2023年九年级数学中考复习 二次函数与等腰三角形综合压轴题 考前冲刺达标测评（含答案）

2023年春九年级数学中考复习《二次函数与等腰三角形综合压轴题》
考前冲刺达标测评（附答案）
1．如图，抛物线与轴交于点和点，并经过点，抛物线的顶点为.将抛物线平移后得到顶点为且对称轴为直线的抛物线．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在直线上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图1，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点．
（1）求，的值；
（2）点是第一象限抛物线上一动点，过点作轴的垂线，交于点．当△为等腰三角形时，求点的坐标；
（3）如图2，抛物线顶点为，已知直线与二次函数图象相交于，两点．求证：无论为何值，△恒为直角三角形．
3．如图，抛物线的图象与轴交于，两点，与轴交于点，它的对称轴是直线．
（1）求抛物线的表达式；
（2）连接，求线段的长；
（3）若点在轴上，且为等腰三角形，请求出符合条件的所有点的坐标．
4．如图，二次函数的图象交轴于点，点，交轴于点

（1）求二次函数的解析式；
（2）连接，在直线上方的抛物线上有一点，过点作轴的平行线，交直线于点，设点的横坐标为，线段的长为，求关于的函数关系式；
（3）若点在轴上，是否存在点，使以、、为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
5．如图，在平面直角坐标系中，已知的直角顶点，斜边在轴上，且点的坐标为，点是的中点，点是边上的一个动点，抛物线过，，三点．
（1）当时，
①求抛物线的解析式；
②平行于对称轴的直线与轴，，分别交于点，，，若以点，，为顶点的三角形与相似，求点的值．
（2）以为等腰三角形顶角顶点，为腰构造等腰，且点落在轴上.若在轴上满足条件的点有且只有一个时，请直接写出点的坐标．
6．如图①，点G是等边三角形AOB的外心，点A在第一象限，点B坐标为(4，0)，连结OG．抛物线y＝ax（x﹣2）+1+的顶点为P．
（1）直接写出点A的坐标与抛物线的对称轴；
（2）连结OP，求当∠AOG＝2∠AOP时a的值．
（3）如图②，若抛物线开口向上，点C，D分别为抛物线和线段AB上的动点，以CD为底边构造顶角为120°的等腰三角形CDE（点C，D，E成逆时针顺序），连结GE．
①点Q在x轴上，当四边形GDQO为平行四边形时，求GQ的值；
②当GE的最小值为1时，求抛物线的解析式．
7．如图1，抛物线的顶点为，且与轴交于点，直线与两坐标轴的交点分别为、，．
（1）求抛物线的解析式和的值；
（2）点是抛物线上的动点，过点作于，轴交于．已知，求点的坐标；
（3）如图2，点是抛物线对称轴上的动点，直接写出当为等腰三角形时点的坐标．
8．如图，二次函数的图象与轴交于，，与轴交于点．若点，同时从点出发，都以每秒个单位长度的速度分别沿，边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．
（1）直接写出二次函数的解析式；
（2）当，运动到秒时，将△APQ沿翻折，若点恰好落在抛物线上点处，求出点坐标；
（3）当点运动到点时，点停止运动，这时，在轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形为等腰三角形 若存在，请直接写出 点坐标；若不存在，请说明理由．
9．如图，抛物线y=x2+mx+4m与x轴交于点A(，0）和点B(，0)，与y轴交于点C，，若对称轴在y轴的右侧．
（1）求抛物线的解析式
（2）在抛物线的对称轴上取一点M，使|MC-MB|的值最大；
（3）点Q是抛物线上任意一点，过点Q作PQ⊥x轴交直线BC于点P，连接CQ，当△CPQ是等腰三角形时，求点P的坐标．
10．如图，二次函数的图象与y轴交于点A(0，-4)，与x轴交于点B(-2，0)，C(8，0)，连接AB，AC．
（1）求出二次函数表达式；
（2）若点N在线段BC上运动（不与点B，C重合），过点N作NM∥AB，交AC于点M，连接AN，当以点A，M，N为顶点的三角形与以点A，B，O为顶点的三角形相似时，求此时点N的坐标；
（3）若点N在x轴上运动，当以点A，N，C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点N的坐标．
11．如图，已知抛物线，将抛物线平移后经过点，得到抛物线，与轴交于点；
（1）求抛物线的解析式；
（2）判断的形状，并说明理由；
（3）点为抛物线上的动点，过点作轴，与抛物线交于点，是否存在点，满足？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
12．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6，），AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，连接BC．点D是线段AC的中点，点E的坐标为（0，），点F是线段EO上的一个动点．过点A，D，F的抛物线与x轴正半轴交于点G，连接DG交线段AB于点M．
(1)求∠ACB的度数；
(2)当点F运动到原点时，求过A，D，F三点的抛物线的函数表达式及点G的坐标；
(3)以线段DM为一边作等边三角形DMP，点P与点A在直线DG同侧，当点F从点E运动到点O时，请直接写出点P运动的路径的长．
参考答案
1．解：（1）由于抛物线经过点和点，所以，
解得，抛物线.
