必修5 第一章 解三角形 1.1余弦定理同步训练A卷（含详细解析）
文档属性
| 名称 | 必修5 第一章 解三角形 1.1余弦定理同步训练A卷（含详细解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 331.9KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2014-09-10 14:14:55 | ||
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文档简介
必修5 第一章 解三角形 余弦定理同步训练A卷（含详细解析）
一．选择题（共14小题）
1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则a等于（ ）
A． B． C． 2 D．
2．在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=7，则∠BAC=（ ）
A． B． C． D．
3．已知△ABC中，AB=1，AC=2，面积为，则BC=（ ）
A． B． C． 2 D．或
4．在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且a2﹣c2=2b，=3，则b等于（ ）21cnjy.com
A． 3 B．4 C．6 D． 7
5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2+c2﹣b2=ac，则角B的值为（ ）21·cn·jy·com
A． 或 B． C． 或 D．
6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积是（ ）2·1·c·n·j·y
A． B． C． D．3
7．设三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2bsinA，b2+c2﹣a2=bc，则三角形ABC的形状为（ ）www.21-cn-jy.com
A． 锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D． 等边三角形
8．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b﹣a=c﹣b=1且C=2A，则cosC=（ ）
A． B． C． D．
9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，则A=（ ）
A． 30° B． 60° C．120° D．150°
10．在△ABC中，A=，AB=3，AC=3，D在边BC上，且CD=2DB，则AD=（ ）
A． B． C． 5 D．
11．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且（a﹣c）cosB=bcosC，则内角B的大小为（ ）
A． B． C． D．
12．△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c且b2+c2﹣a2+bc=0，则等于（ ）
A． B． C． D．
13．直线l1与l2相交于点A，点B、C分别在直线l1与l2上，若与的夹角为60°，且，，则=（ ）www-2-1-cnjy-com
A． B． C． D．
14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若3bcosA=ccosA+acosC，则tanA的值是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共10小题）
15．在△ABC中，A=60°，AC=2，BC=，则AB等于 _________ ．
16．已知△ABC中，a=2，b=，c=1，则cosB= _________ ．
17．若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足（a+b）2﹣c2=4，且C=60°，ab的值为 _________ ．【来源：21·世纪·教育·网】
18．在△ABC中，已知AB=5，BC=3，∠B=2∠A，则边AC的长为 _________ ．
19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若3sinB=2sinC，a2﹣b2=bc，则A= _________ ．21教育网
20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=c=，sin=，则cosB= _________ ，b= _________ ．
21．在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c、，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC 则b= _________ ．
22．在锐角△ABC中，AC=4，BC=3，三角形的面积等于，则AB的长为 _________ ．
23．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则△ABC的面积等于 _________ ．
24．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设S为△ABC的面积，S=（a2+b2﹣c2），则C的大小为 _________ ．
三．解答题（共6小题）
