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专题06 勾股定理中的最短路线与翻折问题 （精讲）
【知识储备】
勾股定理中的最短路径问题
几何体中最短路径基本模型如下：
基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解。
高频考点1.圆柱有关的最短路径问题
【解题技巧】计算跟圆柱有关的最短路径问题时，要注意圆柱的侧面展开图为矩形，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意展开后两个端点的位置，有时候需要用底面圆的周长进行计算，有时候需要用底面圆周长的一半进行计算。
要点总结：
1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算；
2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。
例1．（2022·四川成都·八年级期中）如图所示，有一圆柱，其高为8cm，它的底面半径为1cm，在圆柱下底面A处有一只蚂蚁，它想得到上面B处的食物，则蚂蚁经过的最短距离为________cm．（π取3）
【答案】
【分析】本题应先把圆柱展开即得其平面展开图，则A，B所在的长方形的长为圆柱的高8cm，宽为底面圆周长的一半为πr，蚂蚁经过的最短距离为连接A，B的线段长，由勾股定理求得AB的长．
【详解】解：如图所示，
圆柱展开图为长方形，则A，B所在的长方形的长为圆柱的高8cm，宽为底面圆周长的一半为，
蚂蚁经过的最短距离为连接A，B的线段长，由勾股定理得：AB=（cm）．
∴蚂蚁经过的最短距离为cm．（π取3）故答案为：．
【点睛】本题考查了平面展开图－最短路径问题，解答本题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形长和宽的值，然后用勾股定理计算即可．
例2．（2022·湖北武汉·八年级期中）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯顶部C处有一滴蜂蜜离杯顶B点的曲线长度为，此时一只蚂蚁正好也在杯外壁，离杯底点A处，则蚂蚁从外壁A处到C处的最短距离为__________．（杯壁厚度不计）
【答案】
【分析】将杯子侧面展开，根据两点之间线段最短可知AC的长度即为所求．
【详解】解：如图，
将杯子侧面展开，连接AC，则AC即为最短距离，（cm），
答：蚂蚁从外壁A处到C处的最短距离为cm，故答案为：．
【点睛】本题考查了平面展开 最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．
变式1．（2022·广东茂名·九年级期末）如图，圆柱形玻璃容器高12cm，底面周长为24cm，在容器外侧距下底1cm的点A处有一只蚂蚁，在蚂蚁正对面距容器上底2cm的点B处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为______cm．
【答案】15
【分析】根据题意得到圆柱体的展开图，确定A、B的位置，利用勾股定理即可求解；
【详解】解：圆柱体玻璃杯展开图如下，作；
∵底面周长为24cm，∴∵，∴cm，
∴cm，故答案为：15．
【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，根据题意正确得到圆柱体的展开图是解题的关键．
变式2．（2022·河南·开封市八年级期中）如图，圆柱底面半径为4厘米，高厘米，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B，求棉线最短为__________．
【答案】30π厘米
【分析】要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将圆柱体展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【详解】解：圆柱体的展开图如图所示：
用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路线是：AC→CD→DB；
即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，A沿着3个长方形的对角线运动到B的路线最短；∵圆柱底面半径为4，∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长：2π×4=8π；
又∵圆柱高为18π，∴小长方形的一条边长是18π÷3=6π；
根据勾股定理求得AC=CD=DB= =10π；∴AC+CD+DB=30π．故答案为：30π厘米．
【点睛】本题主要考查了圆柱的计算、平面展开--路径最短问题．圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高．本题就是把圆柱的侧面展开成长方形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
高频考点2.长方体有关的最短路径问题想
【解题技巧】计算跟长方体有关的最短路径问题时，要熟悉长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意长方体展开图的多种情况和分类讨论。
要点总结：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三种情况进行讨论；
2）两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同。
例1．（2022·山东淄博·七年级期末）如图，桌面上的长方体长为8，宽为6，高为4，B为的中点.一只蚂蚁从A点出发沿长方体的表面到达B点，则它运动的最短路程为（ ）
A．10 B． C．14 D．18
【答案】A
【分析】根据题意，分情况讨论，①当经过左侧面和上底面时，②当经过正面和上底面时，勾股定理求解即可．
【详解】解：①如图1所示，当经过左侧面和上底面时，最短路径为：
②当经过正面和上底面时，如图2所示，最短路径:
运动的最短路程为 故选：A
图1 图2
【点睛】本题考查了勾股定理求最短路径问题，分类讨论是解题的关键．
变式1．（2022·广东·八年级期中）如图，一个三棱柱盒子底面三边长分别为3cm，4cm，5cm，盒子高为9cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒子的表面爬行一周到盒顶的点B，蚂蚁要爬行的最短路程是_______cm．
【答案】15
【分析】将三棱柱侧面展开得出矩形，求出矩形对角线的长度即可．
【详解】解：如图，右侧为三棱柱的侧面展开图，AA′＝3+4+5＝12cm，A′B＝9cm，∠AA′B＝90°，
∴AB＝ ＝15cm，故答案为：15．
【点睛】本题考查了三棱柱的侧面展开图，两点之间线段最短，勾股定理，画出三棱柱的侧面展开图，运用勾股定理是解题关键．
变式2．（2022·陕西渭南·八年级期中）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B在棱上且离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（ ）
A．25 B．5 C． D．5
【答案】A
【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【详解】只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图
∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD=CD+BC=10+5=15，AD=20，
在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：∴；
只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：
∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD=CD+BC=20+5=25，
在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：∴；
只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图：
∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴AC=CD+AD=20+10=30，
在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：∴；
∵25＜＜，∴蚂蚁爬行的最短距离是25，故选：A．
【点睛】本题考查两点之间线段最短，关键是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．
高频考点3.阶梯中的最短路径问题
【解题技巧】根据两点之间线段之和最小进行解决。
要点总结：展开—定点—连线—勾股定理
例1．（2022·河南·郑州市八年级期末）在一个长11cm，宽5cm的长方形纸片上，如图放置一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且大于纸片的宽，它的底面边长为1cm的等边三角形，一只蚂蚁从点A处到点C处的最短路程是________cm．
【答案】13
【分析】将木块展开看作平面后，由两点之间线段最短知蚂蚁的最短距离为线段AC，由勾股定理计算即可．
【详解】将长方形纸片与木块展开后如图所示
由两点之间线段最短可知蚂蚁的最短距离为线段AC
此时AB长度为11-1+2=12 由勾股定理有
即故答案为：13．
【点睛】本题考查了图形的展开以及勾股定理，将正三棱柱的木块展开看作平面是解题的关键．
例2．（2022·宁夏吴忠·八年级期末）如图，一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是_____．
【答案】25
【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【详解】解：如图所示，
∵三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为（2+3）×3，
∴蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x，
由勾股定理得：x2＝202+[（2+3）×3]2＝252，
解得：x＝25．故答案为25．
【点睛】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．
变式1．（2022·福建八年级期末）如图，在一个长AB为6m，宽AD为4m的矩形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽AD平行，横截面是边长为1m的正方形，一只蚂蚁从点A处爬过木块到达点C处需要走的最短路程是______m．
【答案】
【分析】将木块表面展开，再根据平面中，两点之间线段最短解答
【详解】解：由题意得，将木块表面展开，相当于是AB+2个正方形的宽，
即长为6+2×1=8m，宽为4m，最短路径为：故答案为：．
【点睛】本题考查平面展开图—最短路径问题，有一定难度，掌握相关知识是解题关键．
高频考点4.将军饮马与最短路径问题
【解题技巧】解决线段之和最小值问题：对称+连线，根据两点之间线段最短解决。
要点总结：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定理求解。
例1.（2022·重庆初二月考）圆柱形杯子的高为18cm，底面周长为24cm，已知蚂蚁在外壁A处（距杯子上沿2cm）发现一滴蜂蜜在杯子内（距杯子下沿4cm），则蚂蚁从A处爬到B处的最短距离为（ ）
A． B．28 C．20 D．
【答案】C
分析：将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求.
