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专题08坐标系中的面积与探究规律（精讲）
专题前言
本专题包含平面直角坐标系的面积问题和平面直角坐标系的规律问题；题型针对性较强，覆盖面广，选题有深度，包含了平面直角坐标系中的规律问题和面积问题全部类型。
高频考点
高频考点1、知坐标，求面积
【解题技巧】已知组成不规则图形端点的坐标，求面积问题，常用方法为：“割补法”。原则是通过割补，不规则图形或则边长不好表示的图形成容易根据点的坐标求解出边长的图形，然后在求解图形面积。①不规则多边形：过不规则图形的顶点作坐标轴的垂线与平行线，将不规则图形“补形”成一个大的矩形；然后用大的矩形面积减去多余部分图形（多位直角三角形）面积。
②三角形：三角形用“补形法”也可以进行，但相对比较麻烦，三角形常用方法为“切割法”。过三角形的顶点作坐标轴的垂线，将三角形切割成易于根据点的坐标求解边长的规则图形。
例1．（2022·湖北大冶市·八年级期末）如图，ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．（1）若A1B1C1与ABC关于y轴成轴对称，则A1B1C1三个顶点坐标分别为：A1 ，B1 ，C1 ；（2）计算ABC的面积．
【答案】（1）(﹣1，1)，(﹣4，2)，(﹣3，4)；（2）3.5
【分析】（1）依据轴对称的性质，即可得到A1B1C1三个顶点坐标；
（2）依据割补法进行计算，即可得到ABC的面积．
【详解】解：（1）∵A1B1C1与ABC关于y轴成轴对称，且A（1，1），B（4，2），C（3，4），
∴A1B1C1三个顶点坐标分别为：A1（﹣1，1），B1（﹣4，2），C1（﹣3，4）；
故答案为：(﹣1，1)；(﹣4，2)；(﹣3，4)；
（2）ABC的面积为3×3﹣﹣﹣＝9﹣1.5﹣1﹣3＝3.5．
【点睛】本题主要考查了关于y轴对称的点的坐标特征，关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．
例2．（2022·湖北房县·初二期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点．（1）已知点在轴上，求点的坐标．（2）已知两点，若轴，点在第一象限，求的值，并确定的取值范围．（3）在（1）（2）的条件下，如果线段的长度是5，求以为顶点的三角形的面积．
【答案】（1）点P坐标为（0，9）；（2）m=4；n＞0；（3）以P、O、B为顶点的三角形的面积为9．
【分析】（1）根据y轴上的点的横坐标为0可求出a的值，即可得答案；
（2）根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等可得m的值，根据第一象限内的点的坐标特征：横坐标大于0，纵坐标大于0即可得n的其中无法；
（3）根据AB=5，点B在第一象限可得n=2，根据点P的坐标，利用三角形面积公式即可得答案．
【解析】
（1）∵点P（a-1，3a+6）在y轴上，∴a-1=0，解得：a=1，∴3a+6=9，∴点P坐标为（0，9）．
（2）∵AB//x轴，A（-3，m），B（n，4），∴m=4，∵点B在第一象限，∴n＞0．
（3）∵AB=5，A（-3，4）∴|-3-n|=5，解得：n=2或n=-8，
∵n＞0，∴n=2，∴以P、O、B为顶点的三角形的面积为=×OP×n=×9×2=9．
【点睛】本题考查点的坐标规律，用到的知识点为：y轴上点的特点为横坐标为0；平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同，横坐标不同．
变式1．（2022 平泉市八年级期末）如图，两个形状、大小完全相同的直角三角形叠放在一起，将直角三角形ABC沿着x轴正方向平移到直角三角形DEF的位置．已知点A（1，5），点B（1，1），DG＝1，平移距离为2．（1）点G的坐标为 ；（2）阴影部分的面积S＝ ．
【分析】（1）求出BE，GE的长度即可得出答案；
（2）根据平移的性质得S△ABC＝S△DEF，从而S△ABC﹣S△CEG＝S△DEF﹣S△CEG，梯形ABEG的面积＝阴影部分的面积，求梯形的面积即可得到阴影部分的面积．
【解答】解：（1）∵A（1，5），点B（1，1），∴AB＝4，
∵平移距离为2，∴BE＝2，DE＝AB＝4，
∵DG＝1，∴GE＝DE﹣DG＝4﹣1＝3，
∴G（3，4）；故答案为：G（3，4）；
（2）∵将直角三角形ABC沿着x轴正方向平移到直角三角形DEF的位置，
∴S△ABC＝S△DEF，∴S△ABC﹣S△CEG＝S△DEF﹣S△CEG，
∴梯形ABEG的面积＝阴影部分的面积，
∴S=（AB+EG）×BE=（4+3）×2＝7．故答案为：7．
变式2．（2022·台州市八年级开学考试）已知：，，．
（1）在坐标系中描出各点，画出．（2）求的面积；
（3）设点在轴上，且，求点的坐标．
【答案】（1）见解析；（2）4；（3）点的坐标为或
【分析】（1）利用A、B、C点的坐标描点，然后依次连接各点得到三角形；
（2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△ABC的面积；
（3）设P点坐标为（0，t），|t1|=4，然后解方程求出t，从而得到P点坐标．
【详解】解：（1）如图所示：
（2）如（1）图，过点向、轴作垂线，垂足为、．四边形的面积，
的面积，的面积，的面积．
的面积四边形的面积的面积的面积的面积；
（3）当点在轴上时，，，
设点的坐标为，解得：，．点的坐标为或．
【点睛】本题考查了复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了坐标与图形性质．
高频考点2、知面积，求坐标（方程思想）
【解题技巧】我们可以利用方程的思想，设未知点的坐标为未知数，然后再根据点的坐标，确定线段的长度，进而根据图形面积列方程，求解出未知数即可。方程思想是比较常见的一类数学思想，引入未知数，可将图形问题转化方程求解的问题。
例1．（2022·山东·初二期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A(0，a)，B(b，0)，C(b，c)三点，其中a，b，c满足关系式|a－2|＋(b－3)2＝0，(c－4)2≤0．（1）求a，b，c的值；（2）如果在第二象限内有一点P(m，)，请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形ABOP的面积与三角形ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）a＝2，b＝3，c＝4；（2）S四边形ABOP=3－m；（3）存在，P(－3，)．
【分析】（1）用非负数的性质求解；（2）把四边形的面积看成两个三角形面积和，用来表示；
（3）利用点的坐标可求，是已知量，根据题意，列方程即可．
【解析】解：（1）由已知， 及
可得：，，；
（2）， ，
（3）因为，
，则，所以存在点使．
【点睛】本题考查了非负数的性质，平面直角坐标系内三角形及四边形面积的求法，根据题意利用数形结合思想解题是关键．
例2．（2022 新市区八年级期末）如图，已知A（﹣2，3）、B（4，3）、C（﹣1，﹣3）
（1）求点C到x轴的距离；（2）求△ABC的面积；（3）点P在y轴上，当△ABP的面积为6时，请直接写出点P的坐标．
【分析】（1）点C的纵坐标的绝对值就是点C到x轴的距离解答；
（2）根据三角形的面积公式列式进行计算即可求解；（3）设点P的坐标为（0，y），根据△ABP的面积为6，A（﹣2，3）、B（4，3），整理得|x﹣3|＝2，所以x＝5或x＝1，即可解答．
【解答】解：（1）∵C（﹣1，﹣3），∴|﹣3|＝3，∴点C到x轴的距离为3；
（2）∵A（﹣2，3）、B（4，3）、C（﹣1，﹣3）
∴AB＝4﹣（﹣2）＝6，点C到边AB的距离为：3﹣（﹣3）＝6，∴△ABC的面积为：6×6÷2＝18．
（3）设点P的坐标为（0，y），∵△ABP的面积为6，A（﹣2，3）、B（4，3），
∴6×|y﹣3|＝6，∴|y﹣3|＝2，∴y＝1或y＝5，∴P点的坐标为（0，1）或（0，5）．
变式1．（2022·辽宁大石桥·初二期末）在平面直角坐标系中，已知点和点，且直线与坐标轴围成的三角形的面积等于，则的值是________．
【答案】
【分析】由点A，B的坐标可得出OA，OB的长，结合△OAB的面积为12，即可得出关于a的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解析】解：∵点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，4），∴OA=|a|，OB=4．
又∵S△OAB=12，∴×4×|a|=12，解得：a=．故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质、三角形的面积以及解含绝对值符号的一元一次方程，利用三角形的面积公式，找出关于a的含绝对值符号的一元一次方程是解题的关键．
变式2．（2022·广东中山·七年级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中，满足，点为第三象限内一点.
（1）若到坐标轴的距离相等，，且，求点坐标
（2）若为，请用含的式子表示的面积.（3）在（2）条件下，当时，在轴上有点，使得的面积是的面积的2倍，请求出点的坐标.