25．在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD=5，AB=7，∠BDA=60°，∠CBD=15°，求BC长．
26．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b=2，c=3，sinA=．求△ABC的面积及a的值．
27．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，sin=，b2+c2﹣a2=6．
（1）求△ABC的面积；
（2）若sinA=sinBsinC，求△ABC的外接圆半径．
28．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a2+c2﹣b2=acsinB．
（1）求角B的大小；
（2）若b=，且A∈（，），求边长c的取值范围．
29．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知向量m=（a﹣b，c﹣a），n=（a+b，c）且m?n=0．21·世纪*教育网
（1）球角B的大小；
（2）求函数f（A）=sin（A+）的值域．
30．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B=60°，cos（B+C）=﹣．
（1）求cosC的值；
（2）若bcosC+acosB=5，求△ABC的面积．
参考答案及解析
一．选择题（共14小题）
1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则a等于（ ）
A． B． C． 2 D．
解：∵在△ABC中，AB=c=5，AC=b=3，BC=a=7，
∴由余弦定理得：cos∠BAC===﹣，
∵∠BAC为△ABC的内角，
∴∠BAC=．
故选：C．
3．已知△ABC中，AB=1，AC=2，面积为，则BC=（ ）
A． B． C． 2 D．或
答案：D
解：∵S△ABC=AB?AC?sinA=，AB=1，AC=2，
∴sinA=，
∴cosA=±=±，
当cosA=时，由余弦定理得：BC2=AB2+AC2﹣2AB?AC?cosA=1+4﹣2=3，得BC=；2-1-c-n-j-y
当cosA=﹣时，由余弦定理得：BC2=AB2+AC2﹣2AB?AC?cosA=1+4+2=7，得BC=．【出处：21教育名师】
整理得：4a2﹣4c2=2b2，即a2﹣c2=b2，
代入已知等式a2﹣c2=2b得：2b=b2，
解得：b=4或b=0（舍去），
则b=4．
故选：B．
5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2+c2﹣b2=ac，则角B的值为（ ）
A． 或 B． C． 或 D．
答案：B
解：∵a2+c2﹣b2=ac
∴由余弦定理，得cosB===
结合B∈（0，π），可得B=
7．设三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2bsinA，b2+c2﹣a2=bc，则三角形ABC的形状为（ ）
A． 锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D． 等边三角形
答案：C
解：∵b2+c2﹣a2=bc，
∴cosA===，
∵A为三角形内角，
∴A=60°，
∴a=2bsinA=b，
利用正弦定理化简得：sinA=sinB，即sinB=，
∴B=30°或B=150°（不合题意，舍去），
∴A=90°，即△ABC为直角三角形．
故选：C．
8．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b﹣a=c﹣b=1且C=2A，则cosC=（ ）21教育名师原创作品
A． B． C． D．
答案：D
解：由b﹣a=c﹣b=1，得到b=a+1，c=a+2，
∴cosC===，
cosA===，
∵C=2A，∴cosC=cos2A=2cos2A﹣1，
即=2（）2﹣1，
解得：a=4，
∴cosC==，
故选：D．
9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，则A=（ ）
A． 30° B． 60° C．120° D．150°
答案：A
解：由及正弦定理可得 c=2b，
再由 可得 a2=7b2 ．
再由余弦定理可得 cosA===，
故A=30°，
故选A．
10．在△ABC中，A=，AB=3，AC=3，D在边BC上，且CD=2DB，则AD=（ ）
A． B． C． 5 D．
故选：A．
11．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且（a﹣c）cosB=bcosC，则内角B的大小为（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解：已知等式利用正弦定理化简得：（sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，
整理得：sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，
∴cosB=1，即cosB=，
∵B为三角形内角，
∴B=．
故选：A．
12．△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c且b2+c2﹣a2+bc=0，则等于（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解：∵△ABC中，b2+c2=a2﹣bc
∴根据余弦定理，得cosA==﹣
∵A∈（0，π），∴A=
