数学人教A版（2019）选择性必修第三册7.3.1离散型随机变量的均值 课件（共24张ppt)
文档属性
| 名称 | 数学人教A版（2019）选择性必修第三册7.3.1离散型随机变量的均值 课件（共24张ppt) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-06-06 09:46:35 | ||
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文档简介
(共24张PPT)
7.3.1 离散型随机变量的均值
第七章 随机变量及其分布
复习回顾
回顾1 什么是随机变量和离散型随机变量？
随机变量：一般地，对于随机试验样本空间中的每个样本点，都有唯一的实数与之对应，我们称为随机变量.
离散型随机变量：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量.
回顾2 什么是离散型随机变量的分布列及其性质？
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2， ，xn，则X的概率分布列为：
X x1 x2 xn
P p1 p2 pn
离散变量的分布列可以用表格表示，如下表所示.
(1) 离散型随机变量的分布列
根据概率的性质，离散型随机变量分布列具有下述两个性质:
(2) 离散型随机变量的分布列的性质
复习回顾
新课导入
离散型随机变量的分布列全面地刻画了这个随机变量的取值规律. 但在解决有些实际问题时，直接使用分布列并不方便，例如，要比较不同班级某次考试成绩，通常会比较平均成绩；要比较两名射箭运动员的射箭水平，一般会比较他们射箭的成绩(平均环数或总环数)以及稳定性.
因此，类似于研究一组数据的均值和方差，我们也可以研究离散型随机变量的均值和方差，它们统称为随机变量的数字特征.
离散型随机变量的数字特征——一组数据的均值和方差
样本均值：
样本方差：
已知一组样本数据：x1，x2，…，xn
反映这组数据相对于平均值的集中程度的量
例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否“两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。
回顾3 什么是一组数据的均值和方差？
新知探究
问题1 甲、 乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如下表所示.
环数X 7 8 9 10
甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4
乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2
如何比较他们射箭水平的高低呢
分析：类似两组数据的比较，首先比较击中的平均环数，如果平均环数相等，再看稳定性.
新知探究
环数X 7 8 9 10
甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4
乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2
解：
=9
假设甲射箭n次，射中7环、8环、9环和10环的频率分别为
甲n次射箭射中的平均环数为
当n足够大时，频率稳定于概率
即甲射中平均环数的稳定值(理论平均值)为9，这个平均值的大小可以反映甲运动员的射箭水平.
同理，乙射中环数的平均值为
从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高.
概念生成
随机变量的均值
一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示，
X x1 x2 xn
P p1 p2 pn
则称
为随机变量X的均值或数学期望， 数学期望简称期望.
均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平.
权数
加权平均数
典例解析
例1 在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分. 如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分X的均值是多少
解：由题意得，X的分布列为
即该运动员罚球1次的得分X的均值是0.8.
一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么
方法归纳
求离散型随机变量的均值的步骤
(1)确定取值：根据随机变量X的意义,写出X可能取得的全部值；
(2)求概率：求X取每个值的概率；
(3)写分布列：写出X的分布列；
(4)求均值：由均值的定义求出E(X).
求随机变量的分布列
典例解析
例2 抛掷一枚质地均匀的骰子， 设出现的点数为X，求X的均值.
由题意得，X的所有取值为：1，2，3，4，5，6则：
解：
即点数X的均值是3.5.
所以X的分布列为：
X 1 2 3 4 5 6
P
观察 掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数X的均值为3.5. 随机模拟这个试验，重复60次和重复300次各做6次，观测出现的点数并计算平均数. 根据观测值的平均数(样本均值)绘制统计图，分别如图 (1)和(2)所示. 观察图形，在两组试验中，随机变量的均值与样本均值有何联系与区别
①区别:随机变量的均值是一个常数,它不依赖于样本的抽取,而样本的平均值是一个随机变量,它随样本的不同而变化；
②联系:对于简单随机样本,随着样本容量的增加样本的平均值越来越接近于总体的均值.因此我们常用样本的平均值估计总体的均值.
新知探究：样本平均值和随机变量均值的区别与联系
问题3 如果X是一个离散型随机变量，X加一个常数或乘一个常数后，其均值会怎样变化 即E(X＋b)和E(aX)(其中a, b为常数)分别与E(X)有怎样的关系
设X的分布列为
根据随机变量均值的定义，
类似地，可以证明
一般地，下面的结论成立：
新知探究：离散型随机变量均值的性质
若 是两个随机变量, 且,
则有
即随机变量 的线性函数的均值等于这个随机变量的均值的同一线性函数.
