湖南省2023年普通高中学业水平合格性考试（四）数学试卷（含解析）

湖南省2023年普通高中学业水平合格性考试（四）数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、已知集合，则必有( )
A. B. C. D.
2、角是( )
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
3、设命题，则p为( )
A.， B.，
C.， D.，
4、下列四个结论正确的是( )
A.经过三点有且只有一个平面
B.两条直线确定一个平面
C.经过一条直线和一个点有且只有一个平面
D.经过圆上三点有且只有一个平面
5、函数的零点为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
6、下列事件是必然事件的是( )
A.从分别标有数字1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到标有数字4的标签
B.函数且为增函数
C.平行于同一条直线的两条直线平行
D.随机选取一个实数x，得
7、“"是""的( )
A.充分必要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
8、函数的最小正周期是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
9、某扇形的圆心角为，所在圆的半径为6，则它的面积是( )
A. B. C. D.
10、如果，那么下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
11、若函数为R上的奇函数，且，则当时，( )
A. B. C. D.
12、函数的大致图象是( )
A. B. C. D.
13、已知，则函数的最小值为( )
A.4 B.6 C.8 D.10
14、在三棱台中，G，H分别是AB，AC的中点，则GH与( )
A.相交 B.异面 C.平行 D.垂直
15、下列命题：
①若，则是纯虚数；
②若，且，则；
③若是纯虚数，则实数；
④实数集是复数集的真子集.
其中正确的是( )
A.① B.② C.③ D.④
16、一个射手进行射击，记事件“脱靶”，“中靶”，：“中靶环数大于4”，：“中靶环数不小于5”，则在上述事件中，互斥而不对立的事件共有( )
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
17、如图，某港口某天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数，据此图象可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )
A.10 B.8 C.6 D.5
18、已知定义在R上的偶函数在上是减函数，则( )
A. B.
C. D.
二、填空题
19、在平面直角坐标系Oxy中，已知四边形ABCD是平行四边形，，，则___________
20、某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层随机抽样的办法抽取样本.某中学共有学生2000名，抽取了一个容量为200的样本，已知样本中女生比男生少6人，则该校共有女生___________人.
21、一个口袋中装有大小和形状完全相同的两个红球和两个白球，从这个口袋中任取两个球，则取得的两个球中恰有一个红球的概率是___________
22、已知满足对，，且时，(m为常数)，则的值为___________
三、解答题
23、随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机软件层出不穷.现从某市使用A和B两款订餐软件的商家中分别随机抽取100个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如下.
使用A款软件的100个商家“平均送达时间”的频率分布直方图
使用B款软件的100个商家“平均送达时间”的频率分布直方图
（1）试估计该市使用A款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数及平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；
（2）如果以“平均送达时间”的平均数作为决策依据，从A和B两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？
24、在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求B
（2）若，，求a，c.
25、如图，在长方形ABCD中，，，E为CD的中点，以AE为折痕，把折起到的位置，且平面平面ABCE.
（1）求证：；
（2）求四棱雉的体积.
参考答案
1、答案：B
解析：
，A选项错误；
，B选项正确；
，C选项错误；
D、，本选项错误.故选：B
2、答案：C
解析：
3、答案：B
解析：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，命题p：，，则p的否定为：，
故选：B.
4、答案：D
解析：A选项：当三点处于同一直线上时，经过这三点可以作无穷多个平面，故A错误；
B选项：两条异面直线不能确定平面，故B错误；
C选项：若该点恰好在直线上，则有无穷多个平面，故C错误；故选D
5、答案：B
解析：
，，
又在上单调递增，
故有唯一的零点为2.
6、答案：C
解析：A是随机事件，5张标签都可能被取到.
B是随机事件，当时，函数为增函数，当时，函数为减函数.
C是必然事件，实质是平行公理.
D为不可能事件，根据指数函数的图像可得，对任意实数x，都有.
7、答案：B
解析：因为，而时，可得，
或者，
则“”是“”的充分不必要条件，
8、答案：B
解析：函数的最小正周期是，
9、答案：A
解析：因为，所以
10、答案：D
解析：因为，不等式两边同时减去a得，D正确，
若，则AB错误，若，C错误.故选：D.
11、答案：B
解析：函数为R上奇函数，可得
又，则当时，，
即时，
12、答案：A
解析：
13、答案：B
解析：由题意得，则，然后利用基本不等式可求得结果由于，则，故当且仅当，即时取到等号，因此的最小值为6.
14、答案：C
解析：因为G，H分别是AB，AC的中点，所以，又由棱台的性质得，所以
15、答案：D
解析：对于复数，当且时，为纯虚数.
对于①，若，则不是纯虚数，即①错误；
两个虚数不能比较大小，则②错误；
对于③，若，则，
此时不是纯虚数，则③错误；
显然，④正确.故选D.
16、答案：B
解析：与，与均为互斥而不对立的事件.
17、答案：A
解析：因，故由知，函数的最小值为，最大值为，
依题图有故，
即水深（单位：m)的最大值为10。故答案是：10。
18、答案：D
解析：定义在R上的偶函数在上是减函数
此函数在上是增函数
由此知，函数图象上的点离Y轴越近，函数值越大
，
观察四个选项知，D选项是正确的故选D
19、答案：5
解析：由四边形ABCD为平行四边形，知，故。
20、答案：970
解析：样本容量为200，女生比男生少6人，
样本中女生数为97人.
已知分层抽样的抽取比例为，所以总体中女生数为970人.
21、答案：
解析：一个口袋中装有大小和形状完全相同的两个红球和两个白球，从这个口袋中任取两个球，基本事件总数，
其中，取得的两个球中恰有一个红球包含的基本事件个数，
则取得的两个球中恰有一个红球的概率是.
故答案为：.
22、答案：-4
解析：，，
时，，
故答案为：-4.
23、答案：（1）众数55；平均数40（2）选B款
解析：（1）依题意，可得使用A款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数为55，平均数为
（2）使用B款订餐软件的商家中“平均送达时间”的平均数为
所以选B款订餐软件。
24、答案：（1）（2），
解析：（1）由及正弦定理，
得.
在中，，所以，所以.
因为，所以.
（2）由及正弦定理，得，①
由余弦定理，
得，即，②
联立①②，解得，
25、答案：（1）证明见解析（2）
解析：（1）证明：根据题意可知，在长方形ABCD中，和为等腰直角三角形，
所以，所以，即.
因为平面平面ABCE，且平面平面ABCE，平面ABCE，
所以平面，因为平面，所以.
（2）取AE的中点F，连接，则，且.
因为平面平面ABCE，且平面平面，平面，所以平面ABCE，
所以