中小学教育资源及组卷应用平台
专题07 平行线四大模型与动态模型（精讲）
平行线基本模型与动态角度问题在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，该份资料就平行线的四大模型（铅笔模型、猪蹄模型、拐弯模型、“5”字模型）和动态模型（翻折、旋转）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1、铅笔头模型
【解题技巧】如图，①已知：AB∥CD，结论：∠PAB+∠APB+∠PCD=360°；
②已知：∠PAB+∠APB+∠PCD=360°，结论：AB∥CD.
图①、图② 图③
③已知：AB∥CD，结论：∠1+∠2+…+∠n=180（n－1）.
例1、（2022.河北七年级月考）如图，已知：AB∥CD，求证：∠PAB+∠APB+∠PCD=360°；
【解析】方法一（破角）:过点P作PQ∥AB
则AB∥CD∥PQ ∴∠BAP+∠APQ=180°，∠CPQ+∠PCD=180°
∴∠BAP+∠APQ+∠CPQ+∠PCD=360° 即∠PAB+∠APB+∠PCD=360°.
方法二（添角）:连接AC，
易知，∠1+∠4=180°，∠2+∠3+∠P=180°∴∠1+∠4+∠2+∠3+∠P=360°
即∠PAB+∠APB+∠PCD=360°.
变式1．（2022·河北唐山·七年级期中）如图，已知，于点，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图，过点H作，过点F作，根据平行线的性质定理进行解答即可．
【详解】解：如图，过点H作，过点F作，
∴，，
∵，∴，∴，
∵， ， ，
∴， ， ∴，，
∵，，∴，∴，
∵，∴，
∴，∴．故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握判定与性质定理，正确作出辅助线是解题的关键．
变式2．（2022·广西钦州·七年级期末）如图，已知AB//CD，BE、DE的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE和∠CDE的平分线，交点为E1，第二次操作，分别作∠ABE1和∠CDE1的平分线，交点为E2，第三次操作，分别作∠ABE2和∠CDE2的平分线，交点为E3，...第n（n≥2）次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠CDEn﹣1的平分线，交点为En，若∠En＝α度，则∠BED＝___度．
【答案】
【分析】先过作，确定，再根据角平分线的性质确定与的关系，即可求解．
【详解】解：如下图，过作，
∵，∴，∴，
∵，∴；如下图，
∵和的平分线交点为
∴
∵和的平分线交点为，
∴；
∵和的平分线交点为，
∴；…
以此类推，∴当度时，度．故答案为 ．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义以及平行线性质：两直线平行，内错角相等的运用．解决问题的关键是作平行线构造内错角，找到角之间的关系．
例2．（2022·福建泉州七年级期末）问题情境：我市某中学班级数学活动小组遇到问题：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．
经过讨论形成的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可求得∠APC的度数．
（1）按该数学活动小组的思路，请你帮忙求出∠APC的度数；（2）问题迁移：如图3，∥，点在、两点之间运动时， ，．请你判断 、、 之间有何数量关系？并说明理由；（3）拓展应用：如图4，已知两条直线∥，点在两平行线之间，且的平分线与 ∠DFP的平分线相交于点Q，求的度数．
【答案】（1）110°；（2）∠CPD＝α＋β，见解析；（3）360°.
【解析】解：（1）过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD， ∴PE∥AB∥CD．∴∠A＋∠APE＝180°，∠C＋∠CPE＝180°
∵∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，∴∠APE＝50°，∠CPE＝60°，∴∠APC＝∠APE＋∠CPE＝110°．
（2）∠CPD＝α＋β，理由如下：过P作PE∥AD交CD于E．
∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠DPE＝α，∠CPE＝β，∴∠CPD＝∠DPE＋∠CPE＝α＋β．
（3）由（1）可得，∠P+∠BEP+∠DFP=360° 又∵QE平分∠PEB，QF平分∠PFQ
∴∠BEP=2∠BEQ，∠DFP=2∠DFQ ∴∠P+2∠Q=∠P+2（∠BEQ+∠DFQ）=∠P+∠BEP+∠DFP=360°.
变式3．（2022·吉林白山·七年级期中）如图，已知直线．这两直线之间一点．
（1）如图1，若与的平分线相交于点，若，求的度数．
（2）如图2，若与的平分线相交于点，与有何数量关系？并证明你的结论．
（3）如图3，若的平分线与的平分线所在的直线相交于点，请直接写出与之间的数量关系．
【答案】（1）∠ADB=50°；（2）∠ADB=180°-∠ACB，证明见解析；（3）∠ADB=90°-∠ACB．
【分析】（1）如图1，根据平行线的性质得到∠1=∠ADH，∠2=∠BDH，∠MAC=∠ACG，∠EBC=∠BCG，根据角平分线的定义得到，即可得到结论；
（2）根据平行线的性质得到∠1=∠ADH，∠2=∠BDH，∠NAC=∠ACG，∠FBC=∠BCG，根据角平分线的定义得到，根据平角的定义即可得到结论；
（3）根据平行线的性质得到∠1=∠ADH，∠2=∠BDH，∠NAC=∠ACG，∠FBC=∠BCG，根据平行线的定义得到，根据四边形的内角和和角的和差即可得到结论．
【详解】（1）如图1，过C作CG∥MN，DH∥MN，
∵MN∥EF，∴MN∥CG∥DH∥EF，∴∠1=∠ADH，∠2=∠BDH，∠MAC=∠ACG，∠EBC=∠BCG，
∵∠MAC与∠EBC的平分线相交于点D，
∴，∴；
∵∠ACB=100°，∴∠ADB=50°；
（2）如图2，过C作CG∥MN，DH∥MN，
∵MN∥EF，∴MN∥CG∥DH∥EF，
∴∠1=∠ADH，∠2=∠BDH，∠NAC=∠ACG，∠FBC=∠BCG，
∵∠MAC与∠EBC的平分线相交于点D∴
∴，
∴；
（3）如图3，过C作CG∥MN，DH∥MN，
∵MN∥EF，∴MN∥CG∥DH∥EF， ∴∠1=∠ADH，∠2=∠BDH，∠NAC=∠ACG，∠FBC=∠BCG，
∵∠MAC与∠FBC的平分线相交于点D ∴
∵
．∴
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．
变式4．（2022·湖北武汉·七年级期末）如图，已知，M，N分别是直线AB，CD上一点，点E在直线AB，CD之间．
(1)如图1，求证：；(2)如图2，F是EM上一点，NE平分，FH平分，试探究与之间的数量关系？并证明你的结论；(3)如图3，P为直线MN上一动点（不与点N重合），过点P作交直线CD于点G，∠PNG的角平分线和∠PGC的角平分线交于点O，则∠O的度数为______（直接写出结果）．
【答案】(1)证明见解析(2)2∠NHF=180°+∠BME，理由见解析(3)45°或135°
【分析】（1）如图所示，过点E作，利用平行线的性质得到∠MEF=∠BME，∠NEF=∠DNE，即可证明结论；（2）如图所示，过点F作，过点H作，同（1）可证∠MFG=∠BME，∠PHN=∠DNE，∠GFN=∠DNF，∠GFH+∠PHF=180°，再根据角平分线的定义得到∠NFE=2∠NFH，∠DNF=2∠DNE，在分别推出，，即可得到答案；
（3）分点P在点N上方和点P在点N下方，利用平行线的性质与角平分线的定义分类讨论求解即可．
（1）解：如图所示，过点E作，
∵，∴，∴∠MEF=∠BME，∠NEF=∠DNE，
∴∠BME+∠DME=∠MEF+∠NEF=∠MEN；
（2）解：解：2∠NHF=180°+∠BME，理由如下：
如图所示，过点F作，过点H作，同（1）可知，
∴∠MFG=∠BME，∠PHN=∠DNE，∠GFN=∠DNF，∠GFH+∠PHF=180°，
∴∠MFN=∠BME+∠DNF，
∵FN平分∠NFE，NE平分∠DNF，∴∠NFE=2∠NFH，∠DNF=2∠DNE，
∴∠NFE=2∠NFH=180°-∠MFN=180°-∠BME-2∠DNE，
∴，
∵∠GFH+∠PHF=180°，∴∠GFN+∠NFH+∠PHF=180°，∴2∠DNE+∠NFH+∠PHF=180°，
∴，
∴，∴2∠NHF=180°+∠BME；
（3）解：如图1所示，当点P在点N上方时，过点O作，
∴∠KOG=∠∠NGO，∠LON=∠GNO，∴∠OGN+∠ONG+∠GNO=∠KOG+∠LON+∠GON=180°，
∵∠OGC+∠OGN=180°，∴∠OGC=∠GON+∠ONG，同理可证∠OGC=∠GPN+∠PNG，
∵OG平分∠PGC，ON平分∠PNG，∴∠PNG=2∠ONG，∠PGC=2∠OGC，∴2∠OGC=∠GPN+2∠ONG，
∵PG⊥MN，∴∠GPN=90°，∴∠OGC=45°+∠ONG，∴∠GON=∠OGC-∠ONG=45°；
如图2所示，当点P在点N下方时，同上可证∠NPG+∠PNG+∠PGN=180°，∠O+∠ONG+∠OGN=180°，∠NPG=90°，∴∠PNG+∠PGN=90°，
∵NO平分∠PNG，GO平分∠PDN，∴∠PNG=2∠ONG，∠PGN=2∠OGN，
∴∠ONG+∠OGN=45°，∴∠O=135°，综上所述，∠O的度数为45°或135°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义，熟知平行线的性质是解题的关键．
例3．（2022·西安七年级月考）下列各图中的MA1与NAn平行．
（1）图①中的∠A1+∠A2= 度，图②中的∠A1+∠A2+∠A3= 度，
图③中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4= 度，图④中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5= 度，…，
第⑩个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A10= 度（2）第n个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An= ．
【答案】（1）180；360；540；720；1620；（2）180°（n﹣1）．
【解析】解：（1）∵MA1∥NA2，∴∠A1+∠A2=180°，
如图，分别过A2、A3、A4作MA1的平行线，图②中的∠A1+∠A2+∠A3=360°，
图③中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=540°，图④中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5=720°，…，
第⑩个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A10=1620°；
（2）第n个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An=180°（n﹣1）．
故答案为180，360，540，720，1620；180°（n﹣1）．
变式5．（2022·内蒙古包头·七年级期中）如图，已知A1BAnC，则∠A1＋∠A2＋…＋∠An等于__________(用含n的式子表示)．
【答案】
【分析】过点向右作，过点向右作，得到，根据两直线平行同旁内角互补即可得出答案．
【详解】解：如图，过点向右作，过点向右作
,
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质定理,根据题意作合适的辅助线是解题的关键．
变式6．（2022·贵州遵义市·七年级期末）[问题解决]（1）如图1，AB∥CD，点E、F分别是AB、CD上的点，连接OE、OF，探求∠1、∠2、∠3之间的关系，并说明理由．
[拓展延伸]（2）如图2，上述结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请写出它们的关系．
[拓展应用]（3）如图3，已知AB∥CD，∠AE1E2的角平分线与∠CEnEn﹣1的角平分线交于点O．若∠E1OEn＝m°，直接写出∠2+∠3+∠4+…+∠（n﹣2）+∠（n﹣1）的度数．（用含m、n的代数式表示）
【答案】（1）∠1+∠2+∠3＝360°；（2）∠1＝∠2+∠3；（3）（n﹣1） 180°﹣2m°.
【解析】解：[问题解决]∠1+∠2+∠3＝360°．理由如下：
过点O作OH∥AB，如图，∴∠1+∠EOH＝180°，
∵AB∥CD，∴OH∥CD，∴∠2+∠FOH＝180°，
∴∠1+∠EOH+2+∠FOH＝360°，即∠1+∠2+∠3＝360°；
[拓展延伸]∠1＝∠2+∠3．理由如下：过点O作OH∥AB，∴∠1＝∠EOH，
∵AB∥CD，∴OH∥CD，∴∠2＝∠FOH，又∵∠EOH＝∠3+∠FOH，∴∠1＝∠2+∠3；
[拓展应用]过E2点作E2H2∥AB，过E3作E3H3∥AB，…，过点En﹣2作En﹣2Hn﹣2∥AB，过点En﹣1作En﹣1Hn﹣1∥AB，过点O作OH∥AB，
∴∠AE1E2+∠E1E2H2＝∠H2E2E3+∠H3E3E2＝…＝∠Hn﹣2En﹣2+∠Hn﹣1En﹣1En﹣2＝∠Hn﹣1En﹣1En+∠En﹣1EnC＝180°，∴∠AE1E2+∠2+∠3+∠4+…+∠（n﹣2）+∠（n﹣1）+∠CEnEn﹣1＝（n﹣1） 180°，
∵∠AE1E2的角平分线与∠CEnEn﹣1的角平分线交于点O，∠E1OEn＝m°，
∴∠AE1E2+∠CEnEn﹣1＝2（∠AE1O+∠CEnEn﹣1），∴∠AE1O＝∠E1OH，
∵AB∥CD，∴OH∥CD，∴∠CEnO＝∠En﹣1OH，
∴∠AE1O+∠CEnO＝∠E1OEn＝m°，∴∠AE1E2+∠CEnEn﹣1＝2m°，
∴∠2+∠3+∠4+…+∠（n﹣2）+∠（n﹣1）═（n﹣1） 180°﹣2m°．
模型2、猪蹄模型（M型）
【解题技巧】如图，①已知：AB∥CD，结论：∠APC=∠A+∠C；
②已知：∠APC=∠A+∠C，结论：AB∥CD.
