｜y＝－x2－4x－6}，试判断A与B的关系.
8.已知I＝R，集合A＝{x｜x2－3x＋2≤0}，集合B与CRA的所有元素组成全集R，集合B与CRA的元素公共部分组成集合{x｜0＜x＜1或2＜x＜3}，求集合B.
9.设U＝{（x，y）｜x，y∈R}，A＝{(x，y)｜＝1}，B＝{（x，y）｜y＝x＋1}，求CUA与B的公共元素.
- 7 -第21课时 对 数（一）
教学目标：
使学生理解对数的概念，能够进行对数式与指数式的互化。
教学重点：
对数的概念
教学难点：
对数概念的理解
教学过程：
Ⅰ.复习引入
引例：假设1995年我国的国民生产总值为 a亿元，如每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产总值是1995年的2倍？
设：经过x年国民生产总值是1995年的2倍
则有 a（1＋8%）x＝2a 1.08x＝2
用计算器或计算机作出函数图像，计算出x值
这是已知底数和幂的值，求指数的问题。即指数式 ab＝N中，已知a 和N求b的问题。（这里 a＞0且a≠1）
活动设计：学生分析讨论，列出方程，无法求解，引起冲突，教师引导、整理，导入新课
Ⅱ.讲授新课
1．定义：
一般地，如果 a（a＞0且a≠1）的b次幂等于N, 就是 ab＝N，那么数 b叫做 a为底 N的对数，记作 log a N＝b，a叫做对数的底数，N叫做真数。
ab＝N log a N＝b
例如：42＝16 log416＝2 102＝100 log10100＝2
4＝2 log42＝ 10－2＝0.01 log100.01＝－2
探究：
⑴负数与零没有对数（∵在指数式中 N > 0 ）
⑵log a 1＝0，log a a＝1
∵对任意 a＞0且a≠1， 都有 a0＝1 ∴log a 1＝0
同样易知： log a a＝1
⑶对数恒等式
如果把 ab＝N 中的 b写成 log a N, 则有 a＝N
⑷常用对数
我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。
为了简便,N的常用对数log 10 N简记作lg N
例如：log 105简记作lg 5 log103.5简记作lg3.5.
⑸自然对数
在科学技术中常常使用以无理数e＝2.71828……为底的对数，以e为底的对数叫自然对数，为了简便，N的自然对数log e N简记作ln N。
例如：loge3简记作ln3 loge10简记作ln10
2．对数式与指数式的互换
例1：将下列指数式写成对数式：
（1）54＝625 （2）2-6＝ （3）3a＝27 (4) （）m＝5.73
解：（1）log5625＝4； （2）log2 ＝－6；
（3）log327＝a； （4）log5.73＝m
例2：将下列对数式写成指数式：
（1）log16＝－4； （2）log2128＝－7；
（3）lg0.01＝－2； （4）ln10＝2.303
解：（1）（）－4＝16 （2）27＝128；
（3）10－2＝0.01； （4）e2.303＝10
活动设计：教师示范小题（1），其余学生完成，目的在于熟悉对数的定义
Ⅲ.课堂练习 课本第58页 练习1. 2. 3. 4
例3．计算： log927，，，
解法一：设 x＝log927 则 9x ＝27 32x ＝33, ∴x＝
设 x＝ 则（）x＝81, 3＝34, ∴x＝16
令 x＝＝,
∴（2＋）x＝（2＋）－1, ∴x＝－1
令 x＝, ∴（）x＝625, 5＝54, ∴x＝3
解法二：
log927＝log933＝3；
=
Ⅳ. 课时小结
⑴定义 ⑵互换 ⑶求值
大家要在理解对数概念的基础上，掌握对数式与指数式的互化，会计算一些特殊对数值。
Ⅵ.课后作业
课本第90页 习题2.7 1，2
理解对数概念.
2.能够进行对数式与指数式的互化.
3.培养学生应用数学的意识.
(三)德育渗透目标
1.认识事物之间的相互联系与相互转化.
2.用联系的观点看问题.
3.了解对数在生产、生活实际中的应用.
●教学重点
对数的定义.
●教学难点
对数概念的理解.
●教学方法
启发式
启发学生从指数运算的需求中，提出本节的研究对象——对数，从而由指数与对数的关系认识对数，并掌握指数式与对数式的互化、而且要明确对数运算是指数运算的逆运算.
引导学生在指数式与对数式的互化过程中，加深对于对数定义的理解，为下一节学习对数的运算性质打好基础.
●教具准备
幻灯片三张
第一张：复习举例(记作§2.7.1 A)
第二张：导入举例(记作§2.7.1 B)
第三张：本节例题(记作§2.7.1 C)
●教学过程
Ⅰ.复习回顾
［师］上一单元，我们一起学习了指数与指数函数的有关知识，也就明确了如下问题：
(打出幻灯片§2.7.1 A)
由32＝９可得到
(1)9是3的平方
（2）3是9的平方根
［师］其中(1)式中9、3、2依次叫什么名称
［生］(1)式中，9叫幂值，3叫幂的底数，2叫幂的指数.
［师］(2)式中的9、3、2依次叫什么名称
［生］(2)式中，9叫被开方数，3叫根式值，2叫根指数.
［师］从上述过程不难看出，9与3、2有一定关系，即9=32,3与2、9之间也有一定的关系，即3=,其中根指数为2时省略不写.那么，我们自然提出一个问题：2与3、9之间是何关系，2能否用3、9表示呢 这就将牵涉到我们这一节将学习的对数问题.
Ⅱ.讲授新课
［师］我们来看下面的问题.(打出幻灯片§2.7.2 B)
(说明：由于对数概念是本节重点，所以在导入新课上有所侧重)
假设1995年我国国民生产总值为a亿元，如果每年平均增长8%，
那么经过多少年国民生产总值是1995年时的2倍
假设经过x年国民生产总值为1995年时的2倍，根据题意有：
a(1+8%)x=2a
即1.08x=2
［师］上述问题是已知底数和幂的值，求指数的问题，也就是我们这节将要学习的对数问题.
1.对数的定义
一般地，当a＞0且a≠1时
若ab=N,则b叫以a为底N的对数.
记作：logaN=b
其中a叫对数的底数，N叫真数.
［师］从上述定义我们应明确对数的底数a＞0且a≠1，N＞0，真数N＞0，也就是说，负数和零没有对数.
2.常用对数
我们通常将以10为底的对数叫做常用对数，为了简便，N的常用对数log10N简记
作lgN.
例如：log105简记作lg5
log103.5简记作lg3.5.
3.自然对数
［师］在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828…为底的对数，以e为底的对数叫自然对数，为了简便，N的自然对数logeN简记作lnN.
例如：loge3简记作ln3
loge10简记作ln10
［师］由对数的定义，可以看出指数与对数的密切关系.接下来，我们就学习指数式与对数式的互化.
4.例题讲解
［例1］将下列指数式写成对数式
(1)54=625
(2)2-6=
(3)3a=27
(4)()m=5.73
解：(1)log5625=4
(2)log2=－6
(3)log327=a
(4)5.73=m
［例2］将下列对数式写成指数式
(1)16=－4
(2)log2128=7
(3)lg0.01=－2
(4)ln10=2.303
解：(1)()－4=16
(2)27=128
(3)10-2=0.01
(4)e2.303=10
评述：例1、例2目的在于让学生熟悉对数的定义.
［师］为使大家进一步熟悉对数式与指数式的互化，我们来做课堂练习.
Ⅲ.课堂练习
课本P77练习
1.把下列指数式写成对数式
(1)23＝8
（2）25＝32
（3）2-1＝
(4)
解：(1)log28＝3
(2)log232＝5
(3)log2＝－1
(4)log27＝－
2.把下列对数式写成指数式
(1)log39＝2
（2）log5125＝3
（3）log2＝－2
（4）log3＝－4
解：(1)32＝9
(2)53＝125
(3)2-2＝
(4)3－4＝
3.求下列各式的值
(1)log525
（2）log2
（3）lg100
（4）lg0.01
（5）lg10000
（6）lg0.0001
解：(1)log525＝log552＝2
(2)log2＝－4
(3)∵102＝100 ∴lg100＝2
(4)∵10-2＝0.01 ∴lg0.01＝－2
(5)∵104＝10000 ∴lg10000＝4
(6)∵10-4＝0.0001 ∴lg0.0001＝－4
4.求下列各式的值
(1)log1515
（2）log0.41
（3）log981
（4）log2.56.25
（5）log7343
（6）log3243
解：(1)∵151＝15 ∴log1515＝1
(2)∵0.40＝1 ∴log0.41＝0
(3)∵92＝81 ∴log981＝2
(4)∵2.52＝6.25 ∴log2.56.25＝2
(5)∵73＝343 ∴log7343＝3
(6)∵35＝243 ∴log3243＝5
Ⅳ.课时小结
［师］通过本节学习，大家要能在理解对数概念的基础上，掌握对数式与指数式的互化.
Ⅴ.课后作业
（一）课本P80习题2.7
1.把下列各题的指数式写成对数式
(1)4x＝16
（2）3x＝1
（3）4x＝2
（4）2x＝0.5
（5）3x＝81
（6）10x＝25
（7）5x＝6
（8）4x＝
解：(1)x＝log416
(2)x＝log31
(3)x＝log42
(4)x＝log20.5
(5)x＝log381
(6)x＝lg25
(7)x＝log56
(8)x＝log4
2.把下列各题的对数式写成指数式
(1)x＝log527
(2)x＝log87
(3)x＝log43
(4)x＝log7
(5)x＝lg5
(6)x＝lg0.3
解：(1)5x＝27
(2)8x＝7
(3)4x＝3
(4)7x＝
(5)10x＝5
(6)10x＝0.3
（二）1.预习内容：P78～P79
2.预习提纲：
(1)对数的运算性质有哪些
(2)如何证明对数的运算性质 第13课时 映射
教学目标：
使学生掌握作函数图象的一般步骤，会运用平移变换和翻折变换作图.
教学重点：
用平移变换和翻折变换作图.
教学难点：
用平移变换和翻折变换作图.
教学过程：
教学目的：
（1）了解映射的概念及表示方法
（2）了解象与原象的概念，会判断一些简单的对应是否是映射，会求象或原象.
（3）会结合简单的图示，了解一一映射的概念
教学重点：映射的概念
教学难点：映射的概念
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
本节是在集合与简易逻辑和函数的概念之后学习的，映射概念本身就属于集合的知识因此，要联系前一章的内容和函数的概念来学习本节，映射是是两个集合的元素与元素的对应关系的一个基本概念映射中涉及的“原象的集合A”“象的集合B”以及 “从集合A到集合B的对应法则f”可以更广泛的理解集合A、B不仅仅是数集，还可以是点集、向量的集合等，本章主要是指数的集合随着内容的增多和深入，可以逐渐加深对映射概念的理解，例如实数对与平面点集的对应，曲线与方程的对应等都是映射的例子映射是现代数学的一个基本概念
教学过程：
一、复习引入：
在初中我们已学过一些对应的例子：（学生思考、讨论、回答）
①看电影时，电影票与座位之间存在者一一对应的关系
②对任意实数a，数轴上都有唯一的一点A与此相对应
③坐标平面内任意一点A 都有唯一的有序数对(x, y)和它对应
④任意一个三角形，都有唯一的确定的面积与此相对应
⑤高一（2）班的每一个学生与学号一一对应
函数的概念
本节我们将学习一种特殊的对应—映射.
