第十六章 二次根式解答题专项练习题（含答案 ）
文档属性
| 名称 | 第十六章 二次根式解答题专项练习题（含答案 ） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 461.1KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-06-06 11:20:46 | ||
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文档简介
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人教版八年级数学下册期末复习二次根式解答题专项练习
一、解答题
1．观察下列等式：回答问题：
①
②
③，…
(1)根据上面三个等式的信息，猜想________；
(2)请你找出其中规律，并将第个等式写出来．
2．已知三条边的长度分别是记的周长为．
(1)当时，的最长边的长度是___________（请直接写出答案）．
(2)请求出（用含x的代数式表示，结果要求化简）．
(3)我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：．其中三角形边长分别为a，b，c，三角形的面积为S．若x为整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积．
3．【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：若设（其中均为整数），则有．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
【问题解决】
（1）若，当均为整数时，则a＝ ，b＝ ．（均用含m、n的式子表示）
（2）若，且均为正整数，分别求出的值．
【拓展延伸】
（3）化简＝ ．
4．阅读下面计算过程：
；
．
请解决下列问题
(1)______．
(2)利用上面的解法，请化简：．
5．小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)化简
(2)若，
①求的值；
②直接写出代数式的值___________．
6．【说读材料】我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：
当，时：
∵，
∴．
∴，当且仅当时取等号，即当时，有最小值为．
【学以致用】根据上面材料回答下列问题：
(1)已知，则当 时，式子取到最小值，最小值为 ；
(2)已知，求当值为多少时，分式取到最小值，最小值是多少？
(3)用篱笆围一个面积为的长方形花园，问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
7．阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果：
当时，∵，∴当即时，的最小值为2．
请利用以上结果解决下面的问题：
(1)当时，的最小值为___________；当时，的最大值为___________；
(2)当时，求的最小值；
(3)如图，已知四边形的对角线、交于点，若的面积为3，的面积为6，求四边形面积的最小值．
8．阅读下列材料：
材料1：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（式）的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整数法．此法在处理分式或整除问题时颇为有效．如将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：设x＋2＝t，则x＝t﹣2．
∴原式
∴
材料2：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法最终的目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来求解，它的应用非常广泛，在解方程、求最值、证明等式、化简根式、因式分解等方面都经常用到．如：当a＞0，b＞0时，∵
∴当，即a＝b时，有最小值2．
根据以上阅读材料回答下列问题：
(1)将分式拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为 ；
(2)已知分式的值为整数，求整数x的值；
(3)当﹣1＜x＜1时，求代数式的最大值及此时x的值．
9．观察下列各式及其验证过程：
，验证：；
，验证：．
(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果，并进行验证．
(2)写出用（为任意自然数，且）表示的等式反映上述各式的规律，并给出证明．
10．阅读理解：观察下列等式：
①＝＝；
②＝＝；
…
(1)利用你观察到的规律，化简：；
(2)若a＝﹣，b＝﹣，比较a，b大小．
11．观察下列等式：①；②；③．
解决下列问题：
（1）根据上面3个等式的规律，写出第⑤个式子；
（2）用含n（n为正整数）的等式表示上面各个等式的规律，并加以证明；
（3）利用上述结果计算：．
12．观察下列各式：
11；
11；
11；
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
（1） ；
（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式： ；
（3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）．
13．小颖利用平方差公式，自己探究出一种解某一类根式方程的方法．下面是她解方程＋＝5的过程．
解：设﹣＝m，与原方程相乘得：
（＋）×（）＝5m，
x﹣2﹣（x﹣7）＝5m，解之得m＝1，
∴﹣＝1，与原方程相加得：
（＋）+（）＝5＋1，
2＝6，解之得，x＝11，经检验，x＝11是原方程的根．
学习借鉴解法，解方程﹣＝1．
14．在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信息不太明显，需要结合图形，特殊式子成立的条件，实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件．
阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．
（1）按照下面的解法，试化简：﹣（）2．
化简：（）2﹣|1﹣x| 解：隐含条件1﹣3x≥0 解得x≤∴1﹣x＞0 ∴原式＝（1﹣3x）﹣（1﹣x） ＝1﹣3x﹣1+x ＝﹣2x
（2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简﹣|b﹣a|；
已知a，b，c为△ABC的三边长，化简：
15． 阅读下列解题过程：
， ，
请回答下列问题：
（1）观察上面的解答过程，请写出 ；
（2）请你用含n（n 为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律；
（3）利用上面的解法，请化简：
16．观察下面的式子：S1=1+，S2=1+，S3=1+…Sn=1+
（1）计算：= ，= ；猜想= （用n的代数式表示）；
（2）计算：S=（用n的代数式表示）．
17．阅读理解题.
；；
.
试求：（1） .
（2）= .
（3）= .（n为正整数）
参考答案
1．(1)
(2)
2．(1)3
(2)
(3)
3．（1）；（2）或；（3）
4．(1)
(2)
5．(1)5
(2)①5，②0
6．(1)
(2)当时，最小值为
(3)当这个长方形的长、宽各为米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米
7．(1)4，
(2)
(3)
8．(1)
(2)0或1
(3)最大值为-1，x的值为
9．(1)猜想：，验证见解析．
(2)（为任意自然数，且），证明见解析．
10．(1)
(2)a＜b
11．（1）；（2），证明见解析；（3）
12．（1）；（2）；（3）
13．x＝7
14．（1）1；（2）﹣a﹣2b；（3）2a+2b+2c．
15．（1）；（2）；（3）9．
16．(1) ;(2)
17．（1）；（2）；（3）.