图①、图② 图③
③已知：AB∥CD，结论：∠A+∠P2+∠C=∠P1+∠P3.
例1、（2022.广东省初一月考）如图所示，已知：AB∥CD，求证：∠APC=∠A+∠C；
【解析】方法一（破角）:过点P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PQ∴∠1=∠2，∠3=∠4∴∠APC=∠2+∠3=∠1+∠4.
方法二（添角）: 连接AC，
∵AB∥CD ∴∠1+∠3+∠2+∠4=180°，又∠2+∠3+∠APC=180° ∴∠APC=∠1+∠4.
变式1.（2022·山东青岛期末）如图，，点在上，，，则下列结论正确的个数是（ ）
（1）；（2）；（3）；（4）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B.
【解析】解：过点E作EF∥AB，
（1）无法判断；
（2）∵AB//CD，AB//EF，∴EF//CD，∴∠AEF=70°，∠DEF=15°，∴∠AED=85°，正确；
（3）由（2）得：∠A=∠CEF=∠CED+∠DEF，∠DEF=∠D∴∠A=∠CED+∠D，正确；
（4）无法判断；故答案为：B．
变式2.（2022·渝中区期末）如图，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D.
【解析】解：过点E作EF∥AB，可得：AB∥EF∥CD
∴∠AEF+∠A=180°，∠FEC=∠C，∴∠A+∠AEC－∠C=180°
∴120°+∠AEC－40°=180°，即∠AEC=100°，故答案为：D．
例2．（2022·山东·德州七年级期中）请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题．
小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”．即
已知：如图1，，E为AB、CD之间一点，连接AE，CE得到．
求证：
小明笔记上写出的证明过程如下:
证明：过点E作
∵
∵，
∴
∴
∴
∴
请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题．
(1)如图，若，，求；
(2)如图，， BE平分， CF平分，，求．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）作，，如图，根据平行线的性质得，所以，，，然后利用等量代换计算；
（2）分别过G、H作AB的平行线MN和RS，根据平行线的性质和角平分线的性质可用和分别表示出和，从而可找到和的关系，结合条件可求得．
【详解】（1）作，，如图，且
∴∴，，
∴，
∵，∴；
（2）如图，分别过G、H作AB的平行线MN和RS，
∵平分，平分，
∴，，
∵∴
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，∴，∴．
【点睛】本题考查平行线的性质和判定的应用，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．
变式3.（2022·山西八年级期末）综合与探究
问题情境：综合实践课上，王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动．
（1）如图1，，点分别为直线上的一点，点为平行线间一点且，求度数；
问题迁移：（2）如图2，射线与射线交于点，直线，直线分别交于点，直线分别交于点，点在射线上运动．①当点在（不与重合）两点之间运动时，设．则之间有何数量关系？②若点不在线段上运动时（点与点三点都不重合），请你直接写出间的数量关系．
【答案】（1）110°；（2）①∠CPD=α+β；
②当P在BA延长线时，∠CPD=β－α；；当P在OB之间时，∠CPD=α－β.
【解析】解：（1）过P作PG∥EF，则PG∥EF∥MN，∴∠PAF+∠GPA=180°，∠PBN+∠GPB=180°
∴∠GPA=180°－130°=50°，∠GPB=180°－∠PBN=60°∴∠APB=∠GPA +∠GPB=50°+60°=110°.
（2）①∠CPD=∠α+∠β. ②当P在BA延长线时，∠CPD=β－α.过P作PE∥AD交AD于E，
∵AD∥BC，∴∠DPE=α，∠CPE=β ∴∠CPD=β－α.
当P在OB之间时，∠CPD=α－β 过P作PE∥AD交CD于E，同理，得：∠CPD=α－β.
变式4.（2022·河南七年级期末）把一块含60°角的直角三角尺放在两条平行线之间．（1）如图1，若三角形的60°角的顶点放在上，且，求的度数；
（2）如图2，若把三角尺的两个锐角的顶点分别放在和上，请你探索并说明与间的数量关系；（3）如图3，若把三角尺的直角顶点放在上，30°角的顶点落在上，请直接写出与的数量关系．
【答案】（1）40°；（2）∠AEF+∠FGC=90°；（3）∠AEG+∠CFG=300°.
【解析】解：(1)∵AB∥CD，∴∠1=∠EGD，
∵∠2+∠FGE+∠EGD=180°，∠2=2∠1，∴2∠1+60°+∠1=180°，∴∠1=40°；
(2)过点F作FP∥AB，
∵CD∥AB，∴FP∥AB∥CD，∴∠AEF=∠EFP，∠FGC=∠GFP.
∴∠AEF+∠FGC=∠EFP+∠GFP=∠EFG，∵∠EFG=90°，∴∠AEF+∠FGC=90°；
(3) ∠AEG+∠CFG =300°，理由如下∵AB∥CD，∴∠AEF+∠CFE=180°，
即∠AEG 30°+∠CFG 90°=180°，整理得：∠AEG+∠CFG =300°．
模型3、拐弯模型
【解题技巧】类型1（鸟嘴形）：如图，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3.
类型2（骨折形）：如图，AB∥CD，结论：∠2=∠1+∠3.
例1．（2022.广东七年级期中）如图，已知AB∥CD，求证：∠1=∠2+∠3.
【解析】证法1（添角）：过点P作PQ∥AB，则AB∥CD∥PQ
∴∠2+∠3+∠4=180°，∠1+∠4=180°∴∠1=∠2+∠3.
证法2：延长AB交PD于Q，则∠2=∠4，∠1+∠5=180°，∠5+∠3+∠4=180°
∴∠1=∠3+∠4=∠2+∠3.
变式1．（2022·山东德州·七年级期末）已知，平分，，，则___________．
【答案】##30度
【分析】作于，作于，则，设，则，，再根据角平分线的定义可得，设，则，然后根据平行线的性质可得，，，，从而可得，代入可求出的值，由此即可得．
【详解】解：如图，作于，作于，
则，设，则，，
平分，，设，则，
，，，
，，，
，，
又，，解得，
则，故答案为：．
【点睛】本题考查了平行公理推论、平行线的性质等知识点，通过作辅助线，构造平行线是解题关键．
变式2．（2022·湖北武汉·七年级阶段练习）如图（1），直线与直线，分别交于点，，与互补．（1）试判断直线与直线的位置关系，并说明理由；
（2）如图（2），与的角平分线交于点，延长线与交于点，点是上一点，且，试判断直线与的位置关系，并说明理由；（3）如图（3），点为，之间一点，，分别平分和，求与之间的数量关系．
【答案】（1）平行，理由见解析；（2），理由见解析；（3）
【分析】（1）结合题意，根据补角的性质，推导得，根据同位角相等两直线平行的性质分析，即可得到答案；（2）根据平行线的性质，得，根据角平分线的性质，推导得；根据平行线的性质，推导得，即可得到答案；（3）过点作，根据平行线的性质，得，，；设，，根据角平分线的性质，得，，从而推导得，即可得到答案．
【详解】（1），
（2）
，平分，，
∴∴
∵∴ ∴；
（3）过点作
，，
设，，分别平分，
，
∵∴
∵∴
∴．
【点睛】本题考查了平行线、角平分线的知识；解题的关键是熟练掌握平行线、角平分线的性质，从而完成求解．
例2. （2022·忠县七年级月考）如图，已知直线l1//l2，l3、和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P在直线l3或上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．
（1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3=∠1+∠2；
（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系；
（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明；
（4）若点P在线段DC延长线上运动时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系．
【答案】（1）见详解；（2）∠3＝∠2﹣∠1；（3）∠3＝360°﹣∠1﹣∠2；（4）∠3＝360°﹣∠1﹣∠2．
【解析】（1）证明：过P作PQ∥l1，则PQ∥l1∥l2，∴∠1＝∠QPE、∠2＝∠QPF
∵∠EPF＝∠QPE+∠QPF，∴∠EPF＝∠1+∠2．
（2）∠3＝∠2﹣∠1；过P作PQ∥l1，则PQ∥l1∥l2，则：∠1＝∠QPE、∠2＝∠QPF
∵∠EPF＝∠QPF﹣∠QPE，∴∠EPF＝∠2﹣∠1．
（3）∠3＝360°﹣∠1﹣∠2．过P作PQ∥l1，则PQ∥l1∥l2，∴∠EPQ+∠1＝180°，∠FPQ+∠2＝180°，
∵∠EPF＝∠EPQ+∠FPQ；∴∠EPQ +∠FPQ +∠1+∠2＝360°，即∠EPF＝360°﹣∠1﹣∠2；
（4）点P在线段DC延长线上运动时，∠3＝∠1﹣∠2．
过P作PQ∥l1，则PQ∥l1∥l2，∴∠1＝∠QPE、∠2＝∠QPF；
∵∠QPE﹣∠QPF=∠EPF；∴∠3＝∠1﹣∠2．
变式3．（2022·河北石家庄·七年级期中）【问题情景】（1）如图，，，，求的度数；
【问题迁移】（2）如图，已知，ADBC，点在射线上运动，当点在，两点之间运动时，连接，，，，求与，之间的数量关系，并说明理由；
【知识拓展】（3）在（2）的条件下，若将“点在，两点之间运动”改为“点在，两点外侧运动点与点，，三点不重合”其他条件不变，请直接写出与，之间的数量关系．
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）与、之间的数量关系为：或
【分析】（1）过点P作PE与AB平行，继而根据的性质进行推导即可得；
（2）过作交于，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案；（3）画出图形分两种情况点在的延长线上，点在的延长线上，根据平行线的性质得出，，即可得出答案．
【详解】解：（1）过点作，如图所示：
，，平行于同一条直线的两条直线平行
，，两直线平行同旁内角互补
，，，，．
（2），理由如下：如图所示，过作交于，
，， ，，；
（3）当在延长线时，如图所示：
过作交于，同（2）可知：，，；
当在延长线时，如图所示：同（2）可知：，，．
综上所述，与、之间的数量关系为：或．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定定理，正确作出辅助线是解答此题的关键．
变式3．（2022·上海市罗南中学七年级阶段练习）已知AB∥CD，点M为平面内的一点，∠AMD＝90°．
(1)当点M在如图1的位置时，求∠MAB与∠D的数量关系（写出说理过程）；
(2)当点M在如图2的位置时，则∠MAB与∠D的数量关系是 （直接写出答案）；
(3)在（2）条件下，如图3，过点M作ME⊥AB，垂足为E，∠EMA与∠EMD的角平分线分别交射线EB于点F、G，回答下列问题（直接写出答案）：图中与∠MAB相等的角是 ，∠FMG＝ 度．
【答案】(1)∠MAB+∠D＝90°；见解析(2)∠MAB﹣∠D＝90°(3)∠MAB＝∠EMD；45
【分析】（1）在题干的基础上，通过平行线的性质可得结论；（2）仿照（1）的解题思路，过点M作MN∥AB，由平行线的性质可得结论；（3）利用（2）中的结论，结合角平分线的性质可得结论．
（1）解：如图①，过点M作MN∥AB，
∵AB∥CD，∴MN∥AB∥CD（如果一条直线和两条平行线中的一条平行，那么它和另一条也平行）．
∴∠D＝∠NMD．∵MN∥AB，∴∠MAB+∠NMA＝180°．∴∠MAB+∠AMD+∠DMN＝180°．
∵∠AMD＝90°，∴∠MAB+∠DMN＝90°．∴∠MAB+∠D＝90°；
（2）解：如图②，过点M作MN∥AB，
∵MN∥AB，∴∠MAB+∠AMN＝180°．∵AB∥CD，∴MN∥AB∥CD．∴∠D＝∠NMD．
∵∠AMD＝90°，∴∠AMN＝90°﹣∠NMD．
∴∠AMN＝90°﹣∠D．∴90°﹣∠D+∠MAB＝180°．∴∠MAB﹣∠D＝90°．
即∠MAB与∠D的数量关系是：∠MAB﹣∠D＝90°．故答案为：∠MAB﹣∠D＝90°．
（3）解：如图③，∵ME⊥AB，∴∠E＝90°．∴∠MAE+∠AME＝90°
∵∠MAB+∠MAE＝180°，∴∠MAB﹣∠AME＝90°．即∠MAB＝90°+∠AME．
∵∠AMD＝90°，∴∠MAB＝∠AMD+∠AME＝∠EMD．
∵MF平分∠EMA ∴∠FME＝∠FMA＝∠EMA．
∵MG平分∠EMD，∴∠EMG＝∠GMD＝∠EMD．
∵∠FMG＝∠EMG﹣∠EMF，∴∠FMG＝∠EMD﹣∠EMA＝（∠EMD﹣∠EMA）．
∵∠EMD﹣∠EMA＝90°，∴∠FMG＝45°．故答案为：∠MAB＝∠EMD；45．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，过点M作MN∥AB是解题的关键．
模型4、“5”字模型
基本模型：如图，AB∥CD，结论：∠1+∠3－∠2=180°.