【答案】（1）或；（2）；（3）或.
【分析】（1）利用M在第三象限且到坐标轴的距离相等，求出M点坐标，同时利用绝对值与算术平方根的非负性求出a、b，得到AB的长度，再利用，求出N点
（2）利用三角形的面积公式直接写出即可，注意m的取值范围
（3）同（2）利用面积公式写出两个三角形的面积，然后列出方程解方程
【详解】（1）由题意可知: ，求得，
∵，∴，，∴，，∴，
∵，，∴，∵，∴或者，
∴或；
（2）由题意可得： ，
∵在三象限，∴，∴；
（3）当时，，
由题意可得：，，，，∴或.
【点睛】本题主要考查坐标与图形性质，涉及到非负数的性质，三角形的面积等知识点，第二问和第三问要重点注意是有两种情况的.
高频考点3、分类讨论
【解题技巧】此类题型仅不知图形的一个顶点，且已知面积，求这个顶点。∵这个顶点位置不固定，存在多解情况，需考虑全面。
①点在坐标轴上：先确定三角形的底，根据面积，确定三角形高的长度。在根据底的长度或高的长度来确定未知点的位置。②点在格点上：已知三角形的面积，根据条件，先确定三角形的底；然后根据面积，确定高；最后根据高的大小，确定未知点的位置（多解）。
例1．（2022 宁都县八年级期末）已知：如图，△ABC的三个顶点位置分别是A（1，0）、B（﹣2，3）、C（﹣3，0）．（1）求△ABC的面积是多少？（2）若点A、C的位置不变，当点P在y轴上时，且S△ACP＝2S△ABC，求点P的坐标？（3）若点B、C的位置不变，当点Q在x轴上时，且S△BCQ＝2S△ABC，求点Q的坐标？
【分析】（1）根据点A、C的坐标求出AC的长，然后利用三角形的面积列式计算即可得解；
（2）分点P在y轴正半轴和负半轴两种情况讨论求解；
（3）分点Q在C的左边和右边两种情况讨论求解．
【解答】解：（1）∵A（1，0），B（﹣2，3），C（﹣3，0），
∴AC＝1﹣（﹣3）＝1+3＝4，点B到AC的距离为3，∴△ABC的面积=×4×3＝6；
（2）∵S△ACP＝2S△ABC＝12，∴以AC为底时，△ACP的高＝12×2÷4＝6，
∴点P在y轴正半轴时，P（0，6）；点P在y轴负半轴时，P（0，﹣6）；
（3）∵S△BCQ＝2S△ABC＝12，∴以CQ为底时，△BCQ的高为3，底边CQ＝12×2÷3＝8，
∴点Q在C的左边时，Q（﹣3﹣8，0），即Q（﹣11，0）；
点Q在C的右边时，Q（﹣3+8，0），即Q（5，0）．
例2．（2022·广西玉林·七年级期中）如图，已知点满足．将线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段，并连接．
(1)请求出点和点的坐标；(2)点从点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为秒，问：是否存在这样的，使得四边形的面积等于9？若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由；(3)在（2）的条件下，点从点出发的同时，点从点出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，设射线交轴于点．设运动时间为秒，问：的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值：若变化，请说明理由．
【答案】(1)（-1 ，0），（3 ，0） (2)存在这样的，使得四边形的面积等于9，理由见解析(3)为定值，故其值不会变化，理由见解析
【分析】（1）利用绝对值与平方的非负性求出a，b的值，即可求解；
（2）由平移性质可得点C（0，2），点D（4，2），OA＝1，OB＝2，OC＝2，CD＝4，由面积关系可求解；
（3）分点N在线段OB上，点N在BO的延长线上两种情况讨论，由面积和差关系可求解．
（1）解：∵，，
，解得，∴点A和点的坐标分别为（-1 ，0）和（3 ，0）；
（2）解：存在． 过D作DH⊥OB的延长线，垂足为H，如图所示：
由题意得点C和点D的坐标分别为（0 ，2）和（4 ，2），
∴CD=4 ，DH=2 ，OB=3 ，设M点坐标为（0，t），连接MD、OD，∴OM=t，
∵S四边形OMDB=S△OBD+S△OMD=9，∴，即，解得t=3，
存在这样的，使得四边形的面积等于9；
（3）解：不变．理由如下：
当点N在线段OB上时，如图所示，设运动时间为秒，OM=t，ON=3-2t，
过D作DH⊥OB的延长线，垂足为H ，连接MD，OD，
∵=S四边形OMDN，S四边形OMDN= S△OND+S△OMD ，
∴= S△OND+S△OMD===3-2t+2t=3，
当点N运动到线段BO的延长线上时，如图所示，设运动时间为秒，OM=t，ON=2t-3，连接OD，
∴为定值，故值不变化．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了平移的性质，非负式性质求解，三角形的面积公式等知识，利用分类讨论思想解决是本题的关键．
变式1．（重庆市2022七年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A（2，0），顶点B（0，3），顶点C（﹣1，2）．（1）求△AOC的面积：（2）求△ABC的面积；（3）若点D在坐标轴上，且S△OCD＝1，直接写出满足条件的D点坐标．
【答案】（1）2；（2）；（3）D点（0，2），（0，﹣2），（﹣1，0），（1，0）
【分析】（1）由图形可得△AOC的面积为，即可求解；
（2）过点C作CD垂直x轴，由图形可得，即可求解；
（3）对点D进行分类讨论，根据面积，分别求解即可．
【详解】解：（1），
（2）过点C作CD垂直x轴，如下图：
，．
（3）D点在y轴上时，，解得
yD＝2或yD＝﹣2，此时D点（0，2），（0，﹣2），
D点在x轴上时，，解得
∴xD＝1或xD＝﹣1，此时D点（﹣1，0），（1，0）．
【点睛】此题考查了平面直角坐标系的有关性质，涉及了三角形面积的求解，掌握平面直角坐标系的性质以及割补法求解三角形面积是解题的关键．
变式2．（2022·湖北武汉·七年级期末）在平面直角坐标系中，，，a，b满足，连接AB交y轴于C．
(1)直接写出______，______；(2)如图1，点P是y轴上一点，且三角形ABP的面积为12，求点P的坐标；(3)如图2，直线BD交x轴于，将直线BD平移经过点A，交y轴于E，点在直线AE上，且三角形ABQ的面积不超过三角形ABD面积的，求点Q横坐标x的取值范围．
【答案】(1)-3，4 (2)-3，4(3)-4≤x≤-2且x≠-3
【分析】（1）根据非负数的性质构建方程组，解方程组求出，；
（2）过点作轴于，设，由三角形面积关系得出，求出，过点作轴于，由三角形面积关系得出，求出即可；
（3）连接，过点作轴，分点在第二象限，点在第三象限时，两种情况，分别列出方程，解之即可．
（1）解：，又∵，，
，解得：，故答案为：-3，4．
（2）过点作轴于，
设，三角形的面积四边形的面积三角形的面积，
，即，
解得：，点的坐标为，
过点作轴于，三角形的面积三角形的面积三角形的面积，
，即，
，点的坐标为或．
（3）点向左平移4个单位长度，向下平移4个单位长度到点A，
∵点D向左平移4个单位长度后的对应点正好在y轴上，
∴点平移后的对应点恰好是点，
连接，过点作轴，如图所示：
，三角形的面积三角形的面积，
当三角形的面积三角形的面积时，，
当点在第三象限时，，解得：，
当点在第二象限时，，解得：，
当三角形的面积不超过三角形面积的时，
点的横坐标的取值范围是，且．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形的面积，非负数的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．
高频考点4、平面直角坐标系的规律问题
例1．（2022·江西·七年级期中）如图，一个粒子在第一象限内及x轴、y轴上运动，在第一分钟，它从原点运动到点（1，0），等二分钟，它从点（1，0）运动到点（1，1），而后它接着按图中箭头所示在与x轴，y轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个单位长度，那么在第2022分钟时，这个粒子所在位置的坐标是（ ）
A．（45，3） B．（2，44） C．（3，45） D．（44，2）
【答案】D
【分析】找出粒子运动规律和坐标之间的关系即可解题．
【详解】解：由题知（0，0）表示粒子运动了0分钟，
运动到点（1，1），粒子运动了2=1×2（分钟），将向左运动，
运动到点（2，2），粒子运动了6=2×3（分钟），将向下运动，
运动到点（3，3），粒子运动了12=3×4（分钟），将向左运动，……，由此总结出：运动到点（n，n），粒子运动了n(n+1)（分钟），运动方向规律是看n是奇数还是偶数，奇左偶下．
于是会出现：运动到点（44，44），粒子运动了44×45=1980（分钟），此时粒子将会向下运动，
∴在第2022分钟时，粒子又向下移动了2022-1980=42个单位长度，∴粒子的位置为（44，2），故选：D．