【解析】如图所示，将杯子侧面展开,作A关于EF的对称点A′，
连接A′B,则A′B即为最短距离，A′B= (cm)故选C.
点睛：本题考查了勾股定理、最短路径等知识.将圆柱侧面展开，化曲面为平面并作出A关于EF的对称点A′是解题的关键.
例2．（2022·河南郑州·八年级期中）如图，这是一个长方体透明玻璃鱼缸，其中，高，水深，在鱼缸内水面上紧贴内壁处有一鱼饵，在水面线上，且．一只小虫想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内壁处吃鱼饵，小虫爬行的最短路线长为__________．
【答案】100cm
【分析】作点D关于AB的对称点D’，连接D’P交AB于点Q，小虫沿着D→Q→P的路线爬行时路程最短，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：如图所示作点D关于AB的对称点D’，连接D’P交AB于点Q，小虫沿着D→Q→P的路线爬行时路程最短．
在直角△D’EP中，D’E=80cm，EP=60cm，
∴DQ+QP=D’Q+QP=D’P=cm．
∴最短路线长为100cm．故答案为：100cm.
【点睛】本题考查平面展开-最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
变式1.（2022·山东菏泽·八年级阶段练习）如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为的半圆，其边缘．小明要在AB上选取一点E，能够使他从点D滑到点E再滑到点C的滑行距离最短，则他滑行的最短距离约为（ ）m．（取3）
A．30 B．28 C．25 D．22
【答案】C
【分析】根据题意画出侧面展开图，作点C关于AB的对称点F，连接DF，根据半圆的周长求得，根据对称求得，在Rt△CDF中，勾股定理求得．
【详解】其侧面展开图如图：作点C关于AB的对称点F，连接DF，
∵中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5cm的半圆，
∴BC=πR=2.5π=7.5cm，AB=CD=20cm，∴CF=2BC=15cm，
在Rt△CDF中，DF=cm，故他滑行的最短距离约为cm．故选C．
【点睛】本题考查了勾股定理最短路径问题，作出侧面展开图是解题的关键．
变式2．（2022·江苏无锡·八年级期中）爱动脑筋的小明某天在家玩遥控游戏时遇到下面的问题：已知，如图一个棱长为8cm无盖的正方体铁盒，小明通过遥控器操控一只带有磁性的甲虫玩具，他先把甲虫放在正方体盒子外壁A处，然后遥控甲虫从A处出发沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到边CD上后再在边CD上爬行3cm，最后在沿内壁面正方形ABCD上爬行，最终到达内壁BC的中点M，甲虫所走的最短路程是 ______cm
【答案】16
【分析】将正方形沿着翻折得到正方形 ，过点在正方形内部作，使，连接，过作于点，此时最小，运用勾股定理求解即可．
【详解】
如图，将正方形沿着翻折得到正方形 ，过点在正方形内部作，使，连接，过作于点，则四边形是矩形，四边形是平行四边形，∴，，，，
此时最小，
∵点是中点，∴cm，∴cm，cm，
在中，cm，
∴cm，故答案为：16．
【点睛】本题考查最短路径问题，考查了正方形的性质，矩形的性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理，轴对称性质等，解题的关键是将立体图形中的最短距离转换为平面图形的两点之间线段长度进行计算．
高频考点5.三角形和矩形中的翻折问题
【解题技巧】勾股定理在有关图形折叠计算的问题中的共同方法是：在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一未知数为x，将此三角形中的三边长用具体数或含x的代数式表示，再利用勾股定理列出方程，从而得出要求的线段的长度。
例1．（2022·江苏九年级专题练习）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使D点与BC边的中点D′重合．若BC=8，CD=6，则CF的长为_________________．
【答案】
【分析】设，在中利用勾股定理求出x即可解决问题．
【详解】解：∵是的中点，，，∴，
由折叠的性质知：，设，则，
在中，根据勾股定理得：，
即：，解得，∴．故答案为：
【点睛】本题考查翻折变换、勾股定理，解题的关键是利用翻折不变性解决问题，学会转化的思想，利用方程的去思考问题，属于中考常考题型．
例2．（2022·四川成都市·八年级期末）如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE，DE分别交AB于点G，F，若GE＝GB，则CP的长为____．
【答案】
【分析】根据折叠的性质可得出DC=DE、CP=EP，由∠EOF=∠BOP、∠B=∠E、GE=GB可得出△GEF≌△GBP，根据全等三角形的性质可得出GF=GP、EF=BP，设BF=EP=CP=x，则AF=4-x，BP=3-x=EF，DF=DE-EF=4-（3-x）=x+1，在Rt△ADF中，依据AF2+AD2=DF2，可得到x的值．
【详解】解：根据折叠可知：△DCP≌△DEP，∴DC=DE=4，CP=EP．
在△GEF和△GBP中，，∴△OEF≌△OBP（ASA），∴EF=BP，GF=GP，∴BF=EP=CP，
设BF=EP=CP=x，则AF=4-x，BP=3-x=EF，DF=DE-EF=4-（3-x）=x+1，
∵∠A=90°，∴Rt△ADF中，AF2+AD2=DF2，
∴（4-x）2+32=（1+x）2，∴x=，∴CP=，故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，设要求的线段长为x，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程是解决问题的关键．
例3．（2022·福建·八年级课时练习）如图，在长方形ABCD中，AB＝8，AD＝10，点E为BC上一点，将△ABE沿AE折叠，点B恰好落在线段DE上的点F处，则BE的长为______．
【答案】
【分析】设，则，由折叠的性质可知，，在中利用勾股定理表示出，在中，利用勾股定理列方程求解．
【详解】解：设，则，
由折叠的性质可知，，，．
在中，，．
在中，，即，解得．的长为．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，折叠的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
例4．（2022·成都八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点E是AB边上一点．将△CEB沿直线CE折叠到△CEF，使点B与点F重合．当CF⊥AB时，线段EB的长为_____．
【答案】2
【分析】设CF与AB交于点H，利用勾股定理求出AB，利用面积法求出CH，求出HF和BH，设BE=EF=x，在△EHF中利用勾股定理列出方程，解之即可．
【详解】解：设CF与AB交于点H，∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB==5，
∴S△ABC=，即，∴CH=，
由折叠可知：CF=CB=4，∴HF=CF-CH=，
在△BCH中，BH=，设BE=EF=x，则EH=-x，
在△EHF中，，∴，解得：x=2，∴EB=2，故答案为：2．
【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，解题的关键是利用折叠的性质得到相等线段，利用勾股定理列出方程．
例5．（2022·贵州遵义·八年级期末）在中，，，，点、分别是直角边和斜边上的点，把沿着直线折叠，点恰好落在边的中点上，则线段的长度为（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】B
【分析】由折叠的性质可得AE＝DE，则DE＝8－BE，在Rt△BDE中，利用勾股定理构建方程求出BE即可．
【详解】解：由折叠的性质可得AE＝DE，
∵，，，点是边的中点，∴DE＝AE＝8－BE，BD＝，
在Rt△BDE中，BD2＋BE2＝DE2，即，解得：BE＝，故选：B．
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，利用勾股定理得出关于BE的方程是解题的关键．
例6．（2022·河南开封·八年级期末）如图，在，，，，以为折痕将翻折，使点与点重合，则的长为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【分析】根据勾股定理可以求得，再由勾股定理列出方程即可得出答案．
【详解】解：∵在，，，，∴,
设，则，由折叠可知，
在中，，∴，
∴，∴．∴．故选：C．