二、讲解新课：看下面的例子：
设A，B分别是两个集合，为简明起见，设A，B分别是两个有限集
说明：（2）（3）（4）这三个对应的共同特点是：对于左边集合A中
的任何一个元素，在右边集合B中都有唯一的元素和它对应
映射：设A，B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合
A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，
这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f）叫
做集合A到集合B的映射 记作：
象、原象：给定一个集合A到集合B的映射，且，如
果元素和元素对应，则元素叫做元素的象，元素叫
做元素的原象
关键字词：（学生思考、讨论、回答，教师整理、强调）
①“A到B”：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射,A到B是求平方，B到A则是开平方，因此映射是有序的；
②“任一”：就是说对集合A中任何一个元素，集合B中都有元素和它对应，这是映射的存在性；
③“唯一”：对于集合A中的任何一个元素，集合B中都是唯一的元素和它对应，这是映射的唯一性；
④“在集合B中”：也就是说A中元素的象必在集合B中，这是映射的封闭性.
指出：根据定义，（2）（3）（4）这三个对应都是集合A到集合B
的映射；注意到其中（2）（4）是一对一，（3）是多对一
思考：（1）为什么不是集合A到集合B的映射？
回答：对于（1），在集合A中的每一个元素，在集合B中都
有两个元素与之相对应，因此，（1）不是集合A到集
合B的映射
思考：如果从对应来说，什么样的对应才是一个映射
一对一，多对一是映射 但一对多显然不是映射
辨析：
①任意性：映射中的两个集合A,B可以是数集、点集或由图形组成的集合等；
②有序性：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；
③存在性：映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象；
④唯一性：映射中集合A的任一元素在集合B中的象是唯一的；
⑤封闭性：映射中集合A的任一元素的象都必须是B中的元素，不要求B中的每一个元素都有原象，即A中元素的象集是B的子集.
映射三要素：集合A、B以及对应法则，缺一不可；
三、例题讲解
例1 判断下列对应是否映射？有没有对应法则？
a e a e a e
b f b f b f
c g c g c g
d d
(是) （不是） （是）
是映射的有对应法则，对应法则是用图形表示出来的
例2下列各组映射是否同一映射？
a e a e d e
b f b f b f
c g c g c g
例3判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射？
（1）设A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，
对应法则
（2）设，对应法则
（3），，
（4）设
（5），
四、练习：
1．设A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6,7,8,9}，集合A中的元素x按照对应法则“乘2加1”和集合B中的元素2x+1对应．这个对应是不是映射？（是）
2．设A=N*，B={0，1}，集合A中的元素x按照对应法则“x除以2得的余数”和集合B中的元素对应．这个对应是不是映射？（不是（A中没有象））
3．A=Z，B=N*，集合A中的元素x按照对应法则“求绝对值”和集合B中的元素对应．这个对应是不是映射？ （是）
4．A={0,1,2,4}，B={0,1,4,9,64}，集合A中的元素x按照对应法则“f ：a b=(a1)2”和集合B中的元素对应．这个对应是不是映射？ （是）
5．在从集合A到集合B的映射中，下列说法哪一个是正确的？
（A）B中的某一个元素b的原象可能不止一个
（B）A中的某一个元素a的象可能不止一个
（C）A中的两个不同元素所对应的象必不相同
（D）B中的两个不同元素的原象可能相同
6．下面哪一个说法正确？
（A）对于任意两个集合A与B，都可以建立一个从集合A到集合B的映射
（B）对于两个无限集合A与B，一定不能建立一个从集合A到集合B的映射
（C）如果集合A中只有一个元素，B为任一非空集合，那么从集合A到集合B只能建立一个映射
（D）如果集合B只有一个元素，A为任一非空集合，则从集合A到集合B只能建立一个映射
7．集合A=N，B={m|m=,n∈N},f:x→y=，x∈A，y∈B.请计算在f作用下，象，的原象分别是多少.( 5，6.)
分析：求象的原象只需解方程=求出x即可.同理可求的原象.
五、小结 本节课学习了以下内容：对应、映射概念，特征、要素
六、课后作业：课本第52页习题2.1：7，8
七、板书设计（略）
八、课后记：第8课时 函数的单调性（一）
教学目标：
使学生理解增函数、减函数的概念，掌握判断某些函数增减性的方法，培养学生利用数学概念进行判断推理的能力和数形结合，辩证思维的能力；通过本节课的教学，启示学生养成细心观察，认真分析，严谨论证的良好思维习惯.
教学重点：
函数单调性的概念
教学难点：
函数单调性的判断和证明.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
［师］前面我们学习了函数的概念、表示方法以及区间的概念，讨论了函数的定义域、值域的求法.今天我们再进一步来研究一下函数的性质(板书课题).
Ⅱ.讲授新课
［师］在初中我们已经学习了函数图象的画法，为了研究函数的性质，按照取值、列表、描点、作图等步骤分别画出y＝x2和y＝x3的图象如图.
我们先着重来观察一下y＝x2的图象，图象在y轴右侧的部分是上升的，也就是说在y轴右侧越往右，图象上的点越高，这说明什么问题呢
［生］随着x的增加，y的值在增加
［师］怎样用数学语言来表示呢
［生］设x1、x2∈[0，＋∞)得y1＝f（x1），y2＝f（x2）
当x1＜x2时，f（x1）＜f（x2）
(学生经过预习可能答得很准确，但为什么也许还囫囵吞枣；或许答得不一定完整，或许怎样用数学语言来表示还感到困惑，教师应抓住时机予以启发)
［师］好，××同学的回答很好，设x1、x2∈[0，＋∞)，体现了在y轴右侧，按照函数关系式得到了y1＝f（x1），y2＝f（x2），即有了两个点(x1，y1)、（x2，y2）而当x1＜x2时，f（x1）＜f（x2），则体现了越往右图象上的点越高，即体现了图象是上升的，这时我们说y＝x2在[0，＋∞)上是增函数.
下面大家来看图象在y轴左侧的部分情形是怎样的
[生甲]图象在y轴的左侧也是上升的(或许生甲是别出心裁).
［师］何以见得
[生甲]越往左，图象上的点越高.
［师］生甲所谈对不对呢
［生］对(部分同学这样说，还有部分同学不吭气，感到和预习时的情况不一样，但又不清楚究竟该怎样，有无所适从之感).
［师］生甲同学所述是完全有道理的!不过请同学们注意：他观察的视线是从右向左看的，为了与在y轴右侧部分观察的视线方向一致.我们对y轴的左侧部分也从左向右看，图象的情形是怎样的呢
[生甲]从左向右看，图象是下降的，也就是在y轴的左侧，越往右，图象上的点越低.
［师］我们研究任何问题都要遵循一定的程序，都要在一定的条件下，否则将一塌糊涂，搞不出任何名堂.
(或者在研究y轴右侧部分、研究y轴左侧部分图象的变化趋势时，就直载了当地指出随着x的增加，图象的变化趋势是怎样的，这样给学生指定观察方向，会减少不应有的麻烦)
那么同学们考虑一下，在y轴的左侧，越往右，图象上的点越低，说明什么问题呢 怎样用数学语言表示呢
［生］在y轴右侧，越往右图象上的点越低，说明随着x的增加，y的值在减小，用数学语言表示是：
设x1、x2∈（－∞，0）得y1＝f（x1），y2＝f（x2）
当x1＜x2时，f（x1）＞f（x2）
［师］好，这时我们说y＝x2在（－∞，0）上是减函数.
一般地，设函数f（x）的定义域为Ⅰ：
如果对于属于Ⅰ内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说f(x)在这个区间上是增函数.(打出幻灯片§2.3.1　C)
如果对于属于Ⅰ内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说f(x)在这个区间上是减函数.
如果函数y＝f（x）在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有严格的单调性，这一区间叫做y＝f（x）的单调区间，在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.
注意：①函数的单调性也叫函数的增减性.
②函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念.
③判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤：
a.设x1、x2∈给定区间，且x1＜x2
b.计算f（x1）－f（x2）至最简
b.判断上述差的符号
d.下结论(若差＜0，则为增函数；若差＞0，则为减函数)
Ⅲ.例题分析
［例1］(课本P34例1，与学生一块看，一起分析作答)
［师］要了解函数在某一区间上是否具有单调性，从图象上进行观察是一种常用而又粗略的方法，严格地说，它需要根据单调函数的定义进行证明.下面举例说明
［例2］证明函数f（x）＝3x＋2在R上是增函数.
证明：设任意x1、x2∈R，且x1＜x2
则f（x1）－f（x2）＝（3x1＋2）－（3x2＋2）＝3（x1－x2）
由x1＜x2得x1－x2＜0
∴f（x1）－f（x2)＜0 即f（x1）＜f（x2）
∴f（x）＝3x＋2在R上是增函数
［例3］证明函数f（x）＝在（0，＋∞）上是减函数.
证明：设任意x1、x2∈（0，＋∞）且x1＜x2
则f（x1）－f（x2）＝－＝
由x1，x2∈（0，＋∞）得x1x2＞0
又x1＜x2 得x2－x1＞0
∴f（x1）－f（x2）＞0 即f（x1）＞f（x2）
∴f（x）＝在（0，＋∞）上是减函数
注意：通过观察图象、对函数是否具有某种性质作出一种猜想，然后通过推理的办法.证明这种猜想的正确性，是发现和解决问题的一种常用数学方法.
Ⅳ.课堂练习
课本P37练习1，2，5，6，7
Ⅴ.课时小结
本节课我们学习了函数单调性的知识，同学们要切记：单调性是对某个区间而言的，同时在理解定义的基础上，要掌握证明函数单调性的方法步骤，正确进行判断和证明.
Ⅵ.课后作业
课本P43习题 1~4
- 1 -第25课时 对数函数（二）
教学目标：
使学生掌握对数函数的单调性，掌握比较同底与不同底对数大小的方法，培养学生数学应用意识；用联系的观点分析、解决问题，认识事物之间的相互转化.
教学重点：
利用对数函数单调性比较同底对数大小.
教学难点：
不同底数的对数比较大小.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
［师］上一节，大家学习了对数函数的图象和性质，明确了对数函数的单调性，即：
当a＞1时，y＝logax在（0,+∞）上是增函数；
当0＜a＜1时，y＝logax在（0，+∞）上是减函数.
这一节，我们主要学习对数函数单调性的应用.
Ⅱ.讲授新课
［例1］比较下列各组数中两个值的大小：
（1）log23.4，log28.5 (3)log0.31.8，log0.32.7 (3)loga5.1，loga5.9(a＞0，a≠1)
分析：此题主要利用对数函数的单调性比较两个同底数的对数值大小.
解：（1）考查对数函数y＝log2x，因为它的底数2＞1，所以它在（0，+∞）上是增函数，于是log23.4＜log28.5
(2)考查对数函数y＝log0.3x，因为它的底数0＜0.3＜1，所以它在（0，+∞）上是减函数，于是log0.31.8＞log0.32.7
［师］通过（1）、（2）的解答，大家可以试着总结两个同底数的对数比较大小的一般步骤：
（1）确定所要考查的对数函数；（2）根据对数底数判断对数函数增减性；（3）比较真数大小，然后利用对数函数的增减性判断两对数值的大小.
解：（3）当a＞1时，y＝logax在（0，+∞）上是增函数，于是loga5.1＜loga5.9
当0＜a＜1时，y＝logax在（0，+∞）上是减函数，于是loga5.1＞loga5.9
评述：对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是小于1.而已知条件并未指明，因此需要对底数a进行讨论，体现了分类讨论的思想，要求学生逐步掌握.