例1.（2022.浙江七年级期中）如图，AB∥CD，求证：∠1+∠3－∠2=180°.
【解析】过P作PQ∥AB，则AB∥CD∥PQ
∴∠1+∠4=180°，∠4+∠5=∠3，∠5=∠2 ∴∠1+∠3－∠2=180°.
变式1．（2022.北京七年级期中）如图，已知AB∥CD, EF∥CD，则下列结论中一定正确的是( )
A．∠BCD= ∠DCE; B．∠ABC+∠BCE+∠CEF=360;
C．∠BCE+∠DCE=∠ABC+∠BCD; D．∠ABC+∠BCE -∠CEF=180.
【分析】根据平行线的性质，找出图形中的同旁内角、内错角即可判断.
【解析】延长DC到H。∵AB∥CD，EF∥CD ∴∠ABC+∠BCH=180°
∠ABC=∠BCD ∠CE+∠DCE=180° ∠ECH=∠FEC∴∠ABC+∠BCE+∠CEF=180°+∠FEC
∠ABC+∠BCE -∠CEF=∠ABC+∠BCH+∠ECH-∠CEF=180°. 故选D.
点拨：此题主要考查了平行线的性质，关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等，同旁内角互补，同位角相等.
变式2．（2022·四川成都·七年级期末）已知直线，射线、分别平分，，两射线反向延长线交于点，请写出，之间的数量关系：________．
【答案】
【分析】分别过点，作，，根据，可得，根据平行线性质可得，，根据角平分线定义可得，进而证出，同理，根据平角定义可得，，由此证出，进而证出结论．
【详解】分别过点，作，
∵，∴∵射线平分∴
∵∴∴
∵∴∴
∵射线平分∴
∵，，∴∴
∴∴
∴
∵∴
同理：∴
∴故答案为：
【点睛】本题考查平行线的性质与判定，角平分线的定义等知识点，能熟记平行线的性质是解本题的关键．
例2．（2022·湖北洪山·七年级期中）如图，已知AB∥CD，P为直线AB，CD外一点，BF平分∠ABP，DE平分∠CDP，BF的反向延长线交DE于点E，若∠FED＝a，试用a表示∠P为______．
【答案】∠P＝360°﹣2a
【分析】根据角平分线的性质得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，平行线的性质得出∠1＝∠5，∠6＝∠PDC＝2∠3，进而根据三角形内角和得出∠5、∠FED，再得到∠P和a的关系，然后即可用 a表示∠P．
【详解】解：延长AB交PD于点G，延长FE交CD于点H，
∵BF平分∠ABP，DE平分∠CDP，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵AB∥CD，∴∠1＝∠5，∠6＝∠PDC＝2∠3，
∵∠PBG＝180°﹣2∠1，∴∠PBG＝180°﹣2∠5，∴∠5＝90°﹣∠PBG，
∵∠FED＝180°﹣∠HED，∠5＝180°﹣∠EHD，∠EHD＋∠HED＋∠3＝180°，
∴180°﹣∠5＋180°﹣∠FED＋∠3＝180°，∴∠FED＝180°﹣∠5＋∠3，
∴∠FED＝180°﹣（90°﹣∠PBG）＋∠6＝90°＋（∠PBG＋∠6）＝90°＋（180°﹣∠P）＝180°﹣∠P，∵∠FED＝a，∴a＝180°﹣∠P∴∠P＝360°﹣2a．故答案为：∠P＝360°﹣2a．
【点睛】此题考查了角平分线的性质和平行线的性质及三角形内角和，有一定的综合性，认真找出角的关系是关键．
变式3．（2022·黑龙江·七年级月考）如图，，E是上的点，过点E作，若，平分，，，则_______．
【答案】
【分析】延长AB交HP于点M；根据平分，得；根据，得，从而推导得；结合，得；再根据以及，结合三角形内角和性质，即可完成求解．
【详解】如图，延长AB交HP于点M
∵平分∴ ∴
∵∴∵∴
∴
∵∴ ∴
∵∴∴
∵∴ ∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形内角和、平行线、角平分线的知识；解题的关键是熟练掌握了三角形内角和、平行线、角平分线的性质，从而完成求解．
变式4．（2022·安徽芜湖·七年级期中）如图，AB∥CD，BF,DF 分别平分∠ABE 和∠CDE，BF∥DE，∠F 与∠ABE 互补，则∠F 的度数为
A．30° B．35° C．36° D．45°
【答案】C
【分析】延长BG交CD于G,然后运用平行的性质和角平分线的定义，进行解答即可.
【详解】解：如图延长BG交CD于G
∵BF∥ED∴∠F=∠EDF又∵DF 平分∠CDE，∴∠CDE=2∠F，
∵BF∥ED∴∠CGF=∠EDF=2∠F，∵AB∥CD∴∠ABF=∠CGF=2∠F，
∵BF平分∠ABE∴∠ABE=2∠ABF=4∠F，
又∵∠F 与∠ABE 互补∴∠F +∠ABE =180°即5∠F=180°，解得∠F=36°故答案选C.
【点睛】本题考查了平行的性质和角平分线的定义，做出辅助线是解答本题的关键.
例3．（2022·河南驻马店七年级期中）如图1，已知AB∥CD，∠B＝20°，∠D＝110°．
（1）若∠E＝50°，请直接写出∠F的度数；（2）探索∠E与∠F之间满足的数量关系，并说明理由；
（3）如图2，EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，FG的反向延长线交EP于点P，求∠P的度数．
【答案】（1）100°；（2）∠F＝∠E+50°；（3）∠P＝25°.
【解析】解：（1）分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB，
∴EM∥AB∥FN，∴∠B＝∠BEM＝20°，∠MEF＝∠EFN，
∵AB∥CD，AB∥FN，∴CD∥FN，∴∠D+∠DFN＝180°，
∵∠D＝110°，∴∠DFN＝70°，∴∠BEF＝∠MEF+20°，∠EFD＝∠EFN+70°，
∴∠EFD＝∠MEF+70°∴∠EFD＝∠BEF+50°＝100°；故答案为：100°；
（2）分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB，∴EM∥AB∥FN，∴∠B＝∠BEM＝20°，∠MEF＝∠EFN，
又∵AB∥CD，AB∥FN，∴CD∥FN，∴∠D+∠DFN＝180°，
又∵∠D＝110°，∴∠DFN＝70°，∴∠BEF＝∠MEF+20°，∠EFD＝∠EFN+70°，
∴∠EFD＝∠MEF+70°，∴∠EFD＝∠BEF+50°；
（3）过点F作FH∥EP，由（2）知，∠EFD＝∠BEF+50°，设∠BEF＝2x°，则∠EFD＝（2x+50）°，
∵EP平分∠BEF，GF平分∠EFD，∴∠PEF＝∠BEF＝x°，∠EFG＝∠EFD＝（x+25）°，
∵FH∥EP，∴∠PEF＝∠EFH＝x°，∠P＝∠HFG，∵∠HFG＝∠EFG﹣∠EFH＝25°，∴∠P＝25°．
变式5．（2022·湖北武汉·七年级期末）直线，BE—EC是一条折线段，BP平分．
(1)如图1，若，求证：；(2)CQ平分，直线BP，CQ交于点F．
①如图2，写出和的数量关系，并证明；②当点E在直线AB，CD之间时，若，直接写出的大小．
【答案】(1)见解析(2)①∠E+2∠F=180°，证明见解析；②70°
【分析】（1）延长DC交BE于K，交BP于T，由AB∥CD，BP平分∠ABE，可得∠BTK=∠TBK，又BP∥CE，故∠KCE=∠KEC，即可得∠BEC+∠DCE=180°；
（2）①延长AB交FQ于M，延长DC交BE于N，设∠ABP=∠EBP=α，∠DCQ=∠ECQ=β，可得∠F=180°-∠FBM-∠FMB=180°-（α+β），∠E=180°-∠NCE-∠CNE=180°-（180°-2β）-（180°-2α）=2（α+β）-180°，故∠E+2∠F=180°；②由∠E+2∠F=180°，即可得∠F=70°．
（1）解：证明：延长DC交BE于K，交BP于T，如图：
∵AB∥CD，∴∠ABT=∠BTK，∵BP平分∠ABE，∴∠ABT=∠TBK，∴∠BTK=∠TBK，
∵BP∥CE，∴∠BTK=∠KCE，∠TBK=∠KEC，∴∠KCE=∠KEC，
∵∠KCE+∠DCE=180°，∴∠KEC+∠DCE=180°，即∠BEC+∠DCE=180°；
（2）①∠E+2∠F=180°，证明如下：延长AB交FQ于M，延长DC交BE于N，如图：
∵射线BP、CQ分别平分∠ABE，∠DCE，∴∠ABP=∠EBP，∠DCQ=∠ECQ，
设∠ABP=∠EBP=α，∠DCQ=∠ECQ=β，∴∠FBM=∠ABP=α，∠MBE=180°-2α，
∠NCE=180°-2β，∠FCN=∠DCQ=β，
∵AB∥DC，∴∠CNE=∠MBE=180°-2α，∴∠F=180°-∠FBM-∠FMB=180°-（α+β），
∠E=180°-∠NCE-∠CNE=180°-（180°-2β）-（180°-2α）=2（α+β）-180°，
∴∠E+180°=2（180°-∠F），∴∠E+2∠F=180°；
②由①知∠E+2∠F=180°，∵∠BEC=40°，∴∠F=70°．
【点睛】本题考查平行线的性质及应用，涉及角平分线定义，三角形内角和等，解题的关键是用含α，β的式子表示∠E，∠F，从而得到∠E，∠F之间的数量关系．
变式6．（2022·湖北咸宁市期末）（感知）如图①，AB∥CD，点E在直线AB与CD之间，连结AE、BE，试说明∠BAE+∠DCE=∠AEC；
（探究）当点E在如图②的位置时，其他条件不变，试说明∠AEC+∠BAE+∠DCE=360°；
（应用）点E、F、G在直线AB与CD之间，连结AE、EF、FG和CG，其他条件不变，如图③，若∠EFG=36°，则∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG=______°.
【答案】【感知】见解析；【探究】∠BAE+∠AEC+∠DCE=360°；【应用】396°.
【解析】解：【感知】过E点作EF//AB
∵AB//CD∴EF//CD∵AB//CD∴∠BAE=∠AEF
∵EF//CD∴∠CEF=∠DCE∴∠BAE+∠DCE=∠AEC.
【探究】过E点作AB//EG.
∵AB//CD∴EG//CD∵AB//CD∴∠BAE+∠AEG=180°
∵EG//CD∴∠CEG+∠DCE=180°∴∠BAE+∠AEC+∠DCE=360°.
【应用】过点F作FH∥AB.
∵AB∥CD，∴FH∥CD，∴∠BAE+∠AEF+∠EFH=360°，∠HFG+∠FGC+∠GCD=360°，
∴∠BAE+∠AEF+∠EFH+∠HFG+∠FGC+∠GCD=720°，
∴∠BAE+∠AEF+∠EFH+∠HFG+∠FGC+∠GCD+∠EFG=720°+36°，
∴∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG=720°-360°+36°=396°故答案为396°.