由正弦定理，得，
∴==
∵sin（﹣C）﹣sinC=cosC﹣sinC﹣sinC=（cosC﹣sinC）
∴原式==
故选：A
13．直线l1与l2相交于点A，点B、C分别在直线l1与l2上，若与的夹角为60°，且，，则=（ ）【版权所有：21教育】
A． B． C． D．
答案：B
解：由题意，△ABC中∠A=60°，AB=2，AC=4，由余弦定理可知BC2=AB2+AC2﹣2AB?AC?cosA=12
∴，
故选B．
14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若3bcosA=ccosA+acosC，则tanA的值是（ ）
A． B． C． D．
答案：C
解：∵△ABC中，由余弦定理得
ccosA+acosC=c×+a×=b
∴根据题意，3bcosA=ccosA+acosC=b
两边约去b，得3cosA=1，所以cosA=＞0
∴A为锐角，且sinA==
因此，tanA==
故选：C
二．填空题（共10小题）
15．在△ABC中，A=60°，AC=2，BC=，则AB等于 1 ．
解：∵在△ABC中，A=60°，AC=b=2，BC=a=，
∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即3=4+c2﹣2c，
解得：c=1，
则AB=c=1，
故答案为：1
16．已知△ABC中，a=2，b=，c=1，则cosB= ．
解：∵△ABC中，a=2，b=，c=1，
∴cosB===．
故答案为：
17．若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足（a+b）2﹣c2=4，且C=60°，ab的值为 ．21*cnjy*com
解：∵△ABC的边a、b、c满足（a+b）2﹣c2=4，
∴c2=（a+b）2﹣4=a2+b2+2ab﹣4，
又C=60°，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab，
∴2ab﹣4=﹣ab，
∴ab=．
故答案为：．
18．在△ABC中，已知AB=5，BC=3，∠B=2∠A，则边AC的长为 2 ．
解：在△ABC中，AB=c=5，BC=a=3，AC=b，∠B=2∠A，
由正弦定理=得：=，即=，
整理得：b=6cosA，即cosA=，
再由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即9=b2+25﹣10b?，
解得：b=2（负值舍去），
则AC=b=2．
故答案为：2
19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若3sinB=2sinC，a2﹣b2=bc，则A= ． 21*cnjy*com
解：利用正弦定理化简3sinB=2sinC得：3b=2c，即c=b，
代入第二个等式得：a2﹣b2=×b2，整理得：a2=b2，即a=b，
∴cosA===﹣，
∴A=．
故答案为：
20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=c=，sin=，则cosB= ，b= 2 ．
解：∵sin=，
∴cosB=1﹣2sin2=；
∵a=c=，
∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=6+6﹣4=8，
则b=2．
故答案为：；2
21．在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c、，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC 则b= 4 ．【来源：21cnj*y.co*m】
解：∵sinAcosC=3cosAsinC，
∴
∴2c2=2a2﹣b2
∵a2﹣c2=2b，
∴b2=4b
∵b≠0
∴b=4
故答案为：4
22．在锐角△ABC中，AC=4，BC=3，三角形的面积等于，则AB的长为 ．
解：∵在锐角△ABC中，AC=b=4，BC=a=3，三角形的面积等于3，
∴absinC=3，即sinC=，
∵C为锐角，∴cosC==，
由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=16+9﹣12=13，
解得：AB=c=．
故答案为：
23．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则△ABC的面积等于 2 ．
解：因为b2+c2=a2+bc，
所以cosA==，
∴sinA=．
因为，
所以，bccosA=4，
∴bc=8，
△ABC的面积：S===2．
故答案为：2．
24．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设S为△ABC的面积，S=（a2+b2﹣c2），则C的大小为 ．
解：∵△ABC的面积为S=absinC，
∴由S=（a2+b2﹣c2），得（a2+b2﹣c2）=absinC，即absinC=（a2+b2﹣c2）
∵根据余弦定理，得a2+b2﹣c2=2abcosC，
∴absinC=×2abcosC，得sinC=cosC，即tanC==
∵C∈（0，π），∴C=
故答案为：
三．解答题（共6小题）
25．在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD=5，AB=7，∠BDA=60°，∠CBD=15°，求BC长．
26．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b=2，c=3，sinA=．求△ABC的面积及a的值．
