必修5 第一章 解三角形 1.1余弦定理同步训练B卷(含详细解析)
文档属性
| 名称 | 必修5 第一章 解三角形 1.1余弦定理同步训练B卷(含详细解析) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 280.1KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2014-09-10 14:39:20 | ||
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文档简介
必修5 第一章 解三角形 余弦定理同步训练B卷(含详细解析)
一．选择题（共12小题）
1．正△ABC中，点D在边BC上，且BD=BC，则∠BAD的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
2．设△ABC的三个内角A、B、C所对的边长依次为a、b、c，若△ABC的面积为S，且S=a2﹣（b﹣c）2，则=（ ）
A． ﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
3．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=80，b=100，A=30°，则此三角形（ ）21·cn·jy·com
A． 一定是锐角三角形
B． 一定是直角三角形
C． 一定是钝角三角形
D． 可能是钝角三角形，也可能是锐角三角形
4．已知△ABC的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知△ABC的重心为G，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a+b+c=，则角A为（ ）21*cnjy*com
A． B． C． D．
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角B为（ ）
A． B． C． D．
7．已知△ABC的周长为+1，且sinA+sinB=sinC．若△ABC的面积为sinC，则角C的大小为（ ）
A． 30° B．60° C．90° D． 120°
8．在△ABC中，A=，AB=3，AC=3，D在边BC上，且CD=2DB，则AD=（ ）
A． B． C． 5 D．
9．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若A=，a=，则b2+c2的取值范围是（ ）www-2-1-cnjy-com
A． [3，6] B．[2，8] C．（2，6） D． （3，6]
10．△ABC各角的对应边分别为a，b，c，满足+≥1，则角A的范围是（ ）
A． （0， ] B．（0， ] C．[，π） D．[，π）
11．△ABC中，若，则的值为（ ）
A． 2 B．4 C． D． 2
12．已知△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且2S=（a+b）2﹣c2，则tanC等于（ ）【版权所有：21教育】
A． B． C． D．
二．填空题（共11小题）
13．在△ABC中，角A、B、C所对边的长分别为a、b、c．若b2+c2﹣a2=bc，则sin（B+C）的值为 _________ ．
14．三角形的三边之比为3：5：7，则此三角形的最大内角是 _________ ．
15．已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，若（c﹣b）sinC=asinA﹣bsinB，则∠A= _________ ．【来源：21·世纪·教育·网】
16．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，DE⊥AE，D、E为垂足，若AE=4，BE=1，则AC= _________ ．
17．若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是 _________ ．
18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2acosB=bcosC+ccosB，则∠B= _________ ．
19．在△ABC中，已知sinA：sinB：sinC=1：：，则最大角等于 _________ ．
20．在△ABC中，若∠A=120°，?=﹣1，则||的最小值是 _________ ．
21．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2＜a2+b2+2abcos2C，则∠C的取值范围是 _________ ．
22．△ABC的三边a、b、c和面积S满足：S=a2﹣（b﹣c）2，且△ABC的外接圆的周长为17π，则面积S的最大值等于 _________ ．
23．已知△ABC面积S和三边a，b，c满足：S=a2﹣（b﹣c）2，b+c=8，则△ABC面积S的最大值为 _________ ．
三．解答题（共6小题）
24．已知△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，且b（3b﹣c）cosA=acosC．
（1）求cosA的值；
（2）若△ABC的面积为2，并且边AB上的中线CM的长为，求b，c的长．