【点睛】本题考查了利用勾股定理列方程求线段，准确列出方程是解题的关键．
变式1．（2022·重庆南开中学八年级月考）如图，已知ABCD是长方形纸片，，在CD上存在一点E，沿直线AE将折叠，D恰好落在BC边上的点F处，且，则的面积是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据面积求出BF、AF、CF，设DE为x，列方程求出即可．
【详解】解：ABCD是长方形纸片，∴AB=CD=3，
，∴，∴BF=4，∴AF=，
∴AF=AD=BC=5，CF=1，设DE为x，EF=DE=x，EC=3-x，
x2=(3-x)2+1，解得，x= ，∴，故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理与翻折，解题关键是恰当的设未知数，根据勾股定理列方程．
变式2．（2022·江苏·靖江市八年级期中）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB=6，BC=9，则BF的长为 _______
【答案】4
【分析】首先求出BC′的长度，设出C′F的长，根据勾股定理列出关于线段C′F的方程，解方程求出C′F的长，即可解决问题．
【详解】∵四边形ABCD为矩形，∴∠B＝90°；
∵点C′为AB的中点，AB＝6，∴BC′＝3；
由题意得：C′F＝CF（设为x），则BF＝9 x，
由勾股定理得：x2＝32＋(9 x)2，解得：x＝5，
∴BF＝9 5＝4．故答案为4．
【点睛】本题以矩形为载体，以翻折变换为方法，以考查翻折变换的性质、勾股定理的应用等几何知识点为核心构造而成；灵活运用有关定理来解题是关键．
变式3．（2022·上海松江·八年级期末）如图，长方形ABCD中，BC=5，AB=3，点E在边BC上，将△DCE沿着DE翻折后，点C落在线段AE上的点F处，那么CE的长度是________．
【答案】
【分析】由对折先证明再利用勾股定理求解 再证明 从而求解 于是可得答案.
【详解】解： 长方形ABCD中，BC=5，AB=3，
由折叠可得：
故答案为：
【点睛】本题考查的是长方形的性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，求解是解本题的关键.
变式4．（2022·四川九年级期中）如图，在RtABC的纸片中，∠C＝90°，AC＝7，AB＝25．点D在边BC上，以AD为折痕将ADB折叠得到，与边BC交于点E．若为直角三角形，则BD的长是_____．
【答案】17或
【分析】由勾股定理可以求出的长，由折叠可知对应边相等，对应角相等，当为直角三角形时，可以分为两种情况进行考虑，分别利用勾股定理可求出的长．
【详解】解：在中，，
（1）当时，如图1，过点作，交的延长线于点，
由折叠得：，，设，则，，
在中，由勾股定理得：，
即：，解得：（舍去），，因此，．
（2）当时，如图2，此时点与点重合，
由折叠得：，则，设，则，，
在△中，由勾股定理得：，解得：，因此．故答案为：17或．
【点睛】本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是：分类讨论思想的应用注意分类的原则是不遗漏、不重复．
变式1．（2022·北京市八年级期中）如图，中，，将折叠，使点C与的中点D重合，折痕交于点M，交于点N，则线段的长为（ ）.
A． B． C．3 D．
【答案】D
【分析】由折叠的性质可得DN=CN，根据勾股定理可求DN的长，即可得出结果．
【详解】解：∵D是AB中点，AB=4，∴AD=BD=2，
∵将△ABC折叠，使点C与AB的中点D重合，∴DN=CN，∴BN=BC-CN=6-DN，
在Rt△DBN中，DN2=BN2+DB2，∴DN2=（6-DN）2+4，∴DN=，∴CN=DN=，故选：D．
【点睛】本题考查了翻折变换、折叠的性质、勾股定理，熟练运用折叠的性质是本题的关键．
变式1．（2022·安徽·合肥市八年级期中）如图，在中，，，．将折叠，使点B恰好落在边AC上．与点重合，AE为折痕，则的长为（ ）
A．12 B．25 C．20 D．15
【答案】D
【分析】由勾股定理可求出AC，再由折叠的性质可知，，进而可得，设，在中，由勾股定理列方程即可求解．
【详解】解：∵在中，，，， ，
∵折叠，点B与点重合， ， ， ， ，
设，则 ，
又 ，在中， ，
即 ，解得： ， ．故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质以及勾股定理列方程是解题的关键．
高频考点6.三角形和矩形中的旋转问题
例1．（2022·贵州九年级）如图，矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，边与交于点，延长交于点，若，则的长为______．
【答案】
【分析】连接，过点作，设，分别解得的长，继而证明，由全等三角形的性质得到，由此解得，最后在中，利用勾股定理解得的值，据此解题．
【详解】如图，连接，过点作，
设，则矩形中
在与中，
在中，
，故答案为：．
【点睛】本题考查旋转变换、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
变式1．（2022·湖北阳新初二期末）（问题原型）如图1，在等腰直角三形ABC中，∠ACB=90°，BC=8．将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连结CD，过点D作△BCD的BC边上的高DE，易证△ABC≌△BDE，从而得到△BCD的面积为 ．
（初步探究）如图2．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连结CD．用含a的代数式表示△BCD的面积并说明理由．
（简单应用）如图3，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连续CD，求△BCD的面积(用含a的代数式表示)．
【答案】【问题原型】32；【初步探究】△BCD的面积为a2；【简单应用】△BCD的面积为a2．
【分析】问题原型：如图1中，△ABC≌△BDE，就有DE=BC=8．进而由三角形的面积公式得出结论；
初步探究：如图2中，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E，由垂直的性质就可以得出△ABC≌△BDE，就有DE=BC=a．进而由三角形的面积公式得出结论；
简单运用：如图3中，过点A作AF⊥BC与F，过点D作DE⊥BC的延长线于点E，由等腰三角形的性质可以得出BF=BC，由条件得出△AFB≌△BED就可以得出BF=DE，由三角形的面积公式就可以得出结论．
【解析】问题原型：如图1中，
，，
如图2中，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E，∴∠BED=∠ACB=90°．
∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BE，∴AB=BD，∠ABD=90°，∴∠ABC+∠DBE=90°．
∵∠A+∠ABC=90°，∴∠A=∠DBE．
在△ABC和△BDE中，，∴△ABC≌△BDE(AAS)，∴BC=DE=8．
∵S△BCDBC DE，∴S△BCD=32．故答案为：32．
初步探究：△BCD的面积为a2．
理由：如图2中，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E．∴∠BED=∠ACB=90°
∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BE，∴AB=BD，∠ABD=90°，∴∠ABC+∠DBE=90°．
∵∠A+∠ABC=90°，∴∠A=∠DBE．
在△ABC和△BDE中，，∴△ABC≌△BDE(AAS)，∴BC=DE=a．
∵S△BCDBC DE，∴S△BCDa2；
简单应用：如图3中，过点A作AF⊥BC与F，过点D作DE⊥BC的延长线于点E，
∴∠AFB=∠E=90°，BFBCa，∴∠FAB+∠ABF=90°．
∵∠ABD=90°，∴∠ABF+∠DBE=90°，∴∠FAB=∠EBD．
∵线段BD是由线段AB旋转得到的，∴AB=BD．
在△AFB和△BED中，，∴△AFB≌△BED(AAS)，∴BF=DEa．
∵S△BCDBC DE，∴S△BCD a aa2，∴△BCD的面积为a2．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时证明三角形全等是关键．
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专题06 勾股定理中的最短路线与翻折问题 （精讲）
【知识储备】
勾股定理中的最短路径问题
几何体中最短路径基本模型如下：
基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解。