［例2］比较下列各组中两个值的大小：
（1）log67，log76 (2)log3π，log20.8
分析：由于两个对数值不同底，故不能直接比较大小，可在两对数值中间插入一个已知数，间接比较两对数值的大小.
解：（1）∵log67＞log66＝1，log76＜log77＝1，∴log67＞log76
（2）∵log3π＞log31＝0，log20.8＜log21＝0，∴log3π＞log20.8
评述：例2仍是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小，当不能直接比较时，经常在两个对数中间插入1或0等，间接比较两个对数的大小，例2（2）题也可与1比较.
［例3］求下列函数的定义域、值域：
⑴ y＝ eq \r(2－) ⑵ y＝log2（x2＋2x＋5）
⑶ y＝log（－x2＋4x＋5） ⑷ y＝（0＜a＜1）
解：⑴要使函数有意义，则须：
2－≥0 即：－x2－1≥－2 得－1≤x≤1
∵－1≤x≤1 ∴－1≤－x2≤0 从而 －2≤－x2－1≤－1
∴≤2≤ ∴0≤2－≤ ∴0≤y≤
∴定义域为[－1，1]，值域为[0，]
⑵∵x2＋2x＋5＝（x＋1）2＋4≥4对一切实数都恒成立
∴函数定义域为R
从而log2（x2＋2x＋5）≥log24＝2 即函数值域为[2，＋∞）
⑶要使函数有意义，则须：
－x2＋4x＋5＞0得x2－4x－5＜0解得－1＜x＜5
由－1＜x＜5 ∴在此区间内 （－x2＋4x＋5）max＝9
∴ 0≤－x2＋4x＋5≤9
从而 log（－x2＋4x＋5）≥log9＝－2 即：值域为 y≥－2
∴定义域为[－1，5]，值域为[－2，＋∞）
⑷要使函数有意义，则须：
由①：－1＜x＜0
由②：∵0＜a＜1时 则须 －x2－x≤1，x∈R
综合①②得 －1＜x＜0
当－1＜x＜0时 （－x2－x）max＝ ∴0＜－x2－x≤
∴loga（－x2－x）≥loga ∴ y≥ eq \r(loga)
∴定义域为(－1，0)，值域为[ eq \r(loga) ，＋∞）
Ⅲ.课堂练习
课本P69练习3
补充：比较下列各题中的两个值的大小
（1）log20.7，log0.8 （2）log0.30.7， log0.40.3
（3）log3.40.7，log0.60.8，（） （4）log0.30.1， log0.20.1
解：（1）考查函数y＝log2x
∵2＞1， ∴函数y＝log2x在（0，+∞）上是增函数
又0.7＜1， ∴log20.7＜log21＝0
再考查函数y＝logx
∵0＜＜1 ∴函数y＝logx在（0，+∞）上是减函数
又1＞0.8， ∴log0.8＞log1＝0
∴log20.7＜0＜log0.8 ∴log20.7＜log0.8
（2）log0.30.7＜log0.40.3
（3）log3.40.7＜log0.60.8＜（）
（4）log0.30.1＞log0.20.1
要求：学生板演，老师讲评
Ⅳ.课时小结
［师］通过本节学习，大家要掌握利用对数函数的增减性比较两对数大小的方法，并要能够逐步掌握分类讨论的思想方法.
Ⅴ.课后作业
课本P70习题 3
- 3 -第2课时 函数的概念和图象（二）
教学目标：
使学生掌握函数图像的画法.
教学重点：
函数图像的画法.
教学难点：
函数图像的画法.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
［师］上节课，我们学习了函数的概念，请同学们回忆一下，函数的定义是怎样的？它有几个要素？分别是什么？
［生］设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有惟一确定的数f(x)和它对应，那么就称f︰A→B为从集合A到集合B的一个函数.
函数有三要素：定义域、值域、对应关系.
［师］函数的定义域由什么确定？
［生］函数的定义域由数学运算规律决定，即函数的定义域是使函数的表达式有意义的自变量的集合.
［师］同学们对上节课的内容掌握得很好.
Ⅱ.新课讨论
在初中，我们已学过函数的图象，并能作出函数y＝2x－1，y＝（x≠0）以及y＝x2的图象.社会生活中还有许多函数图象的例子，如心电图、示波图等。
将自变量的一个值x 0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点（x 0，f(x0)）.当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点.
- 1 -第23课时 对 数（三）
教学目标：
使学生掌握对数的换底公式，并能解决有关的化简、求值、证明问题；培养培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力.
教学重点：
换底公式及推论.
教学难点：
换底公式的证明和灵活应用.
教学过程：
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
对数的运算法则
若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；
(2)loga＝logaM－logaN；
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)
Ⅱ.讲授新课
1.对数换底公式：
log a N＝ (a＞0，a≠1，m＞0 ，m≠1，N＞0)
证明：设log a N＝x , 则 ax＝N
两边取以m为底的对数：log m ax＝log m Nx log m a＝log m N
从而得：x＝ ∴ log a N＝
2.两个常用的推论:
① log a b·log b a＝1
② log bn＝log a b（ a、b＞0且均不为1）
证：①log a b·log b a＝＝1
②log bn＝＝＝log a b
Ⅲ.例题分析
例1 已知 log 23＝a， log 37＝b, 用 a, b 表示log 4256
解：因为log 23＝a，则＝log 32 , 又∵log 37＝b,
∴log 4256＝＝＝
例2计算：① 5 ② log 43·log 92－log
解：①原式＝
②原式＝log 23·log 32＋log 22＝＋＝
例3设 x、y、z∈（0，＋∞）且3x＝4y＝6z
1 求证 ＋＝； 2 比较3x，4y，6z的大小
证明1：设3x＝4y＝6z＝k ∵x、y、z∈（0，＋∞） ∴k＞1
取对数得：x＝， y＝， z＝
∴＋＝＋＝＝＝＝
2 3x－4y＝（－）lgk＝lgk＝ eq \f(lgk·lg,lg 3lg4) ＜0
∴3x＜4y
又：4y－6z＝（－）lgk＝lgk＝ eq \f(lgk·lg,lg 2lg6) ＜0
∴4y＜6z ∴3x＜4y＜6z
例4已知log a x＝log ac＋b，求x
分析：由于x作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b的存在使变形产生困难，故可考虑将log a c移到等式左端，或者将b变为对数形式
解法一：
由对数定义可知：
解法二：
由已知移项可得log ax－log ac＝b， 即log a ＝b
由对数定义知：＝ab ∴x＝c·ab
解法三：
∵b＝log a ab ∴log ax＝log ac＋log a ab＝log a c·ab ∴x＝c·ab
Ⅳ.课堂练习
①已知 log 189＝a , 18b＝5 , 用 a, b 表示log 3645
解：∵log 189＝a ∴log 18＝1－log 182＝a ∴log 182＝1a
∵18b＝5 ∴ log 185＝b
∴log 3645＝＝＝
②若log 83＝p ，log 35＝q, 求 lg5
解：∵log 83＝p ∴ ＝p log23＝3plog 32＝
又∵log 35＝q ∴ lg5＝＝＝
Ⅴ.课时小结
本节课学习了以下内容：换底公式及其推论
Ⅵ.课后作业
1．证明：
证法1： 设 ，，
则：
∴ 从而
∵ ∴ 即：（获证）
证法2： 由换底公式 左边＝＝右边
2．已知
求证：
证明：由换底公式 由等比定理得：
∴
∴
- 3 -第18课时 指数函数（一）
教学目标：
使学生理解指数函数的概念，并能正确作出其图象，掌握指数函数的性质；培养学生观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力、化归转化能力；培养学生发现问题和提出问题的意识、善于独立思考的习惯，体会事物之间普遍联系的辩证观点。
教学重点：
指数函数的概念、图象、性质
教学难点：
指数函数的图象、性质
教学过程：
教学目标
(一)教学知识点
1.指数函数.
2.指数函数的图象、性质.
(二)能力训练要求
1.理解指数函数的概念.
2.掌握指数函数的图象、性质.
3.培养学生实际应用函数的能力.
(三)德育渗透目标
1.认识事物之间的普遍联系与相互转化.
2.用联系的观点看问题.
3.了解数学知识在生产生活实际中的应用.
●教学重点
指数函数的图象、性质.
●教学难点
指数函数的图象性质与底数a的关系.
●教学方法
学导式
引导学生结合指数的有关概念来理解指数函数的概念，并向学生指出指数函数的形式特点，在研究指数函数的图象时，遵循由特殊到一般的研究规律，要求学生自己作出特殊的较为简单的指数函数的图象，然后推广到一般情况，类比地得到指数函数的图象，并通过观察图象，总结出指数函数的性质，而且是分a＞1与0＜a＜1两种情形.
●教具准备
幻灯片三张
第一张：指数函数的图象与性质(记作§2.6.1 A)
第二张：例1 (记作§2.6.1 B）
第三张：例2 (记作§2.6.1 C）
●教学过程
Ⅰ.复习回顾
［师］前面几节课，我们一起学习了指数的有关概念和幂的运算性质.这些知
识都是为我们学习指数函数打基础.
现在大家来看下面的问题：
某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……1个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系式是
y=2x
这个函数便是我们将要研究的指数函数，其中自变量x作为指数，而底数2是一个大于0且不等于1的常量.
下面，我们给出指数函数的定义.
Ⅱ.讲授新课
1.指数函数定义
一般地，函数y=ax(a＞0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R.
［师］现在研究指数函数y=ax(a＞0且a≠1)的图象和性质，先来研究a＞1的情形.
例如，我们来画y=2x的图象
列出x,y的对应值表，用描点法画出图象：
x … －3 －2 －1.5 －1 －0.5 0
y=2x … 0.13 0.25 0.35 0.5 0.71 1
x 0.5 1 1.5 2 3 …
y=2x 1.4 2 2.8 4 8 …
再来研究0＜a＜1的情况，
例如，我们来画y=2-x的图象.可得x,y的对应值，用描点法画出图象.也可根据y=2-x的图象与y=2x的图象关于y轴对称，由y=2x的图象对称得到y=2-x即y=()x的图象.
我们观察y=2x以及y=2-x的图象特征，就可以得到y=ax(a＞1)以及y=ax(0＜a＜1)的图象和性质.
2.指数函数的图象和性质
a＞1 0＜a＜1
图 象
性 质 (1)定义域：R
(2)值域：(0，+∞)
(3)过点(0，1)，即x=0时，y=1
(4)在R上是增函数 (4)在R上是减函数
3.例题讲解
［例1］某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84%，画出这种物质的剩留量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，剩留量是原来的一半(结果保留1个有效数字).
分析：通过恰当假设，将剩留量y表示成经过年数x的函数，并可列表、描点、作图，进而求得所求.
解：设这种物质最初的质量是1，经过x年，剩留量是y.
经过1年，剩留量y=1×84%=0.841；
经过2年，剩留量y=0.84×84%=0.842；
……
一般地，经过x年，剩留量y=0.84x
根据这个函数关系式可以列表如下：
x 0 1 2 3 4 5 6
y 1 0.84 0.71 0.59 0.50 0.42 0.35
用描点法画出指数函数y=0.84x的图象.从图上看出y=0.5只需x≈4.
答：约经过4年，剩留量是原来的一半.
评述：(1)指数函数图象的应用.
(2)数形结合思想的体现.
［例2］说明函数y=2x+1与y=2x的图象的关系，并画出它们的示意图.
分析：做此题之前，可与学生一起回顾初中接触的二次函数平移问题.
