北京市2023年普通高中学业水平合格性考试仿真模拟（1）数学试卷（含解析）

北京市2023年普通高中学业水平合格性考试仿真模拟（1）数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、已知全集，集合，则( )
A. B. C. D.
2、若复数（i为虚数单位），则z的虚部为( )
A.﹣1 B.﹣i C.﹣2 D.1
3、的值为( )
A. B. C. D.
4、下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的为( )
A. B. C. D.
5、已知，且，则 ( )
A. B. C. D.
6、已知，，则( )
A. B. C. D.
7、在中，“”是“”的( )
A.充分不必要条件 ·B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8、( )
A. B. C. D.
9、棱长为1的正方体的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
10、已知不同平面，，，不同直线m和n，则下列命题中正确的是( )
A.若，，则 B.若，，则
C.若，，则 D.若，，则.
11、学校组织知识竞赛，某班8名学生的成绩（单位：分）分别是65，60，75，78，86，84，90，94，则这8名学生成绩的分位数是( )
A.87分 B.88分 C.85分 D.90分
12、函数的最小正周期为( )
A. B. C. D.
13、函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是( )
A.，，， B.，，，
C.，，， D.，，，
14、已知正数m，n满足，则的最小值为( )
A.3 B.5 C.8 D.9.
15、不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
16、已知为单位向量，，向量，的夹角为，则在上的投影向量是( )
A. B. C. D.
17、在某校随机抽取了100名学生，调查他们课后完成作业的时间，根据调查结果绘制如图频率分布直方图.根据此频率分布直方图，下列结论中正确的是( )
A.估计该校有的学生在2小时内完成课后作业
B.抽取的学生中有10人不能在4小时内完成课后作业
C.抽取学生课后完成作业时间的100个数据的中位数在区间内
D.抽取学生课后完成作业时间的100个数据的众数一定在区间内
18、若圆柱的底面半径是1，其侧面展开是一个正方形，则这个圆柱的侧面积是( )
A. B. C. D.
19、已知函数在其定义域上单调递减，则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
20、某中学为了落实五育并举，全面发展学生的素质，积极响应党的号召，开展各项有益于德、智、体、美、劳全面发展的活动.如图所示的是该校高三（1）、高三（2）班两个班级在某次活动中的德、智、体、美、劳的评价得分对照图（得分越高，说明该项教育越好）.下列说法正确的是( )
A.高三（2）班五项评价得分的极差为1.5
B.除体育外，高三（1）班的各项评价得分均高于高三（2）班对应的得分
C.各项评价得分中，这两个班的体育得分相差最大
D.高三（1）班五项评价得分的平均数比高三（2）班五项评价得分的平均数要高
二、填空题
21、已知向量，，且，则___________
22、命题：“，”的否定是___________.
23、《九章算术》是我国古代数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思说：现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？书中给出计算方法：以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4.在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是___________。
24、写出一个同时具有下列性质①②③的函数__________。
①；
②；
③任取，，，.
三、解答题
25、已知幂函数的图象经过点.
（1）试求m的值并写出该幂函数的解析式；
（2）试求满足的实数a的取值范围.
26、已知，，.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在区间上的值域.
27、如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，，，E为的中点，过A、B、E的平面与交于点F.
（1）求证：点F为的中点；
（2）四边形ABFE是什么平面图形？说明理由，并求其面积.
28、阅读下面题目及其解答过程.
已知函数，
（1）求与的值；
（2）求的最大值.
解：（1）因为，所以①.
因为，所以②.
（2）因为时，有，
而且，所以在上的最大值为③.
又因为时，有，
而且④，所以在上的最大值为1.
综上，的最大值为⑤.
以上题目的解答过程中，设置了①~⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A”或“B”）.
空格序号 选项
① A.；B.
② A.；B.
③ A.3；B.0
④ A.；B.
⑤ A.1；B.3
参考答案
1、答案：C
解析：，则，故选：C.
2、答案：A
解析：，z的虚部为-1，故选：A.
3、答案：D
解析：，故选D
4、答案：D
解析：选项A，既是奇函数又是偶函数，不符合题意；
选项B，是奇函数，不符合题意；
选项C，是偶函数，不符合题意；
选项D，是非奇非偶函数，符合题意.
故选：D
5、答案：D
解析：因为，，
所以，
所以，
所以.
故选：D
6、答案：B.