25．已知A、B、C为△ABC的三内角，且其对边分别为a、b、c，若，，且
（1）求角A的值；
（2）若a=，b+c=4，求△ABC的面积．
26．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a2+c2﹣b2=acsinB．
（1）求角B的大小；
（2）若b=，且A∈（，），求边长c的取值范围．
27．已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x+．
（1）求f（x）的最小正周期及对称轴方程；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=，bc=6，求a的最小值．
28．已知a，b，c分别为△ABC的三内角A，B，C的对边，且acosC+ccosA=2bcosB．
（1）求角B的大小；
（2）求sinA+sinC的取值范围．
29．凸四边形PABQ中，其中A、B为定点，AB=，P、Q为动点，满足AP=PQ=QB=1．
（1）写出cosA与cosQ的关系式；
（2）设△APB和△PQB的面积分别为S和T，求s2+T2的最大值，以及此时凸四边形PABQ的面积．
参考答案及解析
一．选择题（共12小题）
1．正△ABC中，点D在边BC上，且BD=BC，则∠BAD的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
答案：D
2．设△ABC的三个内角A、B、C所对的边长依次为a、b、c，若△ABC的面积为S，且S=a2﹣（b﹣c）2，则=（ ）21教育名师原创作品
A． ﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
答案：D
解：∵S=bcsinA，cosA=，即b2+c2﹣a2=2bccosA，
∴代入S=a2﹣（b﹣c）2=﹣（b2+c2﹣a2）+2bc，得：bcsinA=﹣2bccosA+2bc，
即sinA=﹣2cosA+2=2（1﹣cosA），
则=4．
故选：D．
3．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=80，b=100，A=30°，则此三角形（ ）
A． 一定是锐角三角形
B． 一定是直角三角形
C． 一定是钝角三角形
D． 可能是钝角三角形，也可能是锐角三角形
答案：C
4．已知△ABC的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解：设三边依次是x﹣1，x，x+1，其中x是自然数，且x≥2，
令三角形的最小角为A，则最大角为2A，
由正弦定理，有：==，
∴cosA=，
由余弦定理，有：cosA=，
∴=，即==，
整理得：（x+1）2=（x﹣1）（x+4），
解得：x=5，
三边长为4，5，6，
则cosA==．
故选：A．
5．已知△ABC的重心为G，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a+b+c=，则角A为（ ）www.21-cn-jy.com
A． B． C． D．
答案：A
解：∵△ABC的重心为G，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a+b+c=，
∴（a﹣c）+（b﹣c）=，
∴a﹣c=0，b﹣c=0，即a=c，b=c，
∴cosA===，
则A=．
故选：A．
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角B为（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解：∵△ABC中，，
∴根据正弦定理，
再根据余弦定理，得cosB==
∵B∈（0，π），∴B=
故选：A
7．已知△ABC的周长为+1，且sinA+sinB=sinC．若△ABC的面积为sinC，则角C的大小为（ ）【出处：21教育名师】
A． 30° B．60° C．90° D． 120°
答案：B
解：将sinA+sinB=sinC利用正弦定理化简得：a+b=c，
∵a+b+c=+1，
∴c+c=+1，即c=1，
∴a+b=，
∵S△ABC=absinC=sinC，
∴ab=，
∵cosC=====，
则C=60°．
故选：B．
8．在△ABC中，A=，AB=3，AC=3，D在边BC上，且CD=2DB，则AD=（ ）
∴cos∠ADB=﹣cos∠ADC，即=﹣，
解得：AD=（负值舍去），
故选：A．
9．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若A=，a=，则b2+c2的取值范围是（ ）21·世纪*教育网
A． [3，6] B．[2，8] C．（2，6） D． （3，6]
答案：D
解：∵A=，a=，由余弦定理可得3=b2+c2﹣2bc?cos，
∴3=b2+c2﹣bc，∵b2+c2≥2bc，∴bc≤
∴3=b2+c2﹣bc≥b2+c2﹣，
解得b2+c2≤6，当且仅当b=c时取等号，
又由3=b2+c2﹣bc可得b2+c2=3+bc＞3
故b2+c2的取值范围为：（3，6]
故选：D．
10．△ABC各角的对应边分别为a，b，c，满足+≥1，则角A的范围是（ ）
A． （0， ] B．（0， ] C．[，π） D．[，π）
答案：A
解：由+≥1得：b（a+b）+c（a+c）≥（a+c）（a+b），
