苏教版高一数学新教材必修4教案[下学期]

向量及其运算单元练习题
一、选择题（5×12＝60分）
1．若a、b是两个非零向量，则下列命题正确的是
A.a⊥ba·b＝0 B.a·b＝｜a｜·｜b｜
C.a·b＝－b·a D.a·b＝－｜a｜·｜b｜
2．设A(1，3)，B(－2，－3)，C(x，7)，若∥，则x的值为
A.0 B.3 C.15 D.18
3．已知｜a｜＝3，｜b｜＝4，(a＋b)·(a＋3b)＝33，则a与b的夹角为
A.30° B.60° C.120° D.150°
4．若｜a｜＝｜b｜＝1，a⊥b，且2a＋3b与ka－4b也互相垂直，则k的值为
A.－6 B.6 C.3 D.－3
5．设a＝(－1，2)，b＝(1，－1)，c＝(3，－2)且c＝pa＋qb，则实数p、q的值为
A.p＝4，q＝1 B.p＝1，q＝4 C.p＝0，q＝1 D.p＝1，q＝－4
6．若i＝(1，0)，j＝(0，1)，则与2 i＋3j垂直的向量是
A.3i＋2j B.－2i＋3j C.－3i＋2j D.2i－3j
7．已知向量i，j，i＝（1，0），j＝(0，1）与2i＋j垂直的向量为
A.2i－j B.i－2j C.2i＋j D.i＋2j
8．已知a2＝2a·b，b2＝2a·b，则a与b的夹角为
A.0° B.30° C.60° D.180°
9．已知a＝（1，2），b＝(x，1）若a＋2b与2a－b平行，则x为
A.1 B. C.2 D.－
10．把一个函数的图象先向右平移个单位，再向上平移2个单位后，得到图象的函数解析式为y＝sin(x＋)＋2，那么原来的函数解析式为
A.y＝sinx B.y＝cosx C.y＝sinx＋2 D.y＝cosx＋4
11．已知A、B、C三点在同一直线上，A（3，－6），B（－5，2），若点C的横坐标为6，则它的纵坐标为
A.－13 B.9 C.13 D.－9
12．向量（b·c)a－(a·c)b与向量c
A.平行但不相等 B.垂直
C.平行且相等 D.无法确定
二、填空题(4×6＝24分)
13．四边形ABCD满足＝，且｜｜＝｜｜，则四边形ABCD是 .
14．化简：（＋）＋（＋）＝
15．已知非零向量a，b，则（a－b)⊥(a＋b) .
16．已知下列命题：
①＋＋＝0；②若向量＝(－3，4)，则向左平移2个单位后的坐标仍是(－3，4)；③已知点M是△ABC的重心，则＋＋＝0
其中正确命题的序号是__________.
17．若向量a＝（3，－4），b＝(2，x)，e＝(2，y)，且a∥b，a⊥c，则b·c＝ .
18．设a，b，c是任意的非零平面向量，且互相不共线，则
①(a·b)c－(c·a)b＝0 ②|a|－|b|＜|a－b|
③(b·c)a－(c·a)b不与c垂直 ④（3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2
其中是真命题的有 .（把正确命题的序号都填上）
第Ⅱ卷
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
二、填空题
13 14 15
16 17 18
三、解答题(12＋13＋13＋14＋14＝66分)
19．化简：（－)－(－).
20．平行四边形ABCD中，M、N分别为DC、BC的中点，已知＝c，＝d，试用c，d表示和.
21．设两非零向量e1，e2
（1）试确定实数k，使ke1＋e2和e1＋ke2共线；
（2）若|e1|＝2，|e2|＝3，e1与e2的夹角为60°，试确定k，使ke1＋e2与e1＋ke2垂直.
22．某人在静水中游泳，速度为4千米/时，他在水流速度为4千米/时的河中游泳.
（1）若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？
（2）他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度为多少？
23．设两个非零向量e1与e2不共线，若＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)
求证A、B、D共线.
向量及其运算单元练习题答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A B C B B C B C B B D B
二、填空题
13．矩形 14． 15．|a|＝|b| 16．②③ 17．0 18．②④
三、解答题
19．化简：（－)－(－).
【解法一】 （统一成加法）
（－)－(－)＝－－＋
＝＋＋＋＝＋＋＋＝0.
【解法二】 （利用－＝）
（－)－(－)＝－－＋＝(－)－＋＝－＋＝＋＝0.
【解法三】 （利用＝－）
设O是平面内任一点，则
（－)－(－)＝－－＋＝（－）－（－）－（－）＋（－）＝0.
20．平行四边形ABCD中，M、N分别为DC、BC的中点，已知＝c，＝d，试用c，d表示和.
【解】 设＝a，＝b，则由M、N分别为DC、BC的中点可得：
＝a，＝b，在△ABN和△ADM中可得：
解得： 所以， ＝2d－c)，＝(2c－d).
21．设两非零向量e1，e2
（1）试确定实数k，使ke1＋e2和e1＋ke2共线；
（2）若|e1|＝2，|e2|＝3，e1与e2的夹角为60°，试确定k，使ke1＋e2与e1＋ke2垂直.
解：（1）当＝时，即k＝±1时，ke1＋e2与e1＋ke2共线
（2）当ke1＋e2与e1＋ke2垂直时，
即（ke1＋e2)·（e1＋ke2)＝0
∴ke12＋(k2＋1)e1e2＋ke22＝0
∴4k＋(k2＋1)·2·3cos60°－9k＝0
∴k＝.
22．某人在静水中游泳，速度为4千米/时，他在水流速度为4千米/时的河中游泳.
（1）若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？
（2）他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度为多少？
【解】 （1）如图（1），设人游泳的速度为，水流的速度为，以、为邻边作OACB，则此人的实际速度为
＋＝
由勾股定理知||＝8
且在Rt△ACO中，∠COA＝60°,
故此人沿与河岸成60°的夹角顺着
水流的方向前进，速度大小为8千米/时.
（2）如图（2）,设此人的实际速度为，水流速度为，则游速为＝－，在Rt△AOD中，||＝4，||＝4，||＝4，cosDAO＝.
∴∠DAO＝arccos.
故此人沿与河岸成arccos的夹角逆着水流方向前进，实际前进的速度大小为
4千米/时.
23．设两个非零向量e1与e2不共线，若＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)
求证A、B、D共线.
证明：∵＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)
∴＝＋＝5e1＋5e2＝5(e1＋e2)＝5
故根据两向量共线的充要条件可得∥
又与有一公共点B，
∴A、B、D三点共线.
- 6 -1.1.1 任意角（1）
一、课题：任意角(1)
二、教学目标：1.理解任意角的概念；
2.学会建立直角坐标系讨论任意角，判断象限角，掌握终边相同角的集合的书写。
三、教学重、难点：1．判断已知角所在象限；
2．终边相同的角的书写。
四、教学过程：
（一）复习引入：
1．初中所学角的概念。
2．实际生活中出现一系列关于角的问题。
（二）新课讲解：
1．角的定义：一条射线绕着它的端点，从起始位置旋转到终止位置，形成一个角，点 是角的顶点，射线分别是角的终边、始边。
说明：在不引起混淆的前提下，“角”或“”可以简记为．
2．角的分类：
正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；
负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；
零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它为零角。
说明：零角的始边和终边重合。
3．象限角：
在直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的非负轴重合，则
（1）象限角：若角的终边（端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。
例如：都是第一象限角；是第四象限角。
（2）非象限角（也称象限间角、轴线角）：如角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。例如：等等。
说明：角的始边“与轴的非负半轴重合”不能说成是“与轴的正半轴重合”。因为轴的正半轴不包括原点，就不完全包括角的始边，角的始边是以角的顶点为其端点的射线。
4．终边相同的角的集合：由特殊角看出：所有与角终边相同的角，连同角自身在内，都可以写成的形式；反之，所有形如的角都与角的终边相同。 从而得出一般规律：
所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，
即：任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和。
说明：终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。
5．例题分析：
例1 在与范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角？
（1） （2） （3）
解：（1），
所以，与角终边相同的角是，它是第三象限角；
（2），
所以，与角终边相同的角是角，它是第四象限角；
（3），
所以，角终边相同的角是角，它是第二象限角。
例2 若，试判断角所在象限。
解：∵
∴与终边相同， 所以，在第三象限。
例3 写出下列各边相同的角的集合，并把中适合不等式的元素写出来： （1）； （2）； （3）．
解：（1），
中适合的元素是
（2），
S中适合的元素是
（3）
S中适合的元素是
四、课堂练习：
五、课堂小结：1．正角、负角、零角的定义；
2．象限角、非象限角的定义；
3．终边相同的角的集合的书写及意义。
六、作业：
补充：1．（1）写出与终边相同的角的集合．
（2）若，且，求．
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- 2 -1.3.2 三角函数的图象和性质(6)
一、课题：正切函数的图象和性质（2）
二、教学目标：1．熟练掌握正切函数的图象和性质，并能用之解题；
2．渗透数形结合、换元法等基本数学思想方法。
三、教学重点：正切函数的图象和性质的运用。
四、教学过程：
（一）复习：
1．作正切曲线的简图，说明正切曲线的特征。
2．回忆正切函数的性质：定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性。
（二）新课讲解：
例1：求下列函数的周期：
（1） 答：。
（2） 答：。
说明：函数的周期．
【练习】P71．练习4．
例2：求函数的定义域、值域，指出它的周期性、奇偶性、单调性，并说明它的图象可以由正切曲线如何变换得到。
解：由得，
∴所求定义域为，值域为R，周期，是非奇非偶函数，在区间上是增函数。
将图象向右平移个单位，得到的图象；再将
的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），就得到函数的图象。
例3：用图象求函数的定义域。
解：由 得 ，
利用图象知，所求定义域为，
亦可利用单位圆求解。
五、课堂练习：
1．“”是“”的 既不充分也不必要 条件。
2．与函数的图象不相交的一条直线是（ D ）
3．函数的定义域是 ．
4．函数的值域是 ．
5．函数的奇偶性是 奇函数 ，周期是．
六、小结： 正切函数的性质。
七、作业：
A
T
0
0
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- 2 -第五课时 两角和与差的余弦、正弦、正切(二)
教学目标：
熟练掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，理解公式：asinθ＋bcosθ＝sin(θ＋)(其中cos＝ eq \f(a,) ，sin＝ eq \f(b,) ，θ为任意角)，灵活应用上述公式解决相关问题；培养学生的创新意识，提高学生的思维素质.
教学重点：
利用两角和与差的正、余弦公式将asinθ＋bcosθ形式的三角函数式化为某一个角的三角函数形式.
教学难点：
使学生理解并掌握将asinθ＋bcosθ形式的三角函数式化为某一个角的三角函数形式，并能灵活应用其解决一些问题.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
同学们，观察这些关系式，不难看出这是我们前面所推导出的两角和与差的正余弦公式的倒写形式.有时，直接利用这种形式可使问题简化，这节课，我们就来探讨一下它的运用.
Ⅱ.讲授新课
［例1］求证cosα＋sinα＝2sin(＋α)
证明：右边＝2sin(＋α)＝2(sincosα＋cossinα)
＝2(cosα＋sinα)＝左边
由于同学们对两角和的正弦公式比较熟悉，所以要证此式容易想到从右边往左边推证，只要将右边按照两角和的正弦公式展开，化简便可推出左边.
也可这样考虑：
左边＝cosα＋sinα＝2(cosα＋sinα)
＝2(sincosα＋cossinα)＝2sin(＋α)＝右边
(其中令＝sin，＝cos)
［例2］求证cosα＋sinα＝2cos(－α)
分析：要证此式，可从右边按照两角差的余弦公式展开，化简整理可证此式.
若从左边推证，则要仔细分析，构造形式
即：左＝cosα＋sinα＝2(cosα＋sinα)＝2(coscosα＋sinsinα)＝2cos(－α)
(其中令＝cos，＝sin)
综合上两例可看出对于左式cosα＋sinα可化为两种形式2sin(＋α)或2cos(－α)，右边的两种形式均为一个角的三角函数形式.那么，对于asinα＋bcosα的式子是否都可化为一个角的三角函数形式呢
推导公式：
asinα＋bcosα＝ ( eq \f(a,) sinα＋ eq \f(b,) cosα)
由于( eq \f(a,) )2＋( eq \f(b,) )2＝1，sin2θ＋cos2θ＝1
(1)若令 eq \f(a,) ＝sinθ，则 eq \f(b,) ＝cosθ
∴asinα＋bcosα＝ (sinθsinα＋cosθcosα)＝cos(θ－α)
或原式＝cos(α－θ)
(2)若令 eq \f(a,) ＝cos，则 eq \f(b,) ＝sin
∴asinα＋bcosα＝ (sinαcos＋cosαsin)＝sin(α＋)
例如：2sinθ＋cosθ＝ (sinθ＋cosθ)
若令cos＝，则sin＝
∴2sinθ＋cosθ＝(sinθcos＋cosθsin)＝sin(θ＋)
若令＝sinβ，则＝cosβ
∴2sinθ＋cosθ＝(cosθcosβ＋sinθsinβ)
＝cos(θ－β)或原式＝cos(β－θ)
看来，asinθ＋bcosθ均可化为某一个角的三角函数形式，且有两种形式.
Ⅲ.课堂练习
1.求证：
(1) sinα＋cosα＝sin(α＋) (2)cosθ＋sinθ＝sin(θ＋)
(3) (sinx＋cosx)＝2cos(x－)
证明：(1) sinα＋cosα＝sin(α＋)
证法一：左边＝sinαcos＋cosαsin＝sin(α＋)＝右边
证法二：右边＝sinαcos＋cosαsin＝sinα＋cosα＝左边
(2)cosθ＋sinθ＝sin(θ＋)
证法一：左边＝(cosθ＋sinθ)＝(sincosθ＋cossinθ)
＝sin(θ＋)＝右边
证法二：右边＝(sinθcos＋cosθsin)
＝(sinθ＋cosθ)＝cosθ＋sinθ＝左边
(3) (sinx+cosx)＝2cos(x－)
证法一：左边＝(sinx＋cosx)＝2(sinx＋cosx)
＝2(cosxcos＋sinxsin)＝2cos(x－)＝右边
证法二：右边＝2cos(x－)＝2(cosxcos＋sinxsin)
＝2(cosx＋sinx)＝(cosx＋sinx)＝左边
2.利用和(差)角公式化简：
(1) sinx＋cosx (2)3sinx－3cosx
(3) sinx－cosx (4) sin(－x)＋cos(－x)
解：(1) sinx＋cosx＝sinxcos＋cosxsin＝sin(x＋)
或：原式＝sinxsin＋cosxcos＝cos(x－)
(2)3sinx－3cosx＝6(sinx－cosx)
＝6(sinxcos－cosxsin)＝6sin(x－)
或：原式＝6(sinsinx－cos·cosx)＝－6cos(x＋)
(3) sinx－cosx＝2(sinx－cosx)
＝2sin(x－)＝－2cos(x＋)
(4) sin(－x)＋cos(－x)
＝［sin(－x)＋cos(－x)］
＝［sinsin(－x)＋coscos(－x)］
＝cos［－(－x)］＝cos(x－)
或：原式＝［sin(－x)cos＋cos(－x)sin］
＝sin［(－x)＋］＝sin(－x)
Ⅳ.课时小结
通过本节的学习，要在熟练掌握两角和与差的余弦、正弦、正切公式的基础上，推导并理解公式：asinθ＋bcosθ＝sin(θ＋)(其中cos＝ eq \f(a,) ，sin＝ eq \f(b,) )
mcosα＋nsinα＝cos(α－β)(其中cosβ＝ eq \f(m,) ，sinβ＝ eq \f(n,) )
进而灵活应用上述公式对三角函数式进行变形，解决一些问题.
Ⅴ.课后作业
课本P96 4，6；P101 4，5.
两角和与差的余弦、正弦、正切(一)
1．若0＜α＜β＜，sinα＋cosα＝a，sinβ＋cosβ＝b，则 ( )
A.ab＜1 B.a＞b C.a＜b D.ab＞2
2．已知α、β为锐角，cosα＝，cos(α＋β)＝－，求β的值.
3．已知＜β＜α＜，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin2α的值.
4．若A＋B＝，求（1＋tanA)(1＋tanB)的值.
5．化简 eq \f(－tan180,1＋tan180)
6．化简（tan10°－)
7．求证：＝tan(x－)
8．已知tanA与tan(－A＋)是x2＋px＋q＝0的解，若3tanA＝2tan(－A)，求p和q的值.
两角和与差的余弦、正弦、正切(一)答案
1．C
2．已知α、β为锐角，cosα＝，cos(α＋β)＝－，求β的值.
分析：注意观察α、α＋β及β间的关系，先求角β的一个三角函数值，再根据β为锐角求出β.
解：∵α为锐角，且cosα＝，∴sinα＝＝.
又∵α、β均为锐角，∴0＜α＋β＜π，且cos(α＋β)＝－，
∴sin(α＋β)＝＝.
则cosβ＝cos［(α＋β)－α］＝cos（α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα
＝(－)×＋×＝ ∴β＝.
评述：（1）在和（差）角公式的运用中,要注意和、差的相对关系，如（α＋β)－α＝β.
(2)求角的基本步骤：①求角的范围；②求角的一个三角函数值；③写出满足条件的角.
3．已知＜β＜α＜，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin2α的值.
分析：注意观察α－β、α＋β和2α间的关系，再选择适当的公式进行计算.
解：由题设知α－β为锐角，所以sin（α－β）＝，
又∵α＋β是第三象限角，∴cos(α＋β)＝－，
由2α＝(α＋β)＋(α－β)
得sin2α＝sin［(α－β)＋(α＋β)］
＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)＝－
评述：在三角变换中，角的变换是常用技巧，本题是将角2α变换成（α＋β)＋(α－β)，使已知式中的角与待求式中的角联系起来.
4．若A＋B＝，求（1＋tanA)(1＋tanB)的值.
分析：注意待求式与正切和角公式间的联系，将正切和角公式变形解题.
解：（1＋tanA)(1＋tanB)＝1＋tanA＋tanB＋tanAtanB.
又tan(A＋B)＝且A＋B＝
∴tan(A＋B)＝1 ∴tanA＋tanB＝1－tanAtanB
即tanA＋tanB＋tanAtanB＝1
∴(1＋tanA)(1＋tanB)＝2.
评述：在解题过程中要注意分析条件和结论中的关系式与有关公式间的联系，并将公式进行变形加以运用.
5．化简 eq \f(－tan180,1＋tan180)
分析：注意把所要化简的式子与正切的差角公式进行比较.
解： eq \f(－tan180,1＋tan180) ＝＝tan(60°－18°)＝tan42°
评述：在三角函数的化简与求值时，通常将常数写成角的一个三角函数，再根据有关公式进行变形.
6．化简（tan10°－)
分析：切、弦混合式在不能直接运用公式的情况下，考虑将切化弦.
解：原式＝（tan10°－tan60°) ＝(－)
＝·＝＝－2.
评述：（1）切化弦是三角函数化简的常用方法之一.
（2）把函数值化成tan60°在本题的化简中是必经之路.
7．求证：＝tan(x－)
证明：左边＝ eq \f(sin(x－),cos(x－)) ＝tan(x－)＝右边
或：右边＝tan(x－)＝ eq \f(sin(x－),cos(x－))
＝ eq \f(sinxcos－cosxsin,cosxcos＋sinxsin) ＝＝左边
8．已知tanA与tan(－A＋)是x2＋px＋q＝0的解，若3tanA＝2tan(－A)，求p和q的值.
分析：因为p和q是两个未知数，所以须根据题设条件列出关于p、q的方程组，解出p、q.
解:设t＝tanA，则tan(－A)＝＝
由3tanA＝2tan(－A) 得3t＝
解之得t＝或t＝－2.
当t＝时，tan(－A)＝＝，
P＝－［tanA＋tan(－A)］＝－，q＝tanAtan(－A)＝ ×＝.
当t＝－2时，tan(－A)＝ ＝－3，
P＝－［tanA＋tan(－A)］＝5，q＝tanAtan(－A)＝6
∴满足条件的p、q的值为：
评述：(1)“列方程求解未知数”是基本的数学思想方法.
(2)如果tanα、tanβ是某一元二次方程的根，则由韦达定理可与公式T(α+β)联系起来；若cosα、sinα是某一元二次方程的根，则由韦达定理与公式sin2α＋cos2α＝1联系起来.
- 8 -第四课时 两角和与差的余弦、正弦、正切(一)
教学目标：
掌握S（α±β），Ｃ（α±β)及T（α±β）的灵活应用，综合应用上述公式的技能；培养学生观察、推理的思维能力，使学生认识到事物间是有联系的，培养学生判断、推理的能力、加强化归转化能力的训练，提高学生的数学素质.
教学重点：
S（α±β），C（α±β），T（α±β）的灵活应用.
教学难点：
灵活应用和、差角公式进行化简、求值、证明.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
请同学们回顾一下这一段时间我们一起所学的和、差角公式.
sin（α±β）＝sinαcosβ±cosαsinβ(S（α±β））
cos（α±β）＝cosαcosβsinαsinβ(C（α±β））
tan（α±β）＝ eq \f(tanα±tanβ,1tanαtanβ) （T（α±β））
Ⅱ.讲授新课
这三个公式即为两角和(差)公式.下面请同学们思考这一组公式的区别与联系.首先，可考虑一下这组公式的推导体系.
我们为推导这组公式先引入平面内两点间距离公式，然后利用单位圆，三角函数的定义，最先推导出余弦的和角公式Ｃ（α＋β），然后按如下顺序推导其余公式：
Ｃ（α＋β）→Ｃ（α－β）→S（α＋β）→S（α－β）→T（α＋β）→T（α－β）.
它们又有什么内在联系呢
下面，结合例题来看一下如何灵活运用这组公式：
［例1］求证＝1－
分析：证明三角恒等式，一般要遵循“由繁到简”的原则，另外“化弦为切”与“化切为弦”也是在三角式的变换中经常使用的方法.
证明：左边＝
＝＝1－＝1－＝右边，
∴原式成立.
或：右边＝1－＝
＝
＝＝左边 ∴原式成立.
［例2］已知sinβ＝m·sin（2α＋β），求证：tan（α＋β）＝tanα
分析：仔细观察已知式与所证式中的角，不要盲目展开，要有的放矢，看到已知式中的2α＋β可化为结论式中的α＋β与α的和，不妨将α＋β作为一整体来处理.
证明：由sinβ＝msin（2α＋β）
sin［（α＋β）－α］＝ｍsin［（α＋β）＋α］
sin（α＋β）cosα－cos（α＋β）sinα
＝ｍ［sin（α＋β）cosα＋cos（α＋β）sinα］
（1－m）·sin（α＋β）cosα＝（1＋m）·cos（α＋β）sinα
tan（α＋β）＝tanα
评述：此方法是综合法，利用综合法证明恒等式时，必须有分析的基础，才能顺利完成证明.
［例3］求tan70°＋tan50°－tan50°tan70°的值.
分析：观察所求式子，联想有关公式T（α＋β），注意到它的变形式：
tanα＋tanβ＝tan（α＋β）（1－tanαtanβ）.运用之可求解.
解：原式＝tan（70°＋50°）（1－tan70°tan50°）－tan50°tan70°
＝－（1－tan70°tan50°）－tan50°tan70°
＝－＋tan70°tan50°－tan50°tan70°＝－
∴原式的值为－.
Ⅲ.课堂练习
1.化简下列各式：
(1)cos（α＋β）cosβ＋sin（α＋β）sinβ
(2)－－sinx－cosx
解：(1)cos（α＋β）cosβ＋sin（α＋β）sinβ
＝cos［（α＋β）－β］＝cosα
这一题可能有些学生要将cos（α＋β）与?sin（α＋β）?按照两角和的正、余弦公式展开，从而误入歧途，老师可作适当提示，让学生仔细观察此题结构特征，就整个式子直接运用公式以化简.
(2) －－sinx－cosx
＝－ eq \f(sinx＋cosx,（）2－1) －sinx－cosx
＝－－（sinx＋cosx）
＝－（sinx＋cosx）＝0
这一题目运用了解三角函数题目时常用的方法“切割化弦”.
2.证明下列各式
(1) ＝
(2)tan（α＋β）tan（α－β）（1－tan2αtan2β）＝tan2α－tan2β
(3) －2cos（α＋β）＝
证明：(1)右边＝ eq \f(＋,1＋) ＝
＝＝左边
(2）左边＝tan（α＋β）tan（α－β）（1－tan2αtan2β）
＝××（1－tan2αtan2β）
＝×（1－tan2αtan2β）
＝tan2α－tan2β＝右边
(3)左边＝－2cos（α＋β）
＝
＝＝
＝＝右边
3.(1)已知sin（α＋45°）＝，45°＜α＜135°，求sinα.
(2)求tan11°＋tan34°＋tan11°tan34°的值.
解：(1)∵45°＜α＜135°， ∴90°＜α＋45°＜180°
又∵sin（α＋45°）＝， ∴cos（α＋45°）＝－
∴sinα＝sin［（α＋45°）－45°］
＝sin（α＋45°）cos45°－cos（α＋45°）sin45°
＝×＋×＝
这题若仔细分析已知条件，可发现所给α的取值范围不能确定cosα的取值，所以需要将α化为（α＋45°）－45°，整体运用α＋45°的三角函数值，从而求得sinα的值.
（2）tan11°＋tan34°＋tan11°tan34°
＝tan（11°＋34°）（1－tan11°tan34°）＋tan11°tan34°
＝tan45°（1－tan11°tan34°）＋tan11°tan34°
＝1－tan11°tan34°＋tan11°tan34°＝1
注意运用公式的等价变形式.
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，大家应初步掌握和、差角公式的基本运用.
Ⅴ.课后作业
课本P106 5，6，7，8
PAGE2004－2005学年度第二学期单元测验（一）
高一年级数学
一、选择题：每小题5分，共40分。
1．下列各式中,值为的是 （ ）
A． B． C． D．
2．若是锐角，且满足，则的值为 （ ）
A． B． C． D．
3．下列四个命题中的假命题是 （ ）
A．不存在无穷多个角和,使得
B．存在这样的角和,使得
C．对于任意角和,都有
D．不存在这样的角和,使得
4．如果，，那么的值为 （ ）
A． B． C． D．
5．已知，则的值为 （ ）
A． B． C． D．
6．已知，则的值等于 （ ）
A． ． ． ．
7．把中的换成，换成后，可化简为 （ ）
A． B．
C． D．
8．函数的最大值为 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题：每小题5分，共20分。
9．已知，且是第三象限角,则
的值等于 ．
10．若锐角,满足，则 ．
11．计算，其值为 ．
12．已知函数，那么的值等于 ．
三、解答题：本大题共4小题，每小题10分，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
13．求证:．
14．已知，，求的值.
15．已知，且，试用表示的值.
16．已知和是关于的方程的两个根，
求的值.
PAGE
- 1 -第一课时 两角和与差的余弦
教学目标：
掌握两角和与差的余弦公式，能用公式进行简单的求值；培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.
教学重点：
余弦的差角公式及简单应用
教学难点：
余弦的差角公式的推导
教学过程：
Ⅰ.课题导入
在前面咱们共同学习了任意角的三角函数，在研究三角函数时，我们还常常会遇到这样的问题：已知任意角α、β的三角函数值，如何求α＋β、α－β或2α的三角函数值 即：α＋β、α－β或2α的三角函数值与α、β的三角函数值有什么关系
Ⅱ.讲授新课
接下来，我们继续考虑如何把两角差的余弦cos（α－β）用α、β的三角函数来表示的问题.
在直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边分别作角α、β，其终边分别与单位圆交于P1（cosα，sinα）、P2（cosβ，sinβ），则∠P1OP2＝α－β.由于余弦函数是周期为2π的偶函数，所以，我们只需考虑0≤α－β＜π的情况.
设向量a＝＝（cosα，sinα），b＝＝（cosβ，sinβ），则：
a·b＝︱a︱︱b︱cos （α－β）＝cos （α－β）
另一方面，由向量数量积的坐标表示，有
a·b＝cosαcosβ＋sinαsinβ
所以：cos （α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ （C（α－β））
两角和的余弦公式对于任意的角α、β都是成立的，不妨，将此公式中的β用－β代替，看可得到什么新的结果
cos ［α－（－β）］
＝cos αcos （－β）－sinαsin（－β）
＝cos αcos β－sinαsinβ
即：cos （α＋β）＝cos αcos β－sinαsinβ （C（α＋β））
请同学们观察这一关系式与两角差的余弦公式，看这两式有什么区别和联系
(1)这一式子表示的是任意两角α与β的差α－β的余弦与这两角的三角函数的关系.
(2)这两式均表示的是两角之和或差与这两角的三角函数的关系.
请同学们仔细观察它们各自的特点.
(1)两角之和的余弦等于这两角余弦之积与其正弦之积的差.
(2)两角之差的余弦等于这两角余弦之积与其正弦之积的和.
不难发现，利用这一式子也可求出一些与特殊角有关的非特殊角的余弦值.
如：求cos 15°可化为求cos（45°－30°)或cos（60°－45°）利用这一式子而求得其值.
即：cos 15°＝cos（45°－30°）
＝cos 45°cos 30°＋sin45°sin30°
＝·＋·＝
或：cos 15°＝cos （60°－45°）
＝cos 60°cos 45°＋sin60°sin45°
＝·＋·＝
请同学们将此公式中的α用代替，看可得到什么新的结果
cos（－α）＝coscos α＋sinsinα＝sinα
即：cos（－α）＝sinα
再将此式中的α用－α代替，看可得到什么新的结果.
cos［－（－α）］＝cosα＝sin（－α）
即：sin（－α）＝cosα
Ⅲ.课堂练习
1.求下列三角函数值
①cos （45°＋30°）②cos 105°
解：①cos（45°＋30°）＝cos 45°cos 30°－sin45°sin30°
＝·－·＝
②cos 105°＝cos （60°＋45°）＝cos 60°cos 45°－sin60°sin45°
＝·－·＝
2.若cos αcos β＝－，cos（α＋β）＝－1，求sinαsinβ.
解：由cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ
得：sinαsinβ＝cosαcosβ－cos（α＋β）
将cosαcosβ＝－，cos（α＋β）＝－1代入上式可得：sinαsinβ＝
3.求cos 23°cos 22°－sin23°sin22°的值.
解：cos 23°cos 22°－sin23°sin22°＝cos（23°＋22°）＝cos 45°＝
4.若点P(－3，4)在角α终边上，点Q（－1，?－2）在角β的终边上，求cos （α＋β）的值.
解：由点P（－3，4）为角α终边上一点；点Q（－1，－2)为角β终边上一点，
得：cos α＝－，sinα＝；cosβ＝－，sinβ＝－.
∴cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ
＝（－）×（－）－×（－）＝
5.已知cos（α－β）＝，cos（α＋β）＝－，求：tanα·tanβ的值.
解：由已知cos（α－β）＝，cos（α＋β）＝－
可得：cos（α－β）＋cos（α＋β）＝－＝
即：2cosαcosβ＝ ①
cos（α－β）－cos（α＋β）＝1
即：2sinαsinβ＝1 ②
由②÷①得＝tanα·tanβ＝
∴tanα·tanβ的值为.
6.已知cosα－cosβ＝，sinα－sinβ＝－，求：cos （α－β）的值.
解：由已知cosα－cosβ＝
得：cos 2α－2cos αcos β＋cos 2β＝ ①
由sinα－sinβ＝－
得：sin2α－2sinαsinβ＋sin2β＝ ②
由①＋②得：2－2（cosαcosβ＋sinαsinβ）＝
即：2－2cos（α－β）＝
∴cos（α－β）＝
Ⅳ.课时小结
两公式的推导及应用.
Ⅴ.课后作业
课本P96习题 1，2，3
两角和与差的余弦
1．下列命题中的假命题是 （ ）
A.存在这样的α和β的值，使得cos（α＋β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ
B.不存在无穷多个α和β的值，使得cos（α＋β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ
C.对于任意的α和β，都有cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ
D.不存在这样的α和β值，使得cos（α＋β）≠cosαcosβ－sinαsinβ
2．在△ABC中，已知cos A·cos B＞sinA·sinΒ，则△ABＣ一定是钝角三角形吗？
3．已知sinα＋sinβ＝，求cosα＋cosβ的最大值和最小值.
4．已知：α∈（，），β∈（0，），且cos（－α）＝，sin（＋β）＝－
求：cos （α＋β）.
5．已知：α、β为锐角，且cosα＝，cos（α＋β）＝－，求cosβ的值.
6．在△ABC中，已知sinA＝，cosB＝，求cos C的值.
两角和与差的余弦答案
1．B
2．在△ABC中，已知cos A·cos B＞sinA·sinΒ，则△ABＣ一定是钝角三角形吗？
解：∵在△ABC中，∴0＜C＜π，且A＋B＋C＝π
即：A＋B＝π－C
由已知得cos A·cos B－sinA·sinB＞0，即：cos（A＋B）＞0
∴cos（π－C）＝－cos C＞0，即cos C＜0
∴C一定为钝角
∴△ABC一定为钝角三角形.
3．已知sinα＋sinβ＝，求cosα＋cosβ的最大值和最小值.
分析：令cosα＋cosβ＝x，然后利用函数思想.
解：令cosα＋cosβ＝x，则得方程组：
eq \b\lc\{(\a\al(cosα＋cosβ＝x ①,sinα＋sinβ＝ ②))
①2＋②2得2＋2cos (α－β)＝x2＋
∴cos (α－β)＝
∵|cos (α－β)|≤1， ∴| |≤1
解之得：－≤x≤
∴cosα＋cosβ的最大值是，最小值是－.
4．已知：α∈（，），β∈（0，），且cos（－α）＝，sin（＋β）＝－
求：cos （α＋β）.
解：由已知：α∈（，）
－α∈（－，－）－α∈（－，0）
又∵cos （－α）＝， ∴sin（－α）＝－
由β∈（0，）＋β∈（，）
又∵sin（＋β）＝sin［π＋（＋β）］＝－sin（＋β）＝－
即sin（＋β）＝， ∴cos（＋β）＝
又（＋β）－（－α）＝α＋β
∴cos（α＋β）＝cos［（＋β）－（－α）］
＝cos（＋β）cos（－α）＋sin（＋β）sin（－α）
＝×＋×（－）＝－
5．已知：α、β为锐角，且cosα＝，cos（α＋β）＝－，求cosβ的值.
解：∵0＜α·β＜，∴0＜α＋β＜π
由cos （α＋β）＝－，得sin（α＋β）＝
又∵cosα＝，∴sinα＝
∴cosβ＝cos［（α＋β）－α］
＝cos（α＋β）cos α＋sin（α＋β）sinα
＝（－）×＋×＝
评述：在解决三角函数的求值问题时，一定要注意已知角与所求角之间的关系.
6．在△ABC中，已知sinA＝，cosB＝，求cos C的值.
分析：本题中角的限制范围就隐含在所给的数字中，轻易忽视，就会致错.
解：由sinA＝＜知0°＜A＜45°或135°＜A＜180°，
又cos B＝＜，∴60°＜B＜90°，∴sinB＝
若135°＜A＜180°则A＋B＞180°不可能.
∴0°＜A＜45°，即cos A＝.
∴cos C＝－cos（A＋B）＝.
- 6 -第九课时 平面向量的数量积及运算律(一)
教学目标：
掌握平面向量的数量积及其几何意义，掌握平面向量数量积的重要性质及运算律，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件.
教学重点：
平面向量的数量积定义.
教学难点：
平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用.
教学过程：
Ⅰ.课题引入
在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W可由下式计算：
W＝｜F｜·｜s｜cosθ
其中θ是F与s的夹角.
从力所做的功出发，我们引入向量数量积的概念.
Ⅱ.讲授新课
1.两个非零向量夹角的概念
已知非零向量a与b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ (0≤θ≤π)叫a与b的夹角.
说明：(1)当θ＝0时，a与b同向；
(2)当θ＝π时，a与b反向；
(3)当θ＝时，a与b垂直，记a⊥b；
(4)注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.
2.数量积的定义
已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，则数量｜a｜｜b｜cosθ叫a与b的数量积，记作a·b，即有a·b＝｜a｜｜b｜cosθ(0≤θ≤π).
说明：(1)零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0；
(2)符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.
3.数量积的几何意义
两个向量的数量积等于其中一个向量的长度与另一个向量在其上的投影值的乘积.
说明：这个投影值可正可负也可为零，所以我们说向量的数量积的结果是一个实数.
4.数量积的重要性质
设a与b都是非零向量，e是单位向量，θ0是a与e夹角，θ是a与b夹角.
①e·a＝a·e＝｜a｜cosθ0
②a⊥ba·b＝0
③当a与b同向时，a·b＝｜a｜｜b｜
当a与b反向时，a·b＝－｜a｜｜b｜
特别地，a·a＝｜a｜2或｜a｜＝＝
④cosθ＝
⑤｜a·b｜≤｜a｜｜b｜
说明：上述性质要求学生结合数量积的定义自己尝试推证.
5.数量积的运算律
已知a，b，c和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：
①a·b＝b·a (交换律)
②(λa)·b＝λ (a·b)＝a·(λb) (数乘结合律)
③(a＋b)·c＝a·c＋b·c (分配律)
说明：(1)一般地，(a·b)c≠a(b·c)
(2)a·c＝b·c，c≠0a＝b
(3)有如下常用性质：a2＝｜a｜2，
(a＋b)·(c＋d)＝a·c＋a·d＋b·c＋b·d
(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2
［师］为使大家进一步熟悉数量积的性质，加深对数量积定义的理解，我们来看下面的例题.
［例题］判断正误，并简要说明理由.
①a·0＝0；②0·a＝0；③0－＝；④｜a·b｜＝｜a｜｜b｜；⑤若a≠0，则对任一非零b有a·b≠0；⑥a·b＝0，则a与b中至少有一个为0；⑦对任意向量a，b，c都有(a·b)c＝a(b·c)；⑧a与b是两个单位向量，则a2＝b2.
分析：根据数量积的定义、性质、运算律，逐一判断.
解：上述8个命题中只有③⑧正确；
对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·a＝0；
对于②：应有0·a＝0；
对于④：由数量积定义有｜a·b｜＝｜a｜｜b｜·｜cosθ｜≤｜a｜｜b｜，这里θ是a与b的夹角，只有θ＝0或θ＝π时，才有｜a·b｜＝｜a｜·｜b｜；
对于⑤：若非零向量a、b垂直，有a·b＝0；
对于⑥：由a·b＝0可知a⊥b可以都非零；
对于⑦：若a与c共线，记a＝λc.
则a·b＝(λc)·b＝λ (c·b)＝λ (b·c)，
∴(a·b)c＝λ (b·c)c＝(b·c)λ c＝(b·c)a
若a与c不共线，则(a·b)c≠(b·c)a.
评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.
说明：
1.概念辨析：正确理解向量夹角定义
对于两向量夹角的定义，两向量的夹角指从同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角，因对向量夹角定义理解不清而造成解题错误是一些易见的错误，如：
［例1］已知△ABC中，a＝5，b＝8，C＝60°，求·.
对此题，有同学求解如下：
解：如图，∵｜｜＝a＝5，｜｜＝b＝8，C＝60°，
∴·＝｜｜｜｜cosC＝5×8cos60°＝20.
分析：上述解答，乍看正确，但事实上确实有错误，原因就在于
没能正确理解向量夹角的定义，即上例中与两向量的起点并不同，因此，C并不是它们的夹角，而正确的夹角应当是C的补角120°.
2.向量的数量积不满足结合律
分析：若有(a·b)·c＝a·(b·c)，设a、b夹角为α，b、c夹角为β，则
(a·b)·c＝｜a｜·｜b｜cosα·c，a·(b·c)＝a·｜b｜｜c｜cosβ.
∴若a＝c，α＝β，则｜a｜＝｜c｜，进而有：(a·b)c＝a·(b·c)
这是一种特殊情形，一般情况则不成立.举反例如下：
已知｜a｜＝1，｜b｜＝1，｜c｜＝，a与b夹角是60°，b与c夹角是45°，则：
(a·b)·c＝(｜a｜｜b｜cos60°)·c＝c，
a·(b·c)＝(｜b｜｜c｜cos45°)·a＝a
而c≠a，故(a·b)·c≠a·(b·c)
3.等式的性质“实数a、b、c，且ab＝ac，a≠0推出b＝c”这一性质在向量推理中不正确.
［例2］举例说明a·b＝a·c，且a≠0，推不出b＝c.
解：取｜a｜＝1，｜b｜＝，a与b的夹角为45°，｜c｜＝，a与c的夹角为0°，显然a·b＝a·c＝，但b≠c.
4.“如果ab＝0，那么a，b中至少有一个为零”这一性质在向量推理中不正确.
［例3］已知｜a｜＝2，｜b｜＝3，a与b的夹角为90°，求a·b.
解：a·b＝2×3×cos90°＝0，显然a≠0，b≠0，由a·b＝0可推出以下四种可能：
①a＝0，b≠0; ②b＝0，a≠0;
③a＝0且b＝0; ④a≠0且b≠0但a⊥b.
Ⅲ.课堂练习
课本P80练习1，2，3
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，要求大家掌握平面向量的数量积的定义、重要性质、运算律，并能运用它们解决相关的问题.
Ⅴ.课后作业
课本P82习题 1，2，3
- 3 -1.3.3 函数的图象（2）
一、课题：函数的图象（2）
二、教学目标：1．明确函数中的物理意义及它们对函数的图象各有什么影响；
2．逐步掌握由，的图象，通过图象的伸缩平移变换得到函数，的图象的方法。
三、教学重、难点：函数图象的伸缩、平移变换。
四、教学过程：
（一）复习：
1．型函数的图象；
2．型函数的图象；
3．型函数的图象。
（二）新课讲解：
1．的物理意义
当，（其中，）表示一个振动量时，表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅，往复振动一次需要的时间称为这个振动的周期，单位时间内往复振动的次数，称为振动的频率。称为相位，时的相位称为初相。
2．图象的变换
例 画出函数的简图。
解：函数的周期为，先画出它在长度为一个周期内的闭区间上的简图，再左右拓展即可，先用五点法画图：
函数的图象可看作由下面的方法得到的：
①图象上所有点向左平移个单位，得到的图象上；②再把图象上所点的横坐标缩短到原来的，得到的图象；③再把图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍，得到的图象。
一般地，函数，的图象（其中，）的图象，可看作由下面的方法得到：
①把正弦曲线上所有点向左（当时）或向右（当时）平行移动个单位长度；
②再把所得各点横坐标缩短（当时）或伸长（当时）到原来的倍（纵坐标不变）；
③再把所得各点的纵坐标伸长（当时）或缩短（当时）到原来的倍（横坐标不变）。
即先作相位变换，再作周期变换，再作振幅变换。
问题：以上步骤能否变换次序？
∵，所以，函数的图象还可看作由下面的方法得到的：
①图象上所点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象；
②再把函数图象上所有点向左平移个单位，得到函数的图象；
③再把函数的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍，得到的图象。
五、课堂练习：
（1）函数的图象可由函数的图象经过怎样的变换得到？
（2）函数的图象可由函数的图象经过怎样的变换得到？
（3）将函数的图象上所有的点 得到的图象，再将
的图象上的所有点 可得到函数的图象。
（4）由函数的图象怎样得到的图象？
六、小结：1．函数与的图象间的关系。
七、作业：
PAGE
- 2 -第三课时 弧度制(一)
教学目标：
理解1弧度的角、弧度制的定义，掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算，熟记特殊角的弧度数；使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但是互相联系的、辩证统一的.进一步加强对辩证统一思想的理解.
教学重点：
使学生理解弧度的意义，正确地进行角度与弧度的换算.
教学难点：
弧度的概念及其与角度的关系.
教学过程：
Ⅰ.课题导入
在初中几何里，我们学习过角的度量，1°的角是怎样定义的呢
周角的为1°的角.
这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，今天我们再来学习另一种在数学和其他学科中常用的度量角的单位制——弧度制.
Ⅱ.讲授新课
［师］弧度制的单位符号是rad，读作弧度.
我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.即用弧度制度量时，这样的圆心角等于1 rad.
请同学们考虑一下，周角的弧度数是多少 平角呢 直角呢
因为周角所对的弧长l＝2πr，所以周角的弧度数是＝2π.同理平角的弧度数是＝π，直角的弧度是.
由此可知，任一0°到360°的角的弧度数x（x＝），必然适合不等式0≤x＜2π.角的概念推广后，弧度的概念也随之推广.如果圆心角表示一个负角，且它所对的弧长l＝4πr时，这个圆心角的弧度数是多少呢 此时，我们应该先求出这个角的绝对值，然后在其前面放上“－”号，即所求圆心角的弧度数是－＝－＝－4π
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是零.任一角α的弧度数的绝对值｜α｜＝，其中l是以角α为圆心角时所对弧的长，r是圆的半径，这种以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制.
从定义中我们可以看出，弧度制实质上是用弧长与其半径的比值来反映弧所对圆心角的大小，这个比值与半径的大小有没有关系呢
这个比值与半径的大小无关而只与角的大小有关，即这样定义是合理的.
用角度制和弧度制度量零角，单位不同，但量数相同(都是0)，用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量数也不同.下面我们来讨论角度与弧度的换算.
因为周角的弧度数是2π，而在角度制下它是360°，所以360°＝2π rad.
180°＝π rad1°＝rad 角度化弧度时用之.
1 rad＝（）° 弧度化角度时用之
Ⅲ.例题分析
［例1］把67°30′化成弧度
解：∵67°30′＝（67）°
∴67°30′＝rad×67＝π rad.
［例2］把 π rad化成度
解：π rad＝π×（）°＝×180°＝108°
注意：
(1)今后用弧度制表示角时，或者说“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或符号“rad”可以省略不写，而只写这个角的弧度数.(此时的弧度在形式上是不名数，但应当把它理解为名数.如α＝2，即α是2 rad的角，sin3表示3 rad角的正弦，π＝180°即π rad＝180°).但用角度制表示角时，或者用“度”为单位度量角时，“度”即“°”不能省去.
(2)用弧度制表示角时，或者说用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数.
(3)今后在表示与角α终边相同的角时，有弧度制与角度制两种单位制，要根据角α的单位来决定另一项的单位，即两项所用的单位制必须一致，绝对不能出现k·360°＋或者
2kπ－60°一类的写法.
Ⅳ.课堂练习
课本P10练习 1、2、3、4、7
对于练习中的1题再补充将60°、135°、150°化成弧度；3题再补充将11°15′化成弧度.
Ⅴ.课堂小结
本节课我们学习了弧度制的定义，角度与弧度的换算公式与方法.应该注意，角度制与弧度制是度量角的两种不同的单位制，它们是互相联系的，辩证统一的；角度与弧度的换算，关键要理解并牢记180°＝π rad这一关系式，由此可以很方便地进行角度与弧度的换算；三个注意的问题，同学们要切记；特殊角的弧度数，同学们要熟记.
Ⅵ.课后作业
（一）课本P10习题 3、6、7
（二）预习内容：课本P9
弧度制(一)
1．角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的正半轴上，当终边过点A（，）时，角α是 （ ）
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
2．若－＜α＜β＜，则α－β的范围是 （ ）
A.－π＜α－β＜0 B.－＜α－β＜0
C.－＜α－β＜π D.－π＜α－β＜
3．设集合M＝{α|α＝－，k∈Z}，N＝{α|－π＜α＜π}，则M∩N等于 （ ）
A.{－，} B.{－，}
C.{－，，－，} D.{ ，－ }
4. 下列各组角中，终边相同的角是 （ ）
A. 与kπ＋ (k∈Z) B.kπ±与 (k∈Z)
C.(2k＋1)π与(4k±1)π (k∈Z) D.kπ＋与2kπ± (k∈Z)
5．若角α、β的终边关于y轴对称，则α、β的关系一定是（其中k∈Z） （ ）
A.α＋β＝π B.α－β＝
C.α－β＝（2k＋1）π D.α＋β＝(2k＋1)π
6．在与210°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为_________.
7．4弧度角的终边在第 象限.
8．－πrad化为角度应为 .
9．钝角α的终边与它的5倍角的终边关于y轴对称，则α＝_________.
10．自行车大链轮有48个齿，小链轮有20个齿，彼此由链条连接，当大链轮转过一周时，小链轮转过的角度是多少度？多少弧度?？
11．如下图，圆周上点A依逆时针方向做匀速圆周运动.已知A点1分钟转过θ(0＜θ＜π)角，2分钟到达第三象限，14分钟后回到原来的位置，求θ.
弧度制(一)答案
1．B 2．A 3．C 4. C 5．D 6．－ 7．三 8．－345° 9．
10．自行车大链轮有48个齿，小链轮有20个齿，彼此由链条连接，当大链轮转过一周时，小链轮转过的角度是多少度？多少弧度?？
分析：在相同时间内，两轮转动的齿数相同，是解决问题的关键，因此，两轮转过的圈数之比与它们的齿数成反比，使问题得以解决.
解：由于大链轮与小链轮在相同时间内转过的齿数相同，所以两轮转过的圈数之比与它们的齿数成反比，于是大轮转过的圈数：小转轮过的圈数=20∶48
据此解得当大轮转1周时，小轮转2.4周.
故小轮转过的角度为360°×2.4＝864°
小轮转过的弧度为864°×＝rad.
答：当大链轮转过一周时，小链轮转过的角度是864°，弧度是rad.
11．如下图，圆周上点A依逆时针方向做匀速圆周运动.已知A点1分钟转过θ(0＜θ＜π)角，2分钟到达第三象限，14分钟后回到原来的位置，求θ.
解：A点2分钟转过2θ，且π＜2θ＜
14分钟后回到原位，∴14θ＝2kπ,
θ＝，且＜θ＜，
∴θ＝或
- 5 -第十四课时 正弦函数、余弦函数的图象和性质应用
教学目标：
掌握正、余弦函数的性质，灵活利用正、余弦函数的性质；渗透数形结合思想，培养联系变化的观点，提高数学素质.
教学重点：
1.熟练掌握正、余弦函数的性质；
2.灵活应用正、余弦函数的性质.
教学难点：
结合图象灵活运用正、余弦函数性质.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
回顾正、余弦函数的图象及其性质：定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性等等.
下面结合例子看其应用：
［例1］不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0.
(1)sin(－)－sin(－)；
(2)cos(－)－cos(－).
解：(1)∵－＜－＜－＜.
且函数y＝sinx，x∈［－，］是增函数.
∴sin(－)＜sin(－)， 即sin(－)－sin(－)＞0
(2)cos(－)＝cos＝cos
cos(－)＝cos＝cos
∵0＜＜＜π，且函数y＝cosx，x∈［0，π］是减函数
∴cos＜cos， 即cos－cos＜0
∴cos(－)－cos(－)＜0
［例2］函数y＝sin(2x＋)的图象的一条对称轴方程是 ( )
A.x＝－ B.x＝－ C.x＝ D.x＝
方法一：运用性质1′，y＝sin(2x＋)的所有对称轴方程为xk＝－π(k∈Z)，令k＝－1，得x－1＝－，对于B、C、D都无整数k对应.
故选A.
方法二：运用性质2′，y＝sin(2x＋)＝cos2x，它的对称轴方程为xk＝ (k∈Z)，令k＝－1，得x－1＝－，对于B、C、D都无整数k对应，故选A.
［例3］求函数y＝的值域.
解：由已知：cosx＝｜｜＝｜cosx｜≤1
()2≤13y2＋2y－8≤0
∴－2≤y≤ ∴ymax＝，ymin＝－2
Ⅲ. 课时小结
通过本节学习，要掌握一结论：形如y＝Asin(ωx＋)(A＞0，ω≠0)的T＝；另外，要注意正、余弦函数性质的应用.
Ⅳ. 课后作业
课本P46习题 6、7、12、13
正弦函数、余弦函数的图象和性质应用
1．若<α<，以下不等式成立的是 （ ）
A.cosαC.cosα2．若sinx＝，则实数m的取值范围是 （ ）
A.［0，+∞) B.［－1，1］ C.(－∞，－1］∪［1，+∞) D.［0，1］
3．下列函数中，图象关于原点对称的是 （ ）
A.y＝－｜sinx｜ B.y＝－x·sin｜x｜
C.y＝sin(－｜x｜) D.y＝sin｜x｜
4．如果｜x｜≤，那么函数y＝cos2x＋sinx的最小值为 （ ）
A. B. C.－ D.－1
5．函数值sin1，sin2，sin3，sin4的大小顺序是 .
6．函数y＝的定义域是 .
7．cos，－cos，sin的大小关系是 .
8．函数y＝cos(sinx)的奇偶性是 .
9．已知＝cosα－sinα，则α的取值范围是 .
10．求函数y＝的值域.
11．已知y＝a－bcos3x的最大值为 ，最小值为－，求实数a与b的值.
12．(1)函数y＝sin(x＋)在什么区间上是增函数
(2)函数y＝3sin( －2x)在什么区间是减函数
正弦函数、余弦函数的图象和性质应用答案
1．A 2．A 3．B 4．B 5．sin2>sin1>sin3>sin4 6．［2kπ＋，2kπ＋］(k∈Z)
7．cos10．（－∞，］∪［3，+∞)
11．已知y＝a－bcos3x的最大值为 ，最小值为－，求实数a与b的值.
解：∵最大值为a＋|b|，最小值为a－|b|
∴ ∴a＝，b＝±1
12．(1)函数y＝sin(x＋)在什么区间上是增函数
(2)函数y＝3sin( －2x)在什么区间是减函数
解：(1)函数y＝sinx在下列区间上是增函数：
2kπ－＜x＜2kπ＋ (k∈Z)
∴函数y＝sin(x＋)为增函数，当且仅当2kπ－＜x＋＜2kπ＋
即2kπ－＜x＜2kπ＋ (k∈Z)为所求.
(2)∵y＝3sin(－2x)＝－3sin(2x－)
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋
得kπ－≤x≤kπ＋ (k∈Z)为所求.
或：令u＝－2x，则u是x的减函数
又∵y＝sinu在［2kπ－，2kπ＋］(k∈Z)上为增函数，
∴原函数y＝3sin(－2x)在区间［2kπ－，2kπ＋］上递减.
设2kπ－≤－2x≤2kπ＋
解得kπ－≤x≤kπ＋ (k∈Z)
∴原函数y＝3sin(－2x)在［kπ－，kπ＋］(k∈Z)上单调递减.
评述：在求三角函数的单调区间时，一定要注意复合函数的有关知识，忽略复合函数的条件，是同学们解题中常发生的错误.
- 3 -第六课时 两角和与差的余弦、正弦、正切(三)
教学目标：
进一步熟练掌握两角和与差的余弦、正弦、正切公式的灵活应用；提高学生的推理能力，培养学生用联系变化的观点看问题，提高学生的数学素质，使学生树立科学的世界观.
教学重点：
利用两角和与差的余弦、正弦、正切公式解决一些综合性问题.
教学难点：
怎样使学生对所学知识融会贯通，运用自如.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
cos(α±β)＝cosαcosβsinαsinβ
sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ
tan（α±β）＝ eq \f(tanα±tanβ,1tanαtanβ)
Ⅱ.讲授新课
［例1］已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0且a≠c)的两个根为tanα、tanβ，
求tan(α＋β)的值.
分析：由题意可得tanα、tanβ为一元二次方程的两根，由韦达定理可知tanα＋tanβ＝－，且tanα·tanβ＝，联想两角和的正切公式，不难求得tan(α＋β)的值.
解：由a≠0和一元二次方程根与系数的关系，可知：
eq \b\lc\{(\a\al(tanα＋tanβ＝－,tanα·tanβ＝)) 且a≠c
所以tan(α＋β)＝＝ eq \f(－,1－) ＝－＝.
评述：在解题时要先仔细分析题意，联想相应知识，选定思路，再着手解题.
［例2］设sinθ＋cosθ＝，＜θ＜π，求sin3θ＋cos3θ与tanθ－cotθ的值.
解：∵sinθ＋cosθ＝
∴sin2θ＋2sinθcosθ＋cos2θ＝
∴sinθcosθ＝－
又sin3θ＋cos3θ＝(sinθ＋cosθ)(sin2θ－sinθcosθ＋cos2θ)
＝(sinθ＋cosθ)(1－sinθcosθ)＝ (1＋)＝
又∵＜θ＜π ∴sinθ＞0，cosθ＜0
∴sinθ－cosθ＝
∴tanθ－cotθ＝－＝
＝＝ eq \f(×,－) ＝－
评述：(1)在sinθ＋cosθ、sinθcosθ与sinθ－cosθ中，知其中之一便可求出另外两个.
(2)解决有关sinθ＋cosθ、sinθcosθ与sinθ－cosθ的问题是三角函数中的一类重要问题.
［例3］tan2Atan(30°－A)＋tan2Atan(60°－A)＋tan(30°－A)tan(60°－A)＝_____.
解：原式＝tan2A［tan(30°－A)＋tan(60°－A)］＋［tan(30°－A)tan(60°－A)］
＝tan2Atan［(30°－A)＋(60°－A)］［1－tan(30°－A)tan(60°－A)］
＋［tan(30°－A)tan(60°－A)］
＝tan2Atan(90°－2A)［1－tan(30°－A)tan(60°－A)］＋［tan(30°－A)tan(60°－A)］
＝tan2A·cot2A［1－tan(30°－A)tan(60°－A)］＋［tan(30°－A)tan(60°－A)］
＝1
评述：先仔细观察式子中所出现的角，灵活应用公式进行变形，然后化简、求值.
［例4］已知tanα、tanβ是方程x2－3x－3＝0的两个根，求sin2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos2(α＋β)的值.
解：由题意知
∴tan(α＋β)＝＝＝
sin2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos2(α＋β)
＝cos2(α＋β)［tan2(α＋β)－3tan(α＋β)－3］
＝［tan2(α＋β)－3tan(α＋β)－3］
＝ eq \f(1,1＋（）2) ［()2－3×－3］＝－3
［例5］已知α、β为锐角，cosα＝，tan(α－β)＝－，求cosβ的值.
解：由α为锐角，cosα＝，∴sinα＝.
由α、β为锐角，又tan(α－β)＝－
∴cos(α－β)＝，sin(α－β)＝－
∴cosβ＝cos［α－(α－β)］＝cosα·cos(α－β)＋sinα·sin(α－β)
＝×＋×(－)＝
Ⅲ.课堂练习
1.若方程x2＋mx＋m＋1＝0的两根为tanα、tanβ.求证sin(α＋β)＝cos(α＋β).
解：由题意可知
由：tan(α＋β)＝
得：tan(α＋β)＝＝1
即：sin(α＋β)＝cos(α＋β)
∴命题得证.
评述：要注意已知条件与所求结论中涉及三角函数的关系，选择适当的关系式进行转化.
2.若△ABC的三内角成等差数列，且A＜B＜C，tanAtanC＝2＋，求角A、B、C的大小.
分析：由A、B、C为△ABC的三内角，可知A＋B＋C＝180°，又已知A、B、C为等差数列，即2B＝A＋C，所以B＝60°且A＋C＝120°与已知条件中的tanAtanC＝2＋可联系求出tanA、tanC，从而确定A、C.
解：由题意知： 解之得：B＝60°且A＋C＝120°
∴tan(A＋C)＝tan120°＝－＝
又∵tanAtanC＝2＋
∴tanA＋tanC＝tan(A＋C)(1－tanAtanC)
＝tan120°(1－2－)＝－ (－1－)＝3＋
∵tanA、tanC可作为一元二次方程x2－(3＋)x＋(2＋)＝0的两根
又∵0＜A＜B＜C＜π
∴tanA＝1，tanC＝2＋ 即：A＝45°，C＝75°
答：A、B、C的大小分别为45°、60°、75°.
评述：要注意挖掘隐含条件，联想相关知识，构造方程等等.
3.如果sinα＋sinβ＝a，cosα＋cosβ＝b，ab≠0，则cos(α－β)等于 ( )
A. B. eq \f(（a2＋b2）,2) C. D. －1
分析：由已知条件中的两关系式结合同角三角函数的平方关系式sin2α＋cos2α＝1不难求得cos(α－β)，再利用平方关系求得sin(α－β).
解：由
得：a2＋b2＝sin2α＋sin2β＋2sinαsinβ＋cos2α＋cos2β＋2cosαcosβ
＝2＋2cos(α－β)
∴cos(α－β)＝－1
评述：遇到这种已知条件式时，往往要结合同角三角函数平方关系式.
Ⅳ.课时小结
在解决三角函数问题时，常常要将和角公式、差角公式、诱导公式、同角三角函数基本关系式等等综合使用.
Ⅴ.课后作业
课本P101 9 ，10，11，13
两角和与差的余弦、正弦、正切(二)
1．cos（－15°）等于 （ ）
A. B. C. D.
2．在△ABC中，若sinAsinB＜cosAcosB，则△ABC的形状为 （ ）
A.直角三角形 B.钝角三角形
C.锐角三角形 D.以上均可能
3．sin－cos的值是 （ ）
A.0 B.－ C. D.2
4．若tan(α＋β)＝，tan(β－)＝，则tan(α＋)等于 （ ）
A. B. C. D.
5．的值是 （ ）
A.2 B.－2 C. D.－
6．已知cosθ＝－，且θ∈（π，π），则tan（θ－）= .
7．tan70°＋tan50°－tan70°tan50°的值等于 .
8．若cos(α－β)＝，cos(α＋β)＝－，则tanα·tanβ＝ .
9．已知cosα－cosβ＝，sinα－sinβ＝－，则cos(α－β)＝ .
10．已知：＜β＜α＜，且cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，计算sin2α的值.
11．已知tanα，tanβ是方程x2＋(4m＋1)x＋2m＝0的两个根，且m≠－.
求的值.
12．已知3sinβ＝sin(2α＋β)，α≠kπ＋，α＋β≠kπ＋，k∈Z.
求证：tan(α＋β)＝2tanα.
两角和与差的余弦、正弦、正切(二)答案
1．D 2．B 3．B 4．C 5．B 6． 7．－ 8． 9．
10．已知：＜β＜α＜，且cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，计算sin2α的值.
利用sin2α＝sin［(α－β)＋(α＋β)］可求得sin2α＝－.
11．已知tanα，tanβ是方程x2＋(4m＋1)x＋2m＝0的两个根，且m≠－.
求的值.
解：由题知tanα＋tanβ＝－(4m＋1)，tanα·tanβ＝2m
＝＝ eq \f(＋1, ＋tanα)
＝＝
12．已知3sinβ＝sin(2α＋β)，α≠kπ＋，α＋β≠kπ＋，k∈Z.
求证：tan(α＋β)＝2tanα.
sinβ＝sin［(α＋β)－α］
sin(2α＋β)＝sin［(α＋β)＋α］ 两边展开、移项，合并同类项即可.
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4.6.6 两角和与差的正切（2）
一、课题：两角和与差的正切（2）
二、教学目标：1.正确寻找角之间的关系，选用恰当的公式解决问题；
2.能将简单的几何问题化归为三角问题，培养学生的数学转换能力及分析问题的能力。
三、教学重、难点：选用恰当的方法解决问题。
四、教学过程：
（一）复习：公式及变形公式.
（二）新课讲解：
例1：在非直角中，
（1）求证：；
（2）若成等差数列，且，求的三内角大小。
（1）证明：∵，∴，
∴
；
（2）解：成等差数列，
∴， 又，
∴， ∴，
，
又∵，
或
所以，或．
例2：已知，，求的值。
解：．
【变题】：已知，求的值。
解：， ∴，
∴
．
例3：如图，三个相同的正方形相接，求证：．
解：由题意：， ，
∴，
， ∴，所以，．
五、课堂练习：（1）巩固练习练习4，习题9；
（2）在非直角中，（1）求证．
六、小结：根据题中给定条件及所求的结论，认真分析题意，寻找恰当的方法，实现条件到结论的转化。
七、作业：习题4.6 第13题 ，复习参考题四 第16，18题，
补充：
1．已知锐角满足，，求；
2．求证：；
3．求值：．
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- 1 -3.2.2 二倍角的正弦、余弦、正切（2）
一、课题：二倍角的正弦、余弦、正切（2）
二、教学目标：1.能顺向、逆向、变形运用倍角公式进行求值、化简；
2.结合三角函数值域求函数值域问题。
三、教学重、难点：1.公式的逆向运用及变式训练。
2.结合三角函数求值域。
四、教学过程：
（一）复习：
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式。
2．练习：
①．
②若，求的值。
（解答：）．
（二）新课讲解：
例1：利用三角公式化简：．
解：原式
．
例2：求证．
证明：原式等价于，
即： （*）
而（*）式右边
左边，
所以，（*）式成立，原式得证。
【变式练习】已知，求证：．
例3：求函数的值域。
解：，令，
则有，，
∴， 所以，函数的值域为．
例4：求的值域。
解：
（其中）
∵，
所以，的值域为．
五、课堂练习：求下列函数最大值和最小值：
①； （答案：）
②； （答案：）
③； （答案：）
六、小结：1.解题的关键是公式的灵活运用，特别是二倍角余弦公式形式多样，在解题中应予以重视；
2.结合三角函数求值域的常用方法。
七、作业：
补充：1．求值；
2．若，求为何值时，的值最小？
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- 1 -两角和与差的正、余弦（1）
一、课题：两角和与差的正、余弦（1）
二、教学目标：1.进一步熟悉两角和与差的正（余）弦公式，能正确运用公式进行简单的
三角函数的化简、求值；
2.掌握一些角的变换技巧，能选择恰当的公式解决有关问题；
3.了解由三角函数值求角的方法。
三、教学重、难点：公式的运用。
四、教学过程：
（一）复习：
1．及公式；
2．练习 3（1）（2）（3）．
（二）新课讲解：
例1：已知，，
（1）求的值.； （2）求．
解：（1）由得，
又由得，
，
．
（2）, ，
所以，．
说明：求某一角的一般方法：（1）确定此角的范围；（2）求出此角的某一三角函数值；
（3）确定此角。
例2：已知，且，求的值。
分析：，所以应选用求的值。
解：，∴，
又∵，∴，
∴=，
=．
例3：已知，，，求的值。
解：由得，，
又∵，，
∴，
，
所以，
．
五、小结：1．掌握求角的一般方法；
2．寻找角之间的关系，选择恰当的公式解决有关问题。
六、作业：
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- 1 -三角函数复习讲义（2）
三角函数的图象和性质
一、复习要点：
1．主要内容：正弦、余弦、正切函数的图象和性质（定义域、值域、周期、奇偶性、单调区间），函数的图象和图象变换，已知三角函数值求角。
2．主要题型：求三角函数的定义域、值域、周期，判断奇偶性，求单调区间，利用单调性比较大小，图象的平移和伸缩，图象的对称轴和对称中心，利用图象解题，根据图象求解析式，已知三角函数值求角。
3．常用方法：
（1）求三角函数的值域、最值：利用正弦、余弦函数的有界性，通过变换转化为代数最值问题；
（2）求周期：将函数式化为一个三角函数的一次方的形式，再利用公式，利用图象判断。
二、基础训练：
1．将函数的图象向右平移个单位后再作关于轴对称的曲线，得到函数的图象，则可以是 （ ）
A． B． C． D．
2．函数图象的一条对称轴是直线，则常数与满足（ ）
A． B． C． D．
3．如果、，且，那么必有 （ ）
A． B． C． D．
4．函数，给出下列四个命题，其中正确的是 （ ）
A．的值域为
B．是以为周期的周期函数
C．当且仅当时取得最大值
D．当且仅当时
5．函数的最小正周期是 ．
6．如果、、均为锐角，，，，则从小到大的顺序为 ．
7．设甲：“”，乙：“”，则甲是乙的 条件。
三、例题分析：
例1 已知函数，求的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域。
例2 若的最小值为 ，
（1）求的表达式；
（2）求使的的值，并求当取此值时的最大值。
四、课后作业：
1．给出下列命题：
①存在实数，使成立；
②存在实数，使成立；
③函数是偶函数；
④直线是函数的图象的一条对称轴；
⑤若和都是第一象限角，且，则．
其中真命题的序号是 （把你认为是真命题的序号都填上）．
2．函数的图象的一条对称轴方程是（ ）
A． B． C． D．
3．如果，且，则可以是 （ ）
A． B． C． D．
4．要得到的图象，只需将函数的图象 （ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
5．若是周期为的奇函数，则可以是 （ ）
A． B． C． D．
6．函数的一个单调递增区间是 （ ）
A． B． C． D．
7．已知以及均为锐角，，那么的大小关系是 （ ）
A． B． C． D．
8．函数是奇函数，且当时，，则当时， 等于 ．
9．已知函数，
（1）求的最小正周期；
（2）求的最大值和最小值；
（3）求的递增区间。
10．已知函数的图象与轴交于点，它在轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为，，
（1）求函数的解析式；
（2）用“五点法”作出此函数在一个周期内的图象，并说明它是由函数的图象依次经过哪些变换而得到的。
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- 1 -3.1.2 两角和与差的正弦
一、课题：两角和与差的正弦
二、教学目标：1.能推导，的诱导公式，并能灵活运用；
2.掌握公式的推导，并能熟练进行公式正逆向运用。
三、教学重点：公式及诱导公式的推导、运用；
四、教学难点：公式及诱导公式的运用。
五、教学过程：
（一）复习：
1．公式；
2．练习：
化简：（1）；（2）；（3）．
（二）新课讲解：
1．诱导公式
（1）；
（2）把公式（1）中换成，则．
即： ．
2．两角和与差的正弦公式的推导
即： （）
在公式中用代替，就得到：
（）
说明：（1）公式对于任意的都成立。
练习：习题4.6第二题，补充证明： .
（2），的三角函数等于的余名三角函数，前面再加上一个把看作锐角时原三角函数的符号；
（3）诱导公式用一句话概括为奇变偶不变，符号看象限。
3．例题分析：
例1：求值(1)； (2)； （3）．
解：（1）= ；
（2）
；
（3）．
例2：已知，，求，．
解： ， ∴，
， ∴，
∴，
．
又，
∴ ．
例3：已知，求及的值。
解： ， ∴在二，三象限，
当在第二象限时，，
∴，
，
当在第三象限时，，
∴，
．
五、课堂练习：4,5(1)(2)(3)(4) ．
六、小结：掌握 公式的推导，能熟练运用公式，注意公式的逆用。
七、作业：习题4．6 第3题（1）（2）（5）（7），第5题。
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- 1 -1.3.3 函数的图象（1）
一、课题：函数的图象（1）
二、教学目标：1．会画函数的简图；
2．弄清与函数的图象之间的关系；
3．理解由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想。
三、教学重、难点：五点法画函数的图象。
四、教学过程：
（1） 新课讲解：
1．型函数的图象
例1 画出函数，，，，的简图。
解：先画出它们在上的图象，再向左右扩展，
由图可知，对于同一个，，的图象上的点的纵坐标等于，的图象上的点的纵坐标的倍，因此，，的图象可以看作正弦曲线上所有点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变的情况下）而得到的。，的图象的情况也类似：纵坐标变为原来的（横坐标不变情况下）。
一般地，函数，的图象可看作把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长（时）或缩短（时）到原来的倍（横坐标不变的情况下）而得到，因此，，的值域是，最大值为，最小值为．
2．型函数的图象
例2 画出函数，，，的函数简图。
解：先画出它们在一个周期内的图象，再向左、右扩展，
一般地，函数，（）的图象可以看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短（时）或伸长（时）到原来的倍（纵坐标不变的情况下）而得到的。
3．型的函数图象
例3 画出函数，，，的简图。
解：由函数图象的平移知：
，的图象可看作，的图象向左平移个单位得到；
，的图象可看作，的图象向右平移个单位得到。
可得图象如下：
一般地，函数（），的图象，可看作把正弦曲线上所有点向左（时）或向右（时）平行移动个单位而得到。
五、课堂练习：画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图（五点法）。
（1），； （2），．
六、小结：1．型函数的图象；
2．型函数的图象；
3．型函数的图象。
七、作业：
–
–
–
–
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- 1 -第十一课时 小结与复习（一）
●教学目标
（一）知识目标
1.本身知识网络结构；
2.向量概念；
3.向量的运算律；
4.重要的定理、公式.