解：∵b=2，c=3，sinA=，
∴S△ABC=bcsinA==，
∵△ABC为锐角三角形，sinA=，
∴cosA==
∴根据余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA=4+9﹣2×2×3×=9
∴a=3．
27．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，sin=，b2+c2﹣a2=6．
（1）求△ABC的面积；
（2）若sinA=sinBsinC，求△ABC的外接圆半径．
解：（1）∵b2+c2﹣a2=6，
∴cosA==，即bccosA=3，
∵sin=，
∴cosA=1﹣2sin2=，sinA==，
∴bc=5，
则S△ABC=bcsinA=2；
（2）∵sinA=sinBsinC，sinA=，
∴sinBsinC=，
∵由正弦定理==2R，即sinB=，sinC=，bc=5，
∴=，即R2=，
则△ABC外接圆半径R=．
28．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a2+c2﹣b2=acsinB．
（1）求角B的大小；
（2）若b=，且A∈（，），求边长c的取值范围．
解：（1）在△ABC中，根据余弦定理a2+c2﹣b2=2accosB，且a2+c2﹣b2=acsinB，
∴2accosB=acsinB，
∴tanB=，
又∵0＜B＜π，
∴B=；
（2）∵A+B+C=π，
∴C=π﹣A﹣B=﹣A，
由正弦定理，得===2，
∴c=2sinC=2sin（﹣A），
∵＜A＜，
∴＜﹣A＜．
∴＜sin（﹣A）＜1，
∴c∈（1，2）．
29．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知向量m=（a﹣b，c﹣a），n=（a+b，c）且m?n=0．21世纪教育网版权所有
（1）球角B的大小；
（2）求函数f（A）=sin（A+）的值域．
解：（1）∵=（a﹣b，c﹣a），=（a+b，c），且?=0，
∴（a﹣b）（a+b）﹣c（a﹣c）=0，即a2+c2=b2+ac，
∴cosB==，
∵B∈（0，π），
∴B=；
（2）由（Ⅰ）得：A=π﹣﹣C∈（0，），
∴A+∈（，），
∴sin（A+）∈（，1]，
则f（A）=sin（A+）的值域为（，1]．
30．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B=60°，cos（B+C）=﹣．
（1）求cosC的值；
（2）若bcosC+acosB=5，求△ABC的面积．
解：（1）在△ABC中，cos（B+C）=﹣，
∴sin（B+C）==，
∵B=60°，
∴cosC=cos[（B+C）﹣B]=cos（B+C）cosB+sin（B+C）sinB=﹣×+×=；
（2）由（1）得：sinC==，sinA=sin（B+C）=，
由余弦定理化简bcosC+acosB=5，
得：b?+c?=5，
整理得：a2﹣5a=0，即a（a﹣5）=0，
解得：a=5，
在△ABC中，由正弦定理=，
得：c===8，
则S△ABC=acsinB=×5×8×=10．
一．选择题（共14小题）
1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则a等于（ ）
A． B． C． 2 D．
2．在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=7，则∠BAC=（ ）
A． B． C． D．
3．已知△ABC中，AB=1，AC=2，面积为，则BC=（ ）
A． B． C． 2 D．或
4．在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且a2﹣c2=2b，=3，则b等于（ ）21cnjy.com
A． 3 B．4 C．6 D． 7
5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2+c2﹣b2=ac，则角B的值为（ ）21·cn·jy·com
A． 或 B． C． 或 D．
6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积是（ ）2·1·c·n·j·y
A． B． C． D．3
7．设三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2bsinA，b2+c2﹣a2=bc，则三角形ABC的形状为（ ）www.21-cn-jy.com
A． 锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D． 等边三角形
8．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b﹣a=c﹣b=1且C=2A，则cosC=（ ）
A． B． C． D．
9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，则A=（ ）
A． 30° B． 60° C．120° D．150°
10．在△ABC中，A=，AB=3，AC=3，D在边BC上，且CD=2DB，则AD=（ ）
A． B． C． 5 D．
11．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且（a﹣c）cosB=bcosC，则内角B的大小为（ ）
A． B． C． D．
12．△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c且b2+c2﹣a2+bc=0，则等于（ ）