化简得：b2+c2﹣a2≥bc，
同除以2bc得，≥，即cosA≥，
∵A为三角形内角，
∴0＜A≤，
故选：A．
11．△ABC中，若，则的值为（ ）
A． 2 B．4 C． D． 2
答案：B
解：△ABC中，∵，即 +=，
∴bc?cos（π﹣A）+ac?cosB=c2，
∴a?cosB﹣b?cosA=c，
∴a?﹣b?=，即 a2﹣b2=c2．
∴=====4，
故选B．
12．已知△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且2S=（a+b）2﹣c2，则tanC等于（ ）21cnjy.com
A． B． C． D．
答案：C
解：△ABC中，∵S△ABC=，由余弦定理：c2=a2+b2﹣2abcosC，
且 2S=（a+b）2﹣c2 ，∴absinC=（a+b）2﹣（a2+b2﹣2abcosC），
整理得sinC﹣2cosC=2，∴（sinC﹣2cosC）2=4．
∴=4，化简可得 3tan2C+4tanC=0．
∵C∈（0，180°），∴tanC=﹣，
故选C．
二．填空题（共11小题）
13．在△ABC中，角A、B、C所对边的长分别为a、b、c．若b2+c2﹣a2=bc，则sin（B+C）的值为 ． 21*cnjy*com
解：∵b2+c2﹣a2=bc，
∴cosA===，
14．三角形的三边之比为3：5：7，则此三角形的最大内角是 120° ．
解：根据题意设三角形三边分别为3x，5x，7x，且7x所对的角为α，
∴cosα==﹣，
∵α为三角形内角，
∴三角形最大内角α=120°．
故答案为：120°
15．已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，若（c﹣b）sinC=asinA﹣bsinB，则∠A= ．
解：已知等式利用正弦定理化简得：c（c﹣b）=a2﹣b2，即b2+c2﹣a2=bc，
∴cosA===，
∵∠A为三角形内角，
∴∠A=．
故答案为：
16．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，DE⊥AE，D、E为垂足，若AE=4，BE=1，则AC= 10 ．
解：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，DE⊥AE，
∴∠EAD+∠ADE=90°，∠ADE+∠BDE=90°，
∴∠EAD=∠BDE，
∵∠AED=∠DEB=90°，
∴△AED∽△DEB，
∵AE=4，BE=1，
∴ED2=AE?BE=4，即ED=2，
根据勾股定理得：AD==2，BD==，
同理△ABD∽△CAD，即AD2=BD?DC，
∴DC==4，
在△ADC中，利用余弦定理得：AC2=AD2+DC2﹣2AD?DC?cos∠ADC=20+80﹣0=100，21世纪教育网版权所有
则AC=10．
故答案为：10
17．若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是 ．
解：由正弦定理得a+b=2c，得c=（a+b），
由余弦定理得cosC===
=≥=，
当且仅当时，取等号，
故≤cosC＜1，故cosC的最小值是．
故答案为：．
18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2acosB=bcosC+ccosB，则∠B= 60° ．
解：已知等式利用正弦定理化简得：2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB，
整理得：2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，∴cosB=，
则∠B=60°．
故答案为：60°．
19．在△ABC中，已知sinA：sinB：sinC=1：：，则最大角等于 ．
解：已知sinA：sinB：sinC=1：：，利用正弦定理化简得：a：b：c=1：：，
设a=k，b=k，c=k，且最大角为C，
∴cosC===﹣，
∴C=．
故答案为：．
20．在△ABC中，若∠A=120°，?=﹣1，则||的最小值是 ．
解：在△ACB中，若∠A=120°，?=﹣1，则有|AB|?|AC|=2．
再由余弦定理可得 =+﹣2|AB|?|AC|cos120°=++|AB|?|AC|≥3|AB|?|AC|=6，
当且仅当|AB|=|AC|时，取等号，∴||的最小值是 ，
故答案为 ．
21．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2＜a2+b2+2abcos2C，则∠C的取值范围是 （0，） ．
解：根据余弦定理得：c2=a2+b2﹣2ab?cosC，
已知不等式化为：a2+b2﹣2ab?cosC＜a2+b2+2abcos2C，
整理得：cos2C+cosC＞0，即2cos2C+cosC﹣1＞0，
因式分解得：（2cosC﹣1）（cosC+1）＞0，
解得：cosC＞或cosC＜﹣1（舍去），
∴cosC，由C为三角形的内角，
则∠C的取值范围是（0，）．
故答案为：（0，）
22．△ABC的三边a、b、c和面积S满足：S=a2﹣（b﹣c）2，且△ABC的外接圆的周长为17π，则面积S的最大值等于 64 ．
解：∵S=a2﹣（b﹣c）2，S=bcsinA，
且根据余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即b2+c2﹣a2=2bccosA，