解：比较函数y=2x+1与y=2x的关系：
y=2-3+1与y=2-2相等，
y=2-2+1与y=2-1相等，
y=22+1与y=23相等，
……
由此可以知道，将指数函数y=2x的图象向左平行移动一个单位长度，就得到函数y=2x+1的图象.
评述：此题目的在于让学生了解图象的平移变换，并能逐步掌握平移规律.
Ⅲ.课堂练习
1.课本P74练习1
在同一坐标系中，画出下列函数的图象：
(1)y＝3x；
（2）y＝（）x.
2.课本P73例2(2).
说明函数y＝2x－2与指数函数y＝2x的图象的关系，并画出它们的示意图.
解：比较y＝2x－2与y＝2x的关系
y＝2-1－2与y＝2-3相等，
y＝20-2与y＝2-2相等，
y＝23－2与y＝21相等，
……
由此可以知道，将指数函数y＝2x的图象向右平移2个单位长度，就得到函数y＝2x-2的图象.
Ⅳ.课时小结
［师］通过本节学习，大家要能在理解指数函数概念的基础上，掌握指数函数的图象和性质，并会简单的应用.
Ⅴ.课后作业
（一）1.在同一坐标系里画出下列函数图象：
(1)y=10x；
(2)y=()x.
2.作出函数y=2x－1和y=2x+1的图象，并说明这两个函数图象与y=2x的图象关系.
答：如图所示，函数y＝2x－1的图象可以看作是函数y＝2x的图象向右平移两个单位得到.
函数y＝2x＋1的图象可以看作是函数y＝2x的图象向上平移1个单位得到
（二）1.预习内容：
课本P73例3
2.预习提纲：
(1)同底数幂如何比较大小
(2)不同底数幂能否直接比较大小
●板书设计
§2.6.1 指数函数
1.指数函数定义：形如y＝ax（a＞0且a≠1）的函数叫指数函数
2.指数函数的图象性质
3.［例1］ ［例2］
4.学生 练习
Ⅰ.复习引入
引例1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……. 1个这样的细胞分裂 x 次后，得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系是什么？
分裂次数：1，2，3，4，…，x
细胞个数：2，4，8，16，…，y
由上面的对应关系可知，函数关系是 y＝2x.
引例2：某种商品的价格从今年起每年降低15%，设原来的价格为1，x年后的价格为y，则y与x的函数关系式为 y＝0.85x.
在y＝2x, y＝0.85x中指数x是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量.
我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个大于0且不等于1的常量的函数叫做指数函数.
Ⅱ.讲授新课
1．指数函数的定义
函数y＝a x（a＞0且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R
探究1：为什么要规定a＞0,且a≠1呢？
①若a＝0，则当x＞0时，ax＝0；当x≤0时，ax无意义.
②若a＜0，则对于x的某些数值，可使ax无意义. 如y＝(-2)x，这时对于x＝，x＝，…等等，在实数范围内函数值不存在.
③若a＝1，则对于任何x∈R，ax＝1，是一个常量，没有研究的必要性.
为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a≠1。在规定以后，对于任何x∈R，ax都有意义，且ax＞0. 因此指数函数的定义域是R，值域是(0，+∞).
探究2：函数 y＝2·3x是指数函数吗？ 指数函数的解析式 y＝ax中，ax的系数是1.
有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如 y＝ax+k (a＞0且a≠1，k∈Z)；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如y=a-x(a＞0，且a≠1)，因为它可以化为 y＝(a-1)x，其中
a-x＞0，且a-x≠1.
活动设计：教师提出问题，学生思考、分析、讨论，教师引导、整理
2．指数函数的图象
活动设计：学生分别取不同的a值，用计算器作出函数图像，观察、分析讨论函数性质，教师辅导、启发、整理
⑴作图：（以下几例由学生作出类似情况，然后展示）
⑵描点法作函数草图
在同一坐标系中分别作出函数 y＝2x，y＝()x，y＝10x的图象.
⑴先分别列出 y＝2x，y＝()x，y＝10x中x、y的对应值表：
x … －3 －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 3 …
y＝2x … 0.13 0.25 0.35 0.5 0.71 1 1.4 2 2.8 4 8 …
x … －3 －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 3 …
y＝()-x … 8 4 2.8 2 1.4 1 0.71 0.5 0.35 0.25 0.13 …
x … －1 －0.5 －0.25 0 0.25 0.5 1 …
y＝10x … 0.1 0.32 0.56 1 1.78 3.16 10 …
注意：
①用图形计算器函数值表填写列表，列表时注意x的广泛代表性，即对于负数、零、正数都要取到；
②要画出渐近的“味道”
⑶观察、总结
a A＞1 0＜a＜1
图 像
定义域 R R
值 域 y＞0 y＞0
定 点 过点(0，1) 过点(0，1)
单调性 单调递增 单调递减
Ⅲ.例题分析
［例1］（课本第81页）比较下列各题中两个值的大小：
①1.72.5，1.73； ②0.8－0.1，0.8－0.2； ③1.70.3，0.93.1
活动设计：理解用函数单调性来比较大小，教师引导、整理
解：利用函数单调性
①1.72.5与1.73的底数是1.7，它们可以看成函数 y＝1.7x，当x＝2.5和3时的函数值；因为1.7>1，所以函数y=1.7x在R是增函数，而2.5<3，所以，1.72.5<1.73；
②略
③在下面个数之间的横线上填上适当的不等号或等号：1.70.3>1.70>1；0.93.1<0.90<1；1.70.3>0.93.1
小结：对同底数幂大小的比较用的是指数函数的单调性，必须要明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值；对不同底数是幂的大小的比较可以与中间值进行比较.
Ⅳ.课堂练习
⑴比较大小：－0.7－0.2 －1.7－0.3；（－2.5） （－2.5）
⑵已知下列不等式，试比较m、n的大小：
（）m ＞（）n，m n；1.1m＜1.1n，m n.
⑶比较下列各组中数的大小：10， 0.4－2.5， 2－0.2， 2.51.6
Ⅴ.课时小结
指数函数的定义；图象的作法；性质
Ⅵ.课后作业
课本P54 习题：1，2.
- 4 -第5、6课时 函数的值域
教学目标：
使学生掌握如何求二次函数、无理函数和分式函数的值域.
教学重点：
联系图像求值域.
教学难点：
联系图像求值域.
教学过程：
[例1]求函数y＝x2在下列范围内的值域：
（1）x∈[1，2] （2）x∈[－1，2] （3）x∈[－3，2]
（4）x∈[a，2] （5）x∈[T，T＋2]
[例2] 求函数y＝的值域.
解：令t＝－x2＋2x＋3，则：
y＝且t∈[0，4]
∴所求函数的值域为：[0，2]
[例3] 求函数y＝2x－3＋的值域.
分析：对于没有给定自变量的函数，应先考查函数的定义域，再求其值域.
解：∵4x－13≥0 ∴x∈[，＋∞） 令t＝则得：x＝
∴y＝t2＋t＋ ∴y＝（t＋1）2＋3
∵x≥ ∴t≥0根据二次函数图象可得y∈[，＋∞）
[例4] 求函数y＝ eq \r(x＋4) － eq \r(x－4) 的值域.
解：y＝（＋2）－｜－2｜
＝ eq \b\lc\{(\a\al(4 x≥8,2 4≤x＜8))
∴y∈[0，4]
[例5] 求函数y＝｜x＋1｜－｜x－2｜的值域.
分析：对于y＝｜x＋1｜－｜x－2｜的理解，从几何意义入手，即利用绝对值的几何意义可知，｜x＋1｜表示在数轴上表示x的点到点－1的距离，｜x－2｜表示在数轴上表示x的点到点2的距离，在数轴上任取三个点xA≤－1，－1＜xB＜2，xC≥c，如图所示，可以看出｜xA＋1｜－｜xA－2｜＝－3
－3＜｜xB＋1｜－｜xB－2｜＜3，｜xC＋1｜－｜xC－2｜＝3，由此可知，对于任意实数x，都有－3≤｜x＋1｜－｜x－2｜≤3
所以函数y＝｜x＋1｜－｜x－2｜的值域为y∈[－3，3]
[例6] 求函数y＝的值域.
解：∵函数定义域为x∈R由原函数可化得：
y＝＝
＝＋＝＋
＝－＋1 令t＝
∵x∈R ∴t∈(0，1]
∴y＝5t2－t＋1＝5（t－）2＋根据二次函数的图象得当t＝时
ymin＝当t＝1时，ymax＝5
∴函数的值域为y∈[，5]
[例7] 求下列函数的值域.
（1）y＝ （2）y＝ （k≠0，k是常数）
（3）y＝（a、b是常数，a≠0）
（4）y＝（a、b、k是常数，a、k≠0）
[例8] 求函数y＝（x≠0）在下列定义域范围内的值域.
（1）x∈（1，2）； （2）x∈（0，2）； （3）x∈（－1，2）；
（4）x∈（2，+∞）； （5）x∈（－2，+∞）
[例9] 求下列函数的值域：
（1）y＝；（2）y＝
解：（1）∵y＝＝2－
∴函数的值域为{ y︱y≠0}
（2）∵y＝－＋ eq \f(,2x＋5)
∵ eq \f(,2x＋5) ≠0 ∴y≠－
∴函数y的值域为y∈（－∞，－）∪（－，＋∞）
[例10] 求函数y＝的值域.
解：由y＝可知，x∈R且yx2＋2y＝3x2－1
即（3－y）x2＝2y＋1
若y＝3时，则有0＝7，这是不可能的.
∴y≠3
得：x2＝ ∵x2≥0 ∴≥0
解得：－≤y＜3
∴函数值域为y∈[－，3）
[例11] 求下列函数的值域：
（1）y＝；（2）y＝
[例12] 求函数y＝的值域.
解：由y＝得x∈R且可化为：
（2y－1）x2＋2（y＋1）x＋（y＋3）＝0
∴当y≠时，Δ＝[2（y＋1）]2－4（2y－1）（y＋3）≥0
∴y2＋3y－4≤0 ∴－4≤y≤1且y≠
又当y＝时，2（1＋）x＋（＋3）＝0
得：x＝－，满足条件
∴函数的值域为y∈[－4，1]
评述：（1）求函数的值域是一个相当复杂的问题，它没有现成的方法可套用，要结合函数表达式的特征，以及与所学知识联系，灵活地选择恰当的方法.
（2）对于以上例题也可以采取不同的方法求解每一个值域，请读者不妨试一试.
（3）除以上介绍的方法求函数值域外，随着学生的继续学习，我们今后还会有“反函数”法、“单调性”法、“三角换元”法、“不等式”法及“导数法”等.
课后作业：
- 1 -第3课时 函数的表示法
教学目标：
使学生掌握函数的三种常用表示方法，了解初等函数图象的几种情形，理解分段函数的意义，初步学会用函数的知识解决具体问题的方法；通过本节课的教学，使学生认识到知识无止境，对客观世界的认识也是永无止境的，树立终身学习的思想.
教学重点：
函数的表示方法，函数的应用.
教学难点：
函数的应用.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
［师］上节课我们学习了判定两个函数是否相同的方法，哪位同学来回答一下如何判定两个函数是否相同呢？
［生］判定两个函数是否相同，一要看其定义域是否相同，二要看其对应关系是否相同，当两者完全一致时，这两个函数就是相同的函数，当两者有一不同或两者完全不同时，这两个函数就不是相同的函数.
［师］很好!我们前面已经学习了函数的定义，函数的定义域的求法，函数值的求法，两个函数是否相同的判定方法，那么函数的表示方法常用的有哪些呢？这节课我们就来研究这个问题（板书课题）.