高频考点1.圆柱有关的最短路径问题
【解题技巧】计算跟圆柱有关的最短路径问题时，要注意圆柱的侧面展开图为矩形，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意展开后两个端点的位置，有时候需要用底面圆的周长进行计算，有时候需要用底面圆周长的一半进行计算。
要点总结：
1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算；
2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。
例1．（2022·四川成都·八年级期中）如图所示，有一圆柱，其高为8cm，它的底面半径为1cm，在圆柱下底面A处有一只蚂蚁，它想得到上面B处的食物，则蚂蚁经过的最短距离为___cm．（π取3）
例2．（2022·湖北武汉·八年级期中）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯顶部C处有一滴蜂蜜离杯顶B点的曲线长度为，此时一只蚂蚁正好也在杯外壁，离杯底点A处，则蚂蚁从外壁A处到C处的最短距离为__________．（杯壁厚度不计）
变式1．（2022·广东茂名·九年级期末）如图，圆柱形玻璃容器高12cm，底面周长为24cm，在容器外侧距下底1cm的点A处有一只蚂蚁，在蚂蚁正对面距容器上底2cm的点B处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为______cm．
变式2．（2022·河南·开封市八年级期中）如图，圆柱底面半径为4厘米，高厘米，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B，求棉线最短为__________．
高频考点2.长方体有关的最短路径问题想
【解题技巧】计算跟长方体有关的最短路径问题时，要熟悉长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短结合勾股定理进行求解，注意长方体展开图的多种情况和分类讨论。
要点总结：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三种情况进行讨论；
2）两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同。
例1．（2022·山东淄博·七年级期末）如图，桌面上的长方体长为8，宽为6，高为4，B为的中点.一只蚂蚁从A点出发沿长方体的表面到达B点，则它运动的最短路程为（ ）
A．10 B． C．14 D．18
变式1．（2022·广东·八年级期中）如图，一个三棱柱盒子底面三边长分别为3cm，4cm，5cm，盒子高为9cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒子的表面爬行一周到盒顶的点B，蚂蚁要爬行的最短路程是_______cm．
变式2．（2022·陕西渭南·八年级期中）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B在棱上且离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（ ）
A．25 B．5 C． D．5
高频考点3.阶梯中的最短路径问题
【解题技巧】根据两点之间线段之和最小进行解决。
要点总结：展开—定点—连线—勾股定理
例1．（2022·河南·郑州市八年级期末）在一个长11cm，宽5cm的长方形纸片上，如图放置一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且大于纸片的宽，它的底面边长为1cm的等边三角形，一只蚂蚁从点A处到点C处的最短路程是________cm．
例2．（2022·宁夏吴忠·八年级期末）如图，一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是_____．
变式1．（2022·福建八年级期末）如图，在一个长AB为6m，宽AD为4m的矩形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽AD平行，横截面是边长为1m的正方形，一只蚂蚁从点A处爬过木块到达点C处需要走的最短路程是______m．
高频考点4.将军饮马与最短路径问题
【解题技巧】解决线段之和最小值问题：对称+连线，根据两点之间线段最短解决。
要点总结：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定理求解。
例1.（2022·重庆初二月考）圆柱形杯子的高为18cm，底面周长为24cm，已知蚂蚁在外壁A处（距杯子上沿2cm）发现一滴蜂蜜在杯子内（距杯子下沿4cm），则蚂蚁从A处爬到B处的最短距离为（ ）
A． B．28 C．20 D．
例2．（2022·河南郑州·八年级期中）如图，这是一个长方体透明玻璃鱼缸，其中，高，水深，在鱼缸内水面上紧贴内壁处有一鱼饵，在水面线上，且．一只小虫想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内壁处吃鱼饵，小虫爬行的最短路线长为__________．
变式1.（2022·山东菏泽·八年级阶段练习）如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为的半圆，其边缘．小明要在AB上选取一点E，能够使他从点D滑到点E再滑到点C的滑行距离最短，则他滑行的最短距离约为（ ）m．（取3）
A．30 B．28 C．25 D．22
变式2．（2022·江苏无锡·八年级期中）爱动脑筋的小明某天在家玩遥控游戏时遇到下面的问题：已知，如图一个棱长为8cm无盖的正方体铁盒，小明通过遥控器操控一只带有磁性的甲虫玩具，他先把甲虫放在正方体盒子外壁A处，然后遥控甲虫从A处出发沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到边CD上后再在边CD上爬行3cm，最后在沿内壁面正方形ABCD上爬行，最终到达内壁BC的中点M，甲虫所走的最短路程是 ______cm
高频考点5.三角形和矩形中的翻折问题
【解题技巧】勾股定理在有关图形折叠计算的问题中的共同方法是：在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一未知数为x，将此三角形中的三边长用具体数或含x的代数式表示，再利用勾股定理列出方程，从而得出要求的线段的长度。
例1．（2022·江苏九年级专题练习）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使D点与BC边的中点D′重合．若BC=8，CD=6，则CF的长为_________________．
例2．（2022·四川成都市·八年级期末）如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE，DE分别交AB于点G，F，若GE＝GB，则CP的长为____．
例3．（2022·福建·八年级课时练习）如图，在长方形ABCD中，AB＝8，AD＝10，点E为BC上一点，将△ABE沿AE折叠，点B恰好落在线段DE上的点F处，则BE的长为______．
例4．（2022·成都八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点E是AB边上一点．将△CEB沿直线CE折叠到△CEF，使点B与点F重合．当CF⊥AB时，线段EB的长为_____．
例5．（2022·贵州遵义·八年级期末）在中，，，，点、分别是直角边和斜边上的点，把沿着直线折叠，点恰好落在边的中点上，则线段的长度为（ ）
A． B． C．3 D．4
例6．（2022·河南开封·八年级期末）如图，在，，，，以为折痕将翻折，使点与点重合，则的长为（ ）
A． B．1 C． D．
变式1．（2022·重庆南开中学八年级月考）如图，已知ABCD是长方形纸片，，在CD上存在一点E，沿直线AE将折叠，D恰好落在BC边上的点F处，且，则的面积是（ ）．
A． B． C． D．
变式2．（2022·江苏·靖江市八年级期中）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB=6，BC=9，则BF的长为 _______
变式3．（2022·上海松江·八年级期末）如图，长方形ABCD中，BC=5，AB=3，点E在边BC上，将△DCE沿着DE翻折后，点C落在线段AE上的点F处，那么CE的长度是________．
变式4．（2022·四川九年级期中）如图，在RtABC的纸片中，∠C＝90°，AC＝7，AB＝25．点D在边BC上，以AD为折痕将ADB折叠得到，与边BC交于点E．若为直角三角形，则BD的长是_____．
变式1．（2022·北京市八年级期中）如图，中，，将折叠，使点C与的中点D重合，折痕交于点M，交于点N，则线段的长为（ ）.