人教版八年级数学下册期末复习二次根式解答题专项练习
一、解答题
1．观察下列等式：回答问题：
①
②
③，…
(1)根据上面三个等式的信息，猜想________；
(2)请你找出其中规律，并将第个等式写出来．
2．已知三条边的长度分别是记的周长为．
(1)当时，的最长边的长度是___________（请直接写出答案）．
(2)请求出（用含x的代数式表示，结果要求化简）．
(3)我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：．其中三角形边长分别为a，b，c，三角形的面积为S．若x为整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积．
3．【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：若设（其中均为整数），则有．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
【问题解决】
（1）若，当均为整数时，则a＝ ，b＝ ．（均用含m、n的式子表示）
（2）若，且均为正整数，分别求出的值．
【拓展延伸】
（3）化简＝ ．
4．阅读下面计算过程：
；
．
请解决下列问题
(1)______．
(2)利用上面的解法，请化简：．
5．小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)化简
(2)若，
①求的值；
②直接写出代数式的值___________．
6．【说读材料】我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：
当，时：
∵，
∴．
∴，当且仅当时取等号，即当时，有最小值为．
【学以致用】根据上面材料回答下列问题：
(1)已知，则当 时，式子取到最小值，最小值为 ；
(2)已知，求当值为多少时，分式取到最小值，最小值是多少？
(3)用篱笆围一个面积为的长方形花园，问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
7．阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果：
当时，∵，∴当即时，的最小值为2．
请利用以上结果解决下面的问题：
(1)当时，的最小值为___________；当时，的最大值为___________；
(2)当时，求的最小值；
(3)如图，已知四边形的对角线、交于点，若的面积为3，的面积为6，求四边形面积的最小值．
8．阅读下列材料：
材料1：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（式）的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整数法．此法在处理分式或整除问题时颇为有效．如将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：设x＋2＝t，则x＝t﹣2．
∴原式
∴
材料2：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法最终的目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来求解，它的应用非常广泛，在解方程、求最值、证明等式、化简根式、因式分解等方面都经常用到．如：当a＞0，b＞0时，∵
∴当，即a＝b时，有最小值2．
根据以上阅读材料回答下列问题：
(1)将分式拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为 ；
(2)已知分式的值为整数，求整数x的值；
(3)当﹣1＜x＜1时，求代数式的最大值及此时x的值．
9．观察下列各式及其验证过程：
，验证：；
，验证：．
(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果，并进行验证．
(2)写出用（为任意自然数，且）表示的等式反映上述各式的规律，并给出证明．
10．阅读理解：观察下列等式：
①＝＝；
②＝＝；
…
(1)利用你观察到的规律，化简：；
(2)若a＝﹣，b＝﹣，比较a，b大小．
11．观察下列等式：①；②；③．
解决下列问题：
（1）根据上面3个等式的规律，写出第⑤个式子；
（2）用含n（n为正整数）的等式表示上面各个等式的规律，并加以证明；
（3）利用上述结果计算：．
12．观察下列各式：
11；
11；
11；
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
（1） ；
（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式： ；
（3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）．
13．小颖利用平方差公式，自己探究出一种解某一类根式方程的方法．下面是她解方程＋＝5的过程．
解：设﹣＝m，与原方程相乘得：
（＋）×（）＝5m，
x﹣2﹣（x﹣7）＝5m，解之得m＝1，
∴﹣＝1，与原方程相加得：
（＋）+（）＝5＋1，
2＝6，解之得，x＝11，经检验，x＝11是原方程的根．
学习借鉴解法，解方程﹣＝1．
14．在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信息不太明显，需要结合图形，特殊式子成立的条件，实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件．
阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．
（1）按照下面的解法，试化简：﹣（）2．
化简：（）2﹣|1﹣x| 解：隐含条件1﹣3x≥0 解得x≤∴1﹣x＞0 ∴原式＝（1﹣3x）﹣（1﹣x） ＝1﹣3x﹣1+x ＝﹣2x
（2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简﹣|b﹣a|；
已知a，b，c为△ABC的三边长，化简：
15． 阅读下列解题过程：
， ，
请回答下列问题：
（1）观察上面的解答过程，请写出 ；
（2）请你用含n（n 为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律；
（3）利用上面的解法，请化简：
16．观察下面的式子：S1=1+，S2=1+，S3=1+…Sn=1+
（1）计算：= ，= ；猜想= （用n的代数式表示）；
（2）计算：S=（用n的代数式表示）．
17．阅读理解题.
；；
.
试求：（1） .
（2）= .
（3）= .（n为正整数）
参考答案
1．(1)
(2)
2．(1)3
(2)
(3)
3．（1）；（2）或；（3）
4．(1)
(2)
5．(1)5
(2)①5，②0
6．(1)
(2)当时，最小值为
(3)当这个长方形的长、宽各为米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米
7．(1)4，
(2)
(3)
8．(1)
(2)0或1
(3)最大值为-1，x的值为
9．(1)猜想：，验证见解析．
(2)（为任意自然数，且），证明见解析．
10．(1)
(2)a＜b
11．（1）；（2），证明见解析；（3）
12．（1）；（2）；（3）
13．x＝7
14．（1）1；（2）﹣a﹣2b；（3）2a+2b+2c．
15．（1）；（2）；（3）9．
16．(1) ;(2)
17．（1）；（2）；（3）.