模型5、折叠模型
例1．（2022·黑龙江·林口县七年级期末）一张长方形纸条按如图所示折叠，EF是折痕，若∠EFB=35°，则：①∠GEF=35°；②∠EGB=70°；③∠AEG=110°；④=70°．以上结论正确的有（ ）
A．① ② ③ ④ B．② ③ ④ C．① ② ③ D．① ②
【答案】A
【分析】先根据平行线的性质可得的度数，根据折叠的性质可得，进而可得，即可判断① ③ ；再利用平行线的性质可得、的度数，即可判断② ；再根据折叠的性质可得的度数，进而可得的度数，即可判断④
【详解】解：∵ 四边形ABCD是长方形∴
由折叠的性质可得故 ① 正确
故 ③ 正确
故 ② 正确
又由折叠的性质可得：
故 ④ 正确 故选：A
【点睛】本题主要考查平行线的性质和折叠的性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质和折叠的性质．
变式1．（2022·江苏·泰兴市七年级阶段练习）如图，将长方形纸片ABCD进行折叠，如果∠AEF＝82°，那么∠GHE的度数为（ ）
A．142° B．98° C．131° D．164°
【答案】C
【分析】先求解∠DEF，∠DEH，根据四边形ABCD是长方形，可得ADBC，根据平行线的性质可得∠DEH+∠EHC=180°，求解∠EHC，再根据折叠可得，∠CHE=∠EHG，等量代换后即可得结果．
【详解】解： ∵∠AEF=82°，∴∠DEF=180° 82°=98°,
由折叠可得：∠DEH=∠FEH=∠DEF=49°,
∵四边形ABCD是长方形，∴ADBC，∴∠DEH+∠EHC=180°，
∴∠EHC=180° 49°=131°,根据折叠可知： ∠CHE=∠EHG，∴∠GHE=131°．故选C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，长方形的性质，解决本题的关键是熟练掌握折叠的性质．
变式2．（2022·新疆七年级期末）如图，在长方形纸片ABCD中，点F是边BC上一点（不含端点），沿DF折叠纸片使得点C落在点C′位置，满足C′D∥AC，∠ADF－∠ACB＝18°，则∠ADF的度数是（ ）
A．42° B．36° C．54° D．18°
【答案】B
【分析】根据翻折的性质及平行线的性质求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD为长方形，∴AD∥BC，∠BCD＝90°，∴∠DAC＝∠ACB，∠ADF＝∠DFC，∵C′D∥AC，∴∠DAC＝∠C′DA，由折叠的性质得到，△CDF≌△C′DF，
∴∠FDC＝∠FDC′＝∠ADF+∠C′DA＝∠ADF+∠ACB，
∴∠CFD+∠FDC＝2∠ADF+∠ACB＝90°，
∵∠ADF﹣∠ACB＝18°，∴∠ADF＝36°，故选：B．
【点睛】此题考查了翻折的性质，熟记翻折的性质是解题的关键．
例2.（2022·广东深圳市七年级期末）如图①，在长方形中，点在上，并且，分别以、为折痕进行折叠并压平，如图②，若图②中，则的度数为__度.
【答案】30+.
【解析】解：如图：∵∠ABE=30°，∴∠BEA'=∠BAE=60°，
∵A'D'∥BC，∴∠BCE=∠CED'，∵∠CED'=∠CED，∴∠BCE=∠CED'=∠CED，
∵∠DEC=∠DED'，∴∠DEC=（180°-∠A'EA+∠AED）=（180°-120°+n°）=（30+）°，
∴∠BCE=（30+）°故答案为：（30+）．
变式3．（2022·安徽合肥·七年级期末）如图1，将一条对边互相平行的纸条进行两次折叠，第一次折叠的折痕为AB，且∠1＝25°，第二次折叠的折痕为CD．
（1）如图2，若CD∥AB，则∠2＝______．（2）如图3，若CD∥BE，则∠2＝______．
【答案】 25° 80°
【分析】（1）由平行线的性质可得∠1+∠ACD＝180°，∠ACD+∠2＝180°，从而得到∠2的度数；
（2）由折叠的性质，可得∠3＝∠1＝25°，再根据平行线的性质定理求出∠BDC＝50°，最后再根据折叠的性质，可得2∠BDC+∠2＝180°即可求解．
【详解】解：（1）如图2，∵CD∥AB，∴∠1+∠ACD＝180°，∵∠1＝25°，∴∠ACD＝180°﹣25°＝155°，∵AC∥BD，∴∠ACD+∠2＝180°，∴∠2＝180°﹣∠ACD＝25°，故答案为：25°；
（2）如图3，由折叠的性质，可得∠3＝∠1＝25°，
∵EB∥AM，∴∠4＝∠1+∠3＝50°，
∵AC∥BD，∴∠4+∠EBD＝180°，∴∠EBD＝180°﹣∠4＝130°，
又∵CD∥BE，∴∠EBD+∠BDC＝180°，∴∠BDC＝50°，
由折叠的性质，可得2∠BDC+∠2＝180°，∴∠2＝180°﹣100°＝80°，故答案为：80°．
【点睛】本题考查了平行线的性质、折叠的性质，解题关键是根据平行线的性质找出图中角度之间的关系．
变式4．（2022·全国·八年级单元测试）在△ABC中，将∠B、∠C按如图方式折叠，点B、C均落于边BC上一点G处，线段MN、EF为折痕．若∠A＝80°，则∠MGE＝_____°．
【答案】80
【分析】由折叠的性质可知：∠B＝∠MGB，∠C＝∠EGC，根据三角形的内角和为180°，可求出∠B＋∠C的度数，进而得到∠MGB＋∠EGC的度数，问题得解．
【详解】解：∵线段MN、EF为折痕，∴∠B＝∠MGB，∠C＝∠EGC，
∵∠A＝80°，∴∠B＋∠C＝180°﹣80°＝100°，∴∠MGB＋∠EGC＝∠B＋∠C＝100°，
∴∠MGE＝180°﹣100°＝80°，故答案为：80．
【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，解题的关键是利用整体思想得到∠MGB＋∠EGC的度数．
例3．（2022·宜兴市北郊中学初二期中）如图a是长方形纸带，∠DEF=26°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（ ）
A．102° B．108° C．124° D．128°
【答案】A
【分析】先由矩形的性质得出∠BFE=∠DEF=26°，再根据折叠的性质得出∠CFG=180°-2∠BFE，∠CFE=∠CFG-∠EFG即可．
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠BFE=∠DEF=26°，
∴∠CFE=∠CFG-∠EFG=180°-2∠BFE-∠EFG=180°-3×26°=102°，故选：A．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题）、矩形的性质、平行线的性质；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，弄清各个角之间的关系是解决问题的关键．
变式5．（2022·福建·上杭县第三中学七年级阶段练习）如图，长方形纸片按图①中的虚线第一次折叠得图②，折痕与长方形的一边形成的，再按图②中的虚线进行第二次折叠得到图③，则的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【答案】D
【分析】根据折叠的性质得到∠1=∠5，∠3=∠4，根据平行线的性质得到∠2=∠3，即可得到结论．
【详解】解：如图所示，标注角度，
由折叠的性质得：∠5=∠1=55°，∠3=∠4，
∴∠3=∠4=(180°-∠1-∠5)=35°，
∵长方形的对边平行，∴∠2=∠3=35°，故选D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，熟记各性质定理是解题的关键．
变式6．（2022·河南襄城·七年级月考）（1）学行线以后，香橙同学想出了过一点画一条直线的平行线的新方法，她是通过折纸做的，过程如（图1）．
①请你仿照以上过程，在图2中画出一条直线b，使直线b经过点P，且，要求保留折纸痕迹，画出所用到的直线，指明结果．无需写画法：
②在（1）中的步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点P的直线a的 线．
（2）已知，如图3，，BE平分，CF平分．求证：（写出每步的依据）．
【答案】（1）①见解析；②垂；（2）见解析
【分析】（1）①过点折纸，使痕迹垂直直线，然后过点折纸使痕迹与前面的痕迹垂直，从而得到直线；②步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点的直线的垂线．
（2）先根据平行线的性质得到，再利用角平分线的定义得到，然后根据平行线的判定得到结论．
【详解】（1）解：①如图2所示：
②在（1）中的步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点的直线的垂线．故答案为垂；
（2）证明：平分，平分（已知），，（角平分线的定义），
（已知），（两直线平行，内错角相等），
（等量代换），（等式性质），（内错角相等，两直线平行）．
【点睛】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的性质与判定．
模型6、旋转模型
例1．（2022·湖南岳阳·七年级期末）如图，将一副三角板按如图所示放置，，，，且，则下列结论中：①；②若平分，则有；③将三角形绕点旋转，使得点落在线段上，则此时；④若，则．其中结论正确的选项有______．（写出所有正确结论的序号）
【答案】②③④
【分析】①根据同角的余角相等得∠1=∠3，但不一定得45°；②都是根据角平分线的定义、内错角相等，两条直线平行，可得结论；③根据对顶角相等和三角形的外角等于不相邻的两个内角得和，可得结论；④根据三角形内角和定理及同角的余角相等，可得结论．
【详解】解：①如图，∵∠CAB=∠DAE=90°，即∠1+∠2=∠3+∠2+90°，∴∠1=∠3≠45°，故①不正确；
②∵AD平分∠CAB，∴∠1=∠2=45°，∵∠1=∠3，∴∠3=45°，
又∵∠C=∠B=45°，∴∠3=∠B，∴BC∥AE，故②正确；
③将三角形ADE绕点A旋转，使得点D落在线段AC上，
则∠4=∠ADE-∠ACB=60°-45°=15°，故③正确；
④∵∠3=2∠2，∠1=∠3，∴∠1=2∠2，∠1+∠2=90°，∴3∠2=90°，∴∠2=30°，∴∠3=60°，
又∠E=30°，设DE与AB交于点F，则∠AFE=90°，
∵∠B=45°，∴∠4=45°，∴∠C=∠4，故④正确，故答案为：②③④．
【点睛】本题主要考查了同角的余角相等、角平分线定义、平行线的判定的运用，解题关键是熟练掌握同角的余角相等及平行线的判定．
变式1．（2022·辽宁建昌·七年级期末）一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变三角板ACD的位置（其中A点位置始终不变），下列条件①∠BAD＝30°；②∠BAD＝60°；③∠BAD＝120°；④∠BAD＝150°中，能得到的CD∥AB的有__________．（填序号）
【答案】①④
【分析】分两种情况，根据CD∥AB，利用平行线的性质，即可得到∠BAD的度数．
【详解】解：如图所示：当CD∥AB时，∠BAD=∠D=30°；
如图所示，当AB∥CD时，∠C=∠BAC=60°，∴∠BAD=60°+90°=150°；
∴∠BAD=150°或∠BAD =30°．故答案为：①④．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由直线的平行关系来寻找角的数量关系．
变式2．（2022·重庆·西南大学附中七年级期中）如图，△OAB为等腰直角三角形（∠A＝∠B＝45°，∠AOB＝90°），△OCD为等边三角形（∠C＝∠D＝∠COD＝60°），满足OC＞OA，△OCD绕点O从射线OC与射线OA重合的位置开始，逆时针旋转，旋转的角度为α（0°＜α＜360°），下列说法正确的是（ ）
A．当α＝15°时，DC∥AB
B．当OC⊥AB时，α＝45°
C．当边OB与边OD在同一直线上时，直线DC与直线AB相交形成的锐角为15°
D．整个旋转过程，共有10个位置使得△OAB与△OCD有一条边平行
【答案】A
【分析】设OC与AB交点为M，OD与AB交点为N，当α＝15°时，可得∠OMN＝α+∠A＝60°，可证DC∥AB；当OC⊥AB时，α+∠A＝90°，可得α＝30°；当边OB与边OD在同一直线上时，应分两种情况，则直线DC与直线AB相交形成的锐角也有两种情况；整个旋转过程，因OC、OB、OD、OA都有交点，只有AB和CD存在平行，根据图形的对称性可判断有两个位置使得△OAB与△OCD有一条边平行．
【详解】解：设OC与AB交点为M，OD与AB交点为N，
当α＝15°时，∠OMN＝α+∠A＝60°，∴∠OMN＝∠C，∴DC∥AB，故A正确；
当OC⊥AB时，α+∠A＝90°或α﹣180°＝90°﹣∠A，∴α＝45°或225°，故B错误；
当边OB与边OD在同一直线上时，应分两种情况，
则直线DC与直线AB相交形成的锐角也有两种情况，故C错误；
整个旋转过程，因OC、OB、OD、OA都有交点，只有AB和CD存在平行，
根据图形的对称性可判断有两个位置使得△OAB与△OCD有一条边平行，故D错误；故选A．
【点睛】本题考查平行线性质与判定，垂直的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
例2. （2022·浙江七年级期中）已知直线AB∥CD，点P、Q分别在AB、CD上，如图所示，射线PB按顺时针方向以每秒4°的速度旋转至PA便立即回转，并不断往返旋转；射线QC按顺时针方向每秒1°旋转至QD停止，此时射线PB也停止旋转．（1）若射线PB、QC同时开始旋转，当旋转时间30秒时，PB'与QC'的位置关系为_____；（2）若射线QC先转45秒，射线PB才开始转动，当射线PB旋转的时间为_____秒时，PB′∥QC′．
【答案】PB′⊥QC′；15秒或63秒或135秒．
【解析】解：（1）当旋转时间30秒时，由已知得：∠BPB′＝4°×30＝120°，∠CQC′＝30°，
过E作EF∥AB，则EF∥CD，
∴∠PEF＝180°﹣∠BPB′＝60°，∠QEF＝∠CQC′＝30°，
∴∠PEQ＝90°，∴PB′⊥QC′，故答案为：PB′⊥QC′；
（2）①第一次平行时，如图
则∠BPB′＝4t°，∠CQC′＝45°+t°，∵AB∥CD，PB′∥QC′，∴∠BPB′＝∠PEC＝∠CQC′，
即4t＝45+t，解得：t＝15（s）；
②第二次平行时，如图 则∠APB′＝4t﹣180°，∠CQC'＝t+45°，∵AB∥CD，PB′∥QC′，
∴∠APB′＝∠PED＝180°﹣∠CQC′，即4t﹣180＝180﹣（45+t），解得：t＝63（s）；
③第三次平行时，如图，则∠BPB′＝4t﹣360°，∠CQC′＝t+45°，
∵AB∥CD，PB′∥QC′，∴∠BPB′＝∠PEC＝∠CQC′，
即4t﹣360＝t+45，解得：t＝135（s）；故答案为：15秒或63秒或135秒．
变式3.（2022·江苏泰兴市月考）某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，主道路是平行，即PQ∥MN． 如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度． 若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动_________秒，两灯的光束互相平行．
【答案】30或110.