A． B． C． D．
13．直线l1与l2相交于点A，点B、C分别在直线l1与l2上，若与的夹角为60°，且，，则=（ ）www-2-1-cnjy-com
A． B． C． D．
14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若3bcosA=ccosA+acosC，则tanA的值是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共10小题）
15．在△ABC中，A=60°，AC=2，BC=，则AB等于 _________ ．
16．已知△ABC中，a=2，b=，c=1，则cosB= _________ ．
17．若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足（a+b）2﹣c2=4，且C=60°，ab的值为 _________ ．【来源：21·世纪·教育·网】
18．在△ABC中，已知AB=5，BC=3，∠B=2∠A，则边AC的长为 _________ ．
19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若3sinB=2sinC，a2﹣b2=bc，则A= _________ ．21教育网
20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=c=，sin=，则cosB= _________ ，b= _________ ．
21．在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c、，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC 则b= _________ ．
22．在锐角△ABC中，AC=4，BC=3，三角形的面积等于，则AB的长为 _________ ．
23．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则△ABC的面积等于 _________ ．
24．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设S为△ABC的面积，S=（a2+b2﹣c2），则C的大小为 _________ ．
三．解答题（共6小题）
25．在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD=5，AB=7，∠BDA=60°，∠CBD=15°，求BC长．
26．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b=2，c=3，sinA=．求△ABC的面积及a的值．
27．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，sin=，b2+c2﹣a2=6．
（1）求△ABC的面积；
（2）若sinA=sinBsinC，求△ABC的外接圆半径．
28．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a2+c2﹣b2=acsinB．
（1）求角B的大小；
（2）若b=，且A∈（，），求边长c的取值范围．
29．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知向量m=（a﹣b，c﹣a），n=（a+b，c）且m?n=0．21·世纪*教育网
（1）球角B的大小；
（2）求函数f（A）=sin（A+）的值域．
30．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B=60°，cos（B+C）=﹣．
（1）求cosC的值；
（2）若bcosC+acosB=5，求△ABC的面积．
参考答案及解析
一．选择题（共14小题）
1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则a等于（ ）
A． B． C． 2 D．
解：∵在△ABC中，AB=c=5，AC=b=3，BC=a=7，
∴由余弦定理得：cos∠BAC===﹣，
∵∠BAC为△ABC的内角，
∴∠BAC=．
故选：C．
3．已知△ABC中，AB=1，AC=2，面积为，则BC=（ ）
A． B． C． 2 D．或
答案：D
解：∵S△ABC=AB?AC?sinA=，AB=1，AC=2，
∴sinA=，
∴cosA=±=±，
当cosA=时，由余弦定理得：BC2=AB2+AC2﹣2AB?AC?cosA=1+4﹣2=3，得BC=；2-1-c-n-j-y
当cosA=﹣时，由余弦定理得：BC2=AB2+AC2﹣2AB?AC?cosA=1+4+2=7，得BC=．【出处：21教育名师】
整理得：4a2﹣4c2=2b2，即a2﹣c2=b2，
代入已知等式a2﹣c2=2b得：2b=b2，
解得：b=4或b=0（舍去），
则b=4．
故选：B．
5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2+c2﹣b2=ac，则角B的值为（ ）
A． 或 B． C． 或 D．
答案：B
解：∵a2+c2﹣b2=ac
∴由余弦定理，得cosB===
结合B∈（0，π），可得B=
7．设三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2bsinA，b2+c2﹣a2=bc，则三角形ABC的形状为（ ）
A． 锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D． 等边三角形