A． B． C．3 D．
变式1．（2022·安徽·合肥市八年级期中）如图，在中，，，．将折叠，使点B恰好落在边AC上．与点重合，AE为折痕，则的长为（ ）
A．12 B．25 C．20 D．15
高频考点6.三角形和矩形中的旋转问题
例1．（2022·贵州九年级）如图，矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，边与交于点，延长交于点，若，则的长为______．
变式1．（2022·湖北阳新初二期末）（问题原型）如图1，在等腰直角三形ABC中，∠ACB=90°，BC=8．将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连结CD，过点D作△BCD的BC边上的高DE，易证△ABC≌△BDE，从而得到△BCD的面积为 ．
（初步探究）如图2．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连结CD．用含a的代数式表示△BCD的面积并说明理由．
（简单应用）如图3，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连续CD，求△BCD的面积(用含a的代数式表示)．
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专题06 勾股定理中的最短路线与翻折问题（精练）
一、选择题
1．（2022·山西八年级期末）如图所示，是长方形地面，长，宽，中间整有一堵砖墙高，一只蚂蚁从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走（ ）
A．20 B．24 C．25 D．26
【答案】D
【分析】将题中图案展开后，连接AC，利用勾股定理可得AC长，将中间的墙展开在平面上，则原矩形长度增加宽度不变，求出新矩形的对角线长即为所求．
【详解】解：展开如图得新矩形，连接AC，则其长度至少增加2MN，宽度不变，
由此可得：，
根据勾股定理有：故选D．
【点睛】本题考查平面展开图形最短路线问题以及勾股定理得应用；解题关键在于根据题意画出正确的平面展开图．
2.（2022·重庆八年级期中）如图，长方体的底面边长是1cm和3cm，高是6cm，如果用一根细线从点开始经过个侧面缠绕一圈到达，那么用细线最短需要（ ）
A．12cm B．10cm C．13cm D．11cm
【答案】B
【分析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”，利用勾股定理求出所需结果．
【详解】解：如图，将长方体展开，连接A、B′，则AA′＝1＋3＋1＋3＝8（cm）， A′B′＝6cm，
根据两点之间线段最短，由勾股定理得：AB′2＝AA′2+A′B′2＝82＋62＝102cm，所以AB′＝10 cm．故选：B．
【点睛】本题考查了平面展开 最短路径问题，本题的关键是把长方体的侧面展开“化立体为平面”，构造直角三角形运用勾股定理解决．
3．（2022·山东青岛·八年级期末）如图，一个圆桶，底面直径为16cm，高为18cm，则一只小虫从下底点A处爬到上底B处再回到A处，则小虫所爬的最短路径长是（ ）（取3）
A．60cm B．40cm C．30cm D．20cm
【答案】A
【分析】先将圆柱的侧面展开为一矩形，而矩形的长就是底面周长的一半，高就是圆柱的高，再根据勾股定理就可以求出其值．
【详解】解：展开圆柱的侧面如图，
根据两点之间线段最短就可以得知AB最短． 由题意，得AC=3×16÷2=24，
在Rt△ABC中，由勾股定理，得cm．
∵一只小虫从下底点A处爬到上底B处再回到A处，∴最短路径长为60cm.故选：A．
【点睛】本题考查了圆柱侧面展开图的运用，两点之间线段最短的运用，勾股定理的运用．在解答时将圆柱的侧面展开是关键．
4．（2022·浙江金华初三月考）如图，圆柱底面半径为cm，高为18cm，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为（ ）
A．24cm B．30cm C．2cm D．4cm
【答案】B
【分析】要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将圆柱体展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【解析】解：圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路线是：AC→CD→DB；即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，A沿着3个长方形的对角线运动到B的路线最短；∵圆柱底面半径为cm，∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长：2π×＝8cm；
又∵圆柱高为18cm，∴小长方形的一条边长是6cm；
根据勾股定理求得AC＝CD＝DB＝10cm；∴AC+CD+DB＝30cm；故选：B．
【点睛】本题主要考查了圆柱的计算、平面展开 路径最短问题．圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高．本题就是把圆柱的侧面展开成长方形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
5．（2022·江苏扬州江都区教育局九年级模拟）如图，把正方形纸片沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点C折叠纸片，使点C落在MN上的点F处，折痕为BE．若AB的长为1，则FM的长为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据翻折得到，，在中，可利用勾股定理求出FM的值．
【详解】解：四边形是正方形，，由折叠的性质可知，，，
在中，由勾股定理得：．故选：B．
【点睛】本题考查翻折、正方形的性质、勾股定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
6．（2022·江苏西附初中八年级月考）如图，中，，，，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据折叠的性质可知AC=CD，∠A=∠CDE，CE⊥AB，Rt△ABC中根据勾股定理求得AB=5，再根据三角形的面积可求得B′F的长．
【详解】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，
根据折叠的性质可知AC＝CD，∠A＝∠CDE，CE⊥AB，
∴B′D＝BC﹣CD＝4﹣3＝1，∠DCE+∠B′CF＝∠ACE+∠BCF，
∵∠ACB＝90°，∴∠ECF＝45°，∴△ECF是等腰直角三角形，
∴EF＝CE，∠EFC＝45°，∴∠BFC＝∠B′FC＝135°，∴∠B′FD＝90°，
∵S△ABC＝AC BC＝AB CE，∴AC BC＝AB CE，∴CE＝，
∴EF＝，ED＝AE＝，∴DF＝EF﹣ED＝∴B′F＝．选：A．
【点睛】此题主要考查了翻折变换，勾股定理的应用等，根据折叠的性质求得相等的角是本题的关键．
7．（2022·云南昆明·八年级期末）如图，将矩形ABCD沿直线DE折叠，顶点A落在BC边上F处，已知，，则BF的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【分析】由折叠的性质得到，，根据勾股定理求出BF的长即可求解．
【详解】解：由折叠的性质知：，，
在中，，，由勾股定理可得：．故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用和折叠的性质，理解折叠的性质是解答关键．
8．（2022·广东·东莞市一模）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将△ACD沿直线AD折叠，使点C落在斜边AB上的点E处，则CD的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根据勾股定理求得AB的长，再根据折叠的性质求得AE，BE的长，从而利用勾股定理可求得CD的长．
【详解】解：∵AC＝6cm，BC＝8cm，∠C＝90°，∴AB＝（cm），
由折叠的性质得：AE＝AC＝6cm，∠AED＝∠C＝90°，∴BE＝10cm 6cm＝4cm，∠BED＝90°，
设CD＝x，则BD＝BC CD＝8 x，在Rt△DEB中，BE2＋DE2＝BD2，
即42＋x2＝（8 x）2，解得：x＝3（cm），∴CD＝3cm，故选：B．
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理等知识；熟记折叠性质并表示出Rt△DEB的三边，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键．