(1)当a=0时, E(b)=b.
(2)当a=1时, E(X+b)=E(X )+b
(3)当b=0时,E(aX )=aE(X )
概念生成
离散型随机变量的均值的性质：
巩固练习
解：
2. 抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，求得分X的
均值.
课本66页
巩固练习
解：
课本66页
1. 已知随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4 5
P 0.1 0.3 0.4 0.1 0.1
(1) 求E(X)；(2) 求E(3X+2).
典例解析
例3 猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表7. 3-3所示.
规则如下: 按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首.求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值.
分析：公益基金总额X的可能取值有几种情况？
歌曲 A B C
猜对的概率 0.8 0.6 0.4
获得的公益基金额/元 1000 2000 3000
X的可能取值为0，1000，3000，6000.
歌曲 A B C
猜对的概率 0.8 0.6 0.4
获得的公益基金额/元 1000 2000 3000
典例解析
例3
解：分别用A,B,C表示猜对歌曲A,B,C歌名的事件，A,B,C相互独立
X的分布列为
X的均值为
由题意可得，X的可能取值为0，1000，3000，6000，则X的分布列为
歌曲 A B C
猜对的概率 0.8 0.6 0.4
获得的公益基金额/元 1000 2000 3000
典例解析
例3
变式：如果改变猜歌的顺序，获得公益基金的均值是否相同 若不同，那个大
同理
当按A,C,B的顺序时
当按B,A,C的顺序时
当按B,C,A的顺序时
当按C,B,A的顺序时
当按C,A,B的顺序时
E(X)=2144,
E(X)=2256，
E(X)=2112
E(X)=1872，
E(X)=1904.
当按A,B,C的顺序时
E(X)=2336
例3是概率决策问题也称为风险决策，选择不同的猜歌顺序，X的分布列是不同的，不能直接进行比较，所以决策的原则是选择期望值E(X)大的猜歌顺序。
可以发现,按由易到难的顺序猜歌,得到公益金的期望值最大.
典例解析
例4 根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01，该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元. 为保护设备，有以下3种方案：
方案1:运走设备，搬运费为3800元。
方案2:建围墙, 建设费为2000元, 但围墙只能挡住小洪水.
方案3:不采取措施，希望不发生洪水.
工地的领导该如何决策呢
总损失越小越好
方案2和方案3的总损失都是随机变量，可以采用期望总损失最小的方案
值得注意的是，上述结论是通过比较“期望总损失”而得出的.
一般地，我们可以这样来理解“期望总损失”：
如果问题中的天气状况多次发生，那么采用方案2将会使总损失减到最小。不过，因为洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，所以对于个别的一次决策，采用方案2也不一定是最好的。
典例解析
解：设方案1、方案2、方案3的总损失分别为X1, X2, X3 .
采用方案1, 无论有无洪水，都损失3800元. 因此
采用方案2, 遇到大洪水时，总损失为2000+60000=62000元；没有大洪水时，总损失为2000元. 因此
采用方案3，有
∴因此, 从期望损失最小的角度, 应采取方案2.
用期望做决策
用期望来观察风险、分析风险进而做出正确决策，在生活中较为常见，如股票投资决策、某种试验的决策等.
巩固练习
课本67页
解：
3. 甲、乙两台机床生产同一种零件，它们生产的产量相同，在1 h内生产出的次品数分别为X1，X2，其分布列分别为
甲机床次品数的分布列
乙机床次品数的分布列
X1 0 1 2 3
P 0.4 0.3 0.2 0.1
X2 0 1 2
P 0.3 0.5 0.2
哪台机床更好 请解释你所得出结论的实际含义.
由此可知，1h内甲机床平均生产1个次品，乙机床平均生产0.9个次品，所以乙机床相对更好.
课堂小结
1. 离散型随机变量的均值：
一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示，
X x1 x2 xn
P p1 p2 pn
则称
为随机变量X的均值或数学期望， 数学期望简称期望.
均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平.
课堂小结
若 是两个随机变量, 且, 则有
即随机变量 的线性函数的均值等于这个随机变量的均值的同一线性函数.
2.离散型随机变量的均值的性质：
(1)当a=0时, E(b)=b.