【解析】解：设灯转动t秒，两灯的光束互相平行，即AC∥BD，
①如图所示，∵PQ∥MN，∴∠PBD＝∠BDA，
∵AC∥BD，∴∠CAM＝∠BDA，∴∠PBD＝∠CAM则2t＝30＋t解得：t＝30，
②如图所示，∵PQ∥MN，∴∠PBD＋∠BDA＝180°，
∵AC∥BD，∴∠CAN＝∠BDA，∴∠PBD＋∠CAN＝180°，
∴30＋t＋（2t－180）＝180解得：t＝110 故答案为：30或110.
变式4（2022.江苏镇江七年级期中）镇江市旅游局为了亮化某景点，在两条笔直且互相平行的景观道MN、QP上分别放置A、B两盏激光灯，如图所示．A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转；B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动12°，B灯每秒转动4°．B灯先转动12秒，A灯才开始转动．当B灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是 ．
【答案】6秒或19.5秒.
【解析】解：设A灯旋转t秒，两灯的光束平行
图，∠MAM'＝∠PBP'，12t＝4（12+t），解得t＝6；
②如图，∠NAM'+∠PBP'＝180°，12t﹣180+4（12+t）＝180，解得t＝19.5；故答案：6秒或19.5秒．
例3.（2022.绵阳市七年级期中）“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN=2：1．（1）填空：∠BAN=______°；（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD=120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．
【答案】（1）60；（2）t=30秒或110秒；（3）见解析.
【解析】解：（1）∵∠BAM+∠BAN=180°，∠BAM：∠BAN=2：1，
∴∠BAN=180°×=60°，故答案为：60；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
①如图，∵PQ∥MN，∴∠PBD=∠BDA，∵AC∥BD，∴∠CAM=∠BDA，
∴∠CAM=∠PBD∴2t=30+t，解得：t=30；
②如图，∵PQ∥MN，∴∠PBD+∠BDA=180°，
∵AC∥BD，∴∠CAN=∠BDA∴∠PBD+∠CAN=180°∴30+t+（2t-180）=180，解得：t=110，
综上所述，当t=30秒或110秒时，两灯的光束互相平行；
（3）∠BAC和∠BCD关系不会变化，设灯A射线转动时间为t秒，
∵∠CAN=180°-2t，∴∠BAC=60°-（180°-2t）=2t-120°，
∵∠ABC=120°-t，∴∠BCA=180°-∠ABC-∠BAC=180°-t，∠ACD=120°，
∴∠BCD=120°-∠BCA=120°-（180°-t）=t-60°，∴∠BAC：∠BCD=2：1，即∠BAC=2∠BCD.
变式5.（2022·山东德州市七年级期中）如图，PQ∥MN，A、B分别为直线MN、PQ上两点，且∠BAN＝45°，若射线AM绕点A顺时针旋转至AN后立即回转，射线BQ绕点B逆时针旋转至BP后立即回转，两射线分别绕点A、点B不停地旋转，若射线AM转动的速度是a°/秒，射线BQ转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣5|+（b﹣1）2＝0．（友情提醒：钟表指针走动的方向为顺时针方向）
（1）a＝ ，b＝ ；（2）若射线AM、射线BQ同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线AM、射线BQ互相垂直．（3）若射线AM绕点A顺时针先转动18秒，射线BQ才开始绕点B逆时针旋转，在射线BQ到达BA之前，问射线AM再转动多少秒时，射线AM、射线BQ互相平行？
【答案】（1）a＝5，b＝1；（2）t＝15（s）；（3）15，22.5.
【解析】解：（1）|a﹣5|+（b﹣1）2＝0，
∴a﹣5＝0，b﹣1＝0，∴a＝5，b＝1，故答案为：5，1；
（2）设至少旋转t秒时，射线AM、射线BQ互相垂直．
如图，设旋转后的射线AM、射线BQ交于点O，则BO⊥AO，∴∠ABO+∠BAO＝90°，
∵PQ∥MN，∴∠ABQ+∠BAM＝180°，∴∠OBQ+∠OAM＝90°，
又∵∠OBQ＝t°，∠OAM＝5t°，∴t+5t＝90，∴t＝15（s）；
（3）设射线AM再转动t秒时，射线AM、射线BQ互相平行．
如图，射线AM绕点A顺时针先转动18秒后，AM转动至AM'的位置，∠MAM'＝18×5＝90°，
分两种情况：①∠QBQ'＝t°，∠M'AM“＝5t°，
∵∠BAN＝45°＝∠ABQ，∴∠ABQ'＝45°﹣t°，∠BAM“＝5t﹣45°，
当∠ABQ'＝∠BAM“时，BQ'∥AM“， 此时，45°﹣t°＝5t﹣45°，解得：t＝15；
②∠QBQ'＝t°，∠NAM“＝5t°﹣90°，
∵∠BAN＝45°＝∠ABQ，∴∠ABQ'＝45°﹣t°，∠BAM“＝45°﹣（5t°﹣90°）＝135°﹣5t°，
当∠ABQ'＝∠BAM“时，BQ'∥AM“，此时，45°﹣t°＝135°﹣5t，解得：t＝22.5.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题07 平行线四大模型与动态模型（精讲）
平行线基本模型与动态角度问题在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，该份资料就平行线的四大模型（铅笔模型、猪蹄模型、拐弯模型、“5”字模型）和动态模型（翻折、旋转）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1、铅笔头模型
【解题技巧】如图，①已知：AB∥CD，结论：∠PAB+∠APB+∠PCD=360°；
②已知：∠PAB+∠APB+∠PCD=360°，结论：AB∥CD.
图①、图② 图③
③已知：AB∥CD，结论：∠1+∠2+…+∠n=180（n－1）.
例1、（2022.河北七年级月考）如图，已知：AB∥CD，求证：∠PAB+∠APB+∠PCD=360°；
变式1．（2022·河北唐山·七年级期中）如图，已知，于点，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2022·广西钦州·七年级期末）如图，已知AB//CD，BE、DE的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE和∠CDE的平分线，交点为E1，第二次操作，分别作∠ABE1和∠CDE1的平分线，交点为E2，第三次操作，分别作∠ABE2和∠CDE2的平分线，交点为E3，...第n（n≥2）次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠CDEn﹣1的平分线，交点为En，若∠En＝α度，则∠BED＝___度．
例2．（2022·福建泉州七年级期末）问题情境：我市某中学班级数学活动小组遇到问题：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．
经过讨论形成的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可求得∠APC的度数．
（1）按该数学活动小组的思路，请你帮忙求出∠APC的度数；（2）问题迁移：如图3，∥，点在、两点之间运动时， ，．请你判断 、、 之间有何数量关系？并说明理由；（3）拓展应用：如图4，已知两条直线∥，点在两平行线之间，且的平分线与 ∠DFP的平分线相交于点Q，求的度数．
变式3．（2022·吉林白山·七年级期中）如图，已知直线．这两直线之间一点．
（1）如图1，若与的平分线相交于点，若，求的度数．
（2）如图2，若与的平分线相交于点，与有何数量关系？并证明你的结论．（3）如图3，若的平分线与的平分线所在的直线相交于点，请直接写出与之间的数量关系．
变式4．（2022·湖北武汉·七年级期末）如图，已知，M，N分别是直线AB，CD上一点，点E在直线AB，CD之间．
(1)如图1，求证：；(2)如图2，F是EM上一点，NE平分，FH平分，试探究与之间的数量关系？并证明你的结论；(3)如图3，P为直线MN上一动点（不与点N重合），过点P作交直线CD于点G，∠PNG的角平分线和∠PGC的角平分线交于点O，则∠O的度数为______（直接写出结果）．
例3．（2022·西安七年级月考）下列各图中的MA1与NAn平行．
（1）图①中的∠A1+∠A2= 度，图②中的∠A1+∠A2+∠A3= 度，
图③中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4= 度，图④中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5= 度，…，
第⑩个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A10= 度（2）第n个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An= ．
变式5．（2022·内蒙古包头·七年级期中）如图，已知A1BAnC，则∠A1＋∠A2＋…＋∠An等于__________(用含n的式子表示)．
变式6．（2022·贵州遵义市·七年级期末）[问题解决]（1）如图1，AB∥CD，点E、F分别是AB、CD上的点，连接OE、OF，探求∠1、∠2、∠3之间的关系，并说明理由．
[拓展延伸]（2）如图2，上述结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请写出它们的关系．
[拓展应用]（3）如图3，已知AB∥CD，∠AE1E2的角平分线与∠CEnEn﹣1的角平分线交于点O．若∠E1OEn＝m°，直接写出∠2+∠3+∠4+…+∠（n﹣2）+∠（n﹣1）的度数．（用含m、n的代数式表示）
模型2、猪蹄模型（M型）
【解题技巧】如图，①已知：AB∥CD，结论：∠APC=∠A+∠C；
②已知：∠APC=∠A+∠C，结论：AB∥CD.
图①、图② 图③
③已知：AB∥CD，结论：∠A+∠P2+∠C=∠P1+∠P3.
例1、（2022.广东省初一月考）如图所示，已知：AB∥CD，求证：∠APC=∠A+∠C；
变式1.（2022·山东青岛期末）如图，，点在上，，，则下列结论正确的个数是（ ）
（1）；（2）；（3）；（4）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式2.（2022·渝中区期末）如图，，，，则（ ）
A． B． C． D．
例2．（2022·山东·德州七年级期中）请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题．
小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”．即
已知：如图1，，E为AB、CD之间一点，连接AE，CE得到．
求证：
小明笔记上写出的证明过程如下:
证明：过点E作
∵
∵，
∴
∴
∴
∴
请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题．
(1)如图，若，，求；
(2)如图，， BE平分， CF平分，，求．
变式3.（2022·山西八年级期末）综合与探究
问题情境：综合实践课上，王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动．
（1）如图1，，点分别为直线上的一点，点为平行线间一点且，求度数；
问题迁移：（2）如图2，射线与射线交于点，直线，直线分别交于点，直线分别交于点，点在射线上运动．①当点在（不与重合）两点之间运动时，设．则之间有何数量关系？②若点不在线段上运动时（点与点三点都不重合），请你直接写出间的数量关系．
变式4.（2022·河南七年级期末）把一块含60°角的直角三角尺放在两条平行线之间．（1）如图1，若三角形的60°角的顶点放在上，且，求的度数；
（2）如图2，若把三角尺的两个锐角的顶点分别放在和上，请你探索并说明与间的数量关系；（3）如图3，若把三角尺的直角顶点放在上，30°角的顶点落在上，请直接写出与的数量关系．
模型3、拐弯模型
【解题技巧】类型1（鸟嘴形）：如图，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3.
