沪科版八年级数学下册试题 19.4 多边形的镶嵌（含答案）
文档属性
| 名称 | 沪科版八年级数学下册试题 19.4 多边形的镶嵌（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 160.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-06-07 10:09:44 | ||
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文档简介
19.4 多边形的镶嵌
一、选择题．
1.用正三角形和正六边形铺成一个平面，则在同一个顶点处，正三角形和正六边形的个数之比为（ ）
A．4：1 B．1：1 C．1：4 D．4：1或1：1
2.小王到瓷砖店购买一种正多边形瓷砖铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是（ ）
A．正三角形 B．正四边形 C．正六边形 D．正八边形
3.如图，用黑白两色正方形瓷砖按一定规律铺设地板图案，第101个图案中白色瓷砖块数是（ ）
A．305 B．302 C．296 D．204
4.我们知道正五边形不能进行平面镶嵌，若将三个全等的正五边形按如图所示拼接在一起，那么图中的∠1的度数是（ ）
A．18° B．30° C．36° D．54°
5.如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖，从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，依此递推，第9层中含有正三角形个数是（ ）
A．54个 B．102个 C．90个 D．114个
6.某商场营业厅准备装修地面，现有正三角形，正方形，正五边形，正六边形这四种规格的花岗石板料（所有边长相等）若从其中选择一种板料铺设地面，则可以进行平面镶嵌的有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
二、填空题
7.图中是三个完全相同的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，这种多边形是正 边形．
8.将完全相同的平行四边形和完全相同的菱形镶嵌成如图所示的图案．设菱形中较小角为x度，平行四边形中较大角为y度，则y与x的关系式是 ．
9.能够与正八边形平铺底面的正多边形是 ．（请从正六边形、正方形、正三角形、正十边形中选择一种正多边形）．
10.在正三角形、正方形、正六边形、正八边形中，用相同的正多边形不能铺满地面的是 ．
11.用三种边长相等的正多边形铺地面，已选了正方形和正五边形两种，还应选正 边形．
12.用同一规格的多边形地砖来铺地板，能密铺的多边形地砖有 种．
13.按下面摆好的方式，并使用同一种图形，只通过平移方式就能进行平面镶嵌（即平面密铺）的有 （写出所有正确答案的序号）．
14.如图①，②，③，用一种大小相等的正多边形密铺成一个“环”，我们称之为环形密铺．但图④，⑤不是我们所说的环形密铺．请你再写出一种可以进行环形密铺的正多边形： ．
三、解答题
15.正八边形地板砖，能铺满地面，既不留下一丝空白，又不相互重叠吗？请说明理由．
16.如图所示，有一边长为8米的正方形大厅，它是由黑白完全相同的方砖密铺而成．求一块方砖的边长．
17.在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌）．这显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形．
（1）请根据下列图形，填写表中空格：
正多边形边数 3 4 5 6 … n
正多边形每个内角的度数 … ﹣
（2）如果只限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？
18.【问题提出】
用若干类全等形（能够完全重合的图形叫做全等形）无间隙且不重叠地覆盖平面的一部分，叫做这几类图形能镶嵌（覆盖．铺砌）平面．镶嵌的一个关键点是：在每个公共顶点处，各角的和是360°，平面内如何镶嵌呢？
【问题解决】用多种正多边形镶嵌
例如：用正八边形和正方形进行组合镶嵌，设在一个顶点周围有m个正八边形的角，有n个正方形的角，由于正八边形的每个内角是135°，正方形的每个内角是90°，所以有m 135°+n 90°＝360°，即3m+2n＝8．这个方程的正整数解为．可见用正八边形和正方形进行组合镶嵌，在一个顶点的周围有2个正八边形和1个正方形．
【方法应用】如果想用正三角形和正六边形的组合进行镶嵌请完成以下问题：
（1）计算出正六边形每个内角的度数；
（2）如果在一个顶点周围有x个正六边形，有y个正三角形，如何镶嵌的方案．
用若干块边长为20cm的正三角形瓷砖和一块边长为20cm正六边形的瓷砖铺成一边长为1.2m的正六边形的地面，则需要这样的正三角形瓷砖多少块？
20.阅读下面内容并回答问题：
（1）有若干边长相等、边数分别为x，y，z的三种不同的正多边形，若这三种正多边形能镶嵌整个平面，试猜想x，y，z之间的关系，你能对你的这个猜想给出证明吗？