∴，
∴sinA=2﹣2cosA，
即====tan，
∴sinA==，
又△ABC的外接圆的周长为17π，即外接圆直径为17，
根据正弦定理=2R，可得a=2RsinA=17×=8，
∵bc≤，当且仅当b=c时取等号，即bc达到最大值，
则此时面积S的最大值为a2﹣（b﹣c）2=a2=64．
故答案为：64
23．已知△ABC面积S和三边a，b，c满足：S=a2﹣（b﹣c）2，b+c=8，则△ABC面积S的最大值为 ．
解：∵a2=b2+c2﹣2bccosA，即a2﹣b2﹣c2=﹣2bccosA，S△ABC=bcsinA，
∴分别代入已知等式得：bcsinA=2bc﹣2bcsinA，即sinA=4﹣4cosA，
代入sin2A+cos2A=1得：cosA=，
∴sinA=，
∵b+c=8，
∴c=8﹣b，
∴S△ABC=bcsinA=bc=b（8﹣b）≤?（）2=，当且仅当b=8﹣b，即b=4时取等号，
则△ABC面积S的最大值为．
故答案为：
三．解答题（共6小题）
24．已知△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，且b（3b﹣c）cosA=acosC．
（1）求cosA的值；
（2）若△ABC的面积为2，并且边AB上的中线CM的长为，求b，c的长．
解：（1）已知等式b（3b﹣c）cosA=abcosC，由正弦定理化简得：sinB（3sinB﹣sinC）cosA=sinAsinBcosC，
∵sinB≠0，
∴3sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA=sinB，
∴cosA=；
（2）∵cosA=，
∴sinA==，
由题意得：S△ABC=bcsinA=2，即bc=6①，
由余弦定理得：cosA==，即4b2+c2=25②，
联立①②，解得：b=2，c=3或b=，c=4．
25．已知A、B、C为△ABC的三内角，且其对边分别为a、b、c，若，，且
（1）求角A的值；
（2）若a=，b+c=4，求△ABC的面积．
解：（1）由，得=，
即cosA=
∵A为△ABC的内角，
∴A=
（2）由余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA?a2=（b+c）2﹣3bc
即12=42﹣3bc?bc=，
∴S△ABC=bcsinA=．
26．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a2+c2﹣b2=acsinB．
（1）求角B的大小；
（2）若b=，且A∈（，），求边长c的取值范围．
解：（1）在△ABC中，根据余弦定理a2+c2﹣b2=2accosB，且a2+c2﹣b2=acsinB，21教育网
∴2accosB=acsinB，
∴tanB=，
又∵0＜B＜π，
∴B=；
（2）∵A+B+C=π，
∴C=π﹣A﹣B=﹣A，
由正弦定理，得===2，
∴c=2sinC=2sin（﹣A），
∵＜A＜，
∴＜﹣A＜．
∴＜sin（﹣A）＜1，
∴c∈（1，2）．
27．已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x+．
（1）求f（x）的最小正周期及对称轴方程；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=，bc=6，求a的最小值．
解：（1）f（x）=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），
∵ω=2，
∴f（x）的最小正周期T==π，
令2x﹣=kπ+，得到x=+（k∈Z），
则图象的对称轴方程为x=+（k∈Z）；
（2）由f（）=sin（A﹣）=，得到A﹣=或A﹣=，
解得：A=或A=π（舍去），
∵bc=6，
∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc≥bc=6，
当且仅当b=c时等号成立，
则a的最大值为．
28．已知a，b，c分别为△ABC的三内角A，B，C的对边，且acosC+ccosA=2bcosB．
（1）求角B的大小；
（2）求sinA+sinC的取值范围．
解：（1）由acosC+ccosA=2bcosB以及正弦定理可知，
sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosB，
即sin（A+C）=2sinBcosB．
因为A+B+C=π，所以sin（A+C）=sinB≠0，
所以cosB=．
∵B∈（0，π）
∴B=．
（2）sinA+sinC=sinA+sin（）
=
=
∵A∈，
∴
∴
所以sinA+sinC的取值范围
29．凸四边形PABQ中，其中A、B为定点，AB=，P、Q为动点，满足AP=PQ=QB=1．
（1）写出cosA与cosQ的关系式；
（2）设△APB和△PQB的面积分别为S和T，求s2+T2的最大值，以及此时凸四边形PABQ的面积．2·1·c·n·j·y
解：（1）在△PAB中，由余弦定理得：PB2=PA2+AB2﹣2PA?AB?cosA=1+3﹣2cosA=4﹣2cosA，2-1-c-n-j-y
在△PQB中，由余弦定理得：PB2=PQ2+QB2﹣2PQ?QB?cosQ=2﹣2cosQ，
∴4﹣2cosA=2﹣2cosQ，即cosQ=cosA﹣1；