类型2（骨折形）：如图，AB∥CD，结论：∠2=∠1+∠3.
例1．（2022.广东七年级期中）如图，已知AB∥CD，求证：∠1=∠2+∠3.
变式1．（2022·山东德州·七年级期末）已知，平分，，，则___________．
变式2．（2022·湖北武汉·七年级阶段练习）如图（1），直线与直线，分别交于点，，与互补．（1）试判断直线与直线的位置关系，并说明理由；
（2）如图（2），与的角平分线交于点，延长线与交于点，点是上一点，且，试判断直线与的位置关系，并说明理由；（3）如图（3），点为，之间一点，，分别平分和，求与之间的数量关系．
例2. （2022·忠县七年级月考）如图，已知直线l1//l2，l3、和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P在直线l3或上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3．
（1）若点P在图（1）位置时，求证：∠3=∠1+∠2；
（2）若点P在图（2）位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系；
（3）若点P在图（3）位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明；
（4）若点P在线段DC延长线上运动时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系．
变式3．（2022·河北石家庄·七年级期中）【问题情景】（1）如图，，，，求的度数；
【问题迁移】（2）如图，已知，ADBC，点在射线上运动，当点在，两点之间运动时，连接，，，，求与，之间的数量关系，并说明理由；
【知识拓展】（3）在（2）的条件下，若将“点在，两点之间运动”改为“点在，两点外侧运动点与点，，三点不重合”其他条件不变，请直接写出与，之间的数量关系．
变式3．（2022·上海市罗南中学七年级阶段练习）已知AB∥CD，点M为平面内的一点，∠AMD＝90°．
(1)当点M在如图1的位置时，求∠MAB与∠D的数量关系（写出说理过程）；
(2)当点M在如图2的位置时，则∠MAB与∠D的数量关系是 （直接写出答案）；
(3)在（2）条件下，如图3，过点M作ME⊥AB，垂足为E，∠EMA与∠EMD的角平分线分别交射线EB于点F、G，回答下列问题（直接写出答案）：图中与∠MAB相等的角是 ，∠FMG＝ 度．
模型4、“5”字模型
基本模型：如图，AB∥CD，结论：∠1+∠3－∠2=180°.
例1.（2022.浙江七年级期中）如图，AB∥CD，求证：∠1+∠3－∠2=180°.
变式1．（2022.北京七年级期中）如图，已知AB∥CD, EF∥CD，则下列结论中一定正确的是( )
A．∠BCD= ∠DCE; B．∠ABC+∠BCE+∠CEF=360;
C．∠BCE+∠DCE=∠ABC+∠BCD; D．∠ABC+∠BCE -∠CEF=180.
变式2．（2022·四川成都·七年级期末）已知直线，射线、分别平分，，两射线反向延长线交于点，请写出，之间的数量关系：________．
例2．（2022·湖北洪山·七年级期中）如图，已知AB∥CD，P为直线AB，CD外一点，BF平分∠ABP，DE平分∠CDP，BF的反向延长线交DE于点E，若∠FED＝a，试用a表示∠P为______．
变式3．（2022·黑龙江·七年级月考）如图，，E是上的点，过点E作，若，平分，，，则_______．
变式4．（2022·安徽芜湖·七年级期中）如图，AB∥CD，BF,DF 分别平分∠ABE 和∠CDE，BF∥DE，∠F 与∠ABE 互补，则∠F 的度数为
A．30° B．35° C．36° D．45°
例3．（2022·河南驻马店七年级期中）如图1，已知AB∥CD，∠B＝20°，∠D＝110°．
（1）若∠E＝50°，请直接写出∠F的度数；（2）探索∠E与∠F之间满足的数量关系，并说明理由；
（3）如图2，EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，FG的反向延长线交EP于点P，求∠P的度数．
变式5．（2022·湖北武汉·七年级期末）直线，BE—EC是一条折线段，BP平分．
(1)如图1，若，求证：；(2)CQ平分，直线BP，CQ交于点F．
①如图2，写出和的数量关系，并证明；②当点E在直线AB，CD之间时，若，直接写出的大小．
变式6．（2022·湖北咸宁市期末）（感知）如图①，AB∥CD，点E在直线AB与CD之间，连结AE、BE，试说明∠BAE+∠DCE=∠AEC；
（探究）当点E在如图②的位置时，其他条件不变，试说明∠AEC+∠BAE+∠DCE=360°；
（应用）点E、F、G在直线AB与CD之间，连结AE、EF、FG和CG，其他条件不变，如图③，若∠EFG=36°，则∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG=______°.
模型5、折叠模型
例1．（2022·黑龙江·林口县七年级期末）一张长方形纸条按如图所示折叠，EF是折痕，若∠EFB=35°，则：①∠GEF=35°；②∠EGB=70°；③∠AEG=110°；④=70°．以上结论正确的有（ ）
A．① ② ③ ④ B．② ③ ④ C．① ② ③ D．① ②
变式1．（2022·江苏·泰兴市七年级阶段练习）如图，将长方形纸片ABCD进行折叠，如果∠AEF＝82°，那么∠GHE的度数为（ ）
A．142° B．98° C．131° D．164°
变式2．（2022·新疆七年级期末）如图，在长方形纸片ABCD中，点F是边BC上一点（不含端点），沿DF折叠纸片使得点C落在点C′位置，满足C′D∥AC，∠ADF－∠ACB＝18°，则∠ADF的度数是（ ）
A．42° B．36° C．54° D．18°
例2.（2022·广东深圳市七年级期末）如图①，在长方形中，点在上，并且，分别以、为折痕进行折叠并压平，如图②，若图②中，则的度数为__度.
变式3．（2022·安徽合肥·七年级期末）如图1，将一条对边互相平行的纸条进行两次折叠，第一次折叠的折痕为AB，且∠1＝25°，第二次折叠的折痕为CD．
（1）如图2，若CD∥AB，则∠2＝______．（2）如图3，若CD∥BE，则∠2＝______．
变式4．（2022·全国·八年级单元测试）在△ABC中，将∠B、∠C按如图方式折叠，点B、C均落于边BC上一点G处，线段MN、EF为折痕．若∠A＝80°，则∠MGE＝_____°．
例3．（2022·宜兴市北郊中学初二期中）如图a是长方形纸带，∠DEF=26°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（ ）
A．102° B．108° C．124° D．128°
变式5．（2022·福建·上杭县第三中学七年级阶段练习）如图，长方形纸片按图①中的虚线第一次折叠得图②，折痕与长方形的一边形成的，再按图②中的虚线进行第二次折叠得到图③，则的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
变式6．（2022·河南襄城·七年级月考）（1）学行线以后，香橙同学想出了过一点画一条直线的平行线的新方法，她是通过折纸做的，过程如（图1）．
①请你仿照以上过程，在图2中画出一条直线b，使直线b经过点P，且，要求保留折纸痕迹，画出所用到的直线，指明结果．无需写画法：
②在（1）中的步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点P的直线a的 线．
（2）已知，如图3，，BE平分，CF平分．求证：（写出每步的依据）．
模型6、旋转模型
例1．（2022·湖南岳阳·七年级期末）如图，将一副三角板按如图所示放置，，，，且，则下列结论中：①；②若平分，则有；③将三角形绕点旋转，使得点落在线段上，则此时；④若，则．其中结论正确的选项有______．（写出所有正确结论的序号）
变式1．（2022·辽宁建昌·七年级期末）一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变三角板ACD的位置（其中A点位置始终不变），下列条件①∠BAD＝30°；②∠BAD＝60°；③∠BAD＝120°；④∠BAD＝150°中，能得到的CD∥AB的有__________．（填序号）
变式2．（2022·重庆·西南大学附中七年级期中）如图，△OAB为等腰直角三角形（∠A＝∠B＝45°，∠AOB＝90°），△OCD为等边三角形（∠C＝∠D＝∠COD＝60°），满足OC＞OA，△OCD绕点O从射线OC与射线OA重合的位置开始，逆时针旋转，旋转的角度为α（0°＜α＜360°），下列说法正确的是（ ）
A．当α＝15°时，DC∥AB
B．当OC⊥AB时，α＝45°
C．当边OB与边OD在同一直线上时，直线DC与直线AB相交形成的锐角为15°
D．整个旋转过程，共有10个位置使得△OAB与△OCD有一条边平行
例2. （2022·浙江七年级期中）已知直线AB∥CD，点P、Q分别在AB、CD上，如图所示，射线PB按顺时针方向以每秒4°的速度旋转至PA便立即回转，并不断往返旋转；射线QC按顺时针方向每秒1°旋转至QD停止，此时射线PB也停止旋转．（1）若射线PB、QC同时开始旋转，当旋转时间30秒时，PB'与QC'的位置关系为_____；（2）若射线QC先转45秒，射线PB才开始转动，当射线PB旋转的时间为_____秒时，PB′∥QC′．
变式3.（2022·江苏泰兴市月考）某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，主道路是平行，即PQ∥MN． 如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度． 若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动_________秒，两灯的光束互相平行．
变式4（2022.江苏镇江七年级期中）镇江市旅游局为了亮化某景点，在两条笔直且互相平行的景观道MN、QP上分别放置A、B两盏激光灯，如图所示．A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转；B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动12°，B灯每秒转动4°．B灯先转动12秒，A灯才开始转动．当B灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是 ．
例3.（2022.绵阳市七年级期中）“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN=2：1．（1）填空：∠BAN=______°；（2）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若射出的光束交于点C，过C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD=120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．
变式5.（2022·山东德州市七年级期中）如图，PQ∥MN，A、B分别为直线MN、PQ上两点，且∠BAN＝45°，若射线AM绕点A顺时针旋转至AN后立即回转，射线BQ绕点B逆时针旋转至BP后立即回转，两射线分别绕点A、点B不停地旋转，若射线AM转动的速度是a°/秒，射线BQ转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣5|+（b﹣1）2＝0．（友情提醒：钟表指针走动的方向为顺时针方向）
（1）a＝ ，b＝ ；（2）若射线AM、射线BQ同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线AM、射线BQ互相垂直．（3）若射线AM绕点A顺时针先转动18秒，射线BQ才开始绕点B逆时针旋转，在射线BQ到达BA之前，问射线AM再转动多少秒时，射线AM、射线BQ互相平行？
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题07 平行线四大模型与动态模型（精讲）
一、选择题
1．（2022·河北石家庄·七年级期中）有一道题目“一副直角三角尺如图所示叠放，现将含45°角的三角尺ADE固定不动，将含30°角的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动180°，在旋转的过程中，当三角尺ABC的边BC与三角尺ADE的边平行时，求∠BAD．”嘉嘉的结果是∠BAD为60°或105°；淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠BAD还有另一个不同的值．”下列判断正确的是（ ）
A．淇洪说的对，且∠BAD的另一个值为15° B．嘉嘉的结果完全正确
C．嘉嘉求的结果不对，∠BAD为30°或105° D．两人都不对，∠BAD应5有个不同的值
【答案】A
【分析】分三种情况：若，若，若，由平行线的性质可得出答案．
【详解】解：若，∴∠CFE=∠E=90°，
又∵∠C=30°，∴，∴∠DAB=45°-30°=15°；
若，；
若，，．
综上所述，为或或．故选：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，正确画出图形是解题的关键．
2．（2022·湖南永州·七年级期末）如图，直线，现将一个含30°角的直角三角板的锐角顶点放在直线上，将三角板绕点旋转，使直角顶点落在与之间的区域，边与直角相交于点，若，则图中的的值为（ ）
A．65° B．75° C．85° D．80°
【答案】A
【分析】过A作CEl1，得到CEl1l2，根据平行线的性质得出∠3，进而求得∠4，再根据平行线的性质可求出答案．
【详解】解：过C作CEl1，
∵l1l2，∴CEl1l2，∴∠3=∠1=35°，∴∠4=90°-∠3=55°，
∴∠2=180°-∠4-∠ABC=180°-55°-60°=65°．故选：A．
【点睛】题考查平行线的性质和判定，能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解此题的关键．
3．（2022·云南昆明·七年级期末）小明把一副三角板摆放在桌面上，如图所示，其中边BC，DF在同一条直线上，现将三角板DEF绕点D顺时针旋转，当EF第一次与AB平行时，的度数是（