（二）能力目标
1.了解本章知识网络结构；
2.进一步熟悉基本概念及运算律；
3.理解重要定理、公式并能熟练应用；
4.加强数学应用意识，提高分析问题，解决问题的能力.
（三）德育目标
1.认识事物之间的相互转化；
2.培养学生的数学应用意识.
●教学重点
突出本章重、难点内容.
●教学难点
通过例题分析突出向量运算与实数运算的区别.
●教学方法
自学辅导法
在给出本章的知识网络结构后，列出复习提纲，引导学生补充相关内容，同时加强学生对基本概念、基本运算律、重要定理、公式的熟悉程度.
●教具准备
投影仪、幻灯片（三张）
第一张：本章知识网络图（记作§5.13.1 A）
第二张：向量运算法则（记作§5.13.1 B）
第三张：本节例题（记作§5.13.1 C）
●教学过程
Ⅰ.复习回顾
［师］前面一段，我们一起学习了向量的知识以及解斜三角形问题，并掌握了一定的分析问题解决问题的方法.这一节，我们开始对本章进行小结与复习.
Ⅱ.讲授新课
［师］首先我们通过投影屏幕来看向量知识的网络结构（给出幻灯片§5.13.1 A）
1.本章知识网络结构
2.本章重点及难点
（1）本章的重点有向量的概念、运算及坐标表示，线段的定比分点，平移、正弦定理、余弦定理及其在解斜三角形中的应用；
（2）本章的难点是向量的概念，向量运算法则的理解和运用，已知两边和其中一边的对角解斜三角形等；
（3）对于本章内容的学习，要注意体会数形结合的数学思想方法的应用.
3.向量的概念
（1）向量的基本要素：大小和方向.
（2）向量的表示：几何表示法：，a；坐标表示法：a＝xi＋yj＝（x，y）.
（3）向量的长度：即向量的大小，记作|a|.
（4）特殊的向量：零向量a＝0|a|＝0.
单位向量a0为单位向量|a0|＝1.
（5）相等的向量：大小相等，方向相同（x1，y1）＝（x2，y2）
（6）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a∥b.由于向量可以进行任意的平移（即自由向量），平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量.
4.向量的运算
（给出幻灯片§5.13.1 B）
运算类型 几何方法 坐标方法 运算性质
向量的加法 1.平行四边形法则2.三角形法则 a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2） a＋b＝b＋a(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
向量的减法 三角形法则 a－b＝（x1－x2，y1－y2） a－b＝a＋（－b）
数乘向量 λa是一个向量，满足：1.|λa|＝|λ||a|； 2.λ＞0时,λa与a同向;λ＜0时，λa与a反向；λ＝0时，λa＝0 λa＝（λx，λy） λ（μa）＝（λμ）a（λ＋μ）a＝λa＋μaλ（a＋b）＝λa＋λb a∥ba＝λb
向量的数量积 a·b是一个数：1.a≠0，且b≠0时，a·b＝|a||b|cos＜a，b＞2.a＝0或b＝0时，a·b＝0 a·b＝x1x2＋y1y2 a·b＝b·a （λa）·b＝a·（λb） ＝λ（a·b）（a＋b）·c＝a·c＋b·ca2＝|a|2，|a|＝|a·b|≤|a||b|
5.重要定理、公式
（1）平面向量基本定理
e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
（2）两个向量平行的充要条件
a∥ba＝λbx1y2－x2y1＝0.
（3）两个向量垂直的充要条件
a⊥ba·b＝0x1x2＋y1y2＝0.
（4）线段的定比分点公式
设点P分有向线段所成的比为λ，即＝λ，则
（线段的定比分点的向量公式）
（线段定比分点的坐标公式）
当λ＝1时，得中点公式：
（5）平移公式
设点P（x，y）按向量a＝（h，k）平移后得到点P′（x′，y′），则＋a或
曲线y＝f（x）按向量a＝（h，k）平移后所得的曲线的函数解析式为：
y－k＝f（x－h）
（6）正、余弦定理
正弦定理：．
余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA，
b2＝c2＋a2－2cacosB，
c2＝a2＋b2－2abcosC.
［师］下面我们通过例题分析来进一步熟悉向量知识的应用.
（通过幻灯片§5.13.1 C给出本节例题）
［例1］设坐标平面上有三点A、B、C，i，j分别是坐标平面上x轴，y轴正方向的单位向量，若向量＝i－2j，＝i＋mj，那么是否存在实数m，使A、B、C三点共线.
分析：可以假设满足条件的m存在，由A、B、C三点共线∥存在实数λ，使＝λ，从而建立方程来探索.
解法一：假设满足条件的m存在，由A、B、C三点共线，即∥，
∴存在实数λ，使＝λ，i－2j＝λ（i＋mj），
∴m＝－2.
∴当m＝－2时，A、B、C三点共线.
解法二：假设满足条件的m存在，根据题意可知：i＝（1，0），j＝（0，1）
∴＝（1，0）－2（0，1）＝（1，－2），
＝（1，0）＋m（0，1）＝（1，m），
由A、B、C三点共线，即∥，
故1·m－1·（－2）＝0，解得m＝－2.
∴当m＝－2时，A、B、C三点共线.
评述：（1）共线向量的充要条件有两种不同的表示形式，但其本质是一样的，在运用中各有特点，解题时可灵活选择；
（2）本题是存在探索性问题，这类问题一般有两种思考方法，即假设存在法——当存在时；假设否定法——当不存在时.
Ⅲ.课堂练习
1.判断题
（1）＋＝0（）
（2）0＝0（×）
（3）－＝（×）
2.选择题
已知a，b为两个单位向量，下列四个命题中正确的是( )
A．a与b相等
B．如果a与b平行，那么a与b相等
C. a·b＝1
D．a2＝b2
答案：D
3.已知A、B、C是直线l上的顺次三点，指出向量、、、中，哪些是方向相同的向量.
答案：与方向相同，与方向相同.
4.已知为与的和向量，且＝a，＝b，分别用a、b表示，.
解：＝（a－b），＝（a＋b）.
5.已知ABCDEF为正六边形，且＝a，＝b，用a，b表示向量、、、、、、、.
解：＝－a，＝a＋b，
＝（a＋b），＝－（a＋b），
＝（a－b），CD＝（b－a），
＝a＋b，＝b－a.
6.已知点A（－3，－4）、B（5，－12）
（1）求的坐标及||；
（2）若，求及的坐标；
（3）求·.
解：（1）＝（8，－8），||＝8
（2）＝（2，－16），＝（－8，8）
（3）·＝33.
Ⅳ.课时小结
［师］通过本节学习，要求大家在了解向量知识网络结构基础上，进一步熟悉基本概念及运算律，并能熟练重要定理、公式的应用，并加强数学应用意识，提高分析问题、解决问题的能力.
Ⅴ.课后作业
（一）课本P149复习参考题五 7，11，13，15，17，19.
（二）1.预习内容
（1）三角形的有关性质；
（2）向量数量积的性质及坐标表示.
2.预习提纲
（1）向量加、减法基本原则的适用前提；
（2）向量数量积坐标表示的形式特点.
●板书设计
§5.13.1 小结与复习（一）
1.向量知识网络结构
2.本章重难点归纳
（1）重点
（2）难点
3.向量基本概念
4.本章运算律、性质
5.重要公式、定理
●备课资料
1.三点共线的证明
对于三点共线的证明，可以利用向量共线的充要条件证明，也可利用定比分点知识证明.因为，定比分点问题中所涉及的三个点必然共线，而三个点共线时，必然构成定比分点.
［例1］已知A（－1，－1）、B（1，3）、C（2，5），求证A、B、C三点共线.
证明：设点B′（1，y）是的一个分点，且＝λ，则1＝
解得λ＝2.
∴y＝＝3.
即点B′与点B重合.
∵点B′在上，
∴点B在上，
∴A、B、C三点共线.
2.利用正、余弦定理判断三角形形状
［例2］根据下列条件，判断△ABC的形状
（1）acosA＝bcosB
（2）sin2Α＋sin2B＝sin2C，且c＝2acosB.
解：（1）∵acosA＝bcosB
∴
∴，
即sinAcosA＝sinBcosB
∴sin2A＝sin2B
∴2A＝2B或2A＝π－2B
∴A＝B或A＋B＝
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.
（2）∵sin2A＋sin2B＝sin2C
∴，
∴a2＋b2＝c2
故△ABC是直角三角形，且C＝90°，
∴cosB＝，代入c＝2acosB
得cosB＝
∴B＝45°，A＝45°
综上，△ABC是等腰直角三角形.
评注：（1）条件中有边有角，一般须化边为角或化角为边，题（1）也可以化角为边.
（2）题（1）结论中用“或”，题（2）中用“且”结论也就不同，切不可混淆.
［例3］在△ABC中，若a2＝b（b＋c），则A与B有何关系
解：由正弦定理得sin2A＝sinB（sinB＋sinC）
∴sin2A－sin2B＝sinB·sinC，
（sinA＋sinB）（sinA－sinB）＝sinBsinC，
sin（A＋B）sin（A－B）＝sinB·sinC
∵sin（A＋B）＝sinC，
∴sin（A－B）＝sinB，
∴A－B＝B，A＝2B，或A－B＝π－B（舍去）
故A与B的关系是A＝2B.
3.利用正、余弦定理证明三角恒等式
［例4］在△ABC中，求证.
证明：由余弦定理，知
a2＋b2－c2＝2abcosC，
a2－b2＋c2＝2cacosB，
∴.
评注：对于含有a2、b2、c2的形式，常用余弦定理化边为角.
［例5］在△ABC中，已知2sin2A＝3sin2B＋3sin2C ①
cos2A＋3cosA＋3cos（B－C）＝1 ②
求：a∶b∶c.
解：由①得2a2＝3b2＋3c2 ③
∵cosA＝－cos（B＋C）
由②得3cos（B－C）－3cos（B＋C）
＝1－cos2A＝2sin2A＝3sin2B＋3sin2C.
∴cos（B－C）－cos（B＋C）＝sin2B＋sin2C，
2sinBsinC＝sin2B＋sin2C
即（sinB－sinC）2＝0，
∴sinB＝sinC，
∴2RsinB＝2RsinC，
∴b＝c代入③得
a＝b.
∴a∶b∶c＝b∶b∶b＝∶1∶1.
4.向量知识在近几年高考中的体现
［例6］(2001年全国高考)若向量a=（1，1），b=（1，－1），c=（－1，2）,则c等于
A.－a+b B. a－b
C.a－b D.－a+b
分析：本题主要考查平面向量的加、减运算,数与向量的乘法运算,以及简单计算的技能.
解法一：设实数x、y满足c=xa+yb
则有（x+y，x－y）=（－1，2），
所以.
解得x=，y=－.
故选B.
解法二：逐项检验如下：
∵－a+b=（1，－2）≠c，
故排除A.
又∵a－b=（－1，2）=c
故选B.
解法三：（图解法）
依题设可作向量图，如右图：
令c=xa+yb，根据向量加法的平行四边形法则，观察图形，可知系数x＞0，y＜0，且应有|y|＞|x|，从而可以排除A、C、D.
故选B.
［例7］（2000年上海高考）向量=（－1，2），向量=（3，m），若⊥，则m= .
解：=－=（4，m－2），
由两非零向量垂直的充要条件可得－1×4+2（m－2）=0，
解得m=4. 1.1.2 任意角（2）
一、课题：任意角（2）
二、教学目标：1．熟练掌握象限角与非象限角的集合表示；
2．会写出某个区间上角的集合。
三、教学重、难点：区间角的表示。
四、教学过程：
（一）复习：
1．角的分类：按旋转方向分；按终边所在位置分。
2．与角同终边的角的集合表示。
3．练习：把下列各角写成的形式，并指出它们所在的象限或终边位置。
（1）； （2）； （3）．
（答案）（1） 第三象限角。
（2）， 第一象限角。
（3），终边在轴非正半轴。
（二）新课讲解：
1．轴线角的集合表示
例1：写出终边在轴上的角的集合。
分析：（1）到的角落在轴上的有；
（2）与终边分别相同的角的集合为：
（3）所有终边在轴上的角的集合就是和并集：
．
拓展：（1）终边在轴线的角的集合怎么表示？ ；
（2）所有轴线角的集合怎么表示？ ；
（3）相对于轴线角的集合，象限角的集合怎么表示？ ．
提问：第一、二、三、四象限角的集合又怎么表示？ （略）
例2：写出第一象限角的集合．
分析：（1）在内第一象限角可表示为；
（2）与终边相同的角分别为；
（3）第一象限角的集合就是夹在这两个终边相同的角中间的角的集合，我们表示为：
．
学生讨论，归纳出第二、三、四象限角的集合的表示法：
；
；
．
说明：区间角的集合的表示不唯一。
例3 写出所夹区域内的角的集合。
解：当终边落在上时，角的集合为；
当终边落在上时，角的集合为；
所以，按逆时针方向旋转有集合：．
五、课堂练习：
1．若角的终边在第一象限或第三象限的角平分线上，则角的集合是 ．
2．若角与的终边在一条直线上，则与的关系是 ．
3．（思考）若角与的终边关于轴对称，则与的关系是 ．
若角与的终边关于轴对称，则与的关系是 ．
若角与的终边关于原点对称，则与的关系是 ．
六、小结：1．非象限角（轴线角）的集合表示；
2．区间角集合的书写。
七、作业：
补充：1．试写出终边在直线上所有角的集合，并指出上述集合中介于与之间的角。
2．若角是第三象限角，问是哪个象限的角？是哪个象限的角？
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- 1 -第二章 平面向量
本章内容介绍
向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，是近代数学中重要和基本的数学概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具.向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系.
向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景.在本章中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，学习平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容.能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题.
本节从物理上的力和位移出发，抽象出向量的概念，并说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的一些基本概念. （让学生对整章有个初步的、全面的了解.）
第1课时
§2.1 平面向量的实际背景及基本概念
教学目标：
1. 了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.
2. 通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.
3. 通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.
教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.
教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.
学 法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.
教 具：多媒体或实物投影仪，尺规
授课类型：新授课
教学思路：
一、情景设置：
如图，老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？（画图）
结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.
分析：老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有方向、有长短的量.
引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？
二、新课学习：
（一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量
（二）请同学阅读课本后回答：（可制作成幻灯片）
1、数量与向量有何区别？
2、如何表示向量？
3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？
4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？
5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？
6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？
7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，这是它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？
（三）探究学习
1、数量与向量的区别：
数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；
向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.
2.向量的表示方法：
①用有向线段表示；
②用字母ａ、ｂ
（黑体，印刷用）等表示；
③用有向线段的起点与终点字母：；
④向量的大小――长度称为向量的模，记作||.
3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.
向量与有向线段的区别：
（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；
（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.
4、零向量、单位向量概念：
①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的.
注意0与0的含义与书写区别.
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.
说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.
5、平行向量定义：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.
说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.
6、相等向量定义：
长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；
（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.
7、共线向量与平行向量关系：
平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.
说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
（四）理解和巩固：
例1 书本86页例1.
例2判断：
（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）
（2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）
（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）
（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）
（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）
（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向相同）
（7）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定）
例3下列命题正确的是（ ）
A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点
C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行
解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C.
例4 如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量、、相等的向量.
变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个）
变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）
变式三：与向量共线的向量有哪些？（）
课堂练习：
1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.
①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；
②单位向量都相等；
③任一向量与它的相反向量不相等；
④四边形ABCD是平行四边形当且仅当＝
⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；
⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.
解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、在同一直线上.
②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.
③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的. ④、⑤正确.⑥不正确.如图与共线，虽起点不同，但其终点却相同.
2．书本88页练习
三、小结 ：
1、 描述向量的两个指标：模和方向.
2、 平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.
3、 向量的图示，要标上箭头和始点、终点.
四、课后作业：
书本88页习题2.1第3、5题
（吴春霞）
第2课时
§2.2.1 向量的加法运算及其几何意义
教学目标：
1、 掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；
1、 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的能力；
1、 通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；
教学重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.
教学难点：理解向量加法的定义.
学 法：
数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律.
教 具：多媒体或实物投影仪，尺规
授课类型：新授课
教学思路：
一、设置情景：
1、 复习：向量的定义以及有关概念
强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置
1、 情景设置：
（1）某人从A到B，再从B按原方向到C，
则两次的位移和：
（2）若上题改为从A到B，再从B按反方向到C，
则两次的位移和：
（3）某车从A到B，再从B改变方向到C，
则两次的位移和：
（4）船速为，水速为，则两速度和：
二、探索研究：
１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
２、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）
如图，已知向量a、ｂ.在平面内任取一点，作＝a，＝ｂ，则向量叫做a与ｂ的和，记作a＋ｂ，即 a＋ｂ，规定： a + 0-= 0 + a
探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；
（2）当向量与不共线时，+的方向不同向，且|+|<||+||；
（3）当与同向时，则+、、同向，且|+|=||+||，当与反向时，若||>||，则+的方向与相同，且|+|=||-||；若||<||，则+的方向与相同，且|+b|=||-||.
（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加
３．例一、已知向量、，求作向量+
作法：在平面内取一点，作 ，则.
４．加法的交换律和平行四边形法则
问题：上题中+的结果与+是否相同？ 验证结果相同
从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）
２）向量加法的交换律：+=+
５．向量加法的结合律：(+) +=+ (+)
证：如图：使， ，
则(+) +=，+ (+) =
∴(+) +=+ (+)
从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.
三、应用举例：
例二（P94—95）略
练习：P95
四、小结
1、向量加法的几何意义；
２、交换律和结合律；
３、注意：|+| ≤ || + ||，当且仅当方向相同时取等号.
五、课后作业：
P103第２、３题
六、板书设计（略）
七、备用习题
1、一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的速度的大小为，求水流的速度.
2、一艘船距对岸，以的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际航程为8km，求河水的流速.
3、一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为，船的实际航行的速度的大小为，方向与水流间的夹角是，求和.
4、一艘船以5km/h的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h，则船的实际航行速度大小最大是km/h，最小是km/h
５、已知两个力F1，F2的夹角是直角，且已知它们的合力F与F1的夹角是60，|F|=10N求F1和F2的大小.
６、用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
（吴春霞）
第3课时
§2.2.2 向量的减法运算及其几何意义
教学目标：
1. 了解相反向量的概念；
2. 掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；
3. 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想.
教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法.
教学难点：减法运算时方向的确定.
学 法：减法运算是加法运算的逆运算，学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算；并利用三角形做出减向量.
教 具：多媒体或实物投影仪，尺规
授课类型：新授课
教学思路：
1、 复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则
向量加法的运算定律：
例：在四边形中， .
解：
2、 提出课题：向量的减法
1． 用“相反向量”定义向量的减法
（1） “相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量.记作 a
（2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.(a) = a.
任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (a) = 0
如果a、b互为相反向量，则a = b， b = a， a + b = 0
（3） 向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差.
即：a b = a + (b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.
2． 用加法的逆运算定义向量的减法：
向量的减法是向量加法的逆运算：
若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a b
3． 求作差向量：已知向量a、b，求作向量
∵(ab) + b = a + (b) + b = a + 0 = a
作法：在平面内取一点O，
作= a， = b
则= a b
即a b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.
注意：1表示a b.强调：差向量“箭头”指向被减数
2用“相反向量”定义法作差向量，a b = a + (b)
显然，此法作图较繁，但最后作图可统一.
4． 探究：
1） 如果从向量a的终点指向向量b的终点作向量，那么所得向量是b a.
２）若a∥b， 如何作出a b　？
3、 例题：
例一、（P９７ 例三）已知向量a、b、c、d，求作向量ab、cd.
解：在平面上取一点O，作= a， = b， = c， = d，
作， ， 则= ab， = cd
例二、平行四边形中，a，b，
用a、b表示向量、.
解：由平行四边形法则得：
= a + b， = = ab
变式一：当a， b满足什么条件时，a+b与ab垂直？（|a| = |b|）
变式二：当a， b满足什么条件时，|a+b| = |ab|？（a， b互相垂直）
变式三：a+b与ab可能是相当向量吗？（不可能，∵ 对角线方向不同）
练习：Ｐ98
4、 小结：向量减法的定义、作图法|
5、 作业：P103第4、５题
6、 板书设计（略）
7、 备用习题：
1.在△ABC中， =a， =b，则等于( )
A.a+b? B.-a+(-b) C.a-b? D.b-a
2.O为平行四边形ABCD平面上的点，设=a， =b， =c， =d，则
A.a+b+c+d=0 B.a-b+c-d=0 C.a+b-c-d=0 D.a-b-c+d=0
３.如图，在四边形ABCD中，根据图示填空：
a+b= ，b+c= ，c-d= ，a+b+c-d= .
４、如图所示，O是四边形ABCD内任一点，试根据图中给出的向量，确定a、b、c、d的方向（用箭头表示），使a+b=，c-d=，并画出b-c和a+d.
（吴春霞）
2.3平面向量的基本定理及坐标表示
第4课时
§2.3.1 平面向量基本定理
教学目的：
（1）了解平面向量基本定理；
（2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；
（3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.
教学重点：平面向量基本定理.
教学难点：平面向量基本定理的理解与应用.
授课类型：新授课
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
1、 复习引入：
1．实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ
（1）|λ|=|λ|||；（2）λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ=
2．运算定律
结合律：λ(μ)=(λμ) ；分配律：(λ+μ)=λ+μ， λ(+)=λ+λ
3. 向量共线定理 向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ.
二、讲解新课：
平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2.
探究：
(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
(2) 基底不惟一，关键是不共线；
(3) 由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；
(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被，，唯一确定的数量
三、讲解范例：
例1 已知向量， 求作向量2.5+3.
例2 如图 ABCD的两条对角线交于点M，且=，=，用，表示，，和
例3已知 ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，求证：+++=4
例4（1）如图，，不共线，=t (tR)用，表示.
（2）设不共线，点P在O、A、B所在的平面内，且.求证：A、B、P三点共线.
例5 已知 a=2e1-3e2，b= 2e1+3e2，其中e1，e2不共线，向量c=2e1-9e2，问是否存在这样的实数与c共线.
四、课堂练习：
1.设e1、e2是同一平面内的两个向量，则有( )
A.e1、e2一定平行
B.e1、e2的模相等
C.同一平面内的任一向量a都有a =λe1+μe2(λ、μ∈R)
D.若e1、e2不共线，则同一平面内的任一向量a都有a =λe1+ue2(λ、u∈R)
2.已知矢量a = e1-2e2，b =2e1+e2，其中e1、e2不共线，则a+b与c =6e1-2e2的关系
A.不共线 B.共线 C.相等 D.无法确定
3.已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，则x-y的值等于( )
A.3 B.-3 C.0 D.2
4.已知a、b不共线，且c =λ1a+λ2b(λ1，λ2∈R)，若c与b共线，则λ1= .
5.已知λ1＞0，λ2＞0，e1、e2是一组基底，且a =λ1e1+λ2e2，则a与e1_____，a与e2_________(填共线或不共线).
五、小结（略）
六、课后作业（略）：
七、板书设计（略）
八、课后记：
第5课时
§2.3.2—§2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算
教学目的：
（1）理解平面向量的坐标的概念；
（2）掌握平面向量的坐标运算；
（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.
教学重点：平面向量的坐标运算
教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性.
授课类型：新授课
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2
(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
(2)基底不惟一，关键是不共线；
(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；
(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被，，唯一确定的数量
二、讲解新课：
1．平面向量的坐标表示
如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得
…………
我们把叫做向量的（直角）坐标，记作
…………
其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，式叫做向量的坐标表示.与相等的向量的坐标也为.
特别地，，，.
如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作，则点的位置由唯一确定.
设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.
2．平面向量的坐标运算
（1） 若，，则，
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.
设基底为、，则
即，同理可得
（2） 若，，则
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.
==( x2， y2) (x1，y1)= (x2 x1， y2 y1)
（3）若和实数，则.
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
设基底为、，则，即
三、讲解范例：
例1 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，求的坐标.
例2 已知=(2，1)， =(-3，4)，求+，-，3+4的坐标.
例3 已知平面上三点的坐标分别为A(2， 1)， B(1， 3)， C(3， 4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.
解：当平行四边形为ABCD时，由得D1=(2， 2)
当平行四边形为ACDB时，得D2=(4， 6)，当平行四边形为DACB时，得D3=(6， 0)
例4已知三个力 (3， 4)， (2， 5)， (x， y)的合力++=，求的坐标.
解：由题设++= 得：(3， 4)+ (2， 5)+(x， y)=(0， 0)
即： ∴ ∴(5，1)
四、课堂练习：
1．若M(3， -2) N(-5， -1) 且 ， 求P点的坐标
2．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ， 则2= .
3．已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) ， 求证：四边形ABCD是梯形.
五、小结（略）
六、课后作业（略）
七、板书设计（略）
八、课后记：
（王海）
第6课时
§2.3.4 平面向量共线的坐标表示
教学目的：
（1）理解平面向量的坐标的概念；
（2）掌握平面向量的坐标运算；
（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.
教学重点：平面向量的坐标运算
教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性
授课类型：新授课
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．平面向量的坐标表示
分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得
把叫做向量的（直角）坐标，记作
其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标， 特别地，，，.
2．平面向量的坐标运算
若，，
则，，.
若，，则
二、讲解新课：
∥ ()的充要条件是x1y2-x2y1=0
设=(x1， y1) ，=(x2， y2) 其中.
由=λ得， (x1， y1) =λ(x2， y2) 消去λ，x1y2-x2y1=0
探究：（1）消去λ时不能两式相除，∵y1， y2有可能为0， ∵ ∴x2， y2中至少有一个不为0
（2）充要条件不能写成 ∵x1， x2有可能为0
(3)从而向量共线的充要条件有两种形式：∥ ()
三、讲解范例：
例1已知=(4，2)，=(6， y)，且∥，求y.
例2已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(2，5)，试判断A，B，C三点之间的位置关系.
例3设点P是线段P1P2上的一点， P1、P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2).
(1) 当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
(2) 当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标.
例4若向量=(-1，x)与=(-x， 2)共线且方向相同，求x
解：∵=(-1，x)与=(-x， 2) 共线 ∴(-1)×2- x (-x)=0
∴x=± ∵与方向相同 ∴x=
例5 已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(1，5) ，D(2，7) ，向量与平行吗？直线AB与平行于直线CD吗？
解：∵=(1-(-1)， 3-(-1))=(2， 4) ， =(2-1，7-5)=(1，2)
又 ∵2×2-4×1=0 ∴∥
又 ∵ =(1-(-1)， 5-(-1))=(2，6) ，=(2， 4)，2×4-2×60 ∴与不平行
∴A，B，C不共线 ∴AB与CD不重合 ∴AB∥CD
四、课堂练习：
1.若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，则y=（ ）
A.6 B.5 C.7 D.8
2.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为（ ）
A.-3 B.-1 C.1 D.3
3.若=i+2j， =(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分别与x、y轴正方向相同且为单位向量). 与共线，则x、y的值可能分别为（ ）
A.1，2 B.2，2 C.3，2 D.2，4
4.已知a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，则y= .
5.已知a=(1，2)，b=(x，1)，若a+2b与2a-b平行，则x的值为 .
6.已知□ABCD四个顶点的坐标为A(5，7)，B(3，x)，C(2，3)，D(4，x)，则x= .
五、小结 （略）
六、课后作业（略）
七、板书设计（略）
八、课后记：
（王海）
§2.4平面向量的数量积
第7课时
一、 平面向量的数量积的物理背景及其含义
教学目的：
1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；
2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；
3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；
4.掌握向量垂直的条件.
教学重点：平面向量的数量积定义
教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用
授课类型：新授课
教 具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律.
教学过程：
一、复习引入：
1． 向量共线定理 向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ.
2．平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2
3．平面向量的坐标表示
分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得
把叫做向量的（直角）坐标，记作
4．平面向量的坐标运算
若，，则，，.
若，，则
5．∥ ()的充要条件是x1y2-x2y1=0
6．线段的定比分点及λ
P1， P2是直线l上的两点，P是l上不同于P1， P2的任一点，存在实数λ，
使 =λ，λ叫做点P分所成的比，有三种情况：
λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)
7. 定比分点坐标公式：
若点P１(x1，y1) ，Ｐ２(x2，y2)，λ为实数，且＝λ，则点P的坐标为（），我们称λ为点P分所成的比.
8. 点P的位置与λ的范围的关系：
①当λ＞０时，与同向共线，这时称点P为的内分点.
②当λ＜０()时，与反向共线，这时称点P为的外分点.
9.线段定比分点坐标公式的向量形式：
在平面内任取一点O，设＝ａ，＝ｂ，
可得=.
10．力做的功：W = |F||s|cos，是F与s的夹角.
二、讲解新课：
1．两个非零向量夹角的概念
已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.
说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；
（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；
（3）当θ＝时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ；
（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0≤≤180
2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫ａ与ｂ的数量积，记作ab，即有ab = |a||b|cos，
（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.
探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定.
（2）两个向量的数量积称为内积，写成ab；今后要学到两个向量的外积a×b，而ab是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.
（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且ab=0，不能推出b=0.因为其中cos有可能为0.
（4）已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc a=c.但是ab = bc a = c
如右图：ab = |a||b|cos = |b||OA|，bc = |b||c|cos = |b||OA|
ab = bc 但a c
(5)在实数中，有(ab)c = a(bc)，但是(ab)c a(bc)
显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.
3．“投影”的概念：作图
定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.
投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当 = 0时投影为 |b|；当 = 180时投影为 |b|.
4．向量的数量积的几何意义：
数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.
5．两个向量的数量积的性质：
设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.
1 ea = ae =|a|cos
2 ab ab = 0
3 当a与b同向时，ab = |a||b|；当a与b反向时，ab = |a||b|. 特别的aa = |a|2或
4 cos =
5 |ab| ≤ |a||b|
三、讲解范例：
例1 已知|a|=5， |b|=4， a与b的夹角θ=120o，求a·b.
例2 已知|a|=6， |b|=4， a与b的夹角为60o求(a+2b)·(a-3b).
例3 已知|a|=3， |b|=4， 且a与b不共线，k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直.
例4 判断正误，并简要说明理由.
①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－＝；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２.
解：上述8个命题中只有③⑧正确；
对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·ａ＝０；对于②：应有０·ａ＝0；
对于④：由数量积定义有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜·｜cosθ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜，这里θ是ａ与ｂ的夹角，只有θ＝０或θ＝π时，才有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜；
对于⑤：若非零向量ａ、ｂ垂直，有ａ·ｂ＝０；
对于⑥：由ａ·ｂ＝０可知ａ⊥ｂ可以都非零；
对于⑦：若ａ与с共线，记ａ＝λс.
则ａ·ｂ＝（λс）·ｂ＝λ（с·ｂ）＝λ（ｂ·с），
∴（ａ·ｂ）·с＝λ（ｂ·с）с＝（ｂ·с）λс＝（ｂ·с）ａ
若ａ与с不共线，则(ａ·ｂ)с≠（ｂ·с）ａ.
评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.
例6 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ.
解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ＝０°，
∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18；
若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，
∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18；
②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°，
∴ａ·ｂ＝０；
③当ａ与ｂ的夹角是60°时，有
ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6×＝9
评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当ａ∥ｂ时，有0°或180°两种可能.
四、课堂练习：
1.已知|a|=1，|b|=，且(a-b)与a垂直，则a与b的夹角是（ ）
A.60° B.30° C.135° D.４５°
2.已知|a|=2，|b|=1，a与b之间的夹角为，那么向量m=a-4b的模为（ ）
A.2 B.2 C.6 D.12
3.已知a、b是非零向量，则|a|=|b|是(a+b)与(a-b)垂直的（ ）
A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知向量a、b的夹角为，|a|=2，|b|=1，则|a+b|·|a-b|= .
5.已知a+b=2i-8j，a-b=-8i+16j，其中i、j是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量，那么a·b= .
6.已知a⊥b、c与a、b的夹角均为60°，且|a|=1，|b|=2，|c|=3，则(a+2b-c)２＝______.
7.已知|a|=1，|b|=，(1)若a∥b，求a·b；(2)若a、b的夹角为６０°，求|a+b|；(3)若a-b与a垂直，求a与b的夹角.
8.设m、n是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量a=2m+n与b=2n-3m的夹角.
9.对于两个非零向量a、b，求使|a+tb|最小时的t值，并求此时b与a+tb的夹角.
五、小结（略）
六、课后作业（略）
七、教学后记：
（王海）
第8课时
二、平面向量数量积的运算律
教学目的：
1.掌握平面向量数量积运算规律；
2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；
3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.
教学重点：平面向量数量积及运算规律.
教学难点：平面向量数量积的应用
授课类型：新授课
教 具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质. ?
教学过程：
一、复习引入：
1．两个非零向量夹角的概念
已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.
2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫ａ与ｂ的数量积，记作ab，即有ab = |a||b|cos，
（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.
3．“投影”的概念：作图
定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.
投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当 = 0时投影为 |b|；当 = 180时投影为 |b|.
4．向量的数量积的几何意义：
数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.
5．两个向量的数量积的性质：
设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.
1 ea = ae =|a|cos； 2 ab ab = 0
3 当a与b同向时，ab = |a||b|；当a与b反向时，ab = |a||b|. 特别的aa = |a|2或
4cos = ；5|ab| ≤ |a||b|
二、讲解新课：
平面向量数量积的运算律
1．交换律：a b = b a
证：设a，b夹角为，则a b = |a||b|cos，b a = |b||a|cos
∴a b = b a
2．数乘结合律：(a)b =(ab) = a(b)
证：若> 0，(a)b =|a||b|cos， (ab) =|a||b|cos，a(b) =|a||b|cos，
若< 0，(a)b =|a||b|cos() = |a||b|(cos) =|a||b|cos，(ab) =|a||b|cos，
a(b) =|a||b|cos() = |a||b|(cos) =|a||b|cos.
3．分配律：(a + b)c = ac + bc
在平面内取一点O，作= a， = b，= c， ∵a + b （即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即 |a + b| cos = |a| cos1 + |b| cos2
∴| c | |a + b| cos =|c| |a| cos1 + |c| |b| cos2， ∴c(a + b) = ca + cb 即：(a + b)c = ac + bc
说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）
（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ
（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，
（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ
(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２
三、讲解范例：
例1 已知a、b都是非零向量，且a + 3b与7a 5b垂直，a 4b与7a 2b垂直，求a与b的夹角.
解：由(a + 3b)(7a 5b) = 0 7a2 + 16ab 15b2 = 0 ①
(a 4b)(7a 2b) = 0 7a2 30ab + 8b2 = 0 ②
两式相减：2ab = b2
代入①或②得：a2 = b2
设a、b的夹角为，则cos = ∴ = 60
例2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.
解：如图：平行四边形ABCD中，，，=
∴||2=
而= ，
∴||2=
∴||2 + ||2 = 2=
例3 四边形ABCD中，＝ａ，＝ｂ，＝с，＝ｄ，且ａ·ｂ＝ｂ·с＝с·ｄ＝ｄ·ａ，试问四边形ABCD是什么图形
分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量.
解：四边形ABCD是矩形，这是因为：
一方面：∵ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，∴ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ），∴(ａ＋ｂ)２＝（с＋ｄ）２
即｜ａ｜２＋２ａ·ｂ＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋２с·ｄ＋｜ｄ｜２
由于ａ·ｂ＝с·ｄ，∴｜ａ｜２＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋｜ｄ｜２①
同理有｜ａ｜２＋｜ｄ｜２＝｜с｜２＋｜ｂ｜２②
由①②可得｜ａ｜＝｜с｜，且｜ｂ｜＝｜ｄ｜即四边形ABCD两组对边分别相等.
∴四边形ABCD是平行四边形
另一方面，由ａ·ｂ＝ｂ·с，有ｂ（ａ－с）＝０，而由平行四边形ABCD可得ａ＝－с，代入上式得ｂ·(2ａ)＝０，即ａ·ｂ＝０，∴ａ⊥ｂ也即AB⊥BC.
综上所述，四边形ABCD是矩形.
评述：(1)在四边形中，，，，是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，应注意这一隐含条件应用；
(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系.
四、课堂练习：
1.下列叙述不正确的是（ ）
A.向量的数量积满足交换律 B.向量的数量积满足分配律
C.向量的数量积满足结合律 D.a·b是一个实数
2.已知|a|=6，|b|=4，a与b的夹角为６０°，则(a+2b)·(a-3b)等于（ ）
A.72 B.-72 C.36 D.-36
3.|a|=3，|b|=4，向量a+b与a-b的位置关系为（ ）
A.平行 B.垂直 C.夹角为 D.不平行也不垂直
4.已知|a|=3，|b|=4，且a与b的夹角为150°，则(a+b)２＝ .
5.已知|a|=2，|b|=5，a·b=-3，则|a+b|=______，|a-b|= .
6.设|a|=3，|b|=5，且a+λb与a－λb垂直，则λ＝ .
五、小结（略）
六、课后作业（略）
七、板书设计（略）
八、课后记：
（王海）
第9课时
三、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
教学目的：
⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示
⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式.
⑶能用所学知识解决有关综合问题.
教学重点：平面向量数量积的坐标表示
教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用
授课类型：新授课
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．两个非零向量夹角的概念
已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.
2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫ａ与ｂ的数量积，记作ab，即有ab = |a||b|cos，
（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.
3．向量的数量积的几何意义：
数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.
4．两个向量的数量积的性质：
设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.
1 ea = ae =|a|cos； 2 ab ab = 0
3 当a与b同向时，ab = |a||b|；当a与b反向时，ab = |a||b|. 特别的aa = |a|2或
4 cos = ；5|ab| ≤ |a||b|
5．平面向量数量积的运算律
交换律：a b = b a
数乘结合律：(a)b =(ab) = a(b)
分配律：(a + b)c = ac + bc
二、讲解新课：
⒈ 平面两向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量，，试用和的坐标表示.
设是轴上的单位向量，是轴上的单位向量，那么，
所以
又，，，所以
这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即
2. 平面内两点间的距离公式
8、 设，则或.
（2）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式)
9、 向量垂直的判定
设，，则
10、 两向量夹角的余弦（）
cos =
11、 讲解范例：
12、 设a = (5， 7)，b = (6， 4)，求a·b及a、b间的夹角θ(精确到1o)
例2 已知A(1， 2)，B(2， 3)，C(2， 5)，试判断△ABC的形状，并给出证明.
例3 已知a = (3， 1)，b = (1， 2)，求满足xa = 9与xb = 4的向量x.
解：设x = (t， s)，
由 ∴x = (2， 3)
例4 已知a＝（１，），b＝（＋１，－１），则a与b的夹角是多少
分析：为求a与b夹角，需先求a·b及｜a｜·｜b｜，再结合夹角θ的范围确定其值.
解：由a＝（１，），b＝（＋１，－１）
有a·b＝＋１＋（－１）＝４，｜a｜＝２，｜b｜＝２．
记a与b的夹角为θ，则ｃｏｓθ＝
又∵０≤θ≤π，∴θ＝
评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.
例5 如图，以原点和A(5， 2)为顶点作等腰直角△OAB，使B = 90，求点B和向量的坐标.
解：设B点坐标(x， y)，则= (x， y)，= (x5， y2)
∵ ∴x(x5) + y(y2) = 0即：x2 + y2 5x 2y = 0
又∵|| = || ∴x2 + y2 = (x5)2 + (y2)2即：10x + 4y = 29
由
∴B点坐标或；=或
例6 在△ABC中，=(2， 3)，=(1， k)，且△ABC的一个内角为直角，
求k值.
解：当A = 90时，= 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k =
当B = 90时，= 0，== (12， k3) = (1， k3)
∴2×(1) +3×(k3) = 0 ∴k =
当C = 90时，= 0，∴1 + k(k3) = 0 ∴k =
13、 课堂练习：
1.若a=(-4，3)，b=(5，6)，则3|a|２－４a·b＝（ ）
A.23 B.57 C.63 D.83
2.已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，则△ABC为（ ）
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不等边三角形
3.已知a=(4，3)，向量b是垂直a的单位向量，则b等于（ ）
A.或? B.或
C.或? D.或
4.a=(2，3)，b=(-2，4)，则(a+b)·(a-b)= .
5.已知A(3，2)，B(-1，-1)，若点P(x，-)在线段AB的中垂线上，则x= .
6.已知A(1，0)，B(3，1)，C(2，0)，且a=，b=，则a与b的夹角为 .
14、 小结（略）
15、 课后作业（略）
16、 板书设计（略）
17、 课后记：
（王海）
第12课时
复习课
一、教学目标
1. 理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向量.两向量的夹角等概念。
2. 了解平面向量基本定理.
3. 向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。
4. 了解向量形式的三角形不等式：|||-||≤|±|≤||+||(试问：取等号的条件是什么 )和向量形式的平行四边形定理：2(||+||)=|－|+|+|.
5. 了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）：
6. 向量的坐标概念和坐标表示法
7. 向量的坐标运算（加.减.实数和向量的乘法.数量积）
8. 数量积（点乘或内积）的概念，·=||||cos=xx+yy注意区别“实数与向量的乘法；向量与向量的乘法”
二、知识与方法
向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视. 数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直
三、典型例题
例1.对于任意非零向量与，求证：｜｜｜-｜｜｜≤｜±｜≤｜｜+｜｜
证明：(1)两个非零向量与不共线时，+的方向与，的方向都不同，并且｜｜-｜｜＜｜±｜＜｜｜+｜｜
(3)两个非零向量与共线时，①与同向，则+的方向与.相同且｜+｜=｜｜＋｜｜.②与异向时，则+的方向与模较大的向量方向相同，设||＞||，则|+|=||-||.同理可证另一种情况也成立。
例2 已知O为△ABC内部一点，∠AOB=150°，∠BOC=90°，设=，=，=，
且||=2，||=1，| |=3，用与表示
解：如图建立平面直角坐标系xoy，其中, 是单位正交基底向量, 则B（0，1），C（-3，0），设A（x，y），则条件知x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150°-90°)，即A（1，-），也就是= －, =， =-3所以-3=3+|即=3－3
例3.下面5个命题：①|·|=||·||②(·)=·③⊥(－)，则·=· ④·=0，则|+|=|－|⑤·=0，则=或=，其中真命题是（ ）
A①②⑤ B ③④ C①③ D②④⑤
3、 巩固训练
1.下面5个命题中正确的有（ ）
①=·=·； ②·=·=；③·（+）=·+·； ④·（·）=（·）·； ⑤.
A..①②⑤ B.①③⑤ C. ②③④ D. ①③
2.下列命题中，正确命题的个数为（ A ）
①若与是非零向量 ，且与共线时，则与必与或中之一方向相同；②若为单位向量，且∥则=|| ③··=|| ④若与共线，与共线，则与共线；⑤若平面内四点A.B.C.D，必有+=+
A 1 B 2 C 3 D 4
3.下列5个命题中正确的是
①对于实数p,q和向量,若p=q则p=q②对于向量与，若||=||则=③对于两个单位向量与，若|+|=2则=④对于两个单位向量与，若k=，则=
4.已知四边形ABCD的顶点分别为A(2,1)，B(5,4)，C(2,7)，D(-1,4),求证：四边形ABCD为正方形。
A
B
C
D
A(起点)
B
（终点）
a
A B C
C A B
A B
C
A B
C
A
B
C
a+b
a+b
a
a
b
b
a
ｂ
ｂ
ａ＋ｂ
a
a
a
O
A
B
a
a
a
b
b
b
A B
D C
O
a
b
B
a
b
ab
O
A
B
a
B’
b
b
b
B
a+ (b)
a
b
ab
A
A
B
B
B’
O
ab
a
a
b
b
O
A
O
B
ab
ab
B
A
O
b
A
B
C
b
a
d
c
D
O
A B
D C
第３题
C
C
C3.2.4 二倍角的正弦、余弦、正切（4）
一、课题：二倍角的正弦、余弦、正切（4）
二、教学目标：1.继续研究二倍角公式的应用；
2.利用三角函数的性质建立目标函数解题。
三、教学重、难点：综合运用二倍角公式。
四、教学过程：
（一）复习：
1．二倍角公式
2．降幂公式：
．
（二）新课讲解：
例1：已知，，且，为锐角，试求的值。
解：∵， ∴ ①
又∵， ∴ ②
①②，得：，
又∵， ∴，，
∴， 从而．
例2：已知，，成等差数列，，，成等比数列，求的值。
解：由已知条件得：
，，
∴，
，
，
解得：．
∵，
所以，．
例3：求证：．
证明：左边
右边．
所以，原式成立。
例4：已知：，与是方程的
两个根，求的值。
解：∵方程的两个根为
．
∴，且由得：， ．
所以，．
五、小结：倍角公式在求值，证明题中的应用。
六、作业：
补充：1．设，求；
2．已知：，求的值；
3．求；
4．求值；
5．求证：．
PAGE
- 1 -第十一课时 平面向量数量积的坐标表示
教学目标：
掌握两个向量数量积的坐标表示方法，掌握两个向量垂直的坐标条件，能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题.
教学重点：
平面向量数量积的坐标表示.
教学难点：
向量数量积的坐标表示的应用.
教学过程：
Ⅰ.课题引入
上一节我们学面向量的数量积，并对向量已能用坐标表示，如果已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，怎样用a和b的坐标表示a·b呢
这是我们这一节将要研究的问题.
Ⅱ.讲授新课
首先我们推导平面向量的数量积坐标表示：
记a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
∴a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j
∴a·b＝(x1i＋y1j)(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋(x1y2＋x2y1)i·j＋y1y1j2＝x1x2＋y1y2
1.平面向量数量积的坐标表示：
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
∴a·b＝x1x2＋y1y2
2.两向量垂直的坐标表示：
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
则a⊥ba·b＝0x1x2＋y1y2＝0
［例1］已知a＝(1，)，b＝(＋1，－1)，则a与b的夹角是多少
分析：为求a与b夹角，需先求a·b及｜a｜｜b｜，再结合夹角θ的范围确定其值.
解：由a＝(1，)，b＝(＋1，－1)
有a·b＝＋1＋ (－1)＝4，｜a｜＝2，｜b｜＝2.
记a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝
又∵0≤θ≤， ∴θ＝
评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.
［例2］已知a＝(3，4)，b＝(4，3)，求x，y的值使(xa＋yb)⊥a，且｜xa＋yb｜＝1.
分析：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想.
解：由a＝(3，4)，b＝(4，3)，有xa＋yb＝(3x＋4y，4x＋3y)
又(xa＋yb)⊥a(xa＋yb)·a＝0
3(3x＋4y)＋4(4x＋3y)＝0
即25x＋24y＝0 ①
又｜xa＋yb｜＝1｜xa＋yb｜2＝1
(3x＋4y)2＋(4x＋3y)2＝1
整理得：25x2＋48xy＋25y2＝1
即x(25x＋24y)＋24xy＋25y2＝1 ②
由①②有24xy＋25y2＝1 ③
将①变形代入③可得：y＝±
再代入①得：x＝
∴或
［例3］在△ABC中，＝(1，1)，＝(2，k)，若△ABC中有一个角为直角，求实数k的值.
解：若A＝90°，则·＝0，
∴1×2＋1×k＝0，即k＝－2
若B＝90°，则·＝0，又＝－＝(2，k)－(1，1)＝(1，k－1)
即得：1＋(k－1)＝0，∴k＝0
若C＝90°，则·＝0，即2＋k(k－1)＝0，而k2－k＋2＝0无实根，
所以不存在实数k使C＝90°
综上所述，k＝－2或k＝0时，△ABC内有一内角是直角.
评述：本题条件中无明确指出哪个角是直角，所以需分情况讨论.讨论要注意分类的全面性，同时要注意坐标运算的准确性.
［例4］已知：O为原点，A(a，0)，B(0，a)，a为正常数，点P在线段AB上，且＝t (0≤t≤1)，则·的最大值是多少
解：设P(x，y)，则＝(x－a，y)，＝(－a，a)，由＝t可有：
，解得
∴＝(a－at，at)，又＝(a，0)，
∴·＝a2－a2t
∵a＞0，可得－a2＜0，又0≤t≤1，
∴当t＝0时，·＝a2－a2t，有最大值a2.
［例5］已知｜a｜＝3，｜b｜＝2，a，b夹角为60°，m为何值时两向量3a＋5b与ma－3b互相垂直？
解法：(3a＋5b)·(ma－3b)
＝3m｜a｜2－9a·b＋5ma·b－15｜b｜2
＝27m＋(5m－9)×3×2cos60°－15×4＝42m－87＝0
∴m＝＝时，(3a＋5b)⊥(ma－3b).
Ⅲ.课堂练习
课本P82练习1～8.
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，要求大家掌握两个向量数量积的坐标表示方法，掌握两个向量垂直的坐标形式条件，能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题.
Ⅴ.课后作业
课本P83习题 6，8，9，10
平面向量数量积的坐标表示
1．在已知a＝(x，y），b＝(－y，x)，则a，b之间的关系为 （ ）
A.平行 B.不平行不垂直 C.a⊥b D.以上均不对
2．已知a＝（－4，3），b＝(5，6），则3|a|2－4a·b为 （ ）
A.63 B.83 C.23 D.57
3．若a＝（－3，4），b＝(2，－1），若（a－xb)⊥（a－b)，则x等于 （ ）
A.－23 B. C.－ D.－
4．若a＝（λ，2），b＝(－3，5），a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围为 （ ）
A.（，+∞） B.［，+∞）
C.（－∞，） D.（－∞，］
5．已知a＝（－2，1），b＝（－2，－3），则a在b方向上的投影为 （ ）
A.－ B. C.0 D.1
6．已知向量c与向量a＝（，－1）和b＝（1，）的夹角相等，c的模为，则
c＝ .
7．若a＝（3，4），b＝(1，2）且a·b＝10，则b在a上的投影为 .
8．设a＝（x1，y1)，b＝(x`2，y`2)有以下命题：
①|a|＝ ②b2＝ ③a·b＝x1x`2＋y1y`2 ④a⊥bx1x`2＋y1y`2＝0，其中假命题的序号为 .
9．已知A（2，1），B（3，2），D（－1，4），
（1）求证：⊥ ；（2）若四边形ABCD为矩形，求点C的坐标.
10．已知a＝（3，－2），b＝(k，k）（k∈R)，t＝|a－b|，当k取何值时，t有最小值？最小值为多少？
11．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1及|3a－2b|＝3，求|3a＋b|的值.
平面向量数量积的坐标表示答案
1．C 2．B 3．C 4．A 5．B 6．(，)或(－，) 7．2 8．②
9．已知A（2，1），B（3，2），D（－1，4），
（1）求证：⊥ ；（2）若四边形ABCD为矩形，求点C的坐标.
（1）证明：∵＝（1，1），＝（－3，3）
∴·＝1×3＋1×(－3)＝0， ∴⊥.
（2）解：∵ABCD为矩形，设C（x，y），
∴＝，（1，1）＝（x+1，y－4)
∴x＝0，y＝5，∴C（0，5）.
10．已知a＝（3，－2），b＝(k，k）（k∈R)，t＝|a－b|，当k取何值时，t有最小值？最小值为多少？
解：∵a－b＝(3－k，－2－k)
∴t＝|a－b|＝
＝＝ eq \r(2（k－）2＋)
∴当k＝时，t取最小值，最小值为.
11．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1及|3a－2b|＝3，求|3a＋b|的值.
解：a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2),
∴|a|＝|b|＝1，
∴x12＋y12＝1，x22＋y22＝1 ①
3a－2b＝3(x1，y1)－2(x2，y2)＝(3x1－2x2，3y1－2y2),
又|3a－2b|＝3,
∴(3x1－2x2)2＋(3y1－2y2)2＝9,
将①代入化简，
得x1x2＋y1y2＝ ②
又3a＋b＝3(x1，y1)＋(x2，y2)＝(3x1＋x2，3y1＋y2),
∴|3a＋b|2＝(3x1＋x2)2＋(3y1＋y2)2＝9(x12＋y12)＋(x22＋y22)＋6(x1x2＋y1y2)＝12,
故|3a＋b|＝2.
- 6 -2．2．2 向量的减法
一、课题：向量的减法
二、教学目标：1．掌握向量减法及相反向量的的概念；
2．掌握向量减法与加法的逆运算关系，并能正确作出已知两向量的差向量；
3．能用向量运算解决一些具体问题。
三、教学重、难点：向量减法的定义。
四、教学过程：
（一）复习：1．向量的加法法则。
2．数的运算：减法是加法的逆运算。
（二）新课讲解：
1．相反向量：与长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作。
说明：（1）规定：零向量的相反向量是零向量。
（2）性质：；．
2．向量的减法：求两个向量差的运算，叫做向量的减法。表示．
3．向量减法的法则：
已知如图有，，求作．
（1）三角形法则：在平面内任取一点，作，，则．
说明：可以表示为从的终点指向的终点的向量（，有共同起点）．
（2）平行四边形：在平面内任取一点，作 ，，
则．
思考：若，怎样作出？
4．例题分析：
例1 试证：对任意向量，都有．
证明：（1）当，中有零向量时，显然成立。
（2）当，均不为零向量时：
①，，即时，当，同向时，；
当，异向时，．
②，不共线时，在中，，
则有．
∴其中：
当，同向时，，
当，同向时，．
例2 用向量方法证明：对角线互相平行的四边形是平行四边形。
已知：，，求证：四边形是平行四边形。
证明：设，，则，
∴，
∴，又∵点不在
∴平行且等于
所以，四边形是平行四边形．
五、课堂练习：
六、课堂小结：1．掌握向量减法概念并知道向量的减法的定义是建立在向量加法的基础
上的；
2．会作两向量的差向量；
3．能够结合图形进行向量计算以及用两个向量表示其它向量。
七、作业： 补充
1．已知正方形的边长等于1，，，，
求作向量：（1）（2）；
2．已知向量，的模分别是3，4，求的取值范围。
3．如图，已知平行四边形的对角线，交于点，若，
，，求证．
PAGE
- 2 -第五章检测题
一、选择题：
1.a与b是非零向量，下列结论正确的是
A．|a|＋|b|＝|a＋b| B．|a|－|b|＝|a－b|
C．|a|＋|b|＞|a＋b| D．|a|＋|b|≥|a＋b|
解析：在三角形中，两边之和大于第三边，当a与b同向时，取“＝”号.
答案：D
2.在四边形ABCD中，，且||＝||，那么四边形ABCD为
A．平行四边形 B．菱形
C．长方形 D．正方形
解析：由＝可得四边形ABCD是平行四边形，由||＝||得四边形ABCD的一组邻边相等，一组邻边相等的平行四边形是菱形.
答案：B
3.已知ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为（－2，1）、（3，4）、（－1，3），则第四个顶点D的坐标为
A．（2，2） B．（－6，0）
C．（4，6） D．（－4，2）
解析：设D（x，y），则＝（5，3），＝（－1－x，3－y），
＝（x＋2，y－1），＝（－4，－1）.
又∵∥，∥，
∴5（3－y）＋3（1＋x）＝0，－（x＋2）＋4（y－1）＝0，
解得x＝－6，y＝0.
答案：B
4.有下列命题：①＝0；②（a＋b）·c＝a·c＋b·c；③若a＝（m，4），则|a|＝的充要条件是m＝；④若的起点为A（2，1），终点为B（－2，4），则与x轴正向所夹角的余弦值是.其中正确命题的序号是
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
解析：∵，∴①错.
②是数量积的分配律，正确.
当m＝－时，|a|也等于，∴③错.
在④中，＝（4，－3）与x轴正向夹角的余弦值是，故④正确.
答案：C
5.已知a＝（－2，5），|b|＝2|a|，若b与a反向，则b等于
A．（－1，） B．（1，－）
C．（－4，10） D．（4，－10）
解析：b＝－2a＝（4，－10），选D.
答案：D
6.已知|a|＝8，e是单位向量，当它们之间的夹角为时，a在e方向上的投影为
A．4 B．4 C．4 D．8＋2
解析：由两个向量数量积的几何意义可知：a在e方向上的投影即：
a·e＝|a||e|cos＝8×1×＝4.
答案：B
7.若|a|＝|b|＝1，a⊥b且2a＋3b与ka－4b也互相垂直，则k的值为
A．－6 B．6 C．3 D．－3
解析：∵a⊥b
∴a·b＝0
又∵（2a＋3b）⊥（ka－4 b）
∴（2a＋3b）·（ka－4 b）＝0
得2ka2－12b2＝0又a2=|a|2=1，b2=|b|2=1
解得k＝6.
答案：B
8.已知a＝（3，4），b⊥a，且b的起点为（1，2），终点为（x，3x），则b等于
A．（－） B．（－）
C．（－） D．（）
解析：b＝（x－1，3x－2）
∵a⊥b，∴a·b＝0
即3（x－1）＋4（3x－2）＝0，
解得x＝.
答案：C
9.等边△ABC的边长为1，＝a，＝b，＝c，那么a·b＋b·c＋c·a等于
A．0 B．1 C．－ D．－
解析：由已知|a|＝|b|＝|c|＝1，
∴a·b＋b·c＋c·a
＝cos120°＋cos120°＋cos120°＝－.
答案：D
10.把函数y＝的图象按a＝（－1，2）平移到F′，则F′的函数解析式为
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
解析：把函数y＝的图象按a＝（－1，2）平移到F′，则F′的函数解析式为A，即按图象向左平移1个单位，用（x＋1）换掉x，再把图象向上平移2个单位，用（y－2）换掉y，可得y－2＝.
整理得y＝
答案：A
11.已知向量e1、e2不共线，a＝ke1＋e2，b＝e1＋ke2，若a与b共线，则k等于（ ）
A．±1 B．1 C．－1 D．0
解析：∵a与b共线
∴a＝λb（λ∈R），
即ke1＋e2＝λ（e1＋ke2），
∴（k－λ）e1＋（1－λk）e2＝0
∵e1、e2不共线.
∴
解得k＝±1，故选A.
答案：A
12.已知a、b均为非零向量，则|a＋b|＝|a－b|是a⊥b的
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
解析：|a＋b|＝| a－b|（a＋b）2＝（a－b）2a·b＝0a⊥b.
答案：C
二、填空题
13.如图，M、N是△ABC的一边BC上的两个三等分点，＝a，＝b，则＝ .
解析：＝b－a，
∴＝（b－a）.
答案：（b－a）
14.a、b、a－b的数值分别为2，3，，则a与b的夹角为 .
解析：∵（a－b）2＝7
∴a2－2a·b＋b 2＝7
∴a·b＝3
∴cosθ＝
∴θ＝.
答案：
15.把函数y＝－2x2的图象按a平移，得到y＝－2x2－4x－1的图象，则a＝ .
解析：y＝－2x2－4x－1＝－2（x＋1）2＋1
∴y－1＝－2（x＋1）2
即原函数图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，∴a＝（－1，1）.
答案：（－1，1）
16.已知向量a、b的夹角为，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋b||a－b|的值是 .
解析：∵a·b＝|a||b|cos＝2×1×＝1
∴|a+b|2＝a2＋2a·b＋b2＝22＋2×1＋12＝7，
|a－b|2＝a2－2 a·b＋b2＝22－2×1＋1＝3
∴|a＋b|2|a－b |2＝3×7＝21
∴|a＋b||a－b |＝.
答案：
三、解答题：
17.（本小题满分10分）
已知A（4，1），B（1，－），C（x，－），若A、B、C共线，求x.
解：∵＝（－3，－），＝（x－1，－1）
又∵∥
∴根据两向量共线的充要条件得－（x－1）＝3
解得x＝－1.
18.（本小题满分12分）
已知|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－b，c⊥d，求m的值.
解：a·b＝|a||b|cos60°＝3
∵c⊥d，∴c·d＝0
即（3a＋5b）（ma－b）＝0
∴3ma2＋（5m－3）a·b－5b2＝0
∴27m＋3（5m－3）－20＝0
解得m＝.
19.（本小题满分12分）
已知a、b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角.
解：由已知，（a＋3b）·（7 a－5b）＝0，
（a－4b）·（7a－2 b）＝0，
即7a2＋16a·b－15 b 2＝0 ①
7a－30a·b＋8 b 2＝0 ②
①－②得2a·b＝b2
代入①式得a2＝b2
∴cosθ＝，
故a与b的夹角为60°.
20.（本小题满分12分）
已知：在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，AB上的中线CD＝m，求证：a2＋b2＝c2＋2m2.
证明：∵，
两式平方相加可得
a2＋b2＝c2＋2m2＋2（·＋·）
∵·＋·
＝||||·cosBDC＋||||cosCDA＝0
∴a2＋b2＝c2＋2m2.
21.（本小题满分14分）
设i、j分别是直角坐标系x轴、y轴上的单位向量，若在同一直线上有三点A、B、C，且＝－2i＋mj，＝ni＋j，＝5i－j，⊥，求实数m、n的值.
解：∵⊥，
∴－2n＋m＝0 ①
∵A、B、C在同一直线上，
∴存在实数λ使＝λ，
＝－＝7i＋［－（m＋1）j］
＝－＝（n＋2）i＋（1－m）j，
∴7＝λ（n＋2）
m＋1＝λ（m－1）
消去λ得mn－5m＋n＋9＝0 ②
由①得m＝2n代入②解得
m＝6，n＝3；或m＝3，n＝.
22.（本小题满分14分）
如图，△ABC的顶点A、B、C所对的边分别为a、b、c，A为圆心，直径PQ＝2ｒ，问：当P、Q取什么位置时，·有最大值
解：·＝（）·（）
＝（）·（－）
＝－r2＋··
设∠BAC＝α，PA的延长线与BC的延长线相交于D，∠PDB＝θ，则
·＝－r2＋cbcosθ＋racosθ
∵a、b、c、α、r均为定值，
∴当cosθ＝1，即AP∥BC时，·有最大值.第六课时 平面向量基本定理
教学目标：
了解平面向量基本定理，掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法，能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达；事物之间的相互转化.
教学重点：
平面向量基本定理.
教学难点：
平面向量基本定理的理解与应用.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
上一节，我们一起学习了实数与向量的积的定义及运算律，并了解了两向量共线的充要条件.
这一节，我们将在上述知识的基础上学习平面向量基本定理及其应用.
Ⅱ.讲授新课
平面向量基本定理：
如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
说明：(1)我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
(2)基底不唯一，关键是不共线；
(3)由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解；
(4)基底给定时，分解形式唯一；
(5)一个平面向量用一组基底e1、e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式，我们称它为向量的分解。当e1、e2互相垂直时，就称为向量的正交分解。
［例1］如图，平行四边形ABCD中，＝a，＝b，H、M是AD、DC之中点，F使BF＝BC，以a、b为基底分解向量与.
分析：以a，b为基底分解向量与，实为用a与b
表示向量与.
解：由H、M、F所在位置有：
＝＋＝＋＝＋＝b＋a，
＝－＝＋－＝＋－＝＋－＝a－b
［例2］如图，O是三角形ABC内一点，PQ∥BC，且＝t，＝a，＝b，＝c，求与.
分析：由平面几何的知识可得△APQ∽△ABC，且对应边的比为t，
∴＝＝t，转化向量的关系为：＝t，＝t，
又由于已知和未知向量均以原点O为起点，所以把有关向量都用
以原点O为起点的向量来表示，是解决问题的途径所在.
解：∵PQ∥BC，且＝t，有△APQ∽△ABC，且对应边比为
t(＝)，即＝＝t.
转化为向量的关系有：＝t，＝t，又由于：＝－，＝－，＝－，＝－.
∴＝＋＝＋t(－)＝a＋t(b－a)＝(1－t)a＋tb，
＝＋＝＋t(－)＝t(c－a)＋a＝(1－t)a＋tc.
Ⅲ.课堂练习
课本P71练习1，2，3，4.
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，要求学生在理解平面向量基本定理基础上，能掌握平面向量基本定理的简单应用.
Ⅴ.课后作业
预习课本P73
- 1 -§3 弧度制（1课时）
洋浦实验中学 吴永和
1、 教学目标：
1、 知识与技能
（1）理解1弧度的角及弧度的定义；（2）掌握角度与弧度的换算公式；（3）熟练进行角度与弧度的换算；（4）理解角的集合与实数集R之间的一一对应关系；（5）理解并掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，并能灵活运用这两个公式解题。
2、 过程与方法
通过单位圆中的圆心角引入弧度的概念；比较两种度量角的方法探究角度制与弧度制之间的互化；应用在特殊角的角度制与弧度制的互化，帮助学生理解掌握；以针对性的例题和习题使学生掌握弧长公式和扇形的面积公式；通过自主学习和合作学习，树立学生正确的学习态度。
3、 情感态度与价值观
通过弧度制的学习，使学生认识到角度制与弧度制都是度量角制度，二者虽单位不同，但却是相互联系、辩证统一的；在弧度制下，角的加、减运算可以像十进制一样进行，而不需要进行角度制与十进制之间的互化，化简了六十进制给角的加、减运算带来的诸多不便，体现了弧度制的简捷美；通过弧度制与角度制的比较，使学生认识到引入弧度制的优越性，激发学生的学习兴趣和求知欲望，养成良好的学习品质。
二、教学重、难点
重点: 理解弧度制的意义，正确进行弧度与角度的换算；弧长和面积公式及应用。
难点: 弧度的概念及与角度的关系；角的集合与实数之间的一一对应关系。
三、学法与教学用具
在初中，我们非常熟悉角度制表示角，但在进行角的运算时，运用六十进制出现了很不习惯的问题，与我们常用的十进制不一样，正因为这样，所以有必要引入弧度制；在学习中，通过自主学习的形式，让学生感受弧度制的优越性，在类比中理解掌握弧度制。
教学用具:多媒体、三角板
四、教学思路
【创设情境，揭示课题】
在初中几何里我们学过角的度量，当时是用度做单位来度量角的．我们把周角的规定为1度的角，而把这种用度作单位来度量角的单位制叫做角度制．但在数学和其他科学中我们还经常用到另一种度量角的单位制——弧度制。下面我们就来学习弧度制的有关概念．(板书课题)弧度制的单位是rad，读作弧度．
【探究新知】
1．1弧度的角的定义．
(板书)我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角，叫做1弧度的角(打开课件)．如图1—14(见教材)，弧AB的长等于半径r，则弧AB所对的圆心角就是1弧度的角，弧度的单位记作rad。
在图1（课件）中，圆心角∠AOC所对的弧长l＝2r，那么∠AOC的弧度数就是2rad；圆心角∠AOD所对的弧长l＝r，那么∠AOC的弧度数就是rad；圆心角∠AOE所对的弧长为l，那么∠AOE的弧度数是多少呢？学生思考并交流，此我们可以得到弧度制的定义．
2．弧度制的定义：
一般地，(板书)正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数
是o；角α的弧度数的绝对值|α|＝，其中l是以角α作为圆心角时所对弧的长，r是圆
的半径，这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制．
在弧度制的定义中，我们是用弧长与其半径的比值来反映弧所对的圆心角的大小的．为什么可以用这个比值来度量角的大小呢 这个比值与所取的圆的半径大小有没有关系 请同学们自主学习课本P12—P13，从课本中我们可以看出，这个比值与所取的半径大小无关，只与角的大小有关。有兴趣的同学们可以对它进行理论上的证明：
(论证)如图1—13（见教材），设∠α为n°(n°＞0)的角，圆弧AB和AlBl的长分别为l和l1，点A和Al到点O的距离(即圆的半径)分别为r(r＞0)和rl(rl＞0)，由初中所学的弧长公式有l＝r，l1＝r1，所以＝＝，这表明以角α为圆心角所对的弧长与其半径的比值，与所取的半径大小无关，只与角α的大小有关．
用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量数相同(都是0)；用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量数也不同．但它们既然是表示同一个角，那这二者之间就应该可以进行换算，下面我们来讨论角度与弧度的换算．
3．角度制与弧度制的换算．
现在我们知道：1个周角＝360°＝r，所以，(板书)360°＝2πrad，由此可以得到180°＝πrad，1°＝≈0．01745rad，1rad＝（）°≈57.30°＝57°18’。
说明：在进行角度与弧度的换算时，关键要抓住180°＝πrad这一关系式．
今后我们用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，而只写这个角所对应的弧度数．例如，角α＝2就表示是2rad的角，sin就表示rad的角的正弦，但用角度制表示角时，“度”或“°”不能省去．而且用“弧度”为单位度量角时，常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数，如45°＝rad ，不必写成45°＝0．785弧度．
前面我们介绍了角度制下的终边相同角的表示方法，而角度制与弧度制可以相互转化，所以与角α终边相同的角(连同角α在内)，也可以用弧度制来表示．但书写时要注意前后两项所采用的单位制必须一致．
角的概念推广后，无论用角度制还是用弧度制，都能在角的集合与实数集R之间建立一种一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数与它对应，例如这个角的弧度数或度数；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角与它对应，就是弧度数或度数等于这个实数的角。
【巩固深化，发展思维】
1．例题讲评
例1．把45°化成弧度。
解：45°＝×45rad＝rad.
例2．把rad化成度。
解：rad＝×180°＝108°.
例3．利用弧度制证明扇形面积公式S＝lr，其中l是扇形的弧长，r是圆的半径。
证：∵圆心角为1的扇形的面积为·πr2，又∵弧长为l的扇形的圆心角的大小为，∴扇形的面积S＝··πr2＝lr.
2．学生课堂练习
（1）填表
度 0° 45° 60° 180° 360°
弧度
说明：一些特殊角的弧度数，大家要熟记，免得每次遇到都要去进行换算．
（2）用弧度制写出终边落在y轴上和x轴上的角集合。
五、归纳整理，整体认识
（1）主要学习了弧度制的定义；角度与弧度的换算公式；特殊角的弧度数。
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
六、布置作业：习题1—3中的1、2、6.
七、课后反思
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11.2任意角的三角函数
1.2.2同角三角函数的基本关系
农垦中学 刘国海
一、教学目标：
1、知识与技能
(1) 使学生掌握同角三角函数的基本关系；(2)已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；(3)利用同角三角函数关系式化简三角函数式；(4)利用同角三角函数关系式证明三角恒等式；（5）牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；（6）灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法；（7）掌握恒等式证明的一般方法.
2、过程与方法
由圆的几何性质出发,利用三角函数线,探究同一个角的不同三角函数之间的关系；学习已知一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；利用同角三角函数关系式化简三角函数式；利用同角三角函数关系式证明三角恒等式等.通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.
3、情态与价值
通过本节的学习，牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；进一步树立化归思想方法和证明三角恒等式的一般方法.
二、教学重、难点
重点：公式及的推导及运用：（1）已知某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个，求其余两个；（2）化简三角函数式；（3）证明简单的三角恒等式.