(2)当a=1时, E(X+b)=E(X )+b
(3)当b=0时,E(aX )=aE(X )
3.求离散型随机变量均值的步骤：
(1)确定随机变量取值
(2)求概率
(3)写分布列
(4)求均值
7.3.1 离散型随机变量的均值
第七章 随机变量及其分布
复习回顾
回顾1 什么是随机变量和离散型随机变量？
随机变量：一般地，对于随机试验样本空间中的每个样本点，都有唯一的实数与之对应，我们称为随机变量.
离散型随机变量：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量.
回顾2 什么是离散型随机变量的分布列及其性质？
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2， ，xn，则X的概率分布列为：
X x1 x2 xn
P p1 p2 pn
离散变量的分布列可以用表格表示，如下表所示.
(1) 离散型随机变量的分布列
根据概率的性质，离散型随机变量分布列具有下述两个性质:
(2) 离散型随机变量的分布列的性质
复习回顾
新课导入
离散型随机变量的分布列全面地刻画了这个随机变量的取值规律. 但在解决有些实际问题时，直接使用分布列并不方便，例如，要比较不同班级某次考试成绩，通常会比较平均成绩；要比较两名射箭运动员的射箭水平，一般会比较他们射箭的成绩(平均环数或总环数)以及稳定性.
因此，类似于研究一组数据的均值和方差，我们也可以研究离散型随机变量的均值和方差，它们统称为随机变量的数字特征.
离散型随机变量的数字特征——一组数据的均值和方差
样本均值：
样本方差：
已知一组样本数据：x1，x2，…，xn
反映这组数据相对于平均值的集中程度的量
例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否“两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。
回顾3 什么是一组数据的均值和方差？
新知探究
问题1 甲、 乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如下表所示.
环数X 7 8 9 10
甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4
乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2
如何比较他们射箭水平的高低呢
分析：类似两组数据的比较，首先比较击中的平均环数，如果平均环数相等，再看稳定性.
新知探究
环数X 7 8 9 10
甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4
乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2
解：
=9
假设甲射箭n次，射中7环、8环、9环和10环的频率分别为
甲n次射箭射中的平均环数为
当n足够大时，频率稳定于概率
即甲射中平均环数的稳定值(理论平均值)为9，这个平均值的大小可以反映甲运动员的射箭水平.
同理，乙射中环数的平均值为
从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高.
概念生成
随机变量的均值
一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示，
X x1 x2 xn
P p1 p2 pn
则称
为随机变量X的均值或数学期望， 数学期望简称期望.
均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平.
权数
加权平均数
典例解析
例1 在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分. 如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分X的均值是多少
解：由题意得，X的分布列为
即该运动员罚球1次的得分X的均值是0.8.
一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么
方法归纳
求离散型随机变量的均值的步骤
(1)确定取值：根据随机变量X的意义,写出X可能取得的全部值；
(2)求概率：求X取每个值的概率；
(3)写分布列：写出X的分布列；
(4)求均值：由均值的定义求出E(X).
求随机变量的分布列
典例解析
例2 抛掷一枚质地均匀的骰子， 设出现的点数为X，求X的均值.
由题意得，X的所有取值为：1，2，3，4，5，6则：
解：
即点数X的均值是3.5.
所以X的分布列为：
X 1 2 3 4 5 6
P
观察 掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数X的均值为3.5. 随机模拟这个试验，重复60次和重复300次各做6次，观测出现的点数并计算平均数. 根据观测值的平均数(样本均值)绘制统计图，分别如图 (1)和(2)所示. 观察图形，在两组试验中，随机变量的均值与样本均值有何联系与区别
①区别:随机变量的均值是一个常数,它不依赖于样本的抽取,而样本的平均值是一个随机变量,它随样本的不同而变化；
②联系:对于简单随机样本,随着样本容量的增加样本的平均值越来越接近于总体的均值.因此我们常用样本的平均值估计总体的均值.
新知探究：样本平均值和随机变量均值的区别与联系
问题3 如果X是一个离散型随机变量，X加一个常数或乘一个常数后，其均值会怎样变化 即E(X＋b)和E(aX)(其中a, b为常数)分别与E(X)有怎样的关系
设X的分布列为
根据随机变量均值的定义，
类似地，可以证明
一般地，下面的结论成立：
新知探究：离散型随机变量均值的性质
若 是两个随机变量, 且,
则有
即随机变量 的线性函数的均值等于这个随机变量的均值的同一线性函数.