9．（2022·江苏无锡·八年级期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则AE的长为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【分析】先利用折叠的性质得到，设，则，，在中，根据勾股定理可得到，求解即可．
【详解】解：∵沿DE翻折，使点A与点B重合，∴，∴，
设，则，，
在中，∵，∴，解得，∴，故选：D．
【点睛】本题考查折叠的性质及勾股定理的应用，理解题意，熟练掌握勾股定理解三角形是解题关键．
10．（2022·江苏初二期末）如图，在中，cm，cm，点D、E分别在AC、BC上，现将沿DE翻折，使点C落在点处，连接，则长度的最小值 （ ）
A．不存在 B．等于 1cm C．等于 2 cm D．等于 2.5 cm
【答案】C
【分析】当C′落在AB上，点B与E重合时，AC'长度的值最小，根据勾股定理得到AB=5cm，由折叠的性质知，BC′=BC=3cm，于是得到结论．
【解析】解：当C′落在AB上，点B与E重合时，AC'长度的值最小，
∵∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，∴AB=5cm，
由折叠的性质知，BC′=BC=3cm，∴AC′=AB-BC′=2cm．故选：C．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
11．（2022·江苏初二课时练习）如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB2．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB＝（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【分析】MN表示直线a与直线b之间的距离，是定值，只要满足AM+NB的值最小即可．过A作直线a的垂线，并在此垂线上取点A′，使得AA′＝MN，连接A'B，则A'B与直线b的交点即为N，过N作MN⊥a于点M．则A'B为所求，利用勾股定理可求得其值．
【解析】过A作直线a的垂线，并在此垂线上取点A′，使得AA′＝4，连接A′B，与直线b交于点N，过N作直线a的垂线，交直线a于点M，连接AM，过点B作BE⊥AA′，交射线AA′于点E，
如图，∵AA′⊥a，MN⊥a，∴AA′∥MN．
又∵AA′＝MN＝4，∴四边形AA′NM是平行四边形，∴AM＝A′N．
由于AM+MN+NB要最小，且MN固定为4，所以AM+NB最小．
由两点之间线段最短，可知AM+NB的最小值为A′B．
∵AE＝2+3+4＝9，AB2=120，∴BE2．
∵A′E＝AE﹣AA′＝9﹣4＝5，∴A′B8．
所以AM+NB的最小值为8．故选B．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用、平行线之间的距离，解答本题的关键是找到点M、点N的位置，难度较大，注意掌握两点之间线段最短．
二、填空题
12．（2022·江苏·无锡市东林中学八年级期末）如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD 边上的处，点A对应点为，且＝3，则BN＝______，AM＝______．
【答案】 5 2
【分析】由翻折的性质可知：BN=NB′，设BN=x，在Rt△CNB′中，利用勾股定理构建方程求出x；连接BM，MB′，由于CB′=3，则DB′=6，在Rt△ABM和Rt△MDB′中由勾股定理求得AM的值．
【详解】解：由翻折的性质可知：BN=NB′，设BN=x，
∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD=9，∠C=∠D=90°，
∵NB′2=CB′2+CN2，∴x2=（9-x）2+32，解得x=5，∴BN=5；设AM=y，连接BM，MB′，
在Rt△ABM中，AB2+AM2=BM2，在Rt△MDB′中，B′M2=MD2+DB′2，
∵MB=MB′，∴AB2+AM2=BM2=B′M2=MD2+DB′2，
即92+y2=（9-y）2+（9-3）2，解得y=2，即AM=2，故答案为：5；2．
【点睛】本题考查了翻折的性质，对应边相等，利用了勾股定理建立方程求解．
13．（2022·沭阳县修远中学八年级月考）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使D点与BC边的中点D′重合．若BC=8，CD=6，则CF的长为_________________．
【答案】
【分析】设，在中利用勾股定理求出x即可解决问题．
【详解】解：∵是的中点，，，∴，
由折叠的性质知：，设，则，
在中，根据勾股定理得：，
即：，解得，∴．故答案为：
【点睛】本题考查翻折变换、勾股定理，解题的关键是利用翻折不变性解决问题，学会转化的思想，利用方程的去思考问题，属于中考常考题型．
14．（2022·重庆市七年级期中）如图，在中，，点D，E分别在边，上，且，将沿折叠，点C恰好落在边上的F点，若，，，则的长为______．
【答案】
【分析】由三角形面积公式可求得，由折叠的性质可得，由直角三角形的性质可得，，即可求得AB．
【详解】解：∵将△CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB上的F处，∴OC＝OF，CF⊥DE，
∵，∴，∴，
∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，且∠CDE＋∠DCF＝90°，∠CDE＝∠B，
∴∠A＝∠ACF，∴，同理可求：，∴．故答案为：．
【点睛】本题考查翻折变换，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是综合运用相关知识解题．
15．（2022·辽宁鞍山·八年级期中）如图，的两直角边AC、BC的长分别为6、8，按图示那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则______．
【答案】
【分析】设CE=x，然后可得关于x的方程，解方程即可得到解答．
【详解】解：设CE=x，则AE=BE=BC-CE=8-x，∴在Rt△ACE中，由勾股定理可得：AC2+CE2=AE2，
即62+x2=（8-x）2，解方程可得：故答案为．
【点睛】本题考查直角三角形的综合应用，熟练掌握勾股定理及方程思想方法在几何中的应用是解题关键．
16．（2022·重庆八年级期末）如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为______dm．
【答案】17
【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【详解】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm，宽为，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，
由勾股定理得：，解得．故答案为：17．
【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．
17．（2022·陕西八年级期末）如图，长方体的棱AB长为4，棱BC长为3，棱BF长为2，P为HG的中点，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体的表面爬行到点处吃食物，那么它爬行的最短路程是___________．
【答案】5
【分析】利用平面展开图有3种情况，画出图形利用勾股定理求出MN的长即可．
【详解】解：分三种情况：如图1，,
如图2，，∴AP=5， 如图3，，
， 它爬行的最短路程为5，故答案为：5．
,
【点睛】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有3种情况分析得出是解题关键．
18．（2022·广东广州·八年级期中）如图，已知圆柱底面的周长为6dm，圆柱高为3dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为______．
【答案】
【分析】要求金属丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．
【详解】解：将圆柱侧面展开如图所示，此时这圈金属丝的周长最小为2AC，
∵圆柱底面的周长为6dm，圆柱高为3dm，∴AB=3dm，BC=3dm，
∴在Rt中，由勾股定理得：dm，则2AC=dm，
即：这圈金属丝的周长最小为dm．故答案为：.