难点: 根据角α终边所在象限求出其三角函数值；选择适当的方法证明三角恒等式.
三、学法与教学用具
利用三角函数线的定义, 推导同角三角函数的基本关系式: 及,并灵活应用求三角函数值,化减三角函数式,证明三角恒等式等.
教学用具:圆规、三角板、投影
四、教学设想
【创设情境】
与初中学习锐角三角函数一样，本节课我们来研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化．
【探究新知】
1. 探究:三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从圆的几何性质出发,讨论一
下同一个角不同三角函数之间的关系吗
如图:以正弦线,余弦线和半径三者的长构成直角三角形,而且.由勾股定理由,因此,即.
根据三角函数的定义,当时,有.
这就是说,同一个角的正弦、余弦的平方等于1，商等于角的正切.
2. 例题讲评
例6.已知,求的值.
三者知一求二,熟练掌握.
3. 巩固练习页第1,2,3题
4.例题讲评
例7.求证:.
通过本例题,总结证明一个三角恒等式的方法步骤.
5.巩固练习页第4,5题
6.学习小结
（1）同角三角函数的关系式的前提是“同角”，因此，．
（2）利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，即要就角所在象限进行分类讨论．
五、评价设计
(1) 作业：习题1.2A组第10,13题.
(2) 熟练掌握记忆同角三角函数的关系式,试将关系式变形等,得到其他几个常用的关
系式;注意三角恒等式的证明方法与步骤.
O
x
y
P
M
1
A(1,0)
PAGE
2第七课时 二倍角的正弦、余弦、正切(一)
教学目标：
掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明；引导学生发现数学规律，让学生体会化归这一基本数学思想在发现中所起的作用，培养学生的创新意识.
教学重点：
二倍角公式的推导及简单应用.
教学难点：
理解倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数.
教学过程：
Ⅰ.课题导入
前一段时间，我们共同探讨了和角公式、差角公式，今天，我们继续探讨一下二倍角公式.我们知道，和角公式与差角公式是可以互相化归的.当两角相等时，两角之和便为此角的二倍，那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢 请同学们试推.
先回忆和角公式
sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ
当α＝β时，sin(α＋β)＝sin2α＝2sinαcosα
即：sin2α＝2sinαcosα(S2α)
cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
当α＝β时cos(α＋β)＝cos2α＝cos2α－sin2α
即：cos2α＝cos2α－sin2α(C2α)
tan(α＋β)＝
当α＝β时，tan2α＝
Ⅱ.讲授新课
同学们推证所得结果是否与此结果相同呢 其中由于sin2α＋cos2α＝1，公式C2α还可以变形为：cos2α＝2cos2α－1或：cos2α＝1－2sin2α
同学们是否也考虑到了呢
另外运用这些公式要注意如下几点：
(1)公式S2α、C2α中，角α可以是任意角；但公式T2α只有当α≠＋kπ及α≠＋ (k∈Z)时才成立，否则不成立(因为当α＝＋kπ，k∈Z时，tanα的值不存在；当α＝＋，k∈Z时tan2α的值不存在).
当α＝＋kπ(k∈Z)时,虽然tanα的值不存在，但tan2α的值是存在的，这时求tan2α的值可利用诱导公式：
即：tan2α＝tan2(＋kπ)＝tan(π＋2kπ)＝tanπ＝0
(2)在一般情况下，sin2α≠2sinα
例如：sin＝≠2sin＝1；只有在一些特殊的情况下，才有可能成立［当且仅当α＝kπ(k∈Z)时，sin2α＝2sinα＝0成立］.
同样在一般情况下cos2α≠2cosαtan2α≠2tanα
(3)倍角公式不仅可运用于将2α作为α的2倍的情况，还可以运用于诸如将4α作为2α的2倍，将α作为 的2倍，将 作为 的2倍，将3α作为 的2倍等等.
下面，来看一些例子：
［例1］已知sinα＝，α∈(，π)，求sin2α，cos2α，tan2α的值.
解：∵sinα＝，α∈(，π)
∴cosα＝－＝－ eq \r(1－（）2) ＝－
∴sin2α＝2sinαcosα＝2××(－)＝－，
cos2α＝1－2sin2α＝1－2×()2＝，
tan2α＝＝－×＝－.
练习题：
1.已知cosα＝m，α在第二象限，求sin2α，cos2α，tan2α的值.
解：∵cosα＝m，α在第二象限.
∴sinα＝＝
∴sin2α＝2sinαcosα＝2·m＝2m
cos2α＝2cos2α－1＝2m2－1
tan2α＝＝ eq \f(2m,2m2－1)
或由tanα＝＝ eq \f(,m)
tan2α＝＝ eq \f(2m,2m2－1)
2.化简cos(θ＋15°)＋cos(θ－15°)－cos2θ
分析：由于观察到此式中的角出现了θ＋15°、θ－15°与2θ，另外还出现了二次式，所以要用二倍角余弦公式的变形式达到降“次”及统一角的目的.
解：cos(θ＋15°)＋cos(θ－15°)－cos2θ
＝＋－cos2θ
＝1＋［cos(2θ＋30°)＋cos(2θ－30°)］－cos2θ
＝1＋［cos2θcos30°－sin2θsin30°＋cos2θcos30°＋sin2θsin30°］－cos2θ
＝1＋×2cos2θcos30°－cos2θ
＝1＋cos2θ－cos2θ＝1
评述：二倍角公式的等价变形：
sin2α＝，cos2α＝，可以进行“升(降)幂”的变换，即可将“二次式”与“一次式”互化.
［例2］若270°＜α＜360°，化简： eq \r(＋ eq \r(＋cos2α) )
解：∵cos2α＝2cos2α－1，cosα＝2cos2－1
∴ eq \r(＋ eq \r(＋cos2α) )
＝ eq \r(＋ eq \r(＋（2cos2α－1）) ) ＝ eq \r(＋)
又∵270°＜α＜360° 135°＜＜180°
∴原式＝ eq \r(＋cosα) ＝ eq \r(＋（2cos2－1）) ＝ eq \r(cos2) ＝－cos
［例3］求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.
解：sin10°＝cos80° sin50°＝cos40°sin70°＝cos20°
∴原式＝cos80°cos40°cos20°
＝×＝× eq \f(cos80°cos40°sin40°×,sin20°)
＝× eq \f(cos80°sin80°××,sin20°) ＝× eq \f(sin160°×××,sin20°) ＝
［例4］求证：8cos4θ＝cos4θ＋4cos2θ＋3
证明：8cos4θ＝8(cos2θ)2＝8()2＝2(cos22θ＋2cos2θ＋1)
＝2()＋4cos2θ＋2＝cos4θ＋4cos2θ＋3
Ⅲ.课堂练习
课本P108 1、2、3、4.
Ⅳ.课时小结
理解并掌握二倍角公式以及推导，能正确运用二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明.
二倍角公式是由和角公式由一般化归为特殊而来的，要注重这种基本数学思想方法，学会怎样去发现数学规律.
Ⅴ.课后作业
课本P110习题 1、2、3、4.
- 3 -三角函数
4-1.1.1任意角（1）
教学目标：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。
教学重点：理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义
教学难点：“旋转”定义角
课标要求：了解任意角的概念
教学过程：
一、引入
同学们在初中时，曾初步接触过三角函数，那时的运用仅限于计算一些特殊的三角函数值、研究一些三角形中简单的边角关系等。三角函数也是高中数学的一个重要内容，在今后的学习中大家会发现三角学有着极其丰富的内容，它能够简单地解决许多数学问题，在中学数学中有着非常广泛的应用。
二、新课
1．回忆：初中是任何定义角的？
（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘”
师：初中时，我们已学习了0○～360○角的概念，它是如何定义的呢？
生：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
师：如图1，一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角α。旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫α的顶点。
师：在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720o” （即转体2周），“转体1080o”（即转体3周）；再如时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？如果慢了5分钟，又该如何校正？
生：逆时针旋转300；顺时针旋转300.
师：（1）用扳手拧螺母；（2）跳水运动员身体旋转．说明旋转第二周、第三周……，则形成了更大范围内的角，这些角显然超出了我们已有的认识范围。本节课将在已掌握 ～ 角的范围基础上，重新给出角的定义，并研究这些角的分类及记法．
2.角的概念的推广：?
(1)定义：一条射线OA由原来的位置OA，绕着它的端点O按一定方向旋转到另一位置OB，就形成了角α。其中射线OA叫角α的始边，射线OB叫角α的终边，O叫角α的顶点。
3．正角、负角、零角概念
师：为了区别起见，我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，如图2中的角为正角，它等于300与7500；我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，那么同学们猜猜看，负角怎么规定呢？零角呢？
生：按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。
师：如图3，以OA为始边的角α=-1500，β=-6600。特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这是形成了一个角，并把这个角称为零角。
师：好，角的概念经过这样的推广之后，就应该包括正角、负角、零角。这里还有一点要说明：为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可简记为α.
4.象限角
师：在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念。同学们已经经过预习，请一位同学回答什么叫：象限角？
生：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。
师：很好，从刚才这位同学的回答可以知道，她已经基本理解了“象限角”的概念了。下面请大家将书上象限角的定义划好，同时思考这么三个问题：
1.定义中说：角的始边与x轴的非负半轴重合，如果改为与x轴的正半轴重合行不行，为什么？
2.定义中有个小括号，内容是：除端点外，请问课本为什么要加这四个字？
3.是不是任意角都可以归结为是象限角，为什么？
处理：学生思考片刻后回答，教师适时予以纠正。
答：1.不行，始边包括端点（原点）； 2．端点在原点上；
3．不是，一些特殊角终边可能落在坐标轴上；如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任一象限。
师：同学们一定要学会看数学书，特别是一些重要的概念、定理、性质要斟字酌句，每个字都要弄清楚，这样的预习才是有效果的。
师生讨论：好，按照象限角定义，图中的300，3900，-3300角，都是第一象限角；3000，-600角，都是第四象限角；5850角是第三象限角。
师：很好，不过老师还有几事不明，要请教大家：（1）锐角是第一象限角吗？第一象限角是锐角吗？为什么？
生：锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角；
师：（2）锐角就是小于900的角吗？
生：小于900的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角；
师：（3）锐角就是00～900的角吗？
生：锐角：{θ|00<θ<900}；00～900的角：{θ|00≤θ<900}.
学生练习（口答） 已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？
（1）4200； （2）-750； （3）8550； （4）-5100.
答：（1）第一象限角；（2）第四象限角；（3）第二象限角；（4）第三象限角.
5.终边相同的角的表示法
师：观察下列角你有什么发现 390 330 30 1470 1770
生:终边重合.
师:请同学们思考为什么？能否再举三个与300角同终边的角？
生：图中发现3900，-3300与300相差3600的整数倍，例如，3900=3600+300，-3300=-3600+300；与300角同终边的角还有7500，-6900等。
师：好！这位同学发现了两个同终边角的特征，即：终边相同的角相差3600的整数倍。例如：7500=2×3600+300；-6900=-2×3600+300。那么除了这些角之外，与300角终边相同的角还有：
3×3600+300 -3×3600+300
4×3600+300 -4×3600+300
……， ……，
由此，我们可以用S={β|β=k×3600+300，k∈Z}来表示所有与300角终边相同的角的集合。
师：那好，对于任意一个角α，与它终边相同的角的集合应如何表示？
生：S={β|β=α+k×3600，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。
6.例题讲评
例1 设， ，那么有（ D ）．
　　A．　　　B．　　C．（ ）　　D．
例2用集合表示：
　　（1）各象限的角组成的集合．　　（2）终边落在 轴右侧的角的集合．
解：(1) 第一象限角：｛α|k360oπ＜α＜k360o+90o,k∈Z｝
第二象限角：｛α|k360o+90o＜α＜k360o+180o,k∈Z｝
第三象限角：｛α|k360o+180o＜α＜k360o+270o,k∈Z｝
第四象限角：{α|k360o+270o＜α＜k360o+360o ,k∈Z｝
（2）在 ～ 中， 轴右侧的角可记为 ，同样把该范围“旋转” 后，得 ， ，故 轴右侧角的集合为 ．
说明：一个角按顺、逆时针旋转 （ ）后与原来角终边重合，同样一个“区间”内的角，按顺逆时针旋转 （ ）角后，所得“区间”仍与原区间重叠．
例3 （1）如图，终边落在 位置时的角的集合是__{α|α＝k360o+120o ,k∈Z }；终边落在 位置，且在 内的角的集合是_{－45o,225o}_ ；终边落在阴影部分（含边界）的角的集合
是_{α|k360o－45o＜α＜k360o+120o ,k∈Z}．
练习：
（1）请用集合表示下列各角．
　　① ～ 间的角　 ②第一象限角　 ③锐角　 ④小于 角．
解答（1）① ；　　　　② ；
　　　　③ ；　　　④
（2）分别写出：
　　①终边落在 轴负半轴上的角的集合；　　②终边落在 轴上的角的集合；
　　③终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合；
　　④终边落在四象限角平分线上的角的集合．
　解答（2）① ；　② ；
　　　　③ ；　　　　④ ．
　　说明：第一象限角未必是锐角，小于 的角不一定是锐角， ～ 间的角，根据课本约定它包括 ，但不包含 ．
例4在～ 间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角
（1） ；（2） ；（3） ．
解：（1）∵
　　　　∴与 角终边相同的角是 角，它是第三象限的角；
　　（2）∵
　　　　∴与 终边相同的角是 ，它是第四象限的角；
　　（3）
　　所以与 角终边相同的角是 ，它是第二象限角．
　　
　　总结：草式写在草稿纸上，正的角度除以 ，按通常除去进行；负的角度除以 ，商是负数，它的绝对值应比被除数为其相反数时相应的商大1，以使余数为正值．
练习：
（1）一角为 ，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为__．
（2）集合M＝{α=k，k∈Z}中，各角的终边都在（C ）
　　A．轴正半轴上，　　　　　B．轴正半轴上，
　　C． 轴或 轴上，　　　　　D． 轴正半轴或 轴正半轴上
（3）设 ，　　　　　
　　　　C＝{α|α= k180o+45o ,k∈Z} ，　　　　　
　　　　
则相等的角集合为_B＝D，C＝E__．
三.本课小结
本节课我们学习了正角、负角和零角的概念，象限角的概念，要注意如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，本节课的重点是学习终边相同的角的表示法。
判断一个角 是第几象限角，只要把 改写成 ， ，那么 在第几象限， 就是第几象限角，若角 与角 适合关系： ， ，则 、 终边相同；若角 与 适合关系： ， ，则 、 终边互为反向延长线．判断一个角所有象限或不同角之间的终边关系，可首先把它们化为： ， 这种模式（ ），然后只要考查 的相关问题即可．另外，数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法．
四.作业:
4-1.1.1任意角（2）
教学目标：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。
教学重点：理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义
教学难点：“旋转”定义角
课标要求：了解任意角的概念
教学过程：
一、复习
师：上节课我们学习了角的概念的推广，推广后的角分为正角、负角和零角；另外还学习了象限角的概念，下面请一位同学叙述一下它们的定义。
生：略
师：上节课我们还学习了所有与α角终边相同的角的集合的表示法，[板书]
S={β|β=α+k×3600，k∈Z}
这节课我们将进一步学习并运用角的概念的推广，解决一些简单问题。
二、例题选讲
例1写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式-3600≤β<7200的元素β写出来：
（1）600； （2）-210； （3）363014，
解：（1）S={β|β=600+k×3600，k∈Z}S中适合-3600≤β<7200的元素是
600+（-1）×3600=-3000　　　600+0×3600=600　　　600+1×3600=4200.
（2）S={β|β=-210+k×3600，k∈Z} S中适合-3600≤β<7200的元素是
-210+0×3600=-210　　　-210+1×3600=3390　　　　-210+2×3600=6990
说明：-210不是00到3600的角，但仍可用上述方法来构成与-210角终边相同的角的集合。
（3）S={β|β=363014，+k×3600，k∈Z}　　S中适合-3600≤β<7200的元素是
363014，+（-2）×3600=-356046，　　　　363014，+（-1）×3600=3014，　　　363014，+0×3600=363014，
说明：这种终边相同的角的表示法非常重要，应熟练掌握。
例2．写出终边在下列位置的角的集合
(1)x轴的负半轴上；（2）y轴上
分析：要求这些角的集合，根据终边相同的角的表示法，关键只要找出符合这个条件的一个角即α，然后在后面加上k×3600即可。
解：（1）∵在0○～360○间，终边在x轴负半轴上的角为1800，∴终边在x轴负半轴上的所有角构成的集合是{β|β=1800+k×3600，k∈Z }
（2）∵在0○～360○间，终边在y轴上的角有两个，即900和2700，∴与900角终边相同的角构成的集合是S1={β|β=900+k×3600，k∈Z }
同理，与2700角终边相同的角构成的集合是S2={β|β=2700+k×3600，k∈Z }
提问：同学们思考一下，能否将这两条式子写成统一表达式？
师：一下子可能看不出来，这时我们将这两条式子作一简单变化：
S1={β|β=900+k×3600，k∈Z }={β|β=900+2k×1800，k∈Z }………………（1）
S2={β|β=2700+k×3600，k∈Z }={β|β=900+1800+2k×1800，k∈Z }
={β|β=900+（2k+1）×1800，k∈Z } …………………（2）
师：在（1）式等号右边后一项是1800的所有偶数（2k）倍；在（2）式等号右边后一项是1800的所有奇数（2k+1）倍。因此，它们可以合并为1800的所有整数倍，（1）式和（2）式可统一写成900+n×1800（n∈Z），故终边在y轴上的角的集合为
S= S1∪S2 ={β|β=900+2k×1800，k∈Z }∪{β|β=900+（2k+1）×1800，k∈Z }
={β|β=900+n×1800，n∈Z }
处理：师生讨论，教师板演。
提问：终边落在x轴上的角的集合如何表示？终边落在坐标轴上的角的集合如何表示？
（思考后）答：{β|β=k×1800，k∈Z },{β|β=k×900，k∈Z }
进一步：终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合如何表示？
答：{β|β=450+n×1800，n∈Z }
推广：{β|β=α+k×1800，k∈Z }，β，α有何关系？（图形表示）
处理：“提问”由学生作答；“进一步”教师引导，学生作答；“推广”由学生归纳。
若是第二象限角，则，，分别是第几象限的角？
师：是第二象限角，如何表示？
解：（1）∵是第二象限角，∴900+k×3600<<1800+k×3600（k∈Z）
∴ 1800+k×7200<2<3600+k×7200
∴2是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上。
（2）∵，
处理：先将k取几个具体的数看一下（k=0，1，2，3…），再归纳出以下规律：
当时，，是第一象限的角；
当时，，是第三象限的角。
∴是第一或第三象限的角。
说明：配以图形加以说明。
（3）学生练习后教师讲解并配以图形说明。（是第一或第二或第四象限的角）
进一步求是第几象限的角（是第三象限的角），学生练习，教师校对答案。
三、例题小结
要注意某一区间内的角和象限角的区别，象限角是由无数各区间角组成的；
要学会正确运用不等式进行角的表述同时要会以k取不同的值讨论型如
θ=a+k×1200（k∈Z）所表示的角所在的象限。
四、课堂练习
练习2 若的终边在第一、三象限的角平分线上，则的终边在y轴的非负半轴上.
练习3 若的终边与600角的终边相同，试写出在（00，3600）内，与角的终边相同的角。 （200，1400，2600）
（备用题）练习4 如右图，写出阴影部分（包括边界）的角
的集合，并指出-950012，是否是该集合中的角。
（{α| 1200+k×3600≤α≤2500+k×3600，k∈Z}；是）
探究活动
　　经过5小时又25分钟，时钟的分针、时针各转多少度？
五、作业
A组:
1．与 终边相同的角的集合是___________，它们是第____________象限的角，其中最小的正角是___________，最大负角是___________．
2．在0o~360o范围内，找出下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角：
（1）－265 （2）－1000o （3）－843o10’ （4）3900o
B组
3．写出终边在x轴上的角的集合。
4．写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－360o≤β＜360o的元素写出来：
(1)60o (2)－75o (3) －824o30’ (4) 475o (5) 90o (6) 270o (7) 180o (8) 0o
C组：若 是第二象限角时，则 ， ， 分别是第几象限的角？
4-1.1.2弧度制（1）
教学目的：要求学生掌握弧度制的定义，学会弧度制与角度制互化，并进而建立角的集合与实数集一一对应关系的概念。
教学过程：一、回忆（复习）度量角的大小第一种单位制—角度制的定义。
二、提出课题：弧度制—另一种度量角的单位制
它的单位是rad 读作弧度
定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。
如图：AOB=1rad
AOC=2rad
周角=2rad
正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0
角的弧度数的绝对值 （为弧长，为半径）
用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）
用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。
三、角度制与弧度制的换算
抓住：360=2rad ∴180= rad
∴ 1=
例一 把化成弧度
解： ∴
例二 把化成度
解：
注意几点：1．度数与弧度数的换算也可借助“计算器”《中学数学用表》进行；
2．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略 如：3表示3rad sin表示rad角的正弦
3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住（见课本P9表）
4．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。
任意角的集合 实数集R
四、练习（P11 练习1 2）
例三 用弧度制表示：1终边在轴上的角的集合 2终边在轴上的角的集合 3终边在坐标轴上的角的集合
解：1终边在轴上的角的集合
2终边在轴上的角的集合
3终边在坐标轴上的角的集合
五、 小结：1．弧度制定义 2．与弧度制的互化
六、作业：
4-1.1.2弧度制（1）
教学目的：加深学生对弧度制的理解，逐步习惯在具体应用中运用弧度制解决具体的问题。
教学过程：一、复习：弧度制的定义，它与角度制互化的方法。
二、由公式： 比相应的公式简单
弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积
例一 利用弧度制证明扇形面积公式其中是扇形弧长，是圆的半径。
证： 如图：圆心角为1rad的扇形面积为：
弧长为的扇形圆心角为
∴
比较这与扇形面积公式 要简单
例二 直径为20cm的圆中，求下列各圆心所对的弧长 ⑴ ⑵
解： ⑴：
⑵： ∴
例三 如图，已知扇形的周长是6cm，该扇形
的中心角是1弧度，求该扇形的面积。
解：设扇形的半径为r，弧长为，则有
∴ 扇形的面积
例四 计算
解：∵ ∴
∴
例五 将下列各角化成0到的角加上的形式
⑴ ⑵
解：
例六 求图中公路弯道处弧AB的长（精确到1m）
图中长度单位为：m
解： ∵
∴
三、练习：
四、作业：
4-1.2.1任意角的三角函数（1）
教学目的：
知识目标： 1.掌握任意角的三角函数的定义；
2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；
3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。
能力目标：（1）理解并掌握任意角的三角函数的定义；
（2）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；
（3）通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、 解决问题的能力。
德育目标： （1）使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式；
（2）学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；
教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式。公式一是本小节的另一个重点。
教学难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用他们的集合形式表示出来.
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
初中锐角的三角函数是如何定义的？
在Rt△ABC中，设A对边为a，B对边为b，C对边为c，锐角A的正弦、余弦、正切依次为 ．
角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。
二、讲解新课：
1．三角函数定义
在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点（除了原点）的坐标为，它与原点的距离为，那么
（1）比值叫做α的正弦，记作，即；
（2）比值叫做α的余弦，记作，即；
（3）比值叫做α的正切，记作，即；
（4）比值叫做α的余切，记作，即；
（5）比值叫做α的正割，记作，即；
（6）比值叫做α的余割，记作，即．
说明：①α的始边与轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；
②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，六个比值不以点在α的终边上的位置的改变而改变大小；
③当时，α的终边在轴上，终边上任意一点的横坐标都等于，所以与无意义；同理，当时，与无意义；
④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值、、、、、分别是一个确定的实数，所以正弦、余弦、正切、余切、正割、余割是以角为自变量，一比值为函数值的函数，以上六种函数统称为三角函数。
2．三角函数的定义域、值域
函 数 定 义 域 值 域
注意：
(1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x轴的非负半轴重合.?
(2) α是任意角，射线OP是角α的终边，α的各三角函数值（或是否有意义）与ox转了几圈，按什么方向旋转到OP的位置无关.
(3)sin是个整体符号，不能认为是“sin”与“α”的积.其余五个符号也是这样.
(4)任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别:
锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，它们的基础共建立于相似（直角）三角形的性质，“r”同为正值. 所不同的是，锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的,它也适合锐角三角函数的定义.实质上，由锐角三角函数的定义到任意角的三角函数的定义是由特殊到一般的认识和研究过程.
(5)为了便于记忆，我们可以利用两种三角函数定义的一致性，将直角三角形置于平面直角坐标系的第一象限，使一锐角顶点与原点重合，一直角边与x轴的非负半轴重合，利用我们熟悉的锐角三角函数类比记忆.?
3．例题分析
例1．已知角α的终边经过点，求α的六个函数制值。
解：因为，所以，于是
；；
； ；
； ．
例2．求下列各角的六个三角函数值：
（1）； （2）； （3）．
解：（1）因为当时，，，所以
， ，
， 不存在，
， 不存在。
（2）因为当时，，，所以
， ，
， 不存在，
， 不存在。
（3）因为当时，，，所以
， ，
不存在， ，
不存在， ．
例3．已知角α的终边过点，求α的六个三角函数值。
解：因为过点，所以，
当；
；；
当；
；．
4．三角函数的符号
由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：
①正弦值对于第一、二象限为正（），对于第三、四象限为负（）；
②余弦值对于第一、四象限为正（），对于第二、三象限为负（）；
③正切值对于第一、三象限为正（同号），对于第二、四象限为负（异号）．
说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。
为正 全正
为正 为正
5．诱导公式
由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同。
即有：
，
，其中．
，
这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题．
三、巩固与练习
1 确定下列三角函数值的符号：
（1）； （2）； （3）； （4）．
2 求函数的值域
解： 定义域：cosx0 ∴x的终边不在x轴上
又∵tanx0 ∴x的终边不在y轴上
∴当x是第Ⅰ象限角时， cosx=|cosx| tanx=|tanx| ∴y=2
…………Ⅱ…………,|cosx|=cosx |tanx|=tanx ∴y=2
…………ⅢⅣ………, |cosx|=cosx |tanx|=tanx ∴y=0
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．任意角的三角函数的定义；
2．三角函数的定义域、值域；
3．三角函数的符号及诱导公式。
五、课后作业：
补充：1已知点，在角的终边上，求、、的值。
2已知角的终边经过P(4,3),求2sin+cos的值
解：由定义 ： sin= cos= ∴2sin+cos=
六、板书设计：
4-1.2.1任意角的三角函数（2）
教学目的：
知识目标：1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式；
2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值；
3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。
能力目标：掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的理解。
德育目标：学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；
教学重点：正弦、余弦、正切线的概念。
教学难点：正弦、余弦、正切线的利用。
授课类型：新授课
教学模式：讲练结合
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．三角函数的定义及定义域、值域：
练习1：已知角的终边上一点，且，求的值。
解：由题设知，，所以，得，
从而，解得或．
当时，，
；
当时，，
；
当时，，
．
2．三角函数的符号：
练习2：已知且，
（1）求角的集合；（2）求角终边所在的象限；（3）试判断的符号。
3．诱导公式：
练习3：求下列三角函数的值：
（1）， （2）， （3）．
二、讲解新课：
当角的终边上一点的坐标满足时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。
1．单位圆：圆心在圆点，半径等于单位长的圆叫做单位圆。
2．有向线段：
坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。
规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。
3．三角函数线的定义：
设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点，
过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延
长线交与点.
由四个图看出：
当角的终边不在坐标轴上时，有向线段，于是有
， ，
．
我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。
说明：
①三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段；余弦
线在轴上；正切线在过单位圆与轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位
圆内，一条在单位圆外。
②三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂
足；正切线由切点指向与的终边的交点。
③三条有向线段的正负：三条有向线段凡与轴或轴同向的为正值，与轴或轴反向的
为负值。
④三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。
4．例题分析：
例1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。
（1）； （2）； （3）； （4）．
解：图略。
例2.利用三角函数线比较下列各组数的大小：
1 与 2 tan与tan 3 cot与cot
解： 如图可知：
tan tan
cot cot
例3．利用单位圆寻找适合下列条件的0到360的角
1 sin≥ 2 tan
解： 1 2
30≤≤150 3090或210270
例4．利用单位圆写出符合下列条件的角的范围。
（1）； （2）；
（3）且；
（4）； （5）且．
答案：（1）；（2）；
（3）；（4）；
（5）．
三、巩固与练习
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．三角函数线的定义；
2．会画任意角的三角函数线；
3．利用单位圆比较三角函数值的大小，求角的范围。
五、课后作业：
补充：1．利用余弦线比较的大小；
2．若，则比较、、的大小；
3．分别根据下列条件，写出角的取值范围：
（1） ； （2） ； （3）．
六、板书设计：
4-1.2.1任意角的三角函数（3）
教学目的：
知识目标：1.理解三角函数定义. 三角函数的定义域，三角函数线.
2.理解握各种三角函数在各象限内的符号.?
3.理解终边相同的角的同一三角函数值相等.
能力目标：1.掌握三角函数定义. 三角函数的定义域，三角函数线.
2.掌握各种三角函数在各象限内的符号.?
3.掌握终边相同的角的同一三角函数值相等.
授课类型：复习课
教学模式：讲练结合
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
复习引入：
1、三角函数定义. 三角函数的定义域，三角函数线，各种三角函数在各象限内的符号.诱导公式第一组.
2.确定下列各式的符号
(1)sin100°·cos240° (2)sin5+tan5
3. .x取什么值时,有意义
4．若三角形的两内角，满足sincos0，则此三角形必为……（ ）
A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D以上三种情况都可能
5．若是第三象限角，则下列各式中不成立的是………………（ ）
A：sin+cos0 B：tansin0
C：coscot0 D：cotcsc0
6．已知是第三象限角且，问是第几象限角？
讲解新课：
1、求下列函数的定义域：
（1）； （2）
2、已知，则为第几象限角？
3、（1） 若θ在第四象限，试判断sin(cosθ)cos(sinθ)的符号；
（2）若tan(cosθ)cot(sinθ)>0,试指出θ所在的象限，并用图形表示出的取值范围.
4、求证角θ为第三象限角的充分必要条件是
证明：必要性：∵θ是第三象限角，?
∴
充分性：∵sinθ＜0，
∴θ是第三或第四象限角或终边在ｙ轴的非正半轴上
∵tanθ＞0，∴θ是第一或第三象限角.?
∵sinθ＜0，tanθ＞0都成立.?
∴θ为第三象限角.?
5 求值：sin(-1320°)cos1110°+cos(-1020°)sin750°+tan495°．
巩固与练习
1 求函数的值域
2 设是第二象限的角，且的范围.
四、小 结：
五、课后作业：
1、利用单位圆中的三角函数线，确定下列各角的取值范围：
(1) sinα2、
3、角α的终边上的点P与A（a,b）关于x轴对称，角β的终边上的点Q与A关于直线y=x对称.求sinαescβ+tanαcotβ+secαcscβ的值.
六、板书设计：
4-1.2.2同角三角函数的基本关系（1）
教学目的：
知识目标： 1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式；
2.掌握三种基本关系式之间的联系；
3.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。
能力目标： （1）牢固掌握同角三角函数的八个关系式，并能灵活运用于解题，提高学生分析、解决三角的思维能力；
（2）灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力；
德育目标：训练三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法；
教学重点：同角三角函数的基本关系式
教学难点：三角函数值的符号的确定，同角三角函数的基本关系式的变式应用
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．任意角的三角函数定义：
设角是一个任意角，终边上任意一点，
它与原点的距离为，那么：
，，，，，．
2．当角α分别在不同的象限时，sinα、cosα、tgα、ctgα的符号分别是怎样的？
3．背景：如果，A为第一象限的角，如何求角A的其它三角函数值；
4．问题：由于α的三角函数都是由x、y、r 表示的，则角α的六个三角函数之间有什么关系？
二、讲解新课：
（一）同角三角函数的基本关系式：
（板书课题：同角的三角函数的基本关系）
由三角函数的定义，我们可以得到以下关系：
（1）倒数关系：
（2）商数关系：
（3）平方关系：
给出右图，你能说明怎样利用它帮助我们记忆三角函数的基本关系吗？
（1）在对角线上的两个三角函数值的乘积等于1，有倒数关系。
（2）带有阴影的三个倒置三角形中，上面两个三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。有平方关系。
（3）六边形上任意一个顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上的函数值的乘积。可演化出商数关系。
说明：
①注意“同角”，至于角的形式无关重要，如等；
②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如；
③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：
， ， 等。
3．例题分析：
例1．（1）已知，并且是第二象限角，求．
（2）已知，求．
解：（1）∵，
∴，
又∵是第二象限角，
∴，即有，从而
， ．
（2）∵， ∴，
又∵， ∴在第二或三象限角。
当在第二象限时，即有，从而，；
当在第四象限时，即有，从而，．
总结：
已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值。在求值中，确定角的终边位置是关键和必要的。有时，由于角的终边位置的不确定，因此解的情况不止一种。
解题时产生遗漏的主要原因是：①没有确定好或不去确定角的终边位置；②利用平方关系开平方时，漏掉了负的平方根。
例2．已知为非零实数，用表示．
解：∵，，
∴，即有，
又∵为非零实数，∴为象限角。
当在第一、四象限时，即有，从而，
；
当在第二、三象限时，即有，从而，
．
例3．已知（），求
解： ∵， 即，
又∵，
∴，即，，
又∵，∴为象限角。
当在第一、四象限时，即有，；
当在第二、三象限时，即有，．
4．总结解题的一般步骤：
①确定终边的位置（判断所求三角函数的符号）；
②根据同角三角函数的关系式求值。
三、巩固与练习
第27页 练习1，2，3，4
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．同角三角函数基本关系式及成立的条件；
2．根据一个角的某一个三角函数值求其它三角函数值；
3．在以上的题型中：先确定角的终边位置，再根据关系式求值。如已知正弦或余弦，则先用平方关系，再用其它关系求值；若已知正切或余切，则可构造方程组来求值。
五、课后作业：六、板书设计：
4-1.2.2同角三角函数的基本关系（2）
教学目的：
知识目标：根据三角函数关系式进行三角式的化简和证明；
能力目标：（1）了解已知一个三角函数关系式求三角函数（式）值的方法。
（2）灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力；
德育目标：训练三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法；
教学重点：同角三角函数的基本关系式
教学难点：如何运用公式对三角式进行化简和证明。
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．同角三角函数的基本关系式。
（1）倒数关系：，，．
（2）商数关系：，．
（3）平方关系：，，．
（练习）已知，求
2．tanαcosα= ，cotαsecα= ，（secα+tanα）·（ ）=1
二、讲解新课：
例1．化简．
解：原式．
例2．化简．
解：原式
．
例3、已知，求
解：
强调（指出）技巧：1分子、分母是正余弦的一次（或二次）齐次式
2“化1法”
例4、已知，求
解：将 两边平方，得：
例5、已知
解：由题设：
∴
()
例6、已知，求
解：1 由
由 联立：
2
例7、已知 求
解：∵sin2 + cos2 = 1 ∴
化简，整理得：
当m = 0时，
当m = 8时，
三、巩固与练习
1：已知12 sin+5 cos=0，求sin、cos的值.
解：∵12 sin+5 cos=0 ∴sin= cos，又
则（ cos）2+=1，即=
∴cos=± ∴
2.已知，求（1）；原式=
（2）；原式=
说明：（1）为了直接利用，注意所求值式的分子、分母均为一次齐次式，把分子、分母同除以,将分子、分母转化为的代数式；
（2）可利用平方关系，将分子、分母都变为二次齐次式，再利用商数关系化归为的分式求值；
3
4.已知secα—tgα=5，求sinα。
解1：∵secα—tgα=5=5×1=5（sec2α—tg2α）=5（secα+tgα）（secα—tgα），故 secα+tgα=1/5，
则secα=13/5，tgα=—12/5；sinα=tgα·cosα=
解2：由已知：
则
5.已知，求值；
解：可求分析：本题关键时灵活地多次运用条件从而结合同角三角函数关系式达到降次求解的目标；
小结：化简三角函数式，化简的一般要求是：（1）尽量使函数种类最少，项数最少，次数最低；（2）尽量使分母不含三角函数式；（3）根式内的三角函数式尽量开出来；（4）能求得数值的应计算出来，其次要注意在三角函数式变形时，常常将式子中的“1”作巧妙的变形，如：1=
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．运用同角三角函数关系式化简、证明。
2．常用的变形措施有：大角化小，切割化弦等。
五、课后作业：习题 第5，7，8题
思考:已知sin=2sinβ，tan=3tanβ，求的值.
解：sinβ= tanβ=
又1+ tan2β=，
∴1+
即8
六、板书设计：
4-1.2.2同角三角函数的基本关系（3）
教学目的：
知识目标：根据三角函数关系式进行三角式的化简和证明；
能力目标：（1）了解已知一个三角函数关系式求三角函数（式）值的方法。
（2）灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力；
德育目标：训练三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法；
教学重点：同角三角函数的基本关系式
教学难点：如何运用公式对三角式进行化简和证明。
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．同角三角函数的基本关系式。
（1）倒数关系：，，．
（2）商数关系：，．
（3）平方关系：，，．
（练习）已知，求
2．tanαcosα= ，cotαsecα= ，（secα+tanα）·（ ）=1
二、讲解新课：
例8．已知，试确定使等式成立的角的集合。
解：∵=
==．
又∵，
∴， 即得或．
所以，角的集合为：或．
例9．化简．
解：原式=
．
说明：化简后的简单三角函数式应尽量满足以下几点：
（1）所含三角函数的种类最少；
（2）能求值（指准确值）尽量求值；
（3）不含特殊角的三角函数值。
例10．求证：．
证法一：由题义知，所以．
∴左边=右边．
∴原式成立．
证法二：由题义知，所以．
又∵，
∴．
证法三：由题义知，所以．
，
∴．
例11．求证：．
证明：左边
，
右边．
所以，原式成立。
总结：证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：（1）从一边开始，证明它等于另一边（如例5的证法一）；（2）证明左右两边同等于同一个式子（如例6）；（3）证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立。
例12．已知，求．
解：由等式两边平方：
．
∴（*），
即，
可看作方程的两个根，解得．
又∵，∴．又由（*）式知
因此，．
三、巩固与练习
求证：
小结：化简三角函数式，化简的一般要求是：（1）尽量使函数种类最少，项数最少，次数最低；（2）尽量使分母不含三角函数式；（3）根式内的三角函数式尽量开出来；（4）能求得数值的应计算出来，其次要注意在三角函数式变形时，常常将式子中的“1”作巧妙的变形，如：1=
2、已知方程的两根分别是，
求
解：
（化弦法）
3、已知
证：由题设：
4、消去式子中的
解：由
由 （平方消去法）
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．运用同角三角函数关系式化简、证明。
2．常用的变形措施有：大角化小，切割化弦等。
五、课后作业：
六、板书设计：
4-1.3三角函数的诱导公式
一、教材分析
（一）教材的地位与作用：
1、本节课教学内容“诱导公式（二）、（三）、（四）”是人教版数学4，第一章1、3节内容，是学生已学习过的三角函数定义、同角三角函数基本关系式及诱导公式（一）等知识的延续和拓展，又是推导诱导公式（五）的理论依据。
2、求三角函数值是三角函数中的重要问题之一。诱导公式是求三角函数值的基本方法。诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～90°角的三角函数值问题。诱导公式的推导过程，体现了数学的数形结合和归纳转化思想方法，反映了从特殊到一般的数学归纳思维形式。这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有重大的意义。
（二）教学重点与难点：
1、教学重点：诱导公式的推导及应用。
2、教学难点：相关角边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识。
二、目标分析
根据教学内容的结构特征，依据学生学习的心理规律和新课程标准的要求，结合学生的实际水平，本节课的教学目标为：
1、知识目标：（1）识记诱导公式。
（2）理解和掌握公式的内涵及结构特征，会初步运用诱导公式求三角函数的值，并进行简单三角函数式的化简和证明。
2、能力目标：（1）通过诱导公式的推导，培养学生的观察力、分析归纳能力，领会数学的归纳转化思想方法。
（2）通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式。
（3）通过基础训练题组和能力训练题组的练习，提高学生分析问题和解决问题的实践能力。
3、情感目标：（1）通过诱导公式的推导，培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，培养学生的创新意识和创新精神。
（2）通过归纳思维的训练，培养学生踏实细致、严谨科学的学习习惯，渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辨证唯物主义思想。
三、过程分析
（一）创设问题情景，引导学生观察、联想，导入课题
I 重现已有相关知识，为学习新知识作铺垫。
1、提问：试叙述三角函数定义
2、提问：试写出诱导公式（一）
3、提问：试说出诱导公式的结构特征
4、板书诱导公式（一）及结构特征：
诱导公式（一）
sin(k·2π+)=sin cos(k·2π+)=costg(k·2π+)=tg（k∈Z）
结构特征：①终边相同的角的同一三角函数值相等
②把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～360°角的三角函数值问题。
5、问题：试求下列三角函数的值
（1）sin1110° （2）sin1290°
学生：（1）sin1110°=sin（3×2π°+30°）=sin30°=
（2）sin1290°=sin（3×π°+210°）=sin210°
（至此，大多数学生无法再运算，从已有知识导出新问题）
6、引导学生观察演示（一），并思考下列问题一：
演示（一）
（1）210°能否用（180°+）的形式表达？
（0°＜＜90°＝（210°=180°+30°）
（2）210°角的终边与30°的终边关系如何？（互为反向延长线或关于原点对称）
（3）设210°、30°角的终边分别交单位圆于点p、p＇，则点p与p＇的位置关系如何？（关于原点对称）
（4）设点p（x，y），则点p’怎样表示？ [p＇（－x,－y）]
（5）sin210°与sin30°的值关系如何？
7、师生共同分析：
在求sin210°的过程中，我们把210°表示成（180°+30°）后，利用210°与30°角的终边及其与单位圆交点p与p′关于原点对称，借助三角函数定义，把180°～270°角的三角函数值转化为求0°～90°角的三角函数值。
8、导入课题：对于任意角，sin与sin（180+）的关系如何呢？试说出你的猜想。
（二）运用迁移规律，引导学生联想类比、归纳、推导公式
（I）1、引导学生观察演示（二），并思考下列问题二：
设为任意角 演示（二）
（1）角与（180°+）的终边关系如何？（互为反向延长线或关于原点对称）
（2）设与（180°+）的终边分别交单位圆于p，p′，则点p与
p′具有什么关系？ （关于原点对称）
（3）设点p（x,y），那么点p′坐标怎样表示？ [p′（－x,－y）]
（4）sin与sin（180°+）、cos与cos（180°+）关系如何？
（5）tg与tg（180°+）
（6）经过探索，你能把上述结论归纳成公式吗？其公式特征如何？
2、教师针对学生思考中存在的问题，适时点拨、引导，师生共同归纳推导公式。
（1）板书诱导公式（二）
sin（180°+）=－sin cos（180°+）=－costg（180°+）=tg
（2）结构特征：①函数名不变，符号看象限（把看作锐角时）
②把求（180°+）的三角函数值转化为求的三角函数值。
3、基础训练题组一：求下列各三角函数值（可查表）
①cos225° ②tg－π ③sinπ
4、用相同的方法归纳出公式：
sin（π－）=sin
cos（π－）=－cos
tg（π－）=－tg
5、引导学生观察演示（三），并思考下列问题三：
演示（三）
（1）30°与（－30°）角的终边关系如何？ （关于x轴对称）
（2）设30°与（－30°）的终边分别交单位圆于点p、p′，则点p与
p′的关系如何？
（3）设点p（x,y），则点p′的坐标怎样表示？ [p′(x,－y)]
（4）sin（－30°）与sin30°的值关系如何？
6、师生共同分析：在求sin（－30°）值的过程中，我们利用（－30°）与30°角的终边及其与单位圆交点p与p′关于原点对称的关系，借助三角函数定义求sin（－30°）的值。
（Ⅱ）导入新问题：对于任意角 sin与sin（－）的关系如何呢？试说出你的猜想？
1、引导学生观察演示（四），并思考下列问题四：
设为任意角 演示（四）
（1）与（－）角的终边位置关系如何？ （关于x轴对称）
（2）设与（－）角的终边分别交单位圆于点p、p′，则点p与p′位置关系如何？（关于x轴对称）
（3）设点p(x,y)，那么点p′的坐标怎样表示？ [p′(x,－y)]
（4）sin与sin（－）、 cos与cos（－）关系如何？
（5）tg与tg（－）
（6）经过探索，你能把上述结论归纳成公式吗？其公式结构特征如何？
2、学生分组讨论，尝试推导公式，教师巡视及时反馈、矫正、讲评
3、板书诱导公式（三）
sin（－）=－sin cos（－）=costg（－）=－tg
结构特征：①函数名不变，符号看象限（把看作锐角）
②把求（－）的三角函数值转化为求的三角函数值
4、基础训练题组二：求下列各三角函数值（可查表）
sin（－） ②tg（－210°） ③cos（－240°12′）
（三）构建知识系统、掌握方法、强化能力
I、课堂小结：（以填空形式让学生自己完成）
1、诱导公式（一）、（二）、（三）
sin（k·2π+）=sin cos（k·2π+）=costg（k·2π+）=tg(k∈Z)
sin（π+）=－sin cos（π+）=－costg（π+）=tg
sin(－)=－sin cos(－)=costg(－)=－tg
用相同的方法，归纳出公式
Sin(π－α)＝Sin
Cos(π－α)＝－cosα
Ten(π－α)＝－tanα
2、公式的结构特征：函数名不变，符号看象限（把看作锐角时）
（Ⅱ）能力训练题组：（检测学生综合运用知识能力）
1、已知sin(π+)=（为第四象限角），求cos(π+)+tg(－)的值。
2、求下列各三角函数值
（1）tg(－ π) （2）sin(＝－ π)
（3）cos(－5100151) （4）sin(－)
（III）方法及步骤：
（IV）作业与课外思考题
通过上述两题的探索，你能推导出新的公式吗？
四、教法分析
根据教学内容的结构特征和学生学习数学的心理规律，本节课彩了“问题、类比、发现、归纳”探究式思维训练教学方法。
（1）利用已有知识导出新的问题，创设问题情境，引起学生学习兴趣，激发学生的求知欲，达到以旧拓新的目的。
（2）由（1800＋300）与300、（－300）与300终π－与）边对称关系的特殊例子，利多媒体动态演示。学生对“α为任意角”的认识更具完备性，通过联想、引导学生进行导，问题类比、方法迁移，发现任意角α与（1800＋α）、－α终边的对称关系，进行寅，从特殊到一般的归纳推理训练，学生的归纳思维更具客观性、严密性和深刻性，培养学生的创新能力。
（3）采用问题设疑，观察演示，步步深入，层层引发，引导联想、类比，进而发现、归纳的探究式思维训练教学方法。旨在让学生充分感受和理解知识的产生和发展过程。在教师适时的启发点拨下，学生在类比、归纳的过程中积极主动地去探索、发现数学规律（公式），培养学生的创新意识和创新精神。培养学生的思维能力。
（4）通过能力训练题组和课外思考题，把诱导公式（一）、（二）、（三）、四的应用进一步拓广，把归纳推理和演绎推理有机结合起来，发展学生的思维能力。
4-1.4.1正弦、余弦函数的图象（1）
教学目的：
知识目标：（1）利用单位圆中的三角函数线作出的图象，明确图象的形状；
（2）根据关系，作出的图象；
（3）用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图，并利用图象解决一些有关问题；
能力目标：（1）理解并掌握用单位圆作正弦函数、余弦函数的图象的方法；
（2）理解并掌握用“五点法”作正弦函数、余弦函数的图象的方法；
德育目标：通过作正弦函数和余弦函数图象，培养学生认真负责，一丝不苟的学习和工作精神；
教学重点：用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象；
教学难点：作余弦函数的图象，周期性；
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1． 弧度定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。
2.正、余弦函数定义：设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）
P与原点的距离r()
则比值叫做的正弦 记作：
比值叫做的余弦 记作：
3.正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，过P作x轴的垂线，垂足为M，则有
，
向线段MP叫做角α的正弦线，有向线段OM叫做角α的余弦线．
二、讲解新课：
1、用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象（几何法）：为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数．在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线的形状各不相同，从而影响初学者对曲线形状的正确认识．
（1）函数y=sinx的图象
第一步：在直角坐标系的x轴上任取一点，以为圆心作单位圆，从这个圆与x轴的交点A起把圆分成n(这里n=12)等份.把x轴上从0到2π这一段分成n(这里n=12)等份.（预备：取自变量x值—弧度制下角与实数的对应）.
第二步：在单位圆中画出对应于角，，,…，2π的正弦线正弦线（等价于“列表” ）.把角x的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点” ）.
第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象．
根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx，x∈R的图象.
把角x的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx的图象.
（2）余弦函数y=cosx的图象
用几何法作余弦函数的图象，可以用“反射法”将角x的余弦线“竖立”[把坐标轴向下平移，过作与x轴的正半轴成角的直线，又过余弦线A的终点A作x轴的垂线，它与前面所作的直线交于A′，那么A与AA′长度相等且方向同时为正，我们就把余弦线A“竖立”起来成为AA′，用同样的方法，将其它的余弦线也都“竖立”起来．再将它们平移，使起点与x轴上相应的点x重合，则终点就是余弦函数图象上的点．]
也可以用“旋转法”把角 的余弦线“竖立”（把角x 的余弦线O1M按逆时针方向旋转到O1M1位置，则O1M1与O1M长度相等，方向相同.）根据诱导公式,还可以把正弦函数x=sinx的图象向左平移单位即得余弦函数y=cosx的图象. （课件第三页“平移曲线” ）
正弦函数y=sinx的图象和余弦函数y=cosx的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．
2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：
正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：
(0,0) (,1) (,0) (,-1) (2,0)
余弦函数y=cosx x[0,2]的五个点关键是
(0,1) (,0) (,-1) (,0) (2,1)
只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定了．因此在精确度不太高时，常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图，要求熟练掌握．
优点是方便，缺点是精确度不高，熟练后尚可以
3、讲解范例：
例1 作下列函数的简图
(1)y=1+sinx，x∈[0，2π]，　 (2) y=|sinx|， （3）y=sin|x|
例2 用五点法作函数的简图.
例3　分别利用函数的图象和三角函数线两种方法，求满足下列条件的x的集合：
三、巩固与练习
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．正弦、余弦曲线 几何画法和五点法
2．注意与诱导公式，三角函数线的知识的联系
五、课后作业：作业：
补充：1．分别用单位圆中的三角函数线和五点法作出y=sinx的图象
2．分别在[-4,4]内作出y=sinx和y=cosx的图象
3．用五点法作出y=cosx,x[0,2]的图象
六、板书设计：
4-1.4.1正弦、余弦函数的图象（2）
教学目标：
使学生学会用“五点（画图）法”作正弦函数、余弦函数的图象。
通过组织学生观察、猜想、验证与归纳，培养学生的数学能力。
通过营造开放的课堂教学氛围，培养学生积极探索、勇于创新的精神。
教学重点和难点：
重点：用“五点（画图）法”作正弦函数、余弦函数的图象。
难点：确定五个关键点。
教学过程：
思考探究
复习
关于作函数，ｘ∈〔0，２π〕的图象，你学过哪几种方法？
观察我们上一节课用几何法作出的函数ｙ＝sinｘ，ｘ∈〔0，２π〕的图象，你发现有哪几个点在确定图象的形状起着关键作用？为什么？
（用几何画板显示通过平移正弦线作正弦函数图像的过程）
2、“五点（画图）法”
在精确度要求不高时，先作出函数ｙ＝sinｘ的五个关键点，再用平滑的曲线将它们顺次连结起来，就得到函数的简图。这种作图法叫做“五点（画图）法”。
（1）、请你用“五点（画图）法” 作函数ｙ＝sinｘ，ｘ∈〔0，２π〕的图象。
解：按五个关键点列表：
x 0 π 2π
Sinｘ 0 １ 0 －1 0
描点、连线，画出简图。
(用几何画板画出Y=sinx的图像，显示动画)
（2）、试用“五点（画图）法”作函数ｙ＝cosｘ, ｘ∈〔0，２π〕的图象。
　　　解：按五个关键点列表：
x 0 π 2π
Cosｘ 1 0 -1 0 1
　　 描点、连线，画出简图。
自主学习
画出下列函数的简图：
y＝1＋sinx ，ｘ∈〔0，２π〕
ｙ＝－cosx ，ｘ∈〔0，２π〕
解：（1） 按五个关键点列表：
x 0 π 2π
Sinｘ 0 １ 0 －1 0
1+ Sinｘ 1 2 1 0 1
描点、连线，画出简图。
(2)按五个关键点列表：
x 0 π 2π
Cosx 1 0 -1 0 1
- Cosx -1 0 1 0 -1
描点、连线，画出简图。
合作学习
●探究1
如何利用y=sinx，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到（1）y＝1＋sinx ,ｘ∈〔0，２π〕的图象；（2）y=sin(x- π/3)的图象？
小结：函数值加减，图像上下移动；自变量加减，图像左右移动。
●探究2
如何利用y=cos x，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到y＝-cosx ，ｘ∈〔0，２π〕的图象？
小结：这两个图像关于X轴对称。
●探究3
如何利用y=cos x，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到y＝2-cosx ，ｘ∈〔0，２π〕的图象？
小结：先作 y=cos x图象关于x轴对称的图形，得到 y＝-cosx的图象，
再将y＝-cosx的图象向上平移2个单位，得到 y＝2-cosx 的图象。
●探究4
不用作图，你能判断函数y=sin( x - 3π/2 )和y=cosx的图象有何关系吗？请在同一坐标系中画出它们的简图，以验证你的猜想。
小结：sin( x - 3π/2 )= sin[( x - 3π/2 ) +2 π] =sin(x+π/2)=cosx
这两个函数相等，图象重合。
归纳小结
1、五点（画图）法
（1）作法 先作出五个关键点，再用平滑的曲线将它们顺次连结起来。
（2）用途 只有在精确度要求不高时，才能使用“五点法”作图。
（3）关键点
横坐标：0 π/2 π 3π/2 2π
2、图形变换
平移、翻转等
布置作业
P53：A组1 P54：B组1
4-1.4.2正弦、余弦函数的性质(一)
教学目的：
知识目标：要求学生能理解周期函数，周期函数的周期和最小正周期的定义；
能力目标：掌握正、余弦函数的周期和最小正周期，并能求出正、余弦函数的最小正周期。
德育目标：让学生自己根据函数图像而导出周期性，领会从特殊推广到一般的数学思想，体会三角函数图像所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。
教学重点：正、余弦函数的周期性
教学难点：正、余弦函数周期性的理解与应用
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
复习引入：
1．问题：（1）今天是星期二，则过了七天是星期几？过了十四天呢？……
（2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？
2．观察正（余）弦函数的图象总结规律：
自变量
函数值
正弦函数性质如下：
（观察图象） 1正弦函数的图象是有规律不断重复出现的；
2规律是：每隔2重复出现一次（或者说每隔2k,kZ重复出现）
3这个规律由诱导公式sin(2k+x)=sinx可以说明
结论：象这样一种函数叫做周期函数。
文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得；
符号语言：当增加（）时，总有．
也即：（1）当自变量增加时，正弦函数的值又重复出现；
（2）对于定义域内的任意，恒成立。
余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。
二、讲解新课：
1．周期函数定义：对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有：f (x+T)=f (x)那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。
问题：（1）对于函数，有，能否说是它的周期？
（2）正弦函数，是不是周期函数，如果是，周期是多少？（，且）
（3）若函数的周期为，则，也是的周期吗？为什么？
（是，其原因为：）
2、说明：1周期函数x定义域M，则必有x+TM, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界；
2“每一个值”只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数（如f (x0+t)f (x0)）
3T往往是多值的（如y=sinx 2,4,…,-2,-4,…都是周期）周期T中最小的正数叫做f (x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）
y=sinx, y=cosx的最小正周期为2 （一般称为周期）
从图象上可以看出，；，的最小正周期为；
判断：是不是所有的周期函数都有最小正周期？ （没有最小正周期）
3、例题讲解
例1 求下列三角函数的周期： ① ②（3），．
解：（1）∵，
∴自变量只要并且至少要增加到，函数，的值才能重复出现，
所以，函数，的周期是．
（2）∵，
∴自变量只要并且至少要增加到，函数，的值才能重复出现，
所以，函数，的周期是．
（3）∵，
∴自变量只要并且至少要增加到，函数，的值才能重复出现，
所以，函数，的周期是．
说明：（1）一般结论：函数及函数，（其中 为常数，且，）的周期；
（2）若，例如：①，；②，；
③，．
则这三个函数的周期又是什么？
一般结论：函数及函数，的周期
例2先化简，再求函数的周期
①
②
③证明函数的一个周期为，并求函数的值域；
例3 求下列三角函数的周期：
1 y=sin(x+) 2 y=cos2x 3 y=3sin(+)
解：1 令z= x+ 而 sin(2+z)=sinz 即：f (2+z)=f (z)
f [(x+2)+ ]=f (x+) ∴周期T=2
2令z=2x ∴f (x)=cos2x=cosz=cos(z+2)=cos(2x+2)=cos[2(x+)]
即：f (x+)=f (x) ∴T=
3令z=+ 则：f (x)=3sinz=3sin(z+2)=3sin(++2)
=3sin()=f (x+4) ∴T=4
小结：形如y=Asin(ωx+φ) (A,ω,φ为常数,A0, xR) 周期T=
y=Acos(ωx+φ)也可同法求之
例4 求下列函数的周期： 1y=sin(2x+)+2cos(3x-)
2 y=|sinx| 3 y=2sinxcosx+2cos2x-1
解：1 y1=sin(2x+) 最小正周期T1=
y2=2cos(3x-) 最小正周期 T2=
∴T为T1 ,T2的最小公倍数2 ∴T=2
2 T= 作图
注意小结这两种类型的解题规律
3 y=sin2x+cos2x ∴T=
三、巩固与练习
y=2cos()-3sin()
y=-cos(3x+)+sin(4x-)
y=|sin(2x+)|
y=cossin+1-2sin2
四、小 结：本节课学习了以下内容：
周期函数的定义，周期，最小正周期
五、课后作业：P56 练习5、6 P58习题4．8 3
补充：
1．求下列函数的周期：
1y=sin(2x+)+2cos(3x-) 2 y=|sinx| 3 y=2sinxcosx+2cos2x-1
2． 求下列函数的最值： 1 y=sin(3x+)-1 2 y=sin2x-4sinx+5 3 y=
3．函数y=ksinx+b的最大值为2, 最小值为-4，求k,b的值。
六、板书设计：
课题一、知识点（一） （二） 例题：1． 2．
七、课后反思：
题选
求下列函数的周期：
（1）； （2）；
（3）； （4）； （5）．
解：（1），∴周期为；
（2），∴周期为；
（3） ∴周期为；
（4），∴周期为；
（5），∴周期为．
说明：求函数周期的一般方法是：先将函数转化为的形式，再利用公式进行求解。
4-1.4.2(2)正弦、余弦函数的性质(二)
教学目的：
知识目标：要求学生能理解三角函数的奇、偶性和单调性；
能力目标：掌握正、余弦函数的奇、偶性的判断，并能求出正、余弦函数的单调区间。
德育目标：激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志， 实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。
教学重点：正、余弦函数的奇、偶性和单调性；
教学难点：正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
复习引入：
二、讲解新课：
奇偶性
请同学们观察正、余弦函数的图形，说出函数图象有怎样的对称性？其特点是什么？
(1)余弦函数的图形
当自变量取一对相反数时，函数y取同一值。
例如：
f(-)=,f()= ,即f(-)=f()；……
由于cos(－x)=cosx ∴f(-x)= f(x).
以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y）是函数y=cosx的图象上的任一点,那么,与它关于y轴的对称点(-x,y)也在函数y=cosx的图象上，这时，我们说函数y=cosx是偶函数。
定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)= f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。
例如：函数f(x)=x2+1, f(x)=x4-2等都是偶函数。
(2)正弦函数的图形
观察函数y=sinx的图象，当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么关系？
这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？函数的图象关于原点对称。
也就是说，如果点（x,y）是函数y=sinx的图象上任一点，那么与它关于原点对称的点（-x,-y）也在函数y=sinx的图象上，这时，我们说函数y=sinx是奇函数。
定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 f(－x)=－f(x) ，那么函数f(x)就叫做奇函数。
例如：函数y=x, y= 都是奇函数。
如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性。
注意：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数：
（1）其定义域关于原点对称；
（2）f(-x)= f(x)或f(-x)=- f(x)必有一成立。因此，判断某一函数的奇偶性时。
首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算f(-x)，看是等于f(x)还是等于- f(x)，然后下结论；若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性。
2.单调性
从y＝sinx，x∈［－］的图象上可看出：
当x∈［－，］时，曲线逐渐上升，sinx的值由－1增大到1.
当x∈［，］时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到－1.
结合上述周期性可知：
正弦函数在每一个闭区间［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.
余弦函数在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.
3.有关对称轴
观察正、余弦函数的图形，可知
y=sinx的对称轴为x= k∈Z
y=cosx的对称轴为x= k∈Z
（1）写出函数的对称轴；
（2）的一条对称轴是（ C ）
(A) x轴， (B) y轴， (C) 直线， (D) 直线
4.例题讲解
例1 判断下列函数的奇偶性
(1)
(2)f(x)=sin4x-cos4x+cos2x;
(3)
（4）
（5）；
例2 (1)函数f(x)＝sinx图象的对称轴是 ；对称中心是 .
(2)函数图象的对称轴是 ；对称中心是 .
例3 已知f(x)=ax+bsin3x+1(a、b为常数)，且f(5)=7,求f(-5).
例4 已知
求f(x)的定义域和值域；
判断它的奇偶性、周期性；
判断f(x)的单调性.
例5 (1)θ是三角形的一个内角，且关于x 的函数f(x)=sain(x+θ)+cos(x-θ)是偶函数，求θ的值.
(2)若函数f(x)=sin2x+bcos2x的图象关于直线对称，求b的值.
例6 已知，试确定函数的奇偶性、单调性.
有关奇偶性
（1）
（2）
有关单调性
（1）利用公式，求证在上是增函数；
（2）不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0；
①；
②
（3）比较大小；
（4）求函数的单调递增区间；
巩固与练习
练习讲评
（1）化简：
（2）已知非零常数满足，求的值；
（3）已知
求值：（1）；（2）
解：
（1）
（2）
（3）两式平方相加得；
两式平方相加得
即
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．
2．
3．
五、课后作业：见教材
六、板书设计：
4-1.4.3正切函数的性质与图象（1）
教学目的：
知识目标：1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象；
2.用正切函数图象解决函数有关的性质；
能力目标：1.理解并掌握作正切函数图象的方法；
2.理解用函数图象解决有关性质问题的方法；
德育目标：培养认真学习的精神；
教学重点：用单位圆中的正切线作正切函数图象；
教学难点：正切函数的性质。
授课类型：新授课
教学模式： 启发、诱导发现教学.
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
问题：正弦曲线是怎样画的？
正切线
练习正切线，画出下列各角的正切线：
．
下面我们来作正切函数和余切函数的图象．
二、讲解新课：
1．正切函数的定义域是什么？
2．正切函数是不是周期函数？
，
∴是的一个周期。
是不是正切函数的最小正周期？下面作出正切函数图象来判断。
3．作，的图象
说明：（1）正切函数的最小正周期不能比小，正切函数的最小正周期是；
（2）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数
，且的图象，称“正切曲线”。
（3）由图象可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线所隔开的无穷多支曲线组成的。
4．正切函数的性质 引导学生观察，共同获得：
（1）定义域：；
（2）值域：R
观察：当从小于，时，
当从大于，时，。
（3）周期性：；
（4）奇偶性：由知，正切函数是奇函数；
（5）单调性：在开区间内，函数单调递增。
5.余切函数y=cotx的图象及其性质（要求学生了解）：
——即将的图象，向左平移个单位，再以x轴为对称轴上下翻折，即得的图象
定义域：
值域：R，
当时，当时
周期：
奇偶性：奇函数
单调性：在区间上函数单调递减
6.讲解范例：
例1比较与的大小
解：，，
又：内单调递增，
例2讨论函数的性质
略解：定义域：
值域：R 奇偶性：非奇非偶函数
单调性：在上是增函数
图象：可看作是的图象向左平移单位
例3求函数y＝tan2x的定义域
解：由2x≠kπ＋，(k∈Z)
得x≠＋，(k∈Z)
∴y＝tan2x的定义域为：｛x｜x∈R且x≠＋，k∈Z｝
例4观察正切曲线写出满足下列条件的x的值的范围：tanx＞0
解：画出y＝tanx在(－，)上的图象，不难看出在此区间上满足tanx＞0的x的范围为：0＜x＜
结合周期性，可知在x∈R，且x≠kπ＋上满足的x的取值范围为(kπ，kπ＋)(k∈Z)
例5不通过求值，比较tan135°与tan138°的大小
解：∵90°＜135°＜138°＜270°
又∵y＝tanx在x∈(90°，270°)上是增函数
∴tan135°＜tan138°
三、巩固与练习
P．71．练习2，3，6
求函数y＝tan2x的定义域、值域和周期、并作出它在区间［－π，π］内的图象
解：（1）要使函数y＝tan2x有意义，必须且只须2x≠＋ｋπ，ｋ∈Z
即x≠＋，ｋ∈Z
∴函数y＝tan2x的定义域为｛x∈R｜，x≠，ｋ∈Z｝
（2）设ｔ＝2x，由x≠，ｋ∈Z｝知ｔ≠＋ｋπ，ｋ∈Z
∴y＝tanｔ的值域为（－∞，＋∞）
即y＝tan2x的值域为（－∞，＋∞）
（3）由tan2（x＋）＝tan（2x＋π）＝tan2x
∴y＝tan2x的周期为．
（4）函数y＝tan2x在区间［－π，π］的图象如图
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1.因为正切函数的定义域是，所以它的图象被等相互平行的直线所隔开，而在相邻平行线间的图象是连续的。
2.作出正切函数的图象，也是先作出长度为一个周期（-π/2，π/2）的区间内的函数的图象，然后再将它沿x轴向左或向右移动，每次移动的距离是π个单位，就可以得到整个正切函数的图象。
讨论函数的单调性应借助图象或相关的函数的单调性；形如y＝tan(ωx)，x≠ (k∈Z)的周期T＝；注意正切函数的图象是由不连续的无数条曲线组成的
五、课后作业：
六、板书设计：
4-1.4.3正切函数的性质与图象（2）
教学目的：
知识目标：熟练掌握正切函数的图象和性质，并能用之解题；
能力目标：渗透数形结合、换元法等基本数学思想方法。
德育目标：培养认真学习的精神；
教学重点：正切函数的图象和性质的运用。
教学难点：灵活应用正切函数的性质解决相关问题．
授课类型：新授课
教学模式：讲练结合
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．作正切曲线的简图，说明正切曲线的特征。
2．回忆正切函数的性质：定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性。
二、讲解新课：
例1：求下列函数的周期：
（1） 答：。
（2） 答：。
说明：函数的周期．
例2：求函数的定义域、值域，指出它的周期性、奇偶性、单调性，并说明它的图象可以由正切曲线如何变换得到。
解：由得，
∴所求定义域为，值域为R，周期，是非奇非偶函数，在区间上是增函数。
将图象向右平移个单位，得到的图象；再将
的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），就得到函数的图象。
例3：用图象求函数的定义域。
解：由 得 ，
利用图象知，所求定义域为，
亦可利用单位圆求解。
三、巩固与练习
1．“”是“”的 既不充分也不必要 条件。
2．与函数的图象不相交的一条直线是（ D ）
3．函数的定义域是 ．
4．函数的值域是 ．
5．函数的奇偶性是 奇函数 ，周期是．
四、小 结：本节课学习了以下内容：
正切函数的性质。
五、课后作业：
以下函数中，不是奇函数的是( )
A.y＝sinx＋tanx Ｂ．y＝xtanx－1 Ｃ．y＝ Ｄ．y＝lg
3.下列命题中正确的是( )
A．y＝cosx在第二象限是减函数 Ｂ．y＝tanx在定义域内是增函数
Ｃ．y＝｜cos（2x＋）｜的周期是 Ｄ．y＝sin｜x｜是周期为2π的偶函数
六、板书设计：
4-1.5函数y=Asin(wx+)(A>0，w>0的图象
教学目标：
1. 分别通过对三角函数图像的各种变换的复习和动态演示进一步让学生了解三角函数图像各种变换的实质和内在规律。
2. 通过对函数y = Asin(wx+4)(A>0，w>0)图象的探讨，让学生进一步掌握三角函数图像各种变换的内在联系。
3. 培养学生观察问题和探索问题的能力。
教学重点：
函数y = Asin(wx+)的图像的画法和设图像与函数y=sinx图像的关系，以及对各种变换内在联系的揭示。
教学难点：
各种变换内在联系的揭示。
教学过程：
复习旧知
1.“五点法”作函数y=sinx简图的步骤，其中“五点”是指什么？
2. 函数y = sin(xk)(k>0)的图象和函数y = sinx图像的关系是什么？
生答：函数y = sin(x k)(k>0)的图像可由函数y = sinx的图像向左(或右)平移k个单位而得到，学生回答后，教师应用多媒体演示变化过程，并要求同学观察图像上点坐标的变化，然后进一步总结出这种变换实际上是纵坐标不变，横坐标增加(或减少)k个单位，这种变换称为平移变换。
3. 函数y = sinwx (w>0)的图像和函数y = sinx图像的关系是什么？
学生答：函数y = sinwx(w>0)的图像可由函数y = sinx的图像沿x轴伸长(w<1)或缩短(w>1)到原来的倍而得到，称为周期变换。
演示：教师运用多媒体演示变化过程，并要求学生观察图像上点坐标的变化，然后进一步总结这种变化的实质是纵坐标不变，横坐标伸长(01)到原来的倍。
4. 函数y = Asinx(A>0)的图像和函数y = sinx图像的关系是什么？
学生答：函数y = Asinx的图像可由函数y = sinx的图像沿y轴伸长(A>1)或缩短(x<1)到原来的A倍而得到的，称为振幅变换。
演示：教师利用多媒体，运用制好的课件将变化过程演示给学生看，并要求学生具体观察图像上点坐标的变化，然后归纳出这种变换的实质是：横坐标不变，纵坐标伸长(A> | )或缩小(0二、创设情境
上面我们学习和复习了三种函数y = sin(x k)，y = sinwx，y = Asinx的图像和函数y = sinx图像的关系，那么函数y = Asin(wx+)(a>0，w>0) 的图像和函数y = sinx的图像有何关系呢？三、尝试探究
1. 函数y = Asin(wx+)的图像的画法。
为了探讨函数y = Asin(wx+)的图像和函数y = sinx图像的关系，我们先来用“五点法”作函数y = Asin(wx+)的图像。
例：作函数y = 3sin(2x+)的简图。
解：⑴设Z= 2x +，那么3xin(2x+)= 3sin，x==，分别取z = 0，，，，2，则得x为，，，，，所对应的五点为函数y=3sin(x)在一个周期[，]图象上起关键作用的点。
⑵列表
x
2x+ 0 2
sin(2x+) 0 1 0 1 0
3 sin(2x+) 0 3 0 3 0
⑶描点作图，运用制好的课件演示作图过程。(图略)
2. 函数y=Asin(wx+)(A>0，w>0)图像和函数y=sinx图像的关系。
利用制作好的课件，运用多媒体教学手段向学生展示由函数y=sinx的图像是怎样经过平移变化→周期变换→振幅变换而得到函数y=Asin (wx+)图像的。
归纳1：先把函数y = sinx的图像上的所有点向左平行移动个单位，得到y = sin(x3 +)的图像，再把y = sin(x +)的图像上所有的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y = sin(2x +)的图像，再把y = sin(2x +)的图像上所有的点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，从而得到y = 3sin(2x +)图像。
归纳2：函数y = Asin(wx+)，(A>0，w>0)的图像可以看作是先把y = sinx的图像上所有的点向左(>0)或向右(>1)平移||个单位，再把所得各点的横坐标缩短(w>1)或伸长(01)或缩短(01. 函数y = Asin(wx+)的图像的画法。
为了探讨函数y = Asin(wx+)的图像和函数y = sinx图像的关系，我们先来用“五点法”作函数y = Asin(wx+)的图像。
例：作函数y = 3sin(2x+)的简图。
解：⑴设Z= 2x +，那么3xin(2x+)= 3sin，x==，分别取z = 0，，，，2，则得x为，，，，，所对应的五点为函数y=3sin(x)在一个周期[，]图象上起关键作用的点。
⑵列表
x
2x+ 0 2
sin(2x+) 0 1 0 1 0
3 sin(2x+) 0 3 0 3 0
⑶描点作图，运用制好的课件演示作图过程。(图略)
2. 函数y=Asin(wx+)(A>0，w>0)图像和函数y=sinx图像的关系。
利用制作好的课件，运用多媒体教学手段向学生展示由函数y=sinx的图像是怎样经过平移变化→周期变换→振幅变换而得到函数y=Asin (wx+)图像的。四、指导创新
上面我们学习了函数y = Asin(wx+)的图像可由y = sinx图像平移变换→周期变换→振幅变换的顺序而得到，若按下列顺序得到y = Asin(wx+)的图象吗？
⑴周期变换→平移变换→振幅变换
⑵振幅变换→平移变换→周期变换
⑶平移变换→振幅变换→周期变换
教师利用制作好的课件，运用多媒体逐一演示验证，让学生发现规律：若周期变换在前，平移变换在后，则得到的函数图像不是函数y = Asin(wx+)的图像，振幅变换出现在前或后不会影响得到函数y = Asin(wx+)的图像。
教师指导学生探讨⑴的变换顺序不能得到函数y = Asin(wx+) (A>0，w>0)图像的原因，并通过在平移变换过程中的单位变换而调整到函数y = Asin(wx+)图像的一般公式。
原因：y = sinx y =Asinwx
y = sinw(x+) = sin(wx+w)y = Asin(wx+w)
一般公式：将平移变换单位改为：即可。
五、归纳小结
本节课我们进一步探讨了三角函数各种变换的实质和函数y = Asin(wx+)(A>0，w>0)的图像的画法。并通过改变各种变换的顺序而发现：平移变换应在周期变换之前，否则得到的函数图像不是函数y =Asin(wx+)的图像由y = sinx图像的得到。
六、变式练习
1. 作下列函数在一个周期的闭区间上的简图，并指出它的图像是如何由函数y = sinx的图像而得到的。
⑴y = 5sin(x+)；⑵y =sin(3x)
2. 完成下列填空
⑴函数y = sin2x图像向右平移个单位所得图像的函数表达式为 ？
⑵函数y = 3cos(x+)图像向左平移个单位所得图像的函数表达式为 ？
⑶函数y = 2loga2x图像向左平移3个单位所得图像的函数表达式 ？
⑷函数y = 2tg(2x+)图像向右平移3个单位所得图像的函数表达式为 ？
七、布置作业(略)
4-1.6三角函数模型的简单应用
【知识与技能】
1.掌握三角函数模型应用基本步骤:(1)根据图象建立解析式; (2)根据解析式作出图象; (3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.