（2）根据题意得：S=PA?AB?sinA=sinA，T=PQ?QB?sinQ=sinQ，
∴S2+T2=sin2A+sin2Q=（1﹣cos2A）+（1﹣cos2Q）=﹣+cosA+=﹣（cosA﹣）2+，【来源：21cnj*y.co*m】
当cosA=时，S2+T2有最大值，此时S四边形PABQ=S+T=．
一．选择题（共12小题）
1．正△ABC中，点D在边BC上，且BD=BC，则∠BAD的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
2．设△ABC的三个内角A、B、C所对的边长依次为a、b、c，若△ABC的面积为S，且S=a2﹣（b﹣c）2，则=（ ）
A． ﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
3．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=80，b=100，A=30°，则此三角形（ ）21·cn·jy·com
A． 一定是锐角三角形
B． 一定是直角三角形
C． 一定是钝角三角形
D． 可能是钝角三角形，也可能是锐角三角形
4．已知△ABC的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知△ABC的重心为G，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a+b+c=，则角A为（ ）21*cnjy*com
A． B． C． D．
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角B为（ ）
A． B． C． D．
7．已知△ABC的周长为+1，且sinA+sinB=sinC．若△ABC的面积为sinC，则角C的大小为（ ）
A． 30° B．60° C．90° D． 120°
8．在△ABC中，A=，AB=3，AC=3，D在边BC上，且CD=2DB，则AD=（ ）
A． B． C． 5 D．
9．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若A=，a=，则b2+c2的取值范围是（ ）www-2-1-cnjy-com
A． [3，6] B．[2，8] C．（2，6） D． （3，6]
10．△ABC各角的对应边分别为a，b，c，满足+≥1，则角A的范围是（ ）
A． （0， ] B．（0， ] C．[，π） D．[，π）
11．△ABC中，若，则的值为（ ）
A． 2 B．4 C． D． 2
12．已知△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且2S=（a+b）2﹣c2，则tanC等于（ ）【版权所有：21教育】
A． B． C． D．
二．填空题（共11小题）
13．在△ABC中，角A、B、C所对边的长分别为a、b、c．若b2+c2﹣a2=bc，则sin（B+C）的值为 _________ ．
14．三角形的三边之比为3：5：7，则此三角形的最大内角是 _________ ．
15．已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，若（c﹣b）sinC=asinA﹣bsinB，则∠A= _________ ．【来源：21·世纪·教育·网】
16．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，DE⊥AE，D、E为垂足，若AE=4，BE=1，则AC= _________ ．
17．若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是 _________ ．
18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2acosB=bcosC+ccosB，则∠B= _________ ．
19．在△ABC中，已知sinA：sinB：sinC=1：：，则最大角等于 _________ ．
20．在△ABC中，若∠A=120°，?=﹣1，则||的最小值是 _________ ．
21．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2＜a2+b2+2abcos2C，则∠C的取值范围是 _________ ．
22．△ABC的三边a、b、c和面积S满足：S=a2﹣（b﹣c）2，且△ABC的外接圆的周长为17π，则面积S的最大值等于 _________ ．
23．已知△ABC面积S和三边a，b，c满足：S=a2﹣（b﹣c）2，b+c=8，则△ABC面积S的最大值为 _________ ．
三．解答题（共6小题）
24．已知△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，且b（3b﹣c）cosA=acosC．
（1）求cosA的值；
（2）若△ABC的面积为2，并且边AB上的中线CM的长为，求b，c的长．
25．已知A、B、C为△ABC的三内角，且其对边分别为a、b、c，若，，且
（1）求角A的值；
（2）若a=，b+c=4，求△ABC的面积．
26．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a2+c2﹣b2=acsinB．
（1）求角B的大小；