【点睛】本题考查的是动点坐标问题，解题的关键是找出粒子的运动规律．
例2．（2022·河南·郑州八年级期末）如图，矩形的两边、分别在轴、轴上，点与原点重合，点A（-2，3），将矩形ABCD沿轴向右翻滚，经过一次翻滚点A对应点记为，经过第二次翻滚点A对应点记为依此类推，经过3次翻滚后点A对应点的坐标为（ ）
A．（8，2） B．（3，2） C．（3，3） D．（5，0）
【答案】D
【分析】根据A点坐标可知长方形的长和宽，根据长方形的长和宽分析每次翻滚后A点的落点，由此可解决本题．
【详解】解：∵A点坐标为（-2，3），∴AB=DC=3，AD=BC=2，
第一次翻滚后点坐标为：（3，2），第二次翻滚后点的坐标为（5，0），
第三次翻滚是以点为中心进行翻滚，故（5，0），故选：D．
【点睛】本题考查平面直角坐标系中的点，能够根据题意分析出图形的运动过程是解决本题的关键．
例3．（2022·黑龙江绥化·八年级期末）如图，放置的，，，…都是边长为2的等边三角形，点A在y轴上，点O、、、…都在直线l上，则点的坐标是______．
【答案】
【分析】根据题意得出的坐标，进而得出坐标，进而得出坐标变化规律，进而得出答案．
【详解】解：过点作轴，则轴，
∵…都是边长为2的等边三角形，
∴，，
∴轴，∴，，
∵轴，轴，∴三点共线，
∴，∴的坐标为，
∴的坐标为，的坐标为，的坐标为，……
∴的坐标是，∴的坐标是．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了点的坐标特征以及数字变化类规律，等边三角形的性质，勾股定理，得出坐标变化规律是解题关键．
变式1．（2022·湖北·仙桃荣怀学校七年级期中）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2）…按这样的运动规律经过第2022次运动后，动点P的坐标是（ ）
A．（2021，1） B．（2021，0） C．（2022，0） D．（2022，2）
【答案】C
【分析】根据题意可得每4次运动，点的纵坐标不发生变化，第n次运动，横坐标就是n，据此求解即可．
【详解】解：∵第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），第4次接着运动到点（4，0），第5次接着运动到点（5，1），第6次接着运动到点（6，0），第7次接着运动到点（7，2），第8次接着运动到点（8，0），第9次接着运动到点（9，1），
∴由此可知每4次运动，点的纵坐标不发生变化，第n次运动，横坐标就是n，
∵，∴第2022次运动后，点P的纵坐标与第二次运动后的纵坐标相同为0，横坐标为，∴点P的坐标为（2022，0），故选C．
【点睛】本题主要考查了点的坐标规律探索，正确理解题意找到点的坐标规律是解题的关键．
变式2．（2022·山东聊城·七年级期末）如图；所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行，从内到外，它们的边长依次为2、4、6、8、…，顶点依次用…表示，则点的坐标为（ ）
A．(505，505) B．（－506，506） C．(506，506) D．（－505，505）
【答案】B
【分析】根据题意可得，，，（n为自然数），根据，即可得．
【详解】解：∵每个正方形都有4个顶点，
∴每4个点为一个循环组一次循环，
由题意得，，，，，，，，，，…，
∴，，，（n为自然数），
∵，∴，故选B．
【点睛】本题考查了点的坐标变化规律，解题的关键是找出规律．
变式3．（2022 海门市期末）在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2），若x2﹣x1＝y2﹣y1≠0，则称点A与点B互为“对角点”，例如：点A（﹣1，3），点B（2，6），因为2﹣（﹣1）＝6﹣3≠0，所以点A与点B互为“对角点”．（1）若点A的坐标是（4，﹣2），则在点B1（2，0），B2（﹣1，﹣7），B3（0，﹣6）中，点A的“对角点”为点 ；（2）若点A的坐标是（﹣2，4）的“对角点”B在坐标轴上，求点B的坐标；（3）若点A的坐标是（3，﹣1）与点B（m，n）互为“对角点”，且点B在第四象限，求m，n的取值范围．
【分析】（1）、（2）读懂新定义，根据新定义解题即可；（3）根据新定义和直角坐标系中第四象限x、y的取值范围确定m、n的取值范围即可．
【解答】解：（1）根据新定义可以得B2、B3与A点互为“对角点”；
故答案为：B2（﹣1，﹣7），B3（0，﹣6）；
（2）①当点B在x轴上时，设B（t，0），由题意得t﹣（﹣2）＝0﹣4，解得t＝﹣6，∴B（﹣6，0）．
②当点B在y轴上时，设B（0，b），
由题意得0﹣（﹣2）＝b﹣4，解得b＝6，∴B（0，6）．
综上所述：A的“对角点”点B的坐标为（﹣6，0）或（0，6）．
（3）由题意得m﹣3＝n﹣（﹣1），∴m＝n+4．
∵点B在第四象限，∴，∴，解得﹣4＜n＜0，此时0＜n+4＜4，∴0＜m＜4．
由定义可知：m≠3，n≠﹣1，∴0＜m＜4且m≠3，﹣4＜n＜0且n≠﹣1．
故答案为：0＜m＜4且m≠3，﹣4＜n＜0且n≠﹣1．
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专题08坐标系中的面积与探究规律（精讲）
专题前言
本专题包含平面直角坐标系的面积问题和平面直角坐标系的规律问题；题型针对性较强，覆盖面广，选题有深度，包含了平面直角坐标系中的规律问题和面积问题全部类型。
高频考点
高频考点1、知坐标，求面积
【解题技巧】已知组成不规则图形端点的坐标，求面积问题，常用方法为：“割补法”。原则是通过割补，不规则图形或则边长不好表示的图形成容易根据点的坐标求解出边长的图形，然后在求解图形面积。①不规则多边形：过不规则图形的顶点作坐标轴的垂线与平行线，将不规则图形“补形”成一个大的矩形；然后用大的矩形面积减去多余部分图形（多位直角三角形）面积。
②三角形：三角形用“补形法”也可以进行，但相对比较麻烦，三角形常用方法为“切割法”。过三角形的顶点作坐标轴的垂线，将三角形切割成易于根据点的坐标求解边长的规则图形。
例1．（2022·湖北大冶市·八年级期末）如图，ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．（1）若A1B1C1与ABC关于y轴成轴对称，则A1B1C1三个顶点坐标分别为：A1 ，B1 ，C1 ；（2）计算ABC的面积．
例2．（2022·湖北房县·初二期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点．（1）已知点在轴上，求点的坐标．（2）已知两点，若轴，点在第一象限，求的值，并确定的取值范围．（3）在（1）（2）的条件下，如果线段的长度是5，求以为顶点的三角形的面积．
变式1．（2022 平泉市八年级期末）如图，两个形状、大小完全相同的直角三角形叠放在一起，将直角三角形ABC沿着x轴正方向平移到直角三角形DEF的位置．已知点A（1，5），点B（1，1），DG＝1，平移距离为2．（1）点G的坐标为 ；（2）阴影部分的面积S＝ ．
变式2．（2022·台州市八年级开学考试）已知：，，．（1）在坐标系中描出各点，画出．（2）求的面积；（3）设点在轴上，且，求点的坐标．
高频考点2、知面积，求坐标（方程思想）
【解题技巧】我们可以利用方程的思想，设未知点的坐标为未知数，然后再根据点的坐标，确定线段的长度，进而根据图形面积列方程，求解出未知数即可。方程思想是比较常见的一类数学思想，引入未知数，可将图形问题转化方程求解的问题。
例1．（2022·山东·初二期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A(0，a)，B(b，0)，C(b，c)三点，其中a，b，c满足关系式|a－2|＋(b－3)2＝0，(c－4)2≤0．（1）求a，b，c的值；（2）如果在第二象限内有一点P(m，)，请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形ABOP的面积与三角形ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
例2．（2022 新市区八年级期末）如图，已知A（﹣2，3）、B（4，3）、C（﹣1，﹣3）
（1）求点C到x轴的距离；（2）求△ABC的面积；（3）点P在y轴上，当△ABP的面积为6时，请直接写出点P的坐标．
变式1．（2022·辽宁大石桥·初二期末）在平面直角坐标系中，已知点和点，且直线与坐标轴围成的三角形的面积等于，则的值是________．
变式2．（2022·广东中山·七年级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中，满足，点为第三象限内一点.
（1）若到坐标轴的距离相等，，且，求点坐标
（2）若为，请用含的式子表示的面积.（3）在（2）条件下，当时，在轴上有点，使得的面积是的面积的2倍，请求出点的坐标.