2.利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型.
【过程与方法】
例1是研究温度随时间呈周期性变化的问题.问题给出了某个时间段的温度变化曲线，要求这一天的最大温差，并写出曲线的函数解析式.也就是利用函数模型来解决问题.要特别注意自变量的变化范围.
例2利用函数图象的直观性，通过观察图象而获得对函数性质的认识，这是研究数学问题的常用方法.显然，函数与正弦函数有紧密的联系.
例3是研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题，是将实际问题直接抽象为与三角函数有关的简单函数模型，然后根据所得的模型解决问题。应当注意在复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题。
例4本题的解答中，给出货船的进、出港时间，一方面要注意利用周期性以及问题的条件，另一方面还要注意考虑实际意义。关于课本第73页的 “思考”问题，实际上，在货船的安全水深正好与港口水深相等时停止卸货将船驶向较深的水域是不行的，因为这样不能保证船有足够的时间发动螺旋桨。
补充例题
例题：一根为Lcm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，组成一个单摆，小球摆动时，离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是，（1）求小球摆动的周期和频率；（2）已知g=980cm/s2，要使小球摆动的周期恰好是1秒，线的长度l应当是多少？
解：（1）；（2）.
【情态与价值】
一、选择题
1. 初速度v0，发射角为，则炮弹上升的高度y与v0之间的关系式为（ ）
A. B. C. D.
2. 当两人提重为的书包时，夹角为，用力为，则为____时，最小（ ）
A． B. C. D.
3.某人向正东方向走x千米后向右转，然后朝新的方向走3千米，结果他离出发点恰好千米，那么x的值为 （ ）
A． B. C. D.
二、填空题
4. 甲、乙两楼相距60米，从乙楼底望甲楼顶仰角为，从甲楼顶望乙楼顶俯角为，则甲、乙两楼的高度分别为_______
5.一树干被台风吹断折成角，树干底部与树尖着地处相距20米，树干原来的高度是_____.
三、解答题
6. 三个力同时作用于O点且处于平衡，已知，，求
7、有一长为的斜坡，它的倾斜角为，现在要倾斜角改为，则坡底要伸长多少
三角函数小结和复习
【知识与技能】
理解本章知识结构体系（如下图），了解本章知识之间的内在联系。
【过程与方法】
三角函数值的符号是由对应的三角函数线的方向确定的；具有相同性质的角可以用集合或区间表示，是一种对应关系；弧度制的任意角是实数，这些实数可以用三角函数线进行图形表示，因此，复习的目的就是要进一步了解符号确定方法，了解集合与对应，数与形结合的数学思想与方法。另外，正弦函数的图象与性质的得出，要通过简谐运动引入，分析、确定三角函数图象的关键点画图象，观察得出其性质，通过类比、归纳得出余弦函数、正切函数的图象与性质，所以，复习本章时要在式子和图形的变化中，学会分析、观察、探索、类比、归纳、平移、伸缩等基本方法。
例题
例1 判断下列函数的奇偶性
①y=-3sin2x ②y=-2cos3x-1 ③y=-3sin2x+1 ④y=sinx+cosx
⑤y=1-cos(-3x-5π)
分析：根据函数的奇偶性的概念判断f(-x)=±f(x)是否成立；若成立，函数具有奇偶性（定义域关于原点对称）；若不成立，函数为非奇非偶函数
解：（过程略）①奇函数 ②偶函数 ③④非奇非偶函数 ⑤偶函数
例2 求函数y=-3cos(2x-π)的最大值，并求此时角x的值。
分析：求三角函数的最值时要注意系数的变化。
解：函数的最大值为：y=|-3|=3,此时由2x-π=2 kπ+ π得x= kπ+π, (k∈Z)
求函数的定义域。
解：要使函数有意义，则有
即
所以，函数的定义域为{χ︱χ∈R且}
【情态与价值】
一、选择题
1．已知cos240约等于0.92 ,则sin660约等于（ ）
A．0.92 B．0.85 C．0.88 D．0.95
2．已知tanx=2，则的值是（ ）。
A． B． C．- D．
3．不等式tanx≤-1的解集是（ ）。
A．（k∈Z） B. （k∈Z）
C. （k∈Z） D. （k∈Z）
4. 有以下四种变换方式：
①向左平移，再将横坐标变为原来的；②将横坐标变为原来的，再向左平移；
③将横坐标变为原来的，再向左平移；④向左平移，再将横坐标变为原来的。
其中，能将正弦函数y=sinx的图象变为y=sin（2x+）的图象的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
二、填空题
5． tan（-）= .
6．函数y=sinx（≤x≤）的值域是 。
7．若函数y=a+bsinx的值域为[-，]，则此函数的解析式是 。
8．对于函数y=Asin（ωx+）（A、ω、均为不等于零的常数）有下列说法：
①最大值为A； ②最小正周期为；③在[0，2π]λο上至少存在一个x，使y=0；
④由≤ωx+≤（k∈Z）解得x的范围即为单调递增区间，
其中正确的结论的序号是 。
三、解答题
9．（1）已知sinθ－cosθ=0＜θ＜，求sinθ+cosθ的值；
（2）求函数y=2cosx+2sin2x-3的值域及取得最值是时的x的值。
10．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离S（厘米）和时间t（秒）的函数关系为y= 6sin（2πt+）。
作出它的图象；
单摆开始摆动（t=0）时，离开平衡位置多少厘米？
单摆摆动到最右边时，离开平衡位置多少厘米？
单摆来回摆动一次需要多少时间？
第二章 平面向量
本章内容介绍
向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，是近代数学中重要和基本的数学概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具.向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系.
向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景.在本章中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，学习平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容.能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题.
本节从物理上的力和位移出发，抽象出向量的概念，并说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的一些基本概念. （让学生对整章有个初步的、全面的了解.）
第1课时
§2.1 平面向量的实际背景及基本概念
教学目标：
了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.
通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.
通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.
教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.
教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.
学 法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.
教 具：多媒体或实物投影仪，尺规
授课类型：新授课
教学思路：
一、情景设置：
如图，老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？（画图）
结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.
分析：老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有方向、有长短的量.
引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？
二、新课学习：
（一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量
（二）请同学阅读课本后回答：（可制作成幻灯片）
1、数量与向量有何区别？
2、如何表示向量？
3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？
4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？
5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？
6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？
7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，这是它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？
（三）探究学习
1、数量与向量的区别：
数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；
向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.
2.向量的表示方法：
①用有向线段表示；
②用字母ａ、ｂ
（黑体，印刷用）等表示；
③用有向线段的起点与终点字母：；
④向量的大小――长度称为向量的模，记作||.
3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.
向量与有向线段的区别：
（1）向量3.1.3 两角和与差的正切（1）
一、课题：两角和与差的正切（1）
二、教学目标：1.掌握两角和与差的正切公式的推导；
2.掌握公式的正、逆向及变形运用。
三、教学重点、难点：公式的推导及运用。
四、教学过程：
（一）复习：公式。
（二）新课讲解：
1．两角和的正切
即： （）
2．两角差的正切
即： （）
说明：①公式的适用范围是使公式两边有意义的角的取值范围；
②公式的变形：
．
3．例题分析：
例1：求值：（1）；（2）．
解：（1）；
（2）．
例2：求值。
解：=．
例3：求值。
解：原式
．
例4：已知一元二次方程的两个根为，
求的值。
解：由和一元二次方程根与系数的关系，得
， 又，
所以，．
五、课堂练习：
六、小结：1．掌握公式及它的变形公式；
2．对公式要灵活进行正用（例1）、逆用（例2）及变形使用（例3）．
七、作业：
补充：1．已知，且是方程的两个根，求．
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- 1 -两角和与差的正、余弦（2）
一、课题：两角和与差的正、余弦（2）
二、教学目标：1.进一步熟悉两角和与差的正（余）弦公式，能对公式进行灵活运用；
2.能将化为一个角的一个三角函数式；
3.能灵活运用公式在三角形内求角的三角函数。
三、教学重、难点：公式的灵活运用。
四、教学过程：
（一）复习：
1．及公式；
2．练习：（1）已知，，且均为锐角，求的值；
（2）已知，，且均为锐角，求的值。
（二）新课讲解：
例1：求证．
证明（法一）：右边左边。
证明（法二）：左边右边。
说明：一般地，式子可以化为一个角的一个三角函数式。
，
，则令
所以，．
例2：已知，求的值。
解：
得：， ∴．
【变题】已知，且，求．
（答案）
例3：在中，若，求的值。
解：
．
五、小结：1．认真审题，选择恰当的方法解决有关问题；
2．解决有关三角形问题，能灵活的进行三个角之间的变换；
六、作业：。
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- 1 -第七课时 同角三角函数的基本关系式
教学目标：
理解并掌握同角三角函数的基本关系，并能应用之解决一类三角函数的求值问题，通过同角三角函数关系的应用，使学生面对问题养成分析的习惯、学会分析的方法.
教学重点：
同角三角函数的基本关系.
教学难点：
已知某角的一个三角函数值，求它其余的各三角函数值时，符号的确定.
教学过程：
Ⅰ.自学指导
今天我们来学习同角三角函数的基本关系式，课下同学们已经对这部分内容进行了预习，这些关系式的具体内容是_________.
sin2α＋cos2α＝1，＝tanα
请同学们再仔细看一下课本，看这些关系式是怎样得到的 它们的成立有条件吗 若有，是什么
这些关系式都是由任意角的三角函数定义得到的，它们的成立有条件：一是必须为同角，二是关系式对式子两边都有意义的角＝tanα成立.
通过分析，我们必须明确注意：
(1)关系式是对于同角而言的.
(2)关系式是对于式子两边都有意义的角而言的.?
(3)sin2α读作“sinα”的平方，它与α2的正弦是不同的.
这两个关系式是两个三角恒等式，只要α的值使式子的两边都有意义，无论α取什么值，三个式子分别都是恒成立的，即式子的左右两边是恒等的.以后说到三角恒等式时，除特殊注明的情况外，也都假定是在使两边都有意义的情况下的恒等式.
这些关系式有哪些方面的应用呢
①求值②化简③证明(学生边答，教师边板书).
所谓求值，就是已知某角的一个三角函数值，可以利用这些关系式，求出这个角其余的各三角函数值，但应该注意，利用平方关系求值时，由于要开平方，就面临一个正负号的选择问题，究竟选正号还是选负号，要由角所在的象限决定.
注意：
(1)应用平方关系求角的三角函数值时，一定要先确定角所在的象限.
(2)正确选用公式以及公式的变用或活用.
课本上的例1、例2、例3都是已知角α的一个三角函数值，求它的其余三角函数值问题，例1和例2有什么不同呢
例1还告诉了角所在的象限，例2没有告诉.
例2没有告诉角所在的象限，求解的过程就比较复杂啦，因为已知一个角的某一三角函数值，这个角一般位于两个象限，故要分两种情况讨论求值.
现在我们来看一下例3，例3说明若角的某一三角函数值不是一个具体值(或者说是一个字母)时，又要分这个字母表示的数是正、是负、是零三种情况进行讨论，这又增加了问题的复杂程度.
归纳三个例题之情况，求值的问题有三种类型：
①已知某角的某一三角函数值，且知角的象限；
②已知某角的某一三角函数值，不知角的象限；
③已知某角的某一三角函数值为字母，不知角的象限.
对于第二、第三种类型一定要注意分情况讨论，否则，将导致解答的不完整.
下面我们来练习几个题
Ⅱ.课堂练习
课本P18练习1、2、3、4、5、6.
Ⅲ.课时小结
本节课我们学习了同角三角函数的基本关系，明确了关系式成立的条件以及关系式的作用，并对在求值方面的应用进行了练习与分析，特别要注意利用平方关系求值时正负号的选择问题，解决的关键是确定角所在的象限.求值问题有三种类型，对不清楚角所在象限的，一定要分一切可能情况，不遗漏地进行讨论.这些关系式贯穿于三角学习的始终，希望同学们很好掌握.
Ⅳ.课后作业
课本P23习题 7、8、9.
同角三角函数的基本关系式
1．若（）sinθ＜1，则θ的取值范围是 （ ）
A.{θ|+2kπ＜θ＜π+2kπ，k∈Z} B.{θ|π+2kπ＜θ＜2π+2kπ，k∈Z}
C.{θ|2kπ＜θ＜π+2kπ，k∈Z} D.{θ|+2kπ＜θ＜π+2kπ，k∈Z}
2．若sinθ＝，且θ为第二象限角，则tanθ的值等于（ ）
A.－ B.± C.± D.
3．已知α为锐角，且2tanα＋3sinβ＝7，tanα－6sinβ＝1，则sinα的值为 （ ）
A. B. C. D.
4．设＝－1，则的值是 （ ）
A.4 B.6 C.5 D.
5．已知sinθ－cosθ＝，则sin3θ－cos3θ＝ .
6．已知tanα＝2，则2sin2α－3sinαcosα－2cos2α＝ .
7．化简 eq \r() ＋ eq \r() (α为第四象限角）＝ .
8．已知cosθ＝t，求sinθ，tanθ的值.
9．已知tanα＝2，求下列各式的值.
（1） (2)
(3) sin2α＋cos2α
同角三角函数的基本关系式答案
1．C 2．A 3．A 4．C 5． 6．0 7．－
8．已知cosθ＝t，求sinθ，tanθ的值.
分析：依据cosθ＝t，对t进行分类讨论，利用同角三角函数关系式化简求值.
解：（1）当0＜t＜1时，θ为第一或第四象限角，
θ为第一象限角时，sinθ＝＝，tanθ＝＝ eq \f(,t)
θ为第四象限时，sinθ＝－，tanθ＝－ eq \f(,t)
(2)当－1＜t＜0时，θ在第二或第三象限，
θ为第二象限时，sinθ＝，tanθ＝ eq \f(,t)
θ为第三象限时，sinθ＝－，tanθ＝－ eq \f(,t)
(3)当t＝1时，θ＝2kπ(k∈Z)，sinθ＝0，tanθ＝0，
(4)当t＝0时，θ＝2kπ±(k∈Z)
θ＝2kπ＋ (k∈Z)时，sinθ＝1，tanθ不存在
θ＝2kπ－ (k∈Z)时，sinθ＝－1，tanθ不存在.
（5）当t＝－1时，θ＝2kπ＋π(k∈Z)
sinθ＝0，tanθ＝0
9．已知tanα＝2，求下列各式的值.
（1） (2)
(3) sin2α＋cos2α
分析：依据已知条件tanα＝2，求出sinα与cosα，或将所求式子用tanα表示出来.
解：（1）∵cosα≠0
∴ 原式＝ eq \f(,) ＝＝
(2)∵cos2α≠0
∴＝＝
(3) sin2α＋cos2α
＝ eq \f(sin2α＋cos2α, sin2α＋cos2α) ＝ eq \f(tan2α＋,tan2α＋1) ＝.
- 5 -1.1.2 弧度制（1）
一、课题：弧度制（1）
二、教学目标：1.理解弧度制的意义；
2.能正确的应用弧度与角度之间的换算；
3.记住公式（为以角作为圆心角时所对圆弧的长，为圆半径）。
三、教学重、难点：弧度与角度之间的换算。
四、教学过程：
（一）复习：
初中时所学的角度制，是怎么规定角的？
（初中时把一个周角的记为）
（二）新课讲解：
1．弧度角的定义：
规定：我们把长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记此角为．
练习：圆的半径为，圆弧长为、、的弧所对的圆心角分别为多少？
说明：一个角的弧度由该角的大小来确定，与求比值时所取的圆的半径大小无关。
思考：什么弧度角？一个周角的弧度是多少？一个平角、直角的弧度分别又是多少？
2．弧度的推广及角的弧度数的计算：
规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；角的弧度数的绝对值是，（其中是以角作为圆心角时所对弧的长，是圆的半径）。
说明：我们用弧度制表示角的时候，“弧度”或经常省略，即只写一实数表示角的度量。
例如：当弧长且所对的圆心角表示负角时，这个圆心角的弧度数是
．
3．角度与弧度的换算
rad 1=
4．例题分析：
例1 把化成弧度．
解：因为，所以 ．
例2 把化成度。
解： ．
例3 用弧度制分别表示轴线角、象限角的集合。
（1）终边落在轴的非正、非负半轴，轴的非正、非负半轴的角的集合。
（2）第一、二、三、四象限角的弧度表示。
解：（1）终边落在轴的非正半轴的角的集合为；
非负半轴的角的集合为；
终边落在轴的非正半轴的角的集合为；
非负半轴的角的集合为；
所以，终边落在轴上的角的集合为；落在轴上的为
．
（2）第一象限角为；第二象限角为；
第三象限角为；第四象限角为．
例4 将下列各角化为的形式，并判断其所在象限。
（1）； （2）； （3）．
解：（1），所以，此角为第一象限角；
（2），所以此角为第一象限角；
（3），所以此角为第四象限角．
5．一些特殊角的度数与弧度数的对应表：
0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
0
五、课堂练习：
六、小结：1．弧度制的定义；
2．弧度制与角度制的转换与区别。3．。
七、作业：
补充：1．在中，若，求A，B，C弧度数。
2．直径为20cm的滑轮，每秒钟旋转，则滑轮上一点经过5秒钟转过的弧长是多少？
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- 2 -1.3.1 三角函数的周期性
一、课题：三角函数的周期性
二、教学目标：1.理解周期函数、最小正周期的定义；
2.会求正、余弦函数的最小正周期。
三、教学重、难点：函数的周期性、最小正周期的定义。
四、教学过程：
（一）引入：
1．问题：（1）今天是星期二，则过了七天是星期几？过了十四天呢？……
（2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？
2．观察正（余）弦函数的图象总结规律：
自变量
函数值
正弦函数性质如下：
文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得；
符号语言：当增加（）时，总有．
也即：（1）当自变量增加时，正弦函数的值又重复出现；
（2）对于定义域内的任意，恒成立。
余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。
（二）新课讲解：
1．周期函数的定义
对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期。
说明：（1）必须是常数，且不为零；
（2）对周期函数来说必须对定义域内的任意都成立。
【思考】
（1）对于函数，有，能否说是它的周期？
（2）正弦函数，是不是周期函数，如果是，周期是多少？（，且）
（3）若函数的周期为，则，也是的周期吗？为什么？
（是，其原因为：）
2．最小正周期的定义
对于一个周期函数，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做的最小正周期。
说明：（1）我们现在谈到三角函数周期时，如果不加特别说明，一般都是指的最小正周期；
（2）从图象上可以看出，；，的最小正周期为；
（3）【判断】：是不是所有的周期函数都有最小正周期？ （没有最小正周期）
3．例题分析：
例1：求下列函数周期：
（1），；
（2），；
（3），．
解：（1）∵，
∴自变量只要并且至少要增加到，函数，的值才能重复出现，
所以，函数，的周期是．
（2）∵，
∴自变量只要并且至少要增加到，函数，的值才能重复出现，
所以，函数，的周期是．
（3）∵，
∴自变量只要并且至少要增加到，函数，的值才能重复出现，
所以，函数，的周期是．
说明：（1）一般结论：函数及函数，（其中 为常数，且，）的周期；
（2）若，例如：①，；②，；
③，．
则这三个函数的周期又是什么？
一般结论：函数及函数，的周期．
例2：求下列函数的周期：
（1）； （2）；
（3）； （4）； （5）．
解：（1），∴周期为；
（2），∴周期为；
（3） ∴周期为；
（4），∴周期为；
（5），∴周期为．
说明：求函数周期的一般方法是：先将函数转化为的形式，再利用公式进行求解。
五、课堂练习：求下列函数的周期：
（1），； （2），； （3），；
（4），；（5），；（6），．
六、小结：1.周期函数、最小正周期的定义 2. 型函数的周期的求法。
–
–
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- 2 -第十五课时 正切函数的图象和性质
教学目标：
会用单位圆中的正切线画出正切函数的图象，理解正切函数的性质，掌握性质的简单应用，会解决一些实际问题；用数形结合的思想理解和处理有关问题，发现数学规律，提高数学素质，培养实践第一观点.
教学重点：
正切函数的图象和性质
教学难点：
正切函数的性质的简单应用
教学过程：
Ⅰ.课题导入
常见的三角函数还有正切函数，前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质，今天我们来探讨一下正切函数的图象，以及它具有哪些性质
Ⅱ.讲授新课
为了精确，我们还是利用单位圆中的正切线来画一下正切曲线.
∵tan(π＋x)＝＝＝tanx(其中x∈R，且x≠＋kπ，k∈Z)
根据周期函数定义，可知正切函数也是周期函数，且π是它的周期.
现在利用正切线画出函数
y＝tanx，x∈(－，)的图象
引导学生完成.
引导学生观察得出正切曲线的特征：
正切曲线是被相互平行的直线x＝＋kπ(k∈Z)所隔开的无穷多支曲线组成的.
现在我们根据正切曲线来看一下正切函数有哪些主要性质.
(1)定义域：｛x｜x≠＋kπ，k∈Z｝
(2)值域：R
(3)周期性：正切函数是周期函数，且周期T＝π
(4)奇偶性：∵tan(－x)＝－tanx
∴正切函数是奇函数
∴正切曲线关于原点O对称
(5)单调性：正切函数在开区间(－＋kπ，＋kπ)，k∈Z内都是增函数.
注意：①正切函数在整个定义域上不具有单调性，因为它的定义域不连续，所以不能说它在整个定义域内是增函数.②正切函数在每个单调区间内都是增函数
下面，来看性质的简单应用.
［例1］求函数y＝tan2x的定义域.
解：由2x≠kπ＋，(k∈Z) 得x≠＋，(k∈Z)
∴y＝tan2x的定义域为：｛x｜x∈R且x≠＋，k∈Z｝
［例2］观察正切曲线写出满足下列条件的x的值的范围：tanx＞0
解：画出y＝tanx在(－，)上的图象，不难看出在此区间上满足tanx＞0的x的范围为：0＜x＜
结合周期性，可知在x∈R,且x≠kπ＋上满足的x的取值范围为(kπ，kπ＋)(k∈Z)
［例3］不通过求值，比较tan135°与tan138°的大小.
解：∵90°＜135°＜138°＜270°
又∵y＝tanx在x∈(90°，270°)上是增函数,
∴tan135°＜tan138°
［例4］求函数y＝tan(x＋)的定义域，并讨论它的单调性.
解：由x＋≠kπ＋，(k∈Z)
得x≠kπ＋，(k∈Z)
∴y＝tan(x＋)的定义域为｛x｜x∈R且x≠kπ＋，k∈Z｝
又由y＝tanx在每个区间(kπ－，kπ＋)k∈Z上是增函数可知：
当kπ－＜x＋＜kπ＋
即kπ－＜x＜kπ＋ (k∈Z)时，y＝tan(x＋)是增函数
∴y＝tan(x＋)在每个区间(kπ－，kπ＋)(k∈Z)上是增函数.
［例5］函数y＝tan2x是否具有周期性，若具有，则最小正周期是什么
解：由y＝tanx是周期函数，且周期为π可知：只有必须当x至少增加到x＋π时，函数值才重复出现.
也就是说只有2x至少增加到2x＋π时，即x至少增加到x＋时，函数值才重复出现.
∴y＝tan2x具有周期性，且最小正周期为 .
由正、余弦函数最小正周期T＝得正切函数的最小正周期T＝
例如y＝5tan，x≠(2k＋1)π，(k∈Z)的周期T＝ eq \f(2π, ) ＝4π.
y＝tan3x，x≠＋ (k∈Z)的周期T＝.
Ⅲ.课堂练习
课本P35 1～4
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，要掌握正切函数的图象，理解它具有的主要性质，并会应用它解决一些较简单问题.
Ⅴ.课后作业
课本P46习题 5
- 2 -3.2.1 二倍角的正弦、余弦、正切（1）
一、课题：二倍角的正弦、余弦、正切（1）
二、教学目标：1.让学生自己由和角公式而导出倍角公式，了解它们的内在联系；
2.会利用倍角公式进行求值运算，培养运算和逻辑推理能力；
3.领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生
学数学的兴趣。
三、教学重、难点：倍角公式的形成，及公式的变形形式的运用。
四、教学过程：
（一）复习：
1．复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式；
2．提出问题：若，则得二倍角的正弦、余弦、正切公式。
（二）新课讲解：
1．二倍角公式的推导：
说明：（1）“倍角”的意义是相对的，如：是的二倍角；
（2）观察公式特征：“倍角”与“二次”的关系；
（3）利用三角函数关系式，
可将余弦的倍角公式变形为：，
，，统称为升
幂公式。 类似地也有公式（降幂公式）：
， 这两个形式今后常用；
（4）注意公式成立的条件，特别是二倍角的正切公式成立的条件：
．
【练习1】求值：（1）．
（2）． （3）．
（4）．
2．例题分析：
例1：已知，求，，的值。
解：∵， ∴．
∴；；．
【练习2】①已知：，则；．
②已知：，则．
例2：化简（1）；（2）；（3）；（4）．
解：（1）
；
（2）；
（3）；
（4）．
说明：形如与的化简方法及基本形式。
五、小结：1．二倍角公式是和角公式的特例，体现了一般化归为特殊的基本的数学思想方法；
2．二倍角公式与和角、差角公式一样，反映的都是如何用单角的三角函数值复角（和、差、倍）的三角函数值没，结合前面学习到的同角三角函数关系式和诱导公式可以解决三角函数中有关的求值、化简和证明问题。
六、作业：
补充：1．化简；
2．已知为第三象限角，且，求的值。
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- 1 -高一数学期中试卷 2006.4
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：（共12×5＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．关于向量a、b、c，下列命题中正确的是
（A）若a＋b＝b＋c，则a＝c
（B）若a、c都是单位向量，则a＝c
（C）若︱a︱＝︱c︱，则a＝c或a＝－c
（D）若︱a＋c︱＝︱a－c︱，则︱a︱＝︱c︱
2．－等于
（A）2cos50 （B）2sin50 （C）－2cos50 （D）－2sin50
3．已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括端点A、C），则＝
（A）λ（＋），λ∈（0，1） （B）λ（＋），λ∈（0，1）
（C）λ（＋），λ∈（0，1） （D）λ（＋），λ∈（0，1）
4．若α、β为锐角，且cosα＝，cosβ＝，则α＋β的值为
（A）450 （B）600 （C）1200 （D）1350
5．下列各组向量中①e1＝（－1，2），e2＝（5，7）；②e1＝（3，5），e2＝（6，10）；
③e1＝（2，－3），e2＝（，－）；有一组能作为表示它们所在平面内所有向量的基底，正确的判断是
（A）① （B）①，③ （C）②，③ （D）①，②，③
6．已知sin（－x）＝，则sin2 x的值为
（A）－ （B） （C） （D）
7．若f（x）＝cos2x＋8sinx，则它的最大值和最小值分别是
（A）最大值是9，最小值是－9 （B）最大值不存在，最小值是7
（C）最大值是7，最小值是－9 （D）最大值是7，最小值不存在
8．△ABC中，AB＝3，·＝3，则·等于
（A）3 （B）9 （C）一6 （D）－9
9．已知sinA + sinB + sinC＝cosA + cosB + cosC＝0，则cos（B一C）等于
（A）一 （B） （C）一1 （D）1
10．若tanα＝，则sin2α＋sin2α的值为
（A） （B） （C） （D）l
11．若f（cosx）＝cos2x，则f（sin ）的值为
（A） （B）－ （C） （D）－
12．下列坐标所表示的点不是函数y＝tan（－）的图象的对称中心的是
（A）（，0） （B）（－，0） （C）（，0） （D）（，0）
高一数学期中试卷 2006.4
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一．选择题：（选择题共60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．）
13．在△ABC中，tanA＝，tanB＝－2，则C＝ .
14．－ eq \f(,sin800) 的值为 .
15．函数y＝sin（一2x）的单调增区间是 .
16．已知A（－1，－2），B（2，3），C（－2，0），D（x，y），且＝2，则x＋y＝______.
17．已知a＝（3，），b＝（1，0），则（a－2 b）·b＝ ．
18．关于函数f（x）＝cos（2x－）＋cos（2x－），有下列命题：
①y＝f（x）的最大值为；
②y＝f（x）是以π为最小正周期的周期函数；
③y＝f（x）在区间（，）上单调递减；
④将函数y＝cos2x的图像向左平移 个单位后，将与已知函数的图像重合.
其中正确命题的序号是 。（把你认为正确命题的序号都填上）
三、解答题：（本大题共5小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
19．计算（本小题满分12分）：
（1）已知：＝3，
求： eq \f(2cos2（＋α）＋3sin（π＋α）cos（π＋α）,cos（2π＋α）＋sin（－α）cos（――α）) 的值.
（2）已知0＜x＜，sin（－x）＝,求 eq \f(cos2x,cos（＋x）) 的值.
20．已知tanα，tanβ是方程x2－4px－3＝0 ( p为常数)的两个根．
(1)求tan（α＋β）；(2)求2cos2αcos2β＋2sin2（α－β）．
21．（本小题满分14分）设两非零向量e1，e2
（1）试确定实数k，使ke1＋e2和e1＋ke2共线；
（2）若|e1|＝2，|e2|＝3，e1与e2的夹角为60°，试确定k，使ke1＋e2与e1＋ke2垂直.
22．（本小题满分14分）已知点A（－1，0），B（1，0），点C在直线2x－3＝0上，且有
2（·）＝·＋·，θ是与所成的角，求tanθ的值.
23．（本小题满分14分）已知f（x）＝sin（x＋）＋sin（x－）＋cosx＋a（a为常数）
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若x∈[－，]时，f（x）的最小值为－1，求a的值.
高一数学期中试卷答案 2006.4
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一．选择题：（选择题共60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A B A D A D C C A D D D
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．）
13．450 14．4 15．[kπ+ ，kπ+ ]（k∈Z） 16． 17．1 18．②，③
三、解答题：（本大题共5小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
19．计算（本小题满分12分）：
（1）已知：＝3，
求： eq \f(2cos2（＋α）＋3sin（π＋α）cos（π＋α）,cos（2π＋α）＋sin（－α）cos（――α）) 的值.
解：∵＝＝＝3
∴cosα＝，得sinα＝±
∴ eq \f(2cos2（＋α）＋3sin（π＋α）cos（π＋α）,cos（2π＋α）＋sin（－α）cos（――α）)
＝＝
（2）已知0＜x＜，sin（－x）＝,求 eq \f(cos2x,cos（＋x）) 的值.
20．已知tanα，tanβ是方程x2－4px－3＝0 ( p为常数)的两个根．
(1)求tan（α＋β）；(2)求2cos2αcos2β＋2sin2（α－β）．
21．（本小题满分14分）设两非零向量e1，e2
（1）试确定实数k，使ke1＋e2和e1＋ke2共线；
（2）若|e1|＝2，|e2|＝3，e1与e2的夹角为60°，试确定k，使ke1＋e2与e1＋ke2垂直.
解：（1）当＝时，即k＝±1时，ke1＋e2与e1＋ke2共线
（2）当ke1＋e2与e1＋ke2垂直时，
即（ke1＋e2)·（e1＋ke2)＝0
∴ke12＋(k2＋1)e1e2＋ke22＝0
∴4k＋(k2＋1)·2·3cos60°－9k＝0
∴k＝.
22．（本小题满分14分）已知点A（－1，0），B（1，0），点C在直线2x－3＝0上，且有
2（·）＝·＋·，θ是与所成的角，求tanθ的值.
解：设点C的坐标为（，y），则
＝（，y），＝（2，0），＝（－，－y），＝（－，－y），
∴·＝5，·＝＋y2，·＝－1
∵2（·）＝·＋·
∴＋2y2＝5－1
解得：y2＝，y＝±
当点C的坐标为（，）时，＝（－，－），＝（－，－），
cosθ＝ eq \f(·,︱︱·︱︱) ＝，∴0＜θ＜，∴tanθ＝
当点C的坐标为（，－）时，同理可得：tanθ＝
∴tanθ＝
23．（本小题满分14分）已知f（x）＝sin（x＋）＋sin（x－）＋cosx＋a（a为常数）
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若x∈[－，]时，f（x）的最小值为－1，求a的值.
解：（1）f（x）＝sinx＋cosx＋sinx－cosx＋cosx＋a
＝sinx＋cosx＋a＝2 sin（x＋）＋a
故f（x）的最小正周期为2π
（2）当x∈[－，]时，f（x）的最小值为－＋a
∴a＝－1
- 3 -三角恒等变换单元练习题
一、选择题（5×12＝60分）
1．cos2－的值为
A.1 B. C. D.
2．tan－cot等于
A.－2 B.－1 C.2 D.0
3．若sin＝，cos＝－，则θ在
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4．cos2＋cos2＋coscos的值等于
A. B. C. D.1＋
5．已知π＜α＜，且sin(＋α)＝，则tan等于
A.3 B.2 C.－2 D.－3
6．若tanθ＋cotθ＝m，则sin2θ等于
A. B. C.2m D.
7．下面式子中不正确的是
A.cos(－)＝coscos＋ B.cos＝cos·cos－sin
C.sin(＋)＝sin·cos＋cos D.cos＝cos－cos
8．如果tan＝，那么cosα的值是
A. B. C.－ D.－
9．化简 eq \f(cos（＋x）－sin（＋x）,cos（＋x）＋sin（＋x）) 的值是
A.tan B.tan2x C.－tanx D.cotx
10．若sinα＝，α在第二象限，则tan的值为
A.5 B.－5 C. D.－
11．设5π＜θ＜6π，cos＝a，则sin等于
A.－ B.－ C.－ eq \r() D.－ eq \r()
12．在△ABC中，若sinBsinC＝cos2，则此三角形为
A.等边三角形 B.等腰三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
二、填空题(4×6＝24分)
13．若tanα＝－2且sinα＜0，则cosα＝_____.
14．已知sinα＝，2π＜α＜3π，那么sin＋cos＝_____.
15．coscos＝_____.
16．已知π＜θ＜，cosθ＝－，则cos＝_____.
17．tan19°＋tan26°＋tan19°tan26°＝_____.
18．若cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝－，且＜α－β＜π，＜α＋β＜2π，则cos2α＝_____，cos2β＝_____.
第Ⅱ卷
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
二、填空题
13 14 15
16 17 18
三、解答题(12＋13＋13＋14＋14＝66分)
19．已知sinα＋sinβ＝1，cosα＋cosβ＝0，求cos2α＋cos2β的值.
20．已知sin22α＋sin2αcosα－cos2α＝1，α∈(0，)，求sinα、tanα.
21．已知sin(x－)cos(x－)＝－，求cos4x的值.
22．求证cos3α＝4cos3α－3cosα
23．若函数y＝x2－4px－2的图象过点(tanα，1)及点(tanβ，1).
三角恒等变换单元练习题答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D A D C D B D B C A D B
二、填空题
13 14 － 15 －
16 － 17 1 18 － －1
三、解答题(12＋13＋13＋14＋14＝66分)
19．已知sinα＋sinβ＝1，cosα＋cosβ＝0，求cos2α＋cos2β的值.
1
20．已知sin22α＋sin2αcosα－cos2α＝1，α∈(0，)，求sinα、tanα.
解：∵sin22α＋sin2αcosα－cos2α＝1
∴4sin2αcos2α＋2sinαcos2α－2cos2α＝0
即：cos2α(2sin2α＋sinα－1)＝0cos2α(sinα＋1)(2sinα－1)＝0
又α∈(0，)，∴cos2α>0，sinα＋1>0.
故sinα＝，α＝，tanα＝.
21．已知sin(x－)cos(x－)＝－，求cos4x的值.
解析：由sin(x－)cos(x－)＝－
［sin(2x－π)＋sin(－)］＝－
sin2x＝－cos4x＝1－2sin22x＝.
22．求证cos3α＝4cos3α－3cosα
证明：左边＝cos(2α＋α)＝cos2αcosα－sin2αsinα
＝(2cos2α－1)cosα－2sin2αcosα
＝2cos3α－cosα－2sin2αcosα
＝2cos3α－cosα－2(1－cos2α)cosα
＝4cos3α－3cosα＝右边.
23．若函数y＝x2－4px－2的图象过点(tanα，1)及点(tanβ，1).
求2cos2αcos2β＋psin2(α＋β)＋2sin2(α－β)的值.
解：由条件知tanα、tanβ是方程
x2－4px－2＝1的两根.
∴
∴tan(α＋β)＝＝p.
∴原式＝2cos2αcos2β＋tan(α＋β)sin2(α＋β)＋2sin2(α－β)
＝cos2(α＋β)＋cos2(α－β)＋2sin2(α＋β)＋2sin2(α－β)
＝cos2(α＋β)＋cos2(α－β)＋［1－cos2(α＋β)］＋［1－cos2(α－β)］＝2
- 4 -1.3.2 三角函数的图像与性质（1）
一、课题： 三角函数的图像与性质
二、教学目标：1.会用五点法画正弦、余弦函数的图象；
2.记住正弦、余弦函数的特征；
3.弄清正弦、余弦函数的图象之间的关系。
三、教学重、难点：几何法作正弦曲线。
四、教学过程：
1．利用单位圆中正弦线作正弦函数图象
作法：（几何作法）
（1）在直角坐标系的轴上任取一点，以为圆心作单位圆，从⊙与轴的交点起，把⊙分成等份，过⊙上各点作轴的垂线，可得对应于等角的正弦线；
（2）把轴上这一段分成等份，把角的正弦线向右平行移动，使正弦线的起点与轴上的点重合；
（3）用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数，的图象。
因为终边相同的角的函数值相同，所以，函数，（）且的图象与函数，的图象的形状完全相同，只是位置不同，于是只要将函数，的图象向左、右平移，就可得到函数，的图象。
2．余弦函数的图象
由于，所以余弦函数，
与函数,是同一个函数；这样，余弦函数的图象可由：
正弦曲线向左平移个单位得到，即：
3．五点法作图
（1），；
自变量
函数值 y 0 1 0 －1 0
（2），．
自变量
函数值 y 1 2 1 0 1
五、课堂练习：
六、小结：1．正弦、余弦函数的图象的几何作法；2．“五点法”作图。
七、作业
，
，
向左平移
个单位
PAGE
- 2 -第十二课时 小结与复习（二）
●教学目标
（一）知识目标
1.构造向量法；
2.平面几何性质应用.
（二）能力目标
1.熟悉向量的性质及运算律；
2.能根据向量性质特点构造向量；
3.熟练平面几何性质在解题中应用；
4.熟练向量求解的坐标化思路.
（三）德育目标
1.认识事物之间的内在联系；
2.认识向量的工具性作用，加强数学在实际生活中的应用意识.
●教学重点
1.向量的坐标表示的应用；
2.构造向量法的应用.
●教学难点
构造向量法的适用题型特点的把握.
●教学方法
启发引导式
针对向量坐标表示的应用，通过非坐标形式解法与坐标化解法的比较来加深学生对于向量坐标表示的认识，同时要加强学生选择建立坐标系的意识.
对于“构造向量法”的应用，本节例题选择了本章的重点内容数量积的坐标表示，目的要使学生把握坐标表示的数量积性质的形式特点，同时增强学生的解题技巧，提高解题能力.
●教具准备
投影仪、幻灯片
第一张：数量积的性质（记作§5.13.2 A）
第二张：本节例题（记作§5.13.2 B）
●教学过程
Ⅰ.复习回顾
［师］上一节，我们一起复习了本章的基本概念、性质、运算律及重要定理、公式，这一节我们将通过例题分析重点学习平面几何性质及构造向量法在解题时的应用.
Ⅱ.例题分析
［师］首先，我们一起回顾一下向量的数量积的有关性质（给出幻灯片§5.13.2 A）.
在熟悉了上述性质后，我们来看下面的例题.（给出幻灯片§5.13.2 B）
［例1］利用向量知识证明下列各式
（1）x2＋y2≥2xy
（2）|x|2＋|y|2≥2x·y
分析：（1）题中的结论是大家所熟悉的重要不等式，以前可用求差法证得，而利用向量知识求证，则需构造向量，故形式上与向量的数量积产生联系.
（2）题本身含有向量形式，可根据数量积的定义式并结合三角函数性质求证.
证明：（1）设a＝（x，y），b＝（y，x）则
a·b＝xy＋yx＝2xy
|a||b|＝·＝x2＋y2
又a·b＝|a||b|cosθ（其中θ为a，b夹角）≤|a||b|
∴x2＋y2≥2xy
（2）设x，y的夹角为θ，
则x·y＝|x||y|cosθ≤|x||y|≤
∴|x|2＋|y|2≥2x·y
评述：（1）上述结论表明，重要不等式a2＋b2≥2ab，无论对于实数还是向量，都成立.
（2）在（2）题证明过程中，由于|x|，| y |是实数，故可以应用重要不等式求证.
［例2］利用向量知识证明
（a1b1＋a2b2）2≤（a12＋a22）·（b12＋b22）
分析：此题形式对学生较为熟悉，在不等式证明部分常用比较法证明，若利用向量知识求证，则关键在于根据其形式与数量积的坐标表示产生联系，故需要构造向量.
证明：设a＝（a1，a2），b＝（b1，b2）
则a·b＝a1b1＋a2b2，
|a|2＝a12＋a22，|b|2＝b12＋b22
∵a·b＝|a||b|cosθ≤|a||b|.（其中θ为a，b夹角）
∴（a·b）2≤|a2|b|2
∴（a1b1＋a2b2）2≤（a12＋a22）·（b12＋b22）
评述：此题证法难点在于向量的构造，若能恰当构造向量，则利用数量积的性质容易证明结论.这一技巧应要求学生注意体会.
［例3］已知f（x）＝
求证：|f（a）－f（b）|＜|a－b|（a≠b）
分析：此题若用分析法证明，则需采用平方的手段以去掉绝对值，但由于f（a）、f（b）是含有根式的式子，故需再次平方才能达到去根号的目的.也可考虑构造向量法，利用向量的性质求证.下面给出两种证法.
证法一：∵f（a）＝，
f（b）＝，
∴要证明|f（a）－f（b）|＜|a－b|
只需证明|－|2＜|a－b|2
即1＋a2＋1＋b2－2＜a2＋b2－2ab
即＞1＋ab
只需证明［］2＞（1＋ab）2
即1＋a2＋b2＋a2b2＞1＋2ab＋a2b2
即a2＋b2＞2ab
∵a2＋b2≥2ab，又a≠b
∴a2＋b2＞2ab
∴|f（a）－f（b）|＜|a－b|
证法二：设a＝（1，a），b＝（1，b）
则|a|＝，|b|＝
a－b＝（0，a－b）
|a－b|＝|a－b|
由||a|－|b||≤|a－b|，其中当|a|＝|b|
即a＝b时，取“＝”，而a≠b
∴||a|－|b||＜|a－b|
即||＜|a－b|
∴|f（a）－f（b）|＜|a－b|.
评述：通过两种证法的比较，体会“构造向量法”的特点，加深对向量工具性作用的
认识.
［师］上述三个例题，主要通过“构造向量”解决问题，要求学生在体验向量工具性作用的同时，注意解题方法的灵活性.下面，我们通过下面的例题分析，让大家体会向量坐标运算的特点，以及“向量坐标化”思路在解题中的具体应用.
［例4］已知：如图所示，ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线.求证AC⊥BD.
分析：对于线段的垂直，可以联想到两个向量垂直的充要条件，而对于这一条件的应用，可以考虑向量式的形式，也可以考虑坐标形式的充要条件.
证法一：∵
∴
∴⊥
证法二：以OC所在直线为x轴，以B为原点建立直角坐标系，设B（0，0），A（a，b），C（c，0）则由|AB|＝|BC|得a2＋b2＝c2
∵＝（c，0）－（a，b）＝（c－a，－b），
＝（a，b）＋（c，0）＝（c＋a，b）
∴·＝c2－a2－b2＝0
∴⊥
即：AC⊥BD
评述：如能熟练应用向量的坐标表示及运算，则将给解题带来一定的方便.通过向量的坐标表示，可以把几何问题的证明转化成代数式的运算，体现了向量的数与形的桥梁作用，有助于提高学生对于“数形结合”解题思想的认识和掌握.
［例5］若非零向量a和b满足|a＋b|＝|a－b|.
证明：a⊥b.
分析：此题在综合学习向量知识之后，解决途径较多，可以考虑两向量垂直的充要条件的应用，也可考虑平面图形的几何性质，下面给出此题的三种证法.
证法一：（根据平面图形的几何性质）
设＝a，＝b，
由已知可得a与b不平行，
由|a＋b|＝|a－b |得以、为邻边的平行四边形OACB的对角线和相等.
所以OACB是矩形，
∴⊥
∴a⊥b
证法二：∵|a＋b|＝| a－b|
∴（a＋b）2＝（a－b）2
∴a2＋2a·b＋b 2＝a2－2a·b＋b 2
∴a·b＝0
∴a⊥b
证法三：设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），
|a＋b|＝，
|a－b|＝，
∴，
化简得：x1x2＋y1y2＝0，
∴a·b＝0，∴a⊥b.
［例6］已知向量a是以点A（3，－1）为起点，且与向量b＝（－3，4）垂直的单位向量，求a的终点坐标.
分析：此题若要利用两向量垂直的充要条件，则需假设a的终点坐标，然后表示a的坐标，再根据两向量垂直的充要条件建立方程.
解：设a的终点坐标为（m，n）
则a＝（m－3，n＋1）
由①得n＝（3m－13），代入②得
25m2－150m＋209＝0
解得 或
∴a的终点坐标是（）或（）
评述：向量的坐标表示是终点坐标减去起始点的坐标，所以向量的坐标与点的坐标既有联系又有区别，二者不能混淆.
［师］上述例题，主要体现了两向量垂直的充要条件的应用，在突出本章这一重点知识的同时，应引导学生注意解题方法的灵活性，尤其是向量的坐标化思路在解题时的应用，将几何与代数知识沟通起来.
Ⅲ.课堂练习
1.已知a＝（1，0），b＝（1，1），当λ为何值时，a＋λb与a垂直.
解：a＋λb＝（1，0）＋λ（1，1）＝（1＋λ，λ）
∵（a＋λb）⊥a，
∴（a＋λb）·a＝0
∴（1＋λ）＋0·λ＝0，
∴λ＝－1
即当λ＝－1时，a＋λb与a垂直.
2.已知|a|＝，|b|＝2，a与b的夹角为30°，求|a＋b|，|a－b|.
解：|a＋b|2＝（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2|a||b|cos30°＋|b|2＝（）2＋2××2×＋22＝13
∴|a＋b|＝，
∵|a－b|2＝（a－b）2＝a2－2a·b＋b2＝|a|2－2|a||b|cos30°＋b2＝（）2－2××2×＋22＝1
∴|a－b|＝1
3.已知|a|＝3，|b|＝2，a|与b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b.当m为何值时，c与d垂直
解：若c⊥d，则c·d＝0
∴（3a＋5b）·（ma－3 b）＝0
∴3m|a|2＋（5m－9）a·b－15|b|2＝0
∴3m|a|2＋（5m－9）|a|| b |cos60°－15|b|2＝0
即27m＋3（5m－9）－60＝0
解得m＝.
4.已知a＋b＝c，a－b＝d
求证：|a|＝|b|c⊥d
证明：（1）c⊥d（a＋b）（a－b）＝0a2－b2＝0a2＝b2|a|＝|b|，
（2）|a|＝|b|a2＝b2a2－b2＝0（a＋b）（a－b）＝0c⊥d.
Ⅳ.课时小结
［师］通过本节学习，要求大家进一步熟悉向量的性质及运算律，熟悉平面几何性质在解题中的应用，能够掌握向量坐标化的思路求解问题，掌握构造向量并利用向量性质解题、证题的方法.
Ⅴ.课后作业
课本P150 A组 27，28.
B组 5，6，7，8.
●板书设计
§5.13.2 小结与复习
1.本节主要方法
（1）构造向量法
（2）向量坐标化
2.例题分析
3.学习练习
●备课资料
1.三角形内角和性质
定理：在△ABC中，A、B、C分别为三个内角，则A＋B＋C＝180°
推论（1）：B＝60°2B＝A＋C
推论（2）：若A＜90°，则有sinB＞cosC，
cosB＜sinC，tanB＞cotC，cotB＜tanC.
推论（3）：sin（A＋B）＝sinC，cos（A＋B）＝－cosC，
tan（A＋B）＝－tanC，cot（A＋B）＝－cotC.
推论（4）：sin＝cos，cos＝sin，
tan＝cot，cot＝tan.
2.三角形内角和性质应用举例
［例1］△ABC中，若，求证：A、B、C成等差数列.
证明：由条件得，
由推论（3）得sin（B＋C）＝sinA.
∴sin（B－C）＝sinA－sinC
∴sin（B－C）－sin（B＋C）＝－sinC
即2cosBsinC＝sinC
∵sinC≠0，∴cosB＝，∴B＝.
故由推论（1）得2B＝A＋C.
所以A、B、C成等差数列.
［例2］在锐角△ABC中，求证：sinA＋sinB＋sinC＞cosA＋cosB＋cosC
证明：∵△ABC是锐角三角形，
∴A＜90°，根据推论（2）有：sinB＞cosC ①
B＜90°，根据推论（2）有：sinC＞cosA ②
C＜90°，根据推论（2）有：sinA＞cosB ③
∴①＋②＋③得：
sinA＋sinB＋sinC＞cosA＋cosB＋cosC.
［例3］已知△ABC，求证（a－b）cot＋（b－c）cot＋（c－a）cot＝0.
证明：根据正弦定理和推论（4），
有（a－b）cot＝2R（sinA－sinB）·tan
＝4Rsinsin，
∴（a－b）cot＝2R（cosB－cosA）
同理，（b－c）cot＝2R（cosC－cosB）；
（c－a）cot＝2R（cosA－cosC）.
三式相加可得
（a－b）cot＋（b－c）cot＋（c－a）·cot＝0.第十二课时 正弦函数、余弦函数的图象
教学目标：
会用单位圆中的线段画出正弦函数的图象，用诱导公式画出余弦函数的图象，会用“五点法”画正、余弦函数的图象；培养学生的数形结合思想，渗透由抽象到具体思想，使学生理解动与静的辩证关系.
教学重点：
用“五点法”画正弦曲线、余弦曲线.
教学难点：
利用单位圆画正弦曲线.
教学过程：
Ⅰ.课题导入
以前，我们已经学过一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等等，对于各种函数我们都讨论过它的图象及性质.那么，现在我们正在学习的三角函数的图象是什么样子呢 今天，我们就来探讨一下.
Ⅱ.讲授新课
三角函数线是三角函数的一种几何表示法，确切地说，就是用有向线段的长度来表示三角函数值的大小，方向表示三角函数的符号的一种方法.
作函数的图象，最基本的方法是列表描点法.作三角函数的图象，为了精确，我们借助单位圆中的三角函数线来作.
下面，我们利用单位圆中的正弦线来画一下正弦函数的图象.
首先，在平面内建立一平面直角坐标系，然后在直角坐标系的x轴上任意取一点O1，以Ｏ1为圆心作单位圆，从⊙O1与x轴的交点A起把⊙O1分成12等份(份数宜取6的倍数，份数越多，画出的图象越精确).过⊙Ｏ1上的各分点作x轴的垂线，可以得到对应于0、、、、…2π等角的正弦线(例如有向线段O1B对应于 角的正弦线)，相应地，再把x轴上从0到2π这一段(2π≈6.28)分成12等份(例如，从原点起向右的第四个点，就是对应于 角的点)，把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上的点x重合(例如，把正弦线O1B向右平移，使点O1与x轴上的点 重合).再把这些正弦线的终点用平滑曲线连结起来.
这时，我们看到的这段光滑曲线就是函数y＝sinx在x∈［0，2π］上的函数.
因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y＝sinx在x∈［2kπ，2(k＋1)π］， k∈Z且k≠0上的图象与函数y=sinx在x∈［0，2π)上的图象的形状完全一样，只是位置不同，于是我们只要将函数y＝sinx，x∈［0，2π)的图象向左、右平行移动(每次2个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sinx在x∈R上的图象.
这时，我们看到的这支曲线就是正弦函数y＝sinx在整个定义域上的图象，我们也可把它称为正弦曲线.
用这种方法来作图象，虽然比较精确，但不太实用，我们该如何快捷地画出正弦函数的图象呢
在函数y＝sinx，x∈［0，2π］的图象上，起着关键作用的点只有以下五个：
(0，0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0)
事实上，描出这五个点后，函数y＝sinx，x∈［0，2π］的图象的形状就基本上确定了.因此，在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们连结起来，就可得到函数的简图.今后，我们将经常使用这种近似的“五点(画图)法”.
下面我们看余弦函数图象的一种画法.
由诱导公式可知：y＝cosx＝sin(＋x)＝sin(x＋)
看来，余弦函数y＝cosx，x∈R与函数y＝sin(x＋)，x∈R是同一个函数.
而y＝sin(x＋)，x∈R的图象可通过将正弦曲线向左平行移动个单位长度而得到.
现在看到的曲线也就是余弦函数y＝cosx在x∈R上的图象，即余弦曲线.
同样，可发现在函数y＝cosx，x∈［0，2π］的图象上，起着关键作用的点是以下五个：
(0，1)，(，0)，(π，－1)，(，0)，(2π，1)与画函数y＝sinx，x∈［0，2π］的简图类似，通过这五个点，可以画出函数y＝cosx，x∈［0，2π］的简图.
下面，请同学们练习一下“五点(作图)法”
Ⅲ.课堂练习
用“五点法”分别作出y＝sinx与y＝cosx在x∈［0，2π］上的简图，并体会它们之间的关系.
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，要了解如何利用正弦曲线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象，并会用“五点法”画正弦、余弦函数的简图，会用这一方法画出与正弦、余弦函数有关的某些简单函数在长度为一个周期的闭区间上的简图.
Ⅴ.课后作业
预习：正弦函数、余弦函数分别具有哪些性质
- 1 -3.1.1 两角和与差的余弦
一、课题：两角和与差的余弦
二、教学目标：1．掌握两点间的距离公式及其推导；
2．掌握两角和的余弦公式的推导；
3．能初步运用公式来解决一些有关的简单的问题。
三、教学重点：两点间的距离公式及两角和的余弦公式的推导。
四、教学难点：两角和的余弦公式的推导。
五、教学过程：
（一）复习：
1．数轴两点间的距离公式：．
2．点是终边与单位圆的交点，则．
（二）新课讲解：
1．两点间的距离公式及其推导
设是坐标平面内的任意两点，从点分别作轴的垂线，与轴交于点；再从点分别作轴的垂线
，与轴交于点．直线与相交于点，那么
， ．
由勾股定理，可得
∴．
2．两角和的余弦公式的推导
在直角坐标系内作单位圆，并作角与，使角的始边为，交⊙于点，终边交⊙于点；角的始边为，终边交⊙于点；角的始边为，终边交⊙于点，则点的坐标分别是，，
，，
，∴
得：
∴．（）
3．两角差的余弦公式
在公式中用代替，就得到 （）
说明：公式对于任意的都成立。
4．例题分析：
例：求值（1）； （2）； （3）．
解：（1）
= ；
（2）
；
（3）．
六、课堂练习：2（3）（4）．
七、小结：掌握 公式的推导，能熟练运用公式，注意公式的逆用。
八、作业：习题4．6 第三题（3）（4）（6）（8）
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- 1 -2004－2005学年度第二学期第一次阶段考试试卷
高一年级数学
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1．函数的最小正周期是 （ ）
A． B． C． D．
2．将函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位，所得图象的函数解
析式为 （ ）
A． B．
C． D．
3．下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线成轴对称图形的是 （ ）
A． B．
C． D．
4．若，则的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
5．函数（常数）是偶函数，则的值是 （ ）
A． B． C．或 D．
6．若，，，则 （ ）
A． B． C． D．
7．已知，且，等于 （ ）
A． B． C． D．
8．设，则的值为 （ ）
A． B． C． D．
9．在中，，则必为 （ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．钝角三角形
10．若、是锐角的两个锐角，则点在 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中
横线上。
11．函数，且的单调区间是 ．
12．适合条件的最大负角是 ．
13．已知，又，，则的值是 ．
14．函数,（其中）的图象的一条对称轴是，一个最高点的纵坐标是，要使该函数的解析式为，还应给出一个条件是 （只要写出你认为正确的一个条件即可）．
三、解答题：本大题共6小题，共54分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分8分）
已知函数，
（1）求此函数的最小正周期；
（2）求此函数的单调递减区间。
16．（本小题满分8分）
已知函数 ，求它的最大值和最小值。
17．（本小题满分8分）
已知：，，成等差数列，，， 成等比数列，
求证：．
18．（本小题满分10分）
已知，求的最大值.
19．（本小题满分10分）
已知，且，
（1）求的值；
（2）求证：．
20．（本小题满分10分）
已知非零实数、满足，试求的值.
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- 1 -1．1任意角和弧度制
1.1.2弧度制
农垦中学 刘国海
一、教学目标：
1、知识与技能
（1）理解并掌握弧度制的定义；（2）领会弧度制定义的合理性；（3）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；（4）熟练地进行角度制与弧度制的换算；（5）角的集合与实数集之间建立的一一对应关系.(6) 使学生通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.
2、过程与方法
创设情境,引入弧度制度量角的大小,通过探究理解并掌握弧度制的定义,领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式.以具体的实例学习角度制与弧度制的互化,能正确使用计算器.
3、情态与价值
通过本节的学习，使同学们掌握另一种度量角的单位制---弧度制，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应，为下一节学习三角函数做好准备.
二、教学重、难点
重点: 理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算；弧度制的运用.
难点: 理解弧度制定义，弧度制的运用.
三、学法与教学用具
在我们所掌握的知识中，知道角的度量是用角度制，但是为了以后的学习，我们引入了弧度制的概念，我们一定要准确理解弧度制的定义，在理解定义的基础上熟练掌握角度制与弧度制的互化.
教学用具:计算器、投影机、三角板
四、教学设想
【创设情境】
有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约250公里，但也有人回答约160英里，请问那一种回答是正确的？（已知1英里=1.6公里）
显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里.
在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制---弧度制.
【探究新知】
1．角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等.
弧度制是什么呢？1弧度是什么意思？一周是多少弧度？半周呢？直角等于多少弧度？弧度制与角度制之间如何换算？请看课本，自行解决上述问题.
2.弧度制的定义
[展示投影]长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写).
3.探究:如图,半径为的圆的圆心与原点重合,角的终边与轴的正半轴重合,交圆于点,终边与圆交于点.请完成表格.
弧的长 旋转的方向 的弧度数 的度数
逆时针方向
逆时针方向
我们知道，角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.
4.思考:如果一个半径为的圆的圆心角所对的弧长是,那么的弧度数是多少
角的弧度数的绝对值是：，其中，l是圆心角所对的弧长，是半径.
5.根据探究中填空:
,度
显然,我们可以由此角度与弧度的换算了.
6.例题讲解
例1.按照下列要求,把化成弧度:
(1) 精确值；
(2) 精确到0.001的近似值.
例2.将3.14换算成角度(用度数表示,精确到0.001).
注意:角度制与弧度制的换算主要抓住,另外注意计算器计算非特殊角的方法.
7. 填写特殊角的度数与弧度数的对应表:
度
弧度
角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应.
8.例题讲评
例3.利用弧度制证明下列关于扇形的公式:
(1); (2); (3).
其中是半径,是弧长,为圆心角,是扇形的面积.
例4.利用计算器比较和的大小.
注意:弧度制定义的理解与应用,以及角度与弧度的区别.
9.练习
教材.
9.学习小结
(1)你知道角弧度制是怎样规定的吗
(2)弧度制与角度制有何不同,你能熟练做到它们相互间的转化吗
五、评价设计
1．作业：习题1.1 A组第7,8,9题．
2．要熟练掌握弧度制与角度制间的换算,以及异同．能够使用计算器求某角的各三角函数值．
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12．2．1 向量的加法
一、课题：向量的加法
二、教学目标：1．理解向量加法的概念及向量加法的几何意义；
2．熟练掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会作已知两向量的和
向量；
3．理解向量的加法交换律和结合律，并能熟练地运用它们进行向量计算。
三、教学重、难点：1．如何作两向量的和向量；
2．向量加法定义的理解。
四、教学过程：
（一）复习：
1．向量的概念、表示法。
2．平行向量、相等向量的概念。
3．已知点是正六边形的中心，则下列向量组中含有相等向量的是（ ）
（）、、、 （）、、、
（）、、、 （）、、、
（二）新课讲解：
1．向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。表示：．
规定：零向量与任一向量，都有．
说明：①共线向量的加法：
②不共线向量的加法：如图（1），已知向量，，求作向量.
作法：在平面内任取一点（如图（2）），作，，则 .
（1） （2）
2．向量加法的法则：
（1）三角形法则：根据向量加法定义得到的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。
表示：．
（2）平行四边形法则：以同一点为起点的两个已知向量，为邻边作，则
则以为起点的对角线就是与的和，这种求向量和的方法称为向量加法的平行
四边形法则。
3．向量的运算律：
交换律：．
结合律：．
说明：多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行：
例如：；．
4．例题分析：
例1 如图，一艘船从点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为，求船实际航行速度的大小与方向（用与流速间的夹角表示）。
解：设表示船向垂直与对岸行驶的速度，表示水流的
速度，以、为邻边作，则就是船实际
航行的速度，
在△中，，，
∴，
∴
∴.
答：船实际航行速度的大小为，方向与流速间的夹角为.
例2 已知矩形中，宽为，长为，，，，
试作出向量，并求出其模的大小。
解：作，则如图
，
∴，
答：向量就是向量，其模为.
例3 一架飞机向北飞行千米后，改变航向向东飞行千米，
则飞行的路程为 400千米 ；两次位移的和的方向为北偏东，
大小为千米．
五、课堂练习：（1）化简；.
六、小结：1．理解向量加法的概念及向量加法的几何意义；
2．熟练掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则。
七、作业：补充：已知两个力，的夹角是直角，且知它们的合力与的夹角是，
牛，求和的大小。
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- 1 -§5 余弦函数（2课时）
洋浦实验中学 吴永和
1、 教学目标：
1、 知识与技能
（1）了解任意角的余弦函数概念；（2）理解余弦函数的几何意义；（3）掌握余弦函数的诱导公式；（4）能利用五点作图法作出余弦函数在[0，2π]上的图像；（5）熟练根据余弦函数的图像推导出余弦函数的性质；（6）能区别正、余弦函数之间的关系；（7）掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。
2、 过程与方法
类比正弦函数的概念，引入余弦函数的概念；在正、余弦函数定义的基础上，将三角函数定义推广到更加一般的情况；让学生通过类比，联系正弦函数的诱导公式，自主探究出余弦函数的诱导公式；能学以致用，尝试用五点作图法作出余弦函数的图像，并能结合图像分析得到余弦函数的性质。
3、 情感态度与价值观
使同学们对余弦函数的概念有更深的体会；会用联系的观点看问题，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有效途经；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。
二、教学重、难点
重点:余弦函数的概念和诱导公式，以及余弦函数的性质。
难点: 余弦函数的诱导公式运用和性质应用。
三、学法与教学用具
我们已经知道正弦函数的概念是通过在单位圆中，以函数定义的形式给出来的，从而把锐角的正弦函数推广到任意角的情况；现在我们就应该与正弦函数的概念作比较，得出余弦函数的概念；同样地，可以仿照正弦函数的诱导公式推出余弦函数的诱导公式。用五点作图的方法作出y＝cosx在[0，2π]上的图像，并由图像直观得到其性质。
教学用具:投影机、三角板
第一课时 余弦函数的概念和诱导公式
一、教学思路
【创设情境，揭示课题】
在初中，我们不但学习了正弦函数，也学习了余弦函数，sinα＝。同样地，当我们把角放在平面直角坐标系中以后，就可以得到余弦函数的定义。
下面请同学们类比正弦函数的定义，自主学习课本P30—P31.
【探究新知】
1．余弦函数的定义
在直角坐标系中，设任意角α与单位圆交于点P（a，b）,
那么点P的横坐标a叫做角α余弦函数，记作：a＝cosα(α∈R).
通常我们用x，y分别表示自变量与因变量，将余弦函数表示
为y＝cosx(x∈R).
如图，有向线段OM称为角α的余弦线。
其实，由相似三角形的知识，我们知道，只要已知角α
的终边上任意一点P的坐标（a，b），求出|OP|，记为r，则
角α的正弦和余弦分别为：sinα＝，cosα＝.
在今后的解题中，我们可以直接运用这种方法，简化运算过程。
2．余弦函数的诱导公式
从右图不难看出，角α和角2π＋α，2π－α，（－α）的终边
与单位圆的交点的横坐标是相同的，所以，它们的余弦函数值相等；
角α和角π＋α，π－α的终边与单位圆的交点的横坐标是相反数，
所以，它们的余弦函数值互为相反数。
由此归纳出公式：
cos(2π＋α)＝cosα
cos(－α) ＝ cosα
cos(2π－α) ＝cosα
cos(π＋α) ＝－cosα
cos(π－α) ＝－cosα
请同学们观察右图，角α与角＋α的正弦、余弦函数值有什么关
系？由图可知，Rt⊿OMP≌Rt⊿OM’P’,点P的横坐标cosα与点P’的纵坐标sin(＋α)
相等；点P的纵坐标sinα与点P’的横坐标cos(＋α)互为相反数。我们可以得到：
sin(＋α)＝cosα cos(＋α)＝－sinα
问题与思考：验证公式 sin(＋α)＝cosα cos(＋α)＝－sinα
以上公式统称为诱导公式，其中α可以是任意角。利用诱导公式，可以将任意角的正、余弦函数问题转化为锐角的正、余弦函数问题。
【巩固深化，发展思维】
1． 例题讲评
例1．已知角α的终边经过点P（2，－4）(如图)，求角α的余弦
函数值。
解：∵x＝2，y＝－4 ， ∴ r＝|OP|＝2
∴cosα＝＝
例2．如果将例1中点P的坐标改为（2t，－4t）(t≠0)，那么怎样求角α的余弦函数值。
解：(提示：在r＝|OP|＝2|t|中，分t＜0和t＞0两种情况，见教材P31)
例3．求值：
（1）cos （2）cos （3）cos(－)
（4）cos(－1650°) （5）cos(－150°15’)
解：（1）cos＝cos（2π－）＝cos＝
（2）cos＝cos（π＋）＝－cos≈－0.9239
(3)、（4）、（5）略，见教材P33
例4．化简：
解：（略，见教材P33）
2． 学生练习
教材P31的练习1、2、3 和 P34的练习1、2、3
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、课后反思
第二课时 余弦函数的图像与性质
1、 教学思路
【创设情境，揭示课题】
在上一次课中，我们知道正弦函数y＝sinx的图像，是通过等分单位圆、平移正弦线而得到的，在精确度要求不高时，可以采用五点作图法得到。那么，对于余弦函数y＝cosx的图像是不是也是这样得到的呢？有没有更好的方法呢？
【探究新知】
1．余弦函数y＝cosx的图像
由诱导公式有：
与正弦函数关系 ∵y＝cosx＝cos(－x)＝sin[－(－x)]＝sin(x＋)
结论：（1）y＝cosx, xR与函数y＝sin(x＋) xR的图象相同
（2）将y＝sinx的图象向左平移即得y＝cosx的图象
（3）也同样可用五点法作图：y＝cosx x[0,2]的五个点关键是(0,1) (,0) (,-1) (,0) (2,1)
（4）类似地，由于终边相同的三角函数性质y＝cosx x[2k,2(k+1)] kZ,k0的图像与 y＝cosx x[0,2] 图像形状相同只是位置不同（向左右每次平移2π个单位长度）
2．余弦函数y＝cosx的性质
观察上图可以得到余弦函数y＝cosx有以下性质：
（1）定义域：y=cosx的定义域为R
（2）值域： y=cosx的值域为[－1,1]，即有 |cosx|≤1（有界性）
(3)最值：1对于y＝cosx 当且仅当x＝2k,kZ时 ymax＝1
当且仅当时x＝2k＋π, kZ时 ymin＝－1
2当2k-0
当2k+(4)周期性：y＝cosx的最小正周期为2
(5)奇偶性
cos(－x)＝cosx (x∈R) y＝cosx (x∈R)是偶函数
(6)单调性
增区间为[（2k－1）π， 2kπ]（k∈Z），其值从－1增至1；
减区间为[2kπ，（2k＋1）π]（k∈Z），其值从1减至－1。
【巩固深化，发展思维】
1． 例题讲评
例1．请画出函数y＝cosx －1的简图，并根据图像讨论函数的性质。
解：（略，见教材P36）
2．课堂练习
教材P37的练习1、2、3、4
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、布置作业：P38的习题8、9、10、11
四、课后反思
x
r
O
P(a，b)
y
M
π－α
π＋α
－α
α
M’
M
M
P(x,y)
P’
o
y
x
2
y
－4
P
x
y
x
o
1
-1
-1
1
o
x
y
y
x
1
－1
1
-4
-3
-2
5
4
3
2
-1
-
o
y
6
x
x
y
PAGE
42.2.3 向量的数乘（1）
一、课题：向量的数乘（1）
二、教学目标：1．掌握实数与向量的积的定义；
2．掌握实数与向量的积的运算律，并进行有关的计算；
3．理解两向量共线（平行）的充要条件，并会判断两个向量是否共线。
三、教学重、难点：1．实数与向量的积的定义及其运算律，向量共线的充要条件；
2．向量共线的充要条件及其应用。
四、教学过程：
（一）复习：
已知非零向量，求作和．
如图：，．
（二）新课讲解：
1．实数与向量的积的定义：
一般地，实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：
（1）；
（2）当时，的方向与的方向相同；
当时，的方向与的方向相反；
当 时，．
2．实数与向量的积的运算律：
（1）（结合律）；
（2）（第一分配律）；
（3）（第二分配律）．
例1 计算：（1）； （2）； （3）．
解：（1）原式=； （2）原式=； （3）原式=．
3．向量共线的充要条件：
定理：（向量共线的充要条件）向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数，使得．
例2 如图，已知，．试判断与是否共线．
解：∵
∴与共线．
例3 判断下列各题中的向量是否共线：
（1），；
（2），，且，共线．
解：（1）当时，则，显然与共线．
当时， ，∴与共线．
（3）当，中至少有一个为零向量时，显然与共线．
当，均不为零向量时，设
∴，
若时，，，显然与共线．
若时，，
∴与共线．
例4 设是两个不共线的向量，已知，，，
若，，三点共线，求的值。
解：
∵，，三点共线，∴与共线，即存在实数，使得，
即是.