（2）若b=，且A∈（，），求边长c的取值范围．
27．已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x+．
（1）求f（x）的最小正周期及对称轴方程；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=，bc=6，求a的最小值．
28．已知a，b，c分别为△ABC的三内角A，B，C的对边，且acosC+ccosA=2bcosB．
（1）求角B的大小；
（2）求sinA+sinC的取值范围．
29．凸四边形PABQ中，其中A、B为定点，AB=，P、Q为动点，满足AP=PQ=QB=1．
（1）写出cosA与cosQ的关系式；
（2）设△APB和△PQB的面积分别为S和T，求s2+T2的最大值，以及此时凸四边形PABQ的面积．
参考答案及解析
一．选择题（共12小题）
1．正△ABC中，点D在边BC上，且BD=BC，则∠BAD的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
答案：D
2．设△ABC的三个内角A、B、C所对的边长依次为a、b、c，若△ABC的面积为S，且S=a2﹣（b﹣c）2，则=（ ）21教育名师原创作品
A． ﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
答案：D
解：∵S=bcsinA，cosA=，即b2+c2﹣a2=2bccosA，
∴代入S=a2﹣（b﹣c）2=﹣（b2+c2﹣a2）+2bc，得：bcsinA=﹣2bccosA+2bc，
即sinA=﹣2cosA+2=2（1﹣cosA），
则=4．
故选：D．
3．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=80，b=100，A=30°，则此三角形（ ）
A． 一定是锐角三角形
B． 一定是直角三角形
C． 一定是钝角三角形
D． 可能是钝角三角形，也可能是锐角三角形
答案：C
4．已知△ABC的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解：设三边依次是x﹣1，x，x+1，其中x是自然数，且x≥2，
令三角形的最小角为A，则最大角为2A，
由正弦定理，有：==，
∴cosA=，
由余弦定理，有：cosA=，
∴=，即==，
整理得：（x+1）2=（x﹣1）（x+4），
解得：x=5，
三边长为4，5，6，
则cosA==．
故选：A．
5．已知△ABC的重心为G，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a+b+c=，则角A为（ ）www.21-cn-jy.com
A． B． C． D．
答案：A
解：∵△ABC的重心为G，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a+b+c=，
∴（a﹣c）+（b﹣c）=，
∴a﹣c=0，b﹣c=0，即a=c，b=c，
∴cosA===，
则A=．
故选：A．
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角B为（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解：∵△ABC中，，
∴根据正弦定理，
再根据余弦定理，得cosB==
∵B∈（0，π），∴B=
故选：A
7．已知△ABC的周长为+1，且sinA+sinB=sinC．若△ABC的面积为sinC，则角C的大小为（ ）【出处：21教育名师】
A． 30° B．60° C．90° D． 120°
答案：B
解：将sinA+sinB=sinC利用正弦定理化简得：a+b=c，
∵a+b+c=+1，
∴c+c=+1，即c=1，
∴a+b=，
∵S△ABC=absinC=sinC，
∴ab=，
∵cosC=====，
则C=60°．
故选：B．
8．在△ABC中，A=，AB=3，AC=3，D在边BC上，且CD=2DB，则AD=（ ）
∴cos∠ADB=﹣cos∠ADC，即=﹣，
解得：AD=（负值舍去），
故选：A．
9．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若A=，a=，则b2+c2的取值范围是（ ）21·世纪*教育网
A． [3，6] B．[2，8] C．（2，6） D． （3，6]
答案：D
解：∵A=，a=，由余弦定理可得3=b2+c2﹣2bc?cos，
∴3=b2+c2﹣bc，∵b2+c2≥2bc，∴bc≤
∴3=b2+c2﹣bc≥b2+c2﹣，
解得b2+c2≤6，当且仅当b=c时取等号，
又由3=b2+c2﹣bc可得b2+c2=3+bc＞3
故b2+c2的取值范围为：（3，6]
故选：D．
10．△ABC各角的对应边分别为a，b，c，满足+≥1，则角A的范围是（ ）
A． （0， ] B．（0， ] C．[，π） D．[，π）
答案：A
解：由+≥1得：b（a+b）+c（a+c）≥（a+c）（a+b），
化简得：b2+c2﹣a2≥bc，
同除以2bc得，≥，即cosA≥，
∵A为三角形内角，
∴0＜A≤，
故选：A．
11．△ABC中，若，则的值为（ ）
A． 2 B．4 C． D． 2
答案：B
解：△ABC中，∵，即 +=，
∴bc?cos（π﹣A）+ac?cosB=c2，
∴a?cosB﹣b?cosA=c，