解：边数为x的正多边形的一个内角为 度．
边数为y的正多边形的一个内角为 度．
边数为z的正多边形的一个内角为 度，
因为能进行平面镶嵌，即各取三种正多边形的一个内角能拼成360o角，
所以有 + + ＝360，
在等式两边同时除以180o，得 ．
因为，
所以（1﹣）+ ﹣ + ﹣ ＝2
所以
在等式两边同时除以（﹣2），得
（2）根据上面得到的结论，从正三角形、正方形中选一种，再在其他正多边形中选两种，请尝试找出一个三种不同的正多边形镶嵌的方案．（直接写出方案即可）
答案
一、选择题．
D．D．A．C．B．C．
二、填空题
7. 六 8.y＝x+90． 9.正方形． 10.正八边形
11.二十． 12.3． 13.②③． 14.正十二边形．
三、解答题
15.解：不能．
∵正八边形每个内角是＝135°，不能整除360°，
∴不能密铺．
16.解：根据题意可知，共有32块瓷砖，
所以每块的面积为8×8÷32＝2，
一块方砖的边长为m．
17.解：（1）正三角形每个内角的度数是60°，
正四边形每个内角的度数是90°，
正五边形每个内角的度数是108°，
正六边形每个内角的度数是120°，
正n边形每个内角的度数是（180﹣）°．
故答案为：60°，90°，108°，120°，（180﹣）°；
（2）如限于用一种正多边形镶嵌，则由一顶点的周围角的和等于360°得正三角形、正四边形（或正方形）、正六边形都能镶嵌成一个平面图形．
18.解：（1）正六边形每个内角的度数为：（6﹣2）×180°×＝120°；
（2）∵正六边形每个内角的度数＝120°，正三角形每个内角的度数＝60°，
∴120x+60y＝360，即2x+y＝6，
∴这个方程的正整数解为：，，
∴用正三角形和正六边形的镶嵌，在一个顶点周围有2个正六边形和2个正三角形，或在一个顶点周围有1个正六边形和4个正三角形．
19.解：∵边长为1.2m的正六边形的地面的面积为：×1202×6＝21600（cm2），
一块边长为20cm正六边形的瓷砖的面积为：×202×6＝600（cm2），
一块边长为20cm的正三角形瓷砖的面积为：×202＝100（cm2），
∴需要这样的正三角形瓷砖（21600﹣600）÷100＝210块．
20.（1）解：边数为x的正多边形的一个内角为 度．
边数为y的正多边形的一个内角为 度．
边数为z的正多边形的一个内角为 度，
因为能进行平面镶嵌，即各取三种正多边形的一个内角能拼成360o角，
所以有 ++＝360，
在等式两边同时除以180o，得 ++＝2．
因为，
所以（1﹣）+（1﹣）+（1﹣）＝2
所以
在等式两边同时除以（﹣2），得．
故答案为：，，，，，，++＝2，（1﹣），（1﹣）；
（2）利用（1）中公式，当x＝4，y＝6时，解得z＝12，
∴正方形，正六边形，正十二边形可以镶嵌；
一、选择题．
1.用正三角形和正六边形铺成一个平面，则在同一个顶点处，正三角形和正六边形的个数之比为（ ）
A．4：1 B．1：1 C．1：4 D．4：1或1：1
2.小王到瓷砖店购买一种正多边形瓷砖铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是（ ）
A．正三角形 B．正四边形 C．正六边形 D．正八边形
3.如图，用黑白两色正方形瓷砖按一定规律铺设地板图案，第101个图案中白色瓷砖块数是（ ）
A．305 B．302 C．296 D．204
4.我们知道正五边形不能进行平面镶嵌，若将三个全等的正五边形按如图所示拼接在一起，那么图中的∠1的度数是（ ）
A．18° B．30° C．36° D．54°
5.如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖，从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，依此递推，第9层中含有正三角形个数是（ ）
A．54个 B．102个 C．90个 D．114个
6.某商场营业厅准备装修地面，现有正三角形，正方形，正五边形，正六边形这四种规格的花岗石板料（所有边长相等）若从其中选择一种板料铺设地面，则可以进行平面镶嵌的有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
二、填空题
7.图中是三个完全相同的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，这种多边形是正 边形．
8.将完全相同的平行四边形和完全相同的菱形镶嵌成如图所示的图案．设菱形中较小角为x度，平行四边形中较大角为y度，则y与x的关系式是 ．
9.能够与正八边形平铺底面的正多边形是 ．（请从正六边形、正方形、正三角形、正十边形中选择一种正多边形）．
10.在正三角形、正方形、正六边形、正八边形中，用相同的正多边形不能铺满地面的是 ．
11.用三种边长相等的正多边形铺地面，已选了正方形和正五边形两种，还应选正 边形．
12.用同一规格的多边形地砖来铺地板，能密铺的多边形地砖有 种．