由向量相等的条件，得 ，∴．
五、课堂练习：
六、小结：1．掌握实数与向量的积的定义；
2．掌握实数与向量的积的运算律，并进行有关的计算；
3．理解两向量共线（平行）的充要条件，并会判断两个向量是否共线。
七、作业：
补充：1．设是两个不共线的向量，而和共线，求实数的值；
2．设二个非零向量不共线，如果，，
，求证，，三点共线。
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- 2 -三角函数的图象和性质单元练习题
一、选择题（5×12＝60分）
1．函数y＝tanx是
A.周期为π的偶函数 B.周期为π的奇函数
C.周期为π的偶函数 D.周期为π的奇函数
2．已知f(x)＝sin(x＋),g(x)＝cos(x－），则f(x)的图象
A.与g(x)的图象相同 B.与g(x)的图象关于y轴对称
C.向左平移个单位，得到g(x)的图象
D.向右平移个单位，得到g(x)的图象
3．若x∈(0，2π)，函数y＝＋的定义域是
A.( ,π］ B.( ,π) C.(0,π) D.( ,2π)
4．函数y＝sin(2x＋)的图象的一条对称轴方程为
A.x＝ B.x＝－ C.x＝ D.x＝
5．函数y＝logcos1cosx的值域是
A.［－1，1］ B.(－∞，＋∞) C. D.［0，＋∞)
6．如果｜x｜≤，那么函数f(x)＝cos2x＋sinx的最小值是
A. B. C.－ D.－1
7．函数f(x)＝sin，g(x)＝cos，则
A.f(x)与g(x)皆为奇函数 B.f(x)与g(x)皆为偶函数
C.f(x)是奇函数，g(x)是偶函数 D.f(x)是偶函数，g(x)是奇函数
8．下列函数中，图象关于原点对称的是
A.y＝－｜sinx｜ B.y＝－x·sin｜x｜
C.y＝sin(－｜x｜) D.y＝sin｜x｜
9．要得到函数y＝sin(2x－)的图象，只要将y＝sin2x的图象
A.向左平移 B.向右平移
C.向左平移 D.向右平移
10．下图是函数y＝2sin(ωx＋)(||＜）的图象，那么
A.ω＝，＝ B.ω＝，＝－
C.ω＝2，＝ D.ω＝2，＝－
11．在［0，2π］上满足sinx≥的x的取值范围是
A.［0，］ B.［，］ C.［，］ D.［，π］
12．函数y＝5＋sin22x的最小正周期为
A.2π B.π C. D.
二、填空题（4×6＝24分）
13．若函数y＝Acos(ωx－3)的周期为2，则ω＝ ；若最大值是5，则A＝ .
14．由y＝sinωx变为y＝Asin(ωx＋)，若“先平移，后伸缩”，则应平移 个单位；若“先伸缩，后平移”，则应平移 个单位即得y＝sin(ωx＋)；再把纵坐标扩大到原来的A倍，就是y＝Asin(ωx＋)(其中A＞0).
15．不等式sinx＞cosx的解集为 .
16．函数y＝sin(－2x＋)的递增区间是 .
17．已知f(x)＝ax＋bsin3x＋1(a，b为常数)，且f (5)＝7，则f (－5)＝ .
18．使函数y＝2tanx与y＝cosx同时为单调递增的区间是 .
第Ⅱ卷
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
二、填空题
13 14 15
16 17 18
三、解答题
19．求y＝的定义域.
20．已知：＝3，
求： eq \f(2cos2（＋α）＋3sin（π＋α）cos（π＋α）,cos（2π＋α）＋sin（－α）cos（――α）) 的值.
21．若f(x)＝Asin(x－)＋B，且f()＋f()＝7，f(π)－f(0)＝2，求f(x).
22．若，试求y＝f(x)的解析式.
23．设A、B、C是三角形的三内角，且lgsinA＝0，又sinB、sinC是关于x的方程
4x2－2(＋1)x＋k＝0的两个根，求实数k的值.
三角函数的图象和性质单元复习题答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B D A B D B D B D C B C
二、填空题
13 π 5 14 || || 15 x∈(2kπ＋，2kπ＋)(k∈Z)
16 kπ＋≤x≤kπ＋（k∈Z） 17 －5 18 (kπ－，kπ)k∈Z
三、解答题
19．求y＝的定义域.
解：由题意得(kZ)
2kπ－＜x＜2kπ或2k20．
21．若f(x)＝Asin(x－)＋B，且f()＋f()＝7，f(π)－f(0)＝2，求f(x).
解：由已知得：
f(x)＝2sin(x－)＋3
22．若，试求y＝f(x)的解析式.
解：由x＝sinθ＋cosθx2＝1＋2sinθcosθsinθcosθ＝
∴y＝f(x)＝sinθcosθ＝
23．设A、B、C是三角形的三内角，且lgsinA＝0，又sinB、sinC是关于x的方程
4x2－2(＋1)x＋k＝0的两个根，求实数k的值.
解：已知得sinA＝1，又0＜A＜π
∴A＝，∴B＋C＝
则sinB＝sin(－C)＝cosC
∴
∴1＋2sinC·cosC＝
∴2sinCcosC＝ ∴k＝4sinCcosC＝
PAGE第八课时 平面向量的坐标运算（二）
教学目标：
掌握已知平面向量的和、差，实数与向量的积的坐标表示方法并能熟练运用.
教学重点：
平面向量的坐标运算.
教学难点：
平面向量的坐标运算.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
平面向量的坐标运算法则.
Ⅱ.讲授新课
［例1］已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(2，5)，那么与是否共线 线段AB与线段AC是否共线
解：∵＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)，
＝(2－(－1)，5－(－1))＝(3，6)，又2×6－3×4＝0，
∴∥，∴与共线.
又直线AB与直线AC显然有公共点A，
∴A、B、C三点共线，即线段AB与线段AC共线.
综上，与共线，线段AB与线段AC也共线.
［例2］已知ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为(－2，1)、(－1，3)、(3，4)，求顶点D的坐标.
对此题，课本是利用向量相等(即＝)来求解的，较为简便.另外，此题若利用同学们刚学过且也较为熟悉的向量加法或减法都是可以顺利求解的，为开拓同学们的解题思路，下面就介绍这下面六种解法.
解法一：(利用向量加法)
先依题意在坐标系内作出ABCD(如图)，设顶点D的坐标为(x，y)，并连结OA、OD，则＝＋.
∵＝，∴＝＋
∴(x，y)＝(－2，1)＋(3－(－1)，4－3)
＝(－2，1)＋(4，1)＝(2，2)
∴顶点D的坐标为(2，2).
解法二：(利用向量减法)
先依题意在坐标系内作出ABCD(如图)，设顶点D的坐标为(x，y)，并连结OA、OD，则＝－
∵＝，∴＝－，
∴(x，y)＝(3－(－1)，4－3)－(0－(－2)，0－1)
＝(4，1)－(2，－1)＝(2，2)
∴顶点D的坐标为(2，2).
解法三：(利用中点的向量表达式)
如图，在ABCD中，AC的中点M即是BD的中点.
∵＝ (＋)＝ (＋)，
＋＝＋，
＝＋－
＝(－2，1)＋(3，4)－(－1，3)＝(2，2).
∴顶点D的坐标为(2，2).
解法四：(利用中点坐标公式)
如图，在ABCD中，AC的中点即为BD的中点，设点D的坐标为(x，y)，则
. 解得x＝2，y＝2.
∴顶点D的坐标为(2，2).
解法五：(利用平面内两点间的距离公式)
如图，设点D的坐标为(x，y).
在ABCD中，｜｜＝｜｜，｜｜＝｜｜，
有
解得，.
经检验是方程组的解.
∴顶点D的坐标为(2，2).
解法六：(利用平行四边形对边的向量相等)
如上图，设顶点D的坐标为(x，y)，
在ABCD中， ＝， ＝(x＋2，y－1)，
＝(4，1)，(x＋2，y－1)＝(4，1)，
即， 解得x＝2，y＝2，
∴顶点D的坐标为(2，2).
［例3］在△OAB中，＝a，＝b，设点M分所成的比为2∶1，点N分所成的比为3∶1，而OM和BN交于点P，试用a和b表示OP.
解：＝＋＝＋
＝＋ (－)＝＋
＝a＋b
∵与共线，设＝a＋b ①
又∵与共线，设＝s，
∴＝＋＝＋s＝＋s(－)
＝(1－s) ＋s＝ (1－s) ＋s
＝ (1－s)a＋sb ②
由①②知 ∴t＝，＝a＋b
［例4］向量b＝(－3，1)，c＝(2，1)，若向量a与c共线，求｜b＋a｜的最小值.
解：设a＝λc＝(2λ，λ)，
则b＋a＝(－3＋2λ，1＋λ)，
∴｜b＋a｜＝＝
＝≥
∴｜b＋a｜的最小值为，此时a＝c.
［例5］已知b的方向与a＝(－3，4)的方向相同，且｜b｜＝15，求b.
解：设a的单位向量为e，
则e＝＝(－，); ∵b与a方向相同
∴b＝｜b｜·e＝15·(－，)＝(－9，12)
∴b＝(－9，12).
Ⅲ.课堂练习
课本P76练习1，2，3
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，要求大家掌握平面向量的坐标表示，熟练平面向量的坐标运算，并能进行简单的应用.
Ⅴ.课后作业
课本P77习题 5，6，7，8
平面向量的坐标运算
1．已知a＝（－1，3），b＝（x，1），且a∥b，则x等于 （ ）
A.3 B. C.－3 D.－
2．已知A（x，2），B（5，y－2)，若＝（4，6），则x、y的值为 （ ）
A.x＝－1，y＝0 B.x＝1，y＝10
C.x＝1，y＝－10 D.x＝－1，y＝－10
3．已知M（3，－2），N（－5，－1），＝，则P点的坐标为 （ ）
A.（－8，1） B.（－1，－） C.（1，） D.（8，－1）
4．若a－b＝（1，2），a＋b＝(4，－10），则a等于 （ ）
A.（－2，－2） B.（2，2） C.（－2，2） D.（2，－2）
5．若向量a＝（－1，x)，b＝(－x，2）共线且方向相同，则x＝ .
6．已知向量＝（k，12），＝（4，5），＝（10，k）若A、B、C三点共线，则k＝ .
7．已知|a|＝2，b＝(－1，），且a∥b，则a＝ .
8．已知作用于坐标原点的三个力F1（3，4），F2（2，－5），F3（3，1），求作用于原点的合力F1＋F2＋F3的坐标.
9．设A、B、C、D四点坐标分别为（－1，0），（0，2），（2，），（，），求证：ABCD为梯形.
10．已知A（2，3），B（－1，5），满足＝，＝3，＝－，求C、D、E三点坐标.
平面向量的坐标运算答案
1．D 2．B 3．B 4．D 5． 6．11或－2 7．（－，3）或（，－3）
8．解：由F1＋F2＋F3＝（3，4）＋（2，－5）＋（3，1）＝（8，0）
9．证明：∵＝（1，2），＝（，1）＝
∴∥，且||＝2||
∴四边形ABCD为梯形.
10．解：由A（2，3），B（－1，5）得＝（－3，2）
∴＝＝（－1，） ∴C（1，）
＝3＝（－9，6） ∴D（－7，9）
又∵＝－＝（，－） ∴E（，）
- 6 -任意角的三角函数单元练习题（一）
一、选择题
1．下列叙述正确的是
A.180°的角是第二象限的角 B.第二象限的角必大于第一象限的角
C.终边相同的角必相等 D.终边相同的角的同一个三角函数的值相等
2．以下四个命题，其中，正确的命题是
①小于90°的角是锐角 ②第一象限的角一定不是负角 ③锐角是第一象限的角 ④第二象限的角必大于第一象限的角
A.①② B.③ C.②③ D.③④
3．sin1320°的值是
A. B.－ C. D.－
4．的值是
A.2 B. C.－ D.
5．若扇形圆心角为60°，半径为a，则内切圆与扇形面积之比为
A.1∶2 B.1∶3 C.2∶3 D.3∶4
6．若θ∈（，），则等于
A.cosθ－sinθ B.sinθ＋cosθ
C.sinθ－cosθ D.－cosθ－sinθ
7．若sin＝，cos＝－，则θ角的终边在
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
8．已知sin（3π＋α）＝lg，则tan（π＋α）的值是
A.－ B. C.± D.
9．将角α的终边顺时针旋转，则它与单位圆的交点坐标是
A.（cosα，sinα） B.（cosα，－sinα）
C.（sinα，－cosα） D.（sinα，cosα)
10．若tanθ＝，则cos2θ＋sinθcosθ的值是
A.－ B.－ C. D.
二、填空题
11．tan(－π)的值是 .
12．若角α的终边在直线y＝－x上，则＝ .
13．使tanx－有意义的x的集合为 .
14．已知α是第二象限的角，且cos＝－，则是第 象限的角.
15．已知θ角终边上一点M（x，－2），且cosθ＝，则sinθ＝____________；tanθ＝____________.
16.已知sinθ－cosθ＝，则sin3θ－cos 3θ的值为____________.
第Ⅱ卷
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
二、填空题
11 12 13
14 15 16
三、解答题
17．设cosθ＝（m＞n＞0)，求θ的其他三角函数值.
18．化简：2－sin221°－cos 221°＋sin417°＋sin217°·cos 217°＋cos 217°
19．证明(1) ＝
(2)tan2θ－sin2θ＝tan2θsin2θ
20．已知α是第三象限的角，且
f(α)＝ eq \f(sin（π－α）cos（2π－α）tan（－α＋π）tan（―α―π）,sin（－π－α）)
(1)化简f（α）； (2)若cos(α－π)＝，求f(α)的值；
(3)若α＝－1860°，求f（α）的值.
21．已知cos(－α)＝，求cos(π＋α)＋sin2(α－）的值.
任意角的三角函数单元练习题（一）答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B D D C A D C C D
二、填空题
11．－ 12．0 13．{x|x∈R且x≠，k∈Z} 14．三 15．－ ± 16.
三、解答题
17．设cosθ＝（m＞n＞0)，求θ的其他三角函数值.
解：∵m＞n＞0，∴cosθ＝＞0
∴θ是第一象限角或第四象限角.
当θ是第一象限角时：
sinθ＝＝
tanθ＝
当θ是第四象限角时：
sinθ＝－
tanθ＝
18．化简：2－sin221°－cos 221°＋sin417°＋sin217°·cos 217°＋cos 217°
解：原式＝2－（sin221°＋cos 221°）＋sin217°（sin217°＋cos 217°）＋cos 217°
＝2－1＋sin217°＋cos 217°＝1＋1＝2
19．证明(1) ＝
(2)tan2θ－sin2θ＝tan2θsin2θ
(1) 证明：左＝
＝＝＝
(∵cos θ≠0，∴分子、分母可同除以cosθ)
＝＝右，证毕.
还可用其他证法.
(2)证明：左＝－sin2θ＝
＝＝＝tan2θsin2θ＝右，证毕.
20．已知α是第三象限的角，且
f(α)＝ eq \f(sin（π－α）cos（2π－α）tan（－α＋π）tan（―α―π）,sin（－π－α）)
(1)化简f（α）；(2)若cos(α－π)＝，求f(α)的值；
(3)若α＝－1860°，求f（α）的值.
解：（1）f（α）＝
＝＝－cosα
（2）由已知得sinα＝－，cosα＝－， ∴f(α)＝
（3）f(－1860°）＝－
21．已知cos(－α)＝，求cos(π＋α)＋sin2(α－）的值.
解：cos(π＋α)＝cos［π－（－α)］＝－cos(－α)＝－.
又sin2(α－)＝1－cos2(－α)＝
∴原式＝.
- 5 -三角函数复习讲义（1）
两角和与差的三角函数
一、复习要点：
1．主要内容：同角三角函数的基本关系式，诱导公式，和角（差角）公式，倍角公式。
2．主要题型：化简、求值、证明。
3．方法要点：化简、求值、证明常涉及三个方面的变形：角、函数名称、运算方式，关键是角的处理。常用的变形措施有：负角化正，大角化小，切割化弦，化异为同，降高为低，引进辅助角，“”的变换，和差配凑等。对于给式求值的问题，要针对目标运用条件；对于证明问题，消除条件和结论的差异，即为成功。要求不仅熟悉公式、活用公式，还要善于观察、辨析差异，根据题意选取适当的方法。
二、基础训练：
1．已知，则的值为 （ ）
A． B． C． D．
2．设是三角形中的最小角，且，则的取值范围是 ．
3．化简，其结果为 （ ）
A． B． C． D．
4．在中，，且，则的大小为 （ ）
A． B． C．或 D．或
5．已知，且，则角是第 象限角。
6．若和都是锐角，且，，则的值是 ，的值是 ．
7．已知，，则的值是 ．
三、例题分析：
例1．求值：。
例2．设是锐角，且，，求证：成等差数列。
例3．是否存在锐角和，使得，同时成立？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由。
四、课后作业：
1．设，，，则有 （ ）
A． B． C． D．
2．若，则的最大值是 最小值是 ．
3．函数的最小正周期是 （ ）
A． B． C． D．
4．若和都是锐角，且，则与的大小关系是 ．
5．若，则的值是 ．
6．若和都是锐角，且，则的值是 ．
7．若，则的值是 （ ）
． ． ． ．
8．计算：．
9．已知，且满足，
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）将表示成的函数关系式。
10．已知：其中不同时为零，
求证：．
PAGE
- 1 -1.3.2 三角函数的图像与性质(5)
一、课题：正切函数的图象和性质（1）
二、教学目标：1．了解利用正切线画出正切函数图象的方法；
2．了解正切曲线的特征，能利用正切曲线解决简单的问题；
3．掌握正切函数的性质。
三、教学重、难点：1．正切函数图象的作法；2．正切函数的性质。
四、教学过程：
（一）复习：
问题：正弦曲线是怎样画的？
（二）新课讲解：
1．正切函数的定义域是什么？
2．正切函数是不是周期函数？
，
∴是的一个周期。
是不是正切函数的最小正周期？下面作出正切函数图象来判断。
3．作，的图象
说明：（1）正切函数的最小正周期不能比小，正切函数的最小正周期是；
（2）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数
，且的图象，称“正切曲线”。
（3）由图象可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线所隔开的无穷多支曲线组成的。
4．正切函数的性质 引导学生观察，共同获得：
（1）定义域：；
（2）值域：R
观察：当从小于，时，
当从大于，时，。
（3）周期性：；
（4）奇偶性：由知，正切函数是奇函数；
（5）单调性：在开区间内，函数单调递增。
思考：
例：求函数的定义域。 答案：．
五、课堂练习：
六、小结：1．作图的方法和图象特征；
2．正切函数的性质；
七、作业：
x
0
y
y
PAGE
- 1 -1.2.2 同角三角函数的基本关系式（1）
一、课题：同角三角函数的基本关系式（1）
二、教学目标：1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式；
2.掌握三种基本关系式之间的联系；
3.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。
三、教学重点：三角函数基本关系式的推导、记忆及应用。
四、教学过程：
（一）复习：
1．任意角的三角函数定义：
设角是一个任意角，终边上任意一点，
它与原点的距离为，那么：
，，，，，．
（二）新课讲解：
1．同角三角函数关系式：
（1）倒数关系：，，．
（2）商数关系：，．
（3）平方关系：，，．
说明：
①注意“同角”，至于角的形式无关重要，如等；
②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如
；
③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：
， ， 等。
2．例题分析：
例1 （1）已知，并且是第二象限角，求．
（2）已知，求．
解：（1）∵， ∴，
又∵是第二象限角，∴，即有，从而
， ．
（2）∵， ∴，
又∵， ∴在第二或三象限角。
当在第二象限时，即有，从而，；
当在第四象限时，即有，从而，．
总结：已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值。在求值中，确定角的终边位置是关键和必要的。有时，由于角的终边位置的不确定，因此解的情况不止一种。解题时产生遗漏的主要原因是：①没有确定好或不去确定角的终边位置；②利用平方关系开平方时，漏掉了负的平方根。
例2 已知为非零实数，用表示．
解：∵，，
∴，即有，
又∵为非零实数，∴为象限角。
当在第一、四象限时，即有，从而，
；
当在第二、三象限时，即有，从而，
．
例3 已知（），求
解： ∵， 即， 又∵，
∴，即，，
又∵，∴为象限角。
当在第一、四象限时，即有，；
当在第二、三象限时，即有，．
3．总结解题的一般步骤：
①确定终边的位置（判断所求三角函数的符号）；
②根据同角三角函数的关系式求值。
五、课堂练习：六、小结：1．同角三角函数基本关系式及成立的条件；
2．根据一个角的某一个三角函数值求其它三角函数值；
3．在以上的题型中：先确定角的终边位置，再根据关系式求值。如已知正弦或余弦，则先用平方关系，再用其它关系求值；若已知正切或余切，则可构造方程组来求值。
七、作业：
PAGE
- 2 -第十课时 诱导公式（二）
教学目标：
理解诱导公式的推导方法，掌握诱导公式并运用之进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明，培养学生化归、转化的能力；通过诱导公式的应用，使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的一条行之有效的途径.
教学重点：
理解并掌握诱导公式.
教学难点：
诱导公式的应用——求三角函数值，化简三角函数式，证明简单的三角恒等式.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
公式一～公式四
函数名不变，正负看象限.
Ⅱ.检查预习情况
由－α与α的终边关于直线y＝x对称，可得：
公式五：sin（－α）＝cosα，cos（－α）＝sinα
利用公式二和公式五可得：
公式六：sin（＋α）＝cosα，cos（＋α）＝－sinα
公式一～公式六统称为诱导公式
Ⅲ.例题分析
课本P22例3，例4
补充例题：
［例1］化简
解：原式＝
＝＝－
［例2］化简
解：原式＝
＝
＝＝
＝＝＝cos300＝
［例2］已知关于x的方程4x2－2(m＋1)x＋m＝0的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦，求实数m的值.
分析：依据已知条件及根与系数关系，列出关于m的方程去求解.
解：设直角三角形的两个锐角分别为α、β，则可得α＋β＝，
∴cosα＝sinβ
∵方程4x2－2(m＋1)x＋m＝0中
Δ＝4（m＋1)2－4·4m＝4(m－1)2≥0
∴当m∈R，方程恒有两实根.
又∵cosα＋cosβ＝sinβ＋cosβ＝
cosα·cosβ＝sinβcosβ＝
∴由以上两式及sin2β＋cos2β＝1，得
1＋2·＝()2 解得m＝±
当m＝时，cosα＋cosβ＝＞0，
cosα·cosβ＝＞0，满足题意，
当m＝－时，
cosα＋cosβ＝＜0，这与α、β是锐角矛盾，应舍去.
综上，m＝
Ⅳ.课堂练习
课本P23练习 1、2、3、4.
Ⅴ.课时小结
本节课同学们自己导出了公式五、公式六，完成了教材中诱导公式的学习任务，为求任意角的三角函数值“铺平了道路”.利用这些公式，可把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，为求值带来很大的方便，这种转化的思想方法，是我们经常用到的一种解题策略，要细心去体会、去把握.利用这些公式，还可以化简三角函数式，证明简单的三角恒等式，我们要多练习，在应用中达到熟练掌握的程度.
Ⅵ.课后作业
课本P24习题14、15、18.
诱导公式（二）
1．下列不等式中，正确的是 （ ）
A.sinπ＞sinπ B.tanπ＞tan(－)
C.sin(－)＞sin(－) D.cos(－π)＞cos(－π)
2．tan300°＋sin450°的值为 （ ）
A.1＋ B.1－ C.－1－ D.－1＋
3．已知cos(π＋θ)＝－，θ是第一象限角，则sin（π＋θ）和tanθ的值分别为（ ）
A. ，－ B.－， C.－，－ D.－，－
4．已知x∈(1，)，则|cosπx|＋|cos|－|cosπx＋cos|的值是 （ ）
A.0 B.1 C.2 D.－1
5．＝ .
6．若α是第三象限角，则= .
7．sin2(－x)＋sin2(＋x)＝ .
8．已知sin（π－α）－cos(π＋α)＝ (＜α＜π，
求sinα－cosα与sin3（＋α）＋cos3(＋α)的值.
9．设sinα＝，cosβ＝－，且α、β不在同一象限，求sin（α＋β)的值.
10．已知cos(75°＋α)＝，其中α为第三象限角，求cos(105°－α)＋sin(α－105°)的值.
诱导公式（二）答案
1．B 2．B 3．B 4．A 5． 6．－sinα－cosα 7．1
8．已知sin（π－α）－cos(π＋α)＝ (＜α＜π，
求sinα－cosα与sin3（＋α）＋cos3(＋α)的值.
分析：对已知条件中的式子与所求式子先利用诱导公式化简，求得sinαcosα，进而求得sinα－cosα的值.
解：∵sin（π－α）－cos(π＋α) ＝ (＜α＜π)
∴sinα＋cosα＝
将其两边平方得：1＋2sinαcosα＝
∴sinαcosα＝－， ∵＜α＜π
∴sinα－cosα
＝＝
又sin3（＋α）＋cos3(＋α)
＝sin3［π－(－α)］＋cos3［π－(－α)］
＝sin3(－α)－cos3(－α)＝－sin3α＋cos3α
＝(cosα－sinα)(cos2α＋sinαcosα＋cos2α)
＝－·（1－)＝－
9．设sinα＝，cosβ＝－，且α、β不在同一象限，求sin（α＋β)的值.
分析：依据已知条件可得α、β满足条件的情况有：
（1）α在第一象限，β在第二象限；
（2）α在第一象限，β在第三象限；
（3）α在第二象限，β在第三象限.
解：（1）当α在第一象限，β在第三象限时，
α＝2kπ＋ (k∈Z)，β＝2nπ＋ (n∈Z)，则有：
α＋β＝2(k＋n)π＋π
sin(α＋β)＝sinπ＝
(2)当α在第一象限，β在第二象限时，α＝2kπ＋ (k∈Z)，β＝2nπ＋π(n∈Z)则有：α＋β＝2(k＋n)π＋π
sin(α＋β)＝sinπ＝sinπ＝－1
(3)当α在第二象限，β在第三象限时，α＝2kπ＋π(k∈Z)，β＝2nπ＋π(n∈Z)则有：α＋β＝2(k＋n)π＋π
sin(α+β)＝sinπ＝sin＝
综上，得sin（α+β）＝
10．已知cos(75°＋α)＝，其中α为第三象限角，求cos(105°－α)＋sin(α－105°)的值.
分析：依据已知条件与所求结论，寻求它们的关系（75°＋α)＋(105°－α)＝180°，结合三角函数诱导公式求得.
解：∵cos(105°－α)＝cos［180°－(75°＋α)］＝－cos(75°＋α)＝－
sin(α－105°)＝－sin［180°－(75°＋α)］＝－sin(75°＋α)
∵cos(75°＋α)＝ ＞0
又∵α为第三象限角，∴75°＋α为第四象限角
∴sin（75°＋α)＝－
＝－ eq \r(1－（）2) ＝－
∴cos(105°－α)＋sin(α－105°)
＝－＋＝
- 7 -第十七课时 函数y＝Asin(ωx＋)的图象(二)
教学目标：
理解相位变换中的有关概念，会用相位变换画出函数的图象，会用“五点法”画出y＝sin(x＋)的简图；数形结合思想的渗透，辩证观点的培养，数学修养的培养.
教学重点：
1.相位变换中的有关概念；
2.会用相位变换画函数图象；
3.“五点法”画y＝sin(x＋)的简图.
教学难点：
理解并利用相位变换画图象.
教学过程：
Ⅰ.课题导入
我们随着学习三角函数的深入，还会遇到形如y＝sin(x＋)的三角函数，这种函数的图象又该如何得到呢 今天，我们一起来探讨一下.
Ⅱ.讲授新课
［例］画出函数y＝sin(x＋)，x∈R y＝sin(x－)，x∈R的简图.
解：列表
x －
X＝x＋ 0 π 2π
sin(x＋) 0 1 0 －1 0
描点画图：
x
X＝x－ 0 π 2π
sin(x－) 0 1 0 －1 0
通过比较，发现：
函数y＝sin(x＋)，x∈R的图象可看作把正弦曲线上所有的点向左平行移动个单位长度而得到.
函数y＝sin(x－)，x∈R的图象可看作把正弦曲线上所有点向右平行移动个单位长度而得到.
一般地，函数y＝sin(x＋)，x∈R(其中≠0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当＞0时)或向右(当＜0时)平行移动｜｜个单位长度而得到.
y＝sin(x＋)与y＝sinx的图象只是在平面直角坐标系中的相对位置不一样，这一变换称为相位变换.
Ⅲ.课时小结
通过本节学习要理解并掌握相位变换画图象.
函数y＝Asin(ωx＋)的图象(二)
1．(1)y＝sin(x＋)是由y＝sinx向 平移 个单位得到的.
(2)y＝sin(x－)是由y＝sinx向 平移 个单位得到的.
(3)y＝sin(x－)是由y＝sin(x＋)向 平移 个单位得到的.
2．若将某函数的图象向右平移以后所得到的图象的函数式是y＝sin(x＋)，则原来的函数表达式为 ( )
A.y＝sin(x＋) B.y＝sin(x＋)
C.y＝sin(x－) D.y＝sin(x＋)－
3．把函数y＝cos(3x＋)的图象适当变动就可以得到y＝sin(－3x)的图象，这种变动可以是( )
A.向右平移 B.向左平移
C.向右平移 D.向左平移
4．将函数y＝f(x)的图象沿x轴向右平移，再保持图象上的纵坐标不变，而横坐标变为原来的2倍，得到的曲线与y＝sinx的图象相同，则y＝f(x)是 ( )
A.y＝sin(2x＋) B.y＝sin(2x－)
C.y＝sin(2x＋) D.y＝sin(2x－)
5．若对任意实数a，函数y＝5sin(πx－)(k∈N)在区间［a，a＋3］上的值 出现不少于4次且不多于8次，则k的值是 ( )
A.2 B.4 C.3或4 D.2或3
6．若函数f(x)＝sin2x＋acos2x的图象关于直线x＝－对称，则a＝－1.
函数y＝Asin(ωx＋)的图象(二)答案
1．(1)左 (2)右 (3)右 2．A 3．D 4．C
5．分析：这也是求函数解析式中参数值的逆向型题，解题的思路是：
先求出与k相关的周期T的取值范围，再求k.
解：∵T＝＝，(a＋3)－a＝3
又因每一周期内出现值时有2次，出现4次取2个周期，出现值8次应有4个周期.
∴有4T≥3且2T≤3
即得≤T≤，∴≤≤
解得≤k≤，
∵k∈N，∴k＝2或3.
答案：D
6．a＝－1
分析：这是已知函数图象的对称轴方程，求函数解析式中参数值的一类逆向型题，解题的关键是如何巧用对称性.
解：∵x1＝0，x2＝－是定义域中关于x＝－对称的两点
∴f(0)＝f(－)
即0＋a＝sin(－)＋acos(－)
∴a＝－1
- 3 -3.2.3 二倍角的正弦、余弦、正切（3）
一、课题：二倍角的正弦、余弦、正切（3）
二、教学目标：1.复习巩固倍角公式，加强对公式灵活运用的训练，培养综合运用公式的能力；
2.能推导和了解半角公式、和差化积及积化和差公式。
三、教学重、难点：掌握三个公式的推导方法，使学生体会到角的三角函数与的三角函数的内在联系，，角的三角函数与角的三角函数之间的内在联系；
四、教学过程：
（一）复习：
1．二倍角公式
【练习1】化简：
（1）；
（2）． （（1）（2）两题答案：）．
总结：一般地，．
2．二倍角公式反映的是将二倍角的三角函数值转化为单角的三角函数值。在倍角公式中，“倍角”与“半角”是相对的，从而有降幂公式：
，，．
（二）新课讲解：
1．半角公式：
，，．
说明：（1）只要知道角终边所在象限，就可以确定符号；
（2）公式的“本质”是用角的余弦表示角的正弦、余弦、正切；
（3）还有一个有用的公式：（下面给出证明）。
2．例题分析：
例1：求证： ．
证法一： ．
证法二：
∴．
又由知与同号，且，
∴， 同理．
【练习2】已知，且，求的值。
（略解）原式．
（解法2）原式．
例2：求证：（1）；（2）．
证明：（1）将公式与公式的左边、右边分别相加，得
所以，．
（2）在（1）题中，令，则，．
把，的值代入，就有，
所以，．
五、课堂练习：
六、小结：1．巩固倍角公式，会推导了解半角公式、和差化积及积化和差公式。
七、作业：
补充：1．化简．
2．已知，且，求的值。
3．已知，且，求的值。
4．已知，且x是锐角，求的值。
5．已知，且，求的值。
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- 3 -1.1.2 弧度制（2）
一、课题：弧度制（2）
二、教学目标：1. 继续研究角度制与弧度制之间的转化；
2．熟练掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用；
3．求扇形面积的最值。
三、教学重、难点：弧长公式、扇形面积公式的应用。
四、教学过程：
（一）复习：
（1）弧度制角如何规定的？（其中表示所对的弧长）
（2）； ．
说出下列角所对弧度数．
（练习）写出阴影部分的角的集合：
（3）在角度制下，弧长公式及扇形面积公式如何表示？
圆的半径为，圆心角为所对弧长为；
扇形面积为．
（二）新课讲解：
1．弧长公式：
在弧度制下，弧长公式和扇形面积公式又如何表示？
∵（其中表示所对的弧长），
所以，弧长公式为．]
2．扇形面积公式：扇形面积公式为：．
说明：①弧度制下的公式要显得简洁的多了；
②以上公式中的必须为弧度单位．
3．例题分析：
例1 （1）已知扇形的圆心角为，半径，求弧长及扇形面积。
（2）已知扇形周长为，当扇形的中心角为多大时它有最大面积，最大面积是多少？
解：（1）因为，所以，．
（2）设弧长为，半径为，由已知，所以，，
从而，
当时，最大，最大值为，这时．
例2 如图，扇形的面积是，它的周长是，求扇形的中心角及弦的长。
解：设扇形的弧长为，半径为，则有
　，
所以，中心角为，弦长＝．
五、课堂练习：
1．集合的关系是 （ ）
（A） （B） （C） （D）以上都不对。
2．已知集合，则等于（ ）
（A） （B）
（C） （D）或
3．圆的半径变为原来的，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来的　　 　倍。
4．若2弧度的圆心角所对的弧长是，则这个圆心角所在的扇形面积是　　　　 　．
5．在以原点为圆心，半径为１的单位圆中，一条弦的长度为，所对的圆心角
的弧度数为　　 　．
六、小结：1．牢记弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，并灵活运用；
2．由将转化成，利用这个与的二次函数关系求出扇形面积的最值。
七、作业：
补充：1．一个扇形周长等于它的弧所在圆的周长的一半，若圆的半径为，求扇形的面积。
2．2弧度的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对的弧长，及圆心角所夹扇形面
积（要求作图）。
3．已知扇形的周长为30，当它的半径和圆心角各取多少值时，扇形面积最大，
最大值为多少？
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- 2 -第一课时 向量的概念及表示
教学目标：
理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量相等的向量.
教学重点：
向量概念、相等向量概念、向量几何表示.
教学难点：
向量概念的理解.
教学过程：
Ⅰ.课题导入
在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等.
还有一些量，如我们在物理中所学习的位移，是一个既有大小又有方向的量，这种量就是我们本章所要研究的向量.
向量是数学中的重要概念之一，向量和数一样也能进行运算，而且用向量的有关知识还能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题，在这一章，我们将学习向量的概念、运算及其简单应用.
而这一节课，我们将学习向量的有关概念.
Ⅱ.讲授新课
这一节，大家通过自学来熟悉相关内容，然后我们通过概念辨析例题来检验大家自学的效果.
1.向量的概念：
(我们把既有大小又有方向的量叫向量)
2.向量的表示方法：
①用有向线段表示；
②用字母a、b等表示；
③用有向线段的起点与终点字母：.
3.零向量、单位向量概念：
①长度为0的向量叫零向量，记作0；
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.
说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.
4.平行向量定义：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；
②我们规定0与任一向量平行.
说明：(1)综合①、②才是平行向量的完整定义；
(2)向量a、b、c平行，记作a∥b∥c.
5.相等向量定义：
长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
说明：(1)向量a与b相等，记作a＝b；
(2)零向量与零向量相等；
(3)任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.
6.共线向量与平行向量关系：
平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上.
说明：(1)平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；
(2)共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
［例1］判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.
①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；
②单位向量都相等；
③任一向量与它的相反向量不相等；
④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是＝；
⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件；
⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.
分析：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、在同一直线上.
②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.
③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.
④、⑤正确.
⑥不正确.如图，与共线，虽起点不同，但其终点却相同.
评述：本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好.
［例2］下列命题正确的是 ( )
A.a与b共线，b与c共线，则a与c也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点
C.向量a与b不共线，则a与b都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行
分析：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确，由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确.向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以D不正确.对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若a与b不都是非零向量，即a与b至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有a与b共线，不符合已知条件，所以有a与b都是非零向量，所以应选C.
评述：对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以从反面进行考虑，要启发学生注意这两方面的结合.
几点说明：
1.向量有三个要素：起点、方向、长度.
2.向量不能比较大小，但向量的长度(或模)可以比较大小
3.实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘.
4.向量a与实数a.
5.零向量0与实数0
6.注意下列写法是错误的：
①a－a＝0; ②＋＋＝0;
③a＋0＝a; ④｜a｜－｜a｜＝0.
7.平行向量与相等向量
方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也即共线向量，并且规定0与任一向量平行.长度相等且方向相同的向量叫相等向量，规定零向量与零向量相等.
平行向量不一定相等，但相等向量一定是平行向量，即向量平行是向量相等的必要条件.
为巩固大家对向量有关概念的理解，我们进行下面的课堂训练.
Ⅲ.课堂练习
课本P59练习1，2，3，4.
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，要求大家能理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并能进行简单的应用.
Ⅴ.课后作业
课本P59习题 1，2，3，4
- 3 -第七课时 平面向量的坐标运算（一）
教学目标：
理解平面向量的坐标概念，掌握已知平面向量的和、差，实数与向量的积的坐标表示方法.
教学重点：
平面向量的坐标运算.
教学难点：
理解向量坐标化的意义.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
上一节，我们学面向量的基本定理，这一节，我们将利用此定理推得平面向量的坐标表示.
我们知道，在直角坐标系内，第一个点都可以用一个有序实数对(x，y)来表示，本节我们将把向量放入直角坐标平面内，同样用有序数对(x，y)来表示.
Ⅱ.讲授新课
1.平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，i、j为x轴、y轴正方向的单位向量(一组基底)，由平面向量的基本定理可知：平面内任一向量a，有且只有一对实数x，y，使a＝xi＋yj成立.
2.平面向量的坐标运算
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，
a－b＝(x1－x2，y1－y2).
即：平面内一个向量的坐标等于此向量有向线段的终点坐标减去始点坐标.
3.实数与向量积的坐标表示
若a＝(x，y)，则λa＝(λx，λ y)
4.向量平行的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，由a∥b存在实数λ，使a＝λb.
∴(x1，y1)＝λ(x2，y2)＝(λx2，λ y2)，
∴x1＝λx2，y1＝λy2.
消去λ得：x1y2－x2y1＝0，
∴a∥bx1y2－x2y1＝0.(b≠0)
［例1］已知a＝(1，1)，b＝(x，1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，
(1)若u＝3v，求x；(2)若u∥v，求x.
解：∵a＝(1，1)，b＝(x，1)，∴u＝(1，1)＋2(x，1)＝(1，1)＋(2x，2)＝(2x＋1，3)
v＝2(1，1)－(x，1)＝(2－x，1)
(1)u＝3v(2x＋1，3)＝3(2－x，1)
(2x＋1，3)＝(6－3x，3)
∴2x＋1＝6－3x，解得x＝1
(2)u∥v(2x＋1，3)＝λ(2－x，1)
(2x＋1)－3(2－x)＝0x＝1
评述：对用坐标表示的向量来说，向量相等即坐标相等，这一点在解题中很重要，应要求学生引起重视.
［例2］平行四边形ABCD的对角线交于点O，且知＝(3，7)，＝(－2，1)，求坐标.
分析：要求得的坐标，只要求得的坐标即可.
解：由＝(3，7)，＝(－2，1)，
可有＝－＝(－2，1)－(3，7)＝(－5，－6)
∴＝＝ (－5，－6)＝(－，－3)
评述：向量的加、减法，实数与向量的积是向量的基本运算，对于用坐标表示的向量需运用向量的坐标运算法则，而几何图形中的向量应结合向量加、减法的几何意义以方便寻找关系.
［例3］下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底，正确的判断是( )
(1)e1＝(－1，2)，e2＝(5，7); (2)e1＝(3，5)，e2＝(6，10);
(3)e1＝(2，－3)，e2＝(，－).
A.(1) B.(1)(3) C.(2)(3) D.(1)(2)(3)
解：(1)∵－1×7≠2×5
∴e1e2故e1、e2可作为基底.
(2)∵3×10=5×6.
∴e1∥e2故e1，e2不能作为基底.
(3)∵2×(－)=－3×.
∴e1∥e2故e1，e2不能作为基底. 故选A
评述：本题考查基底的概念，及两向量平行的充要条件的坐标形式.
Ⅲ.课堂练习
课本P74练习1，2，3，4，5，6
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，要求大家掌握平面向量的坐标表示，熟练平面向量的坐标运算，并能进行简单的应用.
Ⅴ.课后作业
课本P76习题 1，2，3，4
- 2 -第八课时 同角三角函数关系的应用
教学目标：
熟练运用同角三角函数化简三角函数式，活用同角三角函数关系证明三角恒等式，明确化简结果的要求，掌握证明恒等的方法；通过化简与证明，使学生提高三角恒等变形的能力，树立化归的思想方法.
教学重点：
三角函数式的化简，三角恒等式的证明.
教学难点：
同角三角函数关系的变用、活用.
教学过程：
［例1］化简
法一：原式＝
＝＝
法二：原式＝
＝
＝
＝＝＝
法三：原式＝
＝
＝＝＝
①以上三种解法虽思路不同，但都应用了公式sin2α+cos2α＝1,其中生2、3是顺用公式，1是逆用公式，显然1的解法简单明了.②在1的解法中逆用公式sin2α＋cos2α＝1，实质是“1”的一种三角代换“1＝sin2α＋cos2α”.
对于利用同角三角函数关系式化简时，其结果一般要求：①函数种类少；②式子项数少；③项的次数低；④尽量使分母或根号内不含三角函数式；⑤尽可能求出数值（不能查表））.
［例2］求证＝
证法一：由cosx≠0知1＋sinx≠0，于是
左＝＝＝＝＝右
证法二：由1－sinx≠0，cosx≠0于是
右＝＝＝＝＝左
证法三：左－右＝－＝
＝＝＝0
∴＝
证法四：(分析法) 欲证＝
只须证cos2x＝（1＋sinx）（1－sinx）
只须证cos2x＝1－sin2x 只须证sin2x＋cos2x＝1
∵上式成立是显然的，∴＝成立
分析法证题的思路是“执果索因”：从结论出发，逐步逆推，推出一个真命题或者推出的
与已知一致，从而肯定原式成立.要注意论证格式
Ⅲ.课堂练习
已知sinθ＋cosθ＝，θ∈(0，π)，求tanθ的值.
分析：依据已知条件sinθ＋cosθ＝，θ∈(0，π)，求得2sinθcosθ的值，进而求得sinθ－cosθ的值，结合sinθ、cosθ的值再求得tanθ即可.
解：∵sinθ＋cosθ＝，(1)
将其平方得，1＋2sinθcosθ＝ ∴2sinθcosθ＝－，
∵θ∈(0，π) ∴cosθ＜0＜sinθ
∵(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝ ∴sinθ－cosθ＝ (2)
由（1）（2）得
sinθ＝，cosθ＝－， ∴tanθ＝－
Ⅳ.课时小结
本节课我们讨论了同角三角函数关系式的两个方面的应用：化简与证明，与同学们讨论了化简的一般要求，证明恒等的常用方法，对于化简与证明另外还应注意两种技巧：一种是切化弦”，一种是“1”的代换，“1”的代换不要仅限于平方关系的代换，还要注意倒数关系的代换，究竟用哪一种，要由具体问题来决定.
Ⅴ.课后作业
课本P24习题 10、11、12.
同角三角函数关系的应用
1．式子sin4θ＋cos2θ＋sin2θcos2θ的结果是 （ ）
A. B. C. D.1
2．已知tanθ＝ (其中0＜a＜1，θ是三角形的一个内角)，则cosθ的值是 （ ）
A. B. C. D.±
3．若sinα＝，cosα＝，＜α＜π，则a的值满足 （ ）
A.a＝0 B.a＞3或a＜－5 C.a＝8 D.a＝0或a＝8
4．化简的结果为 （ ）
A.cos4 B.－cos4 C.±cos4 D.cos22
5．已知sinα＝，且α为第二象限角，那么tanα＝
6．已知sinαcosα＝，且<α<，则cosα－sinα的值为
7．若tanα＝,π<α<π，则sinα·cosα＝
8．若β∈［0，2π)，且＋＝sinβ－cosβ，求β的取值范围.
9．化简：－.
10．求证：tan2θ－sin2θ＝tan2θ·sin2θ.
同角三角函数关系的应用答案
1．D 2．C 3．C 4．B 5．－ 6．－ 7．
8．若β∈［0，2π)，且＋＝sinβ－cosβ，求β的取值范围.
分析：依据已知条件得cosβ≤0，sinβ≥0，利用同角三角函数之间的关系式求解.
解：∵＋
＝＋＝|sinβ|＋|cosβ|＝sinβ－cosβ
∴sinβ≥0，cosβ≤0
∴β是第二象限角或终边在x轴负半轴和y轴正半轴上的角
∵0≤β≤2π ∴≤β≤π
9．化简：－.
原式＝－
＝＝sinx＋cosx
10．求证：tan2θ－sin2θ＝tan2θ·sin2θ.
左边＝tan2θ－sin2θ＝－sin2θ
＝sin2θ·＝sin2θ·＝sin2θ·tan2θ＝右边
- 4 -§4.4 正弦函数的性质（2课时）
洋浦实验中学 吴永和
1、 教学目标：
1、 知识与技能
（1）进一步熟悉单位圆中的正弦线；（2）理解正弦诱导公式的推导过程；（3）掌握正弦诱导公式的运用；（4）能了解诱导公式之间的关系，能相互推导；（5）理解并掌握正弦函数的定义域、值域、周期性、最大（小）值、单调性、奇偶性；（6）能熟练运用正弦函数的性质解题。
2、 过程与方法
通过正弦线表示α,－α,π－α,π＋α,2π－α,从而体会各正弦线之间的关系；或从正弦函数的图像中找出α,－α,π－α,π＋α,2π－α，让学生从中发现正弦函数的诱导公式；通过正弦函数在R上的图像，让学生探索出正弦函数的性质；讲解例题，总结方法，巩固练习。
3、 情感态度与价值观
通过本节的学习，培养学生创新能力、探索归纳能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有效途经；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。
二、教学重、难点
重点: 正弦函数的诱导公式，正弦函数的性质。
难点: 诱导公式的灵活运用，正弦函数的性质应用。
三、学法与教学用具
在上一节课的基础上，运用单位圆中正弦线或正弦函数图像中角的关系，引发学生探索出正弦函数的诱导公式；通过例题和练习掌握诱导公式在解题中的作用；在正弦函数的图像中，直观判断出正弦函数的性质，并能上升到理性认识；理解掌握正弦函数的性质；以学生的自主学习和合作探究式学习为主。
教学用具:投影机、三角板
第一课时 正弦函数诱导公式
一、教学思路
【创设情境，揭示课题】
在上一节课中，我们已经学习了任意角的正弦函数定义，以及终边相同的角的正弦函数值也相等，即sin(2kπ＋α)＝sinα (k∈Z)，这一公式体现了求任意角的正弦函数值转化为求0°～360°的角的正弦函数值。如果还能把0°～360°间的角转化为锐角的正弦函数，那么任意角的正弦函数就可以查表求出。这就是我们这一节课要解决的问题。
【探究新知】
1． 复习：（公式1）sin(360k+) = sin
2． 对于任一0到360的角，有四种可能（其中为不大于90的非负角）
（以下设为任意角）
3． 公式2：
设的终边与单位圆交于点P(x,y)，则180+终边与单位圆交于点P’(-x,-y)，由正弦线可知：
sin(180+) = sin
4．公式3：
如图：在单位圆中作出α与－α角的终边，
同样可得：
sin() = sin,
5． 公式4：由公式2和公式3可得：
sin(180) = sin[180+()] = sin() = sin,
同理可得： sin(180) = sin,
6．公式5：sin(360) = sin
【巩固深化，发展思维】
1． 例题讲评
例1． 求下列函数值
（1）sin(－1650)； （2）sin(－15015’)； (3)sin(－π)
解：（1）sin(－1650)＝－sin1650＝－sin(4×360＋210)＝－sin210
＝－sin(180＋30)＝sin30＝
(2) sin(－15015’)＝－sin15015’＝－sin(180－2945’)
＝－sin2945’＝－0.4962
(3) sin(－π)＝sin(－2π＋)＝sin＝
例2．化简：
解：（略，见教材P24）
2． 学生练习
教材P24练习1、2、3
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到的主要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、课后反思
第二课时 正弦函数的性质
1、 教学思路
【创设情境，揭示课题】
同学们，我们在数学一中已经学过函数，并掌握了讨论一个函数性质的几个角度，你还记得有哪些吗？在上一次课中，我们已经学习了正弦函数的y＝sinx在R上图像，下面请同学们根据图像一起讨论一下它具有哪些性质？
【探究新知】
让学生一边看投影，一边仔细观察正弦曲线的图像，并思考以下几个问题：
（1） 正弦函数的定义域是什么？
（2） 正弦函数的值域是什么？
（3） 它的最值情况如何？
（4） 它的正负值区间如何分？
（5） (x)＝0的解集是多少？
师生一起归纳得出：
1． 定义域：y=sinx的定义域为R
2． 值域：引导回忆单位圆中的正弦函数线，结论：|sinx|≤1（有界性）
再看正弦函数线（图象）验证上述结论，所以y＝sinx的值域为[-1，1]
3．最值：1对于y＝sinx 当且仅当x＝2k＋ ,kZ时 ymax＝1
当且仅当时x＝2k－, kZ时 ymin＝－1
2当2k＜x＜(2k+1) (kZ)时 y＝sinx＞0
当(2k-1)＜x＜2k (kZ)时 y＝sinx＜0
4．周期性：（观察图象） 1正弦函数的图象是有规律不断重复出现的；
2规律是：每隔2重复出现一次（或者说每隔2k,kZ重复出现）
3这个规律由诱导公式sin(2k＋x)＝sinx也可以说明
结论：y＝sinx的最小正周期为2
5.奇偶性
sin(－x)＝－sinx (x∈R) y＝sinx (x∈R)是奇函数
6．单调性
x － … 0 … … π …
sinx －1 0 1 0 －1
增区间为[－＋2kπ， ＋2kπ]（k∈Z），其值从－1增至1；
减区间为[＋2kπ， ＋2kπ]（k∈Z），其值从1减至－1。
【巩固深化，发展思维】
1． 例题讲评
例1．利用五点法画出函数y＝sinx－1的简图，根据函数图像和解析式讨论它的性质。
解：（略，见教材P26）
2．课堂练习
教材P27的练习1、2、3
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有哪些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、布置作业：习题1—4第3、4、5、6、7题．
四、课后反思
x
y
o
P (x,y)
P ，(-x,-y)
x
y
o
P’(x,-y)
P(x,y)
M
1
-4
-3
-2
5
4
3
2
-1
-
o
y
6
x
PAGE
3§7 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象（2课时）
洋浦实验中学 吴永和
1、 教学目标：
1、 知识与技能
（1）熟练掌握五点作图法的实质；（2）理解表达式y＝Asin(ωx＋φ)，掌握A、φ、ωx＋φ的含义；（3）理解振幅变换和周期变换的规律，会对函数y＝sinx进行振幅和周期的变换；（4）会利用平移、伸缩变换方法，作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像；（5）能利用相位变换画出函数的图像。
2、 过程与方法
通过学生自己动手画图像，使他们知道列表、描点、连线是作图的基本要求；通过在同一个坐标平面内对比相关的几个函数图像，发现规律，总结提练，加以应用；要求学生能利用五点作图法，正确作出函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像；讲解例题，总结方法，巩固练习。
3、 情感态度与价值观
通过本节的学习，渗透数形结合的思想；树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；通过学生的亲身实践，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求。
二、教学重、难点
重点: 相位变换的有关概念，五点法作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像
难点: 相位变换画函数图像，用图像变换的方法画y＝Asin(ωx＋φ)的图像
三、学法与教学用具
在前面，我们知道精确度要求不高时，可以用五点作图法，是哪五个关键点；首先请同学们回忆，然后通过物理学中的几个情境引入课题；主要让学生动手实践，两节课尽可能多地让他们画图，教师只是加以点拨；可以从几个具体的、简单的例子开始，在适当的时候加以推广；先分解各个小知识点，再综合在一起，上升更高一层。
教学用具:投影机、三角板
第一课时 y＝sinx和y＝Asinx的图像， y＝sinx和 y＝sin（x＋φ）的图像
一、教学思路
【创设情境，揭示课题】
在物理和工程技术的许多问题中，经常会遇到形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数，例如：在简谐振动中位移与时间表的函数关系就是形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数。正因为此，我们要研究它的图像与性质，今天先来学习它的图像。
【探究新知】
例一．画出函数y=2sinx xR；y=sinx xR的图象（简图）。
解：由于周期T=2 ∴不妨在[0,2]上作图，列表：
x 0 2
sinx 0 1 0 -1 0
2sinx 0 2 0 -2 0
sinx 0 0 - 0
作图：
配套练习：函数y＝sinx的图像与函数y＝sinx的图像有什么关系？
引导,观察,启发：与y=sinx的图象作比较，结论：
1．y=Asinx，xR(A>0且A1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(02．若A<0 可先作y=-Asinx的图象 ，再以x轴为对称轴翻折。
性质讨论：不变的有定义域、奇偶性、单调区间与单调性、周期性
变化的有值域、最值、
由上例和练习可以看出：在函数y＝Asinx（A＞0）中，A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅。
例二．画出函数y=sin(x+) (xR)和y=sin(x) (xR)的图像（简图）。
解：由于周期T=2 ∴不妨在[0,2]上作图，列表：
x+ 0 2
x
sin(x+) 0 1 0 -1 0
配套练习：函数y＝sin（x－）的图像与函数y＝sinx的图像有什么关系？
引导,观察,启发：与y=sinx的图象作比较，结论：
y=sin（x＋φ），xR(φ0)的图象可以看作把正数曲线上的所有点向左平移φ(φ>0)个单位或向右平移－φ个单位(φ＜0＝得到的。
性质讨论：不变的有定义域、值域、最值、周期
变化的有奇偶性、单调区间与单调性
由上例和练习可以看出：在函数y=sin（x＋φ），xR(φ0)中，φ决定了x＝0时的函数，通常称φ为初相，x＋φ为相位。
【巩固深化，发展思维】
课堂练习：P52练习第3题
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到主要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、课后反思
第二课时 y＝sinx和y＝sinωx的图像， y＝sinx和 y＝Asin(ωx＋φ)的图像
一、教学思路
【创设情境，揭示课题】
上一节课，我们已过y＝sinx和y＝Asinx的图像，y＝sinx和 y＝sin（x＋φ）的图像间的关系，请与y＝Asin(ωx＋φ)比较一下，还有什么样的我们没作过？
【探究新知】
例一．画出函数y=sin2x xR；y=sinx xR的图象（简图）。
解：∵函数y=sin2x 周期T= ∴在[0, ]上作图
令t=2x 则x= 从而sint=sin2x
列表：
t=2x 0 2
x 0
sin2x 0 1 0 -1 0
作图：
函数y=sin 周期T=4 ∴在[0, 4]上作图
列表
t= 0 2
x 0 2 3 4
sin 0 1 0 -1 0
配套练习：函数y＝sinx的图像与函数y＝sinx的图像有什么关系？
引导, 观察启发 与y=sinx的图象作比较，结论：
1．函数y=sinωx, xR (ω>0且ω1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的倍（纵坐标不变）
2．若ω<0则可用诱导公式将符号“提出”再作图。
由上例和练习可以看出：在函数y=sinωx, xR (ω>0且ω1)中，ω决定了函数的周期T＝，通常称周期的倒数f＝＝为频率。
例二．画出函数y=3sin(2x+) xR的图象。
2x+ 0 2
x
3sin(2x+) 0 3 0 -3 0
解：周期T=（五点法），设
t=2x+则x=
小结平移法过程（步骤）
两种方法殊途同归
【巩固深化，发展思维】
教材P58练习1、2、3
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到主要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、布置作业:教材P62习题2、3、4
四、课后反思
x
y
O
2
1
2
2
1
1
2
-2
-1
2
y=2sinx
y=sinx
y=sinx
x
y=sinx
1
4
3
2
1
O
x
y=sin(x-)
y=sin(x+)
y
O
2
1
1
3
4
y=sinx
y=sinx
y=sin2x
2
4
作y=sinx（长度为2的某闭区间）
1
x
O
3
4
y
1
y=sin(x+)
y=sin(2x+)
得y=sin(x+φ)
得y=sinωx
得y=sin(ωx+φ)
得y=sin(ωx+φ)
得y=Asin(ωx+φ)的图象，先在一个周期闭区间上再扩充到R上。
沿x轴平 移|φ|个单位
横坐标 伸长或缩短
横坐标伸 长或缩短
沿x轴平 移||个单位
纵坐标伸 长或缩短
纵坐标伸 长或缩短
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12.3.2平面向量的坐标运算
一、课题： 2.3.2平面向量的坐标运算
二、教学目标：1．掌握两向量平行时坐标表示的充要条件；
2．能利用两向量平行的坐标表示解决有关综合问题。
三、教学重、难点：1．向量平行的充要条件的坐标表示；
2．应用向量平行的充要条件证明三点共线和两直线平行的问题。
四、教学过程：
（一）复习：
1．已知，，求，的坐标；
2．已知点，及，，，求点、、的
坐标。
归纳：（1）设点，，则；
（2），，则，
，；
3．向量与非零向量平行的充要条件是：.
（二）新课讲解：
1．向量平行的坐标表示：
设，，（），且，
则，∴.
∴，∴.
归纳：向量平行（共线）的充要条件的两种表达形式：
①；
②且设，（）
例1 已知，，且，求．
解：∵，∴．∴．
例2 已知，，，求证、、三点共线．
证明：，，
又，∴.∵直线、直线有公共点，
∴，，三点共线。
例3 已知，，若与平行，求．
解：=
∴， ∴，∴.
例4 已知，，，，则以，为基底，求.
解：令，则.
， ∴，
∴， ∴.
例5 已知点，，，，向量与平行吗？直线平
行与直线吗？
解：∵，=，
又， ∴；
又，，，
∴与不平行，
∴、、不共线，与不重合，
所以，直线与平行。
五、小结：1．熟悉平面向量共线充要条件的两种表达形式；
2．会用平面向量平行的充要条件的坐标形式证明三点共线和两直线平行；
3．明白判断两直线平行与两向量平行的异同。
六、作业：
补充：1．已知，，，且，，求点，的坐标及向量的坐标；
2．已知，，，试用，表示；
3．设，，，且，求角．
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- 1 -第四课时 弧度制(二)
教学目标：
理解角的集合与实数集R之间的一一对应关系，掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，运用弧长公式、扇形面积公式解、证一些题目；使学生通过总结引入弧度制的好处，学会归纳、整理并认识到任何新知识的学习，都会为我们解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣、求知欲望，培养良好的学习品质.
教学重点：
角的集合与实数集R之间的一一对应关系，弧度制的简单应用.
教学难点：
弧度制的简单应用
教学过程：
角的集合与实数集R之间是一一对应的，即正角对应正实数，负角对应负实数，零角对应0.在弧度制下，弧长公式是怎样的呢
l＝｜α｜r，其中l表示弧长，r表示圆半径，α表示圆心角的弧度数.
扇形的面积公式S＝lＲ.其中l是扇形的弧长，R是圆的半径，在弧度制下证明，同学们是否想过在角度制下的证明，比较之，哪个方法更简便些
能够写出弧度制下扇形的面积公式吗 即用角的弧度数α与圆的半径R表示扇形的面积.
S＝｜α｜Ｒ2.
引入弧度制有什么好处呢
弧度制下的弧长公式比角度制下的弧长公式简单，弧度制下的扇形面积公式比角度制下的扇形面积公式简单，还有一点，弧度表示角时，找与角对应的实数相当方便，而角度表示角时，找与角对应的实数还须进行一番计算.
［例1］已知一扇形的周长为c(c＞0)，当扇形的弧长为何值时，它有最大面积？并求出面积的最大值.
解：设扇形的半径为R，弧长为l，面积为S
∵c＝2R＋l，∴R＝ (l＜c)
则S＝Rl＝×·l＝(cl－l2)
＝－(l2－cl)＝－(l－)2＋
∴当l＝时，Smax＝
答：当扇形的弧长为 时，扇形有最大面积，扇形面积的最大值是.
［例2］一个扇形OAB的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，求∠AOB和弦AB的长.
分析：欲求∠AOB，需要知道的长和半径OA的长，用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，结合已知条件，能比较容易地求得，之后在△AOB中求弦AB的长.作OM⊥AB交AB于M，则AM＝BM＝AB，在Rt△AMO中求AM.
解：设扇形的半径为R cm.∠AOB=α rad.
据题意 解之得
过O作OM⊥AB交AB于M.
则AM＝BM＝AB.
在Rt△AMO中，AM＝sin1，∴AB＝2sin1
故∠AOB＝2 rad.该AB的长为2sin1厘米.
Ⅱ.课堂练习
课本P10练习 5、6
Ⅲ.课时小结
这节课，同学们自己找到了角的集合与实数集R的一一对应关系，对弧度制下的弧长公式、扇形面积公式有了深刻的理解，要把这两个公式记下来，并在解决实际问题中灵活运用，大家能总结出引入弧度制的好处，这点很好，以后的学习中，我们就是要随着学习内容的增加、知识的丰富，不断总结，不断归纳，梳理知识，编织知识的网络，使易记、好用.特别是生丙、生戊善于联想、积极探索的学习品质，更是我们大家学习的榜样，同学们这样持之以恒的坚持下去，我们的数学学习效果将会是非常出色的.
Ⅳ.课后作业
（一）课本P10习题 8、9、13.
（二）1.预习内容：任意角的三角函数(P12~P15)
2.预习提纲：锐角三角函数是用边的比来定义的，任意角的三角函数是怎样定义的
弧度制(二)
1．一钟表的分针长10 cm，经过25分钟，分针的端点所转过的长为__________cm. （ ）
A.70 B. C. －4 D.
2．如果弓形的弧所对的圆心角为，弓形的弦长为4 cm，则弓形的面积是_____cm2.（ ）
A. －4 B. －4
C. －4 D. －2
3．设集合M＝{α|α＝kπ±，k∈Z}，N＝{α|α＝kπ＋(－1)k ，k∈Z}那么下列结论中正确的是 （ ）
A.M＝N B.MN C.N M D.MN且NM
4．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为 （ ）
A. B. C. D.2
5．已知扇形的圆心角为2 rad，扇形的周长为8 cm，则扇形的面积为_________cm2.
6．圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角
的 倍.
7．若角α的终边与π角的终边相同，则在［0，2π］上，终边与角的终边相同的角是 .
8．已知扇形AOB的圆心角α＝120°，半径r＝3，求扇形的面积.
9．1弧度的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对的弧长及圆心角所夹的扇形的面积.
10．已知扇形的周长为20 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
弧度制(二)答案
1．D 2．C 3．C 4．C 5．4 6． 7．π π π π
8．已知扇形AOB的圆心角α＝120°，半径r＝3，求扇形的面积.
解：α＝120°＝rad
∴S＝r2α＝×32×＝3π(面积单位）
答：扇形的面积为3π面积单位.
9．1弧度的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对的弧长及圆心角所夹的扇形的面积.
解：由已知可得r＝, ∴l＝r·α＝
S扇＝l·r＝·r2·α＝·＝
10．已知扇形的周长为20 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
解：∵l＝20－2r
∴S＝lr＝ (20－2r)·r＝－r2＋10r＝－(r－5)2＋25
∴当半径r＝5 cm时，扇形的面积最大为25 cm2
此时，α＝＝＝2(rad)
- 3 -第三课时 向量的减法
教学目标：
掌握向量减法概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，掌握相反向量，能熟练地掌握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量，了解向量方程，并会用几何法解向量方程.
教学重点：
向量减法的三角形法则.
教学难点：
对向量减法定义的理解.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
上一节，我们一起学习了向量的加法，并熟悉了求解向量和的向量加法的平行四边形法则与三角形法则，并进行了简单应用.
这一节，我们来继续学习向量的减法.
Ⅱ.讲授新课
1.向量减法的定义
向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b).
求两个向量差的运算，叫向量的减法.
说明：(1)与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量；
(2)零向量的相反向量仍是零向量；
(3)任一向量和它相反向量的和是零向量.
［师］从向量减法的定义中，我们可以体会到向量减法与向量加法的内在联系.
2.向量减法的三角形法则
以平面内的一点作为起点作a，b，则两向量终点的连线段，并指向a终点的向量表示a－b.
说明：向量减法可以转化为向量加法，如图b与a－b首尾
相接，根据向量加法的三角形法则有b＋(a－b)＝a
即a－b＝.
下面我们通过例题来熟悉向量减法的三角形法则的应用.
［例1］如图，已知向量a，b，c，d，求作向量a－b，c－d.
分析：根据向量减法的三角形法则，需要选点平移作出两个
同起点的向量.
作法：如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，
＝c，＝d.
作，，则＝a－b，＝c－d
［例2］判断题
(1)若非零向量a与b的方向相同或相反，则a＋b的方向必与a、b之一的方向相同.
(2)三角形ABC中，必有＋＋＝0.
(3)若＋＋＝0，则A、B、C三点是一个三角形的三顶点.
(4)｜a＋b｜≥｜a－b｜.
分析：(1)a与b方向相同，则a＋b的方向与a和b方向都相同；若a与b方向相反，则有可能a与b互为相反向量，此时a＋b＝0的方向不确定，说与a、b之一方向相同不妥.
(2)由向量加法法则＋＝，与是互为相反向量，所以有上述结论.
(3)因为当A、B、C三点共线时也有＋＋＝0，而此时构不成三角形.
(4)当a与b不共线时，｜a＋b｜与｜a－b｜分别表示以a和b为邻边的平行四边形的两条对角线的长，其大小不定.
当a、b为非零向量共线时，同向则有｜a＋b｜＞｜a－b｜，异向则有｜a＋b｜＜｜a－b｜；
当a、b中有零向量时，｜a＋b｜＝｜a－b｜.
综上所述，只有(2)正确.
［例3］化简－＋－.
解：原式＝＋－＝－＝0
［例4］化简＋＋＋.
解：原式＝(＋)＋(＋)＝(－)＋0＝
Ⅲ.课堂练习
课本P65练习1，2，3，4，5，6.
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，要求大家在理解向量减法定义的基础上，掌握向量减法的三角形法则，并能加以适当的应用.
Ⅴ.课后作业
课本P68习题 4，8，11
向量、向量的加减法
1．下列关于零向量的说法中，错误的是 （ ）
A.零向量长度为0 B.零向量是没有方向的
C.零向量的方向是任意的 D.零向量与任一向量平行
2．下列命题中，正确的是 （ ）
A.若|a|＝|b|，则a＝b B.若|a|＞|b|，则a＞b
C.若a＝b，则a∥b D.若|a|＝1，则a＝±1
3．当|a|＝|b|，且a与b不共线时，a＋b与a－b的关系为 （ ）
A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.相等
4．如右图，已知O为正六边形ABCDEF的中心，则与向量
相等的向量有 .
5．已知||＝10，||＝7，|则||的取值范围为 .
6．已知＝a，＝b，且|a|＝|b|＝4，∠AOB＝60°.
则|a＋b|＝ ，|a－b|＝ .
7．化简＋＋－－＝ .
8．判断以下说法是否正确.