高频考点3、分类讨论
【解题技巧】此类题型仅不知图形的一个顶点，且已知面积，求这个顶点。∵这个顶点位置不固定，存在多解情况，需考虑全面。
①点在坐标轴上：先确定三角形的底，根据面积，确定三角形高的长度。在根据底的长度或高的长度来确定未知点的位置。②点在格点上：已知三角形的面积，根据条件，先确定三角形的底；然后根据面积，确定高；最后根据高的大小，确定未知点的位置（多解）。
例1．（2022 宁都县八年级期末）已知：如图，△ABC的三个顶点位置分别是A（1，0）、B（﹣2，3）、C（﹣3，0）．（1）求△ABC的面积是多少？（2）若点A、C的位置不变，当点P在y轴上时，且S△ACP＝2S△ABC，求点P的坐标？（3）若点B、C的位置不变，当点Q在x轴上时，且S△BCQ＝2S△ABC，求点Q的坐标？
例2．（2022·广西玉林·七年级期中）如图，已知点满足．将线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到线段，并连接．
(1)请求出点和点的坐标；(2)点从点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为秒，问：是否存在这样的，使得四边形的面积等于9？若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由；(3)在（2）的条件下，点从点出发的同时，点从点出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，设射线交轴于点．设运动时间为秒，问：的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值：若变化，请说明理由．
变式1．（重庆市2022七年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A（2，0），顶点B（0，3），顶点C（﹣1，2）．（1）求△AOC的面积：（2）求△ABC的面积；（3）若点D在坐标轴上，且S△OCD＝1，直接写出满足条件的D点坐标．
变式2．（2022·湖北武汉·七年级期末）在平面直角坐标系中，，，a，b满足，连接AB交y轴于C．
(1)直接写出______，______；(2)如图1，点P是y轴上一点，且三角形ABP的面积为12，求点P的坐标；(3)如图2，直线BD交x轴于，将直线BD平移经过点A，交y轴于E，点在直线AE上，且三角形ABQ的面积不超过三角形ABD面积的，求点Q横坐标x的取值范围．
高频考点4、平面直角坐标系的规律问题
例1．（2022·江西·七年级期中）如图，一个粒子在第一象限内及x轴、y轴上运动，在第一分钟，它从原点运动到点（1，0），等二分钟，它从点（1，0）运动到点（1，1），而后它接着按图中箭头所示在与x轴，y轴平行的方向上来回运动，且每分钟移动1个单位长度，那么在第2022分钟时，这个粒子所在位置的坐标是（ ）
A．（45，3） B．（2，44） C．（3，45） D．（44，2）
例2．（2022·河南·郑州八年级期末）如图，矩形的两边、分别在轴、轴上，点与原点重合，点A（-2，3），将矩形ABCD沿轴向右翻滚，经过一次翻滚点A对应点记为，经过第二次翻滚点A对应点记为依此类推，经过3次翻滚后点A对应点的坐标为（ ）
A．（8，2） B．（3，2） C．（3，3） D．（5，0）
例3．（2022·黑龙江绥化·八年级期末）如图，放置的，，，…都是边长为2的等边三角形，点A在y轴上，点O、、、…都在直线l上，则点的坐标是______．
变式1．（2022·湖北·仙桃荣怀学校七年级期中）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2）…按这样的运动规律经过第2022次运动后，动点P的坐标是（ ）
A．（2021，1） B．（2021，0） C．（2022，0） D．（2022，2）
变式2．（2022·山东聊城·七年级期末）如图；所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行，从内到外，它们的边长依次为2、4、6、8、…，顶点依次用…表示，则点的坐标为（ ）
A．(505，505) B．（－506，506） C．(506，506) D．（－505，505）
变式3．（2022 海门市期末）在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2），若x2﹣x1＝y2﹣y1≠0，则称点A与点B互为“对角点”，例如：点A（﹣1，3），点B（2，6），因为2﹣（﹣1）＝6﹣3≠0，所以点A与点B互为“对角点”．（1）若点A的坐标是（4，﹣2），则在点B1（2，0），B2（﹣1，﹣7），B3（0，﹣6）中，点A的“对角点”为点 ；（2）若点A的坐标是（﹣2，4）的“对角点”B在坐标轴上，求点B的坐标；（3）若点A的坐标是（3，﹣1）与点B（m，n）互为“对角点”，且点B在第四象限，求m，n的取值范围．
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专题08坐标系中的面积与探究坐标规律（精练）
一、选择题
1．（2022 市中区二模）平面直角坐标系中，P（x，y）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做P（x，y）的勾股值，记为「P」，即「P」＝|x|+|y|．若点B在第一象限且满足「B」＝4，则满足条件的所有B点与坐标轴围成的图形的面积为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】由勾股值的定义可得方程x+y＝4（x＞0，y＞0），变形得y＝﹣x+4，求出此函数与坐标轴的交点坐标即可求面积．
【解答】解：设点P坐标为（x，y），由点B在第一象限且满足「B」＝4，
∴x+y＝4（x＞0，y＞0）．即y＝﹣x+4，
∵y＝﹣x+4与x轴交点为（4，0），与y轴交点为（0，4），
∴满足条件的所有B点与坐标轴围成的图形的面积为=8．故选：D．
2．（2022·湖北咸宁·七年级期中）如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行．从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A1，A2，A3，A4，…表示，则顶点A2022的坐标是（ ）
A．（505，-505） B．（﹣505，505） C．（506，-506） D．（﹣506，506）
【答案】D
【分析】根据正方形的性质找出部分An点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“A4n＋1（ n 1， n 1），A4n＋2（ n 1，n＋1），A4n＋3（n＋1，n＋1），A4n＋4（n＋1， n 1）（n为自然数）”，依此即可得出结论．
【详解】解：观察发现：A1（ 1， 1），A2（ 1，1），A3（1，1），A4（1， 1），A5（ 2， 2），A6（ 2，2），A7（2，2），A8（2， 2），A9（ 3， 3），…，
∴A4n＋1（ n 1， n 1），A4n＋2（ n 1，n＋1），A4n＋3（n＋1，n＋1），A4n＋4（n＋1， n 1）（n为自然数），∵2022＝505×4＋2，∴A2022（ 506，506）故选D．
【点睛】本题考查了规律型：点的坐标，解题的关键是找出变化规律“A4n＋1（ n 1， n 1），A4n＋2（ n 1，n＋1），A4n＋3（n＋1，n＋1），A4n＋4（n＋1， n 1）（n为自然数）”．
3．（2022·广西玉林·七年级期末）在平面直角坐标系中，对作变换得到，例如：作上述变换得到，再将作上述变换得到，这样依次得到，，，…，，…，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】按照变换规则可以推出各点坐标每4次一个循环，则2022在一个循环的第二次变换．
【详解】解：按照变换规则，A3坐标为（﹣3，0），A4坐标（1，﹣2），A5坐标（3，2）则可知，每4次一个循环，∵2022＝505×4+2，∴A2022坐标为（﹣1，4），故选：A．
【点睛】本题为平面直角坐标系中的动点坐标探究题，考查了点坐标的变换，解答关键是理解变换规则．
4．（2022·山东菏泽·八年级期中）如图，在直角坐标系中，已知点、，对连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则△2022的直角顶点的横坐标为（ ）．
A．8080 B．8085 C．8088 D．8092
【答案】C
【分析】由图可知，△OAB每旋转三次为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为4+5+3=12，探究规律求解即可．
【详解】解：∵点A（-3，0），B（0，4），∴AB==5，
由图可知，△OAB每旋转三次为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为4+5+3=12，
∵2022÷3=674，∴△2020的直角顶点是第674个循环组的最后一个三角形的直角顶点．
∵674×12=8088，∴△2022的直角顶点的坐标为（8088，0）．故选C．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．解决本题的关键是确定循环的次数．
5．（2022 沙坪坝区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整点，按图中a→“方向排列，即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（2，2）→（2，3）→（3，3）→（4，4），……，则按此规律排列下去第20个点的坐标为（ ）
A．（13，14） B．（13，13） C．（12，13） D．（12，12）
【分析】先由题意写出前10个点的坐标，观察发现并归纳：横坐标与纵坐标相等且为偶数的点的坐标特点，从而可得答案．
【解答】解：∵（0，0）→（0，1）→（1，1）→（2，2）→（2，3）→（3，3）→（4，4），→（4，5）→（5，5）→（6，6），……
∴观察发现：横坐标与纵坐标相等且为偶数的点的坐标为：（2×1，2×1），（2×2，2×2），（2×3，2×3），……
而这些点为：第4个，第7个，第10个，……
归纳得到第19个点的坐标为：（2×6，2×6）、即（12，12），而这样的点的后面一个点是再沿y轴正方向平移一个单位长度，∴第20个点的坐标为：（12，13），故选：C．
【点评】本题考查的是坐标规律的探究，掌握从具体到一般的探究方法是解题的关键．
6．（2022 九龙坡区期中）在平面直角坐标系内原点O（0，0）第一次跳动到点A1（0，1），第二次从点A1跳动到点A2（1，2），第三次从点A2跳动到点A3（﹣1，3），第四次从点A3跳动到点A4（﹣1，4），…，按此规律下去，则点A2021的坐标是（ ）