∴a?﹣b?=，即 a2﹣b2=c2．
∴=====4，
故选B．
12．已知△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且2S=（a+b）2﹣c2，则tanC等于（ ）21cnjy.com
A． B． C． D．
答案：C
解：△ABC中，∵S△ABC=，由余弦定理：c2=a2+b2﹣2abcosC，
且 2S=（a+b）2﹣c2 ，∴absinC=（a+b）2﹣（a2+b2﹣2abcosC），
整理得sinC﹣2cosC=2，∴（sinC﹣2cosC）2=4．
∴=4，化简可得 3tan2C+4tanC=0．
∵C∈（0，180°），∴tanC=﹣，
故选C．
二．填空题（共11小题）
13．在△ABC中，角A、B、C所对边的长分别为a、b、c．若b2+c2﹣a2=bc，则sin（B+C）的值为 ． 21*cnjy*com
解：∵b2+c2﹣a2=bc，
∴cosA===，
14．三角形的三边之比为3：5：7，则此三角形的最大内角是 120° ．
解：根据题意设三角形三边分别为3x，5x，7x，且7x所对的角为α，
∴cosα==﹣，
∵α为三角形内角，
∴三角形最大内角α=120°．
故答案为：120°
15．已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，若（c﹣b）sinC=asinA﹣bsinB，则∠A= ．
解：已知等式利用正弦定理化简得：c（c﹣b）=a2﹣b2，即b2+c2﹣a2=bc，
∴cosA===，
∵∠A为三角形内角，
∴∠A=．
故答案为：
16．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，DE⊥AE，D、E为垂足，若AE=4，BE=1，则AC= 10 ．
解：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，DE⊥AE，
∴∠EAD+∠ADE=90°，∠ADE+∠BDE=90°，
∴∠EAD=∠BDE，
∵∠AED=∠DEB=90°，
∴△AED∽△DEB，
∵AE=4，BE=1，
∴ED2=AE?BE=4，即ED=2，
根据勾股定理得：AD==2，BD==，
同理△ABD∽△CAD，即AD2=BD?DC，
∴DC==4，
在△ADC中，利用余弦定理得：AC2=AD2+DC2﹣2AD?DC?cos∠ADC=20+80﹣0=100，21世纪教育网版权所有
则AC=10．
故答案为：10
17．若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是 ．
解：由正弦定理得a+b=2c，得c=（a+b），
由余弦定理得cosC===
=≥=，
当且仅当时，取等号，
故≤cosC＜1，故cosC的最小值是．
故答案为：．
18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2acosB=bcosC+ccosB，则∠B= 60° ．
解：已知等式利用正弦定理化简得：2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB，
整理得：2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，∴cosB=，
则∠B=60°．
故答案为：60°．
19．在△ABC中，已知sinA：sinB：sinC=1：：，则最大角等于 ．
解：已知sinA：sinB：sinC=1：：，利用正弦定理化简得：a：b：c=1：：，
设a=k，b=k，c=k，且最大角为C，
∴cosC===﹣，
∴C=．
故答案为：．
20．在△ABC中，若∠A=120°，?=﹣1，则||的最小值是 ．
解：在△ACB中，若∠A=120°，?=﹣1，则有|AB|?|AC|=2．
再由余弦定理可得 =+﹣2|AB|?|AC|cos120°=++|AB|?|AC|≥3|AB|?|AC|=6，
当且仅当|AB|=|AC|时，取等号，∴||的最小值是 ，
故答案为 ．
21．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2＜a2+b2+2abcos2C，则∠C的取值范围是 （0，） ．
解：根据余弦定理得：c2=a2+b2﹣2ab?cosC，
已知不等式化为：a2+b2﹣2ab?cosC＜a2+b2+2abcos2C，
整理得：cos2C+cosC＞0，即2cos2C+cosC﹣1＞0，
因式分解得：（2cosC﹣1）（cosC+1）＞0，
解得：cosC＞或cosC＜﹣1（舍去），
∴cosC，由C为三角形的内角，
则∠C的取值范围是（0，）．
故答案为：（0，）
22．△ABC的三边a、b、c和面积S满足：S=a2﹣（b﹣c）2，且△ABC的外接圆的周长为17π，则面积S的最大值等于 64 ．
解：∵S=a2﹣（b﹣c）2，S=bcsinA，
且根据余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即b2+c2﹣a2=2bccosA，
∴，
∴sinA=2﹣2cosA，
即====tan，
∴sinA==，
又△ABC的外接圆的周长为17π，即外接圆直径为17，
根据正弦定理=2R，可得a=2RsinA=17×=8，
∵bc≤，当且仅当b=c时取等号，即bc达到最大值，