（1）向量a与b共线，b与c共线，则a与c共线. （ ）
（2）任意两个非零的相等向量的起点与终点是一平行四边形的四个顶点. （ ）
（3）向量与是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上. （ ）
（4）向量a与b平行，则a与b的方向相同. （ ）
（5）长度相等且起点相同的两个向量，其终点必相同. （ ）
9．已知两个力F1、F2的方向互相垂直，且它们的合力F大小为10 N，与力F1的夹角为60°，求力F1与F2的大小.
10．一架飞机从A地按北偏西30°方向飞行300 km，到达B地，然后向C地飞行，设C地恰在A北偏东60°，且距A 100 km处，求飞机从B地向C地飞行的方向和B、C两地的距离.
向量、向量的加减法答案
1．B 2．C 3．B 4．，， 5．［3，17］ 6．4 4 7．
8．（1）错误 （2）错误 （3）错误 （4）错误 （5）错误
9．F1，F2分别为5 N和5 N
10．解：∵BC＝＝200，sinB＝ eq \f(100,200) ＝∴B＝30°，∴飞机从B以南偏东60°的方向向C地飞行.
- 3 -第二课时 向量的加法
教学目标：
掌握向量加法概念，结合物理学实际理解向量加法的意义，能熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能作出已知两向量的和向量，理解向量加法满足交换律和结合律，表述两个运算律的几何意义，掌握有特殊位置关系的两个向量的和，比如共线向量、共起点向量、共终点向量等.
教学重点：
向量加法的平行四边形法则与三角形法则.
教学难点：
对向量加法定义的理解.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
上一节，我们一起学习了向量的有关概念，明确了向量的表示方法，了解了零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并接触了这些概念的辨析判断.
另外，向量和我们熟悉的数一样可以进行加减运算，这一节，我们先学习向量的加法.
Ⅱ.讲授新课
我们先给出向量加法的定义
1.向量加法的定义
已知a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，
则向量叫做a与b的和，记作a＋b.
即a＋b＝＋＝.
求两个向量和的运算叫向量的加法.
2.向量加法的三角形法则
在定义中所给出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法则，运用这一法则时要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量.
3.向量加法的平行四边形法则
如图，由于平行四边形对边平行且相等，则可把向量b的起点由B移到A，即＝ ＝b，则：
＝＋＝＋
即：在平面内过同一点A作＝a，＝b，则以AB、AD为邻边
构造平行四边形ABCD，则以A为起点的对角线向量即a与b的和，这种方法即为向量加法的平行四边形法则.
说明：上述两种方法实质相同，但应用各有特色，三角形法则适合于首尾相接的两向量求和，而平行四边形法则适合于同起点的两向量求和，但两共线向量求和时，则三角形法则较为合适.
4.向量加法所满足的运算律
交换律：a＋b＝b＋a
结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
说明：运算律验证引导学生完成.
下面我们通过例题来进一步熟悉向量加法的三角形法则与平行四边形法则.
［例1］如图，已知向量a，b，求作向量a＋b.
分析：此题可以应用三角形法则也可应用平行四边形法则
求解，但应注意两种法则的适用前提不同，若用三角形法则，
则应平移为两向量首尾相接；若用平行四边形法则，则应平移
为两向量同起点情形.
作法一：设a＝，b＝，过点B作＝＝b，
则根据向量加法的三角形法则可得
＝＋＝a＋b
作法二：过A作＝＝b，然后根据向量加法的
平行四边形法则，以AB、AC作出的平行四边形的对角
线＝a＋b.
评述：在求作两已知向量的和向量时，对于向量加法
的三角形法则和平行四边形法则，学生可根据具体情况灵
活运用.
［例2］一艘船从A点出发以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2 km/h，求船实际航行速度的大小与方向(用与流速间的夹角表示).
分析：速度是一个既有大小又有方向的量，所以可以用向量表示，速度的合成也就是向量的加法.
解：如图，设表示船向垂直于对岸行驶的速度，表示水流
的速度，以AD、AB作邻边作ABCD，则就是船实际航行的速度.
在Rt△ABC中，｜｜＝2，｜｜＝2，
∴｜｜＝ eq \r(｜｜2＋｜｜2)
＝ eq \r(22＋（2）2) ＝4
∵tanCAB＝＝，∴∠CAB＝60°
答：船实际航行速度的大小为4 km/h，方向与流速间的夹角为60°.
评述：此题说明在物理学中有关速度合成等问题可以运用向量的知识来解决.
［例3］试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
分析：要证明四边形是平行四边形，只要证明其中一组对边平行且相等，由向量相等的定义可知，只需证明其中一组对边对应的向量相等.
解析：已知ABCD是四边形，对角线AC与BD交于O，AO=OC，DO=OB.
求证：ABCD是平行四边形.
证明：如图，由向量的加法法则，
有＝＋，＝＋.
又已知＝，＝. ∴＝.
这说明AB与DC平行且相等.
故ABCD是平行四边形.
Ⅲ.课堂练习
课本P63练习1，2，3，4.
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，要求大家在理解向量加法定义的基础上，掌握向量加法的三角形法则与平行四边形法则，并了解向量加法在物理学中的应用.
Ⅴ.课后作业
课本P68习题 1，2，3
- 3 -三角函数阶段复习
一、课题：三角函数阶段复习
二、教学目标：1.复习巩固三角函数的定义、定义域；
2.进一步理解三角函数的符号与角的终边所在位置的关系；
3.进一步掌握三角函数的基本关系式（五个），并能熟练应用关系式解题。
三、基础训练：
1．已知角的终边过点，则 ， ．
2．若是第四象限角，则是第 象限角，是第 象限角。
3．若，且为二、三象限角，则的取值范围是 ．
4．已知，则 ．
5．已知集合，，
，
则这三个集合之间的关系为 （ ）
四、例题分析：
例1 求值：．
例2 已知，且，求（1）角的集合；（2）、终边所在的象限；（3）试判断，，的符号。
例3 化简：（1）；
（2）（）
例4 证明：（1）；
（2）已知，求证：．
五、课后作业：
1．已知是第二象限角，则 ．
2．若是三角形的内角，且，则此三角形一定是 （ ）
等边三角形 直角三角形 锐角三角形 钝角三角形
3．若，则角的取值范围是 ．
求证：（1）；
（2）．
已知，，其中，求满足条件的实数的取值的集合。
已知，求的值。
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- 1 -3.1.4 两角和的正弦、余弦、正切
一、课题：两角和的正弦、余弦、正切
二、教学目标：1.了解两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系，选用恰当的公式解决问题；
2.正确运用两角和与差的三角函数公式，进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式证明。
三、教学重、难点：根据具体问题选择恰当的三角公式并进行有益的变形。
四、教学过程：
（一）复习：公式.
（二）新课讲解：
例1：已知，求的值。
方法：切化弦。
解：
．
【变题一】证明：；
【变题二】求的值。
例2：求证：．
证明：左边
右边．
例3：已知：，求证：．
证明：因为
即
∴ ，
即：．
例4：已知是偶函数，求的值．
解：∵是偶函数， ∴，
即，
由两角和与差公式展开并化简，得，
上式对恒成立的充要条件是
所以，．
五、课堂练习：
六、小结：1．求三角函数值时，要观察题中给出条件及所求结论的特征，特别是角的特征，寻找恰当的方法（切、割化弦；将式子化为一个角的一个三角函数式等），解决问题；
2．证明三角恒等式时，首先观察等式两边的角之间的关系，再选用恰当的公式加以证明。
七、作业：
补充：
1．求值：（1）的值；
（2）．
2．已知，，求∶；
3．在中，．
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- 1 -§7 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质（1课时）
洋浦实验中学 吴永和
1、 教学目标：
1、 知识与技能
（1）进一步理解表达式y＝Asin(ωx＋φ)，掌握A、φ、ωx＋φ的含义；（2）熟练掌握由的图象得到函数的图象的方法；（3）会由函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像讨论其性质；（4）能解决一些综合性的问题。
2、 过程与方法
通过具体例题和学生练习，使学生能正确作出函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像；并根据图像求解关系性质的问题；讲解例题，总结方法，巩固练习。
3、 情感态度与价值观
通过本节的学习，渗透数形结合的思想；通过学生的亲身实践，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受数学的严谨性，培养学生逻辑思维的缜密性。
二、教学重、难点
重点:函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像，函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质。
难点: 各种性质的应用。
三、学法与教学用具
在前面，我们讨论了正弦、余弦、正切函数的性质，如：定义域、值域、最值、周期性、单调性和奇偶性，那么，对于函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质会是什么样的呢？今天我们这一节课就研究这个问题。
教学用具:投影机、三角板
四、教学思路
【创设情境，揭示课题】
函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质问题，是三角函数中的重要问题，是高中数学的重点内容，也是高考的热点，因为，函数y＝Asin(ωx＋φ)在我们的实际生活中可以找到很多模型，与我们的生活息息相关。
【探究新知】
复习提问：（1）如何由的图象得到函数的图象？
（2）如何用五点法作的图象？
（3）对函数图象的影响作用
函数的物理意义：
函数表示一个振动量时：
A：这个量振动时离开平衡位置的最大距离，称为“振幅”
T：往复振动一次所需的时间，称为“周期”
f：单位时间内往返振动的次数，称为“频率”
：称为相位
：x = 0时的相位，称为“初相”
例一．函数的最小值是2，其图象最
高点与最低点横坐标差是3，又：图象过点(0,1)，求函数解析式。
解：易知：A = 2 半周期 ∴T = 6 即 从而：
设： 令x = 0 有
又： ∴ ∴所求函数解析式为
例二．函数f (x)的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位所得的曲线是的图像，试求的解析式。
解：将的图像向右平移个单位得：
即的图像再将横坐标压缩到原来的得：
∴
例三．求下列函数的最大值、最小值，以及达到最大值、最小值时x的集合。
（1）y＝sinx－2 (2)y＝sinx (3)y＝cos(3x＋)
解：（1）当x＝2kπ＋(k∈Z)时，sinx取最大值1，此时函数y＝sinx－2取最大值－1；
当x＝2kπ＋(k∈Z)时，sinx取最小值－1，此时函数y＝sinx－2取最小值－3；
（2）、（3）略，见教材P59
例四．（1）求函数y＝2sin(x－)的递增区间；
（2）求函数y＝cos(4x＋)的递减区间。
解：略，见教材P60
【巩固深化，发展思维】
学生课堂练习：教材P60练习3
五、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到主要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
六、布置作业: 习题1-7第4，5，6题．
七、课后反思
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2§2 角的概念的推广（1课时）
洋浦实验中学 吴永和
1、 教学目标：
1、 知识与技能
（1）推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；（2）理解象限角、坐标轴上的角的概念；（3）理解任意角的概念，掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表示方法；（4）能表示特殊位置（或给定区域内）的角的集合；（5）能进行简单的角的集合之间运算。
2、 过程与方法
类比初中所学的角的概念，以前所学角的概念是从静止的观点阐述，现在是从运动的观点阐述，进行角的概念推广，引入正角、负角和零角的概念；由于角本身是一个平面图形，因此，在角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引出象限角、非象限角的概念，以及象限角的判定方法；通过几个特殊的角，画出终边所在的位置，归纳总结出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习。
3、 情感态度与价值观
通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识；树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；揭示知识背景，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求。
二、教学重、难点
重点: 理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角的表示法及判断。
难点: 把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来。
三、学法与教学用具
在初中，我们知道最大的角是周角，最小的角是零角；通过回忆和类比初中所学角的概念,把角的概念进行了推广；角是一个平面图形，把角放入平面直角坐标系中以后,了解象限角的概念；通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法；我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示，另外还有相同终边角的集合的表示等。
教学用具:多媒体、三角板、圆规
四、教学思路
【创设情境，揭示课题】
同学们，我们在拧螺丝时，按逆时针方向旋转会越拧越松，按顺时针方向旋转会越拧越紧。但不知同学们有没有注意到，在这两个过程中，扳手分别所组成的两个角之间又有什么关系呢？请几个同学畅谈一下，教师控制好时间，2-3分钟为宜。
这里面到底是怎么回事？这就是我们这节课所要学习的内容。
初中我们已给角下了定义，先请一个同学回忆一下当时是怎么定义的？
我们把“有公共端点的两条射线组成的图形叫做角”，这是从静止的观点阐述的。
【探究新知】
如果我们从运动的观点来看，角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。(先后用教具圆规和多媒体给学生演示：逆时针转动形成角，顺时针转动而成角，转几圈也形成角，为推广角的概念做好准备)
1． 正角、负角、零角的概念(打开课件第一版，演示正角、负角、零角的形成过程)．
我们规定：(板书)按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，如图（见课件）。一条射线由原来的位置，绕着它的端点按逆时针方向旋转到终止位置，就形成角.旋转开始时的射线叫做角的始边，叫终边，射线的端点叫做叫的顶点.按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；如果一条射线没有作任何旋转，我们认为这时它也形成了一个角，并把这个角叫做零角，如果α是零角，那么α＝0°。钟表的时针和分针在旋转时所形成的角总是负角．为了简便起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以记成“α”。
过去我们研究了0°～360°范围的角．如图（见课件）中的角α就是一个0°～360°范围内的角(α＝30°)．如果我们将角α的终边OB继续按逆时针方向旋转一周、两周……而形成的角是多少度 是不是仍为30°的角 (用多媒体演示这一旋转过程，让学生思考；为终边相同角概念做准备)．将终边OB旋转一周、两周……，分别得到390°，750°……的角．如果将OB继续旋转下去，便可得到任意大小的正角。同样地，如果将OB按顺时针方向旋转，也可得到任意大小的负角(通过课件，动态演示这一无限旋转过程)．这就是说，角度并不局限于0°～360°的范围，它可以为任意大小的角(与数轴进行比较)．(打开课件第三版)．如图(1)中的角为正角，它等于750°；(2)中，正角α＝210°，负角β＝—150°，γ＝－660°．在生活中，我们也经常会遇到不在0°～360°范围的角，如在体操中，有“转体720°”(即“转体2周”)，“转体1080°”(即“转体3周”)这样的动作名称；紧固螺丝时，扳手旋转而形成的角．
角的概念经过这样的推广以后，就包括正角、负角和零角．
2．象限角、坐标轴上的角的概念．
由于角是一个平面图形，所以今后我们常在直角坐标系内讨论角，(板书)我们使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴(包括原点)重合，那么角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．(打开课件第四版)例如图(1)中的30°、390°、－330°角都是第一象限角，图(2)中的300°、－60°角都是第四象限角；585°角是第三象限角．
(板书)如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任一象限．
3．终边相同的表示方法．
(返回课件第二版，在图(1)1(2)中分别以O为原点，直线0A为x轴建立直角坐标系，重新演示前面的旋转过程)在图(1)中，如果将终边OB按逆时针方向旋转一圈、两圈……，分别得到390°，750°……的角，这些角的终边与30°角的终边相同，只是转过的圈数不同，它们可以用30°角来表示，如390°＝30°十360°，750°＝30°十2×360°，……在图(2)中，如果将终边OB按顺时针方向旋转一圈、两圈……分别得到－330°，－690°……的角，这些角的终边与30°角终边也相同，也只是转过的圈数不同，它们也都可以用30°的角来表示，如－330°＝30°－360°，－690°＝30°—2×360°，……
由此可以发现，上面旋转所得到的所有的角(记为β)，都可以表示成一个0°到360°的角与k(k∈Z)个周角的和，即：β＝30°十k·360°(k∈Z)．如果我们把β的集合记为S，那么S＝{β|β＝30°十k·360°， k∈Z}．容易看出：所有与30°角终边相同的角，连同30°角(k＝0)在内，都是集合S的元素；反过来，集合S的任一元素显然与30°角终边相同。
【巩固深化，发展思维】
1． 例题讲评
例1.判断下列各角是第几象限角.
(1)—60°； (2)585°； (3)—950°12’．
解：(1)∵—60°角终边在第四象限，∴它是第四象限角；(2)∵585°＝360°十225°，∴585°与225°终边相同，又∵225°终边在第三象限，∴585°是第三象限角；(3)∵ —950°12’＝－230°12’—2×360°，又∵－230°12’终边在第二象限，∴—950°12’是第二象限角.
例2．在直角坐标系中，写出终边在y轴上的角的集合（α用0°～360°的角表示）.
解：在0°～360°范围内，终边在y轴上的角有两个，即90°与270°角，因此，所有与90°角终边相同的角构成集合S1＝{β|β＝90°＋k·360°，k∈Z}；所有与270°角终边相同的角构成集合S2＝{β|β＝270°＋k·360°，k∈Z}；所以，终边在y轴上的角的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝90°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝270°＋k·360°，k∈Z}.
例3．写出与60°角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β＜270°的元素β写出来.
解：S＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S中适合－360°≤β＜270°的元素是：
60°－1×360°＝－300°，60°＋0×360°＝60°，60°＋1×360°＝420°.
2．学生课堂练习
参考练习 (通过多媒体给题)。
(1) (口答)锐角是第几象限角 第一象限角一定是锐角吗 再分别就直角、钝角来回答这两个问题.
(2)与—496°终边相同的角是 ，它是第 象限的角，它们中最小正角是 ，最大负角是 。
(3)时针经过3小时20分，则时针转过的角度为 ，分针转过的角度为 。
(4)若α、β的终边关于x轴对称，则α与β的关系是 ；若α与β的终边关于y
轴对称，则α与β的关系是 ；若α、β的终边关于原点对称，则α与β的关系是 ；若角α是第二象限角，则180°—α是第 象限角。
[答案](1)是，不一定.
(2)—496°十k·360°(k∈Z)，三，240°，—136°.
(3)—100°，—1200°．
(4)α十β＝k·360°(k∈Z)；α十β＝180°十k·360。(k∈Z)；
α一β＝180°十k·360°(k∈Z)；一.
五、归纳整理，整体认识
(1) 请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？你知道角是如何推广的吗
(2) 象限角是如何定义的呢 你熟练掌握具有相同终边角的表示了吗
（3）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（4）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
六、布置作业: 习题1.2第2,3题．
七、课后反思
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3§1 周期现象与周期函数（1课时）
洋浦实验中学 吴永和
1、 教学目标：
1、 知识与技能
（1）了解周期现象在现实中广泛存在；（2）感受周期现象对实际工作的意义；（3）理解周期函数的概念；（4）能熟练地判断简单的实际问题的周期；（5）能利用周期函数定义进行简单运用。
2、 过程与方法
通过创设情境：单摆运动、时钟的圆周运动、潮汐、波浪、四季变化等，让学生感知周期现象；从数学的角度分析这种现象，就可以得到周期函数的定义；根据周期性的定义，再在实践中加以应用。
3、 情感态度与价值观
通过本节的学习，使同学们对周期现象有一个初步的认识，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物。
二、教学重、难点
重点: 感受周期现象的存在，会判断是否为周期现象。
难点: 周期函数概念的理解，以及简单的应用。
三、学法与教学用具
学法：数学来源于生活，又指导于生活。在大千世界有很多的现象，通过具体现象让学生通过观察、类比、思考、交流、讨论，感知周期现象的存在。并在此基础上学习周期性的定义，再应用于实践。
教学用具:实物、图片、投影仪
四、教学思路
【创设情境，揭示课题】
同学们：我们生活在海南岛非常幸福，可以经常看到大海，陶冶我们的情操。众所周知，海水会发生潮汐现象，大约在每一昼夜的时间里，潮水会涨落两次，这种现象就是我们今天要学到的周期现象。再比如，[取出一个钟表,实际操作]我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这也是一种周期现象。所以，我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数。(板书课题)
【探究新知】
1．我们已经知道，潮汐、钟表都是一种周期现象，请同学们观察钱塘江潮的图片（投影图片）， 注意波浪是怎样变化的？可见，波浪每隔一段时间会重复出现，这也是一种周期现象。请你举出生活中存在周期现象的例子。（单摆运动、四季变化等）
（板书：一、我们生活中的周期现象）
2．那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢？教师引导学生自主学习课本P3——P4的相关内容，并思考回答下列问题：
①如何理解“散点图”？
②图1-1中横坐标和纵坐标分别表示什么？
③如何理解图1-1中的“H/m”和“t/h”？
④对于周期函数的定义，你的理解是怎样？
以上问题都由学生来回答，教师加以点拨并总结：周期函数定义的理解要掌握三个条件，即存在不为0的常数T；x必须是定义域内的任意值；f(x＋T)＝f(x)。
（板书：二、周期函数的概念）
3．[展示投影]练习:
(1) 已知函数f(x)满足对定义域内的任意x，均存在非零常数T，使得f(x＋T)＝f(x)。
求f(x＋2T) ，f(x＋3T)
略解：f(x＋2T)＝f[(x＋T)＋T]＝f(x＋T)＝f(x)
f(x＋3T)＝f[(x＋2T)＋T]＝f(x＋2T)＝f(x)
本题小结，由学生完成，总结出“周期函数的周期有无数个”，教师指出一般情况下，为避免引起混淆，特指最小正周期。
(2)已知函数f(x)是R上的周期为5的周期函数，且f(1)＝2005,求f(11)
略解：f(11)＝f(6＋5)＝f(6)＝f(1＋5)＝f(1)＝2005
(3)已知奇函数f(x)是R上的函数，且f(1)＝2，f(x＋3)＝f(x)，求f(8)
略解：f(8)＝f(2＋2×3)＝f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2
【巩固深化，发展思维】
1．请同学们先自主学习课本P4倒数第五行——P5倒数第四行，然后各个学习小组之间展开合作交流。
2．例题讲评
例1.地球围绕着太阳转，地球到太阳的距离y是时间t的函数吗？如果是，这个函数
y＝f(t)是不是周期函数？
例2.图1-4（见课本）是钟摆的示意图，摆心A到铅垂线MN的距离y是时间t的函数，y＝g(t)。根据钟摆的知识，容易说明g(t＋T)＝g(t),其中T为钟摆摆动一周（往返一次）所需的时间，函数y＝g(t)是周期函数。若以钟摆偏离铅垂线MN的角θ的度数为变量，根据物理知识，摆心A到铅垂线MN的距离y也是θ的周期函数。
例3.图1-5（见课本）是水车的示意图，水车上A点到水面的距离y是时间t的函数。假设水车5min转一圈，那么y的值每经过5min就会重复出现，因此，该函数是周期函数。
3．小组课堂作业
(1) 课本P6的思考与交流
(2) (回答)今天是星期三那么7k(k∈Z)天后的那一天是星期几 7k(k∈Z)天前的那一天是星期几 100天后的那一天是星期几
五、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到的主要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
六、布置作业
1．作业：习题1.1第1,2,3题．
2．多观察一些日常生活中的周期现象的例子，进一步理解它的特点．
七、课后反思
PAGE
2第八课时 二倍角的正弦、余弦、正切(二)
教学目标：
掌握和角、差角、倍角公式的一些应用，解决一些实际问题；培养学生理论联系实际的观点和对数学的应用意识.
教学重点：
和角、差角、倍角公式的灵活应用.
教学难点：
如何灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
回顾上节课所推导的二倍角的正弦、余弦、正切公式.
Ⅱ.讲授新课
现在我们继续探讨和角、差角、倍角公式的一些应用.
［例1］求证＝.
分析：运用比例的基本性质，可以发现原式等价于＝，此式右边就是tan2θ.
证明：原式等价于＝tan2θ
而上式左边＝＝
＝＝tan2θ＝右边
∴上式成立. 即原式得证.
［例2］利用三角公式化简sin50°(1＋tan10°)
解：原式＝sin50°(1＋ eq \f(sin100,cos100) )
＝sin50°· eq \f(2（cos100＋sin100）,cos100)
＝2sin50°·
＝2cos40°· ＝＝＝1
或：原式＝sin50°(1＋tan60°tan10°)
＝sin50°(1＋)
＝sin50°·
＝sin50°· eq \f(cos（600－100）,cos100) ＝ eq \f(sin500cos500,cos100)
＝ eq \f(sin1000,cos100) ＝＝1
评述：在三角函数式的求值、化简与恒等变形中，有两种典型形式应特别注意，它们在解决上述几类问题中，起着重要作用，这两种典型形式是：
sinx＋cosx＝sin(x＋)；sinx＋cosx＝2sin(x＋)；
cosx＋sinx＝2sin(x＋)
Ⅲ.课堂练习
课本P110 1、2、3.
练习题：
1.若－2π＜α＜－，则 eq \r() 的值是 ( )
A.sin B.cos C.－sin D.－cos
解： eq \r() ＝ eq \r() ＝ eq \r( eq \f(1＋2cos2－1,2) ) ＝ eq \r(cos2)
∵－2π＜α＜－，∴－π＜＜－，∴cos＜0
∴原式＝－cos
2.已知tan＝，求的值.
解：＝
＝ eq \f(2sincos＋2sin2,2sincos＋2cos2) ＝tan＝
∴的值为.
3.证明－sin2θ＝4cos2θ
证法一：左边＝－2sinθcosθ
＝－2sinθcosθ
＝
＝
＝＝4cos2θ＝右边
证法二：∵(4cos2θ＋sin2θ)(2tanθ－1)
＝8sinθcosθ－4cos2θ＋4sin2θ－2sinθcosθ
＝6sinθcosθ－4cos2θ＋4sin2θ
又∵3sin2θ－4cos2θ＝6sinθcosθ－4cos2θ＋4sin2θ
∴(4cos2θ＋sin2θ)(2tanθ－1)＝3sin2θ－4cos2θ
∴＝4cos2θ＋sin2θ
即：－sin2θ＝4cos2θ
Ⅳ.课时小结
进一步熟练掌握和角、差角、倍角公式的灵活应用，注意要正确使用公式进行三角式的化简、求值、证明.
Ⅴ.课后作业
课本P110习题 5、6
- 3 -第五课时 任意角的三角函数(一)
教学目标：
理解并掌握任意角三角函数的定义，理解并掌握各种三角函数在各象限内的符号，理解三角函数是以实数为自变量的函数，掌握正弦、余弦、正切函数的定义域；使学生通过任意角三角函数的定义，认识锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，加深特殊与一般关系的理解.
教学重点：
任意角三角函数的定义，正弦、余弦、正切函数的定义域.
教学难点：
正弦、余弦、正切函数的定义域.
教学过程：
Ⅰ.课题导入
在初中我们学习了锐角三角函数，它是以锐角为自变量，边的比值为函数值的三角函数，前面我们对角的概念进行了扩充，并学习了弧度制，知道角的集合与实数集是一一对应的，在这个基础上，今天我们来研究任意角的三角函数.
Ⅱ.讲授新课
对于锐角三角函数，我们是在直角三角形中定义的，今天，对于任意角的三角函数，我们利用平面直角坐标系来进行研究.
设α是一个顶点在原点，始边在x轴正半轴上的任意角，α的终边上任意一点P的坐标是（x，y）(非顶点).它与原点的距离是r(r＝＞0）
注意：(1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x轴的正半轴重合.
(2)OP是角α的终边，至于是转了几圈，按什么方向旋转的不清楚，也只有这样，才能说明角α是任意的.
(3)角α的终边只要不落在坐标轴上，就只能是象限角.
(4)角α的终边不是不能落在坐标轴上，而是说落在坐标轴上的情况属于特殊情形，我们将在研究问题的过程中对其进行讨论.
那么，(1)比值 叫做α的正弦，记作sinα，即sinα＝ .
(2)比值 叫做α的余弦，记作cosα，即cosα＝.
(3)比值 叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝ .
以上三种函数统称为三角函数.
确定的角α，它的终边上任意一点P的坐标都是变量，它与原点的距离r也是变量，这三个变量的三个比值究竟是确定的还是变化的？
根据相似三角形的知识，对于终边不在坐标轴上确定的角α，上述三个比值都不会随P点在α的终边上的位置的改变而改变.当角α的终边在纵轴上时，即α＝kπ＋（k∈Z)时，终边上任意一点P的横坐标x都为0，所以tanα无意义，除此之外，对于确定的角α，上面的三个比值都是唯一确定的实数，这就是说，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数.
注意：(1)sinα是个整体符号，不能认为是“sin”与“α”的积.其余两个符号也是这样.
(2)定义中只说怎样的比值叫做α的什么函数，并没有说α的终边在什么位置(终边在坐标轴上的除外)，即函数的定义与α的终边位置无关.
(3)比值只与角的大小有关.
我们已经给出了任意角三角函数的定义，请同学们考虑并比较一下，我们给出的任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义，有什么联系与区别
正弦函数值是纵坐标比距离，余弦函数值是横坐标比距离，正切函数值是纵坐标比横坐标.
由于角的集合与实数集R之间是一一对应的，所以三角函数可以看成是以实数为自变量的函数.我们知道，函数有三个要素，即定义域、值域、对应法则，下面我们就来研究正弦、余弦、正切函数的定义域，值域问题待后再作研究.
对于正弦函数sinα＝，因为r＞0，所以 恒有意义，即α取任意实数，恒有意义，也就是说sinα恒有意义，所以正弦函数的定义域是R；类似地可写出余弦函数的定义域；对于正切函数tanα＝，因为x＝0时，无意义，即tanα无意义，又当且仅当角α的终边落在纵轴上时，才有x＝0，所以当α的终边不在纵轴上时，恒有意义，即tanα恒有意义，所以正切函数的定义域是α≠kπ＋（k∈Z).
为了几何表示的需要，我们先来看单位圆的概念：以原点为圆心，单位长为半径的圆称为单位圆.单位长——如1 cm、1 dm、1m、1 km等等，都是1个单位长，它们的单位虽不同，但长度都是1个单位长.即单位圆的半径是1(个单位长).
在平面直角坐标系内，作单位圆，设任意角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P(x，y），x轴的正半轴与单位圆相交于A（1，0），过P作x轴的垂线，垂足为M；过A作单位圆的切线，这条切线必平行于y轴(垂直于同一条直线的两直线平行)，设它与角α的终边或其反向延长线交于点T.
显然，线段OM的长度为｜x｜，线段MP的长度为｜y｜，它们都只能取非负值.
当角α的终边不在坐标轴上时，我们可以把OM、MP都看作带有方向的线段。
如果x＞0，OM与x轴同向，规定此时OM具有正值x；如果x＜0，OM与x轴正向相反(即反向)，规定此时OM具有负值x，所以不论哪一种情况，都有OM＝x.
如果y＞0，把MP看作与y轴同向，规定此时MP具有正值y；如果y＜0，把MP看作与y轴反向，规定此时MP具有负值y，所以不论哪一种情况，都有MP＝y，由上面所述，OM、MP都是带有方向的线段，这种被看作带有方向的线段叫做有向线段（即规定了起点和终点），把它们的长度添上正号或负号，这样所得的数，叫做有向线段的数量，记为AB
于是，根据正弦、余弦函数的定义，就有
sinα＝ ＝ ＝y＝MP
cosα＝ ＝＝x＝OM
这两条与单位圆有关的有向线段MP、OM分别叫做角α的正弦线、余弦线.
类似地，我们把OA、AT也看作有向线段，那么根据正切函数的定义和相似三角形的
知识，就有tanα＝ ＝＝AT
这条与单位圆有关的有向线段AT，叫做角α的正切线.
注意：(1)当角α的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在.
(2)当角α的终边在x轴上时，正弦线、正切线都变成点.
(3)正弦线、余弦线、正切线都是与单位圆有关的有向线段，所以作某角的三角函数线时，一定要先作单位圆.
(4)线段有两个端点，在用字母表示正弦线、余弦线、正切线时，要先写起点字母，再写终点字母，不能颠倒；或者说，含原点的线段，以原点为起点，不含原点的线段，以此线段与x轴的公共点为起点.
(5)三种有向线段的正负与坐标轴正反方向一致，三种有向线段的数量与三种三角函数值相同.
正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线.
Ⅲ.例题分析
［例1］已知角α的终边经过点P(2，－3)(如图)，求α的三个三角函数值.
解：∵x＝2，y＝－3
∴r＝＝
于是sinα＝ ＝＝－
cosα＝＝＝
tanα＝ ＝－
［例2］求下列各角的三个三角函数值.
(1)0 (2)π (3)
解：(1)因为当α＝0时，x＝r，y＝0，所以
sin0＝0 cos0＝1 tan0＝0
(2)因为当α＝π时，x＝－r，y＝0，所以
sinπ＝0 cosπ＝－1 tanπ＝0
(3)因为当α＝时，x＝0，y＝－r，所以
sin＝－1 cos＝0 tan不存在
Ⅳ.课堂练习
课本P16练习 1、2、3.
Ⅴ.课时小结
任意角三角函数的定义，正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域，单位圆的概念，有向线段的定义，正弦线、余弦线、正切线的定义，这三种三角函数线都是一些特殊的有向线段，其之所以特殊，一是其与坐标轴平行(或重合)，二是其与单位圆有关，这些线段分别都可以表示相应三角函数的值，所以说它们是三角函数的一种几何表示.
Ⅵ.课后作业
课本P23习题 1、2、3.
任意角的三角函数(一)
1．sin1、cos1、tan1的大小关系是 （ ）
A.tan1＜cos1＜sin1 B.sin1＜cos1＜tan1
C.sin1＜tan1＜cos1 D.cos1＜sin1＜tan1
2．已知角α的正弦线和余弦线是方向一正一反、长度相等的有向线段，则α的终边在（ ）
A.第一象限角平分线上 B.第二象限角平分线上
C.第二或第四象限角平分线上 D.第一或第三象限角平分线上
3．如果＜θ＜，那么下列各式中正确的是 （ ）
A.cosθ＜tanθ＜sinθ B.sinθ＜cosθ＜tanθ
C.tanθ＜sinθ＜cosθ D.cosθ＜sinθ＜tanθ
4．若点P(－3，y)是角α终边上一点，且sinα＝－，则y的值是________.
5．已知角α终边上一点P的坐标是（4a，3a)(a＜0)，则sinα＝_________，cosα＝_________，tanα＝_________.
6．如果角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合.终边在函数y＝－3x(x≤0)的图象上，则sinα＝_________，cosα＝_________，tanα＝_________.
7．已知角θ的终边上一点P的坐标是（x，－2)(x≠0），且cosθ＝，求sinθ和tanθ的值.
8．已知角α终边上有一点P（x，1)(x≠0)，且cosα＝x，求sinα的值.
9．已知θ是第一象限角，试利用三角函数线证明：sinα+cosα＞1.
任意角的三角函数(一)答案
1．D 2．C 3．D 4．－ 5．－ － 6． － －3
7．已知角θ的终边上一点P的坐标是（x，－2)(x≠0），且cosθ＝，求sinθ和tanθ的值.
分析：r＝，又cosθ＝＝，即rx＝3x
由于x≠0，∴r＝3
∴x2＋4＝9 x2＝5，x＝±.
当x＝时，P点的坐标是（，－2）.
sinθ＝ ＝＝－，tanθ＝ ＝＝－.
当x＝－时，P点的坐标是（－，－2）
sinθ＝ ＝＝－，tanθ＝ ＝＝.
答案：当x＝时，sinθ＝－，tanθ＝?－?
当x＝－时，sinθ＝－，tanθ＝
8．已知角α终边上有一点P（x，1)(x≠0)，且cosα＝x，求sinα的值.
分析：由任意角的三角函数的定义
cosα＝＝x，∴r＝2 ∴sinα＝＝.
另：用x、1表示出r，即r＝
再由cosα＝x，求出x.
进一步求得sinα也可.
9．已知θ是第一象限角，试利用三角函数线证明：sinα+cosα＞1.
提示：作出单位圆以及正弦线、余弦线，利用三角形两边和大于第三边可证得.
- 5 -第三课时 两角和与差的正切
教学目标：
掌握T（α＋β），T（α－β)的推导及特征，能用它们进行有关求值、化简；提高学生简单的推理能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.
教学重点：
两角和与差的正切公式的推导及特征.
教学难点：
灵活应用公式进行化简、求值.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ（S（α＋β））
sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ（S（α－β））
cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ（C（α＋β））
cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ（C（α－β））
要准确把握上述各公式的结构特征.
Ⅱ.讲授新课一、推导公式
上述公式结合同角三角函数的基本关系式，我们不难得出：
当cos（α＋β）≠0时
tan（α＋β）＝＝
如果cosαcosβ≠0，即cosα≠0且cosβ≠0，我们可以
将分子、分母都除以cosαcosβ，从而得到：
tan（α＋β）＝
不难发现，这一式子描述了两角α与β的和的正切与这两角的正切的关系.
同理可得：tan（α－β）＝
或将上式中的β用－β代替，也可得到此式.
这一式子又描述了两角α与β的差的正切与这两角的正切的关系.
所以，我们将这两式分别称为两角和的正切公式、两角差的正切公式，
简记为T（α＋β），T（α－β）.
但要注意：运用公式T（α±β）时必须限定α、β、α±β都不等于＋kπ（k∈Z），因为tan（＋kπ）不存在.
下面我们看一下它们的应用
二、例题讲解
［例1］不查表求tan75°，tan15°的值.
解：tan75°＝tan（45°＋30°）
＝＝ eq \f(＋1,1－) ＝2＋
tan15°＝tan（45°－30°）
＝＝ eq \f(1－,1＋) ＝2－
［例2］求下列各式的值
（1） （2）
(1)分析：观察题目结构，联想学过的公式，不难看出可用两角差的正切公式.
解：＝tan（71°－26°）＝tan45°＝1
(2)分析：虽不可直接使用两角和的正切公式，但经过变形可使用之求解.
解：由tan150°＝tan（75°＋75°）＝
得：＝2·
＝2·＝2cot150°＝2cot（180°－30°）＝－2cot30°＝－2
说明：要熟练掌握公式的结构特征，以灵活应用.
［例3］利用和角公式计算的值.
分析：因为tan45°＝1，所以原式可看成
这样,我们可以运用正切的和角公式，把原式化为tan（45°＋15°）,从而求得原式的值.
解：∵tan45°＝1
∴＝＝tan（45°＋15°)＝tan60°＝
说明：在解三角函数题目时，要注意“1”的妙用.
［例4］若tan（α＋β）＝，tan（β－）＝，求tan（α＋）的值.
分析：注意已知角与所求角的关系，则可发现（α＋）＋（β－）＝α＋β，所以可将α＋化为（α＋β）－（β－），从而求得tan（α＋）的值.
解：tan（α＋）＝tan［（α＋β）－（β－)］
＝ eq \f(tan（α＋β）－tan（β－）,1＋tan（α＋β）tan（β－）)
将tan（α＋β）＝，tan（β－)＝代入上式，则，原式＝ eq \f(－,1＋×) ＝
［例5］已知tanα＝，tan（α－β）＝－，求tan（β－2α).
解：∵α＋（α－β）＝2α－β
∴tan（β－2α）＝tan［－（2α－β）］
＝－tan（2α－β）＝－tan［α＋（α－β)］
＝＝ eq \f(＋（－）,×（－）－1) ＝－
4.证明tan－tan＝
分析：细心观察已知等式中的角，发现它们有隐含关系：＋＝2x，－＝x
∴sinx＝sincos－cossin ①
cosx＋cos2x＝2coscos ②
①÷②即得：
＝ eq \f(sin,cos) － eq \f(sin,cos) ＝tan－tan.
Ⅲ.课堂练习
1.化简下列各式
(1)tan（α＋β）·（1－tanαtanβ） (2) －1
(3)
解：（1）tan（α＋β）（1－tanαtanβ）
＝（1－tanαtanβ）＝tanα＋tanβ
(2) －1＝ eq \f(tanα－tanβ, ) －1 ＝1＋tanαtanβ－1＝tanαtanβ
(3) ＝tan［（α－β）＋β］＝tanα
说明：这一题目若将tan（α－β）用两角差的正切公式展开，则误入歧途，要注意整体思想.
2.求值：
(1) (2)
(3)tan21°（1＋tan24°）＋tan24°
解：(1) ＝tan（35°＋25°）＝tan60°＝
(2) ＝tan（86°－26°）＝tan60°＝
（3）分析：因为tan21°＝tan（45°－24°）＝
又因为tan45°＝1
所以，1＋tan24°＝1＋tan45°tan24°
这样，可将原式化为：
tan（45°－24°）（1＋tan45°tan24°）＋tan24°
从而求得原式的值.
解：tan21°（1＋tan24°）＋tan24°
＝tan（45°－24°）（1＋tan45°tan24°）＋tan24°
＝（1＋tan45°tan24°）＋tan24°＝1
Ⅳ.课时小结
正切的和、差角公式以及它们的等价变形.
即：tan（α±β）＝ eq \f(tanα±tanβ,1tanαtanβ)
Tanα±tanβ＝tan（α±β）［1tanαtanβ］
1tanαtanβ＝ eq \f(tanαtanβ,1±tanαtanβ)
这些公式在化简、求值、证明三角恒等式时都有不少用处.
Ⅴ.课后作业
课本P105习题 1，2，3，4
- 4 -2.4 向量的数量积（1）
一、课题：向量的数量积（1）
二、教学目标：1．理解平面向量数量积的概念；
2．掌握两向量夹角的概念及其取值范围；
3．掌握两向量共线及垂直的充要条件；
4．掌握向量数量积的性质。
三、教学重、难点：向量数量积及其重要性质。
四、教学过程：
（一）引入：
物理课中，物体所做的功的计算方法：
（其中是与的夹角）．
（二）新课讲解：
1．向量的夹角：
已知两个向量和（如图2），作，，则
（）叫做向量与的夹角。
当时，与同向；
当时，与反向；
当时，与的夹角是，我们说与垂直，记作．
2．向量数量积的定义：
已知两个非零向量和，它们的夹角为，则数量叫做与的数量积（或内积），记作，即．
说明：①两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角
有关；
②实数与向量的积与向量数量积的本质区别：两个向量的数量积是一个数量；实
数与向量的积是一个向量；
③规定，零向量与任一向量的数量积是．
3．数量积的几何意义：
（1）投影的概念：
如图，，，过点作垂直于直线，垂足为，则．
叫做向量在方向上的投影，当为锐角时，它是正值；当为钝角时，它
是一负值；当时，它是；当时，它是；当时，它是．
（2）的几何意义：数量积等于的长度与在的方向上的投影
的乘积。
【练习】：①已知，，与的夹角，则；
②已知，在上的投影是，则 8 ；
③已知，，，则与的夹角．
（3）数量积的性质：
设、都是非零向量，是与的夹角，则
①；
②当与同向时，；当与反向时，；
特别地：或；
③；
④；
若是与方向相同的单位向量，则
⑤．
4．例题分析：
例1 已知正的边长为，设，，，求．
解：如图，与、与、与夹角为，
∴原式
．
例2 已知，，，且，求．
解：作，，
∵， ∴，
∵且，
∴中，， ∴，∴，，
所以，．
五、课后练习：
补充：1．若非零向量与满足，则 0 ．
六、课堂小结：1．向量数量积的概念；
2．向量数量积的几何意义；
3．向量数量积的性质。
七、作业：
（图1）
（图2）
PAGE
- 3 -第五课时 向量的数乘(二)
教学目标：
掌握实数与向量的积的运算律，理解实数与向量积的几何意义，理解两个向量共线的条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行并能熟练运用.
教学重点：
实数与向量积的运用.
教学难点：
实数与向量积的运用.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
上一节，我们一起学习了实数与向量的积的定义及运算律，并了解了两向量共线的条件.
这一节，我们将在上述知识的基础上进行具体运用.
Ⅱ.讲授新课
［例1］已知ABCD，E、F分别是DC和AB的中点，求证：AE∥CF.
证明：因为E、F为DC、AB的中点，
∴＝，＝，
由向量加法法则可知：＝＋＝＋，
＝＋＝＋.
∵四边形ABCD为平行四边形， ∴＝－，＝－，
∴＝－－＝－(＋)＝－
∴∥， ∴AE∥CF
［例2］已知ABCD的对角线AC和BD相交于点O，证明AO＝OC，BO＝OD.
分析：本题考查两个向量共线的充要条件，实数与向量积的
运算以及平面向量基本定理的综合应用.
证明：∵A、O、C三点共线，B、O、D三点共线，
∴存在实数λ和μ，使得＝λ，＝μ.
设＝a，＝b，则＝a＋b，＝b－a
∴＝λ(a＋b)，＝μ(b－a).
又∵＋＝，
∴a＋μ(b－a)＝ λ (a＋b)，即
(1－μ－λ)a＋(μ－λ)b＝0，
又∵a与b不共线，
由平面向量基本定理，，
∴μ＝λ＝， ∴AO＝AC，BO＝BD，
即AO＝OC，BO＝OD.
［例3］已知G为△ABC的重心，P为平面上任一点，求证：PG＝ (PA＋PB＋PC).
证明：如图，设△ABC三条中线分别为AM、BK和CL，则易知AM＝3GM，由向量中线公式有：
＝ (＋)，＝ (＋)，
∴＋＝ (＋) ①
同理可得＋＝ (＋) ②
＋＝ (＋) ③
由式①＋②＋③得：2(＋＋)
＝ (＋＋＋＋＋)＝0
∴＋＋＝0
∴3＝＋＋
＝(＋)＋(＋)＋(＋)
＝(＋＋)＋(＋＋)＝＋＋
∴PG＝ (PA＋PB＋PC).
［例4］AD、BE、CF是△ABC的中线，若直线EG∥AB，FG∥BE.
求证：AD GC.
证明：如图，因为四边形BEGF是平行四边形.
所以＝
又因为D是BC的中点，所以＝，
所以－＝－，
所以＝ (＋)＝＋＝＋＝
所以AD GC.
［例5］设四边形ABCD的两对角线AC、BD的中点分别是E、F，求证：｜AB－CD｜≤EF≤ (AB＋CD).
证明：如图，∵＝＋＋，
＝＋＋，
∴2＝(＋)＋(＋)＋(＋)
∵E、F分别是AC、BD的中点，∴＋＝0，＋＝0，
∴＝ (＋)
又∵｜｜｜－｜｜｜≤｜＋｜≤｜｜＋｜｜，
∴｜｜｜－｜｜｜≤｜｜≤ (｜｜＋｜｜)，
即｜AB－CD｜≤EF≤ (AB＋CD).
Ⅲ.课堂练习
课本P68练习1，2，3.
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，要求学生在理解平面向量基本定理基础上，能掌握平面向量基本定理的简单应用.
Ⅴ.课后作业
课本P69习题 9，10，12，13
向量的数乘
1．已知ABCD中，点E是对角线AC上靠近A的一个三等分点，设＝a，＝b，则向量BC等于 （ ）
A. 2a＋b B.2a－b C.b－2a D.－b－2a
2．若＝5e1，＝－7e1，且||＝||，则四边形ABCD是 （ ）
A.平行四边形 B.等腰梯形
C.菱形 D.梯形但两腰不相等
3．设D、E、F分别为△ABC的边BC、CA、AB的中点，且＝a，＝b，给出下列命题：①＝－a－b ②＝a＋b ③＝－a＋b ④＋＋＝0.其中正确的命题个数为 （ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
4．若O为平行四边形ABCD的中心，＝4e1，＝6e2，则3e2－2e1等于 （ ）
A. B. C. D.
5．已知向量a，b不共线，实数x，y满足等式3xa＋(10－y)b＝2xb＋(4y＋7) a，则x＝ ，y＝ .
6．在△ABC中，＝，EF∥BC交于点F，设＝a，＝b，用a、b表示向量为 .
7．若ke1＋e2与e1＋ke2共线，则实数k的值为 .
8．已知任意四边形ABCD中，E为AD中点，F为BC的中点，求证：＝（＋）.
9．在△OAB中，C是AB边上一点，且＝λ(λ>0)，若＝a，＝b，试用a，b表示.
10．如图，＝a，＝b，＝t（t∈R)，当P是（1）中点，（2）的三等分点（离A近的一个）时，分别求.
向量的数乘答案
1．D 2．B 3．C 4．B 5． 6．－a＋b 7．±1
8．已知任意四边形ABCD中，E为AD中点，F为BC的中点，求证：＝（＋）.
证明：∵＋＋＋＝0，＋＋＋＝0
∴＝＋＋，＝＋＋
两式相加，
2＝＋＋＋＋＋
∵＋＝0，＋＝0
∴＝（＋）.
9．在△OAB中，C是AB边上一点，且＝λ(λ>0)，若＝a，＝b，试用a，b表示.
解：＝(b＋λa)
10．如图，＝a，＝b，＝t（t∈R)，当P是（1）中点，（2）的三等分点（离A近的一个）时，分别求.
解：（1）∵P为中点，∴＝（b－a）
∴＝a＋ (b－a)＝ (a＋b).
(2)∵＝ (b－a)
∴＝a＋（b－a)＝ (b＋2a).
- 4 -1.3.2 三角函数的图像与性质（2）
一、课题：正、余弦函数的定义域、值域
二、教学目标：1.能指出正弦、余弦函数的定义域，并用集合符号来表示；
2.能说出函数，和，的值域、最大值、最小值，以及使函数取得这些值的的集合。
三、教学重、难点：与正、余弦函数相关的函数的定义域的求法。
四、教学过程：
（一）复习：
1．三角函数的定义。
（二）新课讲解：
1．正弦、余弦函数的定义域
函 数
定义域
例1：求下列函数的定义域：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）．
解：（1）， ∴； （2）， ∴；
（3）， ∴；
（4），∴， ∴且；
（5） ∴ ∴ ．
2．正、余弦函数的值域
函 数
值 域
例2：求使下列函数取得最大值的自变量的集合，并说出最大值是什么？
（1），； （2），．
解：（1）使函数，取得最大值的的集合，就是使函数， 取得最大值的的集合，
所以，函数，的最大值是．
（2）令，那么必须并且只需，且使函数，取得最大值
的 的集合是，由，得，
即：使函数，取得最大值的的集合是，函数的最大值是．
说明：函数，的最值：最大值，最小值．
例3：求下列函数的值域：
（1）； （2）．
解：（1）∵，∴， ∴
所以，值域为．
（2）， ∴， ∴，
解得， 所以，值域为．
五、练习：
六、小结：1．正、余弦函数的定义域、值域；
2．与正、余弦函数相关的一些函数的定义域、值域。
七、作业：
补充：求下列函数的值域：
（1）；（2）；（3）（其中为常数）．
PAGE
- 2 -§6 正切函数（2课时）
洋浦实验中学 吴永和
1、 教学目标：
1、 知识与技能
（1）了解任意角的正切函数概念；（2）理解正切函数中的自变量取值范围；（3）掌握正切线的画法；（4）能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像；（5）熟练根据正切函数的图像推导出正切函数的性质；（6）能熟练掌握正切函数的图像与性质；（7）掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。
2、 过程与方法
类比正、余弦函数的概念，引入正切函数的概念；在此基础上，比较三个三角函数之间的关系；让学生通过类比，联系正弦函数图像的作法，通过单位圆中的有向线段得到正切函数的图像；能学以致用，结合图像分析得到正切函数的诱导公式和正切函数的性质。
3、 情感态度与价值观
使同学们对正切函数的概念有一定的体会；会用联系的观点看问题，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。
二、教学重、难点
重点: 正切函数的概念、诱导公式、图像与性质
难点: 熟练运用诱导公式和性质分析问题、解决问题
三、学法与教学用具
我们已经知道正、余弦函数的概念是通过在单位圆中，以函数定义的形式给出来的，从而把锐角的正、余弦函数推广到任意角的情况；现在我们就应该与正、余弦函数的概念作比较，得出正切函数的概念；同样地，可以仿照正、余弦函数的诱导公式推出正切函数的诱导公式；通过单位圆中的正切线画出正切函数的图像，并从图像观察总结出正切函数的性质。
教学用具:投影机、三角板
第一课时 正切函数的定义、图像及性质
一、教学思路
【创设情境，揭示课题】
常见的三角函数还有正切函数，在前两次课中，我们学习了任意角的正、余弦函数，并借助于它们的图像研究了它们的性质。今天我们类比正弦、余弦函数的学习方法，在直角坐标系内学习任意角的正切函数，请同学们先自主学习课本P40。
【探究新知】
1． 正切函数的定义
在直角坐标系中，如果角α满足：α∈R，α≠＋kπ(k∈Z)，那么，角α的终边与单位圆交于点P（a，b），唯一确定比值.根据函数定义，比值是角α的函数，我们把它叫作角α的正切函数，记作y＝tanα，其中α∈R，α≠＋kπ，k∈Z.
比较正、余弦和正切的定义，不难看出：tanα＝ (α∈R，α≠＋kπ，k∈Z).
由此可知，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，我们统称为三角函数。
下面，我们给出正切函数值的一种几何表示.
如右图，单位圆与x轴正半轴的交点为A（1 ,0），任意角α
的终边与单位圆交于点P，过点A（1 ,0）作x轴的垂线，与角
的终边或终边的延长线相交于T点。从图中可以看出：
当角α位于第一和第三象限时，T点位于x轴的上方；
当角α位于第二和第四象限时，T点位于x轴的下方。
分析可以得知，不论角α的终边在第几象限，都可以构造两
个相似三角形，使得角α的正切值与有向线段AT的值相等。因此，
我们称有向线段AT为角α的正切线。
2．正切函数的图象
（1）首先考虑定义域：
（2）为了研究方便，再考虑一下它的周期：
∴的周期为（最小正周期）
（3）因此我们可选择的区间作出它的图象。
根据正切函数的周期性，把上述图像向左、右扩展，得到正切函数，且的图像，称“正切曲线”
从上图可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线x＝＋kπ(k∈Z)隔开的无穷多支曲线组成的，这些直线叫作正切曲线各支的渐近线。
3．正切函数y＝tanx的性质
引导学生观察，共同获得：
（1）定义域：，
（2）值域：R
观察：当从小于，时，
当从大于，时，。
（3）周期性：
（4）奇偶性：奇函数。
（5）单调性：在开区间内，函数单调递增。
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、课后反思
第二课时 正切函数的诱导公式及例题讲评
一、教学思路
【创设情境，揭示课题】
同学们已经知道，在正、余弦函数中，我们是先学诱导公式，再学图像与性质的。在学正切函数时，我们为什么要先学图像与性质，再学诱导公式呢？
【探究新知】
观察下图，角α与角2π＋α，2π－α，π＋α，π－α，－α的正切函数值有何关系？
我们可以归纳出以下公式：π－α，
tan(2π＋α)＝tanα
tan(－α)＝－tanα
tan(2π－α)＝－tanα
tan(π－α)＝－tanα
tan(π＋α)＝tanα
【巩固深化，发展思维】
1． 例题讲评
例1．若tanα＝，借助三角函数定义求角α的正弦函数值和余弦函数值。
解：∵tanα＝＞0，∴α是第一象限或第三象限的角
（1）如果α是第一象限的角，则由tanα＝可知，角α终边上必有一点P（3，2）.
所以x＝3，y＝2. ∵r＝|OP|＝ ∴sinα＝＝， cosα＝＝.
(2) 如果α是第三象限角，同理可得：sinα＝＝－， cosα＝＝－.
例2．化简：
解：原式＝＝＝－.
2．学生课堂练习
教材P45的练习1、2、3、4
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、布置作业：P45习题A组1—11
四、课后反思
30
210
A
T
o
y
x
P
y
x
O
x
y
0
x
y
0
PAGE
41.2.3 三角函数的诱导公式（1）
一、课题：三角函数的诱导公式（1）
二、教学目标：1.理解正弦、余弦的诱导公式二、三的推导过程；
2.掌握公式二、三，并会正确运用公式进行有关计算、化简；
3.了解、领会把为知问题化归为已知问题的数学思想，提高分析问题、解决问题的能力。
三、教学重、难点：1．诱导公式二、三的推导、记忆及符号的判断；
2．应用诱导公式二、三的推导。
四、教学过程：
（一）复习：
1．利用单位圆表示任意角的正弦值和余弦值；
2．诱导公式一及其用途：
．
问：由公式一把任意角转化为内的角后，如何进一步求出它的三角函数值？
我们对范围内的角的三角函数值是熟悉的，那么若能把内的角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值，则问题将得到解决，这就是数学化归思想。
（二）新课讲解：
1．引入：对于任何一个内的角，以下四种情况有且只有一种成立（其中为锐角）：
所以，我们只需研究的同名三角函数的关系即研究了的关系了。
2．诱导公式二：
提问：（1）锐角的终边与的终边位置关系如何？
（2）写出的终边与的终边与单位圆交点的坐标。
（3）任意角与呢？
通过图演示，可以得到：任意与的终边都是关于原点中心对称的。
则有，由正弦函数、余弦函数的定义可知：
， ；
， ．
从而，我们得到诱导公式二： ；．
说明：①公式二中的指任意角；
②若是弧度制，即有，；
③公式特点：函数名不变，符号看象限；
④可以导出正切：．
（此公式要使等式两边同时有意义）
3．诱导公式三：
提问：（1）的终边与的终边位置关系如何？从而得出应先研究；
（2）任何角与的终边位置关系如何？
对照诱导公式二的推导过程，由学生自己完成诱导公式三的推导，
即得：诱导公式三：；．
说明：①公式二中的指任意角；
②在角度制和弧度制下，公式都成立；
③公式特点：函数名不变，符号看象限（交代清楚在什么情况下“名不变”，以及符号确定的具体方法）；
④可以导出正切：．
4．例题分析：
例1 求下列三角函数值：（1）； （2）．
分析：先将不是范围内角的三角函数，转化为范围内的角的三角函
数（利用诱导公式一）或先将负角转化为正角然后再用诱导公式化到范围内角
的三角函数的值。
解：（1）（诱导公式一）
（诱导公式二）
．
（2）（诱导公式三）
（诱导公式一）
（诱导公式二）
．
方法小结：用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般步骤是：
①化负角的三角函数为正角的三角函数；
②化为内的三角函数；
③化为锐角的三角函数。
可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”（有时也直接化到锐角求值）。
例2 化简．
解：原式
．
五、课堂练习：
六、小结：1．简述数学的化归思想；
2．两个诱导公式的推导和记忆；
3．公式二可以将范围内的角的三角函数转化为锐角的三角函数；
4．公式三可以将负角的三角函数转化为正角的三角函数。
七、作业：
PAGE
- 2 -第二课时 两角和与差的正弦
教学目标：
掌握S（α＋β）与S（α－β）的推导过程及公式特征，利用上述公式进行简单的求值与证明；培养学生的推理能力，提高学生的数学素质.
教学重点：
两角和与差的正弦公式及推导过程.
教学难点：
灵活应用所学公式进行求值证明.
教学过程：
Ⅰ.课题导入
首先，同学们回顾一下咱们前面所推导的两角和与差的余弦公式.
首先，我们利用单位圆及两点间的距离公式结合三角函数的定义，推导出了两角和的余弦公式，进而推导出了两角差的余弦公式及两个诱导公式，不妨，将cos （－θ）＝sinθ中的θ用α＋β代替，看会得到什么新的结论
Ⅱ.讲授新课
一、推导公式
由sinθ＝cos（－θ）
得：sin（α＋β）＝cos ［－（α＋β）］＝cos［（－α）－β］
＝cos（－α）cos β＋sin（－α）sinβ
又∵cos（－α）＝sinα，sin（－α）＝cos α
∴sin（α＋β）＝sinαcos β＋cos αsinβ
这一式子对于任意的α，β值均成立.
将此式称为两角和的正弦公式：
S（α＋β）：sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ
在前面，当我们推出两角和的余弦公式C（α＋β）时，将其中的β用－β代替，便得到了两角差的余弦公式，这里，也不妨将S（α＋β）中的β用－β代替，看会得到什么新的结论
sin［α＋（－β）］＝sinαcos（－β）＋cosαsin（－β）
＝sinαcosβ－cosαsinβ
即：sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ
这一式子对于任意的α，β的值均成立.
这一式子被称为两角差的正弦公式：
S（α－β）：sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ下面，看他们的应用.
二、例题讲解
［例1］利用和(差)角公式求75°，15°的正弦、余弦、正切值.
分析：首先应将所求角75°，15°分解为某些特殊角的和或差.
解：sin75°＝sin（45°＋30°）
＝sin45°cos 30°＋cos 45°sin30°
＝·＋·＝
cos 75°＝cos（45°＋30°）＝cos 45°cos 30°－sin45°sin30°＝
tan75°＝＝＝2＋
sin15°＝sin（45°－30°)
＝sin45°cos 30°－cos 45°sin30°＝
或sin15°＝sin（60°－45°）
＝sin60°cos 45°－cos 60°sin45°＝
或sin15°＝sin（90°－75°）＝cos 75°＝
cos 15°＝cos （45°－30°）＝cos 45°cos 30°＋sin45°sin30°＝
或cos 15°＝cos （60°－45°）＝
或cos 15°＝cos（90°－75°）＝sin75°＝
tan15°＝＝＝2－
［例2］已知sinα＝，α∈（，π），cosβ＝－，β∈（π，），求sin（α－β），cos（α＋β），tan（α＋β）.
分析：观察此题已知条件和公式C（α＋β），S（α－β），要想求sin（α－β），cos （α＋β），应先求出cosα，sinβ.
解：由sinα＝且α∈（，π)
得：cos α＝－＝－ eq \r(1－（）2) ＝－；
又由cosβ＝－且β∈（π，）
得：sinβ＝－＝－ eq \r(1－（－）2) ＝－.
∴sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ
＝×（－）－（－）（－）＝
cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ
＝（－）（－）－×（－）＝
由公式S（α＋β）可得
sin（α＋β）＝
∴tan（α＋β）＝
＝＝
Ⅲ.课堂练习
1.求证：＝
证明：右＝
＝＝＝左.
∴原式得证.
2.在△ABC中，sinA＝ (0°＜A＜45°)，cos B＝ (45°＜B＜90°)，求sinC与cos C的值.
解：∵在△ABC中，∴A＋B＋C＝180°
即C＝180°－（A＋B）
又∵sinA＝且0°＜A＜45° ∴cos A＝
∵cos B＝且45°＜B＜90° ∴sinB＝
∴sinC＝sin［180°－（A＋B）］
＝sin（A＋B）＝sinAcos B＋cos AsinB
＝×＋×＝
cos C＝cos ［180°－（A＋B）］
＝－cos （A＋B）＝sinAsinB－cos Acos B＝
对于练习1这种类型的习题，首先要仔细观察题目的结构，回忆有关公式，认真分析，一般遵循由繁到简的原则.
对于练习2这种类型的习题，要仔细观察已知角与所求角的关系.做好准备工作，然后着手求解.
Ⅳ.课时小结
在前面推导出的C（α＋β）与cos（－α）＝sinα的基础上又推导出两公式，即：
sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ (S（α＋β））
sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ（S（α－β））
同学们要注意它们之间的区别与联系，从而熟练掌握，以便灵活应用其解决一些相关的问题.
Ⅴ.课后作业
课本P100习题 1，2，3.
- 3 -1.2.3 三角函数的诱导公式（3）
一、课题：三角函数的诱导公式（3）
二、教学目标：1.牢固掌握五组诱导公式，熟练运用公式进行三角函数的求值、化简及恒等证明；
2.能运用化归思想解决与其它知识结合的综合性问题；
3.渗透分类讨论的数学思想，提高分析和解决问题的能力。
三、教学重、难点：1．熟练、准确地运用公式进行三角函数求值、化简及证明；
2．带字母的三角函数的化简（分类讨论类型）。
四、教学过程：
（一）复习：
1．复习五组诱导公式（包括正切）；
2．分析记忆公式的口诀“函数名不变，符号看象限”；
3．求任意角的三角函数的一般步骤。
4．练习：
（1）化简：课本32页的练习第4题；
（2）求值：①． （答案）
②． （答案）
（3）证明：．
说明：结合“口诀”，加强运用公式的熟练性、准确性。
（二）新课讲解：
例1 已知：，求的值。
解：∵，
∴原式．
说明：第二步到第三步应用了“弦化切”的技巧，即分子、分母同除以一个不为零的，得到一个只含的教简单的三角函数式。
变式训练：已知：，求的值。
解答：，原式
．
说明：同样应用上题的技巧，把看成是一个分母为的三角函数式，注意结合“口诀”及的运用。
例2 已知，且是第四象限角，求的值。
解：
由已知得：， ∴原式．
说明：关键在于抓住是第四象限角，判断的正负号，利用同角三角函数关系式得出结论。
变式训练：将例2中的“是第四象限角”条件去掉，结果又怎样？
解答：原式，
∵为负值，∴是第三、四象限角。
当是第三象限角时，．∴原式．
当是第四象限角时，即为上例。
说明：抓住已知条件判断角所在象限，利用分类讨论的思想，同上题类似做法，得出结论。
例3 化简．
解：①当时，
原式．
②当时，
原式．
说明：关键抓住题中的整数是表示的整数倍与公式一中的整数有区别，所以必须把分成奇数和偶数两种类型，分别加以讨论。
五、小结：1．熟练运用公式化简、求值、证明；
2．运用化归思想和分类讨论的思想分析解决问题。
六、作业： 补充：1．化简；
2．化简且；
PAGE
- 2 -第十六课时 函数y＝Asin(ωx＋)的图象(一)
教学目标
理解振幅的定义，理解振幅变换和周期变换的规律，会对函数y＝sinx进行振幅和周期变换；渗透数形结合思想，培养动与静的辩证关系，提高数学修养.
教学重点
1.理解振幅变换和周期变换的规律；
2.熟练地对y＝sinx进行振幅和周期变换.
教学难点
理解振幅变换和周期变换的规律
教学过程
Ⅰ.课题导入
在现实生活中，我们常常会遇到形如y＝Asin(ωx＋)的函数解析式(其中A，ω，都是常数).下面我们讨论函数y＝Asin(ωx＋)，x∈R的简图的画法.
Ⅱ.讲授新课
首先我们来看形如y＝Asinx，x∈R的简图如何来画
［例1］画出函数y＝2sinx，x∈R，y＝sinx，x∈R的简图.
解：画简图，我们用“五点法”
∵这两个函数都是周期函数，且周期为2π
∴我们先画它们在［0，2π］上的简图.
列表：
x 0 π 2π
sinx 0 1 0 －1 0
2sinx 0 2 0 －2 0
sinx 0 0 － 0
描点画图：
然后利用周期性，把它们在［0，2π］上的简图向左、右分别扩展，便可得到它们的简图.
请同学们观察它们之间的关系
(1)y＝2sinx，x∈R的值域是［－2，2］
图象可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍而得(横坐标不变).
(2)y＝sinx，x∈R的值域是［－，］
图象可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的纵坐标缩短到原来的倍而得(横坐标不变).
一般地，函数y＝Asinx，x∈R(其中A＞0且A≠1)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长(当A＞1时)或缩短(当0＜A＜1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到.
函数y＝Asinx，x∈R的值域是［－A，A］
ymax＝A，ymin＝－A
A称为振幅，这一变换称为振幅变换.
［例2］画出函数y＝sin2x，x∈R y＝sinx，x∈R的简图.
解：函数y＝sin2x，x∈R的周期 T＝＝π
我们先画在［0，π］上的简图
令X＝2x，那么sinX＝sin2x
列表：
x 0 π
X＝2x 0 π 2π
sinx 0 1 0 －1 0
描点画图：
函数y＝sinx，x∈R的周期T＝＝4π
我们画［0，4π］上的简图，令x＝x
列表：
x 0 π 2π 3π 4π
X＝x 0 π 2π
sinx 0 1 0 －1 0
描点画图：
利用它们各自的周期，把它们分别向左、右扩展得到它们的简图.
函数y＝sin2x，x∈R的图象，可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)而得到.
函数y＝sinx，x∈R的图象，可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)而得到的.
一般地，函数y＝sinωx，x∈R(其中ω＞0，且ω≠1)的图象，可以看作把y＝sinx，x∈R图象上所有点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到.
ω决定了函数的周期，这一变换称为周期变换.
Ⅲ.课时小结
通过本节学习，要理解并学会对函数y＝sinx进行振幅和周期变换，即会画y＝Asinx，
y＝sinωx的图象，并理解它们与y＝sinx之间的关系.
函数y＝Asin(ωx＋)的图象(一)
1．判断正误
①y＝Asinωx的最大值是A，最小值是－A. ( )
②y＝Asinωx的周期是. ( )
③y＝－3sin4x的振幅是3，最大值为3，最小值是－3. ( )
2．用图象变换的方法在同一坐标系内由y＝sinx的图象画出函数y＝－sin(－2x)的图象.
3．下列变换中，正确的是 ( )
A.将y＝sin2x图象上的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)即可得到y＝sinx的图象
B.将y＝sin2x图象上的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)即可得到y＝sinx的图象
C.将y＝－sin2x图象上的横坐标变为原来的倍，纵坐标变为原来的相反数，即得到
y＝sinx的图象
D.将y＝－3sin2x图象上的横坐标缩小一倍，纵坐标扩大到原来的倍，且变为相反数，即得到y＝sinx的图象
4．试判断函数f(x)＝在下列区间上的奇偶性.
(1)x∈(－，) (2)x∈［－，］
5．求函数y＝logcos(x＋)的单调递增区间.
6．求函数y＝sin(－2x)的单调递增区间.
函数y＝Asin(ωx＋)的图象(一)答案
1．①(×) ②(×) ③(√)
2．解：∵y＝－sin(－2x)＝sin2x
评述：先化简后画图.
3．A
4．解：f(x)＝
＝＝＝
∵f(－x)＝＝－＝－f(x)
∴在(－，)上f(x)为奇函数.
(2)由于x＝时，f(x)＝1，而f(－x)无意义.
∴在［－，］上函数不具有奇偶性.
5．分析：先考虑对数函数y＝logx是减函数，因此函数的增区间在u＝cos(x＋)的减区间之中，然后再考虑对数函数的定义域.
即函数的递增区间应是cos(x＋)的递减区间与cos(x＋)＞0的解集的交集.
解：依题意得
解得x∈［2kπ－，2kπ＋)(k∈Z)
评述：求例如sin(ωx＋)、cos(ωx＋)的单调区间时，要注意换元，即令u＝ωx＋，
由u所在区间得到x的范围.
6．求函数y＝sin(－2x)的单调递增区间.
错解：∵y＝sinx的单调递增区间是
［2kπ－，2kπ＋］(k∈Z)
∴2kπ－≤－2x≤2kπ＋ (k∈Z)
解得－kπ－≤x≤－kπ＋ (k∈Z)
∴函数y＝sin(－2x)的递增区间是［kπ－，kπ＋］(k∈Z)
评述：y＝sin(－2x)是y＝sint及t＝－2x的复合函数.由于t＝－2x是减函数，所以当y＝sint递增时，函数y＝sin(－2x)是减函数，上面求得的结果是函数的递减区间，可见，讨论复合函数的单调性必须分析每个函数的单调性，以免犯类似的错误.复合函数的单调性有如下规律：双增双减均为增，一增一减为减.