A．（673，2021） B．（674，2021） C．（﹣673，2021） D．（﹣674，2021）
【分析】根据前几个点的坐标寻找规律即可求解．
【解答】解：因为A1（0，1），A2（1，2），A3（﹣1，3），A4（﹣1，4），
A5（2，5），A6（﹣2，6），A7（﹣2，7），A8（3，8），…
A3n﹣1（n，3n﹣1），A3n（﹣n，3n），A3n+1（﹣n，3n+1）（n为正整数），
∵3×674﹣1＝2021，∴n＝674，所以A2021（674，2021），故选：B．
【点评】本题考查了点的坐标规律，解决本题的关键是找出A3n﹣1（n，3n﹣1），A3n（﹣n，3n），A3n+1（﹣n，3n+1）（n为正整数）．
7．（2022·河南信阳·七年级期末）在平面直角坐标系中，一只电子青蛙从原点出发，按向上，向右，向下，向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其行走路线如图所示，那么点的坐标是（ ）
A．(1010，1) B．(1010，0) C．(505，0) D．(1009，0)
【答案】B
【分析】根据图形写出、、…的坐标，找出规律，即可求出的坐标．
【详解】解：将、、…作为系列点进行研究，
由图可知，，…，
即第1个点为，横坐标为2，纵坐标为0；
第2个点为，横坐标为4，纵坐标为0；
第3个点为，横坐标为6，纵坐标为0；……
以此类推，可知第n个点为，横坐标为2n，纵坐标为0，即；
∵当4n=2020时，n=505，2n=1010，∴，故选B．
【点睛】本题考查平面直角坐标系内点的规律变化，解题关键是要仔细观察图像，得出点的变化规律．
二、填空题
8．（2022·黑龙江绥化·八年级期末）如图，放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3…都是边长为2的等边三角形，点A在y轴上，点O、B1、B2、B3…都在直线l上，则点A2022的坐标是________．
【答案】（2022，2024）
【分析】根据题意得出A1的坐标，进而得出A2，A3坐标，进而得出坐标变化规律，进而得出答案．
【详解】解：过点B1 作B1C⊥x轴，则B1Cy轴，
∵△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是边长为2的等边三角形，
∴OB1＝A1B1＝2，∠AOB1＝∠AB1O＝∠A1B1B2＝60°，
∴∠B1OC＝30°，A1B1y轴，∴CB1＝OB1＝2×＝1，
∴由勾股定理得，OC＝，
∵A1B1y轴，B1Cy轴，∴A1、B1、C三点共线，
∴A1C＝A1B1＋B1C＝2＋1＝3，∴A1的坐标为（，3），
∴A2的坐标为（2，4），A3的坐标为（3，5），A4的坐标为（4，6），……
∴的坐标为 ∴A2022的坐标是（2022，2024）．故答案为：（2022，2024）．
【点睛】此题主要考查一次函数图像上点的坐标特征以及数字变化类，得出坐标变化规律是解题关键．
9．（2022·江苏·八年级单元测试）在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC如图放置，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第5次碰到矩形的边时，点P的坐标为_________；当点P第2014次碰到矩形的边时，点P的坐标为____________．
【答案】 （1，4） （5，0）
【分析】作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，当点P第2次碰到矩形的边时和当点P第6次碰到矩形的边时，可依次参照图像得出点的坐标；当点P第2014次碰到矩形的边时，用2014除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．
【详解】解：如图，根据反射角与入射角的定义作出图形，可知：
（1）当点P第5次碰到矩形的边时，点P的坐标为（1，4）；
（2）每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），
∵2014÷6=3354，
∴当点P第2014次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹，点P的坐标为（5，0）．
故答案为：（1，4），（5，0）．
【点睛】此题考查了对点的坐标的规律变化的认识，解题的关键是根据条件画出图形并得到点的坐标．
10．（2022·山东济宁·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点N1（1，1）在直线l：y＝x上，过点N1作N1M1⊥l，交x轴于点M1；过点M1作M1N2⊥x轴，交直线l于点N2；过点N2作N2M2⊥l，交x轴于点M2；过点M2作M2N3⊥x轴，交直线1于点N3；……，按此作法进行下去，则点M2022的坐标为 _____．
【答案】，
【分析】直线解析式为，可得直线是第一象限的角平分线，所以，证明△为等腰直角三角形，可利用的坐标求出的长度，得到其坐标，用同样的方法求得，，，即可求解．
【详解】解：如图，过作轴于，过作轴于，
，，，，
△是等腰直角三角形，，，，
同理，△是等腰直角三角形，，，
同理，，，，，，，
依此类推，故，，故答案为：，．
【点睛】本题考查了点的坐标特征的问题，考查了点的坐标规律，解题的关键是利用直线是第一象限的角平分线作为突破口求解．
11．（2022·广东·梅华中学八年级期中）如图所示，已知A（0，0），OC=1，∠OCB=60°，在△ABC内依次作等边三角形，使一边在轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…则第n个等边三角形的边长为___________.
【答案】
【分析】根据题目已知条件可推出，依此类推，找到规律求得第n个等边三角形的边长即可求解．
【详解】解：∵点C（0，1）， △AA1B1为等边三角形，∠A1AB1=60°，
∴∠COA1=30°，∴∠CA1O=90°，∵，
在Rt△CAA1中， ，同理可得，……
依此类推，第n个等边三角形的边长等于．故答案为：．
【点睛】本题主要考查坐标与图形性质，等边三角形的性质及解直角三角形，从而归纳出边长的规律是解题的关键．
12．（2022 烟台模拟）我们把1，1，2，3，5，8，13，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧，，，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连接P1P2，P2P3，P3P4，…得到螺旋折线（如图），已知点P1（0，1），P2（﹣1，0），P3（0，﹣1），则该折线上的点P8的坐标为 ．
【分析】观察图象，推出P8的位置，即可解决问题．
【解答】解：观察发现：P1（0，1）先向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到P2（﹣1，0）；
P2（﹣1，0）先向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到P3（0，﹣1）；
P3（0，﹣1）先向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到P4（2，1）；
P4（2，1）先向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到P5（﹣1，4）；
P5（﹣1，4）先向左平移5个单位，再向下平移5个单位得到P6（﹣6，﹣1）；
P6（﹣6，﹣1）先向右平移8个单位，再向下平移8个单位得到P7（2，﹣9）；
P7（2，﹣9）先向右平移13个单位，再向上平移13个单位得到P8（15，4）．故答案为：（15，4）．
13．（2022春 金乡县期末）在平面直角坐标系中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S＝ah．例如，三点坐标分别为A（0，3），B（﹣3，4），C（1，﹣2），则“水平底”a＝4，“铅垂高”h＝6，“矩面积”S＝ah＝24．若D（2，2），E（﹣2，﹣1），F（3，m）三点的“矩面积”为20，则m的值为 ．
【分析】根据矩面积的定义表示出水平底”a和铅垂高“h，利用分类讨论对其铅垂高“h进行讨论，从而列出关于m的方程，解出方程即可求解．
【解答】解：∵D（2，2），E（﹣2，﹣1），F（3，m）
∴“水平底”a＝3﹣（﹣2）＝5 “铅垂高“h＝3或|1+m|或|2﹣m|
①当h＝3时，三点的“矩面积”S＝5×3＝15≠20，不合题意；
②当h＝|1+m|时，三点的“矩面积”S＝5×|1+m|＝20，
解得：m＝3或m＝﹣5（舍去）；
③当h＝|2﹣m|时，三点的“矩面积”S＝5×|2﹣m|＝20，
解得：m＝﹣2或m＝6（舍去）；
综上：m＝3或﹣2故答案为：3或﹣2
14．（2022·山东临沂·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，…都在轴上，点，，…都在直线上，，，，，…都是等腰直角三角形，且，则点的坐标是______，点的坐标是______．
【答案】 （23，23） （2n﹣1，2n﹣1）．
【分析】由OA1＝1得到点B1的坐标，然后利用等腰直角三角形的性质得到点A2的坐标，进而得到点B2的坐标，然后再一次类推得到点Bn的坐标．
【详解】∵OA1＝1，∴点A1的坐标为（1，0），
∵△OA1B1是等腰直角三角形，∴A1B1＝1，∴B1（1，1），
∵△B1A1A2是等腰直角三角形，∴A1A2＝1，B1A2，
∵△B2B1A2为等腰直角三角形，∴A2A3＝2，∴B2（2，2），
同理可得，B3（22，22），B4（23，23），…，Bn（2n﹣1，2n﹣1）．
故答案为：（23，23），（2n﹣1，2n﹣1）．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，点的坐标规律，找到规律是解题的关键．
三、解答题
15．（2022·山东·日照市七年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A(-3，0)，B(-6，-2)，C(-2，-5)．将△ABC向上平移4个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到△A1B1C1．
(1)直接写出点B1的坐标；(2)在平面直角坐标系xOy中画出△A1B1C1；
(3)若x轴上有一点P，且△ABP的面积与△ABC的面积相等，求P点的坐标．
【答案】(1)；(2)作图见解析；(3)P(5．5，0)或P(-11．5，0)；
【分析】（1）根据题意，结合点的平移即可得到；
（2）根据点的平移，分别得到的坐标，在平面直角坐标系中标出，连接即可得到△A1B1C1；（3）利用平移不改变图形形状与大小可知，再结合的面积是矩形面积减去三个直角三角形面积，间接表示即可得出结果．