13.按下面摆好的方式，并使用同一种图形，只通过平移方式就能进行平面镶嵌（即平面密铺）的有 （写出所有正确答案的序号）．
14.如图①，②，③，用一种大小相等的正多边形密铺成一个“环”，我们称之为环形密铺．但图④，⑤不是我们所说的环形密铺．请你再写出一种可以进行环形密铺的正多边形： ．
三、解答题
15.正八边形地板砖，能铺满地面，既不留下一丝空白，又不相互重叠吗？请说明理由．
16.如图所示，有一边长为8米的正方形大厅，它是由黑白完全相同的方砖密铺而成．求一块方砖的边长．
17.在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌）．这显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形．
（1）请根据下列图形，填写表中空格：
正多边形边数 3 4 5 6 … n
正多边形每个内角的度数 … ﹣
（2）如果只限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？
18.【问题提出】
用若干类全等形（能够完全重合的图形叫做全等形）无间隙且不重叠地覆盖平面的一部分，叫做这几类图形能镶嵌（覆盖．铺砌）平面．镶嵌的一个关键点是：在每个公共顶点处，各角的和是360°，平面内如何镶嵌呢？
【问题解决】用多种正多边形镶嵌
例如：用正八边形和正方形进行组合镶嵌，设在一个顶点周围有m个正八边形的角，有n个正方形的角，由于正八边形的每个内角是135°，正方形的每个内角是90°，所以有m 135°+n 90°＝360°，即3m+2n＝8．这个方程的正整数解为．可见用正八边形和正方形进行组合镶嵌，在一个顶点的周围有2个正八边形和1个正方形．
【方法应用】如果想用正三角形和正六边形的组合进行镶嵌请完成以下问题：
（1）计算出正六边形每个内角的度数；
（2）如果在一个顶点周围有x个正六边形，有y个正三角形，如何镶嵌的方案．
用若干块边长为20cm的正三角形瓷砖和一块边长为20cm正六边形的瓷砖铺成一边长为1.2m的正六边形的地面，则需要这样的正三角形瓷砖多少块？
20.阅读下面内容并回答问题：
（1）有若干边长相等、边数分别为x，y，z的三种不同的正多边形，若这三种正多边形能镶嵌整个平面，试猜想x，y，z之间的关系，你能对你的这个猜想给出证明吗？
解：边数为x的正多边形的一个内角为 度．
边数为y的正多边形的一个内角为 度．
边数为z的正多边形的一个内角为 度，
因为能进行平面镶嵌，即各取三种正多边形的一个内角能拼成360o角，
所以有 + + ＝360，
在等式两边同时除以180o，得 ．
因为，
所以（1﹣）+ ﹣ + ﹣ ＝2
所以
在等式两边同时除以（﹣2），得
（2）根据上面得到的结论，从正三角形、正方形中选一种，再在其他正多边形中选两种，请尝试找出一个三种不同的正多边形镶嵌的方案．（直接写出方案即可）
答案
一、选择题．
D．D．A．C．B．C．
二、填空题
7. 六 8.y＝x+90． 9.正方形． 10.正八边形
11.二十． 12.3． 13.②③． 14.正十二边形．
三、解答题
15.解：不能．
∵正八边形每个内角是＝135°，不能整除360°，
∴不能密铺．
16.解：根据题意可知，共有32块瓷砖，
所以每块的面积为8×8÷32＝2，
一块方砖的边长为m．
17.解：（1）正三角形每个内角的度数是60°，
正四边形每个内角的度数是90°，
正五边形每个内角的度数是108°，
正六边形每个内角的度数是120°，
正n边形每个内角的度数是（180﹣）°．
故答案为：60°，90°，108°，120°，（180﹣）°；
（2）如限于用一种正多边形镶嵌，则由一顶点的周围角的和等于360°得正三角形、正四边形（或正方形）、正六边形都能镶嵌成一个平面图形．
18.解：（1）正六边形每个内角的度数为：（6﹣2）×180°×＝120°；
（2）∵正六边形每个内角的度数＝120°，正三角形每个内角的度数＝60°，
∴120x+60y＝360，即2x+y＝6，
∴这个方程的正整数解为：，，
∴用正三角形和正六边形的镶嵌，在一个顶点周围有2个正六边形和2个正三角形，或在一个顶点周围有1个正六边形和4个正三角形．
19.解：∵边长为1.2m的正六边形的地面的面积为：×1202×6＝21600（cm2），
一块边长为20cm正六边形的瓷砖的面积为：×202×6＝600（cm2），
一块边长为20cm的正三角形瓷砖的面积为：×202＝100（cm2），
∴需要这样的正三角形瓷砖（21600﹣600）÷100＝210块．
20.（1）解：边数为x的正多边形的一个内角为 度．
边数为y的正多边形的一个内角为 度．
边数为z的正多边形的一个内角为 度，
因为能进行平面镶嵌，即各取三种正多边形的一个内角能拼成360o角，
所以有 ++＝360，
在等式两边同时除以180o，得 ++＝2．
因为，
所以（1﹣）+（1﹣）+（1﹣）＝2
所以
在等式两边同时除以（﹣2），得．
故答案为：，，，，，，++＝2，（1﹣），（1﹣）；
（2）利用（1）中公式，当x＝4，y＝6时，解得z＝12，
∴正方形，正六边形，正十二边形可以镶嵌；