17.2 勾股定理的逆定理 教案
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第17章《勾股定理的逆定理》教案
17.2 勾股定理的逆定理
教学目标：
理解互逆命题、互逆定理及勾股定理的逆定理，掌握直角三角形的判别条件，熟记一些勾股数．
重点：
探究勾股定理的逆定理，理解并掌握互逆命题、原命题、逆命题
难点：
勾股定理的逆定理的应用.
教学流程：
一、导入新课
说一说勾股定理的内容及题设、结论：
答案：
如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
题设（条件）：直角三角形的两直角边长为a，b，斜边长为c ．
结论：a2+b2=c2．
二、新课讲解
介绍1：据说，古埃及人曾用下面的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13 个结，然后以3 个结间距，4 个结间距、5 个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．
指出：如果三角形的三边分别为3，4，5，这些数满足关系：32+42=52，围成的三角形是直角三角形．
介绍2：相传，我国古代大禹治水测量工程时，也用类似的方法确定直角.
画一画：下列各组数中的两数平方和等于第三数的 平方，分别以这些数为边长画出三角形（单位：cm）， 想一想：它们是直角三角形吗？
2.5，6，6.5；② 4，7.5，8.5．
答案：它们是直角三角形
猜想：如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
互逆命题：两个命题的题设与结论正好相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题.
已知：如图，△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a2+b2=c2．求证：△ABC是直角三角形．
证明：画一个Rt△A'B'C'，使B'C'＝a，A'C'＝b，∠C'＝90°，由勾股定理得：
即△ABC是直角三角形.
互逆定理：一般的，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理.
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
例1：判断由线段a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形：
（1） a＝15，b＝8，c＝17；（2） a＝13，b＝14，c＝15.
解:(1)∵152＋82 ＝225＋64＝289，
172＝289，
∴152＋82 ＝172.
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形．
(2)∵132＋142 ＝169＋196＝365，
152＝225，
∴132＋142 ≠152.
根据勾股定理的逆定理，这个三角形不是直角三角形．
勾股数：像15，8，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数
例2：某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每小时航行12 n mile．它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30 n mile ．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道
“海天”号沿哪个方向航行吗？
解：根据题意，
PQ＝16×1.5＝24，PR＝12×1.5＝18，
QR＝30.
∵242＋182＝302，
即PQ 2＋PR 2＝ QR2，
∴∠QPR＝ 90°
由“远航”号沿东北方向航行
可知,∠1＝45°,
∴∠2＝ 45°，
即“海天”号沿西北方向航行.
三、巩固提升
1.如果三角形的三边长分别为a，b，c，满足a2=c2－b2．这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？
解：是直角三角形.
理由如下：
∵ a2=c2－b2，
∴a2+b2=c2．
∴这个三角形是直角三角形．
2.说出下列命题的逆命题．这些逆命题是成立吗？
（1）两条直线平行，内错角相等；
答案：逆命题：内错角相等，两直线平行．成立
（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
答案：逆命题：如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等. 不成立
（3）全等三角形的对应角相等；
答案：逆命题：对应角相等的两个三角形全等．不成立
（4）在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
答案：逆命题：角平分线上的点到角的两边的距离相等. 成立
3.已知a，b，c分别是△ABC的三条边，则下列三角形是直角三角形的有_________．(填序号)
①a＝7，b＝24，c＝25；②a＝6，b＝9，c＝12；
③a∶b∶c＝3∶4∶5；④a＝1，b＝2，c＝.
答案：①③④
4. A、B、C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C地在B地的什么方向上？
解：∵AB=12km, BC=5km, AC=13km,
又∵122＋52 ＝132.
∴AB2＋BC2 ＝AC2.
根据勾股定理的逆定理，
△ABC是直角三角形,
且 ∠C=90°．
∵A地在B地的正东方向，
∴C地在B地的正北方向上.
5.如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°，求四边形ABCD的面积．
解：∵AB=3，BC=4，∠B=90°，
∴AC=5．
∵CD=12，AD=13，
又∵52+122=132，
∴AC2+CD2=AD2，
∴△ACD是直角三角形．
∴四边形ABCD的面积为：.