(1)解：△ABC的顶点的坐标分别是B（－6，－2），
当将△ABC向上平移4个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到△A1B1C1时，，即；
(2)解：△ABC的三个顶点的坐标分别是A（－3，0），B（－6，－2），C（－2，－5），根据点的平移得到，将△ABC向上平移4个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到△A1B1C1，从而，在平面直角坐标系中标出并连接可得△A1B1C1，如图所示：
(3)解：设点P(x0，0)，则PA=，
∵，且△ABP的面积与△ABC的面积相等，
∴，∴x0=5.5或x0=-11.5，∴P(5.5，0)或P(-11.5，0)，
【点睛】本题考查平移变换，涉及到点的平移求坐标、利用平移作图、网格中三角形面积求解等知识点，熟练掌握平移的性质是解决问题的关键．
16．（2022·江苏无锡·八年级期中）在平面直角坐标系中，已知线段AB．其中A（1，－3），B（3，0）．平移线段AB到线段CD，使点A的对应点为点D，点B的对应点为点C．
（备用图）
(1)若点C的坐标为（－2，4），则点D的坐标是 ；
(2)若点C在y轴的正半轴上，点D在第三象限且四边形ABCD的面积为14，求点C的坐标．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）点B（3，0）向左平移5个单位，向上平移4个单位得到C（－2，4），A（1，－3）也向左平移5个单位，向上平移4个单位得到D；
（2）如图，设，则，表示出四边形ABCD的面积列出方程即可．
（1）解：B（3，0）向左平移5个单位，向上平移4个单位得到C（－2，4），
因此A（1，－3）向左平移5个单位，向上平移4个单位得到D；
（2）设，则
∴，解得，∴．
【点睛】本题考查坐标与图形变化——平移，解题的关键是掌握平移变换的性质，间接法求面积也是本题的关键．
17．（2022·湖北武汉·七年级期中）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．如点A，B，D，E都在格点上，连AD，∠BAD＝90°．请选择适当的格点，仅用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由．(1)将线段AB平移到DC，使点A对应的点为D，连BC．则正方形ABCD的面积为______，AD的长度为______；(2)把三角形CDE先向上平移4格，再向右平移2格，得到三角形BAF，画出三角形BAF，直接写出三角形CDE在两次平移中扫过的面积＝______；(3)在CD上找一点M，使EM最短，连接EM．
【答案】(1)图见解析，20，(2)图见解析，23(3)见解析
【分析】（1）根据题意做出图形，利用勾股定理求出AD，根据正方形面积公式求解；
（2）在两次平移中扫过的面积等于大正方形的面积减去一个矩形面积和两个小三角形的面积即可；（3）根据垂线段最短，做出图形即可．
（1）图形如下图，
,正方形ABCD的面积=．故答案为：20，；
（2）图形如下图所示，阴影部分为扫过的面积在两次平移中扫过的面积=．故答案为：23．
（3）如图EM即为所求，
【点睛】本题考查了作图平移变换、三角形面积、平行四边形面积和垂线段最短知识，解题的关键是理解平移变换的性质．
18．（2022春 河北期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），B（8，0），C（8，6）三点．（1）求△ABC的面积；（2）如果在第二象限内有一点P（m，1），且四边形ABOP的面积是△ABC的面积的两倍；求满足条件的P点的坐标．
【分析】（1）由点的坐标得出BC＝6，即可求出△ABC的面积；
（2）求出OA＝4，OB＝8，由S四边形ABOP＝S△AOB+S△AOP和已知条件得出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵B（8，0），C（8，6），∴BC＝6，∴S△ABC=×6×8＝24；
（2）∵A（0，4），B（8，0），∴OA＝4，OB＝8，
∴S四边形ABOP＝S△AOB+S△AOP=×4×8+×4（﹣m）＝16﹣2m，
又∵S四边形ABOP＝2S△ABC＝48，∴16﹣2m＝48，解得：m＝﹣16，∴P（﹣16，1）．
19．（2022·山东临沂·七年级期中）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为．
(1)在平面直角坐标系中描出点A，B，C，求的面积；
(2)x轴上是否存在点P，使的面积为4，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，说明理由；
(3)如果以点A为原点，以经过点A平行于x轴的直线为轴，向右的方向为轴的正方向；以经过点A平行于y轴的直线为轴，向上的方向为轴的正方向；单位长度相同，建立新的直角坐标系，直接写出点B、点C在新的坐标系中的坐标．
【答案】(1)图见解析，(2)存在，或(3)，
【分析】（1）先描点，再顺次连接可得，然后利用三角形的面积公式即可得；
（2）先求出与轴的交点坐标为，再根据的面积为4建立方程，解方程即可得；
（3）将问题转化为将点平移后至点后，求点按同样的方式平移后的坐标，再根据点的坐标的平移变换规律即可得．
（1）解：描出点如下：
∵，∴的面积为．
（2）解：，与轴的交点坐标为，，
设点的坐标为，的面积为4，，解得或，
则存在这样的点，点的坐标为或．
（3）解：由题意可将问题转为：将点平移后至点后，求点按同样的方式平移后的坐标．将点先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度可得点，
点按同样的方式平移后的坐标分别为，即分别为，故点、点在新的坐标系中的坐标为．
【点睛】本题考查了点坐标与图形、点的坐标的平移变换，较难的是题（3），将问题转化为平移问题是解题关键．
20．（2022·湖北·浠水县兰溪镇兰溪初级中学七年级期中）如图长方形OABC的位置如图所示，点B的坐标为（8，4），点P从点C出发向点O移动，速度为每秒1个单位；点Q同时从点O出发向点A移动，速度为每秒2个单位；(1)请写出点A、C的坐标(2)几秒后，P、Q两点与原点距离相等．
(3)在点P、Q移动过程中，四边形OPBQ的面积有何变化，说明理由．
【答案】(1)点A的坐标为（8，0），点C的坐标为（0，4）
(2)经过秒，P、Q两点与原点距离相等
(3)在点P、Q移动过程中，四边形OPBQ的面积不会变化，为16，理由见解析
【分析】（1）根据点B的坐标进行求解即可；
（2）设运动时间为t，分别表示出OP和OQ的长，据此建立方程求解即可；
（3）根据进行求解即可．
（1）解：∵四边形OABC为长方形，点B的坐标为（8，4），
∴OA=BC=8，OC=AB=4，∴点A的坐标为（8，0），点C的坐标为（0，4）；
（2）解：设运动时间为t，则，∴，
∵P、Q两点与原点距离相等，∴，∴，解得，
∴经过秒，P、Q两点与原点距离相等；
（3）解：在点P、Q移动过程中，四边形OPBQ的面积不会变化，为16，理由如下：
由（2）可得，
∴，
∴在点P、Q移动过程中，四边形OPBQ的面积不会变化．
【点睛】本题考查了坐标与图形，一元一次方程的应用，正确理解题意求出OC和OA的长是解题的关键．
21．（2022 莆田期末）对于平面直角坐标系中的图形M上的任意点P（x，y），给出如下定义：将点P（x，y）平移到P′（x+e，y﹣e）称为将点P进行“e型平移”，点P′称为将点P进行“e型平移”的对应点；将图形M上的所有点进行“e型平移”称为将图形M进行“e型平移”．例如，将点P（x，y）平移到P′（x+1，y﹣1）称为将点P进行“1型平移”．
（1）已知点A（﹣1，2），B（2，3），将线段AB进行“1型平移”后得到对应线段A′B′．
①画出线段A′B′，并直接写出A′，B′的坐标；②四边形ABB′A′的面积为 （平方单位）；
（2）若点A（2﹣a，a+1），B（a+1，a+2），将线段AB进行“2型平移”后得到对应线段A′B′，当四边形ABB′A′的面积为8平方单位，试确定a的值．
【分析】（1）①根据定义平移即可；②根据平移后的图形，写出坐标即可；
（2）利用割补法求四边形的面积．
【解答】解：（1）①A（﹣1，2）“1型平移”后得到A'（0，1），
B（2，3）“1型平移”后得到B'（3，2）；
②S四边形ABB′A′＝S△ABB'+S△AB'A'=×4×1+×4×1＝4，故答案为：4；
（2）A（2﹣a，a+1）“2型平移”后得到A'（4﹣a，a﹣1），
B（a+1，a+2）“2型平移”后得到B'（a+3，a），如图，在四边形外作矩形CDEF，
∴C（2﹣a，a+2），D（2﹣a，a﹣1），E（a+3，a﹣1），F（a+3，a+2），
∴BC＝2a﹣1，AC＝1，BF＝2，B'F＝2，AD＝2，A'D＝2，AE＝2a﹣1，BE'＝1，
∴CF＝2a+1，CD＝3，∴S四边形ABB′A′＝3（2a+1）-×（2a﹣1）×1×2-×2×2×2＝4a，
∵四边形ABB′A′的面积为8平方单位，∴4a＝8，∴a＝2．
22．（2022春 崆峒区期末）在直角坐标系中，已知线段AB，点A的坐标为（1，﹣2），点B的坐标为（3，0），如图1所示．
（1）平移线段AB到线段CD，使点A的对应点为D，点B的对应点为C，若点C的坐标为（﹣2，4），求点D的坐标；（2）平移线段AB到线段CD，使点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限内，连接BC，BD，如图2所示．若S△BCD＝7（S△BCD表示三角形BCD的面积），求点C、D的坐标．（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在一点P，使（S△PCD表示三角形PCD的面积）？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用平移得性质确定出平移得单位和方向；
（2）根据平移得性质，设出平移单位，根据S△BCD＝7（S△BCD建立方程求解，即可，
（3）设出点P的坐标，表示出PC用，建立方程求解即可．
【解答】解：（1）∵B（3，0）平移后的对应点C（﹣2，4），
∴设3+a＝﹣2，0+b＝4，∴a＝﹣5，b＝4，
即：点B向左平移5个单位，再向上平移4个单位得到点C（﹣2，4），
∴A点平移后的对应点D（﹣4，2），
（2）∵点C在y轴上，点D在第二象限，
∴线段AB向左平移3个单位，再向上平移（2+y）个单位，符合题意，
∴C（0，2+y），D（﹣2，y），连接OD，
S△BCD＝S△BOC+S△COD﹣S△BOD=OB×OC+OC×2-OB×y＝7，
∴y＝2，∴C（0，4）．D（﹣2，2）；
（3）设点P（0，m），∴PC＝|4﹣m|，∵，∴|4﹣m|×2=×7，
∴|4﹣m|=，∴m=-或m=，∴存在点P，其坐标为（0，-）或（0，）．