(1)当a=0时, E(b)=b.
(2)当a=1时, E(X+b)=E(X )+b
(3)当b=0时,E(aX )=aE(X )
概念生成
离散型随机变量的均值的性质：
巩固练习
解：
2. 抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，求得分X的
均值.
课本66页
巩固练习
解：
课本66页
1. 已知随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4 5
P 0.1 0.3 0.4 0.1 0.1
(1) 求E(X)；(2) 求E(3X+2).
典例解析
例3 猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表7. 3-3所示.
规则如下: 按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首.求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值.
分析：公益基金总额X的可能取值有几种情况？
歌曲 A B C
猜对的概率 0.8 0.6 0.4
获得的公益基金额/元 1000 2000 3000
X的可能取值为0，1000，3000，6000.
歌曲 A B C
猜对的概率 0.8 0.6 0.4
获得的公益基金额/元 1000 2000 3000
典例解析
例3
解：分别用A,B,C表示猜对歌曲A,B,C歌名的事件，A,B,C相互独立
X的分布列为
X的均值为
由题意可得，X的可能取值为0，1000，3000，6000，则X的分布列为
歌曲 A B C
猜对的概率 0.8 0.6 0.4
获得的公益基金额/元 1000 2000 3000
典例解析
例3
变式：如果改变猜歌的顺序，获得公益基金的均值是否相同 若不同，那个大
同理
当按A,C,B的顺序时
当按B,A,C的顺序时
当按B,C,A的顺序时
当按C,B,A的顺序时
当按C,A,B的顺序时
E(X)=2144,
E(X)=2256，
E(X)=2112
E(X)=1872，
E(X)=1904.
当按A,B,C的顺序时
E(X)=2336
例3是概率决策问题也称为风险决策，选择不同的猜歌顺序，X的分布列是不同的，不能直接进行比较，所以决策的原则是选择期望值E(X)大的猜歌顺序。
可以发现,按由易到难的顺序猜歌,得到公益金的期望值最大.
典例解析
例4 根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01，该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元. 为保护设备，有以下3种方案：
方案1:运走设备，搬运费为3800元。
方案2:建围墙, 建设费为2000元, 但围墙只能挡住小洪水.
方案3:不采取措施，希望不发生洪水.
工地的领导该如何决策呢
总损失越小越好
方案2和方案3的总损失都是随机变量，可以采用期望总损失最小的方案
值得注意的是，上述结论是通过比较“期望总损失”而得出的.
一般地，我们可以这样来理解“期望总损失”：
如果问题中的天气状况多次发生，那么采用方案2将会使总损失减到最小。不过，因为洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，所以对于个别的一次决策，采用方案2也不一定是最好的。
典例解析
解：设方案1、方案2、方案3的总损失分别为X1, X2, X3 .
采用方案1, 无论有无洪水，都损失3800元. 因此
采用方案2, 遇到大洪水时，总损失为2000+60000=62000元；没有大洪水时，总损失为2000元. 因此
采用方案3，有
∴因此, 从期望损失最小的角度, 应采取方案2.
用期望做决策
用期望来观察风险、分析风险进而做出正确决策，在生活中较为常见，如股票投资决策、某种试验的决策等.
巩固练习
课本67页
解：
3. 甲、乙两台机床生产同一种零件，它们生产的产量相同，在1 h内生产出的次品数分别为X1，X2，其分布列分别为
甲机床次品数的分布列
乙机床次品数的分布列
X1 0 1 2 3
P 0.4 0.3 0.2 0.1
X2 0 1 2
P 0.3 0.5 0.2
哪台机床更好 请解释你所得出结论的实际含义.
由此可知，1h内甲机床平均生产1个次品，乙机床平均生产0.9个次品，所以乙机床相对更好.
课堂小结
1. 离散型随机变量的均值：
一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示，
X x1 x2 xn
P p1 p2 pn
则称
为随机变量X的均值或数学期望， 数学期望简称期望.
均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平.
课堂小结
若 是两个随机变量, 且, 则有
即随机变量 的线性函数的均值等于这个随机变量的均值的同一线性函数.
2.离散型随机变量的均值的性质：
(1)当a=0时, E(b)=b.
(2)当a=1时, E(X+b)=E(X )+b
(3)当b=0时,E(aX )=aE(X )
3.求离散型随机变量均值的步骤：
(1)确定随机变量取值
(2)求概率
(3)写分布列
(4)求均值