【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”是解题的关键．
19．（2022·内蒙古鄂尔多斯·八年级期末）如图在三角形纸片ABC中，已知，，，过点A作直线l平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线l上的点P处，折痕为MN，当点P在直线l上移动时，折痕的端点M、N也随之移动，若限定端点M、N分别在AB、AC边上移动，则线段AP长度的最小值为________．
【答案】
【分析】P点往左运动，则M点向下运，N点就向右运动，则AP的值就变小．当N点与C点重合时，P点停止运动，此时AP的值最小．作PE⊥BC于E点，先根据勾股定理求出EC的长，再求出BE的长，则可知AP的长．
【详解】解：如图，
P点往左运动，则M点向下运，N点就向右运动，则AP的值就变小．当N点与C点重合时，P点停止运动，此时AP的值最小．作PE⊥BC于E点，
∵△ABC中，，AC=5，BC=4∴AB=3∴PE=3 根据折叠的性质PC=BC=4
∴EC=∴BE=BC-EC=∴AP=BE=故答案为
【点睛】本题是一道动点问题，主要考查了折叠的性质和勾股定理，关键是分析出N点与C点重合时AP的值最小．
三、解答题
20．（2021·江西景德镇·八年级期中）如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝．
(1)现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是______．
(2)如图①，求该长度最短的金属丝的长．
(3)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？
【答案】(1)A(2)(3)
【分析】（1）由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题；
（2）要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可；（3）若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是以周长及的高为直角三角形的斜边长的4倍．
(1)解：因圆柱的侧面展开面为长方形，展开应该是两线段，且有公共点．故选：A；
(2)解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度．
圆柱底面的周长，圆柱的高，该长度最短的金属丝的长为．
(3)解：若将金属丝从点B绕四圈到达点A，
则所需金属丝最短长度是以周长及的高为直角三角形的斜边长的4倍：．
【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，解题的关键是掌握圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
21．（2022·贵州·贵阳八年级阶段练习）如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．小明认为蚂蚁能够最快到达目的地的路径AC1，小王认为蚂蚁能够最快到达目的地的路径AC1′．已知AB=4，BC=4，CC1=5时，请你帮忙他们求出蚂蚁爬过的最短路径长．
【答案】最短路径长是．
【分析】根据题意，先将长方体展开，再根据两点之间线段最短．
【详解】解：蚂蚁沿着木柜表面经线段BB1到C1'，爬过的路径的长是AC1′；
蚂蚁沿着木柜表面经线段A1B1到C1，爬过的路径的长是AC1．
因为：AC1′＞AC1，所以最短路径长是．
【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，本题是一道趣味题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可．
22．（2022·山东淄博·七年级期末）如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于5cm、3cm、1cm，A和B是这两个台阶的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最短路线有多长？
【答案】13cm
【分析】先将台阶展开，可得AC=12cm，BC=5cm，∠C=90°，再由勾股定理，即可求解．
【详解】解：将台阶展开，如下图，
根据题意得：AC=3×3+1×3=12cm，BC=5cm，∠C=90°，∴，
即蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最短路线13cm．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确构造直角三角形是解题的关键．
23．（2022·福建省厦门第六中学八年级期中）如图，已知圆柱形茶杯，底面直径为5厘米，将长为20厘米的筷子沿底面放入杯中，筷子露在茶杯口外的最短长度是7厘米，求茶杯的高度．
【答案】茶杯的高度为12厘米
【分析】由题意得当△ABC为直角三角形，且∠ABC=90°时，筷子露在外面的长度最短，据此利用勾股定理求解即可．
【详解】解：由题意得当△ABC为直角三角形，且∠ABC=90°时，筷子露在外面的长度最短，此时CD=7厘米，AB=5厘米∴AC=20-7=13厘米，∴厘米，∴茶杯的高度为12厘米．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意确定当△ABC为直角三角形，且∠ABC=90°时，筷子露在外面的长度最短是解题的关键．
24.（2022·陕西长安·八年级期中）有一个如图所示的长方体透明玻璃水缸，高，水深，在水面线上紧贴内壁处有一粒食物，且，一只小虫想从水缸外的处沿水缸壁爬到水缸内的处吃掉食物．（1）你认为小虫应该沿怎样的路线爬行才能使爬行的路线最短，请你画出它爬行的最短路线，并用箭头标注．（2）求小虫爬行的最短路线长（不计缸壁厚度）．
【答案】（1）见解析；（2）100cm
【分析】(1)做出A关于BC的对称点A’，连接A’G，与BC交于点Q，由两点之间线段最短，此时A’G最短，即AQ+QG最短；(2)A’G为直角△A’EG的斜边，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：(1)如下图所示，作点A关于BC所在直线的对称点，连接，与交于点，
由两点之间线段最短，此时A’G最短，则为最短路线．
(2)∵，∴，∴．
在中，，，∴．
由对称性可知，∴．故小虫爬行的最短路线长为100cm．
【点睛】本题考查的是利用勾股定理求最短路径问题，本题的关键是根据对称性作出A的对称点A’，再根据两点之间线段最短，从而可找到路径求出解．
25．（2021·贵州遵义市·八年级期末）如图，在四边形ABCD形状的池塘上，要从C处出发，架设一座小桥CP连接对岸AD，已知AB＝BC＝6米，AB⊥BC，∠A＝105°且∠BCD＝135°，求小桥CP长度的最小值．
【答案】米
【分析】当CP⊥AD时，CP的长度最小，连接AC，根据等腰直角三角形的性质可得AC的长，根据∠BAP=105°可得∠ACP＝30°，再根据含30度角的直角三角形可得CP的长．
【详解】解：当CP⊥AD时，CP的长度最小， 如图，连接AC，
∵AB＝BC，∠B＝90°，∴∠BAC＝45°，∴∠PAC＝∠BAP﹣∠BAC＝105°﹣45°＝60°，
∵CP⊥AD，∴∠PCA＝30°，在Rt△ABC中，AB＝BC＝6米，∴AC＝＝6（米），
在Rt△APC中，AP＝AC＝3（米），∴CP＝（米）．
答：小桥CP长度的最小值为3米．
【点睛】本题考查了垂线段最短、勾股定理、和直角三角形的性质，解题关键是明确垂线段最短的性质，根据特殊角找的直角三角形边之间的关系，利用勾股定理求解．
26．（2022·山东九年级期中）早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．
将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．
如图2，作B关于直线l的对称点B′，连结AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置．
证明：如图3，在直线l上另取任一点C′，连结AC′，BC′，B′C′，
∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上，∴CB=CB′，C′B=C′B′，
∴AC+CB=AC+ = ．
在△AC′B′中，∵AB′＜AC′+C′B′∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小．
本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C在AB′与l的交点上，即A、C、B′三点共线）．本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型．
1.简单应用（1）如图4，在等边△ABC中，AB=6，AD⊥BC，E是AC的中点，M是AD上的一点，求EM+MC的最小值
借助上面的模型，由等边三角形的轴对称性可知，B与C关于直线AD对称，连结BM，EM+MC的最小值就是线段 的长度，则EM+MC的最小值是 ；
（2）如图5，在四边形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一点M、N当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM= °．
2.拓展应用:如图6，是一个港湾，港湾两岸有A、B两个码头，∠AOB=30°，OA=1千米，OB=2千米，现有一艘货船从码头A出发，根据计划，货船应先停靠OB岸C处装货，再停靠OA岸D处装货，最后到达码头B．怎样安排两岸的装货地点，使货船行驶的水路最短？请画出最短路线并求出最短路程．
【答案】C′B；AB′；简单应用：（1）BE；3；（2）100；拓展应用：作图见解析，货船行驶的水路最短路程为千米
【分析】1.简单应用（1）根据等边三角形的性质、勾股定理计算，得到答案；（2）作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算；2.拓展应用:分别作点A关于OB的对称点A′，点B关于OA的对称点B′，连接A′B′，交OB于C，交OA于D，根据轴对称的性质、勾股定理计算，得到答案．
【详解】解：AC+CB=AC+C′B=AB′，故答案为：C′B；AB′；
1.简单应用（1）由等边三角形的轴对称性可知，B与C关于直线AD对称，连结BM，
EM+MC的最小值就是线段BE的长度，BE=，
则EM+MC的最小值是，故答案为：BE；；
（2）如图5，作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，
