2023年中考数学高频考点突破：二次函数综合压轴题（特殊三角形问题）（含答案）

2023中考数学高频考点突破：二次函数综合压轴题（特殊三角形问题）
1．如图，抛物线与轴交于点和．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的对称轴交轴于点，点是位于轴上方对称轴上一点，轴，与对称轴右侧的抛物线交于点，四边形是平行四边形，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，连接，轴上方的对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．综合与探究：如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．抛物线上另有一点C在第一象限，且满足，．
(1)求A，B两点的坐标，并直接写出抛物线的对称轴；
(2)求线段BC的长；
(3)探究在对称轴上是否存在点P，使为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在．请说明理由．
3．如图，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴相交于点C，M是抛物线的顶点，直线是抛物线的对称轴，且点C的坐标为．
(1)求抛物线的关系式；
(2)已知P为线段上一个动点，过点P作轴于点D．若，的面积为S．
①求S与m之间的函数关系式．
②当S取得最大值时，求点P的坐标．
(3)在（2）的条件下，在线段上是否存在点P，使为等腰三角形？如果存在，直接写出满足条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
4．在平面直角坐标系中中，已知抛物线L：和线段，其中点，点，点C是抛物线L与y轴的交点，点D是抛物线L的顶点．
(1)求直线的解析式；
(2)点Q在抛物线L上，且与点C关于对称轴对称，连接，求证：为等腰直角三角形；
(3)在（2）的条件下，射线交x轴于点F，连接，四边形是否能构成平行四边形？如果能，请求m的值；如果不能，说明理由；
(4)若抛物线L与线段只有一个交点．请结合函数图象，直接写出m的取值范围________．
5．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，过点作轴于点，将沿所在直线翻折，使点恰好落在抛物线上的点处．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接，求的面积；
(3)抛物线上是否存在一点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
6．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于C，.
(1)求抛物线的解析式；
(2)P为抛物线上第一象限上一点，交y轴于D交于E，连接，点P的横坐标为t，的长为d，求d与t之间的函数关系式；
(3)在（2）的条件下，交于E，过点O做交于点F，G为抛物线上一点，延长交于点H，连接，若，，求点G的坐标.
7．抛物线与轴交于A、两点，与轴交于点，直线经过点、，已知点坐标为，点在抛物线上，设点的横坐标为．
(1)求抛物线与直线的解析式；
(2)如图1，连接，，，若是直角三角形，求点的坐标；
(3)如图2，若点在直线下方的抛物线上，过点作，垂足为，求的最大值．
8．如图，抛物线的图像与坐标轴交于三点，
(1)求两点坐标；
(2)如图1，若抛物线的顶点为，求与的面积之和；
(3)在抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由．
9．如图①，抛物线过，两点，过点B作直线轴，交x轴于点H，P是第一象限抛物线上一个动点，其横坐标是n．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在直线上是否存在点E，使？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由；
(3)在（2）的条件下，如图②，若点M在直线上，点N在x轴上，当以点P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出点M的坐标．
10．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为，B点坐标为，连接、．动点P从点A出发，在线段上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为t秒．
(1)求b、c的值．
(2)在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？
(3)在线段上方的抛物线上是否存在点M，使是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
11．如图，在平面直角坐标系中，直线l：与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线经过点B，且与直线l的另一个交点为．
(1)求n的值和抛物线的解析式．
(2)已知P是抛物线上位于直线下方的一动点（不与点B，C重合），设点P的横坐标为a．当a为何值时，的面积最大，并求出其最大值．
(3)在抛物线上是否存在点M，使是以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
12．如图，已知抛物线交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B，动点在x轴上，过点C作x轴的垂线交线段于点D，交该抛物线于点P，连接交于点E．
(1)求点A，B的坐标．
(2)当时，求线段的长．
(3)当是以为腰的等腰三角形时，求m的值．（直接写出答案即可）
13．如图1，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，顶点是D．
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标D；
(2)如图1，点是线段上的动点（不与B，D重合），轴于F，设四边形的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求S的最大值；
(3)如图2，将抛物线向下平移k个单位长度，平移后的顶点为，与x轴的交点是，．若的外心在该三角形的内部，直接写出k的取值范围．
14．如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且点的坐标为，直线经过点、．
(1)抛物线解析式为______，直线解析式为______；
(2)点是第一象限内抛物线上的一个动点与点，不重合，过点作轴于点，交直线于点，连接，设点的横坐标为，的面积为，求关于的函数解析式及自变量的取值范围，并求出的最大值；
(3)已知点为抛物线对称轴上的一个动点，若是以为直角边的直角三角形，请直接写出点的坐标．
15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点P为线段上方抛物线上的一点，过点P作轴交直线于点E，过点P作交直线于点F，求周长的最大值及此时点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，将抛物线沿射线方向平移，得到新抛物线，新抛物线和原抛物线交于点B，点M是x轴上的一动点，点Q是新抛物线上的一点，是否存在以点P、M、Q为顶点的三角形是以为斜边的等腰直角三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标．
16．如图，过点的抛物线的对称轴是直线，点B是抛物线与x轴的一个交点，点C在y轴上，点D是抛物线的顶点，设点P在直线下方且在抛物线上，过点P作y轴的平行线交于点Q．
(1)求a、b的值；
(2)求的最大值；
(3)当是直角三角形时，求的面积．
17．如图，已知抛物线与一直线相交于，两点，与y轴交于点N，其顶点为D．
(1)求抛物线及直线的函数关系式；
(2)若P是抛物线上位于直线上方的一个动点，设点P的横坐标为t；
①当时，求点P的坐标；
②是否存在点P，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
18．如图，抛物线与直线相交于，两点．
(1)求抛物线的解析式，并直接写出顶点坐标；
(2)点P为x轴上一动点，当是以为底边的等腰三角形时，求点Р的坐标；
(3)把抛物线沿它的对称轴向下平移个单位长度，在平移过程中，该抛物线与直线始终有交点，求h的最大值．
参考答案：
1．(1)
(2)
(3)点或
2．(1)，，对称轴
(2)
(3)或
3．(1)
(2)①；②
(3)存在，或
4．(1)
(3)能构成平行四边形，
(4)或
5．(1)
(2)3
(3)或
6．(1)；
(2)；
(3)
7．(1)抛物线解析式为，直线解析式为
(2)点的坐标为或
(3)的最大值为
8．(1)，
(2)
(3)存在，点坐标为或
9．(1)；
(2)存在点E使，；
(3)M点坐标为或或或．
10．(1)
(2)时，四边形的面积最小，最小值为4
(3)存在，
11．(1)，；
(2)当时，的面积最大，最大值为64；
(3)存在点M，使是以为直角边的直角三角形，此时点M的坐标为或
12．(1)
(2)
(3)或
13．(1)，
(2)，
(3)
14．(1)，
(2)，的最大值为
(3)点的坐标为：或
15．(1)
(2)的周长最大为，此时点P的坐标为
(3)或或或
16．(1)
(2)
(3)或
17．(1)直线的函数关系式为，抛物线函数关系式为；
(2)①；②．
18．(1)，
(2)
(3)