23．（2022·河南安阳·七年级期末）问题情境：在平面直角坐标系中，对于任意一点，定义点的“绝对和”为：．例如：已知点P(2，3)，则．
解决问题：(1)已知点A(4，-1)则_______；(2)如图，已知点M(4，4)，连接点O、M得线段OM．点Q是线段OM上的一个动点．①若d(Q)＝6，求点的坐标；②若线段OM向上平移个单位，点的对应点为，如果，求的取值范围；③若线段OM先向右平移个单位，再向上平移个单位后，点的对应点依次为、，连接点Q、、得到．则的形状是_________；的面积是_______．(用含有字母a、b的式子表示)
【答案】(1)3 (2)①Q(3，3)；②；③直角三角形，．
【分析】（1）根据“绝对和”的定义即可求解；
（2）①由M点坐标为(4，4)，可知OM上所有点的横、纵坐标都相等．即可设，再根据“绝对和”的定义即可列出关于x的绝对值方程，解出x，再舍去不合题意的解，即可得出答案；②根据题意可设，再结合“绝对和”的定义可得出，再由，即可得出，由y的取值范围，即可求出m的取值范围；③由平移的性质可知为直角三角形，且，，，再根据三角形的面积公式计算即可．
(1)，故答案为：3；(2)①∵M(4，4)，∴OM上所有点的横、纵坐标都相等．
∵点Q是线段OM上的一个动点，故可设．
∵d(Q)＝6，∴，解得：（舍），∴点的坐标为(3，3)；
②根据题意可设，则．
∵，∴∴，∴，解得：，∴；
③∵线段OM先向右平移个单位，再向上平移个单位后，点的对应点依次为、，∴为直角三角形，且，
由平移可知，，∴．故答案为：直角三角形，．
【点睛】本题考查坐标与图形，一元一次方程的应用，平移的性质．读懂题意，理解“绝对和”的定义是解题关键．
24．（2022·河南商丘·七年级期中）如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，现同时将点，分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到，的对应点，，连接，，． (1)点的坐标为_______，点的坐标为________，四边形的面积为_________；(2)在轴上是否存在一点，使得的面积是面积的2倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图2，点是线段上一动点（，两点除外），试说明与的大小关系，并说明理由．
【答案】(1)点C的坐标为，点D的坐标为，四边形的面积12
(2)存在，的坐标为或(3)，理由见解析
【分析】（1）根据点平移的规律易得点C的坐标为（0，2），点D的坐标为（6，2）；
（2）设点E的坐标为（x，0），根据△DEC的面积是△DEB面积的2倍和三角形面积公式得到，解得x＝1或x＝7，然后写出点E的坐标；
（3）当点P在线段BD上，作交轴于，根据平行线的性质由得，再根据平行线的性质，，从而得到结论．
（1）解：∵点A、的坐标分别是，，同时将点、分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度得到A、的对应点、，
∴点的坐标为，点的坐标为，；
（2）解：存在．理由如下：设点的坐标为，∵的面积是的面积的2倍，
∴，解得或，∴点的坐标为或；
（3）解：，理由如下：过点作交轴于，如图所示：
∴ ∴，，∴．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标得到线段的长和线段与坐标轴的关系，也考查了平行线的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键．
25．（2022·广东·广州市七年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A(0，3)，B(6，3)，现同时将点A，B分别向下平移3个单位，再向左平移2个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，AB．(1)求点C，D的坐标；(2)点M从O点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为秒，问：是否存在这样的使得四边形OMDB的面积为12？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．(3)在（2）的条件下，点M从O点出发的同时，点N从D点出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，当点N到达点O时运动停止．设射线BN交轴于点E．设运动时间为秒，问：的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．
【答案】(1)C（-2,0），D（4,0）(2)t=2(3)值不变，为6
【分析】（1）根据点的坐标及平移方法即可确定；（2）过B作BH⊥OD的延长线，垂足为H．由（1）中点的坐标得出D=6,DH=2,OD=4，AB=6，设M点坐标为（0，t），连接MB、OB，则四边形的面积等于△OBD的面积加上△OMD的面积等于12，然后解出t即可；（3）设运动时间为秒，OM=t，ON=4-2t(0≤t≤2)，过B作BH⊥OD的延长线，垂足为H，连接MB，OB，结合图形可得=S△ONB+S△OMB，然后代入求解即可．
（1）解：∵点A，B的坐标分别为A(0，3)，B(6，3)，将点A，B分别向下平移3个单位，再向左平移2个单位∴C（-2,0），D（4,0）；
（2）解：存在；如图，过B作BH⊥OD的延长线，垂足为H．由题意得点C和点D的坐标分别为（-2,0）和（4,0）．A(0，3)，B(6，3)，∴CD=6,DH=2,OD=4，AB=6，设M点坐标为（0，t），连接MB、OB，∴OM=t．∵S四边形OMBD=S△OBD+S△OMB=12，
∴,即，解得t=2；
（3）解：不变．理由如下：如图所示，设运动时间为秒，OM=t，ON=4-2t(0≤t≤2)，过B作BH⊥OD的延长线，垂足为H，连接MB，OB，∵=S四边形OMBN，S四边形OMBN=S△ONB+S△OMB，∴=S△ONB+S△OMB===6-3t+3t=6；∴为定值6，故其值不会变化．
【点睛】本题属于四边形的综合问题，考查了点坐标平移、坐标与图形、动点问题以及图形的面积等知识点，灵活应用所学知识是解答本题的关键．
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专题08坐标系中的面积与探究坐标规律（精练）
一、选择题
1．（2022 市中区二模）平面直角坐标系中，P（x，y）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做P（x，y）的勾股值，记为「P」，即「P」＝|x|+|y|．若点B在第一象限且满足「B」＝4，则满足条件的所有B点与坐标轴围成的图形的面积为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．（2022·湖北咸宁·七年级期中）如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x轴或y轴平行．从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A1，A2，A3，A4，…表示，则顶点A2022的坐标是（ ）
A．（505，-505） B．（﹣505，505） C．（506，-506） D．（﹣506，506）
3．（2022·广西玉林·七年级期末）在平面直角坐标系中，对作变换得到，例如：作上述变换得到，再将作上述变换得到，这样依次得到，，，…，，…，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·山东菏泽·八年级期中）如图，在直角坐标系中，已知点、，对连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则△2022的直角顶点的横坐标为（ ）．
A．8080 B．8085 C．8088 D．8092
5．（2022 沙坪坝区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整点，按图中a→“方向排列，即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（2，2）→（2，3）→（3，3）→（4，4），……，则按此规律排列下去第20个点的坐标为（ ）
A．（13，14） B．（13，13） C．（12，13） D．（12，12）
6．（2022 九龙坡区期中）在平面直角坐标系内原点O（0，0）第一次跳动到点A1（0，1），第二次从点A1跳动到点A2（1，2），第三次从点A2跳动到点A3（﹣1，3），第四次从点A3跳动到点A4（﹣1，4），…，按此规律下去，则点A2021的坐标是（ ）
A．（673，2021） B．（674，2021） C．（﹣673，2021） D．（﹣674，2021）
7．（2022·河南信阳·七年级期末）在平面直角坐标系中，一只电子青蛙从原点出发，按向上，向右，向下，向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其行走路线如图所示，那么点的坐标是（ ）
A．(1010，1) B．(1010，0) C．(505，0) D．(1009，0)
二、填空题
8．（2022·黑龙江绥化·八年级期末）如图，放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3…都是边长为2的等边三角形，点A在y轴上，点O、B1、B2、B3…都在直线l上，则点A2022的坐标是________．
9．（2022·江苏·八年级单元测试）在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC如图放置，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第5次碰到矩形的边时，点P的坐标为_________；当点P第2014次碰到矩形的边时，点P的坐标为____________．
10．（2022·山东济宁·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点N1（1，1）在直线l：y＝x上，过点N1作N1M1⊥l，交x轴于点M1；过点M1作M1N2⊥x轴，交直线l于点N2；过点N2作N2M2⊥l，交x轴于点M2；过点M2作M2N3⊥x轴，交直线1于点N3；……，按此作法进行下去，则点M2022的坐标为 _____．
11．（2022·广东·梅华中学八年级期中）如图所示，已知A（0，0），OC=1，∠OCB=60°，在△ABC内依次作等边三角形，使一边在轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…则第n个等边三角形的边长为___________.