解析：，，
，
故选：B.
7、答案：A
解析：在中，若，则，即“” “”，
反之，在中，若，则或，故由“”不能推出“”，所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A
8、答案：B
解析：。故选：B.
9、答案：B
解析：易知，正方体的体对角线是其外接球的直径，设外接球的半径为R，
则，故，
所以。故选：B.
10、答案：A
解析：对于A，若，，则，故A正确；
对于B，若，，则，可能垂直、平行，故B不正确；
对于C，若，，则或，故C不正确；
对于D，若，，则m，n可能平行、异面、相交，故D不正确；
故选：A
11、答案：B.
解析：8名学生的成绩从小到大排列为：60，65，75，78，84，86，90，94，
因为，所以分位数为第6个数和第7个数的平均数，
即（分）.故选：B.
12、答案：C.
解析：，
所以该函数的最小正周期为，故选：C.
13、答案：C.
解析：直线与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，
由。故选：C.
14、答案：D
解析：由正数m，n满足，即，
所以，
所以，
当且仅当，即时，取得等号。故选：D
15、答案：B.
解析：由可得，解得，
因此，原不等式的解集为。故选：B.
16、答案：B
解析：因为是单位向量，，向量，的夹角为，
所以在上的投影向量是
故选：B
17、答案：B.
解析：对于A，估计该校在2小时内完成作业的学生占比是，故A错误；
对于B，抽取的学生不能在4小时内完成课后作业的人数是（人），故B正确；
对于C，抽取学生课后完成作业时间的100个数据中，第一、第二、第三组频率和为，前四组频率和为，所以中位数在区间内，故C错误；
对于D，学生课后完成作业时间的100个数据的众数不能由直方图确定，故D错误。故选：B
18、答案：A
解析：由题意可得侧面展开图的边长为，所以侧面展开图的面积为，故这个圆柱的侧面积是。故选：A
19、答案：D
解析：由题意得，解得。故选：D
20、答案：D
解析：高三（1）班德、智、体、美、劳各项得分依次为9.5，9.5，9，9.5，9.25，高三（2）班德、智、体、美、劳各项得分依次为9.5，9，9.5，9，8.5.
对于A：高三（2）班五项评价得分的极差为，A错误；
对于B：两班的德育得分均为9.5，两者相等，B错误；
对于C：两班的德育得分相差；两班的智育、体育和美育得分相差均为，两班的劳育得分相差，
故两个班的劳育得分相差最大，C错误；
对于D：高三（1）班得分的平均数为，
高三（2）班得分的平均数为，
，
高三（1）班五项评价得分的平均数比高三（2）班五项评价得分的平均数要高，D正确故选：D.
21、答案：，
解析：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题：“，”的否定是：“，”。故答案为：，。
22、答案：1或﹣5.
解析：因为，所以，整理得，
解得或。故答案为：1或﹣5.
23、答案：
解析：扇形中，弧长为，直径为，
扇形的圆心角弧度数是。故答案为：。
24、答案：（答案不唯一）
解析：由题设，的对称轴为直线，在上单调递增，故可设，由，得，解得，故符合要求。故答案为：(答案不唯一).
25、答案：（1），，
（2）
解析：（1）∵幂函数的图象经过点，
，即，解得：或，
，故，
故，；
（2）在递增，
由，
得，解得：，
故a的范围是.
26、答案：（1）（2）
解析：（1），
的最小正周期，
由，，解得，
故函数的对称轴方程为，。
（2）时，可得：，
当时，函数取得最小值为.
当时，函数取得最大值为.
所以函数在区间上的值域为。
27、答案：（1）证明见解析
（2）四边形ABFE是直角梯形，
解析：（1）证明：三棱柱中，，
平面ABFE，平面ABFE，
又平面，，又E为的中点
∴点F为的中点；
（2）四边形ABFE是直角梯形，理由为：
由（1）知，，且，
∴四边形ABFE是梯形；
又侧棱底面ABC，；
又，，，
，，
又，平面；
又平面，；
∴梯形ABFE是直角梯形；
由，，；
又，，
直角梯形ABFE的面积为.
28、答案：（1）①A；②B；（2）③A；④A；⑤B.
解析：因为，
（1）因为，所以，
因为，所以
（2）因为时，有，
而且，所以在上的最大值为.
又因为时，有，
而且，所以在上的最大值为1.
综上，的最大值为.