当时，，解得，，所以点坐标为，
因为抛物线由抛物线平移得到，且顶点为，
所以抛物线的表达式为.
（2）在直线上存在点，使是等腰三角形.
由于，所以点坐标为，
根据勾股定理，设点坐标为，
分三种情况：
①当时，，解得，此时点坐标为；
②当时，，，此时点坐标为或；
③当时，，解得或（舍去），此时点坐标为.
综上，是等腰三角形时，点坐标为或或或.
2．解：（1）将点代入，
得，
解得，
∴；
（2）设直线的解析式为，
将点代入，
得，，
∴直线的解析式为，
设点，则点 ，
过点作于点，
①当时，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
解得，（舍去），，
∴；
②当时，
，
解得
∴
③当时，此时点P和点M重合
，
解得
∴
综上所述点的坐标，，；
（3）将二次函数与直线的表达式联立并整理得：，
设点的坐标为，
则，
则 ，
同理：，
点的坐标为，，点，
∴
即：为直角三角形．
3．解：（1）根据题意得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）∵点的坐标为，对称轴是直线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）设，
∵，，
∴，
是等腰三角形，分三种情况；
①当时，，解得，
∴；
②当时，由（2）知，
则，
解得，
∴或；
③当时，由（2）知，
则，
解得或（舍）
∴．
综上可知，符合条件的所有点的坐标为：或或或．
4．解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（-2，0），B（1，0），
设二次函数的解析式为：y=a（x+2）（x-1），
把C（0，2）代入得：2=a（0+2）（0-1），
a=-1，
∴y=-（x+2）（x-1）=-x2-x+2，
故抛物线的表达式为：y=-x2-x+2；
（2）设直线AC的解析式为：y=kx+b，
把A（-2，0）、C（0，2）代入得： ，
解得： ，
∴直线AC的解析式为：y=x+2，
设点N（n，-n2-n+2），则点F（n，n+2），
l=-n2-n+2-（n+2）=-n2-2n；
（3）存在，分三种情况：
①如图2，当BC=CM1时，M1（-1，0）；
②如图2，由勾股定理得：BC= ，
以B为圆心，以BC为半径画圆，交x轴于M2、M3，则BC=BM2=BM3=，
此时，M2（1-，0），M3（1+，0）；
③如图3，作BC的中垂线，交x轴于M4，连接CM4，则CM4=BM4，
设OM4=x，则CM4=BM4=x+1，
由勾股定理得：22+x2=（1+x）2，
解得：x=，
∵M4在x轴的负半轴上，
∴M4（-，0），
综上，点M的坐标为：（-1，0）或（1+，0）或（1-，0）或（-，0）．
5．解：（1）①∵点，点，
∴，，
在中，，
∵点是的中点，
∴点的坐标为，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴的坐标为，即，
把和D代入，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为.
②当时，可得，
解得，
∴；
当时，可得，
解得，
∴.
综上所述，的值为或0.
（2）若在轴上满足条件的点有且只有一个，则有两种情况，
第一种情况，EG⊥AB，如图，
∠A+∠B=90°，∠B+∠BCO=90°，∠B+∠BEG=90°，
∴∠A=∠BCO=∠BEG，
∴△AOC∽△COB，△AOC∽△COB，
∴，，
∴，即，
，即，
设，则，，
在直角三角形CDE中，，
∴，
解得或（舍），
，
由，得，，
∴，
∴E点坐标为，
第二种情况如图，以E为圆心DE为半径作圆，交AB延长线于M，过E作EH⊥AB于H， D、E、M三点共线时，
则E为DM的中点，
由D可知E的纵坐标为3，即EH=3，
由题可知△EHB∽△COB，
∴即,
∴HB=4，OH=OB-HB=16-4=12，
∴E点坐标为，
∴答案为或．
6．解：（1）如图，连接AG并延长AG交OB于H，
∵点B坐标为（4，0），
∴OB＝4，
∵点G是等边三角形AOB的外心，
∴AH⊥OB，OA＝OB＝4，∠AOB＝60°，
∴∠OAH＝30°，
∴OH＝OA＝2，AH＝OH＝2，
∴点A（2，2），
∵抛物线y＝ax（x﹣2）+1+＝ax2﹣2ax+1+，
∴对称轴为：直线x＝﹣＝1；
（2）如图，过点P作PN⊥OB于N，交AO于F，
∴ON＝1，
∵点G是等边三角形AOB的外心，
∴OG平分∠AOB，
∴∠AOG＝30°＝∠BOG，
当点P在△AOB内，
∵∠AOG＝2∠AOP，
∴∠AOP＝15°＝∠POG，
∴∠PON＝45°，
∵PN⊥OB，
∴∠PON＝∠OPN＝45°，
∴PN＝ON＝1，
∴点P坐标（1，1），
∴1＝a（1﹣2）+1+，
∴a＝，