12．（2022 烟台模拟）我们把1，1，2，3，5，8，13，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧，，，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连接P1P2，P2P3，P3P4，…得到螺旋折线（如图），已知点P1（0，1），P2（﹣1，0），P3（0，﹣1），则该折线上的点P8的坐标为 ．
13．（2022春 金乡县期末）在平面直角坐标系中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S＝ah．例如，三点坐标分别为A（0，3），B（﹣3，4），C（1，﹣2），则“水平底”a＝4，“铅垂高”h＝6，“矩面积”S＝ah＝24．若D（2，2），E（﹣2，﹣1），F（3，m）三点的“矩面积”为20，则m的值为 ．
14．（2022·山东临沂·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，…都在轴上，点，，…都在直线上，，，，，…都是等腰直角三角形，且，则点的坐标是______，点的坐标是______．
三、解答题
15．（2022·山东·日照市七年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A(-3，0)，B(-6，-2)，C(-2，-5)．将△ABC向上平移4个单位长度，再向右平移5个单位长度，得到△A1B1C1．(1)直接写出点B1的坐标；(2)在平面直角坐标系xOy中画出△A1B1C1；
(3)若x轴上有一点P，且△ABP的面积与△ABC的面积相等，求P点的坐标．
16．（2022·江苏无锡·八年级期中）在平面直角坐标系中，已知线段AB．其中A（1，－3），B（3，0）．平移线段AB到线段CD，使点A的对应点为点D，点B的对应点为点C．
（备用图）
(1)若点C的坐标为（－2，4），则点D的坐标是 ；
(2)若点C在y轴的正半轴上，点D在第三象限且四边形ABCD的面积为14，求点C的坐标．
17．（2022·湖北武汉·七年级期中）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．如点A，B，D，E都在格点上，连AD，∠BAD＝90°．请选择适当的格点，仅用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由．(1)将线段AB平移到DC，使点A对应的点为D，连BC．则正方形ABCD的面积为______，AD的长度为______；(2)把三角形CDE先向上平移4格，再向右平移2格，得到三角形BAF，画出三角形BAF，直接写出三角形CDE在两次平移中扫过的面积＝______；(3)在CD上找一点M，使EM最短，连接EM．
18．（2022春 河北期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），B（8，0），C（8，6）三点．（1）求△ABC的面积；（2）如果在第二象限内有一点P（m，1），且四边形ABOP的面积是△ABC的面积的两倍；求满足条件的P点的坐标．
19．（2022·山东临沂·七年级期中）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为．
(1)在平面直角坐标系中描出点A，B，C，求的面积；
(2)x轴上是否存在点P，使的面积为4，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，说明理由；
(3)如果以点A为原点，以经过点A平行于x轴的直线为轴，向右的方向为轴的正方向；以经过点A平行于y轴的直线为轴，向上的方向为轴的正方向；单位长度相同，建立新的直角坐标系，直接写出点B、点C在新的坐标系中的坐标．
20．（2022·湖北·浠水县兰溪镇兰溪初级中学七年级期中）如图长方形OABC的位置如图所示，点B的坐标为（8，4），点P从点C出发向点O移动，速度为每秒1个单位；点Q同时从点O出发向点A移动，速度为每秒2个单位；(1)请写出点A、C的坐标(2)几秒后，P、Q两点与原点距离相等．
(3)在点P、Q移动过程中，四边形OPBQ的面积有何变化，说明理由．
21．（2022 莆田期末）对于平面直角坐标系中的图形M上的任意点P（x，y），给出如下定义：将点P（x，y）平移到P′（x+e，y﹣e）称为将点P进行“e型平移”，点P′称为将点P进行“e型平移”的对应点；将图形M上的所有点进行“e型平移”称为将图形M进行“e型平移”．例如，将点P（x，y）平移到P′（x+1，y﹣1）称为将点P进行“1型平移”．
（1）已知点A（﹣1，2），B（2，3），将线段AB进行“1型平移”后得到对应线段A′B′．
①画出线段A′B′，并直接写出A′，B′的坐标；②四边形ABB′A′的面积为 （平方单位）；
（2）若点A（2﹣a，a+1），B（a+1，a+2），将线段AB进行“2型平移”后得到对应线段A′B′，当四边形ABB′A′的面积为8平方单位，试确定a的值．
22．（2022春 崆峒区期末）在直角坐标系中，已知线段AB，点A的坐标为（1，﹣2），点B的坐标为（3，0），如图1所示．（1）平移线段AB到线段CD，使点A的对应点为D，点B的对应点为C，若点C的坐标为（﹣2，4），求点D的坐标；（2）平移线段AB到线段CD，使点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限内，连接BC，BD，如图2所示．若S△BCD＝7（S△BCD表示三角形BCD的面积），求点C、D的坐标．（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在一点P，使（S△PCD表示三角形PCD的面积）？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（2022·河南安阳·七年级期末）问题情境：在平面直角坐标系中，对于任意一点，定义点的“绝对和”为：．例如：已知点P(2，3)，则．
解决问题：(1)已知点A(4，-1)则_______；(2)如图，已知点M(4，4)，连接点O、M得线段OM．点Q是线段OM上的一个动点．①若d(Q)＝6，求点的坐标；②若线段OM向上平移个单位，点的对应点为，如果，求的取值范围；③若线段OM先向右平移个单位，再向上平移个单位后，点的对应点依次为、，连接点Q、、得到．则的形状是_________；的面积是_______．(用含有字母a、b的式子表示)
24．（2022·河南商丘·七年级期中）如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，现同时将点，分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到，的对应点，，连接，，． (1)点的坐标为_______，点的坐标为________，四边形的面积为_________；(2)在轴上是否存在一点，使得的面积是面积的2倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图2，点是线段上一动点（，两点除外），试说明与的大小关系，并说明理由．
25．（2022·广东·广州市七年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A(0，3)，B(6，3)，现同时将点A，B分别向下平移3个单位，再向左平移2个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，AB．(1)求点C，D的坐标；(2)点M从O点出发，以每秒1个单位的速度向上平移运动．设运动时间为秒，问：是否存在这样的使得四边形OMDB的面积为12？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．(3)在（2）的条件下，点M从O点出发的同时，点N从D点出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，当点N到达点O时运动停止．设射线BN交轴于点E．设运动时间为秒，问：的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．
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