答案：C
解：∵b2+c2﹣a2=bc，
∴cosA===，
∵A为三角形内角，
∴A=60°，
∴a=2bsinA=b，
利用正弦定理化简得：sinA=sinB，即sinB=，
∴B=30°或B=150°（不合题意，舍去），
∴A=90°，即△ABC为直角三角形．
故选：C．
8．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b﹣a=c﹣b=1且C=2A，则cosC=（ ）21教育名师原创作品
A． B． C． D．
答案：D
解：由b﹣a=c﹣b=1，得到b=a+1，c=a+2，
∴cosC===，
cosA===，
∵C=2A，∴cosC=cos2A=2cos2A﹣1，
即=2（）2﹣1，
解得：a=4，
∴cosC==，
故选：D．
9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，则A=（ ）
A． 30° B． 60° C．120° D．150°
答案：A
解：由及正弦定理可得 c=2b，
再由 可得 a2=7b2 ．
再由余弦定理可得 cosA===，
故A=30°，
故选A．
10．在△ABC中，A=，AB=3，AC=3，D在边BC上，且CD=2DB，则AD=（ ）
A． B． C． 5 D．
故选：A．
11．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且（a﹣c）cosB=bcosC，则内角B的大小为（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解：已知等式利用正弦定理化简得：（sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，
整理得：sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，
∴cosB=1，即cosB=，
∵B为三角形内角，
∴B=．
故选：A．
12．△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c且b2+c2﹣a2+bc=0，则等于（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解：∵△ABC中，b2+c2=a2﹣bc
∴根据余弦定理，得cosA==﹣
∵A∈（0，π），∴A=
由正弦定理，得，
∴==
∵sin（﹣C）﹣sinC=cosC﹣sinC﹣sinC=（cosC﹣sinC）
∴原式==
故选：A
13．直线l1与l2相交于点A，点B、C分别在直线l1与l2上，若与的夹角为60°，且，，则=（ ）【版权所有：21教育】
A． B． C． D．
答案：B
解：由题意，△ABC中∠A=60°，AB=2，AC=4，由余弦定理可知BC2=AB2+AC2﹣2AB?AC?cosA=12
∴，
故选B．
14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若3bcosA=ccosA+acosC，则tanA的值是（ ）
A． B． C． D．
答案：C
解：∵△ABC中，由余弦定理得
ccosA+acosC=c×+a×=b
∴根据题意，3bcosA=ccosA+acosC=b
两边约去b，得3cosA=1，所以cosA=＞0
∴A为锐角，且sinA==
因此，tanA==
故选：C
二．填空题（共10小题）
15．在△ABC中，A=60°，AC=2，BC=，则AB等于 1 ．
解：∵在△ABC中，A=60°，AC=b=2，BC=a=，
∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即3=4+c2﹣2c，
解得：c=1，
则AB=c=1，
故答案为：1
16．已知△ABC中，a=2，b=，c=1，则cosB= ．
解：∵△ABC中，a=2，b=，c=1，
∴cosB===．
故答案为：
17．若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足（a+b）2﹣c2=4，且C=60°，ab的值为 ．21*cnjy*com
解：∵△ABC的边a、b、c满足（a+b）2﹣c2=4，
∴c2=（a+b）2﹣4=a2+b2+2ab﹣4，
又C=60°，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab，
∴2ab﹣4=﹣ab，
∴ab=．
故答案为：．
18．在△ABC中，已知AB=5，BC=3，∠B=2∠A，则边AC的长为 2 ．
解：在△ABC中，AB=c=5，BC=a=3，AC=b，∠B=2∠A，
由正弦定理=得：=，即=，
整理得：b=6cosA，即cosA=，
再由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即9=b2+25﹣10b?，
解得：b=2（负值舍去），
则AC=b=2．
故答案为：2
19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若3sinB=2sinC，a2﹣b2=bc，则A= ． 21*cnjy*com
解：利用正弦定理化简3sinB=2sinC得：3b=2c，即c=b，
代入第二个等式得：a2﹣b2=×b2，整理得：a2=b2，即a=b，
∴cosA===﹣，
∴A=．
故答案为：
20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=c=，sin=，则cosB= ，b= 2 ．
解：∵sin=，