- 7 -本章复习与小结（1课时）
洋浦实验中学 吴永和
1、 教学目标：
1、 知识与技能
（1）了解本章的知识结构体系，在整体上有一个初步的认识；（2）加深对任意角、弧度及三角函数的理解；（3）掌握三角函数的图像与性质，能利用性质进行解题；（4）掌握一定的解题方法，形成较好的能力。
2、 过程与方法
三角函数是一种重要的函数，通过整理本章的各知识点以及它们之间的联系，帮助学生系统地认识本章内容，从而对本章内容有全面的认识，上升到更高一个水平；启发学生将本章内容与数学1、数学2的横向联系，形成知识的网络化。
3、 情感态度与价值观
通过本节的复习，使同学们对三角函数有一个全面的认识；以辩证唯物主义的观点看待任何事，养成一种科学的态度；帮助学生树立正确的世界观和人生观，树立远大理想，立志为国争光，为洋浦的开发建设贡献力量。
二、教学重、难点
重点: 三角函数定义，以及三角函数的图像与性质
难点: 本章内容的系统掌握与灵活运用
三、学法与教学用具
师生共同整理本章的知识结构体系，从角到角的度量，从三角函数的定义到它们之间的关系，再到三角函数的图像与性质；整理本章出现的各种题目，从中理顺它们的关系，将它们适当归类，提炼其中的方法，争取做到举一反三、触类旁通。
教学用具：投影仪、三角板
四、教学思路
【知识的初步整合】
【知识的概括与引申】
1．角是由射线的旋转所产生的，那么就有旋转量与旋转方向的问题，所以必须推广到任意正角、负角和零角。为了使弧长公式在形式上变得简单，引进了弧度制，这一度量单位不仅使弧长公式、扇形面积公式得以简化，也为定义任意角的三角函数作好了准备。
2．同角三角函数的基本关系的作用是：已知某任意角的一种三角函数值，就能求出另一种三角函数值。
3．诱导公式的作用是：把求任意角的三角函数值转化为求锐角三角函数值。
4．三角函数的图像和性质是本章的重要内容，是三角函数应用的基础。
【例题选讲】
例1．求图中公路弯道处弧AB的长（精确到1m）
图中长度单位为：m
解： ∵
∴
例2． 已知是第三象限角且，问是第几象限角？
解：∵
∴ 则是第二或第四象限角
又∵ 则是第二或第三象限角
∴必为第二象限角
例3．已知，求
解：
例4．函数的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性。
解：由得，
所求定义域为
值域为R，周期，是非奇非偶函数。
在区间上是增函数。
【随堂练习】 教材P77复习题一A组1—11
【教学小结】
本章涉及到的主要数学思想方法有那些？你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？【布置作业】 教材P77复习题一A组12—15
【课后反思】
任意角
的概念
角度制与
弧度制
任意角的三
角函数定义
三角函数的图像与性质
同角三角函数的关系
诱导公式
弧长与扇形
面积公式
60
R=45
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21.2.1 任意角的三角函数（1）
一、课题：任意角的三角函数（1）
二、教学目标：1.掌握任意角的三角函数的定义；
2.已知角终边上一点，会求角的各三角函数值；
3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。
三、教学重、难点：根据定义求三角函数值。
四、教学过程：
（一）复习：初中锐角的三角函数是如何定义的？
在中，设对边为，对边为，对边为，锐角的正弦、余弦、正切依次为 ．
角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。
（二）新课讲解：
1．三角函数定义
在直角坐标系中，设是一个任意角，终边上任意一点（除了原点）的坐标为，它与原点的距离为，那么
（1）比值叫做的正弦，记作，即；
（2）比值叫做的余弦，记作，即；
（3）比值叫做的正切，记作，即；
（4）比值叫做的余切，记作，即；
（5）比值叫做的正割，记作，即；
（6）比值叫做的余割，记作，即．
说明：①的始边与轴的非负半轴重合，的终边没有表明一定是正角或负角，以及的大小，只表明与的终边相同的角所在的位置；
②根据相似三角形的知识，对于确定的角，六个比值不以点在的终边上的位置的改变而改变大小；
③当时，的终边在轴上，终边上任意一点的横坐标都等于，所以与无意义；同理，当时，与无意义；
④除以上两种情况外，对于确定的值，比值、、、、、分别是一个确定的实数，所以正弦、余弦、正切、余切、正割、余割是以角为自变量，一比值为函数值的函数，以上六种函数统称为三角函数。
2．三角函数的定义域、值域
函 数 定 义 域 值 域
3．例题分析
例1 已知角的终边经过点，求的六个函数制值。
解：因为，所以，于是
；；
； ；
； ．
例2 求下列各角的六个三角函数值：（1）；（2）；（3）．
解：（1）因为当时，，，所以
， ，
， 不存在，
， 不存在。
（2）因为当时，，，所以
， ，
， 不存在，
， 不存在。
（3）因为当时，，，所以
， ，
不存在， ，
不存在， ．
例3 已知角的终边过点，求的六个三角函数值。
解：因为过点，所以，
当；
；；
当；
；．
4．三角函数的符号
由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：
①正弦值对于第一、二象限为正（），对于第三、四象限为负（）；
②余弦值对于第一、四象限为正（），对于第二、三象限为负（）；
③正切值对于第一、三象限为正（同号），对于第二、四象限为负（异号）．
说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。
5．诱导公式
由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同。
即有：，
，其中．
，
（练习）确定下列三角函数值的符号：
（1）；（2）；（3）；（4）．
五、小结：1．任意角的三角函数的定义；
2．三角函数的定义域、值域；
3．三角函数的符号及诱导公式。
六、作业： 补充：已知点，在角的终边上，求、、的值。
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- 3 -2.3.1 平面向量基本定理
一、课题：平面向量基本定理
二、教学目标：1．理解向量的坐标表示法,掌握平面向量与一对有序实数一一对应关系；
2．正确地用坐标表示向量，对起点不在原点的平面向量能利用向量相等的
关系来用坐标表示；
3．掌握两向量的和、差,实数与向量积的坐标表示法。
三、教学重、难点：1．平面向量的坐标运算；
2．对平面向量的坐标表示的理解。
四、教学过程：
（一）复习：
1．平面向量的基本定理：；
2．在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对实数表示，那么，每一个向量可否也用
一对实数来表示？
（二）新课讲解：
1．向量的坐标表示的定义：
分别选取与轴、轴方向相同的单位向量，作为基底，对于任一向量，，（），实数对叫向量的坐标，记作．
其中叫向量在轴上的坐标，叫向量在轴上的坐标。
说明：（1）对于，有且仅有一对实数与之对应；
（2）相等的向量的坐标也相同；
（3），，；
（4）从原点引出的向量的坐标就是点的坐标。
例1 如图，用基底，分别表示向量、、、， 并求出它们的坐标。
解：由图知：；
；
；
．
2．平面向量的坐标运算：
问题：已知，，求，．
解：
即．
同理：．
结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。
3．向量的坐标计算公式：
已知向量，且点，，求的坐标．
．
归纳：（1）一个向量的坐标等于表示它的有向线段的终点坐标减去始点坐标；
（2）两个向量相等的充要条件是这二个向量的坐标相等。
4．实数与向量的积的坐标：
已知和实数，求
结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。
例2 已知，，求，，的坐标．
解：=；；
．
例3 已知 ABCD的三个顶点的坐标分别为、、，求顶点的坐标。
解：设顶点的坐标为．
∵，，
由，得．
∴ ∴ ∴顶点的坐标为．
例4 （1）已知的方向与轴的正向所成的角为，且，则的坐标为，
．
（2）已知，，，且，求，．
解：（2）由题意，，
∴ ∴．
五、课堂小结：1．正确理解平面向量的坐标意义；
2．掌握平面向量的坐标运算；
3．能用平面向量的坐标及其运算解决一些实际问题。
六、作业：
补充：1．已知向量与相等，其中，，求；
2．已知向量，，，，且，求．
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- 3 -§8 同角三角函数的关系（1课时）
洋浦实验中学 吴永和
1、 教学目标：
1、 知识与技能
（1）能根据三角函数的定义，导出同角三角函数的基本关系；（2）能正确运用进行三角函数式的求值运算；（3）能运用同角三角函数的基本关系求一些三角函数（式）的值，并从中了解一些三角运算的基本技巧；（4）运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数恒等式的证明。
2、 过程与方法
回忆初中所学的几个三角函数之间的关系，用高中所学的同角三角函数之间的关系试着进行证明；掌握几种同角三角函数关系的应用；掌握在具体应用中的一定技巧和方法；理解并掌握同角三角关系的简单变形；提高学生恒等变形的能力，提高分析问题和解决问题的能力。
3、 情感态度与价值观
通过本节的学习，使同学们加深理解基本关系在本章中的地位；认识事物间存在的内在联系，使学生面对问题养成勤于思考的习惯；培养学生良好的学习方法，进一步树立化归的数学思想方法。
二、教学重、难点
重点: 同角三角函数之间的基本关系，化简与证明。
难点: 化简与证明中的符号，同角三角函数关系的灵活运用。
三、学法与教学用具
在初中，学生已经见过同角三角函数之间的关系，在高中就要求学生能对这些关系进行证明，最主要的还是在于运用。主要有三方面的应用，即计算、化简、证明。正因为这样，本节课通过例题讲评和学生练习的形式开展教学。
教学用具:投影机、三角板
四、教学思路
【创设情境，揭示课题】
同角三角函数之间的关系我们在初中就已经学过，只不过当时应用不是很多，那么到底有哪些？它们成立的条件是什么？学习实践中，你还发现了哪些关系？今天这节课，我们就来讨论这些问题。
【探究新知】
在初中我们已经知道，对于同一个锐角α，存在关系式：
理论证明：（采用定义）
注意：1“同角”的概念与角的表达形式无关，
如：
2上述关系（公式2）都必须在定义域允许的范围内成立。
3据此，由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另两个三角函数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用（实际上，至多只要用一次）。
【巩固深化，发展思维】
1．例题讲评
例1．已知sinα＝－，且α在第三象限，求cosα和tanα.
解：∵ ∴cos2α＝1－sin2α＝1－(－)2＝
又∵α在第三象限，cosα＜0 ∴cosα＝－，tanα＝＝
例2．已知
解：若在第一、二象限，则
若在第三、四象限，则
例3．化简：
解：原式
例4．求证：
证一：
（利用平方关系）
证二：
（利用比例关系）
证三：
（作差）
2．学生课堂练习
教材P66练习1和P67练习2
五、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到主要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
六、布置作业
教材P68习题中1—6
七、课后反思
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31.3.2 三角函数的图像与性质（3）
一、课题：正弦、余弦函数的值域（1）
二、教学目标：1.理解正、余弦函数的值域；
2.会求与正、余弦函数相关的函数的值域和最值。
三、教学重、难点：与正、余弦函数相关的函数的值域的求法。
四、教学过程：
（一）复习：
1．正、余弦函数的定义域、值域；
2．练习：求下列函数的定义域：
（1）；（2）．
（答案：（1）；（2））．
（二）新课讲解：
例1：求函数的值域。
解：，
∵，∴，
所以，函数的值域是．
例2：求函数的值域。
解：
∵，∴，
所以，函数的值域为．
【变题】若把本题再加上的条件，则结果又如何？
说明：形式的函数求值域时，可考虑先将函数化为形式的函数来求解。
例3：求函数的最大值和最小值，并写出函数取最值时对应的的值。
解：
，
令，则，
∴（），
∴当，即或（）时，，
当，即（）时，．
例4：求函数的值域。
解：令，则，
又∵，
∴，
当时，，
当时，，
所以，函数的值域为．
五、练习：1．求函数（）的最大值和最小值，并写出函数取最值时对应的的值。
六、小结：1．可化为型的函数值域；
2．可化为求二函数的函数的值域；
3．含，的函数的值域的求法。
七、作业：补充：
求下列函数的值域：
（1）； （2） ；
（3）；
（4）；
（5）（）；
（6）．
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- 1 -第三章 三角恒等变换
一、课标要求：
本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦、和正切公式，以及运用这些公式进行简单的恒等变换.
三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.通过本章学习，要使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中，发展推理能力和运算能力，使学生体会三角恒等变换的工具性作用，学会它们在数学中的一些应用.
1. 了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；
2. 理解以两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；
3. 运用上述公式进行简单的恒等变换，以引导学生推导半角公式，积化和差、和差化积公式（不要求记忆）作为基本训练，使学生进一步提高运用转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想，换元的思想，方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的应用.
二、编写意图与特色
1. 本章的内容分为两节：“两角和与差的正弦、余弦和正切公式”，“简单的三角恒等变换”，在学习本章之前我们学习了向量的相关知识，因此作者的意图是选择两角差的余弦公式作为基础，运用向量的知识来予以证明，降低了难度，使学生容易接受；
2. 本章是以两角差的余弦公式作为基础来推导其它的公式；
3. 本章在内容的安排上有明暗两条线，明线是建立公式，学会变换，暗线是发展推理和运算的能力，因此在本章全部内容的安排上，特别注意恰时恰点的提出问题，引导学生用对比、联系、化归的观点去分析、处理问题，强化运用数学思想方法指导设计变换思路的意识；
4. 本章在内容的安排上贯彻“删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末叶的内容”的理念，严格控制了三角恒等变换及其应用的繁、难程度，尤其注意不以半角公式、积化和差、和差化积公式作为变换的依据，而只把这些公式的推导作为变换的基本练习.
三、教学内容及课时安排建议
本章教学时间约8课时，具体分配如下：
3.1两角和与差的正弦、余弦、和正切公式 约3课时
3.2简单的恒等变换 约3课时
复习 约2课时
§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
一、课标要求：
本节的中心内容是建立相关的十一个公式，通过探索证明和初步应用，体会和认识公式的特征及作用.
二、编写意图与特色
本节内容可分为四个部分，即引入，两角差的余弦公式的探索、证明及初步应用，和差公式的探索、证明和初步应用，倍角公式的探索、证明及初步应用.
三、教学重点与难点
1. 重点：引导学生通过独立探索和讨论交流，导出两角和差的三角函数的十一个公式，并了解它们的内在联系，为运用这些公式进行简单的恒等变换打好基础；
2. 难点：两角差的余弦公式的探索与证明.
3.1.1 两角差的余弦公式
一、教学目标
掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础.
二、教学重、难点
1. 教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；
2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等.
三、学法与教学用具
1. 学法：启发式教学
2. 教学用具：多媒体
四、教学设想：
（一）导入：我们在初中时就知道 ，，由此我们能否得到大家可以猜想，是不是等于呢？
根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式
（二）探讨过程：
在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角的终边与单位圆的交点为，等于角与单位圆交点的横坐标，也可以用角的余弦线来表示，大家思考：怎样构造角和角？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.）
展示多媒体动画课件，通过正、余弦线及它们之间的几何关系探索与、、、之间的关系，由此得到，认识两角差余弦公式的结构.
思考：我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向量的知识来证明？
提示：1、结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？
2、怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？
展示多媒体课件
比较用几何知识和向量知识解决问题的不同之处，体会向量方法的作用与便利之处.
思考：，，再利用两角差的余弦公式得出
（三）例题讲解
例1、利用和、差角余弦公式求、的值.
解：分析：把、构造成两个特殊角的和、差.
点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：，要学会灵活运用.
例2、已知，是第三象限角，求的值.
解：因为，由此得
又因为是第三象限角，所以
所以
点评：注意角、的象限，也就是符号问题.
（四）小结：本节我们学习了两角差的余弦公式，首先要认识公式结构的特征，了解公式的推导过程，熟知由此衍变的两角和的余弦公式.在解题过程中注意角、的象限，也就是符号问题，学会灵活运用.
（五）作业：
（胡仕伟）
§3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
一、教学目标
理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用.
二、教学重、难点
1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用；
2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用.
三、学法与教学用具
学法：研讨式教学
四、教学设想：
（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式：
；．
这是两角和与差的余弦公式，下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢？
提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，这对我们解决今天的问题有帮助吗？
让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式.
．
让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手）
．
通过什么途径可以把上面的式子化成只含有、的形式呢？（分式分子、分母同时除以，得到．
注意：
以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推倒出两角差的正切公式呢？
注意：．
（二）例题讲解
例1、已知是第四象限角，求的值.
解：因为是第四象限角，得，
，
于是有
两结果一样，我们能否用第一章知识证明？
例2、利用和（差）角公式计算下列各式的值：
（1）、；（2）、；（3）、．
解：分析：解此类题首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象.
（1）、；
（2）、；
（3）、．
例3、化简
解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？
思考：是怎么得到的？，我们是构造一个叫使它的正、余弦分别等于和的.
小结：本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.
作业：
1、 已知求的值．（）
2、 已知，求的值．
（胡仕伟）
§3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式
一、教学目标
以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用.
二、教学重、难点
教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式；
教学难点：二倍角的理解及其灵活运用.
三、学法与教学用具
学法：研讨式教学
四、教学设想：
（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式，
；
；
．
我们由此能否得到的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中看成即可），
（二）公式推导：
；
；
思考：把上述关于的式子能否变成只含有或形式的式子呢？；
．
．
注意：
（三）例题讲解
例1、已知求的值．
解：由得．
又因为．
于是；
；．
例２、已知求的值．
解：，由此得
解得或．
（四）小结：本节我们学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.
（五）作业：
（胡仕伟）
3.2 简单的三角恒等变换（3个课时）
一、课标要求：
本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用．
二、编写意图与特色
本节内容都是用例题来展现的．通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．
三、教学目标
通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．
四、教学重点与难点
教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．
教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．
五、学法与教学用具
学法：讲授式教学
六、教学设想：
学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台．下面我们以习题课的形式讲解本节内容．
例1、试以表示．
解：我们可以通过二倍角和来做此题．
因为，可以得到；
因为，可以得到．
又因为．
思考：代数式变换与三角变换有什么不同？
代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点．
例２、求证：
（１）、；
（２）、．
证明：（１）因为和是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．
；．
两式相加得；
即；
（２）由（１）得①；设，
那么．
把的值代入①式中得．
思考：在例２证明中用到哪些数学思想？
例２ 证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．
例３、求函数的周期，最大值和最小值．
解：这种形式我们在前面见过，，
所以，所求的周期，最大值为２，最小值为．
点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．
小结：此节虽只安排一到两个课时的时间，但也是非常重要的内容，我们要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．
作业：
　　
《三角恒等变换》复习课（2个课时）
一、教学目标
进一步掌握三角恒等变换的方法，如何利用正、余弦、正切的和差公式与二倍角公式，对三角函数式进行化简、求值和证明：
二、知识与方法：
1. 11个三角恒等变换公式中，余弦的差角公式是其它公式的基础，由它出发，用-β代替β、±β代替β、α=β等换元法可以推导出其它公式。你能根据下图回顾推导过程吗？
2．化简，要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数尽量底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的求出值来；
3．求值，要注意象限角的范围、三角函数值的符号之间联系与影响，较难的问题需要根据上三角函数值进一步缩小角的范围。
4．证明是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边，或右边变同于，或都将左右进行变换使其左右相等。
5. 三角恒等变换过程与方法，实际上是对三角函数式中的角、名、形的变换，即（1）找差异：角、名、形的差别；（2）建立联系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间可以用哪个公式联系起来；（3）变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变形后运用或逆用公式，如升、降幂公式， cosα= cosβcos（α-β）- sinβsin（α-β），1= sin2α+cos2α，==tan（450+300）等。
例题
例1 已知sin（α+β）=，sin（α-β）=，求的值。
例2求值：cos24°﹣sin6°﹣cos72°
例3 化简（1）；（2）sin2αsin2β+cos2αcos2β-cos2αcos2β。
例4 设为锐角，且3sin2α+2sin2β=1，3sin2α-2sin2β=0，求证：α+2β=。
例5 如图所示，某村欲修建一横断面为等腰梯形的水渠，为降低成本，必须尽量减少水与水渠壁的接触面。若水渠断面面积设计为定值m，渠深8米。则水渠壁的倾角应为多少时，方能使修建的成本最低？
分析：解答本题的关键是把实际问题转化成数学模型，作出横断面的图形，要减少水与水渠壁的接触面只要使水与水渠断面周长最小，利用三角形的边角关系将倾角为和横断面的周长L之间建立函数关系，求函数的最小值
cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ
cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ
tan（α+β）=
tan（α-β）=
sin2α=2sinαcosα
cos2α=cos2α- sin2α
=2cos2α-1=1-2 sin2α
tan2α=
8
A
E D
B C第1章 三角函数
1.1任意角和弧度制
1.1.1任意角
农垦中学 刘国海
1、 教学目标：
1、知识与技能
（1）推广角的概念、引入大于角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；（3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表示方法；（5）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；（6）揭示知识背景，引发学生学习兴趣.（7）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识.
2、过程与方法
通过创设情境：“转体，逆（顺）时针旋转”，角有大于角、零角和旋转方向不同所形成的角等，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习.
3、情态与价值
通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识，即有正角、负角和零角之分.角的概念推广以后，知道角之间的关系.理解掌握终边相同角的表示方法，学会运用运动变化的观点认识事物.
二、教学重、难点
重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法.
难点: 终边相同的角的表示.
三、学法与教学用具
之前的学习使我们知道最大的角是周角,最小的角是零角.通过回忆和观察日常生活中实际例子,把对角的理解进行了推广.把角放入坐标系环境中以后,了解象限角的概念.通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法.我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示.另外还有相同终边角的集合的表示等.
教学用具:电脑、投影机、三角板
四、教学设想
【创设情境】
思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25
小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？
[取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角.
【探究新知】
1．初中时，我们已学习了角的概念，它是如何定义的呢？
[展示投影]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1.1-1，一条射线由原来的位置，绕着它的端点按逆时针方向旋转到终止位置，就形成角.旋转开始时的射线叫做角的始边，叫终边，射线的端点叫做叫的顶点.
2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体” （即转体2周），“转体”（即转体3周）等,都是遇到大于的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题 又该如何区分和表示这些角呢
[展示课件]如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角, 这些都说明了我们研究推广角概念的必要性. 为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角(positive angle),按顺时针方向旋转所形成的角叫负角(negative angle).如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角(zero angle).
[展示课件]如教材图1.1.3(1)中的角是一个正角,它等于；图1.1.3(2)中，正角，负角；这样，我们就把角的概念推广到了任意角（any angle）,包括正角、负角和零角. 为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角”或“”可简记为.
3.在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念.
角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角(quadrant angle).如教材图1.1-4中的角、角分别是第一象限角和第三象限角.要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角.
4.[展示投影]练习:
(1)(口答)锐角是第几象限角 第一象限角一定是锐角吗 再分别就直角、钝角来回答这两个问题.
(2)(回答)今天是星期三那么天后的那一天是星期几 天前的那一天是星期几 100天后的那一天是星期几
5.探究:将角按上述方法放在直角坐标系中后,给定一个角,就有唯一的一条终边与之对应.反之,对于直角坐标系中任意一条射线(如图1.1-5),以它为终边的角是否唯一 如果不惟一,那么终边相同的角有什么关系 请结合4.(2)口答加以分析.
[展示课件]不难发现,在教材图1.1-5中,如果的终边是,那么角的终边都是,而,.
设,则角都是的元素,角也是的元素.因此,所有与角终边相同的角,连同角在内,都是集合的元素；反过来，集合的任一元素显然与角终边相同.
一般地,我们有:所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合
,即任一与角终边相同的角,都可以表示成角与整数个周角的和.
6.[展示投影]例题讲评
例1. 例1在范围内，找出与角终边相同的角，并判定它是第几象限角.（注：是指）
例2.写出终边在轴上的角的集合.
例3.写出终边直线在上的角的集合,并把中适合不等式
的元素写出来.
7.[展示投影]练习
教材第3、4、5题.
注意: （1）；（2）是任意角（正角、负角、零角）；（3）终边相同的角不一定相等；但相等的角，终边一定相同；终边相同的角有无数多个，它们相差的整数倍.
8.学习小结
(1) 你知道角是如何推广的吗
(2) 象限角是如何定义的呢
(3) 你熟练掌握具有相同终边角的表示了吗 会写终边落在轴、轴、直
线上的角的集合.
五、评价设计
1．作业：习题1.1 A组第1,2,3题．
2．多举出一些日常生活中的“大于的角和负角”的例子，熟练掌握他们的表示，
进一步理解具有相同终边的角的特点．
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11.3.2 三角函数的图像与性质（4）
一、课题：正、余弦函数的值域（2）
二、教学目标：1.进一步掌握与正、余弦相关函数的值域的求法；
2.正、余弦函数的值域在应用题中的应用。
三、教学重、难点：与正、余弦函数值域相关的应用题的解法。
四、教学过程：
（一）复习：
练习：求下列函数的值域：
（1）；
（2）；
（3）．
（二）新课讲解：
1．三角函数模型的应用题
例1：如图，有一快以点为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形辟为绿地，使其一边落在半圆的直径上，另两点、落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为，如何选择关于点对称的点、的位置，可以使矩形的面积最大？
解：设，
则，，
∴，
∴当取得最大值时，取得最大值，
此时，，，
答：、应该选在离点处，才能使矩形的面积最大，最大面积为．
2．含字母系数的函数最值
例2：已知函数（）的最大值为，最小值为，求函数
的最大值和最小值。
解：（）
当时，， ①
当时，， ②
由①②得， ∴，
所以，当时，，当时，．
例3：已知函数的定义域是，值域是，求常数．
解：
∵，∴， ∴，
若，则当时函数取得最大值，当时函数取得最小值，
∴，解得：，
若时，则当时函数取得最大值，当时函数取得最小值，
∴，解得：， 所以，或．
五、小结：1．三角函数模型的应用题的解法；
2．函数字母系数的函数最值问题的解法。
六、作业：
补充：
1．求下列函数的值域：
（1）；
（2）；
（3）．
2．已知的定义域为，值域为，求．
3．如图，四边形是一个边长为米的正方形地皮，其中是一个半径为米的扇形小山，是弧上一点，其余部分都是平地，现一开发商想在平地上建造一个有边落在与上的长方形停车场，求长方形停车场面积的最大值、最小值。
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- 2 -1.2 任意角的三角函数
1.2.1任意角的三角函数(一)
农垦中学 刘国海
一、教学目标：
1、知识与技能
（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；（2）理解任意角的三角函数不同的定义方法；（3）了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；（4）掌握并能初步运用公式一；（5）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.
2、过程与方法
初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.引导学生把这个定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数.讲解例题，总结方法，巩固练习.
3、情态与价值
任意角的三角函数可以有不同的定义方法，而且各种定义都有自己的特点.过去习惯于用角的终边上点的坐标的“比值”来定义，这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广，有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数，但它对准确把握三角函数的本质有一定的不利影响，“从角的集合到比值的集合”的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系有冲突，而且“比值”需要通过运算才能得到，这与函数值是一个确定的实数也有不同，这些都会影响学生对三角函数概念的理解.
本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.这个定义清楚地表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了这两个函数之间的关系.
二、教学重、难点
重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.
难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解.
三、学法与教学用具
任意角的三角函数可以有不同的定义方法，本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.表明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了这两个函数之间的关系.
另外，这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接，数形结合更加紧密，这就为后续内容的学习带来方便，也使三角函数更加好用了.
教学用具:投影机、三角板、圆规、计算器
四、教学设想
第一课时 任意角的三角函数（一）
【创设情境】
提问：锐角O的正弦、余弦、正切怎样表示？
借助右图直角三角形，复习回顾.
引入：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。
数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗
如图,设锐角的顶点与原点重合,始边与轴的正半轴重合,那
么它的终边在第一象限.在的终边上任取一点,它与原点的距离.过作轴的垂线,垂足为,则线段的长度为,线段的长度为.则;
; .
思考：对于确定的角，这三个比值是否会随点在的终边上的位置的改变而改变呢？
显然，我们可以将点取在使线段的长的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：
; ; .
思考：上述锐角的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函数.
【探究新知】
1.探究:结合上述锐角的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢
显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点为圆心,以单位长度为半径的圆.
2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义
如图,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么:
(1)叫做的正弦(sine),记做,即；
（2）叫做的余弦(cossine),记做,即；
（3）叫做的正切(tangent),记做,即.
注意:当α是锐角时，此定义与初中定义相同（指出对边，邻边，斜边所在）；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点，从而就必然能够最终算出三角函数值.
3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢
前面我们已经知道,三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离,那么,,
.所以，三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数.
4.例题讲评
例1.求的正弦、余弦和正切值.
例2．已知角的终边过点，求角的正弦、余弦和正切值.
教材给出这两个例题，主要是帮助理解任意角的三角函数定义.我也可以尝试其他方法:
如例2:设则.
于是 ,,.
5.巩固练习第1,2,3题
6.探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表；再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中：
三角函数 定义域 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
角度制 弧度制
7．例题讲评
例3．求证：当且仅当不等式组成立时，角为第三象限角.
8.思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系
显然: 终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一:
(其中)
9.例题讲评
例4.确定下列三角函数值的符号,然后用计算器验证:
(1); (2); (3); (4)
例5.求下列三角函数值:
(1); (2); (3)
利用公式一,可以把求任意角的三角函数值, 转化为求到(或到)角的三角函数值. 另外可以直接利用计算器求三角函数值,但要注意角度制的问题.
10.巩固练习第4,5,6,7题
11.学习小结
(1)本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同
(2)你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗
(3)请写出各三角函数的定义域；
(4)终边相同的角的同一三角函数值有什么关系 你在解题时会准确熟练应用公式一吗
五、评价设计
1．作业：习题1.2 A组第1,2题．
2．比较角概念推广以后,三角函数定义的变化.思考公式一的本质是什么 要做到熟练应用.另外,关于三角函数值在各象限的符号要熟练掌握,知道推导方法.
第二课时 任意角的三角函数（二）
【复习回顾】
1、 三角函数的定义；
2、 三角函数在各象限角的符号；
3、 三角函数在轴上角的值；
4、 诱导公式（一）：终边相同的角的同一三角函数的值相等；
5、 三角函数的定义域.
要求：记忆.并指出，三角函数没有定义的地方一定是在轴上角，所以，凡是碰到轴上角时，要结合定义进行分析；并要求在理解的基础上记忆.
【探究新知】
1．引入：角是一个图形概念，也是一个数量概念（弧度数）.作为角的函数——三角函数是一个数量概念（比值），但它是否也是一个图形概念呢？换句话说，能否用几何方式来表示三角函数呢？
2．[边描述边画]以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆（注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米）.当角为第一象限角时，则其终边与单位圆必有一个交点，过点作轴交轴于点，则请你观察:
根据三角函数的定义：；
随着在第一象限内转动，、是否也跟着变化？
3．思考：（1）为了去掉上述等式中的绝对值符号，能否给线段、规定一个适当的方向，使它们的取值与点的坐标一致？
（2）你能借助单位圆，找到一条如、一样的线段来表示角的正切值吗？
我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角的终边不在坐标轴时,以为始点、为终点，规定：
当线段与轴同向时，的方向为正向，且有正值；当线段与轴反向时，的方向为负向，且有正值；其中为点的横坐标.这样,无论那种情况都有
同理,当角的终边不在轴上时,以为始点、为终点，规定：
当线段与轴同向时，的方向为正向，且有正值；当线段与轴反向
时，的方向为负向，且有正值；其中为点的横坐标.这样,无论那种情况都有
4.像这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段（direct line segment）.
5.如何用有向线段来表示角的正切呢
如上图,过点作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与的终边交于点,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段,我们有
我们把这三条与单位圆有关的有向线段,分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.
6.探究：（1）当角的终边在第二、第三、第四象限时，你能分别作出它们的正弦线、余弦线和正切线吗？
（2）当的终边与轴或轴重合时，又是怎样的情形呢？
7.例题讲解
例1．已知，试比较的大小.
处理:师生共同分析解答,目的体会三角函数线的用处和实质.
8.练习第1,2,3,4题
9学习小结
(1)了解有向线段的概念.
(2)了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来.
(3)体会三角函数线的简单应用.
【评价设计】
1． 作业：
比较下列各三角函数值的大小(不能使用计算器)
(1)、 （2）、 （3）、
2．练习三角函数线的作图.
y
P（a，b）
r
O M
a的终边
P(x,y)
O
x
y
O
x
y
a角的终边
P
T
M
A
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62.4 向量的数量积（2）
一、课题：向量数量积（2）
二、教学目标：
要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示，掌握向量垂直的坐标表示的充要条件。
三、教学重、难点：1．平面向量数量积的坐标表示及由其推出的重要公式；
2．向量数量积坐标表示在处理有关长度、角度、垂直问题中的应用。
四、教学过程：
（一）复习：
1．两平面向量垂直的充要条件；
2．两向量共线的坐标表示；
3．轴上单位向量，轴上单位向量，则：，，．
（二）新课讲解：
1．向量数量积的坐标表示：设 ，则，
∴.
从而得向量数量积的坐标表示公式：．
2．长度、夹角、垂直的坐标表示：
①长度： ；
②两点间的距离公式：若，则；
③夹角：；
④垂直的充要条件：∵，即
（注意与向量共线的坐标表示的区别）
3．例题分析：
例1 设，求．
解：．
例2 已知，求证是直角三角形。
证明：∵，
∴∴
所以，是直角三角形。
说明：两个向量的数量积是否为零，是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一。
例3 如图，以原点和为顶点作等腰直角，使，
求点和向量的坐标。
解：设，则，，
∵， ∴，
即：，
又∵， ∴， 即：，
由或，
∴，或， ．
例4 在中，，，求值。
解：当时，， ∴ ∴，
当时，，，
∴ ∴，
当时，，∴ ∴．
五、课堂练习 课本练习1，2．
六、小结：两向量数量积的坐标表示：长度、夹角、垂直的坐标表示。
七、作业： 课本习题5.7 第１，4，5题。
补充：已知，，
（1）求证： （2）若与的模相等，且，求的值。
B
B
B
O
A
PAGE
- 1 -第十八课时 函数y＝Asin(ωx＋)的图象(三)
教学目标：
会用“五点法”画y＝Asin(ωx＋)的图象，会用图象变换的方法画y＝Asin(ωx＋)的图象，会求一些函数的振幅、周期、最值等；数形结合思想的渗透，化归思想的渗透，提高数学素质.
教学重点：
1.“五点法”画y＝Asin(ωx＋)的图象；
2.图象变换过程的理解；
3.一些相关概念.
教学难点：
多种变换的顺序
教学过程：
Ⅰ.课题导入
y＝Asin(ωx＋)(其中A＞0，ω＞0，≠0)的图象又该如何得到
［例］画出函数y＝3sin(2x＋)，x∈R的简图.
解：(五点法)
由T＝，得T＝π
令X＝2x＋
列表：
x －
2x＋ 0 π 2π
3sin(2x＋) 0 3 0 －3 0
描点画图：
这种曲线也可由图象变换得到：
一般地，函数y＝Asin(ωx＋)，x∈R(其中A＞0，ω＞0)的图象，可以看作用下面的方法得到：
先把正弦曲线上所有的点向左(当＞0时)或向右(当＜0时)平行移动｜｜个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的倍(纵坐标不变)，再把所得各点的纵坐标伸长(当A＞1时)或缩短(当0＜A＜1时)到原来的A倍(横坐标不变).
注意一些物理量的概念：
A 称为振幅
T＝ 称为周期
f＝ 称为频率
ωx＋ 称为相位
x＝0时的相位 称为初相
Ⅲ.课堂练习
课本P42 1～6
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，要熟练掌握“五点法”画y＝Asin(ωx＋)的图象，理解图象变换法作图象的过程，体会它们之间的关系.进一步掌握三角函数的基本性质，解决一些实际问题.
Ⅴ.课后作业
课本P46 8
函数y＝Asin(ωx＋)的图象(三)
1．若函数y＝f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整个图象沿x轴向左平移 个单位，沿y轴向下平移1个单位，得到函数y＝sinx的图象，则有y＝f(x)是 ( )
A.y＝sin(2x＋)＋1 B.y＝sin(2x－)＋1
C.y＝sin(2x－)＋1 D.y＝sin(x＋)＋1
2．函数y＝3sin(2x＋)的图象，可由y＝sinx的图象经过下述哪种变换而得到( )
A.向右平移个单位，横坐标缩小到原来的倍，纵坐标扩大到原来的3倍
B.向左平移个单位，横坐标缩小到原来的倍，纵坐标扩大到原来的3倍
C.向右平移个单位，横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标缩小到原来的倍
D.向左平移个单位，横坐标缩小到原来的倍，纵坐标缩小到原来的倍
3．已知如图是函数y＝2sin(ωx＋)(｜｜＜)的图象，那么 ( )
A.ω＝，＝ B.ω＝，＝－
C.ω＝2，＝ D.ω＝2，＝－
4．已知函数y＝Asin(ωx＋)，在同一周期内，当x＝时函数取得最大值2，当x＝时函数取得最小值－2，则该函数的解析式为 ( )
A.y＝2sin(3x－) B.y＝2sin(3x＋)
C.y＝2sin(＋) D.y＝2sin(－)
5．已知函数y＝Asin(ωx＋)(A＞0，ω＞0，0＜＜2π)图象的一个最高点(2，)，由这个最高点到相邻最低点的图象与x轴交于点(6，0)，试求函数的解析式.
6．已知函数y＝Asin(ωx＋)(其中A＞0，｜｜＜)在同一周期内，当x＝时，y有最小值－2，当x＝时，y有最大值2，求函数的解析式.
7．已知函数f(x)＝ cos(2x＋) x∈［0，］.求f(x)的最大值，最小值.
函数y＝Asin(ωx＋)的图象(三)答案
1．B 2．B 3．C 4．B
5．已知函数y＝Asin(ωx＋)(A＞0，ω＞0，0＜＜2π)图象的一个最高点(2，)，由这个最高点到相邻最低点的图象与x轴交于点(6，0)，试求函数的解析式.
解：由已知可得函数的周期T＝4×(6－2)＝16
∴ω＝＝ 又A＝
∴y＝sin(x＋)
把(2，)代入上式得：＝sin(×2＋)·
∴sin( ＋)＝1，而0＜＜2π ∴＝
∴所求解析式为：y＝sin(x＋)
6．已知函数y＝Asin(ωx＋)(其中A＞0，｜｜＜)在同一周期内，当x＝时，y有最小值－2，当x＝时，y有最大值2，求函数的解析式.
分析：由y＝Asin(ωx＋)的图象易知A的值，在同一周期内，最高点与最低点横坐标之间的距离即 ，由此可求ω的值，再将最高(或低)点坐标代入可求.
解：由题意A＝2，＝－
∴T＝π＝，∴ω＝2 ∴y＝2sin(2x＋)又x＝时y＝2
∴2＝2sin(2×＋) ∴＋＝ (＜)
∴＝
∴函数解析式为：y＝2sin(2x＋)
7．已知函数f(x)＝ cos(2x＋) x∈［0，］.求f(x)的最大值，最小值.
解：∵0≤x≤.∴≤2x＋≤
当2x＋＝时,cos(2x＋)取得最大值；
当2x＋＝π时，cos(2x＋)取得最小值－1.
∴f(x)在［0，］上的最大值为1，最小值为－.
- 5 -第二课时 角的概念的推广(二)
教学目标：
熟练掌握象限角的集合、轴线角的集合及终边相同的角的表示方法.
教学重点：
轴线角的集合，终边相同的角的表示方法
教学难点：
终边相同的角的表示方法
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
请思考并回答以下问题：
1.正角、负角、零角、象限角、终边相同的角的表示方法是如何定义的？
2.角的定义只强调了射线绕端点旋转的方向，而没有谈及射线绕端点旋转的圈数，那么射线绕端点旋转的圈数对角有无影响？
3.能否说射线绕端点旋转的圈数越多，角就越大呢？
4.如图所示的∠ABC是第一象限角吗？为什么？
指出：①在角的定义里，射线绕端点旋转的圈数影响着角的
大小.②射线绕端点旋转的方向，若是逆时针方向旋转，则旋转圈
数越多，角越大；若顺时针方向旋转，则旋转圈数越多，角越小.③象限角概念中强调“角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合”这一条件.
Ⅱ.例题分析
［例1］写出终边在y轴上的角的集合(用0°到360°的角表示)
第一步：在0°到360°内找到满足上述条件的角，即90°、270°.
第二步：写出与上述角终边相同的角的集合，即
S1＝{β|β＝90°＋k·360°，k∈Z}
S2＝{β|β＝270°＋k·360°，k∈Z}
第三步：写出几个集合的并集，即
S＝S1∪S2＝{β|β＝90°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝270°＋k·360°，k∈Z}
＝{β|β＝90°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝90°＋(2k＋1)· 180°，k∈Z}
＝{β|β＝90°＋180°的偶数倍}∪{β|β＝90°＋180°的奇数倍}
＝{β|β＝90°＋180°的整数倍}＝{β|β＝90°＋n·180°，n∈Z}
能写出终边在x轴的非负半轴、非正半轴上的角的集合吗？
终边在x轴非负半轴上的角的集合为{x|x＝k·360°，k∈Z}，终边在x轴非正半轴上的角的集合为{x|x＝k·360°＋180°，k∈Z}.
以上两个集合的并集代表什么特殊位置上的角的集合呢？
［例2］写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β≤
720°的元素β写出来：
(1)60° （2）－21° （3）363°14′
第一步：利用终边相同的角的集合公式写出：
（1）S＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}
(2)S＝{β|β＝－21°＋k·360°，k∈Z}
(3)S＝{β|β＝363°14′＋k·360°，k∈Z}
第二步：在第一步的基础上，利用满足约束条件的不等式，对其中的k值，分别采用赋值法求解出元素β:
(1)－300°，60°，420°
(2)－21°，339°，699°
(3)－356°46′，3°14′，363°14′
题目中的k值是靠观测、试探确定的，即赋给k一个任意值m试一试，看是否满足条件，再将m增1或减1再试，直至找到合适的k的最小值（或最大值）.
［例3］若α是第三象限角，试求、的范围.
分析：依据象限角的表示法将α表示出来后，再确定、的范围，再进一步判断、所在的象限.
解：∵α是第三象限角
∴k·360°+180°＜α＜k·360°+270°(k∈Z)
(1)k·180°+90°＜＜k·180°+135°(k∈Z)
当k＝2n(n∈Z)时，n·360°+90°＜＜n·360°+135°
当k＝2n+1(n∈Z)时，n·360°+270°＜＜n·360°+315°
∴为第二或第四象限角.
(2)k·120°+60°＜＜k·120°+90°(k∈Z)
当k＝3n(n∈Z)时，n·360°+60°＜＜n·360°+90°(n∈Z)
当k＝3n+1(n∈Z)时，n·360°+180°＜＜n·360°+210°（n∈Z)
当k＝3n+2(n∈Z)时，n·360°+300°＜＜n·360°+330°(n∈Z)
∴为第一或第三或第四象限角.
Ⅲ.课堂练习
P7练习5
Ⅳ.课时小结
本节课的重点内容仍然是终边相同的角的集合表示，这是学习后续知识的基础，要予以足够的重视，若还有不明白的地方，请同学们再做进一步的讨论，或者提出来，老师再与你一块研究.
Ⅴ.课后作业
（一）P10习题 4、11、12.
（二）1.预习内容
课本P7~P8弧度制
2.预习提纲
弄清楚下列问题：
(1)弧度的单位符号
(2)1弧度的角的定义
(3)弧度制的定义
(4)角度与弧度的换算公式
角的概念的推广(二)
1．若α是第四象限角，则180°－α是 （ ）
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
2．设k∈Z，下列终边相同的角是 （ ）
A.（2k+1)·180°与（4k±1)·180° B.k·90°与k·180°+90°
C.k·180°+30°与k·360°±30° D.k·180°+60°与k·60°
3．若90°＜－α＜180°，则180°－α与α的终边 （ ）
A.关于x轴对称 B.关于y轴对称
C.关于原点对称 D.以上都不对
4．终边与坐标轴重合的角α的集合是 （ ）
A.{α|α＝k·360°，k∈Z} B.{α|α＝k·180°+90°，k∈Z}
C.{α|α＝k·180°，k∈Z} D.{α|α＝k·90°，k∈Z}
5．若角α与β终边重合，则有 （ ）
A.α－β＝180° B.α+β＝0
C.α－β＝k·360°（k∈Z） D.α+β＝k·360°（k∈Z）
6．若将时钟拨慢5分钟，则时针转了 度，分针转了 度.
7．若角α是第三象限角，则角的终边在 ，2α角的终边在 .
8．如果6α与30°角的终边相同，求适应不等式－180°＜α＜180°的角α的集合.
9．如果角α的终边经过点M（1，），试写出角α的集合A，并求集合A中最大的负角和绝对值最小的角.
10．已知0°＜θ＜360°，且θ角的7倍角的终边和θ角终边重合，求θ.
角的概念的推广(二)答案
1．C 2．A 3．B 4．D 5．C 6．2.5 30
7．第二或第四象限 第一或第二象限或终边在y轴的正半轴上
8．如果6α与30°角的终边相同，求适应不等式－180°＜α＜180°的角α的集合.
分析：由6α与30°角的终边相同，得出α的表达式是解题的关键.
解：由题意得
6α＝30°＋k·360°(k∈Z)
∴α＝5°＋k·60°
∵－180°＜α＜180°
∴－180°＜5°＋k·60°＜180°，－185°＜k·60°＜175°
∴－＜k＜
∵k是整数， ∴k＝－3，－2，－1，0，1，2.
分别代入α＝5°＋k·60°，得满足条件的α的集合为：
{－175°，－115°，－55°，5°，65°，125°}
9．如果角α的终边经过点M（1，），试写出角α的集合A，并求集合A中最大的负角和绝对值最小的角.
分析：关键是求出0°到360°范围内的角α.
解：在0°到360°范围内，由几何方法可求得α＝60°.
∴A＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}
其中最大的负角为－300°（当k＝－1时）
绝对值最小的角为60°（当k＝0时）
10．已知0°＜θ＜360°，且θ角的7倍角的终边和θ角终边重合，求θ.
由7θ＝θ＋k·360°，得θ＝k·60°（k∈Z）
∴θ＝60°，120°，180°，240°，300°
- 4 -1.2.3 三角函数的诱导公式（2）
一、课题：三角函数的诱导公式(2)
二、教学目标：1.引导学生利用公式一、二、三推导公式四、五；
2.在理解、记忆五组诱导公式的基础上，正确运用公式求任意角的三角函数值及对三角函数式的化简、证明；
3．加深理解化归思想。
三、教学重、难点：五组诱导公式的记忆、理解、运用。
四、教学过程：
（一）复习：
1．复习诱导公式一、二、三；
2．对“函数名不变，符号看象限”的理解。
（二）新课讲解：
1．公式推导：
我们继续推导公式：即的同名三角函数的关系。
（1）请学生自行仿上节课的推导方法得出它们的关系。
（2）启发学生讨论：能否根据诱导公式一、二、三推导出它们的关系。
[推导过程]；
；
；
．
[结论]诱导公式四：；
．
诱导公式五：；
．
说明：①公式二中的指任意角；
②在角度制和弧度制下，公式都成立；
③公式特点：函数名不变，符号看象限；
④可以导出正切：；．
2．五组诱导公式：
五组公式可概括如下：的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号。
说明：（1）要化的角的形式为（为常整数）；
（2）记忆方法：“函数名不变，符号看象限”；
（3）利用五组诱导公式就可以将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数。
其化简方向仍为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”。
3．例题分析：
例1 求下列三角函数值：（1）；（2）．
解：（1）；
（2）．
例2 化简：
（1）；
（2）．
解：（1）原式．
（2）原式
．
五、课堂练习：
六、小结：1．五组诱导公式的形式及记忆口诀“函数名不变，符号看象限”；
2．求任意角的三角函数值的一般步骤；
3．熟练运用公式化简、求值。
七、作业：
PAGE
- 2 -第一课时 角的概念的推广(一)
教学目标：
推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念，终边相同的角的表示方法；理解并掌握正角、负角、零角的定义，掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法；树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念.
教学重点：
理解并掌握正角、负角、零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法.
教学难点：
终边相同的角的表示.
教学过程：
Ⅰ.课题导入
有一块以点O为圆心的半圆空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B、C落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为a，如何选择关于点O对称的点A、D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大
分析：设OA＝t（0＜t＜a)，矩形的面积为S，则S＝２t，求S的最值即可.
将S＝2t两边平方，得S2＝4t2（a2－t2）.令y＝S2，x＝t2，则上式化为y＝4x（a2－x）， 是以x为自变量的二次函数，其最值不难求得.
这种转化的方法，是一种常用的解题策略，同学们要切记并灵活运用，且将此问题的解求出来，不过请同学们注意，求出的y的最值是不是就是矩形面积的最值呢？相应的x的值是不是就是A、D的位置呢
不是.求出y与x的值后，还须进一步确定S、t的值，才能确定A、D的位置.因为y、x、S、t都是正数，根据y与S的关系、x与t的关系，容易确定S、t的值.
分析二：设矩形的面积为S，∠AOB＝θ（0°＜θ＜90°），则AB＝asinθ，
OA＝acosθ，S＝asinθ·2acosθ＝a2·2sinθcosθ.求S的最值即可.
这个函数式的最值我们会求!但现在还不行，待我们再学习一些基础知识之后，这个问题便可迎刃而解，并且这个办法比法一要简便的多，下面我们就来学习、研究与我们生活密切相关的、解决问题十分便利的、并且在各门科学技术中有着广泛应用的重要的基础知识(板书课题).
Ⅱ.讲授新课
我们知道，角可以看作平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形，在P5图中，一条射线的端点是O，它从起始位置OA按逆时针方向旋转到终止位置OB，形成了一个角α，点O是角的顶点，射线OA、OB分别是角α的始边和终边.
我们规定：一条射线绕着它的端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.
为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以简记成“α”.
体操中转体720°(即转体两周).转体1080°(即转体三周)的动作名称；紧固螺丝时，扳手旋转所形成的角.
［师］这就是说角度可以不限于0°～３60°范围内，如750°(它实际上是射线OA绕端点O逆时针转过两圈再继续逆时针转了30°)；210°(射线OA绕端点O逆时针旋转了210°)，负角β＝－150°(射线OA绕端点O顺时针旋转了150°)，γ＝－660°(射线OA绕端点O顺时针转过一圈后再继续顺时针转了300°).
如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角，也就是说，零角的始边与终边重合，如果α是零角，那么α＝0°.
角的概念经过这样推广后，就包括正角、负角、零角.
今后，我们常在直角坐标系内讨论角，为此，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.
例如30°、390°、－330°都是第一象限角， 300°、－60°都是第四象限角，585°角是第三象限角，如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任一象限，称为轴线角.
在直角坐标系内，使三角板角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，之后，提问学生这是第几象限的角，是多少度的角，我们能否把这些角用一个集合表示出来呢 比如说，我们把这些角记为β，把β的集合记为S，那么S可以怎样表示呢
S＝｛β｜β＝k·360°＋60°，k∈Z｝
容易看出，所有与60°角终边相同的角，连同60°角在内，都是集合S的元素；反过来，集合S的任一元素，即集合S中的任意一个角显然与60°角终边相同.
我们再来考虑一下，是不是任意一个角，都与0°到360°内的某一个角终边相同呢
任意一个角都可以表示成0°到360°间的某一角与k（k∈Z）个周角的和，那么大家再看一下，角390°、－330°、585°、－60°它们分别与0°到360°间的哪个角终边相同，用0°到360°的角表示它们该怎样表示呢
［生］390°＝360°＋30°
－330°＝－360°＋30°
585°＝360°＋225°
－60°＝－360°＋300°
［师］一般地，我们有：
所有与角α终边相同的角，连同角α在内可构成一个集合
S＝｛β｜β＝k·360°＋α，k∈Z｝
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成α与整数个周角的和.
Ⅲ.例题分析
［例1］在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角.
(1)－120° （2）240° （3）－950°12′
解：(1)－120°＝－360°＋240°
所以与－120°角终边相同的角是240°角，它是第三象限角.
(2)640°＝360°＋280°
所以与640°角终边相同的角是280°角，它是第四象限角.
(3)－950°12′＝（－3）×360°＋129°48′
所以与－950°12′终边相同的角是129°48′，它是第二象限角.
Ⅳ.课堂练习
P7练习 1、2、3、4.
Ⅴ.课时小结
为了解决实际问题的需要，本节课我们开始学习数学学科中的一门基础知识：三角函数.本节课我们学习推广了角的概念，学习了正角、负角、零角的定义，象限角的概念以及终边相同的角的表示方法，注意：正角、负角是用射线绕端点的旋转方向定义的，零角是射线没有做任何旋转.一个角是第几象限角，关键是看这个角的终边落在第几象限，终边相同的角的表示有两方面的内容：
一、与角α终边相同的角，这些角的集合为S＝｛β｜β＝k·360°＋α，k∈Z｝；
二、在0°到360°内找与已知角终边相同的角α，其方法是，用所给角除以360°，所得的商为k，余数为α(α为正数)，α即为所找的角.
Ⅵ.课后作业
（一）P10习题1.1 1、2、5、10.
（二）预习内容：课本P6例2
角的概念的推广(一)
1．下列命题中的真命题是 （ ）
A.三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B.第一象限的角是锐角
C.第二象限的角比第一象限的角大 D.角α是第四象限角2kπ－＜α＜2π(k∈Z)
2．A＝{小于90°的角}，B＝{第一象限的角}，则A∩B等于 （ ）
A.{小于90°的角} B.{第一象限的角}
C.{锐角} D.以上都不对
3．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，下列四个命题：①A＝B＝C ②AC ③CA ④A∩C＝B，其中正确的命题个数为 （ ）
A.0个 B.2个 C.3个 D.4个
4．若α是第一象限角，则下列各角中第四象限角的是 （ ）
A.90°－α B.90°+α C.360°－α D.180°+α
5．若－540°＜α＜－180°且α与40°角的终边相同，则α＝ .
6．终边落在x轴负半轴的角α的集合为 .
7．与－1178°的终边相同且绝对值最小的角是 .
8．经过5小时25分钟，时钟的时针和分针各转了多少度？
9．求－720°和360°之间与－756°角终边相同的角.
10．求与－1692°终边相同的最大负角是多少？
角的概念的推广(一)答案
1．D 2．D 3．A 4．C 5．－320° 6．180°＋ k·360°（k∈Z） 7．－98°
8．分析：依据已知条件先求出时针和分针每小时转动的角度，进而求出问题的结果.
解：∵时针12小时转－360°，
∴时针每小时转－360°÷12＝－30°.
∴时针转动的角度为：5·（－30°)＝－162.5°，
∵分针每小时转－360°，∴分针转动的角度为
5·（－360°)＝－1950°
9．分析：依据已知条件先写出终边相同的角的一般形式，再通过解不等式求出k的值.
解：∵－765°＝－2×360°－36°
∴与－765°角终边相同的角为
α＝k·360°－36°（k∈Z)(*)
∴－720°＜k·360°－36°＜360°（k∈Z）.
∴－＜k＜ (k∈Z）
∴k＝－1，0，1
分别代入（*）式得
α＝－396°，－36°，324°
∴－396°，－36°，324°为所求的角.
10．与－1692°终边相同的角为α＝－1692°+k·360°，k∈Z，当k＝4时，
取得最大负角－252°.
- 5 -第四课时 向量的数乘(一)
教学目标：
掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义，掌握实数与向量的积的运算律，理解两个向量共线的条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行.
教学重点：
实数与向量积的定义；实数与向量积的运算律；
教学难点：
对向量共线的理解.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
前面两节课，我们一起学习了向量加减法运算.这一节，我们将在加法运算基础上研究相同向量和的简便计算及其推广.
Ⅱ.讲授新课
在代数运算中，a＋a＋a＝3a，故实数乘法可以看成是相同实数加法的简便计算方法，所以相同向量的求和运算也有类似的简便计算.
已知非零向量a，我们作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a).
由图可知，＝＋＋＝a＋a＋a，我们把a＋a＋a记作3a，即＝3a，显然3a的方向与a的方向相同，3a的长度是a的长度的3倍，即｜3a｜＝3｜a｜.
同样，由图可知，＝＋＋＝(－a)＋(－a)＋(－a)，我们把(－a)＋(－a)＋(－a)记作－3a，即＝－3a，显然－3a的方向与a的方向相反，－3a的长度是a的长度的3倍，即｜－3a｜＝3｜a｜.
上述过程推广后即为实数与向量的积.
1.实数与向量的积
实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：
(1)｜λa｜＝｜λ｜｜a｜
(2)当λ＞0时，λ a与a同向；当λ＜0时，λ a与a反向；当λ＝0时，λ a＝0.
根据实数与向量的积的定义，我们可以验证下面的运算律.
2.实数与向量的积的运算律
(1)λ (μa)＝(λμ)a
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa
(3)λ (a＋b)＝λa＋λb
说明：对于运算律的验证要求学生通过作图来进行.
3.向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b＝λa.
说明：(1)推证过程引导学生自学；
(2)可让学生思考把“非零向量”的“非零”去掉后，是否正确，目的是通过0与任意向量的平行来加强学生对于充要条件的认识.
下面我们通过例题分析来进一步熟悉向量与实数积的定义、运算律及两向量共线的充要条件的应用.
［例1］若3m＋2n＝a，m－3n＝b，其中a，b是已知向量，求m，n.
分析：此题可把已知条件看作向量m、n的方程，通过方程组的求解获得m、n.
解：记3m＋2n＝a ①
m－3n＝b ②
3×②得3m－9n＝3b ③
①－③得11n＝a－3b.
∴n＝a－b ④
将④代入②有：m＝b＋3n＝a＋b
评述：在此题求解过程中，利用了实数与向量的积以及它所满足的交换律、结合律，从而解向量的二元一次方程组的方法与解实数的二元一次方程组的方法一致.
［例2］凸四边形ABCD的边AD、BC的中点分别为E、F，求证＝ (＋).
证法一：构造三角形，使EF作为三角形中位线，借助于
三角形中位线定理解决.
过点C在平面内作＝，则四边形ABGC是平行
四边形，故F为AG中点.
∴EF是△ADG的中位线，
∴EFDG，∴＝.
而＝＋＝＋，
∴＝ (＋).
证法二：创造相同起点，以建立向量间关系
如图，连EB，EC，则有＝＋，
＝＋，又∵E是AD之中点，
∴有＋＝0.
即有＋＝＋；
以与为邻边作平行四边形EBGC，则由F是BC之中点，可得F也是EG之中点.
∴＝＝ (＋)＝ (＋)
Ⅲ.课堂练习
课本P66练习1，2，3，4.
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，要求大家掌握实数与向量的积的定义，掌握实数与向量的积的运算律，理解两个向量共线的充要条件，并能在解题中加以运用.
Ⅴ.课后作业
课本P68习题 5，6，7
- 1 -1.3.4 函数的解析式
一、课题：函数的解析式
二、教学目标：1．会根据函数图象写出解析式；
2．能根据已知条件写出中的待定系数．
三、教学重、难点：1．根据函数图象写解析式；
2．根据已知条件写出中的待定系数．
四、教学过程：
（一）复习：由函数的图象到的图象的变换方法：
（方法一）：先移相位，再作周期变换，再作振幅变换；
（方法二）：先作周期变换，再作相位变换，再作振幅变换。
（二）新课讲解：
1．根据函数图象求解析式
例1：已知函数（，）一个周期内的函数图象，如下图
所示，求函数的一个解析式。
解：由图知：函数最大值为，最小值为，
又∵，∴，
由图知
∴，∴，
又∵，
∴图象上最高点为，
∴，即，可取，
所以，函数的一个解析式为．
2．由已知条件求解析式
例2： 已知函数（，，）的最小值是，
图象上相邻两个最高点与最低点的横坐标相差，且图象经过点，求这
个函数的解析式。
解：由题意：，
， ∴，
∴， ∴，
又∵图象经过点， ∴， 即，
又∵， ∴，
所以，函数的解析式为．
例3：已知函数（，，）的最大值为，
最小值为，周期为，且图象过点，求这个函数的解析式。
解：，
又∵， ∴，
∴，
又∵图象过点，
∴， ∴，
又∵，∴或，
所以，函数解析式为或．
五、小结：1．由已知函数图象求解析式；
2．由已知条件求解析式。
六、作业：补充：
1．已知函数（，，）的周期是，最小值是，且图象过点，求这个函数的解析式；
2．函数（，，）的最小值是，其图象相邻的最高点和最低点的横坐标的差是，又图象经过点，求这个函数的解析式。
3．如图为函数（，）的图象中的一段，根据图象求它的解析式。
–
–
–
–
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- 2 -第十课时 平面向量的数量积及运算律(二)
教学目标：
掌握平面向量数量积运算规律，能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题，掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.
教学重点：
平面向量数量积及运算规律.
教学难点：
平面向量数量积的应用.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
上一节，我们一起学习向量数量积的定义，并一起由定义推证了5个重要性质，并得到了三个运算律，首先我们对上述内容作一简要回顾.
这一节，我们通过例题分析使大家进一步熟悉数量积的定义、性质、运算律，并掌握它们的应用.
Ⅱ.讲授新课
［例1］已知：｜a｜＝3，｜b｜＝6，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a·b.
分析：由数量积的定义可知，它的值是两向量的模与它们夹角余弦值的乘积，只要能求出它们的夹角，就可求出a·b.
解：①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角＝0°，∴a·b＝｜a｜｜b｜cos0°＝3×6×1＝18；
若a与b反向，则它们的夹角θ＝180°，
∴a·b＝｜a｜｜b｜cos180°＝3×6×(－1)＝－18；
②当a⊥b时，它们的夹角θ＝90°，
∴a·b＝0；
③当a与b的夹角是60°时，有
a·b＝｜a｜｜b｜cos60°＝3×6×＝9
评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当a∥b时，有0°或180°两种可能.
［例2］已知a、b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角.
分析：要求a与b的夹角，只要求出a·b与｜a｜，｜b｜即可.
解：由已知(a＋3b)⊥(7a－5b)(a＋3b)·(7a－5b)＝07a2＋16a·b－15b2＝0 ①
又(a－4b)⊥(7a－2b)(a－4b)·(7a－2b)＝07a2－30a·b＋8b2＝0 ②
①－②得：46a·b＝23b2
即有a·b＝b2＝｜b｜2，
将它代入①可得：
7｜a｜2＋8｜b｜2－15｜b｜2＝0
即｜a｜2＝｜b｜2有｜a｜＝｜b｜
∴若记a与b的夹角为θ，
则cosθ＝＝ eq \f(｜b｜2,｜b｜｜b｜) ＝
又θ∈［0°，180°］，∴θ＝60°
所以a与b的夹角为60°.
［例3］四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，＝d，且a·b＝b·c＝c·d＝d·a，试问四边形ABCD是什么图形
分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量.
解：四边形ABCD是矩形，这是因为：
一方面：∵a＋b＋c＋d＝0，
∴a＋b＝－(c＋d)，
∴(a＋b)2＝(c＋d)2
即｜a｜2＋2a·b＋｜b｜2＝｜c｜2＋2c·d＋｜d｜2
由于a·b＝c·d，
∴｜a｜2＋｜b｜2＝｜c｜2＋｜d｜2 ①
同理有｜a｜2＋｜d｜2＝｜c｜2＋｜b｜2 ②
由①②可得｜a｜＝｜c｜，且｜b｜＝｜d｜即四边形ABCD两组对边分别相等.
∴四边形ABCD是平行四边形
另一方面，由a·b＝b·c，有b·(a－c)＝0，而由平行四边形ABCD可得a＝－c，代入上式得b·(2a)＝0
即a·b＝0，∴a⊥b也即AB⊥BC.
综上所述，四边形ABCD是矩形.
评述：(1)在四边形中，，，，是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即a＋b＋c＋d＝0，应注意这一隐含条件应用；
(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系.
［例4］已知｜a｜＝2，｜b｜＝5，a·b＝－3，求｜a＋b｜，｜a－b｜.
解：∵｜a＋b｜2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝22＋2×(－3)＋52＝23
∴｜a＋b｜＝，∵(｜a－b｜)2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝22－2×(－3)＋52＝35，
∴｜a－b｜＝.
［例5］已知｜a｜＝8，｜b｜＝10，｜a＋b｜＝16，求a与b的夹角θ.
解：∵(｜a＋b｜)2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝｜a｜2＋2｜a｜｜b｜cosθ＋｜b｜2
∴162＝82＋2×8×10cosθ＋102， ∴cosθ＝，∴θ≈55°
［例6］在△ABC中，＝a，＝b，且a·b＜0，则△ABC的形状是 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不能确定
分析：此题主要考查两向量夹角的概念，应避免由a·b＝｜a｜｜b｜cosB＜0得cosB＜0，进而得B为钝角，从而错选C.
解：由两向量夹角的概念，
a与b的夹角应是180°－B
∵a·b＝｜a｜｜b｜cos(180°－B)＝－｜a｜｜b｜cosB＜0
∴cosB＞0
又因为B∈(0°，180°)所以B为锐角.
又由于角B不一定最大，
故三角形形状无法判定. 所以应选D.
［例7］设e1、e2是夹角为45°的两个单位向量，且a＝e1＋2e2，b＝2e1＋e2，
试求：｜a＋b｜的值.
分析：此题主要考查学生对单位向量的正确认识.
解：∵a＋b＝(e1＋2e2)＋(2e1＋e2)＝3(e1＋e2)，
∴｜a＋b｜＝｜3(e1＋e2)｜＝3｜(e1＋e2)｜＝3
＝3＝3
＝3.
［例8］设｜m｜＝2，｜n｜＝1，向量m与n的夹角为，若a＝4m－n，b＝m＋2n，c＝2m－3n，求a2＋3(a·b)－2(b·c)＋1的值.
解：∵｜m｜＝2，｜n｜＝1且m⊥n，
∴m2＝｜m｜2＝4，
n2＝｜n｜＝1，m·n＝0.
∴a2＋3(a·b)－2(b·c)＋1
＝(4m－n)2＋3(4m－n)·(m＋2n)－2(m＋2n)·(2m－3n)＋1
＝16m2－8m·n＋n2＋12m2＋24m·n－3n·m－6n2－4m2－6m·n－8n·m＋12n2＋1
＝24m2＋7n2＋1＝104.
Ⅲ. 课时小结
通过本节学习，要求大家掌握平面向量数量积的运算规律，掌握两个向量共线、垂直的几何判断，能利用数量积的5个重要性质解决相关问题.
Ⅳ. 课后作业
课本P83习题 4，7
平面向量的数量积及运算律
1．设a，b，c为任意非0向量，且相互不共线，则真命题为 （ ）
（1）（a·b）·c－(c·a)·b＝0 （2）|a|－|b|＜|a－b|
（3）(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直 （4）（3a+2b)(3a－2b)=9|a|2－4|b|2
A.（2）（4） B.（2）（3） C.（1）（2） D.（3）（4）
2．已知|a|＝3，|b|＝4，（a＋b）·（a＋3b）＝33，则a与b的夹角为 （ ）
A.30° B.60° C.120° D.150°
3．△ABC中，＝a，＝b，且a·b＞0，则△ABC为 （ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
4．已知等边△ABC的边长为1，且＝a，＝b，＝c，则a·b＋b·c＋c·a等于 （ ）
A.－ B. C.0 D.
5．已知|a|2＝1，|b|2＝2，（a－b)⊥a，则a与b的夹角为 （ ）
A.60° B.90° C.45° D.30°
6．设e1，e2是两个单位向量，它们的夹角为60°，则（2e1－e2）（3e1＋2e2）＝ .
7．已知| i |＝| j |＝1，i·j＝0，且a＋b＝2i－8j，a－b＝8i＋16j，求a·b＝ .
8．已知|a|＝3，|b|＝5，如果a∥b，则a·b＝ .
9．已知a，b，c两两垂直，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，求r＝a＋b＋c的长及它与a，b，c的夹角的余弦.
10．设a，b为两个相互垂直的单位向量，是否存在整数k，使向量m＝ka＋b与n＝a＋kb的夹角为60°，若存在，求k值；若不存在，说明理由.
11．非零向量（a＋3b)⊥(2a－b)，(a－2b)⊥(2a＋b)，求向量a与b夹角的余弦值.
平面向量的数量积及运算律答案
1．A 2．C 3．C 4．A 5．C 6． 7．－63 8．±15
9．已知a，b，c两两垂直，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，求r＝a＋b＋c的长及它与a，b，c的夹角的余弦.
解：|r|＝|a＋b＋c|＝
＝＝
设a＋b＋c与a、b、c的夹角分别为θ1，θ2，θ3
则cosθ1＝＝
同理cosθ2＝＝，cosθ3＝.
10．设a，b为两个相互垂直的单位向量，是否存在整数k，使向量m＝ka＋b与n＝a＋kb的夹角为60°，若存在，求k值；若不存在，说明理由.
解：∵|a|＝|b|＝1，又a·b＝0
m·n＝(ka＋b)·(a＋kb)＝2k，
又|m|＝，|n|＝
若cos60°＝＝＝
∴k2＋4k＋1＝0
∵k＝2±Z，∴不存在.
11．
- 5 -2.4 向量的数量积（2）
一、课题：向量的数量积
二、教学目标：要求学生掌握平面向量数量积的运算律，明确向量垂直的充要条件。
三、教学重、难点：向量数量积的运算律和运算律的理解；
四、教学过程：
（一）复习：
1．平面向量数量积（内积）的定义及其几何意义、性质；
2．判断下列各题正确与否：
①若，则对任一向量，有； ( √ )
②若，则对任一非零向量，有； ( × )
③若，，则； ( × )
④若，则至少有一个为零向量； ( × )
⑤若，则当且仅当时成立； ( × )
⑥对任意向量，有． ( √ )
（二）新课讲解：
1．交换律：
证：设夹角为，则，
∴．
2．
证：若，，
， ，
若，，
，
．
3．．
在平面内取一点，作, ，，
∵（即）在方向上的投影等于
在方向上的投影和，
即：
∴，
∴ 即：．
4． 例题分析：
例1 已知都是非零向量，且与垂直，与垂直，求与的夹角。解：由题意可得： ①
②
两式相减得：， 代入①或②得：，
设的夹角为，则
∴，即与的夹角为．
例2求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和。
证明：如图： ABCD，，，，
∴，
而，
∴，
所以， + = = ．
例3 为非零向量，当的模取最小值时，
①求的值； ②求证：与垂直。
解：①，
∴当时, 最小；
②∵，
∴与垂直。
例4 如图，是的三条高，求证：相交于一点。
证：设交于一点，,
则
∵
∴得，
即， ∴，
又∵点在的延长线上，∴相交于一点。
五、小结：数量积的运算律和垂直充要条件的应用。
六、作业： 课本 习题5.6 第2，4题。
补充：1．向量的模分别为，的夹角为，求的模；
2．设是两个不相等的非零向量，且，求与的夹角。
3．设，是相互垂直的单位向量，求．
H
F
E
D
C
B
A
D C
A B
C
B1
A1
O
B
A
2
1
PAGE
- 1 -平面向量总复习题
一、选择题
1.两个非零向量的模相等是两个向量相等的什么条件
A.充分不必要 B.必要不充分
C.充要 D.既不充分也不必要
答案：B
2.当|a|＝|b|≠0且a、b不共线时，a＋b与a－b的关系是
A.平行 B.垂直
C.相交但不垂直 D.相等
解析：∵（a＋b）·（a－b）＝a 2－b2＝|a|2－|b|2＝0，∴（a＋b）⊥（a－b）．
答案：B
3.下面有五个命题，其中正确的命题序号为
①单位向量都相等；②长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量；③若a，b满足|a|＞|b|且a与b同向，则a＞b；④由于零向量方向不确定，故0不能与任何向量平行；⑤对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋| b |
A.①②③ B.⑤
C.③⑤ D.①⑤
解析：①单位向量方向不确定，故不一定相等，所以命题①错误；
②方向相反的向量一定是共线向量，故命题②错误；
③两向量不能比较大小，故命题③错误；
④0与任意向量平行，故命题④错误；
⑤命题⑤正确.
答案：B
4.下列四式中不能化简为的是（ ）
A.
B.
C.
D.