则A′A″即为△AMN的周长最小值，∵∠DAB=130°，∴∠A′+∠A″=50°，
∵∠A′=∠MAA′，∠NAD=∠A″，且∠A′+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM=∠A′+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠A′+∠A″）=2×50°=100°，故答案为：100；
2.拓展应用:如图6，分别作点A关于OB的对称点A′，点B关于OA的对称点B′，连接A′B′，交OB于C，交OA于D，则C、D为两岸的装货地点，A′B′是货船行驶的水路最短路程，
由轴对称的性质可知，OA′=OA=1，OB′=OB=2，∠BOA′=∠AOB=30°，∠AOB′=∠AOB=30°，
∴∠A′OB′=90°，∴A′B′=，答：货船行驶的水路最短路程为千米．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路径问题、等腰三角形的性质、勾股定理，灵活运用轴对称变换的思想是解题的关键．
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专题06 勾股定理中的最短路线与翻折问题（精练）
一、选择题
1．（2022·山西八年级期末）如图所示，是长方形地面，长，宽，中间整有一堵砖墙高，一只蚂蚁从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走（ ）
A．20 B．24 C．25 D．26
2.（2022·重庆八年级期中）如图，长方体的底面边长是1cm和3cm，高是6cm，如果用一根细线从点开始经过个侧面缠绕一圈到达，那么用细线最短需要（ ）
A．12cm B．10cm C．13cm D．11cm
3．（2022·山东青岛·八年级期末）如图，一个圆桶，底面直径为16cm，高为18cm，则一只小虫从下底点A处爬到上底B处再回到A处，则小虫所爬的最短路径长是（ ）（取3）
A．60cm B．40cm C．30cm D．20cm
4．（2022·浙江金华初三月考）如图，圆柱底面半径为cm，高为18cm，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为（ ）
A．24cm B．30cm C．2cm D．4cm
5．（2022·江苏扬州江都区教育局九年级模拟）如图，把正方形纸片沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点C折叠纸片，使点C落在MN上的点F处，折痕为BE．若AB的长为1，则FM的长为（ ）
A．1 B． C． D．
6．（2022·江苏西附初中八年级月考）如图，中，，，，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·云南昆明·八年级期末）如图，将矩形ABCD沿直线DE折叠，顶点A落在BC边上F处，已知，，则BF的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
8．（2022·广东·东莞市一模）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将△ACD沿直线AD折叠，使点C落在斜边AB上的点E处，则CD的长为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·江苏无锡·八年级期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则AE的长为（ ）
A． B．3 C． D．
10．（2022·江苏初二期末）如图，在中，cm，cm，点D、E分别在AC、BC上，现将沿DE翻折，使点C落在点处，连接，则长度的最小值 （ ）
A．不存在 B．等于 1cm C．等于 2 cm D．等于 2.5 cm
11．（2022·江苏初二课时练习）如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB2．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB＝（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
二、填空题
12．（2022·江苏·无锡市东林中学八年级期末）如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD 边上的处，点A对应点为，且＝3，则BN＝______，AM＝______．
13．（2022·沭阳县修远中学八年级月考）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使D点与BC边的中点D′重合．若BC=8，CD=6，则CF的长为_________________．
14．（2022·重庆市七年级期中）如图，在中，，点D，E分别在边，上，且，将沿折叠，点C恰好落在边上的F点，若，，，则的长为______．
15．（2022·辽宁鞍山·八年级期中）如图，的两直角边AC、BC的长分别为6、8，按图示那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则______．
16．（2022·重庆八年级期末）如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为______dm．
17．（2022·陕西八年级期末）如图，长方体的棱AB长为4，棱BC长为3，棱BF长为2，P为HG的中点，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体的表面爬行到点处吃食物，那么它爬行的最短路程是___________．
18．（2022·广东广州·八年级期中）如图，已知圆柱底面的周长为6dm，圆柱高为3dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为______．
19．（2022·内蒙古鄂尔多斯·八年级期末）如图在三角形纸片ABC中，已知，，，过点A作直线l平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线l上的点P处，折痕为MN，当点P在直线l上移动时，折痕的端点M、N也随之移动，若限定端点M、N分别在AB、AC边上移动，则线段AP长度的最小值为________．
三、解答题
20．（2021·江西景德镇·八年级期中）如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝．
(1)现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是______．
(2)如图①，求该长度最短的金属丝的长．
(3)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？
21．（2022·贵州·贵阳八年级阶段练习）如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．小明认为蚂蚁能够最快到达目的地的路径AC1，小王认为蚂蚁能够最快到达目的地的路径AC1′．已知AB=4，BC=4，CC1=5时，请你帮忙他们求出蚂蚁爬过的最短路径长．
22．（2022·山东淄博·七年级期末）如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于5cm、3cm、1cm，A和B是这两个台阶的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最短路线有多长？
23．（2022·福建省厦门第六中学八年级期中）如图，已知圆柱形茶杯，底面直径为5厘米，将长为20厘米的筷子沿底面放入杯中，筷子露在茶杯口外的最短长度是7厘米，求茶杯的高度．
24.（2022·陕西长安·八年级期中）有一个如图所示的长方体透明玻璃水缸，高，水深，在水面线上紧贴内壁处有一粒食物，且，一只小虫想从水缸外的处沿水缸壁爬到水缸内的处吃掉食物．（1）你认为小虫应该沿怎样的路线爬行才能使爬行的路线最短，请你画出它爬行的最短路线，并用箭头标注．（2）求小虫爬行的最短路线长（不计缸壁厚度）．
25．（2021·贵州遵义市·八年级期末）如图，在四边形ABCD形状的池塘上，要从C处出发，架设一座小桥CP连接对岸AD，已知AB＝BC＝6米，AB⊥BC，∠A＝105°且∠BCD＝135°，求小桥CP长度的最小值．
26．（2022·山东九年级期中）早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．
将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．
如图2，作B关于直线l的对称点B′，连结AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置．
证明：如图3，在直线l上另取任一点C′，连结AC′，BC′，B′C′，
∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上，∴CB=CB′，C′B=C′B′，
∴AC+CB=AC+ = ．
在△AC′B′中，∵AB′＜AC′+C′B′∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小．
本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C在AB′与l的交点上，即A、C、B′三点共线）．本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型．
1.简单应用（1）如图4，在等边△ABC中，AB=6，AD⊥BC，E是AC的中点，M是AD上的一点，求EM+MC的最小值
借助上面的模型，由等边三角形的轴对称性可知，B与C关于直线AD对称，连结BM，EM+MC的最小值就是线段 的长度，则EM+MC的最小值是 ；
（2）如图5，在四边形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一点M、N当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM= °．
2.拓展应用:如图6，是一个港湾，港湾两岸有A、B两个码头，∠AOB=30°，OA=1千米，OB=2千米，现有一艘货船从码头A出发，根据计划，货船应先停靠OB岸C处装货，再停靠OA岸D处装货，最后到达码头B．怎样安排两岸的装货地点，使货船行驶的水路最短？请画出最短路线并求出最短路程．
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