Ⅱ.指导自学
［师］课下同学们已经进行了自学，函数的表示方法常用的有哪几种，各有什么优点？
［生］函数的表示方法常用的有三种，分别是解析法、列表法、图象法.
解析法是用解析式表示两个变量的函数关系，它的优点是关系清楚，容易求函数值，便于研究函数的性质.
列表法是用表格表示两个变量的函数关系，它的优点是不必计算就可知道自变量取某些值时的函数值.
图象法是用图象表示两个变量的函数关系，它的优点是表示函数的变化情况形象直观.
［师］好!（再举些例子对各种表示方法进行说明，并强调：中学里研究的函数主要是用解析式表示的函数）
［师］下面请同学们看课本P30例1、例2.
（学生看课本、教师巡视）
［师］例1、例2的图象有什么特点呢？
［生］例1的图象是一些孤立的点，例2的图象是几条线段.
［师］回答完全正确，在初中，我们学过的函数图象通常是一条光滑的（不打折）曲线（或直线）.例1、例2告诉我们函数的图象有时也可以由一些弧立的点或几段线段组成，以后我们还将看到函数的图象还可以由几段光滑的曲线组成，从例2看到，有些函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应关系不同，这种函数通常称为分段函数.
注意：分段函数是一个函数，而不是几个函数.
［师］例3是生活中的实际问题，对实际问题的解决，要求我们认真分析题意，将其抽象，转化成数学问题，通过解答数学问题，使实际问题得以解决，因此，解决应用问题的关键是将实际问题分析，抽象，转化成数学问题，即将实际问题数学化.
下面我们一起对例4进行分析，请大家再仔细看一遍题.
［例4］经市场调查，某商品在近100天内，其销售量和价格均是时间t的函数，且销售量近似地满足关系ｇ（t）＝－t ＋（t∈N*，0＜t≤100)，在前40天内价格为f（t）＝t＋22（t∈N*，0≤t≤40），在后60天内价格为f（t）＝－t＋52（t∈N*，40＜t≤100)，求这种商品的日销售额的最大值(近似到1元).
分析：弄清“日销量”“价格”“日销额”这三个概念以建立它们之间的函数关系式.
解：前40天内日销售额为：
S＝（t＋22）（－t＋）＝－t2＋t＋779
∴S＝－（t－10.5）2＋
后60天内日销售额为：
S＝（－t＋52）（－t＋）＝t2－t＋
∴S＝（t－106.5）2－
∴得函数关系式
S＝ eq \b\lc\{(\a\al(－（t－10.5）2＋（0＜t≤40且t∈N+）,（t－106.5）2－（40＜t≤100且t∈N+）))
由上式可知：对于0＜t≤40且t∈N*，有当t＝10或11时，Smax≈809
对于40＜t≤100且t∈N*，有当t＝41时，Smax＝714，综上所述得：当t＝10或11时，Smax≈809
答：第10天或11天日售额最大值为809元
［例5］某中学高一年级学生李鹏，对某蔬菜基地的收益作了调查，该蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示，试解答下列问题.
(1)写出图一表示的市场售价间接函数关系P＝f（t）.写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q＝g（t）；
(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大
(注：市场售价和种植成本的单位：元／102　kg，时间单位：天)
解：(1)由图一可得市场售价间接函数关系为，f（t）＝
由图二可得种植成本间接函数关系式为
g（t）＝（t－150）2＋100 0≤t≤300
(2)设t时刻的纯收益为h（t），则由题意得h（t）＝f（t）－ｇ（t）
即h（t）＝ eq \b\lc\{(\a\al(－t 2＋t ＋（0≤t≤200）,－t 2＋t －（200＜t≤300）))
当0≤t≤200时，得h（t）＝－（t－50）2＋100
∴当t＝50时，h(t)取得在t∈[0，200]上的最大值100
当200＜t≤300时，得h（t）＝－（t－350）2＋100
∴当t＝300时，h（t）取得在t∈（200，300]上的最大值87.5
综上所述由100＞87.5可知，h(t)在t∈[0，300]上可以取得最大值是100，此时t＝50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿收益最大.
评述：（1）以上两例都是考查用数学中函数知识思想、方法去解决实际问题的能力，注意其中关键词的理解，正确找出函数关系式.求最值时配方法是一种常用方法.
（2）应用题是高考热点问题，且应用题的具体内容可以多种多样，千变万化，而抽象其数量关系，并建立函数关系式是具有普遍意义的方法.
（3）数学应用题因其具有没有固定的背景与题型，难以摸拟分类的特点，也就更接近于我们的生产和实际生活.所以应用题是考查学生创新意识和创新能力的难得的有效题型，同时也不失为提高学生分析问题和解决问题能力的好题型.所以，我们广大师生应加强这一方面的训练，清除心理负面影响，以积极的姿态，迎接数学应用题的挑战，以适应高考的改革要求.
［例6］季节性服装当季节即将来临时，价格呈上升趋势，设某服装开始时定价为10元，并且每周(7天)涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售；10周后当季节即将过去时，平均每周削价2元，直到16周末，该服装已不再销售.
(1)试建立价格P与周次t之间的函数关系式.
(2)若此服装每件进价Q与周次t之间的关系为Q＝－0.125（t－8）2＋12，t∈[0，16]，t∈N*试问该服装第几周每件销售利润L最大
解： (1)P＝
(2)因每件销售利润＝售价－进价，即L＝P－Q
故有：当t∈[0，5)且t∈N*时，L＝10＋2t＋0.125（t－8）2－12＝t2＋6
即，当t＝5时，Lmax＝9.125
当t∈[5，10)时t∈N*时，L＝0.125t2－2t＋16
即t＝5时，Lmax＝9.125
当t∈[10，16]时，L＝0.125t2－4t＋36
即，t＝10时，Lmax＝8.5
由以上得，该服装第5周每件销售利润L最大.
Ⅲ.课堂练习
课本P31练习1，2，3，4
Ⅳ.课时小结
［师］本节课我们学习了哪些知识呢？请同学们总结一下.
[生甲]函数的图象不仅可以是一段光滑的曲线，还可以是一些弧立的点.
[生乙]还可以是若干条线段.
[生丙]学习了函数知识的应用.
[生丁]应用数学知识解决实际问题，关键是将实际问题数学化.
[生戊]实际问题数学化就是要认真分析题意，将实际问题抽象，转化成数学问题.
[师]好!同学们总结了本节课所学习的知识，重要的在于掌握尤其是函数知识的应用，更要多练，才能运用自如.
Ⅴ.课后作业
（一）课本P32习题2.2 1~12.
（二）1.预习内容：函数的单调性.
2.预习提纲：
（1）增函数、减函数的定义是什么？
（2）函数单调区间的定义是什么？
（3）证明函数单调的方法步骤是怎样的？
（4）单调性是个整体概念还是个局部概念？
- 1 -第9课时 函数的单调性（二）
教学目标：
使学生理解增函数、减函数的概念，掌握判断某些函数增减性的方法，培养学生利用数学概念进行判断推理的能力和数形结合，辩证思维的能力；通过本节课的教学，启示学生养成细心观察，认真分析，严谨论证的良好思维习惯.
教学重点：
函数单调性的判断和证明.
教学难点：
函数单调性的判断和证明.
教学过程：
［例1］已知函数f（x）在其定义域M内为减函数，且f（x）＞0，则g（x）＝1＋在M内为增函数。
证明：在定义域M内任取x 1、x 2，且x 1＜x 2，则：
g（x 1）－g（x 2）＝1＋－1－
＝－＝
∵对于任意x∈M，有f（x）＞0 ∴ f（x1）f（x2）＞0
∵f（x）在其定义域M内为减函数， ∴f（x1）＞f（x2）
∴g（x 1）－g（x 2）＜0 即g（x 1）＜g（x 2）
∴g（x）在M内为增函数
［例2］函数f（x）在（0，＋∞）上是减函数,求f（a2－a＋1）与f（）的大小关系
解：∵f（x）在（0，＋∞）上是减函数
∵a2－a＋1＝（a－）2＋≥＞0
∴f（a2－a＋1）≤f（）
评述：体会“等价转化”思想的运用，注意解题时的层次分明和思路清晰.
［例3］已知函数f（x）＝在区间（－2，+∞）上单调递增，求a的取值范围。
解：在区间（－2，+∞）内任取x 1、x 2，使－2＜x 1＜x 2，则：
f（x 1）－f（x 2）＝－＝
∵ f（x 1）＜f（x 2） ∴（2a－1）（x1－x2）＜0 而x 1＜x 2
∴必须2a－1＞0 即a＞
［例4］已知函数f（x）＝x2－2ax＋a2＋1在区间（－∞，1）上是减函数，求a的取值范围。
解：∵顶点横坐标为a，且开口向上 ∴a≥1
［例5］写出函数f（x）＝的单调区间。
解：∵t＝x2－2x－3≥0 ∴x≤－1或x≥3
当x∈（－∞，－1]时：x递增，t递减，f（x）递减
当x∈[3，+∞）时：x递增，t递增，f（x）递增
∴当x∈（－∞，－1]时，f（x）是减函数；
当x∈[3，+∞）时，f（x）是增函数.
［例6］判断函数f（x）＝的增减情况。
解：设t＝x2－4x，则t≥－4且t≠0 y＝
当t∈[－4，0]时，y＝递减；当t∈[0，+∞）时，y＝递减.
又当x∈[0，4]时，t∈[－4，0]
当x∈（－∞，0）或x∈（4，+∞）时，t∈[0，+∞）
∴当x∈（－∞，0）时，x递增，t递减，y递增
当x∈[0，2]时，x递增，t递减，y递增
当x∈（2，4]时，x递增，t递增，y递减
当x∈（4，+∞）时，x递增，t递增，y递减
∴当x∈（－∞，0）∪[0，2]时，f（x）是增函数
当x∈（2，4]∪（4，+∞）时，f（x）是减函数
［例7］已知f(x)的定义域为（0，＋∞），且在其定义域内为增函数，满足f（xy）＝f（x）＋
f（y），f（2）＝1，试解不等式f（x）－f（x－2）＞3.
解：由f（2）＝1及f（xy）＝f（x）＋f（y）可得
3f（2）＝3＝f（2）＋f（2）＋f（2）＝f（4）＋f（2）＝f（8）
∴f（x）－f（x－2）＞3 ∴f（x）＞f（x－2）＋3＝f（x－2）＋f（8）＝f [8（x－2）]
又函数f（x）在定义域（0，＋∞）上是增函数
∴ 即2＜x＜
评述：（1）例7是利用函数的单调性解不等式的重要应用，这类问题解决时要特别注意必须首先考虑定义域，进而结合函数单调性去求不等式的解集.（2）建议在教学中指导学生树立“定义域优先”的原则,即：在解题时必须时时考虑到.
［例8］设f（x）定义在R+上，对于任意a、b∈R+，有f（ab）＝f（a）＋f（b）
求证：（1）f（1）＝0；（2）f（ ）＝－f（x）；
（3）若x∈（1，+∞）时，f（x）＜0，则f（x）在（1，+∞）上是减函数.
证明：（1）令a＝b＝1，则：
f（1）＝f（1）＋f（1） ∴ f（1）＝0
（2）令a＝x，b＝，则：
f（1）＝f（x）＋ f（ ） ∴ f（ ）＝－f（x）
（3）令1＜x 1＜x 2，则：
－f（x1）＋f（x2）＝f（x2）＋f（ ）＝f（ ）
∵1＜x 1＜x 2 ∴＞1 ∴f（ ）＜0
即f（x1）＞f（x2）
∴ f（x）在（1，+∞）上是减函数.