解析：A选项中，
B选项中，＝0，，＋0＝
C选项中，＝0，－＋0＝＋0＝．
D选项中，，（∵）
答案：D
5.已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c，则a＋b＋c的模等于（ ）
A.0 B.2＋ C. D.2
解析：∵，∴a＋b＝c，∴a＋b＋c＝2c，∴|2c|＝2.
答案：D
6.如图所示，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则下列等式中不正确的是
A. B.＝0
C. D.
答案：D
7.已知a，b为非零向量，|a＋b|＝|a－b|成立的充要条件是
A.a∥b B.a，b有共同的起点
C.a与b的长度相等 D.a⊥b
解析：|a＋b|＝|a－b||a＋b|2＝| a－b|2（a＋b）2＝（a－b）2a2＋2a·b＋b2a2－2 a·b＋b2a·b＝0a⊥b
答案：D
8.下面有五个命题，其中正确命题的序号是
①|a|2＝a2；②；③（a·b）2＝a2·b2；④（a－b）2＝a 2－2a·b＋b 2；⑤若a·b＝0，则a＝0或b＝0
A.①②③ B.①④
C.②④ D.②⑤
解析：②
③（a·b）2＝（| a ||b|cosα）2＝| a |2|b|2cos2α，a 2·b2＝| a |2·|b|2,∴(a·b)2≠a2·b 2
⑤若a·b＝0，则a＝0或b＝0或a⊥b且a≠0，b≠0.
答案：B
9.若点P分有向线段成定比为3∶1，则点P1分有向线段所成的比为
A.－ B.－ C.－ D.－
解析：∵，则点P1分有向线段所成的比为－.
答案：A
10.已知点A（x，5）关于点C（1，y）的对称点是B（－2，－3），则点P（x，y）到原点的距离是
A.4 B. C. D.
解析：由中点坐标公式可得，解得x＝4，y＝1，
再由两点间距离公式得.
答案：D
11.将点（a，b）按向量a＝（h，k）平移后，得到点的坐标为
A.（a－h，b＋k） B.（a－h，b－k）
C.（a＋h，b－k） D.（a＋h，b＋k）
解析：设平移后点的坐标为（x′，y′），则根据平移公式可得，∴
答案：D
12.点A（2，0），B（4，2），若|AB|＝2|AC|，则点C坐标为
A.（－1，1） B.（－1，1）或（5，－1）
C.（－1，1）或（1，3） D.无数多个
解析：由题意|AB|＝，
∴|AC|＝.
故点C分布在以点A为圆心，半径为的圆上，故点C坐标有无数多个.
答案：D
13.将曲线f（x，y）＝0按向量a＝（h，k）平移后，得到的曲线的方程为
A.f（x－h，y＋k）＝0 B.f（x－h，y－k）＝0
C.f（x＋h，y－k）＝0 D.f（x＋h，y＋k）＝0
解析：设平移后曲线上任意一点坐标为（x′，y′），则根据平移公式可得，
∴
又f（x，y）＝0，∴f（x′－h，y′－k）＝0
即f（x－h，y－k）为平移后曲线方程.
答案：B
14.设P点在x轴上，Q点在y轴上，PQ的中点是M（－1，2），则|PQ|等于（ ）
A.4 B.2 C.5 D.2
解析：由题意设P（x，0），Q（0，y），由中点坐标公式可得＝－1，＝2
解得x＝－2，y＝4，
∴|PQ|＝.
答案：B
15.下列命题中，正确的是
A.|a·b|＝| a |·|b|
B.若a⊥（b－c），则a·b＝a·c
C.a2＞|a|
D.a（b·c）＝（a·b）c
解析：A．a·b＝|a||b|cosα，|a·b|＝|a||b||cosα|≠| a ||b|
B.若a＝0，则a·b＝a·c，
若b－c＝0，即b＝c，a·b＝a·c；
若a≠0，且b－c≠0，由a⊥（b－c），得a·（b－c）＝0.
∴a·b－a·c＝0，∴a·b＝a·c，故B正确.
C.若|a|＝0或1，则a2＝|a|.
D.向量的数量积不满足结合律.
答案：B
16.函数y＝4sin2x的图象可以由y＝4sin（2x－）的图象经过平移变换而得到，则这个平移变换是
A.向左平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
解析：∵用x－替换掉函数y＝4sin2x中的x可得y＝4sin2（x－）＝4sin（2x－），
故可将原函数图象向左平移个单位得到.
答案：A
17.已知m，n是夹角为60°的两个单位向量，则a＝2m＋n和b＝－3m＋2n的夹角是
A.30° B.60° C.120° D.150°
解析：∵m·n＝|m||n|cos60°＝，
∴|a|＝，|b|＝
∴a·b＝（2 m＋n）（－3m＋2 n）＝－6 m 2＋2 n2＋m·n＝－6＋2＋＝－
∴cosα＝，∴α＝120°
答案：C
18.将函数y＝的图象按a平移后，函数解析式为y＝－1，则a等于（ ）
A.（－2，1） B.（2，－1）
C.（1，－1） D.（－1，1）
解析：y＝－1，即y＋1＝
∴用x－2，y＋1分别替换了原函数解析式中的x，y
即，∴即
∴a＝（2，－1）
答案：B
19.在直角三角形中，A、B为锐角，则sinA·sinB
A.有最大值和最小值0
B.有最大值，但无最小值
C.既无最大值，也无最小值
D.有最大值1，但无最小值
解析：∵△ABC为直角三角形，∴B＝－A
∴sinA·sinB＝sinA·sin（－A）＝sinA·cosA＝sin2A
当A＝B＝时，有最大值，但无最小值.
答案：B
20.α、β是锐角三角形的三个内角，则
A.cosα＞sinβ且cosβ＞sinα
B.cosα＜sinβ且cosβ＜sinα
C.cosα＞sinβ且cosβ＜sinα
D.cosα＜sinβ且cosβ＞sinα
解析：∵α、β是锐角三角形两内角，
∴α＋β＞，∴＞α＞－β＞0，
∴sinα＞sin（－β）
即sinα＞cosβ，同理sinβ＞cosα
答案：B
21.在△ABC中，sinA＜sinB是A＜B的
A.充分不必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：由正弦定理可得，∴
由sinA＜sinB可得a＜b
根据三角形小边对小角可得A＜B，反之由A＜B也可推得sinA＜sinB
故sinA＜sinB是A＜B的充要条件.
答案：C
22.在△ABC中，tanA·tanB＞1，则△ABC为
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不能确定
解析：∵tanA·tanB＞1＞0，又∵A、B不可能同时为钝角，∴tanA＞0，tanB＞0，
∴tan（A＋B）＝＜0，
∴90°＜A＋B＜180°，∴0°＜C＜90°，
∴△ABC为锐角三角形.
答案：A
23.在△ABC中，A、B、C相应对边分别为a、b、c，则acosB＋bcosA等于
A.2cosC B.2sinC
C. D.c
解析：由正弦定理得：＝2R
得a＝2RsinA，b＝2RsinB
∴acosB＋bcosA＝2RsinAcosB＋2RcosAsinB＝2Rsin（A＋B）＝2RsinC＝c
答案：D
24.在△ABC中，已知cosA＝，sinB＝，则cosC等于
A. B. C.或 D.－
解析：由sinB＝，得
cosB＝±＝±
但当cosB＝－，cosA＋cosB＜0，C无解
∴cosC＝cos［180°－（A＋B）］＝－cos（A＋B）
＝－（cosAcosB－sinAsinB）
＝sinAsinB－cosBcosA＝··
答案：A
25.在不等边△ABC中，a为最大边，如果a2＜b2＋c2，则A的取值范围是（ ）
A.90°＜A＜180° B.45°＜A＜90°
C.60°＜A＜90° D.0°＜A＜90°
解析：∵a2＜b2＋c2，∴b2＋c2－a2＞0，
∴cosA＝＞0，∴A＜90°，
又∵a边最大，∴A角最大
∵A＋B＋C＝180°，∴3A＞180°，
∴A＞60°，∴60°＜A＜90°
答案：C
26.已知点A分的比为2，下列结论错误的是
A.B分的比为－ B.C分的比为－3
C.A分的比为2 D.C分的比为－
解析：数形结合可得C选项错误.
答案：C
27.在△ABC中，若B＝30°，AB＝2，AC＝2，则△ABC的面积为
A.2 B.
C.2或 D.2或4
解析：sinC＝，
∴C＝60°或120°，∴A＝90°或30°
∴S△ABC＝AB·AC·sinA＝2或.
答案：C
28.在△ABC中，若sinB·sinC＝cos2，则△ABC是
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
解析：∵sinB·sinC＝
又cosA＝cos［180°－（B＋C）］＝－cos（B＋C）＝－（cosBcosC－sinBsinC）
∴2sinBsinC＝1－cosBcosC＋sinBsinC，
∴cosBcosC＋sinBsinC＝1
∴cos（B－C）＝1，∴B＝C，
∴△ABC是等腰三角形.
答案：A
二、解答题
1.设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝2e1＋k e 2，＝e1＋3 e 2，＝2e1－e 2，若A、B、D三点共线，求k的值.
分析：由于A、B、D三点共线，因此存在实数λ，使＝λ，而＝－＝e 1－4e2，将、的e1、e2表达式代入上式，再由向量相等的条件得到关于λ、k的方程组，便可求得k的值.
解：＝－＝（2 e 1－e2）－（e 1＋3e2）＝e1－4e2，
∵A、B、D三点共线，∴存在实数λ，使＝λ，∴2 e 1＋ke2＝λ（e 1－4e2）
于是可得，解得k＝－8.
评述：此题解答关键是应用两个向量共线的充要条件，要注意两个向量共线和三点共线的区别和联系.
2.已知a、b是两个非零向量，当a＋tb（t∈R）的模取最小值时，
（1）求t的值；
（2）求证b⊥（a＋tb）.
分析：利用|a＋tb|2＝（a＋tb）2进行转换，可讨论有关|a＋tb|的最小值问题，若能算得b·（a＋tb）＝0，则证明了b⊥（a＋tb）.
（1）解：设a与b的夹角为θ
则|a＋tb|2＝（a＋tb）2
＝a2＋2a·tb＋t2b2
＝|a|2＋2t|a||b|cosθ＋t2|b|2
＝|b|2t2＋（2|a||b|cosθ）t＋|a|2
＝|b|2（t＋ cosθ）2＋|a|2sin2θ
∴当t＝－cosθ＝－时，|a＋tb|有最小值.
（2）证明：b·（a＋tb）＝b·（a－·b）＝a·b－·b·b＝a·b－a·b＝0
∴b⊥（a＋t b）.
评述：对|a＋tb|变形，可以从两个角度进行思考，一是通过|a＋t b |2＝（a＋t b）2的数量积运算；二是通设坐标化思想，进行向量的坐标运算，从而达到求解求证目的.
3.如图所示，OADB是以向量＝a，＝b为边的平行四边形，又BM＝BC，CN＝CD，试用a，b表示.
解：＝a－b
∵（a－b）
∴=b+（a－b）＝a＋b
又由＝a＋b，得
a＋b
a＋b）－（a＋b）＝a－b
评述：由于a，b不共线，因此a，b构成平行四边形OADB所在平面的一组基底，用它们可以表示出这个平面内的任何向量，将所要用a，b表示的向量连同a，b设法放在一个三角形或平行四边形内，是解决此类问题的常见方法.
4.已知O为△ABC所在平面内一点，且满足 ．
求证：O点是△ABC的垂心
证明：设＝a，＝b，＝c，则＝c－b，＝a－c，＝b－a.
∵||2＋||2＝||2＋||2＝||2＋||2
∴a2＋（c－b）2＝b2＋（a－c）2＝c2＋（b－a）2
即c·b＝a·c＝b·a，
故·＝（b－a）·c＝b·c－a·c＝0
·＝（c－b）·a＝c·a－b·a＝0
∴⊥，⊥，
∴点O是△ABC的垂心.
5.如图所示，圆O内两弦AB、CD垂直相交于P点，求证：.
证明：设M、N分别为圆O的两弦AB、CD的中点，连OM、ON，则OM⊥AB，ON⊥CD.
∵
而AB⊥CD，∴四边形MPNO为矩形
∴，
∴
6.已知△ABC中，A（2，－1），B（3，2），C（－3，－1），BC边上的高为AD，求点D和向量AD的坐标.
解：设点D坐标（x，y），由AD是BC边上的高可得⊥，且B、D、C共线，
∴
∴
∴
∴
解得
∴点D坐标为（1，1），＝（－1，2）
7.已知a、b、c分别为△ABC三内角A、B、C所对的边，且2(sinA－sinB)，sinA－sinC，2（sinB－sinC）成等比数列.
求证：2b＝a＋c.
证明：要证2b＝a＋c，由正弦定理只要证：
sinB－sinA＝sinC－sinB即可：
由已知可得：（sinA－sinC）2－4（sinA－sinB）
（sinB－sinC）＝0，且sinA≠sinB，构造方程：
（sinA－sinB）x2－（sinA－sinC）x＋（sinB－sinC）＝0，且x＝1是方程的根
Δ＝（sinA－sinC）2－4（sinA－sinB）·（sinB－sinC）＝0，∴方程有两相等实根
由韦达定理可知：＝1
∴sinB－sinC＝sinA－sinB，故结论得证.
8.设i，j是平面直角坐标系内x轴，y轴正方向上的两个单位向量，且＝4i＋2j，＝3i＋4j，证明△ABC是直角三角形，并求它的面积.
解：＝（3i＋4j）－（4i＋2j）＝－i＋2j
又i⊥j，∴i·j＝0
∵·＝（4i＋2j）（－i＋2j）＝－4i2＋6i·j＋4j2＝0，∴⊥
∴△ABC是直角三角形，
∴S＝|·||＝×2×＝5
9.已知△ABC中三内角满足A＋C＝2B，，求cos的值.
解：由A＋C＝2B，可得B＝60°，A＋C＝120°
设＝α，则A－C＝2α，
∴A＝60°＋α，C＝60°－α，
∴
将B=60°代入得
∴2cos2α＋cosα－＝0
∴（2cosα－）（2cosα＋3）＝0
∴2cosα＋3＞0
∴cosα＝
即cos
10.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，求证：
证明：∵a2＝b2＋c2－2bccosA，，C＝π－（A＋B）
∴
故原等式成立.
11.在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，且c为最大边，若accosA＋bccosB＜4S，其中S为△ABC的面积.
求证：△ABC为锐角三角形.
证明：由余弦定理及三角形面积公式accosA＋bccosB＜4S
即ac·＋bc·＜2absinC＜2ac
∴a2（b2＋c2－a2）＋b2（a2＋c2－b2）＜4a2b2
即（a2＋b2）c2＜a4＋2a2·b2＋b4＝（a2＋b2）2，
∴c2＜a2＋b2，
∵cosC＝＞0，∴C为锐角
又c为最大边，故C为最大角，
∴△ABC为锐角三角形.
12.在△ABC中，sinA＝，判断这个三角形的形状.
解：由正弦定理、余弦定理可得：
∴＝b＋c
∴b（a2－b2）＋c（a2－c2）＝bc（b＋c）
∴（b＋c）a2＝（b3＋c3）＋bc（b＋c），
∴a2＝b2＋c2，
∴△ABC是直角三角形.?
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—348—第六课时 任意角的三角函数(二)
教学目标：
理解并掌握终边相同的角的同一三角函数值相等，使学生认识到规律是客观存在的，只要用心去找，认真寻求，就不难发现，不难认识.客观世界中的事物也是这样，要善于发现规律，认识规律，掌握规律，利用规律，按照事物的发展规律去办事.
教学重点：
各种三角函数在各象限内的符号，终边相同的角的同一三角函数值相等.
教学难点：
各种三角函数在各象限内的符号.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
任意角三角函数的定义
Ⅱ.讲授新课
三角函数的定义告诉我们，各三角函数值实质上是个比值，因此，各三角函数在各象限内的符号，取决于x、y的符号(因为r恒大于零).因为P点在第一、第二象限时，纵坐标y＞0，P点在第三、第四象限时，纵坐标y＜0，所以正弦函数值对于第一、第二象限角是正的，对于第三、第四象限角是负的.请同学们仿照我们讨论正弦函数值在各象限内符号的方法，回答余弦函数值在各象限内的符号.
余弦函数值的正负取决于P点横坐标x的正负，因为P点在第一、第四象限时，横坐标x＞0，P点在第二、第三象限时，横坐标x＜0，所以余弦函数值对于第一、第四象限角是正的，对于第二、第三象限角是负的.
对于正切函数值，其正负怎样确定呢
正切函数值 的正负，取决于x、y的符号是否相同.因为P点在第一象限时，x、y同正，P点在第三象限时，x、y同负，此时 ＞0，P点在第二、第四象限时，x、y异号，此时 ＜0，所以正切函数值对于第一、第三象限角是正的，对于第二、第四象限角是负的.
Ⅲ.例题分析
［例1］确定下列三角函数值的符号
(1)cos250° （2）sin（－） （3）tan（－672°） （4）tan
解：(1)∵250°是第三象限角，∴cos250°＜0
(2)∵－是第四象限角，∴sin（－）＜0
(3)tan（－672°）＝tan（48°－2×360°）＝tan48°
而48°是第一象限角，∴tan（－672°）＞0
(4)tan＝tan（＋2π）＝tan
而是第四象限角，∴tan＜0.
［例2］如果点P（2a，－3a)(a＜0)在角θ的终边上，求sinθ、cosθ、tanθ的值.
分析：依据点P（2a，－3a)(a＜0)坐标，可以在一直角三角形中利用任意角的三角函数定义求.
解：如图，点P（2a，－3a)(a＜0)在第二象限，
且r＝－a，
∴sinθ＝ ＝＝
cosθ＝＝＝－
tanθ＝＝－
［例3］已知角θ的终边在直线y＝－3x上，求10sinθ＋的值.
分析：依据θ的终边在直线y＝－3x上，可设出其终边上任一点P（m，－3m），再对
m＞0与m＜0分别讨论.
解：设P（m，－3m)是θ终边上任一点，则
r＝＝＝|m|
当m＞0时，r＝m.
∴sinθ＝＝－，＝＝
∴10sinθ＋＝－3＋3＝0
当m＜0时，r＝－m
∴sinθ＝＝
＝＝－
∴10sinθ＋＝3－3＝0
综上，得10sinθ＋＝0
Ⅳ.课堂练习
课本P16练习 4、5、6、7、8.
Ⅴ.课时小结
本节课我们重点讨论了三角函数在各象限内的符号，这是我们日后学习的基础，经常要用，请同学们熟记.
Ⅵ.课后作业
课本P23习题 4、5、6.
任意角的三角函数(二)
1．已知角θ的终边过点P（－4a，3a)a≠0，则2sinθ＋cosθ的值是 （ ）
A. B.－ C. 或－ D.不确定
2．设A是第三象限角，且|sin|＝－sin，则是 （ ）
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
3．sin2cos3tan4的值 （ ）
A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.不确定
4．已知|cosθ|＝cosθ，|tanθ|＝－tanθ，则 的终边在 （ ）
A.第二、四象限 B.第一、三象限
C.第一、三象限或x轴上 D.第二、四象限或x轴上
5．若sinθ·cosθ＞0，则θ是第 象限的角.
6．若α的余弦线为0，则它的正弦线的长度为 .
7．角α（0＜α＜2π）的正弦线与余弦线的长度相等且符号相同，则α的值为 .
8．已知α是第三象限角，试判定sin（cosα)·cos(sinα)的符号.
9．已知：P（－2，y）是角α终边上一点，且sinα＝－，求cosα的值.
10．已知角α的终边经过P（8m，6m）(m≠0)，求log2|－tanα|的值.
任意角的三角函数(二)答案
1．C 2．D 3．B 4．D 5．一、三 6．1 7．或
8．已知α是第三象限角，试判定sin（cosα)·cos(sinα)的符号.
分析：依据α是第三象限角可得cosα＜0且－1＜cosα＜0，与sinα＜0
且－1＜sinα＜0，进而确定式子sin（cosα)·cos(sinα)的符号.
解：∵α是第三象限角
∴－1＜cosα＜0，－1＜sinα＜0，
∴sin(cosα)＜0，cos(sinα)＞0.
∴sin(cosα)·cos(sinα)＜0
9．已知：P（－2，y）是角α终边上一点，且sinα＝－，求cosα的值.
由P（－2，y）且sinα＝－＜0知y＜0
又＝－，y2＋4＝5y2，y2＝1
∴y＝－1
∴cosα＝＝＝－
10．已知角α的终边经过P（8m，6m）(m≠0)，求log2|－tanα|的值.
分析：依据点P（8m，6m）(m≠0)的坐标，求出及tanα的值，进而求出
log2|－tanα|的值.
解：∵P（8m，6m)(m≠0)，∴r＝10|m|
当m＞0时，r＝10m
∴＝，tanα＝， ∴log2|－tanα|＝log2＝－1
当m＜0时，r＝－10m
∴＝－，tanα＝， ∴log2|－tanα|＝log22＝1
综上，得log2|－tanα|＝
- 4 -1.2.2 同角三角函数的基本关系式（2）
一、课题：同角三角函数的基本关系（2）
二、教学目标：1.根据三角函数关系式进行三角式的化简和证明；
2.了解已知一个三角函数关系式求三角函数（式）值的方法。
三、教学重、难点：如何运用公式对三角式进行化简和证明。
四、教学过程：
（一）复习：
1．同角三角函数的基本关系式。
（1）倒数关系：，，．
（2）商数关系：，．
（3）平方关系：，，．
（练习）已知，求．
（二）新课讲解：
例1 化简．
解：原式．
例2 化简．
解：原式
．
例3 已知，试确定使等式成立的角的集合。
解：∵=
==．
又∵，
∴， 即得或．
所以，角的集合为：或．
例4 化简．
解：原式=
．
说明：化简后的简单三角函数式应尽量满足以下几点：
（1）所含三角函数的种类最少；
（2）能求值（指准确值）尽量求值；
（3）不含特殊角的三角函数值。
例5 求证：．
证法一：由题义知，所以．
∴左边=右边．
∴原式成立．
证法二：由题义知，所以．
又∵，
∴．
证法三：由题义知，所以．
，
∴．
例6．求证：．
证明：左边
，
右边．
所以，原式成立。
总结：证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：（1）从一边开始，证明它等于另一边（如例5的证法一）；（2）证明左右两边同等于同一个式子（如例6）；（3）证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立。
例7 已知，求．
解：由等式两边平方：
．
∴（*），即，
可看作方程的两个根，解得．
又∵，∴．又由（*）式知
因此，．
五、小结：1．运用同角三角函数关系式化简、证明。
2．常用的变形措施有：大角化小，切割化弦等。
六、作业：
PAGE
- 2 -第四章检测题
一、选择题(本大题共14小题，第1～10题每小题4分，第11～14题每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1.与－463°终边相同的角可以表示为(k∈Z)( )
A.k·360°＋463° B.k·360°＋103°
C.k·360°＋257° D.k·360°－257°
答案：C
2.已知是第三象限的角，且cos＜0，那么为( )
A.第一象限的角 B.第二象限的角
C.第三象限的角 D.第四象限的角
答案：B
3.若sinx＋cosx＝1，那么sinnx＋cosnx的值是( )
A.1 B.0
C.－1 D.不能确定
答案：A
4.在函数y＝｜tanx｜，y＝｜sin(x＋)｜，y＝｜sin2x｜，y＝sin(2x－)四个函数中，既是以为周期的偶函数，又是区间(0，)上的增函数个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
答案：B
5.下列四个命题正确的是( )
A.sin2＜sin3＜sin4 B.sin4＜sin2＜sin3
C.sin3＜sin4＜sin2 D.sin4＜sin3＜sin2
答案：D
6.logsin＋log的值为( )
A.1 B.4
C.－4 D.－1
答案：C
7.满足等式sin4xcos5x＝－cos4xsin5x的x的一个值是( )
A.10° B.20°
C.50° D.70°
答案：B
8.若b＞a＞0，满足tan＝，且sin＝的角的集合是( )
A.｛｜0＜＜＝
B.｛｜＋2k≤≤＋2k，k∈Z｝
C.｛｜2k≤≤＋2k，k∈Z｝
D.｛｜＋2k＜＜＋2k，k∈Z｝
答案：D
9.要得到函数y＝sin(2x－)的图象，只需将函数y＝sin2x的图象( )
A.向右平行移动个单位
B.向右平行移动个单位
C.向左平行移动个单位
D.向左平行移动个单位
答案：A
10.已知函数y＝Asin(ωx＋)，在同一周期内，当x＝时，取最大值y＝2，当x＝时，取得最小值y＝－2，那么函数的解析式为( )
A.y＝sin(x＋) B.y＝2sin(2x＋)
C.y＝2sin(－) D.y＝2sin(2x＋)
答案：B
11.若sin＝m，为第二象限角，则tan2的值为( )
A.－ B.
C.± D.以上全不对
答案：A
12.设f(x)＝asin(x＋)＋bcos(x＋)＋4，其中a、b、、均为非零实数，若f(1988)＝3，则f(2002)的值为( )
A.1 B.5
C.3 D.不确定
答案：C
13.函数f(x)＝｜sinx｜＋｜cosx｜的取值范围是( )
A.［0，］ B.［0，2］
C.［1，2］ D.［1，］
答案：D
14.若是三角形的一个内角，且函数y＝cos·x2－4sin·x＋6对于任意实数x均取正值，那么cos所在区间是( )
A.(，1) B.(0，)
C.(－2，) D.(－1，)
答案：A
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.)
15.若、为锐角，且cos(＋)＝，cos(2＋)＝，则cos等于__________.
答案：
16.函数y＝sin＋cos，x∈(－2，2)为增函数的区间是__________.
答案：［－，］
17.设f(x)是以5为周期的函数，且当x∈［－，］时，f(x)＝x，则f(6.5)＝__________.
答案：1.5
18.已知函数f(x)＝sin(x＋)＋cos(x－)为偶函数，则值为__________.
答案：k－ (k∈Z)
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.
19.(本小题满分12分)
已知tan(180°＋)－tan(450°－)＝2(0＜＜90°)，求的值.
答案：－1
20.(本小题满分12分)
已知cos(＋)cos＋sin(＋)sin＝－且450°＜＜540°，求cos2和sin(＋2).
答案：cos2＝，sin(＋2)＝.
21.(本小题满分12分)
如图，在半径为R，中心角为2(0＜2＜的扇形OAB内作矩形CDEF，使C、D两点在半径OA上，F点在半径OB上，E在弧AB上，求矩形CDEF面积的最大值.
解：设E(Rcos，Rsin)，则
S矩＝，
当＝时，Smax＝tan
22.(本小题满分12分)
已知tan＝ (0＜a＜1)，
化简.
答案：－2
23.(本小题满分12分)
已知:cos＝cosx·sin，cos＝sinx·sin
求证：sin2＋sin2＋sin2＝2
证明：(略)
24.(本小题满分14分)
在锐角△ABC中，A、B、C是它的三个内角，记S＝，求证：
(1)S＜1；(2)S＜
证明：(1)∵S＝
＝
又A＋B＞90°，∴90°＞A＞90°－B＞0
∴tanA＞tan(90°－B)＝cotB＞0
∴tanA·tanB＞1，∴S＜1
(2)
＝
＝
∴S＜成立.2．1． 向 量
一、课题：向量
二、教学目标：1．理解向量的概念，掌握向量的二要素（长度、方向）；
2．能正确地表示向量，初步学会求向量的模长；
3．注意向量的特点：可以平行移动（长度、方向确定，起点不确定）。
三、教学重、难点：1．向量、相等向量、共线向量的概念；
2．向量的几何表示。
四、教学过程：
（一）问题引入：
老鼠由向西北方向逃窜，如果猫由向正东方向追赶，那么猫能否抓到老鼠？为什么？
（二）新课讲解：
1．向量定义：既有大小又有方向的量叫做向量。
2．向量的表示方法：（1）用有向线段表示；
（2）用字母表示：
说明：（1）具有方向的线段叫有向线段。有向线段的三要素：起点、方向和长度；
（2）向量的长度（或称模）：线段的长度叫向量的长度，记作．
3．单位向量、零向量、平行向量、相等向量、共线向量的定义：
（1）单位向量：长度为1的向量叫单位向量，即；
（2）零向量：长度为零的向量叫零向量，记作；
（3）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量，记作：；
（4）相等向量：长度相等，方向相同的向量叫相等向量。即：；
（5）共线向量：平行向量都可移到同一直线上。平行向量也叫共线向量。
说明：（1）规定：零向量与任一向量平行，记作；
（2）零向量与零向量相等，记作；
（3）任意二个非零相等向量可用同一条有向线段表示，与有向线段的起点无关。
4．例题分析：
例1 如图1，设是正六边形的中心，分别
写出图中与向量，，相等的向量。
解：；；
．
例2 如图2，梯形中，，分别是腰、
的三等分点，且，，求．
解：分别取，的中点分别记为，，
由梯形的中位线定理知：
∴ ∴．
例3 在直角坐标系中，已知，与轴正方向所成的角为，与轴正方向所成的角为，试作出．
解：
五、课堂练习：
六、课堂小结：1．正确理解向量的概念，并会用数学符号和有向线段表示向量；
2．明确向量的长度（模）、零向量、单位向量、平行向量、共线向量和相等
向量的意义。
七、作业：．
（图2）
（图1）
（起点）
（终点）
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- 2 -2.2.3 向量的数乘（2）
一、课题：向量的数乘（2））
二、教学目标：1．了解平面向量基本定理的概念；
2．通过定理用两个不共线向量来表示另一向量或将一个向量分解为两个
向量；
3．能运用平面向量基本定理处理简单的几何问题。
三、教学重、难点：1．平面向量基本定理的应用；
2．平面向量基本定理的理解。
四、教学过程：
（一）复习引入：
（1）向量的加法运算、向量共线定理；
（2）设，是同一平面内的两个不共线的向量，是这一平面内的任一向量，下面我们
来研究向量与， 的关系。
（二）新课讲解：
1．平面向量基本定理：
如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使．其中我们把不共线的向量，叫做表示这一平面所有向量的一组基底。
注：①，均非零向量；
②，不唯一（事先给定）；
③，唯一；
④时，与共线；时，与共线；时，．
2．例题分析：
例1 已知向量，（如图），求作向量．
作法：1．如图（2），任取一点，作，；
2．作 OACB，于是是所求作的向量。
例2 如图， 的两条对角线相交于点，且，，用、表示、、
和．
解：在中， ABCD ∵，
，
∴，
，，
．
例3 如图，、不共线，，用、表示．
解：∵，
∴
=．
例4 已知梯形中，，，分别是、的中点，若，，用，表示、、．
解：（1）∵
∴==
（2）
（3）连接，则，
．
例5 已知在四边形中，，，，
求证：是梯形。
证明：显然
=
∴， 又点不在
∴是梯形。
五、小结：1．熟练掌握平面向量基本定理；
2．会应用平面向量基本定理.充分利用向量的加法、减法及实数与向量的积的几何表
示。
六、作业：
补充：1．设是的重心.若，，试用，表示向量.；
2．已知：如图，，.
（1）求证：；（2）求与的面积之比.
3．设，是两个不共线向量，求与
共线的充要条件。
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- 2 -第十一课时 三角函数的周期性
教学目标：
掌握函数的周期性，会求简单函数的最小正周期，掌握正弦函数、余弦函数的周期及求法；渗透数形结合思想，培养辩证唯物主义观点.
教学重点：
正、余弦函数的周期
教学难点：
函数的周期性
教学过程：
由单位圆中的三角函数线可知，正、余弦函数值的变化呈现出周期现象，每当角增加（或减少）2π，所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正、余弦函数值也分别相同.即有：
sin（2π＋x）＝sinx，cos（2π＋x）＝cosx，
正弦函数和余弦函数所具有的这种性质称为周期性.
一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.
由此可知，2π，4π，…，－2π，－4π，…2kπ(k∈Z且k≠0)都是这两个函数的周期.
对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
根据上述定义，可知：
正弦函数、余弦函数都是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.
以后如果不加特别说明，函数的周期一般都是指最小正周期
正切函数是周期函数，且周期T＝π
课本P26例1、例2
一般地，函数y＝Asin(ωx＋)及y＝Acos(ωx＋)（其中A、ω、为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T＝，函数y＝Atan (ωx＋)的周期T＝
周期函数应注意以下几点：
1.式子f(x＋T)＝f(x)对定义域中的每一个值都成立.即定义域内任何x，式子都成立.而不能是“一个x”或“某些个x”，另一方面，判断一个函数不是周期函数，只需举一个反例就行了.
例如：由于sin(＋)＝sin，即sin(x＋)＝sinx.该式中x取时等式成立，能否断定是sinx的周期呢 不能，因对于其他一些x值该式不一定成立.如x＝时，sin(x＋)≠sinx.
［例］函数y＝cosx(x≠0)是周期函数吗
解：不是，举反例，当T＝2π时，令x＝－2π，则有cos(x＋2π)＝cos(－2π＋2π)＝cos0＝1，但x＝0，不属于题设的定义域，则x不能取－2π，故y＝cosx(x≠0)不是周期函数.
2.式子f(x＋T)＝f(T)是对“x”而言.
例如，由cos( ＋2kπ)＝cos (k∈Z)，是否可以说cos的周期为2kπ呢 不能!因为cos( ＋2kπ)＝cos，即cos＝cos (k∈Z)，所以cos的周期是6kπ，而不是2kπ(k∈Z).
3.一个函数是周期函数，但它不一定有最小正周期.例如，f(x)＝a(常数)，显然任何一个正数T都是f(x)的周期，由于正数中不存在最小的数，所以周期函数f(x)＝a无最小正周期.
4.设T是f(x)(x∈R)的周期，那么kT(k∈Z，且k≠0)也一定是f(x)的周期，定义规定了T为一个实常数，而不是一个变数；同时也规定了T的取值范围，只要求不为零，不要误认为T一定是π的倍数.
有许多周期函数的周期中是不含“π”的，如下面几例：
［例1］函数y＝sinπx的周期是T＝＝2.
［例2］函数y＝tan2πx的周期是T＝＝.
［例3］若对于函数y＝f(x)定义域内的任何x的值，都有f(x＋1)＝f(x)成立，则由周期函数的定义可知，函数y＝f(x)是周期函数，且T＝1是其周期.
［例4］设f(x)定义在R上，并且对任意的x，有f(x＋2)＝f(x＋3)－f(x＋4).
求证：f(x)是周期函数，并找出它的一个周期.
证明：∵f(x＋2)＝f(x＋3)－f(x＋4) ①
∴f(x＋3)＝f(x＋4)－f(x＋5) ②
①＋②得：f(x＋2)＝－f(x＋5) ③
由③得：f(x＋5)＝－f(x＋8) ④
∴f(x＋2)＝f(x＋8)
即f(x)＝f(x＋6)
∴f(x)为周期函数，一个周期为6.
5.周期函数必须是函数，但一定要克服思维定势，认为周期性是三角函数所独有的，实质上我们学过的非周期函数f(x)(如y＝log2x，y＝｜x｜，y＝2x，y＝x2等等)将其定义域内限制在一个半开半闭区间上，经左右平移，可以延拓变为周期函数，例如将非周期函数y＝x2(x∈R)在其定义域R内限制在(－1，1］，然后将y＝x2(－1＜x≤1)的图象左、右平移，可以延拓为最小正周期为2的周期函数f(x)＝(x－2k)2(2k－1＜x≤2k＋1)，k∈Z，如图：
［例］已知f(x)＝｜x｜，x∈(－1，1］，求定义在R上的一个周期为2的函数g(x)，使x∈(－1，1］时，g(x)＝f(x).
解：由g(x)的周期性可画出g(x)的图象.如图：
对于任意的x∈R，x一定在周期为2的区间(2n－1，2n＋1］内，则x－2n∈(－1，1］.
∴g(x)＝g(x－2n)＝f(x－2n)＝｜x－2n｜，
即g(x)＝
评述：(1)要判定f(x)是周期函数，自变量x必须取遍定义域内的每一个值.
(2)周期函数是高考中的热点，只有深层次的理解周期函数的意义，才能臻化入境，运用自如.
课堂练习：
课本P27 练习1～4
课时小结：
要初步掌握三角函数的周期性.
课后作业：
课本P45 习题 1
- 2 -第九课时 诱导公式（一）
教学目标：
理解诱导公式的推导方法，掌握诱导公式并运用之进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明，培养学生化归、转化的能力；通过诱导公式的应用，使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的一条行之有效的途径.
教学重点：
理解并掌握诱导公式.
教学难点：
诱导公式的应用——求三角函数值，化简三角函数式，证明简单的三角恒等式.
教学过程：
学习三角函数定义时，我们强调P是任意角α终边上非顶点的任意一点，至于α是多大的角，多小的角并不知道，那么由三角函数的定义可知：终边相同的角的同一三角函数值相等，由此得到公式一：
sin（k·360°＋α）＝sinα
cos（k·360°＋α）＝cosα
tan（k·360°＋α）＝tanα，(k∈Z）
公式的作用：把求任意角的三角函数值转化为求0°到360°角的三角函数值.下面我们来看几个例子.
［例1］求下列三角函数的值.
(1)sin1480°10′ （2）cos （3）tan（－）
解：(1）sin1480°10′＝sin（40°10′＋4×360°）＝sin40°10′＝0．6451
(2)cos＝cos（＋2π）＝cos＝
(3)tan（－）＝tan（－2π）＝tan＝.
［例2］化简
利用同角三角函数关系公式脱掉根号是解决此题的关键，即
原式＝
＝＝＝cos80°
利用这组公式可以将求任意角的三角函数值转化为求0°到360°角的三角函数值.
初中我们学习了锐角三角函数，任意一个锐角的三角函数值我们都能求得，但90°到3600角的三角函数值，我们还是不会求，要想求出其值，我们还得继续去寻求办法：看能不能把它转化成锐角三角函数，我们来研究这个问题.
下面我们再来研究任意角α与－α的三角函数之间的关系，任意角α的终边与单位圆相交于点P(x，y），角－α的终边与单位圆相交于点P′，因为这两个角的终边关于x轴对称，所以点P′的坐标是（x，－y），由正弦函数、余弦函数的定义可得.
sinα＝y cosα＝x
sin（－α）＝－y cos（－α）＝x
所以sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα
则tan（－α）＝＝－tanα
于是得到一组公式(公式二)：
sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα
下面由学生推导公式三：
sin（180°－α）＝sinα
cos（180°－α）＝－cosα
tan（180°－α）＝－tanα
已知任意角α的终边与单位圆相交于点P(x，y），由于角180°＋α的终边就是角α的反向延长线，所以角180°＋α的终边与单位圆的交点P′与点P关于原点O对称，由此可知，点P′的坐标是（－x，－y)，由正弦函数、余弦函数的定义可得：
sinα＝y，cosα＝x，sin（180°＋α）＝－y，cos（180°＋α）＝－x
∴sin（180°＋α）＝－sinα
cos（180°＋α）＝－cosα tan（180°＋α）＝tanα
于是我们得到一组公式(公式四)：
sin（180°＋α）＝－sinα
cos（180°＋α）＝－cosα
tan（180°＋α）＝tanα
分析这几组公式，它有如下的特点：
1.－α、180°－α、180°＋α的三角函数都化成了α的同名三角函数.
2.前面的“＋”“－”号是把看作锐角时原函数的符号.即把α看作锐角时，180°＋α是第三象限角，第三象限角的正弦是负值，等号右边放“－”号，第三象限角的余弦是负值，等号右边放“－”号；把α看作锐角时，－α是第四象限角，第四象限角的正弦是负值，等号右边放“－”号，第四象限角的余弦是正值，等号右边放“＋”号.
这也就是说，－α、180°－α、180°＋α的三角函数都等于α的同名三角函数且前面放上把α看作锐角时原函数的符号，可以简记为：
函数名不变，正负看象限
下面我们来看几个例子.
［例3］求下列三角函数值
(1)cos225° （2）sinπ
解：(1)cos225°＝cos（180°＋45°）＝－cos45°＝－；
(2)sinπ＝sin（π＋）＝－sin＝－sin18°＝－0．3090.(sin18°的值系查表所得)
［例4］求下列三角函数值
(1)sin（－） （2）cos（－240°12′）
解：(1)sin（－）＝－sin＝－；
(2)cos（－240°12′）＝cos240°12′＝cos（180°＋60°12′）
＝－cos60°12′＝－0．4970
［例5］化简
解：原式＝＝＝1
课堂练习：
课本P21练习1、2、3.
课时小结：
本节课我们学习了公式一～四，这几组公式在求三角函数值、化简三角函数式及证明三角恒等式时是经常用到的，为了记牢公式，我们总结出了“函数名不变，正负看象限”的简便记法，同学们要正确理解这句话的含义，不过更重要的还是应用，我们要多练习，以便掌握得更好，运用得更自如.
课后作业：
课本P24练习13、16、17.
诱导公式（一）
1．sin(－π)的值等于 （ ）
A. B.－ C. D.－
2．若cos165°＝a，则tan195°等于 （ ）
A. － B. － eq \f(,a) C. eq \f(,a) D. eq \f(－,a)
3．已知cos(π＋θ)＝－，则tan(θ－9π)的值 （ ）
A.± B. C.± D.－
4．已知sin（π－α）＝log8，且α∈(－，0)，则tanα的值是 （ ）
A. B.－ C.± D. －
5．下列不等式中，不成立的是 （ ）
A.sin130°＞sin140° B.cos130°＞cos140°
C.tan130°＞tan140° D.cot130°＞cot140°
6．求：的值.
7．求下列各三角函数值.
（1）sin（－π） （2）sin（－1200°）
（3）tan(－π) (4)tan(－855°)
（5）cosπ (6)cos(－945°)
8．已知π＜θ＜2π，cos(θ－9π)＝－，求tan(10π－θ)的值.
诱导公式（一）答案
1．C 2．D 3．C 4．B 5．C 6．－
7．求下列各三角函数值.
（1）sin（－π） （2）sin（－1200°）
（3）tan(－π) (4)tan(－855°)
（5）cosπ (6)cos(－945°)
分析：求三角函数值的步骤为：①利用诱导公式三将负角的三角函数变为正角的三角函数.②利用诱导公式一化为0°到360°间的角的三角函数. ③进一步转化成锐角三角函数.
解:（1）sin（－π）＝－sinπ
＝－sin(4π＋π)＝－sinπ＝－sin（π＋）＝sin＝
(2)sin(－1200°)＝－sin1200°
＝－sin(3·360°＋120°)＝－sin120°＝－sin(180°－60°)＝－sin60°＝－
(3)tan(－π)＝－tanπ
＝－tan(22π＋π－)＝－tan(π－)＝tan＝
(4)tan(－855°)＝－tan855°
＝－tan(2·360°＋135°)＝－tan135°＝－tan(180°－45°)＝tan45°＝1
(5)cosπ＝cos(4π＋)
＝cos＝cos(π－)＝－.
(6)cos(－945°)＝cos945°＝cos(2·360°+225°)
＝cos225°＝cos(180°＋45°)＝－cos45°＝－.
8．已知π＜θ＜2π，cos(θ－9π)＝－，求tan(10π－θ)的值.
分析：依据已知条件求出cosθ，进而求得tan(10π－θ)的值.
解：由已知条件得
cos(θ－π)＝－，cos(π－θ)＝－，
∴cosθ＝ ∵π＜θ＜2π，
∴＜θ＜2π ∴ tanθ＝－
∴tan(10π－θ)＝tan(－θ)＝－tanθ＝
- 4 -1.2.1 任意角的三角函数（2）
一、课题：任意角的三角函数（2）
二、教学目标：1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式；
2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值；
3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。
三、教学重点：正弦、余弦、正切线的概念及利用。
四、教学过程：
（一）复习：（提问）
1．三角函数的定义及定义域、值域：
练习1：已知角的终边上一点，且，求的值。
解：由题设知，，所以，得，
从而，解得或．
当时，， ；
当时，，；
当时，，．
2．三角函数的符号：
练习2：已知且，
（1）求角的集合；（2）求角终边所在的象限；（3）试判断的符号。
3．诱导公式：
练习3：求下列三角函数的值：
（1）， （2）， （3）．
（二）新课讲解：
当角的终边上一点的坐标满足时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。
1．单位圆：圆心在圆点，半径等于单位长的圆叫做单位圆。
2．有向线段：
坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。
规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。
3．三角函数线的定义：
设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点P，
过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反
向延长线交与点.
由四个图看出：
当角的终边不在坐标轴上时，有向线段，于是有
， ，
．
我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。
说明：
①三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段；余弦
线在轴上；正切线在过单位圆与轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。
②三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与的终边的交点。
③三条有向线段的正负：三条有向线段凡与轴或轴同向的为正值，与轴或轴反向的为负值。
④三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。
4．例题分析：
例1 作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。
（1）； （2）； （3）； （4）．
解：图略。
例2 利用单位圆写出符合下列条件的角的范围。
（1）； （2）；
（3）且；
（4）； （5）且．
答案：（1）；（2）；
（3）；（4）；
（5）．
五、小结：1．三角函数线的定义；2．会画任意角的三角函数线
3．利用单位圆比较三角函数值的大小，求角的范围。
六、作业： 1．利用余弦线比较的大小；
2．若，则比较、、的大小；
3．分别根据下列条件，写出角的取值范围：
（1） ； （2） ； （3）
（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅳ）
（Ⅲ）
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- 2 -第十三课时 三角函数的性质
教学目标：
理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义，会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间；渗透数形结合思想，培养辩证唯物主义观点.
教学重点：
正、余弦函数的性质
教学难点：
正、余弦函数性质的理解与应用
教学过程：
Ⅰ.课题导入
上节课，我们研究了正、余弦函数的图象，今天，我们借助它们的图象来研究它们有哪些性质.
(1)定义域：
正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R［或(－∞，＋∞)］，分别记作：
y＝sinx，x∈R
y＝cosx，x∈R
(2)值域
因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以｜sinx｜≤1，｜cosx｜≤1，即
－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1
也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］.
其中正弦函数y=sinx，x∈R
①当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z时，取得最大值1.
②当且仅当x＝－＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1.
而余弦函数y＝cosx，x∈R
①当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1.
②当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－1.
(3)周期性
由 (k∈Z)
知：正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的.
一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.
由此可知，2π，4π，…，－2π，－4π，…2kπ(k∈Z且k≠0)都是这两个函数的周期.
对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
根据上述定义，可知：
正弦函数、余弦函数都是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.
(4)奇偶性
正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.
(5)单调性
从y＝sinx，x∈［－，］的图象上可看出：
当x∈［－，］时，曲线逐渐上升，sinx的值由－1增大到1.
当x∈［，］时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到－1.
结合上述周期性可知：
正弦函数在每一个闭区间［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到
－1.
余弦函数在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.
［例1］求使下列函数取得最大值的自变量x的集合，并说出最大值是什么.
(1)y＝cosx＋1，x∈R； (2)y＝sin2x，x∈R.
解：(1)使函数y＝cosx＋1，x∈R取得最大值的x的集合，就是使函数y＝cosx，x∈R取得最大值的x的集合｛x｜x＝2kπ，k∈Z｝.
函数y＝cosx＋1，x∈R的最大值是1＋1＝2.
(2)令Z＝2x，那么x∈R必须并且只需Z∈R，且使函数y＝sinZ，Z∈R取得最大值的Z的集合是｛Z｜Z＝＋2kπ，k∈Z｝
由2x＝Z＝＋2kπ，得x＝＋kπ
即：使函数y＝sin2x，x∈R取得最大值的x的集合是｛x｜x＝＋kπ，k∈Z｝.
函数y＝sin2x，x∈R的最大值是1.
［例2］求下列函数的定义域：
(1)y＝1＋ (2)y＝
解：(1)由1＋sinx≠0，得sinx≠－1
即x≠＋2kπ(k∈Z)
∴原函数的定义域为｛x｜x≠＋2kπ，k∈Z｝
(2)由cosx≥0
得－＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)
∴原函数的定义域为［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)
［例3］求下列函数的单调递增区间：
①y＝cos(2x＋)；②y＝3sin(－)
解：①设u＝2x＋，则y＝cosu
当2kπ－π≤u≤2kπ时y＝cosu随u的增大而增大
又∵u＝2x＋随x∈R增大而增大
∴y＝cos(2x＋)当2kπ－π≤2x＋≤2kπ(k∈Z)
即kπ－≤x≤kπ－时，y随x增大而增大
∴y＝cos(2x＋)的单调递增区间为：
［kπ－π，kπ－］(k∈Z)
②设u＝－，则y＝3sinu
当2kπ＋≤u≤2kπ＋时，y＝3sinu随x增大在减小，
又∵u＝－随x∈R增大在减小
∴y＝3sin(－)当2kπ＋≤－≤2kπ＋
即－4kπ－≤x≤－4kπ－时，y随x增大而增大
∴y＝3sin(－)的单调递增区间为 ［4kπ－，4kπ－］(k∈Z)
Ⅲ.课堂练习
课本P33 1～7
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，要初步掌握正、余弦函数的性质以及性质的简单应用，解决一些相关问题.
Ⅴ.课后作业
课本P46 习题 2、3、4
课后练习：
1．给出下列命题：
①y＝sinx在第一象限是增函数；
②α是锐角，则y＝sin(α＋)的值域是［－1，1］；
③y＝sin｜x｜的周期是2π；
④y＝sin2x－cos2x的最小值是－1；
其中正确的命题的序号是_____.
分析:①y＝sinx是周期函数，自变量x的取值可周期性出现，如反例：
令x1＝，x2＝＋2π，此时x1＜x2
而sin＞sin(＋2π)
∴①错误；
②当α为锐角时，＜α＋＜＋
由图象可知＜sin(α＋)≤1
∴②错误；
③∵y＝sin｜x｜(x∈R)是偶函数.
其图象是关于y轴对称，可看出它不是周期函数.
∴③错误；
④y＝sin2x－cos2x＝－cos2x，最小值为－1
∴④正确.
答案：④
评述：函数的单调性是函数的局部选择，是针对区间而言的；我们不能说某函数在某象限内是增函数还是减函数，而只能说某函数在某区间上是增函数还是减函数.
2．求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝lg(sinx－) (2)y＝2
分析：根据函数有意义列不等式，求x的范围即为定义域.求值域时要注意正弦函数和余弦函数的值域.
解：(1)要使lg(sinx－)有意义，必须且只须sinx＞，
解之得：2kπ＋＜x＜2kπ＋，k∈Z
又∵0＜sinx－≤1－
∴lg(sinx－)≤lg(1－)
∴定义域为(2kπ＋，2kπ＋)，(k∈Z)
值域为(－∞，lg(1－)］.
(2)要使2有意义，必须且只须2cos3x－1≥0，即cos3x≥，
解之得2kπ－≤3x≤2kπ＋
即 －≤x≤＋，k∈Z.
又0≤2cos3x－1≤1
故0≤2≤2
∴定义域为［－，＋］，k∈Z
值域为［0，2］
评述：求由正弦函数和余弦函数组成复合函数的定义域、值域问题，要充分考虑基本的正弦函数和余弦函数的单调性和值域.
4.比较下列各组数的大小：
(1)sin195°与cos170°;
(2)cos，sin，－cos
(3)sin(sin)，sin().
分析：化为同名函数，进而利用单调性来比较函数值的大小.
解：(1)sin195°＝sin(180°＋15°)＝－sin15°
cos170°＝cos(180°－10°)＝－cos10°＝－sin80°
∵0°＜15°＜80°＜90°
又∵y＝sinx在［0°，90°］上是递增函数，
∴sin15°＜sin80° ∴－sin15°＞－sin80°
∴sin195°＞cos170°.
(2)∵sin＝cos(－)
－cos＝cos(π－)
又∵－＝1.47＜1.5＝
π－＝1.39＜1.4＜－＜
而y＝cosx在［0，π］上是减函数，
由π－＜－＜＜π
得cos＜cos(－)＜cos(π－)
即cos＜sin＜－cos.
(3)∵cos＝sin
∴0＜cos＜sin＜1
而y＝sinx在［0，1］内递增
∴sin(cos)＜sin(sin).
- 5 -第九课时 二倍角的正弦、余弦、正切(三)
教学目标：
灵活应用和、差、倍角公式，掌握和差化积与积化和差的方法；培养学生联系变化的观点，提高学生的思维能力.
教学重点：
和角化归的二倍角公式的变形式的理解与应用.
教学难点：
二倍角公式的变形式的灵活应用.
教学过程：
Ⅰ.课题导入
现在我们进一步探讨和角、差角、倍角公式的应用.
先看本章开始所提问题，在章头图中，令∠AOB＝θ，则AB＝asinθ，OA＝acosθ，所以矩形ABCD的面积
S＝asinθ·2acosθ＝a2·2sinθcosθ＝a2sin2θ≤a2
当sin2θ＝1，即2θ＝90°，θ＝45°时，a2sin2θ＝a2＝S
不难看出，这时A、D两点与O点的距离都是a，矩形的面积最大，于是问题得到解决.
Ⅱ.讲授新课
［例1］求证sin2＝
分析：此等式中的α可作为的2倍.
证明：在倍角公式cos2α＝1－2sin2α中以α代替2α，以代替α，即得
cosα＝1－2sin2 ∴sin2＝
请同学们试证以下两式:
(1)cos2＝ (2)tan2＝
证明：(1)在倍角公式cos2α＝2cos2α－1中以α代替2α、以代替α，
即得cosα＝2cos2－1， ∴cos2＝
(2)由tan2＝ eq \f(sin2,cos2) sin2＝ cos2＝
得tan2＝
这是我们刚才所推证的三式，不难看出这三式有两个共同特点：
(1)用单角的三角函数表示它们的一半即半角的三角函数；
(2)由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”(即用此式可达到“降次”的目的).
这一组式子也可称为半角公式，但不要求大家记忆，只要理解并掌握这种推证方法.
另外，在这三式中，如果知道cosα的值和角的终边所在象限，就可以将右边开方，从而求得sin、cos与tan.
下面，再来看一例子.
［例2］求证：sinα·cosβ＝［sin(α＋β)－sin(α－β)］
分析：只要将S(α＋β)、S(α－β)公式相加，即可推证.
证明：由sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ ①
sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ ②
①＋②得：
sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sinαcosβ
即：sinα·cosβ＝［sin(α＋β)＋sin(α－β)］
请同学们试证下面三式：
(1)cosα·sinβ＝［sin(α＋β)－sin(α－β)］
(2)cosα·cosβ＝［cos(α＋β)＋cos(α－β)］
(3)sinα·sinβ＝－［cos(α＋β)－cos(α－β)］
证明：(1)由sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ ①
sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ ②
①－②得：sin(α＋β)－sin(α－β)＝2cosαsinβ
即：cosαsinβ＝［sin(α＋β)－sin(α－β)］
(2)由cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ ①
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ ②
①＋②得：cos(α＋β)＋cos(α－β)＝2cosαcosβ
即：cosαcosβ＝［cos(α＋β)＋cos(α－β)］
(3)由cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ ①
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ ②
①－②得cos(α＋β)－cos(α－β)＝－2sinαsinβ
即：sinαsinβ＝－［cos(α＋β)－cos(α－β)］
不难看出，这一组式子也有一共同特点，即，左式均是乘积形式，右式均为和差形式，利用这一式可将乘积形式转化为和差形式，也可称为积化和差公式.
和差形式是否可以化为乘积的形式呢 看这一例子.
［例3］求证sinθ＋sin＝2sin eq \f(θ＋,2) cos eq \f(θ－,2) 分析：θ可有 eq \f(θ＋,2) ＋ eq \f(θ－,2) 代替， ＝ eq \f(θ＋,2) － eq \f(θ－,2)
证明：左式＝sinθ＋sin
＝sin［ eq \f(θ＋,2) ＋ eq \f(θ－,2) ］＋sin［ eq \f(θ＋,2) － eq \f(θ－,2) ］
＝sin eq \f(θ＋,2) cos eq \f(θ－,2) ＋cos eq \f(θ＋,2) sin eq \f(θ－,2) ＋sin eq \f(θ＋,2) cos eq \f(θ－,2) －cos eq \f(θ＋,2) sin eq \f(θ－,2)
＝2sin eq \f(θ＋,2) cos eq \f(θ－,2) ＝右边
请同学们再证下面三式.
(1)sinθ－sin＝2cos eq \f(θ＋,2) ·sin eq \f(θ－,2) ；
(2)cosθ＋cos＝2cos eq \f(θ＋,2) ·cos eq \f(θ－,2) ；
(3)cosθ－cos＝－2sin eq \f(θ＋,2) ·sin eq \f(θ－,2) .
证明：(1)令θ＝ eq \f(θ＋,2) ＋ eq \f(θ－,2) ，＝ eq \f(θ＋,2) － eq \f(θ－,2)
则左边＝sinθ－sin
＝sin［ eq \f(θ＋,2) ＋ eq \f(θ－,2) ］－sin［ eq \f(θ＋,2) － eq \f(θ－,2) ］
＝sin eq \f(θ＋,2) cos eq \f(θ－,2) ＋cos eq \f(θ＋,2) sin eq \f(θ－,2) －sin eq \f(θ＋,2) cos eq \f(θ－,2) ＋cos eq \f(θ＋,2) sin eq \f(θ－,2)
＝2cos eq \f(θ＋,2) sin eq \f(θ－,2) ＝右边
(2)左边＝cosθ＋cos
＝cos［ eq \f(θ＋,2) ＋ eq \f(θ－,2) ］＋cos［ eq \f(θ＋,2) － eq \f(θ－,2) ］
＝cos eq \f(θ＋,2) cos eq \f(θ－,2) －sin eq \f(θ＋,2) sin eq \f(θ－,2) ＋cos eq \f(θ＋,2) cos eq \f(θ－,2) ＋sin eq \f(θ＋,2) sin eq \f(θ－,2)
＝2cos eq \f(θ＋,2) cos eq \f(θ－,2) ＝右边
(3)左边＝cosθ－cos
＝cos［ eq \f(θ＋,2) ＋ eq \f(θ－,2) ］－cos［ eq \f(θ＋,2) － eq \f(θ－,2) ］
＝cos eq \f(θ＋,2) cos eq \f(θ－,2) －sin eq \f(θ＋,2) sin eq \f(θ－,2) －cos eq \f(θ＋,2) cos eq \f(θ－,2) －sin eq \f(θ＋,2) sin eq \f(θ－,2)
＝－2sin eq \f(θ＋,2) sin eq \f(θ－,2) ＝右边.
这组式子的特点是左式为和差形式，右式为积的形式，所以这组式子也可称为和差化积公式，只要求掌握这种推导方法，不要求记忆.
Ⅲ.课堂练习
1.已知α、β为锐角，且3sin2α＋2sin2β＝1，3sin2α－2sin2β＝0.求证：α＋2β＝
证法一：由已知得3sin2α＝cos2β ①
3sin2α＝2sin2β ②
①÷②得tanα＝＝ eq \f(sin（－2β）,cos（－2β）) ＝tan（－2β）
∵α、β为锐角，∴0＜β＜，0＜2β＜π，－π＜－2β＜0，
∴－＜－2β＜
∴α＝－2β，α＋2β＝
证法二：由已知可得：
3sin2α＝cos2β，3sin2α＝2sin2β
∴cos(α＋2β)＝cosα·cos2β－sinα·sin2β
＝cosα·3sin2α－sinα·sin2α＝3sin2αcosα－sinα·3sinαcosα＝0
又由α＋2β∈(0，)
∴α＋2β＝
证法三：由已知可得
∴sin(α＋2β)＝sinαcos2β＋cosαsin2β
＝sinα·3sin2α＋cosα·sin2α＝3sinα(sin2α＋cos2α)＝3sinα
又由②，得3sinα·cosα＝sin2β ③
①2＋③2，得9sin4α＋9sin2αcos2α＝1
∴sinα＝，即sin(α＋2β)＝1
又0＜α＋2β＜，∴α＋2β＝
评述：一般地，若所求角在(0，π)上，则一般取此角的余弦较为简便；若所求角在(－，)上，则一般取此角的正弦较为简便；当然，若已知条件与正切函数关系比较密切，也可考虑取此角的正切.
2.在△ABC中，sinA是cos(B＋C)与cos(B－C)的等差中项，试求(1)tanB＋tanC的值.
(2)证明tanB＝(1＋tanC)·cot(45°＋C)
(1)解：△ABC中，sinA＝sin(B＋C)
∴2sin(B＋C)＝cos(B＋C)＋cos(B－C)
∴2sinBcosC＋2cosBsinC＝2cosBcosC
∵cosBcosC≠0 ∴tanB＋tanC＝1
(2)证明：又由上：tanβ＝1－tanC
＝(1＋tanC)· ＝(1＋tanC)·tan(45°－C)＝(1＋tanC)·cot(45°＋C)
Ⅳ.课时小结
通过这节课的学习，要掌握推导积化和差、和差化积公式的方法，虽不要求记忆，但要知道它们的互化关系.另外，要注意半角公式的推导与正确使用.当然，这些都是在熟练掌握二倍角公式的基础上完成的.
Ⅴ.课后作业
课本P111习题 7、8、10.
二倍角的正弦、余弦、正切
1．已知sinα＝，2π＜α＜3π，那么sin＋cos等于 （ ）
A. B.－ C. D.－
2．sin10°sin30°sin50°sin70°的值是 （ ）
A. B. C. D.
3．已知f(sinx)＝cos2x，则f(x)等于 （ ）
A.2x2－1 B.1－2x2 C.2x D.－2x
4．设sinα∶sin＝8∶5，则cosα等于 （ ）
A. B. C. D.1
5．（sin＋cos)(sin－cos)＝ .
6．化简cos(－α)·cos（＋α)＝ .
7．sin2－＝ .
8．＝ .
9．已知cos2α＝，α∈(0， )，sinβ＝－，β∈(π， )，求cos(α＋β).
10．已知sinα＋sinβ＝，cosα＋cosβ＝，求cos的值.
11．已知sin(α＋)＝，cos(－β)＝，且－＜α＜，＜β＜，求cos(α－β).
二倍角的正弦、余弦、正切答案
1．D 2．A 3．B 4．B 5．－ 6．cos2α 7．－ 8．
9．已知cos2α＝，α∈(0， )，sinβ＝－，β∈(π， )，求cos(α＋β).
解：由α∈(0， )得sinα＝ eq \r() ＝，cosα＝
∵β∈(π， )，
∴cosβ＝－＝－
代入cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
＝×(－)－×(－)＝－
10．已知sinα＋sinβ＝，cosα＋cosβ＝，求cos的值.
两式平方相加，得1＋1＋2（cosα·cosβ＋sinαsinβ)＝＋＝
∴cos(α－β)＝－，cos2＝＝ eq \f(1－,2) ＝
∴cos＝±
11．已知sin(α＋)＝，cos(－β)＝，且－＜α＜，＜β＜，求cos(α－β).
∵－＜α＜，∴＜α＋＜π
∴cos(α＋)＝－ eq \r(1－sin2(α＋)) ＝－
∵＜β＜，∴－＜－β＜0
∴sin(－β)＝－ eq \r(1－cos2(－β)) ＝－
∴cos(α－β)＝－cos［(α＋)＋(－β)］
＝sin(α＋)sin(－β)－cos(α＋)·cos(－β)＝×(－)－(－)×＝.
①②
- 7 -§4.1 锐角的正弦函数§4.2 任意角的正弦函数§4.3正弦函数y＝sinx的图像（2课时）
洋浦实验中学 吴永和
1、 教学目标：
1、 知识与技能
（1）回忆锐角的正弦函数定义；（2）熟练运用锐角正弦函数的性质；（3）理解通过单位圆引入任意角的正弦函数的意义；（4）掌握任意角的正弦函数的定义；（5）理解有向线段的概念；（6）了解正弦函数图像的画法；（7）掌握五点作图法，并会用此方法画出[0，2π]上的正弦曲线。
2、 过程与方法
初中所学的正弦函数，是通过直角三角形中给出定义的；由于我们已将角推广到任意角的情况，而且一般都是把角放在平面直角坐标系中，这样一来，我们就在直角坐标系中来找直角三角形，从而引出单位圆；利用单位圆的独特性，是高中数学中的一种重要方法，在第二节课的正弦函数图像，以及在后面的正弦函数的性质中都有直接的应用；讲解例题，总结方法，巩固练习。
3、 情感态度与价值观
通过本节的学习，使同学们对正弦函数的概念有了一个新的认识；在由锐角的正弦函数推广到任意角的正弦函数的过程中，体会特殊与一般的关系，形成一种辩证统一的思想；通过单位圆的学习，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力。
二、教学重、难点
重点: 1.任意角的正弦函数定义，以及正弦函数值的几何表示。
2.正弦函数图像的画法。
难点: 1.正弦函数值的几何表示。
2.利用正弦线画出y＝sinx，x∈[0， 2π]的图像。
三、学法与教学用具
在初中，我们知道直角三角形中锐角的对边比上斜边就叫着这个角的正弦，当把锐角放在直角坐标系中时，角的终边与单位圆交于一点，正弦函数对应于该点的纵坐标，当是任意角时，通过函数定义的形式引出正弦函数的定义；作正弦函数y＝sinx图像时，在正弦函数定义的基础上，通过平移正弦线得出其图像，再归结为五点作图法。
教学用具:投影机、三角板
第一课时 §4.1 锐角的正弦函数 §4.2 任意角的正弦函数
一、教学思路
【创设情境，揭示课题】
我们学习角的概念的推广和弧度制，就是为了学习三角函数。请同学们回忆（1）角的概念的推广及弧度制、象限角等概念；（2）初中所学的正弦函数是如何定义的？并想一想它有哪些性质？学生思考回答以后，教师小结。（板书课题）
【探究新知】
在初中，我们学习了锐角α的正弦函数值：sinα＝，
如图：sinA＝，由于a是直角边，c是斜边，所sinA∈(0，1)。由于我们通常都是将
角放到平面直角坐标系中，我们来看看会发生什么？
在直角坐标系中，（如图所示），设角α（α∈（0，））
的终边与半经为r的圆交于点P（a，b），则角α的正弦值是：
sinα＝.根据相似三角形的知识可知，对于确定的角α，都不会随圆的半经的改变而改变。为简单起见，令r＝1(即为单位圆)，那么sinα＝b，也就是说，若角α的终边与单位圆相交于P，则点P的纵坐标b就是角α的正弦函数。
直角三角形显然不能包含所有的角，那么，我们可以仿照锐角正弦函数的定义．你认为该如何定义任意角的正弦函数
一般地，在直角坐标系中（如上图），对任意角α，它的终边与单位圆交于点P（a，b），我们可以唯一确定点P（a，b）的纵坐标b，所以P点的纵坐标b是角α的函数，称为正弦函数，记作y＝sinα(α∈R)。通常我们用x，y分别表示自变量与因变量，将正弦函数表示为y＝sinx.
正弦函数值有时也叫正弦值.
请同学们画图，并利用正弦函数的定义比较说明：角与角的终边与单位圆的交点的纵坐标有什么关系？它们的正弦值有什么关系？角和角呢？－角和角呢？－角和－角呢？
通过上述问题的讨论，容易得到：终边相同的角的正弦函数值相等，即
sin(2kπ＋α)＝sinα (k∈Z)，说明对于任意一个角α，每增加2π的整数倍，其正弦函数值不变。所以，正弦函数是随角的变化而周期性变化的，正弦函数是周期函数，2kπ（k∈Z，k≠0）为正弦函数的周期。
2π是正弦函数的正周期中最小的一个，称为最小正周期。一般地，对于周期函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫作f(x)的最小正周期。
【巩固深化，发展思维】
1． 课本P17的思考与交流。
2． 课本P18的练习。
3．若点P(—3，y)是α终边上一点，且sinα＝—，求y值．
4．若角α的顶点为坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在函数y＝—3x (x≤0)
的图像上，则sinα＝ 。
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到的主要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、课后反思
第二课时 §4.3正弦函数y＝sinx的图像
一、教学思路
【创设情境，揭示课题】
三角函数是一种重要的函数，从第一节我们就知道在实际生活中，有许多地方用到三角函数。今天我们来学正弦函数y＝sinx的图像的做法。在前一节，我们知道正弦函数是一个周期函数，最小正周期是2π，所以，关键就在于画出[0，2π]上的正弦函数的图像。
请同学们回忆初中作函数图像的方法是怎样的？
作函数图像的三步骤：列表，描点，连线。
【探究新知】
1． 正弦函数线MP
下面我们来探讨正弦函数的一种几何表示．如右图所示，
角α的终边与单位圆交于点P（x，y），提出问题
①线段MP的长度可以用什么来表示
②能用这个长度表示正弦函数的值吗 如果不能，你能否设计
一种方法加以解决 引出有向线段的概念．
有向线段：当α的终边不在坐标轴上时，可以把MP看作是带方向的线段，
1 y＞0时，把MP看作与y轴同向(多媒体优势，利用计算机演示角α终边在
一、二象限时MP从M到P点的运动过程．让学生看清后定位，运动的方向表明与y轴同向)．
2 y＜0时，把MP看作与y轴反向(演示角α终边在三、四象限时MP从M到P点的运动过程．让学生看清后定位，运动的方向表明与y轴反向)．
师生归纳：①MP是带有方向的线段，这样的线段叫有向线段．MP是从M→P，而PM则是从P→M。②不论哪种情况，都有MP＝y．③依正弦定义，有sinα＝MP＝y，我们把MP叫做α的正弦线．
(投影仪出示反馈练习) 当α为特殊角，即终边在坐标轴上时，找出其正弦线。演示运动过程，让学生清楚认识到：当α终边在x轴上时，正弦线变为一个点，即 sinα＝0。
2．作图的步骤
边作边讲（几何画法）y=sinx x[0,2]
（1） 作单位圆，把⊙O十二等分（当然分得越细，图像越精确）
（2） 十二等分后得对应于0,, ,,…2等角，并作出相应的正弦线，
（3） 将x轴上从0到2一段分成12等份(2≈6.28)，若变动比例，今后图像将相应“变形”
（4） 取点，平移正弦线，使起点与轴上的点重合
（5） 描图（连接）得y=sinx x[0,2]
（6）由于终边相同的三角函数性质知 y=sinx x[2k，2(k+1)] （kZ，k0）
与函数y=sinx x[0,2]图像相同，只是位置不同——每次向左（右）平移2单位长。
可以得到y＝sinx在R上的图像
3． 五点作图法：
由上图我们不难发现，在函数y=sinx，x[0,2]的图像上，起着关键作用的有以下五个关键点： (0,0) (,1) (,0) (,-1) (2,0)。描出这五个点后，函数y=sinx，x[0,2]的图像的形状就基本上确定了。因此，在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们连接起来，就得到这个函数的简图。我们称这种画正弦曲线的方法为“五点法”。
【巩固深化，发展思维】
1．例题讲评
例1．用“五点法”画出下列函数在区间[0，2π]上的简图。
（1）y＝－sinx （2）y＝1＋sinx
解：（1）列表
x 0 π 2π
y＝－sinx 0 1 0 －1 0
描点得y＝－sinx 的图像：（略，见教材P22）
2．学生练习
教材P22
二、归纳整理，整体认识
（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到的主要数学思想方法有那些？
（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
（3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
三、布置作业
作业：习题1—4第1,2题．
四、课后反思
1
-4
-3
B
C
A
a
b
c
y
P(a，b)
O
r
M
x
-2
5
4
3
y
M O x
P
α的终边
2
-1
-
o
y
6
x
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