当点P在△AOB外，
同理可得∠AOP'＝15°，
∴∠P'ON＝75°，
∴∠OP'N＝15°＝∠AOP'，
∴OF＝P'F，
∵∠AOB＝60°，P'N⊥OB，
∴OF＝2ON＝2＝P'F，FN＝ON＝，
∴P'N＝P'F+FN＝2+，
∴点P坐标为（1，2+），
∴2+＝a（1﹣2）+1+，
∴a＝﹣1，
综上所述：a＝﹣1或；
（3）如图，连接AG并延长AG交OB于H，
∵点G是等边三角形AOB的外心，
∴AG＝2GH，OH＝BH＝2，AH＝2，
∴GH＝，
∵四边形GDQO为平行四边形，
∴GD∥OB，GD＝OQ，
∴，
∴GD＝，
∴QH＝，
∴GQ＝＝＝；
②如图，在OB上截取OM＝BD，连接CM，GM，GB，MD，GD，
∵点G是等边三角形AOB的外心，
∴OG＝GB，∠GOB＝∠GBO＝∠ABG＝30°，
又∵OM＝BD，
∴△OGM≌△BGD（SAS），
∴MG＝GD，∠OGM＝∠BGD，
∴∠OGB＝∠MGD＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴MD＝GD，∠GDM＝30°，
∵△CDE中CE＝DE，∠CED＝120°，
∴CD＝DE，∠CDE＝30°，
∴∠MDC＝∠GDE，，
∴△GDE∽△MDC，
∴＝，
当GE最小值为1时，MC最小值为，
∴当点C与抛物线顶点P重合，且CM⊥OB时，CM有最小值，
∴CM的最小值为顶点P的纵坐标，
∴点P坐标（1，），
∴＝a（1﹣2）+1+，
∴a＝1，
∴抛物线的解析式为：y＝x（x﹣2）+1+＝（x﹣1）2+．
7．解：（1）因为抛物线的顶点为，所以设抛物线的关系式是，
把点C的坐标(0，2)代入，得，C的坐标(0，2)
解得，
∴，
把代入，
得，
∴点B的坐标(0，1)，
∴OB=1，
∵，
∴，
∴点A的坐标(-2，0)，
把(-2，0)代入，得，
∴；
（2）由（1）知直线的关系式：，
设点的横坐标为，
则点的纵坐标为，点的坐标为 (，)，
，
∴，
当时，解得：，；
当，即时，
∵，
∴方程无实数根；
当时，；
当时，
∴P (2，0)或P (，)；
（3）∵抛物线的对称轴为，
∴设点点Q的坐标(，)，
∵点A的坐标(-2，0)，点B的坐标(0，1)，
∴，
①当时，
，即，
解得，即，
∴、；
②当时，
过Q作QE⊥AB于E，过E作EG⊥轴于G，
∴E为AB的中点，G为AO的中点，
∴AG=AO=1，
∵，则，
∴EG=，
∴点E的坐标为(-1，)，
∵，，
∴，
∴，则，
∴NG=，则NO=1-，
∴点N的坐标为(，)，
设直线QE的解析式为，
则，
解得：，
∴直线QE的解析式为，
把代入，得；
∴
③∵，
∴．
综上所述，符合条件的点为：、、．
8．解：（1）将，代入，求得，
∴；
（2）如图，D点关于PQ与A点对称，过点Q作于
∵，，
∴
∴四边形为菱形
∵
∴
∴
∴，
∴
∵
∴
∵D在二次函数上
∴
∴，或（舍去）
∴；
（3）存在满足条件的点E，点E的坐标为或或或
如上图，过点Q作于D，此时
∵，，，
∴，，
∴，
∵
∴
∴
∴，；
①如下图，作AQ的垂直平分线，交AQ于E
此时，即为等腰三角形
设，则，
∴在中，，解得
∴
∴；
②如下图，以Q为圆心，AQ长半径画圆，交x轴于E
此时
∵
∴
∴
∴；
③当时
1）当E在A点左边时
∵
∴
2）当E在A点右边时
∵
∴；
综上所述，存在满足条件的点E，点E的坐标为或或或．
9．解：（1）∵y=x2+mx+4m与x轴交于，0)和点B(，0)，
∴是方程x2+mx+4m=0的两个根，
，
，
∴(-2m)2-16m=20，
解得m1=5，m2=-1，
∵对称轴在y轴的右侧，
∴m=-1，
∴y=-x-4；
（2）y=-x-4中，当x=0时，y=-4，
当y=0时=-2，=4，
∴A(-2，0)，B(4，0)，C(0，-4)，
过点AC作直线交对称轴于点M，
设直线AC的解析式为y=kx+b，
将(-2，0)，(0，-4)代入，
则，
解得，
得y=-2x-4，当x=1时，y=-6，
∴M(1，-6)；
（3）直线BC的解析式为y=k1x+b1，
将(4，0)，(0，-4)代入，
则，
解得，
得y=x-4，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
设P的横坐标为x，作PH⊥y轴于H，
则PC=，
∴PQ=|(x-4)--x-4）|
（图一） （图二）
如图一图二，当CQ=CP时，(x-4)+-x-4）=-8，
x=0，不合题意，所以不存在；
（图三） （图四） （图五）
如图三，当PC=PQ时，=(x-4)- -x-4），
解得x=，
∴P()
如图四，当CQ=PQ时，x=(x-4)- -x-4），
解得x=2，
∴P(2，-2)；
如图五，当PC=PQ时 ，
-x-4）-(x-4)=，
解得：x=，
∴P()；
综上：P1() ，P2(2，-2)，P3().
