青海省2021年12月普通高中学业水平考试数学试卷（含解析）

青海省2021年12月普通高中学业水平考试数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、已知集合，则M的真子集个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2、函数的定义域为( )
A. B. C. D.
3、化简( )
A. B. C. D.
4、( )
A. B. C. D.
5、已知a,b,c都是实数，则下列命题中真命题是( )
A.若，则 B.若，则
C.若，则； D.若，则
6、如图，①②③④为选项中的四个幂函数的图象，其中①对应的幂函数可能是( )
A. B. C. D.
7、为了解某社区居民的家庭年收入年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入x(万元) 8.2 8.6 10.0 11.2 12
支出y(万元) m
但是统计员不小心丢失了一个数据(用m代替，在数据丢失之前得到回归直线方程为，则的值等于( )
A.8.60 B.8.80 C.9.25 D.9.52
8、等比数列中，若,是方程的两根，则的值为( )
A.6 B. C. D.1
9、现对某类文物进行某种物性指标检测，从1000件中随机抽取了200件，测得了它的物性指标值，得到如下频率分布直方图，据此估计这1000件文物中物性指标值不小于95的件数为( )
A.34 B.67 C.340 D.670
10、已知函数，则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
11、已知函数，，是常数，，，的部分图象如图所示.为了得到函数的图象，可以将函数的图象( )
A.先向右平移个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变
B.先向左平移个单位长度，再将所得图象的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变
C.先向左平移个单位长度，再将所得图象的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变
D.先向左平移个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变
12、已知直线是圆的对称轴.过点作圆C的一条切线，切点为B，则( )
A.2 B. C.6 D.
二、填空题
13、已知，则______.
14、在高铁建设中需要确定隧道的长度和隧道两端的施工方向，为解决这个问题，某校综合实践活动小组提供了如下方案：先测量出隧道两端的两点A，B到某一点C的距离，再测出的大小.现已测得AC约为，BC约为，且（如图所示），则A，B两点之间的距离约为______.（结果四舍五入保留整数）
15、如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上下底面及母线均相切，已知圆柱的底面半径为3，则圆柱的体积为__________.
16、已知，，，则的最小值为__________.
三、解答题
17、如图所示的茎叶图记录了甲 乙两组各四名同学单位时间内引体向上的次数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以表示.
(1)如果，求乙组同学单位时间内引体向上次数的平均数；
(2)如果，分别从甲 乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学单位时间内引体向上次数和为17的概率.
18、已知数列是等差数列，且,.
（1）求数列的通项公式;
（2）若等比数列满足，求数列的前n项和.
19、如图，在三棱锥中，侧棱底面ABC，，E、F分别是棱BC、PC的中点.
（1）证明：平面PAB；
（2）证明：.
20、已知函数.
（1）试判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明；
（2）对任意时，都成立，求实数m的取值范围.
参考答案
1、答案：C
解析：因为集合，
所以M的真子集为,，共3个.
故选：C
2、答案：D
解析：由题意得，解得，所以定义域为.
故选：D
3、答案：B
解析：
故选：B
4、答案：A
解析：.
故选：A
5、答案：D
解析：对于A：若，，，则即，故选项A不正确；
对于B：若，，则即，故选项B不正确；
对于C：若，，可得，故选项C不正确；
对于D：若，则，所以，所以即，
故选项D正确；
故选：D.
6、答案：B
解析：由幂函数的图像性质可得，选项中的四个幂函数的图象
①②③④分别对应的解析式依次为：，，，.
则其中①对应的幂函数可能是.
故选：B
7、答案：A
解析：由题设知：，，
在回归直线上，
，解得.
故选：A.
8、答案：B
解析：因为，是方程的两根，
所以，
由等比数列的性质可得，故选B.
9、答案：D
解析：由频率分布直方图得文物中物性指标值不小于95的频率为：，
所以这1000件文物中物性指标值不小于95的件数为.
故选：D
10、答案：A
解析：，
当时，，所以或；
当时，，所以，
所以不等式的解集是，
故选：A.
11、答案：D
解析：由图可知，，
所以，即，解得.
当时，,
所以，
又，所以.
所以.
将的图象先向左平移个单位长度，得到，.
再将所得图象的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到.
故选：D
12、答案：C
解析：直线l过圆心，所以，所以切线长，选C.
13、答案：100
解析：由，则
故答案为：100
14、答案：3
解析：因为，，则由余弦定理可知，解得，即，又因为，四舍五入为.
故答案为：3
15、答案：
解析：设圆柱的底面半径为，球的半径为R.由条件有：，圆柱的高为，
所以圆柱的体积为.
故答案为：
16、答案：
解析：由，得，
所以
，当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为，
故答案为：
17、答案： (1)7.75
(2)
解析：（1）根据题意，当时，乙组数据分别为7，7，8，9，
计算这组数据的平均数为，
（2）根据题意，记甲组四名同学为，，，，他们单位时间内引体向上次数依次为8，8，10，10，乙组四名同学为，，，，他们单位时间内引体向上次数依次为8，7，8，9；
记“选出的两名同学单位时间内引体向上次数和为17”为事件，
分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有个，
依次为，，，，，，，，，，，，，，，，
而C中的结果有4个，依次为，，，，
故，即要求事件的概率为.
18、答案： (1) ,
(2)
解析：（1）设等差数列的公差为d，
因为，可得，解得，
所以,.
（2）设等比数列的公比为q，
因为，
解得，所以.
19、答案： (1)见解析
(2)见解析
解析：证明：（1）E，F分别是AC，BC的中点， .
又平面PAB，平面PAB，
平面PAB.
（2）侧棱底面ABC， ，
又由，，
平面PAB，，
又， .
20、答案： (1) 在区间上单调递减
(2)
解析：（1）函数在区间上单调递减，以下证明：设，
，
，，，
，
在区间上单调递减；
（2）由（2）可知在上单调减函数，
当时，取得最小值，即，
对任意时，都成立，只需成立，
，解得：.