四、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
1.什么是互逆命题？什么是互逆定理？
2.勾股定理的逆定理的内容是什么？它有什么作用？
五、布置作业
教材P34页习题17.2第1、3题．
第17章《勾股定理的逆定理》教案
17.2 勾股定理的逆定理
教学目标：
理解互逆命题、互逆定理及勾股定理的逆定理，掌握直角三角形的判别条件，熟记一些勾股数．
重点：
探究勾股定理的逆定理，理解并掌握互逆命题、原命题、逆命题
难点：
勾股定理的逆定理的应用.
教学流程：
一、导入新课
说一说勾股定理的内容及题设、结论：
答案：
如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
题设（条件）：直角三角形的两直角边长为a，b，斜边长为c ．
结论：a2+b2=c2．
二、新课讲解
介绍1：据说，古埃及人曾用下面的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13 个结，然后以3 个结间距，4 个结间距、5 个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．
指出：如果三角形的三边分别为3，4，5，这些数满足关系：32+42=52，围成的三角形是直角三角形．
介绍2：相传，我国古代大禹治水测量工程时，也用类似的方法确定直角.
画一画：下列各组数中的两数平方和等于第三数的 平方，分别以这些数为边长画出三角形（单位：cm）， 想一想：它们是直角三角形吗？
2.5，6，6.5；② 4，7.5，8.5．
答案：它们是直角三角形
猜想：如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
互逆命题：两个命题的题设与结论正好相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题.
已知：如图，△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a2+b2=c2．求证：△ABC是直角三角形．
证明：画一个Rt△A'B'C'，使B'C'＝a，A'C'＝b，∠C'＝90°，由勾股定理得：
即△ABC是直角三角形.
互逆定理：一般的，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们称这两个定理互为逆定理.
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
例1：判断由线段a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形：
（1） a＝15，b＝8，c＝17；（2） a＝13，b＝14，c＝15.
解:(1)∵152＋82 ＝225＋64＝289，
172＝289，
∴152＋82 ＝172.
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形．
(2)∵132＋142 ＝169＋196＝365，
152＝225，
∴132＋142 ≠152.
根据勾股定理的逆定理，这个三角形不是直角三角形．
勾股数：像15，8，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数
例2：某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16 n mile，“海天”号每小时航行12 n mile．它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30 n mile ．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道
“海天”号沿哪个方向航行吗？
解：根据题意，
PQ＝16×1.5＝24，PR＝12×1.5＝18，
QR＝30.
∵242＋182＝302，
即PQ 2＋PR 2＝ QR2，
∴∠QPR＝ 90°
由“远航”号沿东北方向航行
可知,∠1＝45°,
∴∠2＝ 45°，
即“海天”号沿西北方向航行.
三、巩固提升
1.如果三角形的三边长分别为a，b，c，满足a2=c2－b2．这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？
解：是直角三角形.
理由如下：
∵ a2=c2－b2，
∴a2+b2=c2．
∴这个三角形是直角三角形．
2.说出下列命题的逆命题．这些逆命题是成立吗？
（1）两条直线平行，内错角相等；
答案：逆命题：内错角相等，两直线平行．成立
（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
答案：逆命题：如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等. 不成立
（3）全等三角形的对应角相等；
答案：逆命题：对应角相等的两个三角形全等．不成立
（4）在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
答案：逆命题：角平分线上的点到角的两边的距离相等. 成立
3.已知a，b，c分别是△ABC的三条边，则下列三角形是直角三角形的有_________．(填序号)
①a＝7，b＝24，c＝25；②a＝6，b＝9，c＝12；
③a∶b∶c＝3∶4∶5；④a＝1，b＝2，c＝.
答案：①③④
4. A、B、C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C地在B地的什么方向上？
解：∵AB=12km, BC=5km, AC=13km,
又∵122＋52 ＝132.
∴AB2＋BC2 ＝AC2.
根据勾股定理的逆定理，
△ABC是直角三角形,
且 ∠C=90°．
∵A地在B地的正东方向，
∴C地在B地的正北方向上.
5.如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°，求四边形ABCD的面积．
解：∵AB=3，BC=4，∠B=90°，
∴AC=5．
∵CD=12，AD=13，
又∵52+122=132，
∴AC2+CD2=AD2，
∴△ACD是直角三角形．
∴四边形ABCD的面积为：.
四、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
1.什么是互逆命题？什么是互逆定理？
2.勾股定理的逆定理的内容是什么？它有什么作用？
五、布置作业
教材P34页习题17.2第1、3题．