则此时面积S的最大值为a2﹣（b﹣c）2=a2=64．
故答案为：64
23．已知△ABC面积S和三边a，b，c满足：S=a2﹣（b﹣c）2，b+c=8，则△ABC面积S的最大值为 ．
解：∵a2=b2+c2﹣2bccosA，即a2﹣b2﹣c2=﹣2bccosA，S△ABC=bcsinA，
∴分别代入已知等式得：bcsinA=2bc﹣2bcsinA，即sinA=4﹣4cosA，
代入sin2A+cos2A=1得：cosA=，
∴sinA=，
∵b+c=8，
∴c=8﹣b，
∴S△ABC=bcsinA=bc=b（8﹣b）≤?（）2=，当且仅当b=8﹣b，即b=4时取等号，
则△ABC面积S的最大值为．
故答案为：
三．解答题（共6小题）
24．已知△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，且b（3b﹣c）cosA=acosC．
（1）求cosA的值；
（2）若△ABC的面积为2，并且边AB上的中线CM的长为，求b，c的长．
解：（1）已知等式b（3b﹣c）cosA=abcosC，由正弦定理化简得：sinB（3sinB﹣sinC）cosA=sinAsinBcosC，
∵sinB≠0，
∴3sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA=sinB，
∴cosA=；
（2）∵cosA=，
∴sinA==，
由题意得：S△ABC=bcsinA=2，即bc=6①，
由余弦定理得：cosA==，即4b2+c2=25②，
联立①②，解得：b=2，c=3或b=，c=4．
25．已知A、B、C为△ABC的三内角，且其对边分别为a、b、c，若，，且
（1）求角A的值；
（2）若a=，b+c=4，求△ABC的面积．
解：（1）由，得=，
即cosA=
∵A为△ABC的内角，
∴A=
（2）由余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA?a2=（b+c）2﹣3bc
即12=42﹣3bc?bc=，
∴S△ABC=bcsinA=．
26．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a2+c2﹣b2=acsinB．
（1）求角B的大小；
（2）若b=，且A∈（，），求边长c的取值范围．
解：（1）在△ABC中，根据余弦定理a2+c2﹣b2=2accosB，且a2+c2﹣b2=acsinB，21教育网
∴2accosB=acsinB，
∴tanB=，
又∵0＜B＜π，
∴B=；
（2）∵A+B+C=π，
∴C=π﹣A﹣B=﹣A，
由正弦定理，得===2，
∴c=2sinC=2sin（﹣A），
∵＜A＜，
∴＜﹣A＜．
∴＜sin（﹣A）＜1，
∴c∈（1，2）．
27．已知函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x+．
（1）求f（x）的最小正周期及对称轴方程；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=，bc=6，求a的最小值．
解：（1）f（x）=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），
∵ω=2，
∴f（x）的最小正周期T==π，
令2x﹣=kπ+，得到x=+（k∈Z），
则图象的对称轴方程为x=+（k∈Z）；
（2）由f（）=sin（A﹣）=，得到A﹣=或A﹣=，
解得：A=或A=π（舍去），
∵bc=6，
∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc≥bc=6，
当且仅当b=c时等号成立，
则a的最大值为．
28．已知a，b，c分别为△ABC的三内角A，B，C的对边，且acosC+ccosA=2bcosB．
（1）求角B的大小；
（2）求sinA+sinC的取值范围．
解：（1）由acosC+ccosA=2bcosB以及正弦定理可知，
sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosB，
即sin（A+C）=2sinBcosB．
因为A+B+C=π，所以sin（A+C）=sinB≠0，
所以cosB=．
∵B∈（0，π）
∴B=．
（2）sinA+sinC=sinA+sin（）
=
=
∵A∈，
∴
∴
所以sinA+sinC的取值范围
29．凸四边形PABQ中，其中A、B为定点，AB=，P、Q为动点，满足AP=PQ=QB=1．
（1）写出cosA与cosQ的关系式；
（2）设△APB和△PQB的面积分别为S和T，求s2+T2的最大值，以及此时凸四边形PABQ的面积．2·1·c·n·j·y
解：（1）在△PAB中，由余弦定理得：PB2=PA2+AB2﹣2PA?AB?cosA=1+3﹣2cosA=4﹣2cosA，2-1-c-n-j-y
在△PQB中，由余弦定理得：PB2=PQ2+QB2﹣2PQ?QB?cosQ=2﹣2cosQ，
∴4﹣2cosA=2﹣2cosQ，即cosQ=cosA﹣1；
（2）根据题意得：S=PA?AB?sinA=sinA，T=PQ?QB?sinQ=sinQ，
∴S2+T2=sin2A+sin2Q=（1﹣cos2A）+（1﹣cos2Q）=﹣+cosA+=﹣（cosA﹣）2+，【来源：21cnj*y.co*m】
当cosA=时，S2+T2有最大值，此时S四边形PABQ=S+T=．