- 1 -第六课时 交集、并集(二)
教学目标：
使学生掌握集合交集及并集有关性质，运用性质解决一些简单问题，掌握集合的有关术语和符号；提高分析、解决问题的能力和运用数形结合求解问题的能力；使学生树立创新意识.
教学重点：
利用交集、并集定义进行运算.
教学难点：
集合中元素的准确寻求
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
集合的交集、并集相关问题的求解主要在于集合元素寻求.
Ⅱ.讲授新课
［例1］求符合条件{1}P{1，3，5}的集合P.
解析：（1）题中给出两个已知集合{1}，{1，3，5}与一个未知集合P，欲求集合P，即求集合P中的元素；（2）集合P中的元素受条件{1}P{1，3，5}制约，两个关系逐一处理，由{1}与P关系{1}P，知1∈P且P中至少有一个元素不在{1}中，即P中除了1外还有其他元素；由P与{1，3，5}关系P{1，3，5}，知P中的其他元素必在{1，3，5}中，至此可得集合P是{1，3}或{1，5}或{1，3，5}.
［例2］已知U＝{x｜x2＜50，x∈N}，（CUM）∩L＝{1，6}，M∩（CUL）＝{2，3}，CU(M∪L)＝{0，5}，求M和L.
解析：题目中出现U、M、L、CUM、CUL多种集合，就应想到用上面的图形解决问题.
第一步：求全集5＝{x｜x2＜50，x∈N}＝{0，1，2，3，4，5，6，7}
第二步：将(CUM)∩L＝{1，6}，M∩（CUL）＝{2，3}，CU(M∪L）＝{0，5}中的元素在图中依次定位.
第三步：将元素4，7定位.
第四步：根据图中的元素位置得M＝{2，3，4，7}，N＝{1，6，4，7}.
［例3］50名学生报名参加A、B两项课外学科小组，报名参加A组的人数是全体学生数的五分之三，报名参加B组的人数比报名参加A组的人数多3人，两组都没有报名的人数是同时报名参加两组的人数的三分之一多1人，求同时报名参加A、B两组的人数和两组都没有报名的人数.
解析：此题是一道应用题，若用建模则寻求集合与集合交集借助符合题意的文氏图
设A∩B的元素为x个，则有
(30－x)＋x＋（33－x）＋（x＋1）＝50，可得
x＝21，x＋1＝8那么符合条件的报名人数为8个.
［例4］设全集I＝{x｜1≤x＜9，x∈N}，求满足{1，3，5，7，8}与B的补集的集合为{1，3，5，7}的所有集合B的个数.
解析：(1)求I＝{x｜1≤x＜9，x∈N}＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，因{1，3，5，7，8}∩（CUB）＝{1，3，5，7}，则CUB中必有1，3，5，7而无8.
(2)要求得所有集合B个数，就是要求CUB的个数. CUB的个数由CUB中的元素确定，分以下四种情况讨论：
①CUB中有4个元素，即CUB＝{1，3，5，7}
②CUB中有5个元素，CUB中有元素2， 4，或6，CUB有3个.
③CUB中有6个元素，即从2和4，2和6，4和6三组数中任选一组放入CUB中，CUB有3个
④CUB中有7个元素，即CUB＝{1，3，5，7，2，4，6}
综上所有集合CUB即B共有8个.
［例5］设U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{3，4，5}，B＝{4，7，8}，求A∩B、A∪B、CUA、CUB、（CUA）∩（CUB）、(CUA)∪(CUB).
解析：关键在于找CUA及CUB的元素，这个过程可以利用文氏图完成.
解：符合题意的文氏图如右所示，由图可知
A∩B＝｛4｝，A∪B＝｛3，4，5，7，8｝，
CUA＝{1，2，6，7，8}，CUB＝{1，2，3，5，6}
(CUA)∩(CUB)＝{1，2，6}，即有(CUA)∩（CUB）＝CU(A∪B)
(CUA)∪(CUB)＝{1，2，3，5，6，7，8}，即有(CUA)∪(CUB)＝CU (A∩B)
［例6］图中U是全集，A、B是U的两个子集，用阴影表示(CUA)∩（CUB）.
解析：先将符号语言(CUA)∩（CUB）转换成与此等价的
另一种符号语言CU(A∪B)，再将符号语言CU(A∪B)转换成图
形语言(如下图中阴影部分)
［例7］已知A＝{x｜－1＜x＜3}，A∩B＝，A∪B＝R，求B.
分析：问题解决主要靠有关概念的正确运用，有关式子的正确利用.
解：由A∩B＝及A∪B＝R知全集为R，CRA＝B故B＝CRA＝{x｜x≤－1或x≥3}，B集合可由数形结合找准其元素.
［例8］已知全集I＝{－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4}，A＝{－3，a2，a＋1}，B＝{a－3，2a－1，a2＋1}，其中a∈R，若A∩B＝{－3}，求CI（A∪B）.
分析：问题解决关键在于求A∪B中元素，元素的特征运用很重要.
解：由题I＝{－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4}，A＝{－3，a2，a＋1}，B＝{a－3，2a－1，a2＋1}，其中a∈R，由于A∩B＝{－3}，因a2＋1≥1，那么a－3＝－3或2a－1＝－3，即a＝0或a＝－1
则A＝{－3，0，1}，B＝{－4，－3，2}，A∪B＝{－4，－3，0，1，2}
CI（A∪B）＝{－2，－1，3，4}
［例9］已知平面内的△ABC及点P，求{P｜P A＝P B}∩{ P｜P A＝P C}
解析：将符号语言{ P｜PA＝PB}∩{ P｜PA＝PC}转化成文字语言就是到△ABC三顶点距离相等的点所组成的集合.故{ P｜PA＝PB}∩{ P｜PA＝PC}＝{△ABC的外心}.
［例10］某班级共有48人，其中爱好体育的25名，爱好文艺的24名，体育和文艺都爱好的9名，试求体育和文艺都不爱好的有几名
解析：先将文字语言转换成符号语言，设爱好体育的同学组成的集合为A，爱好文艺的同学组成的集合为B.整个班级的同学组成的集合是U.则体育和文艺都爱好的同学组成的集合是A∩B，体育和文艺都不爱好的同学组成的集合是(CUA)∩（CUB)再将符号语言转换成图形语言：
通过图形得到集合(CUA)∩（CUB）的元素是8
最后把符号语言转化成文字语言，即(CUA)∩（CUB）
转化为：体育和文艺都不爱好的同学有8名.
Ⅲ.课堂练习
1.设A＝{（x，y）｜3x＋2y＝1}，B＝{（x，y）｜x－y＝2}，C＝{（x，y）｜2x－2y＝3}，D＝{（x，y）｜6x＋4y＝2}，求A∩B、B∩C、A∩D.
分析：A、B、C、D的集合都是由直线上点构成其元素A∩B、B∩C、A∩D即为对应直线交点，也即方程组的求解.
解：因A＝{（x，y）｜3x＋2y＝1}，B＝{（x，y）｜x－y＝2}
则
∴A∩B＝{（1，－1）}
又C＝{（x，y）｜2x－2y＝3}，则方程无解
∴B∩C＝
又 D＝{（x，y）｜6x＋4y＝2}，则
化成3x＋2y＝1
∴A∩D＝{（x，y）｜3x＋2y＝1}
评述：A、B对应直线有一个交点，B、C对应直线平行，无交点.A、D对应直线是一条，有无数个交点.
2.设A＝{x｜x＝2k，k∈Z}，B＝{x｜x＝2k＋1，k∈Z}，C＝{x｜x＝2（k＋1），k∈Z}，D＝{x｜x＝2k－1，k∈Z}，在A、B、C、D中，哪些集合相等，哪些集合的交集是空集
分析：确定集合的元素，是解决该问题的前提.
解：由整数Z集合的意义，
A＝{x｜x＝2k，k∈Z}，C＝{x｜x＝2（k＋1），k∈Z}都表示偶数集合.
B＝{x｜x＝2k＋1，k∈Z}，D＝{x｜x＝2k－1，k∈Z}表示由奇数组成的集合
故A＝C，B＝D
那么，A∩B＝A∩D＝{偶数}∩{奇数}＝，
C∩B＝C∩D＝{偶数}∩{奇数}＝
3.设U＝{x｜x是小于9的正整数}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}，求A∩B，CU(A∩B).
分析：首先找到U的元素，是解决该题关键.
解：由题U＝{x｜x是小于9的正整数}＝{1，2，3，4，5，6，7，8}
那么由A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}得A∩B＝{3}
则CU(A∩B)＝{1，2，4，5，6，7，8}
Ⅳ.课时小结
1.能清楚交集、并集有关性质，导出依据.
2.性质利用的同时，考虑集合所表示的含义，或者说元素的几何意义能否找到.
Ⅴ.课后作业
课本P14 习题1.3 7，8
参考练习题：
1.(1)已知集合P＝{x∈R｜y2＝－2（x－3），y∈R}，Q＝{x∈R｜y2＝x＋1，y∈R}，则P∩Q为 （ ）
A.{(x，y)｜x＝，y＝±} B.{x｜－1＜x＜3}
C.{x｜－1≤x≤3} D.{x｜x≤3}
(2)设S、T是两个非空集合，且ST，TS，记X＝S∩T，那么S∪X等于 （ ）
A.S B.T C. D.X
(3)已知，M＝{3，a}，N＝{x｜x2－3x＜0，x∈Z}，M∩N＝{1}，P＝M∪N，则集合P的
子集的个数为 （ ）
A.3 B.7 C.8 D.16
解析：(1)因P＝{x∈R｜y2＝－2（x－3），y∈R}，x＝－y2＋3≤3，即P＝{x｜x≤3}
又由Q＝{x∈R｜y2＝x＋1，y∈R}，x＝y2－1≥－1即1＝{x｜x≥－1}
∴P∩Q＝{x｜－1≤x≤3}即选C
另解：因P∩Q的元素是x，而不是点集.故可排除A.令x＝－1，有－1∈P，－1∈Q，即－1∈P∩Q，排除B取－2，由－2Q，否定D，故选C.
评述：另解用的是排除法，充分利用有且只有一个正确这一信息，通过举反例，取特殊值而排除不正确选项，找到正确选择支，在解集合问题时，对元素的识别是个关键.
本题若开始就解方程组，这样就易选A
(2)因X＝S∩T，故XS，由此S∪X＝S，选A
另解：若X≠，则有文氏图
∴有S∪X＝S
若X＝，则由文氏图
S∪X＝S∪＝S，综上选A.
评述：本题未给出集合中元素,
只给出两个抽象集合及其间关系,这时候想到利用文氏图.
(3)因N＝{x｜x2－3x＜0，x∈Z} 即N＝{x｜0＜x＜3，x∈Z}＝{1，2}
又 M∩N＝{1}，故M＝{3，1}，此时P＝M∪N＝{1，2，3}，子集数23＝8，选C.
2.填空题
(1)已知集合M、N满足，cardM＝6，cardN＝13，若card（M∩N）＝6，则card（M∪N）＝_______.若M∩N＝，则card(M∪N)＝_______.
(2)已知满足“如果x∈S，且8－x∈S”的自然数x构成集合S
①若S是一个单元素集，则S＝_______；②若S有且只有2个元素，则S＝_______.