∴cosB=1﹣2sin2=；
∵a=c=，
∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=6+6﹣4=8，
则b=2．
故答案为：；2
21．在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c、，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC 则b= 4 ．【来源：21cnj*y.co*m】
解：∵sinAcosC=3cosAsinC，
∴
∴2c2=2a2﹣b2
∵a2﹣c2=2b，
∴b2=4b
∵b≠0
∴b=4
故答案为：4
22．在锐角△ABC中，AC=4，BC=3，三角形的面积等于，则AB的长为 ．
解：∵在锐角△ABC中，AC=b=4，BC=a=3，三角形的面积等于3，
∴absinC=3，即sinC=，
∵C为锐角，∴cosC==，
由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=16+9﹣12=13，
解得：AB=c=．
故答案为：
23．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则△ABC的面积等于 2 ．
解：因为b2+c2=a2+bc，
所以cosA==，
∴sinA=．
因为，
所以，bccosA=4，
∴bc=8，
△ABC的面积：S===2．
故答案为：2．
24．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设S为△ABC的面积，S=（a2+b2﹣c2），则C的大小为 ．
解：∵△ABC的面积为S=absinC，
∴由S=（a2+b2﹣c2），得（a2+b2﹣c2）=absinC，即absinC=（a2+b2﹣c2）
∵根据余弦定理，得a2+b2﹣c2=2abcosC，
∴absinC=×2abcosC，得sinC=cosC，即tanC==
∵C∈（0，π），∴C=
故答案为：
三．解答题（共6小题）
25．在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD=5，AB=7，∠BDA=60°，∠CBD=15°，求BC长．
26．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b=2，c=3，sinA=．求△ABC的面积及a的值．
解：∵b=2，c=3，sinA=，
∴S△ABC=bcsinA==，
∵△ABC为锐角三角形，sinA=，
∴cosA==
∴根据余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA=4+9﹣2×2×3×=9
∴a=3．
27．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，sin=，b2+c2﹣a2=6．
（1）求△ABC的面积；
（2）若sinA=sinBsinC，求△ABC的外接圆半径．
解：（1）∵b2+c2﹣a2=6，
∴cosA==，即bccosA=3，
∵sin=，
∴cosA=1﹣2sin2=，sinA==，
∴bc=5，
则S△ABC=bcsinA=2；
（2）∵sinA=sinBsinC，sinA=，
∴sinBsinC=，
∵由正弦定理==2R，即sinB=，sinC=，bc=5，
∴=，即R2=，
则△ABC外接圆半径R=．
28．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a2+c2﹣b2=acsinB．
（1）求角B的大小；
（2）若b=，且A∈（，），求边长c的取值范围．
解：（1）在△ABC中，根据余弦定理a2+c2﹣b2=2accosB，且a2+c2﹣b2=acsinB，
∴2accosB=acsinB，
∴tanB=，
又∵0＜B＜π，
∴B=；
（2）∵A+B+C=π，
∴C=π﹣A﹣B=﹣A，
由正弦定理，得===2，
∴c=2sinC=2sin（﹣A），
∵＜A＜，
∴＜﹣A＜．
∴＜sin（﹣A）＜1，
∴c∈（1，2）．
29．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知向量m=（a﹣b，c﹣a），n=（a+b，c）且m?n=0．21世纪教育网版权所有
（1）球角B的大小；
（2）求函数f（A）=sin（A+）的值域．
解：（1）∵=（a﹣b，c﹣a），=（a+b，c），且?=0，
∴（a﹣b）（a+b）﹣c（a﹣c）=0，即a2+c2=b2+ac，
∴cosB==，
∵B∈（0，π），
∴B=；
（2）由（Ⅰ）得：A=π﹣﹣C∈（0，），
∴A+∈（，），
∴sin（A+）∈（，1]，
则f（A）=sin（A+）的值域为（，1]．
30．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B=60°，cos（B+C）=﹣．
（1）求cosC的值；
（2）若bcosC+acosB=5，求△ABC的面积．
解：（1）在△ABC中，cos（B+C）=﹣，
∴sin（B+C）==，
∵B=60°，
∴cosC=cos[（B+C）﹣B]=cos（B+C）cosB+sin（B+C）sinB=﹣×+×=；
（2）由（1）得：sinC==，sinA=sin（B+C）=，
由余弦定理化简bcosC+acosB=5，
得：b?+c?=5，
整理得：a2﹣5a=0，即a（a﹣5）=0，
解得：a=5，
在△ABC中，由正弦定理=，
得：c===8，
则S△ABC=acsinB=×5×8×=10．