2.2 基本不等式（第1课时）同步学案（无答案）

第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.2 基本不等式 (第1课时）
课时学习素养目标：1.理解基本不等式 （ , ,当且仅当 时,等号成立）.2.能利用基本不等式求最值，培养数学运算的核心素养.3.能利用基本不等式解决实际问题，培养数学建模的核心素养.自
·必识
导 2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会标如图所示，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。你能得出什么样的结论？
思：新知一 基本不等式的定义
， ，有 ，当且仅当 时，等号成立.
特别地，如果 ， ，我们用 ， 分别代替上式中的 ， ，可得 ，当且仅当 时，等号成立.
通常称 为基本不等式。其中， 叫做正数 ， 的算术平均数， 叫做正数 ， 的几何平均数。
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
自主思考1. 基本不等式怎样证明？
探究：在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a，BC=b．过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD．你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？
提示： (1)表示哪个线段？ (2)对应哪个线段呢？（3）半径与CD的大小关系如何？
议：探究点一 对基本不等式的理解
（1）已知 a，b>0 ，则下列不等式一定成立的是( )
A. ≤ B. (a b)2>1 C. a+b≥2ab D. a+b≥2
（2）不等式 中等号成立的条件是( )
A. B. C. D. 1
探究点二 利用基本不等式求最值
已知 ，求 的最小值
已知 , 都是正数，求证：
（1）如果积 等于定值 ,那么当 时,和 有最小值.
（2）如果和 等于定值 ,那么当 时,积 有最大值
新知二 两个重要结论
已知 都是正数，
（1）如果积 等于定值，那么当 时，和 有最小值 .
（2）如果和 等于定值，那么当 时，积 有最大值 .
和定积最大，积定和最小
自主思考2. 当 时，你能求出 的最小值吗？
解题感悟 基本不等式求最值的三个条件：
1.一正：符合基本不等式 成立的前提条件为 , .
2.二定：不等式的一边转换为定值.
3.三相等：必须存在取等号的条件，即等号成立.以上三点缺一不可.
迁移应用1. （1） 若x>0，求y=3x+的最小值；
（2）已知，求的最大值
（3）已知正实数，满足，则的最小值为（ ）
A.1 B. C. D.4
探究点三 利用基本不等式证明不等式
已知 , , 都是正数，求证： ；
解题感悟 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项
（1）策略：从已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逻辑推理，最后转化为所证明的问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.
（2）注意事项：
①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；
②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；
③对不能直接使用基本不等式的证明问题可重新组合，创设使用基本不等式的条件再使用.
迁移应用2. 已知x,y,z都是正数，求证：(x+y)(y+z)(z+x)8xyz .
【检】
1. 已知 , ,且 ,那么 的最小值是( )
A.4 B. C. D.
2. 不等式成立的前提条件为
3. 若 ， ，则 （填“＞”“＜”“≥”或“≤”）.
4. 中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形的三条边长分别为 、 、 ，则三角形的面积 可由公式 求得，其中 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足 ， ，则此三角形面积的最大值为 .