(3)设U是一个全集，A、B为U的两个子集，试用阴影线在图甲和图乙中分别标出下列集合. ①CU（A∪B）∪(A∩B) ②(CUA)∩B
解析：(1)因cardM＝6，cardN＝13，由文氏图，当card（M∩N）＝6时，card（M∪N）＝6＋7＝13
又当M∩N＝，则card（M∪N）＝19
(2)①若S中只有一个元素，则x＝8－x即x＝4 ∴S＝{4}
②若S中有且只有2个元素.
则可由x分为以下几种情况，使之两数和为8，即{0，8}，{1，7}，{2，6}，{3，5}
评述：由集合S中元素x而解决该题.
(3)符合题意的集合用阴影部分表示如下：
①CU(A∪B)∪(A∩B) ②(CUA)∩B
3.设全集I＝{不超过5的正整数}，A＝{x｜x2－5x＋q＝0}，B＝{x｜x2＋px＋12＝0}且
(CUA)∪B＝{1，3，4，5}，求实数p与q的值.
解析：因(CUA)∪B＝{1，3，4，5}则B{1，3，4，5}且x2＋px＋12＝0
即B＝{3，4} ∴{1，5}CUA 即{2，3，4}A
又 x2－5x＋q＝0，即A＝{2，3}
故p＝－（3＋4）＝－7，q＝2×3＝6
评述：此题难点在于寻找B及A中元素是什么,找到元素后运用韦达定理即可得到结果.
4.设A＝{－3，4}，B＝{x｜x2－2ax＋b＝0}，B≠且BA，求a、b.
解析：因A＝{－3，4}，B＝{x｜x2－2ax＋b＝0}
B≠，BA，那么x2－2ax＋b＝0的两根为－3，4，或有重根－3，4.
即B＝{－3}或B＝{4}或B＝{－3，4}
当x＝－3时，a＝－3，b＝9
x＝4时，a＝4，b＝16
当x＝－3，x2＝4时，a＝（－3＋4）＝，b＝－12
评述：此题先求B，后求a、b.
5.A＝{x｜a≤x≤a＋3}，B＝{x｜x＜－1或x＞5}，分别就下面条件求A的取值范围.
①A∩B＝，②A∩B＝A.
解：①因A＝{x｜a≤x≤a＋3}，B＝{x｜x－1或x＞5}
又 A∩B＝，故在数轴上表示A、B
则应有a≥－1，a＋3≤5即－1≤a≤2
②因A∩B＝A，即AB
那么结合数轴应有a＋3＜－1或a＞5即a＜－4或a＞5
评述：集合的交、并运算利用数形结合，即可迅速找到解题思路，该题利用数轴，由A∩B＝及A∩B＝A，分别求a.
6.已知全集I＝{x｜x2－3x＋2≥0}，A＝{x｜x＜1或x＞3}，B＝{x｜x≤1或x＞2}，求CUA，CUB，A∩B，A∪B，（CUA）∩（CUB），CU(A∪B）.
解析：I＝{x｜x2－3x＋2≥0}＝{x｜x≤1或x≥2}
又A＝{x｜x＜1或x＞3}，B＝{x｜x≤1或x＞2}
则CUA＝{x｜x＝1或2≤x≤3}
CUB＝{x｜x＝2}＝{2}
A∩B＝A＝{x｜x＜1或x＞3}
A∪B＝{x｜x≤1或x＞2}＝B
(CUA)∩（CUB）＝CU（A∪B）＝{2}
评述：清楚全集、补集概念，熟练求解，并运算.
交集、并集(二)
1.(1)已知集合P＝{x∈R｜y2＝－2（x－3），y∈R}，Q＝{x∈R｜y2＝x＋1，y∈R}，则P∩Q为 （ ）
A.{(x，y)｜x＝，y＝±} B.{x｜－1＜x＜3}
C.{x｜－1≤x≤3} D.{x｜x≤3}
(2)设S、T是两个非空集合，且ST，TS，记X＝S∩T，那么S∪X等于 （ ）
A.S B.T C. D.X
(3)已知，M＝{3，a}，N＝{x｜x2－3x＜0，x∈Z}，M∩N＝{1}，P＝M∪N，则集合P的
子集的个数为 （ ）
A.3 B.7 C.8 D.16
2.填空题
(1)已知集合M、N满足，cardM＝6，cardN＝13，若card（M∩N）＝6，则card（M∪N）＝_______.若M∩N＝，则card(M∪N)＝_______.
(2)已知满足“如果x∈S，且8－x∈S”的自然数x构成集合S
①若S是一个单元素集，则S＝_______；②若S有且只有2个元素，则S＝_______.
(3)设U是一个全集，A、B为U的两个子集，试用阴影线在图甲和图乙中分别标出下列集合.
①CU（A∪B）∪(A∩B) ②(CUA)∩B
3.设全集I＝{不超过5的正整数}，A＝{x｜x2－5x＋q＝0}，B＝{x｜x2＋px＋12＝0}且
(CUA)∪B＝{1，3，4，5}，求实数p与q的值.
4.设A＝{－3，4}，B＝{x｜x2－2ax＋b＝0}，B≠且BA，求a、b.
5.A＝{x｜a≤x≤a＋3}，B＝{x｜x＜－1或x＞5}，分别就下面条件求A的取值范围.
①A∩B＝，②A∩B＝A.
6.已知全集I＝{x｜x2－3x＋2≥0}，A＝{x｜x＜1或x＞3}，B＝{x｜x≤1或x＞2}，求CUA，CUB，A∩B，A∪B，（CUA）∩（CUB），CU(A∪B）.
- 1 -第16课时 指数综合训练（一）
教学目标：
使学生进一步熟悉对数定义与幂的运算性质，理解对数运算性质的推导过程，熟悉对数的运算性质的内容，熟练运用对数的运算性质进而化简求值，明确对数的运算性质与幂的运算性质的区别.能运用联系的观点解决问题，认识事物之间的相互联系与相互转化.
教学重点：
证明对数运算性质.
教学难点：
对数运算性质的证明方法与对数定义的联系.
教学过程：
教学目的：
巩固根式和分数指数幂的概念和性质，并能熟练应用于有理指数幂的概念及运算法则进行相关计算
教学重点：根式和分数指数幂的概念和性质
教学难点：准确应用计算.
授课类型：巩固课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．根式的运算性质：
①当n为任意正整数时，()=a.
②当n为奇数时，=a；当n为偶数时，=|a|=.
⑶根式的基本性质：，（a0）.
2．分数指数幂的运算性质：
二、讲解范例：
例1.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数)
(1) （２） （３）
（４） （５） （6）
解：（１）
(2)
(3)
（４）
（５）
（６）
例2(课本第77页 例4)计算下列各式（式中字母都是正数）：
⑴ ；⑵ .
解：⑴原式=[2×(-6)÷(-3)]；
⑵原式=
说明：该例是运用分数指数幂的定义和运算性质进行计算的题，第⑴小题是仿照单项式乘除法进行的，首先将系数相乘除，然后将同底数的幂相乘除；第⑵小题是先按积的乘方计算，再按幂的乘方计算，在计算过程中要特别注意符号. 同学们在下面做题中，刚开始时，要严格按照象例题一样的解题步骤进行，待熟练以后再简化计算步骤.
例3(课本第77页 例5) 计算下列各式：
⑴ ；⑵ (a>0).
解：⑴原式=
=；
⑵原式=.
说明：本例是利用分数指数幂来进行根式计算，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再根据幂的运算性质进行计算；对于计算结果，若没有特别要求，就用分数指数幂的形式表示，若有特殊要求，可根据要求给出结果，但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数
例4化简：
解：
评述：此题注重了分子、分母指数间的联系，即，由此联想到平方差公式的特点，进而使问题得到解决
例5 已知x+x-1=3,求下列各式的值：
分析：（1）题若平方则可出现已知形式，但开方时应注意正负的讨论；
（2）题若立方则可出现（1）题形式与已知条件，需将已知条件与（1）题结论综合；或者，可仿照（1）题作平方处理，进而利用立方和公式展开
解：
评述：（1）题注重了已知条件与所求之间的内在联系，但开方时正负的取舍容易被学生所忽视，应强调以引起学生注意
（2）题解法一注意了（1）题结论的应用，显得颇为简捷，解法二注重的是与已知条件的联系，体现了对立方和公式、平方和公式的灵活运用，耐用具有一定层次，需看透问题实质方可解决得彻底，否则可能关途而废另外，（2）题也体现了一题多解
三、练习：
1．练习：课本第78页 练习：4；习题：*6⑴，*7⑴.
答案：7⑴∵，
∴=，又由已知得x>0，于是>0，
∴=.
2. 练习求下列各式的值：
(1) （２） （３）
（4） （5） （6）
解：(1)
(2)
（３）
(4)
(5)
(6)
五、小结 本节课学习了以下内容：
熟练进行有关分数指数幂是计算，熟练掌握分数指数幂的定义和运算性质
六、课后作业：
1．求下列各式的值：
(1) （2） （３） （4）
解：（１）
（２）
(3)
(4)
2．课本第75页 习题2.5：6 ⑵，7 ⑵⑶⑷.
解：6.⑵ =；
7.⑵ ∵，
而(由⑴知)，，，
∴；
⑶ ∵，∴；
⑷ .
3．已知：，求证：.
证明：由已知得
，
⑴÷⑵，得，
∴，即
4．已知：，，求的值.
解：由，
又1∴原式==
=.
5．求值：.
解：设，由公式得
(1+)+(1-)+3x=x3，即x3+x-2=0，
分解因式得：，
∵，∴，即x=1，∴原式=1.
6．设mn>0，x=，化简：A=.
解：∵x-4=()-4=()，
∴A==，
又∵mn>0，∴m，n同号.
⑴设m>0，且n>0，则A=.
①若mn，则A=；②若m⑵设m<0，且n<0，则A=.
①若nm，则A=；②若n综上所述得：A=.
七、板书设计（略）
八、课后记：高一数学综合训练（一） 11.5
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知全集I＝{0，1，2}，且满足CI (A∪B)＝{2}的A、B共有组数
A.5 B.7 C.9 D.11
2.如果集合A＝{x|x＝2kπ+π，k∈Z}，B＝{x|x＝4kπ+π，k∈Z}，则
A.AB B.BA C.A=B D.A∩B=
3.设A＝{x∈Z||x|≤2}，B＝{y|y＝x2＋1，x∈A}，则B的元素个数是
A.5 B.4 C.3 D.2
4.若集合P＝{x|3A.(1，9) B.［1，9］ C.［6，9 D.(6，9］
5.已知集合A＝B＝R，x∈A，y∈B，f:x→y＝ax＋b，若4和10的原象分别对应是6和9，则19在f作用下的象为
A.18 B.30 C. D.28
6.函数f(x)＝ (x∈R且x≠2)的值域为集合N，则集合{2,－2,－1,－3}中不属于N的元素是
A.2 B.－2 C.－1 D.－3
7.已知f(x)是一次函数，且2f(2)－3f(1)＝5，2f(0)－f(－1)＝1，则f(x)的解析式为
A.3x－2 B.3x＋2 C.2x＋3 D.2x－3
8.下列各组函数中，表示同一函数的是
A.f(x)＝1，g(x)＝x0 B.f(x)＝x＋2，g(x)＝
C.f(x)＝|x|，g(x)＝ D.f(x)＝x，g(x)＝()2
9. f(x)＝，则f{f［f(－3)］}等于
A.0 B.π C.π2 D.9
10.已知2lg(x－2y)＝lgx＋lgy，则的值为
A.1 B.4 C.1或4 D. 或4
11.设x∈R，若aA.a≥1 B.a>1 C.012.若定义在区间（－1，0）内的函数f(x)＝log2a(x＋1)满足f(x)>0，则a的取值范围是
A.(0，) B.(0， C.( ，+∞) D.(0，+∞)
二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上)
13.若不等式x2＋ax＋a－2>0的解集为R，则a可取值的集合为__________.