A．15° B．30° C．45° D．75°
【答案】A
【分析】过点D作DM∥AB，则AB∥DM∥EF，由平行线的性质得出∠B=∠MDB=30°，∠MDE=∠E=45°，则可求出答案．
【详解】解：过点D作DM∥AB，则AB∥DM∥EF，
∴∠B=∠MDB=30°，∠MDE=∠E=45°，∴∠BDE=∠BDM+∠EDM=30°+45°=75°，
∴∠CDF=90°-∠BDE=90°-75°=15°．故答案为：15°．
【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
4．（2022·陕西·商洛七年级期末）如图，AB//CD，AC//BH，点M在直线BA上，且∠MAC=30°，∠D=78°，BE平分∠DBA，则∠EBH的度数为（ ）
A．20° B．22° C．24° D．21°
【答案】D
【分析】首先根据平行线的性质得出，，再根据角平分线的定义得出，根据，即可求得答案．
【详解】解：∵AC//BH，∴，
∵AB//CD，∴，∴，
∵BE平分∠DBA，∴，
∴．故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．
5．（2022·黑龙江·哈尔滨七年级期中）如图，，则下列各式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等、两直线平行，同旁内角互补）即可得到结论．
【详解】∵，∴，，
∴，∴，故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟记性质是解题关键．
6.（2022·广东·七年级期中）如图，已知，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意过点C作CF//AB，可得CF//ED，进而利用平行线的性质进行分析计算即可．
【详解】解：过点C作CF//AB，
∵CF//AB，，∴CF//ED，∴∠1+∠ACF=180°，∠FCD+∠3=180°,
∵∠2=∠FCD+∠ACF,∴=∠1+∠ACF +∠FCD+∠3=180°+180°=360°．故选：C．
【点睛】本题考查平行线的性质，注意掌握两直线平行时，巧妙构造辅助线，熟练运用平行线的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的．
7．（2022·广东·七年级阶段练习）①如图1，ABCD，则∠A＋∠E＋∠C＝180°；②如图2，ABCD，则∠E＝∠A＋∠C；③如图3，ABCD，则∠A＋∠E－∠1＝180°；④如图4，ABCD，则∠A＝∠C＋∠P．以上结论正确的个数是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④
【答案】C
【分析】①过点E作直线，由平行线的性质即可得出结论；
②过点E作直线，由平行线的性质即可得出结论；
③过点E作直线，由平行线的性质可得出∠A+∠E-∠1=180°；
④先过点P作直线，再根据两直线平行，内错角相等和同位角相等即可作出判断．
【详解】解：①过点E作直线，
∵，∴，∴∠A＋∠1＝180°，∠2＋∠C＝180°，
∴∠A＋∠C＋∠AEC＝360°，故①错误；
②过点E作直线，∵，∴，∴∠A＝∠1，∠2＝∠C，
∴∠AEC＝∠A＋∠C，即∠AEC＝∠A＋∠C，故②正确；
③过点E作直线，∵，∴，∴∠A＋∠3＝180°，∠1＝∠2，
∴∠A＋∠AEC－∠2＝180°，即∠A＋∠AEC－∠1＝180°，故③正确；
④如图，过点P作直线，∵，∴，∴∠1=∠FPA，∠C=∠FPC，
∵∠FPA=∠FPC+∠CPA，∴∠1＝∠C＋∠CPA，
∵AB∥CD，∴∠A＝∠1，即∠A＝∠C+∠CPA，故④正确．综上所述，正确的小题有②③④．故选：C．
【点睛】本题考查的是平行线的性质及平行公理的推论，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
8．（2022·辽宁·兴城市第二初级中学七年级阶段练习）如图，,点E是边DC上一点，连接AE交BC的延长线于点H，点F是边AB上一点，使得，作的角平分线交BH于点G，若，则的度数是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】AD∥BC，∠D=∠ABC，则AB∥CD，则∠AEF=180°-∠AED-∠BEG=180°-2β，在△AEF中，100°+2α+180°-2β=180°，故β-α=40°，即可求解．
【详解】解：设FBE=∠FEB=α，则∠AFE=2α，
∠FEH的角平分线为EG，设∠GEH=∠GEF=β，
∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，而∠D=∠ABC，
∴∠D+∠BAD=180°，∴AB∥CD，∠DEH=100°，则∠CEH=∠FAE=80°，
∠AEF=180°-∠FEG-∠BEG=180°-2β，在△AEF中，在△AEF中，80°+2α+180-2β=180°，故β-α=40°，
而∠BEG=∠FEG-∠FEB=β-α=40°，故选：B．
【点睛】此题考查平行线的性质，解题关键是落脚于△AEF内角和为180°，即100°+2α+180°-2β=180°，题目难度较大．
二、填空题
9．（2022·黑龙江·七年级期中）如图，已知，则___________．
【答案】
【分析】如图，过作 过作证明可得再证明从而可得答案．
【详解】解：如图，过作 过作
∵ ∴ ∴
∴ 而
∴ ∵∴
∴ ∴
∵ ∴
∴故答案为：
【点睛】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，利用平行公理作出辅助线是解本题的关键．
10．（2022·四川绵阳·七年级期末）把一张长方形纸片沿折叠后，、分别在、的位置上，与的交点为．（1）若，则______°．
（2）若，则______°（用含的代数式表示）．
【答案】 50
【分析】根据平行线内错角相等，折叠后的角相等，即可推出与、、的关系．
【详解】(1)在长方形中，
∵，∴，
又∵，∴，故答案为：；
(2)在长方形中，∵，∴，
又∵，∴，∴，
∴．故答案为：．
【点睛】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，灵活运用折叠后角相等是解题的关键．
11．（2022·广东揭阳·七年级阶段练习）如图，将一张长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在点、位置，的延长线与BC相交于点G，若，则___________．
【答案】120°##120度
【分析】先根据平行线的性质得∠DEF=∠EFG=60°，∠1=∠GED，再根据折叠的性质得∠DEF=∠GEF=60°，则∠GED=120°，所以∠1=120°．
【详解】解：∵DE∥GC，∴∠DEF=∠EFG=60°，∠1=∠GED，
∵长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在点D′、C′的位置，
∴∠DEF=∠GEF=60°，即∠GED=120°，
∵DE∥GC，∴∠1=∠GED=120°．故答案为：120°．
【点睛】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
12．（2022·江西抚州·七年级期末）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，若，则∠1的度数为______．
【答案】48°
【分析】过点作，根据“两直线平行，内错角相等”，进行计算；
【详解】解：如图，过点作，，
长方形纸片ABCD，，，，，
，，，故答案为：．
【点睛】本题考查平行线的性质：两直线平行，内错角相等，注意翻折问题中的对应角相等．
13．（2022·四川·成都七年级期中）如图，中，，，点D在BC上移动，将沿直线AD折叠后，点C落在点处．当时，的度数为____．
【答案】40°##40度
【分析】根据折叠确定∠的度数和∠CAD，根据平行线的性质可求出的度数，再结合∠BAC的度数即可求解．
【详解】解：∵△ACD沿AD折叠后，点C落在点处，∠C=30°，
∴∠=∠C=30°，∠CAD=．
∵，∴．
∵∠BAC=110°，∴．
∴．故答案为：40°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角度的和差关系，综合应用这些知识点是解题关键．
三、解答题
14．（2022·贵州·石阡县教育局教研室九年级阶段练习）如图，将一张上、下两边平行（即ABCD）的纸带沿直线MN折叠，EF为折痕．
(1)试说明∠1＝∠2；(2)已知∠2＝54°，求∠BEF的度数．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）连续两次利用定理“两直线平行，内错角相等”即可求证；
（2）先利用求出，再利用求出，最后利用关系式求解即可．
【详解】（1）解：证明：∵，∴．
∵，∴，∴．
（2）∵，∠2＝54°∴．
根据折叠的性质知：，∴．
又∵，即，
∴，∴．
【点睛】本题考查平行的性质，折叠的性质，掌握平行的性质和折叠前后对应的角相等是解题的关键．
15．（2022·江西·上饶市广信区第七中学七年级期中）如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，．
(1)试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，与的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，连接PH，T是GH上一点，使，作PQ平分，问的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．
【答案】(1)平行，理由见解析 (2)见解析 (3)不发生变化，一直是45°
【分析】（1）根据对顶角相等和等量代换，得出∠AEF+∠CFE =180°，进而根据平行线的判定得出结论；
（2）根据角平分线的定义以及平行线的性质，得出∠EPF =90°，则EG⊥PF．又GH⊥EG，得出；
（3）根据平行线的性质和等量代换可知∠FPH=∠HPT，再根据角平分线的性质得出，进而得出∠HPQ==∠EPF，求得∠HPQ的度数．
（1）解：AB∥CD，理由如下：∵∠MEB+∠NFD=180°．
又∠MEB=∠AEF，∠NFD=∠CFE，∴∠AEF+∠CFE =180°，∴AB∥CD；
（2）证明：如图2，由（1）知，AB∥CD，∴∠BEF+∠EFD=180°．
又∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，
∴∠FEP+∠EFP = （∠BEF+∠EFD）=90°，
∴∠EPF =90°，即EG⊥PF．∵GH⊥EG，∴PF∥GH；
（3）解：∠HPQ的大小不发生变化，理由如下：
∵PF∥GH，∴∠FPH=∠PHT，∵∠PHT=∠HPT，∴∠FPH=∠HPT，
∵PQ平分∠EPT∴，
∵∠HPQ=-∠HPT，∴∠HPQ==∠EPF，
∵∠EPF=90°，∴∠HPQ=45°，∴∠HPQ的大小不发生变化，一直是45°．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练地掌握以上知识是解决问题的关键．
16．（2022·安徽·定远县育才学校七年级期末）已知点，分别在和上，且．
(1)如图1，若，，则的度数为________；
(2)如图2，平分，的延长线与的平分线交于点，若比大，求的度数；(3)保持（2）中所求的的度数不变，如图3，平分，平分，作，则的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由．
【答案】(1)55°(2)100°(3)不变，40°
【分析】（1）过点E作，根据，则，运用平行线的性质计算即可．
（2）延长DE，交AB于点M，则∠DEB=∠EMB+∠EBM，利用平行线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质计算即可．
（3） 过点E作，则，利用前面的结论和方法，进行等量代换并推理计算即可．
（1）解：如图1，过点E作，
∵，∴，∴∠CDE=∠DES，∠SEB=∠ABE，
∴∠CDE+∠ABE =∠DES+∠SEB=∠DEB，
∵∠CDE=25°，∠DEB=80°，∴∠ABE =∠DEB-∠CDE=80°-25°=55°．故答案为：55°．
（2）解：如图2，延长DE，交AB于点M，
则∠DEB=∠EMB+∠EBM，
∵，平分，
∴∠EMB=180°-∠MDF，∠EBM=2∠ABG=2∠HBN，∠MDH=∠HDF=∠HNK=∠MDF，
∵∠HBN+∠DHB=∠HNK，
∴∠DEB=(180°-∠MDF) +2∠HBN=180°-∠MDF+，
∴∠DEB=180°-∠MDF+∠MDF-2∠DHB=180°-2∠DHB，
∵，∴∠DEB=180°-2(∠DEB-60°)，∴3∠DEB=300°，解得∠DEB=100°．
（3）解：过点E作，则，
根据（1）得，∠DEB=∠CDE+∠ABE，
∵平分，平分，∴∠DEB=2∠NDE+180°-2∠EBM，
∵∠DEB=100°，∴∠EBM-∠NDE=40°，
∵，∴∠DEQ=∠NDE，∴∠EBM =40°+∠DEQ，
∵，∴，∴∠EBM+∠PBM +∠BEQ =180°，
∴40°+∠DEQ+∠PBM +∠BEQ =180°，∴40°+∠DEB+∠PBM =180°，
∴∠PBM =180°-100°-40°=40°，∴∠PBM 的度数不变，值为40°．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，三角形外角的性质，角的平分线定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
17．（2022·浙江金华·七年级期中）已知：如图1直线、被直线所截，．
（1）求证：；（2）如图2，点E在，之间的直线上，P、Q分别在直线、上，连接、，平分，平分，则和之间有什么数量关系，请直接写出你的结论；（3）如图3，在（2）的条件下，过P点作交于点H，连接，若平分，，求的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2），理由见解析；（3）．