10．解：（1）∵二次函数的图象与x轴交于点B（-2，0）、C（8，0），与y轴交于A（0，-4）
∴ ，
解得： ，
∴二次函数表达式是；
（2）∵AB2=BO2+AO2=20，AC2=AO2+OC2=80．
∵BC2=(BO+OC)2=100，
∴AB2+AC2=BC2．
∴△ABC是直角三角形；
设点N的坐标为（n，0）,
∵∠AOB=∠NMA=90°，
∴有两种情况：
①当时，
∵，
∴
∴
∴=8-n
Rt△OAN中，
即
解得：n=3
∴n（3，0）
②当时，
∵NM∥AB
∴
∴
即N与原点O重合，
∴此时N（0，0）
综合①②得，N点坐标是（3，0）或（0，0）．
（3）由（2）知，AC=，
①以A为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（ 8，0），
②以C为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（，0）或（8＋4，0）；
③如图，作AC的垂直平分线交AC于M，交x轴于N，
∴△AOC∽△NMC．
∴,即，
∴CN＝5．
∴此时N的坐标为（3，0），
综上，若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标分别为（-8，0）、（8-4，0）、（3，0）、（8+4，0）.
11．解：（1）设抛物线的解析式为，
经过点、，
根据题意得，
解得
所以抛物线的解析式为．
（2）的形状是等腰三角形．
理由：根据题意得，，．
∵，，，
∴，即的形状是等腰三角形．
（3）存在，理由：
设，
根据题意，得．
∵
∴，解得，
∴，．
12．解：（1）∵点A的坐标为，AB⊥x轴于点B，
∴B（6，0），
∴AB＝，
∵点A的坐标为，AC⊥y轴于点C，
∴C（0，），
∴AC＝6，
∵AB⊥x轴，AC⊥y轴，
∴∠ABO＝∠ACO＝90°＝∠BOC，
∴四边形OBAC是矩形，
∴∠BAC＝90°，
在Rt△ABC中，tan∠ACB＝，
∴∠ACB＝60°；
（2）由（1）知，C（0，），
∵点D是AC的中点，
∴D（3，），
设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
将点A（6，），D（3，），O（0，0）代入抛物线解析式中，得，
∴，
∴抛物线的解析式为，
令y＝0，则，
∴x＝0或x＝9，
∴G（9，0）；
（3）如图，
当点F从点E运动到点O时，点M的运动轨迹是线段MM'，
∴以DM为边的等边三角形的顶点P的轨迹是线段PP'，
当抛物线过原点时，DG与AB的交点记作点M，当抛物线过点E时，DG'与AB的交点为M'，
∵△DMP是等边三角形，
∴DM＝DP，∠MDP＝60°，
∵△DM'P'是等边三角形
∴DM'＝DP'，∠M'DP'＝60°，
∴∠MDM'＝∠PDP'，
∴△MDM'≌△PDP'（SAS），
∴PP'＝MM'，
由（2）知，G（9，0），
∵D（3，），
∴直线DG的解析式，
令x＝6，则y＝，
∴M，
当抛物线过点E时，即抛物线过点A，D，E，
设抛物线的解析式为，
∴，
∴，
∴过点A，D，E的抛物线的解析式为，
令y＝0，则，
∴x＝﹣3或x＝12，
∴G'（12，0），
∴DG'的解析式为，
令x＝6，则y＝，
∴M'（6，），
∴PP'＝MM'＝，
即点P运动的路径的长为．