14.函数y＝的定义域是______，值域为__ ____.
15.若不等式3>()x+1对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围为___ ___.
16. f(x)＝，则f(x)值域为_____ _.
17.函数y＝的值域是__________.
18.方程log2(2－2x)＋x＋99＝0的两个解的和是______.
第Ⅱ卷
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
二、填空题
13 14 15
16 17 18
三、解答题(本大题共5小题，共66分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19.全集U＝R，A＝{x||x|≥1}，B＝{x|x2－2x－3＞0}，求(CUA)∩(CUB).
20.已知f(x)是定义在(0，+∞)上的增函数，且满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(2)＝1.
（1）求证：f(8)＝3 (2)求不等式f(x)－f(x－2)>3的解集.
21.某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.
（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
22.已知函数f(x)＝log2x－logx+5，x∈［2，4］，求f(x)的最大值及最小值.
23.已知函数f(x)＝(ax－a－x)(a>0且a≠1)是R上的增函数，求a的取值范围.
高一数学综合训练（一）答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B C D B D A C C B D A
二、填空题
13. 14. R ［，+∞) 15. －< a <
16. (－2，－1］ 17. (0，1) 18. －99
三、解答题(本大题共5小题，共66分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19.全集U＝R，A＝{x||x|≥1}，B＝{x|x2－2x－3＞0}，求(CUA)∩(CUB).
(CUA)∩(CUB)＝{x|－1＜x＜1}
20.已知f(x)是定义在(0，+∞)上的增函数，且满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(2)＝1.
（1）求证：f(8)＝3 (2)求不等式f(x)－f(x－2)>3的解集.
考查函数对应法则及单调性的应用.
（1）【证明】 由题意得f(8)＝f(4×2)＝f(4)＋f(2)＝f(2×2)＋f(2)＝f(2)＋f(2)＋f(2)＝3f(2)
又∵f(2)＝1 ∴f(8)＝3
(2)【解】 不等式化为f(x)>f(x－2)+3
∵f(8)＝3 ∴f(x)>f(x－2)＋f(8)＝f(8x－16)
∵f(x)是（0，+∞）上的增函数
∴解得221.某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.
（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
考查函数的应用及分析解决实际问题能力.
【解】 （1）当每辆车月租金为3600元时，未租出的车辆数为 ＝12，所以这时租出了88辆.
（2）设每辆车的月租金定为x元，则公司月收益为
f(x)＝(100－)(x－150)－×50
整理得:f(x)＝－＋162x－2100＝－(x－4050)2＋307050
∴当x＝4050时，f(x)最大，最大值为f(4050)＝307050 元
22.已知函数f(x)＝log2x－logx+5，x∈［2，4］，求f(x)的最大值及最小值.
考查函数最值及对数函数性质.
【解】 令t＝logx ∵x∈［2，4］，t＝logx在定义域递减有
log4∴f(t)＝t2－t＋5＝(t－)2＋,t∈［－1,－］
∴当t＝－时，f(x)取最小值
当t＝－1时，f(x)取最大值7.
23.已知函数f(x)＝(ax－a－x)(a>0且a≠1)是R上的增函数，求a的取值范围.
考查指数函数性质.
【解】 f(x)的定义域为R，设x1、x2∈R，且x1则f(x2)－f(x1)＝ (a－a－a+a)
＝ (a－a)(1+)
由于a>0，且a≠1，∴1＋>0
∵f(x)为增函数，则(a2－2)( a－a)>0
于是有，
解得a>或0教学目标：
使学生进一步熟悉对数定义与幂的运算性质，理解对数运算性质的推导过程，熟悉对数的运算性质的内容，熟练运用对数的运算性质进而化简求值，明确对数的运算性质与幂的运算性质的区别.能运用联系的观点解决问题，认识事物之间的相互联系与相互转化.
教学重点：
证明对数运算性质.
教学难点：
对数运算性质的证明方法与对数定义的联系.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
1．对数的定义 log a N＝b 其中 a∈（0，1）∪（1，＋∞）与N∈（0，＋∞）
2．指数式与对数式的互化
ab＝N log a N＝b
3.重要公式：
⑴负数与零没有对数；
⑵log a 1＝0，log a a＝1
⑶对数恒等式
(4) log a ab＝b
Ⅱ.讲授新课
1.运算性质：若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；
(2)loga＝logaM－logaN；
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)
［师］现在我们来证明运算性质，为了利用已知的幂的运算性质，应将对数形式根据对数的定义转化为指数形式，因此需要引进中间变量，起一定的过渡作用.
证明：(1)设logaM＝p，logaN＝q
由对数的定义得：M＝ap，N＝aq ∴MN＝ap·aq＝ap+q
再由对数定义得logaMN＝p＋q，即证得logaMN＝logaM＋logaN
(2)设logaM＝p，logaN＝q 由对数的定义可以得
M＝ap，N＝aq， ∴ ＝＝ap－q，
再由对数的定义得 loga＝p－q
即证得loga＝logaM－logaN
(3)设logaM＝p 由对数定义得M＝ap
∴Mn＝（ap）n＝anp 再由对数定义得
logaMn＝np 即证得logaMn＝nlogaM
评述：上述三个性质的证明有一个共同特点：先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等变形，然后再根据对数定义将指数式化成对数式.
其中，应主要体会对数定义在证明过程所发挥的关键作用.
(要求：性质(2)、(3)学生尝试证明，老师指导)
［师］接下来，我们利用对数的运算性质对下列各式求值：
［例1］求下列各式的值
（1）log525 （2）log0.41
（3）log2(47×25) （4）lg
分析：此例题目的在于让学生熟悉对数运算性质，可采用讲练结合的方式.
解：（1）log525＝＝2
（2）log0.41＝0
（3）log2(47×25)＝log247＋log225＝log222×7＋log225＝2×7＋5＝19
（4）lg＝lg102＝lg10＝
［师］大家在运算过程中，要注意对数的运算性质与幂的运算性质的区别.
［例2］用log a x，log a y，log a z表示下列各式：
（1）log a （2）log a eq \f(x2·,)
解：（1）log a ＝log a（xy）－ log az＝log a x＋log ay－log az
（2）log a eq \f(x2·,) ＝log a （x2·）－log a
＝log a x2＋log a －log a ＝2 log a x ＋log ay －log az
［例3］计算：
（1）lg14－2lg＋lg7－lg18 （2） （3） eq \f(lg＋lg8－3lg,lg1.2)
说明：此例题可讲练结合.
(1)解法一：lg14－2lg＋lg7－lg18
＝lg(2×7)－2(lg7－lg3)＋lg7－lg(32×2)
＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－2lg3－lg2＝0?
解法二：
lg14－2lg＋lg7－lg18＝lg14－lg（）2＋lg7－lg18?
＝lg eq \f(14×7, （）2×18) ＝lg1＝0
评述：此题体现了对数运算性质的灵活运用，运算性质的逆用常被学生所忽视.
（2）＝＝＝
（3） eq \f(lg＋lg8－3lg,lg1.2) ＝ eq \f(lg（33）＋lg23－3lg（10）,lg)
＝ eq \f(（lg3＋2lg2－1）,lg3＋2lg2－1) ＝
评述：此例题体现对数运算性质的综合运用，应注意掌握变形技巧，如(3)题各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系.(2)题要避免错用对数运算性质.
Ⅲ.课堂练习
课本P60练习1，2，3，4，5
补充：1.求下列各式的值：
（１）log 2６－log 2３ （２）lg５＋lg２
（３）log 5３＋log 5 （４）log 3５－log 315
解：（１）log 2６－log 2３＝log 2＝log 2２＝１
（2）lg５＋lg２＝lg（５×２）＝lg１０＝１
（3）log 5３＋log 5＝log 5 (３×)＝log 5１＝０
（4）log 3５－log 315＝log 3 ＝log 3 ＝－log 3３＝－１
2. 用lg x，lg y，lg z表示下列各式：
(1) lg （x y z） （２）lg （３）lg eq \f(xy3,) （４）lg eq \f(,y2z)
解：(1) lg（xyz）＝lg x＋lg y＋lgｚ
(2) lg ＝lg x y2－lg z＝lg x＋lg y2－lg z
＝lg x＋２lg y－lgｚ
(3) lg eq \f(xy3,) ＝lg x y3－lg ＝lg x＋lg y3－ lgｚ
＝lg x＋３lg y－ lgｚ
(4) lg eq \f(,y2z) ＝lg－lg y2 z＝lg x－（lg y2＋lg z）
＝lg x－2lg y－lg z
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，大家应掌握对数运算性质的推导，并能熟练运用对数运算性质进行对数式的化简、求值.
Ⅴ.课后作业
（一）课本P63习题 3，5
（二）预习内容：课本P61
补充作业：
1.计算：
(1) log a２＋log a （a＞０，a≠１） （２）log 318－log 3２
(3) lg －lg25 (4)２log 510＋log 50.25
（5）２log 525＋３log 264 (6) log 2（log 216）
解：(1) log a２＋log a ＝log a（２×）＝log a１＝０
（2）log 318－log 3２＝log 3＝log 3９＝２
（3）lg －lg25＝lg（÷２５）＝lg ＝lg10－2＝－２
（4）２log 510＋log 50.25＝log 5＋log 50.25
＝log 5 (100×0.25)＝log 525＝２
（5）２log 525＋３log 264＝２log 5＋３log 226
＝２×２＋３×６＝22
（6）log 2（log 216）＝log 2（log 2）＝log 2４＝log 2＝２
2.已知lg２＝0.3010，lg３＝0.4771，求下列各对数的值(精确到小数点后第四位)
(1) lg６ （２）lg４ （３）lg12
（４）lg （５）lg （６）lg32
解：（１）lg６＝lg２＋lg３＝0.3010+0.4771＝0.7781
(2) lg４＝２lg２＝２×0.3010＝0.6020
(3) lg12＝lg(３×4)＝lg３＋２lg２＝0.4771＋0.3010×2＝1.0791
(4) lg ＝lg３－lg２＝0.4771－0.3010＝0.1761
(5) lg ＝ lg３＝×0.4771＝0.2386
(6) lg32＝５lg２＝５×0.3010＝1.5050
3.用log a x，log a y，log a z，log a（x＋y），log a（x－y）表示下列各式：
（1）； （２）（）；
（3）（）； （４）；
（5）（）； （６）［］３.
解：(1) ＝－ｚ
＝ｘ－（２ｙ＋ｚ）＝ｘ－２ｙ－ｚ；
(2) （ｘ·）＝ｘ＋
＝ｘ＋（－）＝ｘ－ｙ＋ｚ
＝ｘ－ｙ＋ｚ；
(3) （ｘ）＝ｘ＋＋?
＝ｘ＋ｙ－ｚ；
(4) ＝xy－（－）
＝ｘ＋ｙ－（ｘ＋ｙ）（ｘ－ｙ）
＝ｘ＋ｙ－（ｘ＋ｙ）－（ｘ－ｙ）；
(5) （·ｙ）＝＋ｙ
＝（ｘ＋ｙ）－（ｘ－ｙ）＋ｙ；
(6) ［］
＝３［ｙ－ｘ－（ｘ－ｙ）］
＝３ｙ－３ｘ－３（ｘ－ｙ）
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