【分析】（1）只需要证明即可证明；
（2）作．由平行线的性质即可证明，同理可证明，由此再根据角平分线的定义和平角的性质可得；
（3）设，．，则，想办法构建方程即可解决问题；
【详解】解：（1）如图1中，
，，，．
（2）结论：如图2中，．
理由：作．，，，，，
，，同理可证：，
∵平分，平分，，，
∵，，；
（3）设，．，∵，∴，
∵，∴，，，，
平分，，，
平分，，
，，，，．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义等知识，（2）中能正确作出辅助线是解题关键；（3）中能熟练掌握相关性质，找到角度之间的关系是解题关键．
18．（2022·绵阳市·七年级专题练习）如图，，点、分别在直线、上，点在直线、之间，．
（1）求的值；（2）如图2，直线交、的角平分线分别于点、，求的值；（3）如图3，在内，，在内，．直线交、分别于点、，若，则的值是__________．
【答案】（1）260° ；（2）40°；（3）
【分析】（1）如下图，过点作，可得出，然后利用平行的性质进行角度转换可得出答案；（2）如图，过点作，过点作，然后设，，利用方程思想进行角度推导，可得出答案；
（3）如下图，过点O作AB的平行线OQ，同样利用方程思想进行推导转化，可得出n的值．
【详解】（1）证明：过点作
∵∴∴，
∴ 即
∵∴
（2）解：过点作，过点作，
∵平分，平分 设，
∵∴∴
∵，，∴
∴，，
∴
（3）如下图，过点O作AB的平行线OQ
设∠NEO=x，则∠AEN=nx 设∠OFM=y，则∠MFD=ny
∵AB∥CD，AB∥OQ∴AB∥OQ∥CD∴∠EOQ=∠AEO=(n+1)x，∠QOF=180°－(n+1)y
∵∠EOF=100°∴∠EOQ+∠QOF=100°，化简得：(n+1)(y－x)=80°
在△NPE中，∠ENP=180°－x－∠NPE在四边形POFM中，∠PMF=360°－y－100°－∠OPM
∵∠PMF－∠ENP=50°∴∠PMF－∠ENP=50=360°－y－100°－∠OPM－(180°－x－∠NPE)
∵∠NPE=∠OPM∴∠PMF－∠ENP化简后得：150°+(y－x)=180°∴y－x=30°
∵(n+1)(y－x)=80°∴解得：n=．
【点睛】本题考查平行线的综合应用，解题关键是构造平行线，然后利用方程思想进行角度转化求解．
19．（2022·山西运城·七年级期中）如图，AB∥CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，平行线AB，CD之间有一动点P．（1）如图1，当P点在EF的左侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为 ，如图2，当P点在EF的右侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为 ．
（2）如图3，当∠EPF＝90°，FP平分∠EFC时，求证：EP平分∠AEF；
（3）如图4，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，且点P在EF左侧．
①若∠EPF＝60°，则∠EQF＝ ．
②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，并说明理由；
【答案】（1）∠EPF=∠AEP+∠PFC，∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°；（2）见解析；（3）①150°，∠EQF=180°－∠EPF
【分析】（1）如下图，过点P作AB的平行线，根据平行线的性质可推导出角度关系；
（2）如下图，根据（1）的结论，可得∠AEP+∠PFC=∠EPF=90°，利用△EPF内角和为180°可推导得出∠PEF+∠PFE=90°，从而得出∠PEF=∠AEP；
（3）①根据（1）的结论知：∠AEP+∠PFC=∠EPF=60°，再利用角平分线的性质得出∠PEQ+∠PFQ=150°，最后在四边形EPFQ中得出结论；
②根据（1）的结论知：∠AEP+∠PFC=∠EPF°，再利用角平分线的性质得出∠PEQ+∠PFQ=180°－，最后在四边形EPFQ中得出结论．
【详解】（1）如下图，过点P作PQ∥AB
∵PQ∥AB，AB∥CD，∴PQ∥CD∴∠AEP=∠EPQ，∠QPF=∠PFC
又∵∠EPF=∠EPQ+∠QPF∴∠EPF=∠AEP+∠PFC 如下图，过点P作PQ∥AB
同理，AB∥QP∥CD
∴∠AEP+∠QPE=180°，∠QPF+∠PFC=180°
∴∠AEP+∠EPF+∠PFC=∠AEP+∠EPQ+∠QPF+∠PFC=360°
（2）根据（1）的结论知：∠AEP+∠PFC=∠EPF=90°
∵PF是∠CFE的角平分线，∴∠PFC=∠PFE
在△PEF中，∵∠EPF=90°，∴∠PEF+∠PFE=90°
∴∠PEF+∠PFE=∠AEP+∠PFC
∴∠PEF=∠AEP，∴PE是∠AEF的角平分线
（3）①根据（1）的结论知：∠AEP+∠PFC=∠EPF=60°
∴∠BEP+∠PFD=180°－∠AEP+180°－∠PFC=300°
∵EQ、QF分别是∠PEB和∠PFD的角平分线
∴∠PEQ=QEB，∠PFQ=∠QFD∴∠PEQ+∠PFQ=150°
在四边形PEQF中，∠EQF=360°－∠EPF－(∠PEQ+∠PFQ)=360°－60°－150°=150°
②根据（1）的结论知：∠AEP+∠PFC=∠EPF
∴∠BEP+∠PFD=180°－∠AEP+180°－∠PFC=360°－∠EPF
∵EQ、QF分别是∠PEB和∠PFD的角平分线∴∠PEQ=∠QEB，∠PFQ=∠QFD
∴∠PEQ+∠PFQ==180°－
∴在四边形PEQF中：
∠EQF=360°－∠EPF－(∠PEQ+∠PFQ)=360°－－(180°－)=180°－
【点睛】本题考查“M”型模型，解题关键在过两条平行线中间的点作已知平行线的平行线，然后利用平行线的性质进行角度转化可推导结论．
20．（2022·江西·萍乡市七年级期中）如图，已知，现将一直角三角形放入图中，其中，交于点，交于点
（1）当所放位置如图①所示时，则与的数量关系为_______；请说明理由．
（2）当所放位置如图②所示时，与的数量关系为________；
（3）在（2）的条件下，若与交于点0，且，，求的度数．
【答案】（1）；理由见解析；（2）；（3）∠N=45°．
【分析】（1）如下图，作PH∥AB，利用AB∥HP，HP∥CD转化角度可得；
（2）∠PFD和∠PFO互补，将∠PFO转化为∠FON和∠FNO，结合第一问的结论可得；
（3）利用第二问的结论，直接代入计算即可
【详解】解：（1）关系：
理由：如下图，作
∵，∴，，
，；
（2）关系：
如下图，作MG∥AB交PN于点G
同上，∠PMN=∠AEM+∠MOC∵∠PFC=∠FON+∠FNO∴∠PFC=∠MOC+∠FNO
∴∠AEM+∠PFD=∠AEM+∠MOC+∠PNO=∠PMN+∠PNO
∵∠P=90°∴∠AEM+∠PFC=∠PMN+∠PNO=90°
∠PFC=180°－∠PFD代入得：∠AEM+180°－∠PFD=90°化简得：∠PFD－∠AEM=90°
（3）由（2）得，，
【点睛】本题考查平行的性质，解题关键是过中间点M作平行线，此题是“M型”模型，常见辅助线即为在中间点处作平行线
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题07 平行线四大模型与动态模型（精讲）
一、选择题
1．（2022·河北石家庄·七年级期中）有一道题目“一副直角三角尺如图所示叠放，现将含45°角的三角尺ADE固定不动，将含30°角的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动180°，在旋转的过程中，当三角尺ABC的边BC与三角尺ADE的边平行时，求∠BAD．”嘉嘉的结果是∠BAD为60°或105°；淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠BAD还有另一个不同的值．”下列判断正确的是（ ）
A．淇洪说的对，且∠BAD的另一个值为15° B．嘉嘉的结果完全正确
C．嘉嘉求的结果不对，∠BAD为30°或105° D．两人都不对，∠BAD应5有个不同的值
2．（2022·湖南永州·七年级期末）如图，直线，现将一个含30°角的直角三角板的锐角顶点放在直线上，将三角板绕点旋转，使直角顶点落在与之间的区域，边与直角相交于点，若，则图中的的值为（ ）
A．65° B．75° C．85° D．80°
3．（2022·云南·七年级期末）小明把一副三角板摆放在桌面上，如图所示，其中边BC，DF在同一条直线上，现将三角板DEF绕点D顺时针旋转，当EF第一次与AB平行时，的度数是（ ）
A．15° B．30° C．45° D．75°
4．（2022·陕西·商洛七年级期末）如图，AB//CD，AC//BH，点M在直线BA上，且∠MAC=30°，∠D=78°，BE平分∠DBA，则∠EBH的度数为（ ）
A．20° B．22° C．24° D．21°
5．（2022·黑龙江·哈尔滨七年级期中）如图，，则下列各式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6.（2022·广东·七年级期中）如图，已知，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·广东·七年级阶段练习）①如图1，ABCD，则∠A＋∠E＋∠C＝180°；②如图2，ABCD，则∠E＝∠A＋∠C；③如图3，ABCD，则∠A＋∠E－∠1＝180°；④如图4，ABCD，则∠A＝∠C＋∠P．以上结论正确的个数是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④
8．（2022·辽宁·兴城市第二初级中学七年级阶段练习）如图，,点E是边DC上一点，连接AE交BC的延长线于点H，点F是边AB上一点，使得，作的角平分线交BH于点G，若，则的度数是（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2022·黑龙江·七年级期中）如图，已知，则___________．
10．（2022·四川绵阳·七年级期末）把一张长方形纸片沿折叠后，、分别在、的位置上，与的交点为．（1）若，则______°．
（2）若，则______°（用含的代数式表示）．
11．（2022·广东揭阳·七年级阶段练习）如图，将一张长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在点、位置，的延长线与BC相交于点G，若，则___________．
12．（2022·江西抚州·七年级期末）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，若，则∠1的度数为______．
13．（2022·四川·成都七年级期中）如图，中，，，点D在BC上移动，将沿直线AD折叠后，点C落在点处．当时，的度数为____．
三、解答题
14．（2022·贵州·石阡县教育局教研室九年级阶段练习）如图，将一张上、下两边平行（即ABCD）的纸带沿直线MN折叠，EF为折痕．(1)试说明∠1＝∠2；(2)已知∠2＝54°，求∠BEF的度数．
15．（2022·江西·上饶市广信区第七中学七年级期中）如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，．
(1)试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，与的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，连接PH，T是GH上一点，使，作PQ平分，问的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．
16．（2022·安徽·定远县育才学校七年级期末）已知点，分别在和上，且．
(1)如图1，若，，则的度数为________；
(2)如图2，平分，的延长线与的平分线交于点，若比大，求的度数；(3)保持（2）中所求的的度数不变，如图3，平分，平分，作，则的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由．
17．（2022·浙江金华·七年级期中）已知：如图1直线、被直线所截，．
（1）求证：；（2）如图2，点E在，之间的直线上，P、Q分别在直线、上，连接、，平分，平分，则和之间有什么数量关系，请直接写出你的结论；（3）如图3，在（2）的条件下，过P点作交于点H，连接，若平分，，求的度数．
18．（2022·绵阳市·七年级专题练习）如图，，点、分别在直线、上，点在直线、之间，．
（1）求的值；（2）如图2，直线交、的角平分线分别于点、，求的值；（3）如图3，在内，，在内，．直线交、分别于点、，若，则的值是_______．
19．（2022·山西运城·七年级期中）如图，AB∥CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，平行线AB，CD之间有一动点P．（1）如图1，当P点在EF的左侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为 ，如图2，当P点在EF的右侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为 ．
（2）如图3，当∠EPF＝90°，FP平分∠EFC时，求证：EP平分∠AEF；
（3）如图4，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，且点P在EF左侧．
①若∠EPF＝60°，则∠EQF＝ ．
②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，并说明理由；
20．（2022·江西·萍乡市七年级期中）如图，已知，现将一直角三角形放入图中，其中，交于点，交于点
（1）当所放位置如图①所示时，则与的数量关系为_______；请说明理由．
（2）当所放位置如图②所示时，与的数量关系为________；
（3）在（2）的条件下，若与交于点0，且，，求的度数．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
