9.2.1总体取值规律的估计 教学设计

9.2用样本估计总体
9.2.1总体取值规律的估计（1课时）
内容和内容解析
内容
总体取值规律的估计
2.内容解析
本节课主要内容是学习画样本数据的频率分布表和频率分布直方图, 并利用频率分布直方图对总体进行分布规律的估计，本节课为后面的总体百分位数的估计，总体集中趋势的估计和总体离散程度的估计等做铺垫。
总体取值规律描述了总体的所有可能取值，以及取每个值的个体数占总体的比例，它是总体分布的另一种表达，是为了避免严格的总体分布定义而引入的一个概念，在很多实际问题中，经常需要根据样本的取值规律来估计总体的取值规律，对于连续型变量的数据，样本的取规律可以用频率分布表或频率分布直方图来描述，据此估计总体的取值规律
统计思想方法是数学的一个重要的思想方法，中学学习统计，除了掌握必要的统计知识之处，关键是让学生建立统计在现实生活中具有重要的作用，具有统计意识，同时体会到统计结果随机性、科学性，能作为总体的分布的合理性，是生活中某些问题决策必不可少的依据.为了突出统计的思想方法，在处理学生已有知识与新知识的关系时，
学生在初中已经学过频数分布表和频数分布图，因为在本节的实际问题中，我们更关心的是月均用水量在不同范围内的居民用户占全市居民用户的比例，所以选择频率分布表和频率分布直方图，在对一些“细节”问题：如何计数、如何分组、如何寻找分点，分组区间如何表示等，只做原则说明，因为有些统计方法缘于经验，有些是根据现实情况进行分析，选出最为适合的方法，可以说没有“一定之规”.还有频率分布直方图的纵坐标的选取，如果在一开始向学生解释，势必要用到后面即将研究的知识，那样就会影响学生对整节课的学习，冲淡本节课的核心思想.因此在处理上并没有一步到位，而是强调绘制频率分布直方图是一个操作方法，重点在于对频率分布直方图的认识、分析，突出统计的基本思想及其在实际问题中的应用价值.有利于提高学生数学抽象、数据分析、直观想象、数学运算数学建模等核心素养。
根据以上分析，确定本节课的学习重点：列频率分布表，画频率分布直方图
二、目标和目标解析
1.目标：
（1）掌握频率分布表的作法以及频率分布直方图的画法．
（2）掌握用频率分布直方图估计总体．
（3）能根据频率分布表和频率分布直方图观测数据的分布规律,培养学生数学抽象、数据分析、直观想象、数学运算、数学建模等核心素养。
2.目标解析：
达成上述目标的标志是：
要样本数据进行整理和分析，帮助我们找出数据中的规律，使数据所包含的信息转化成直观的、容易理解的形式，从而更好地对总体做出相应的估计.处理、分析数据常用方法，一种是用图形画出来，另一种是用紧凑的表格改变数据的排列方式.所以能明确制作频率分布表、画频率分布直方图的步骤。
①求极差.
②决定组距与组数.
③将数据分组.
④列频率分布表.
⑤画频率分布直方图.
（2）在很多实际问题中，经常需要根据样本的取值规律来估计总体的取值规律，对于连续型变量的数据，样本的取值规律可以用频率分布表或频率分布直方图来描述，据此估计总体的取值规律．
(3)除了掌握必要的统计知识之处，关键是让学生建立统计在现实生活中具有重要的作用，具有统计意识，同时体会到统计结果随机性、科学性，能作为总体的分布的合理性，是生活中某些问题决策必不可少的依据..因此在设计中，从实际问题出发，再回到实际问题的决策，前后呼应，使学生真正体会数据处理的全过程、统计应用于现实生活的全过程，在总体取值规律的教学中，学生从抽取的样本中提取数据，进而根据数据的特征绘制频率分布表和频率分布直方图，在参与的过程中学生的数学抽象、数据分析、直观想象、数学运算、数学建模等核心素养也得到了培养。
三、教学问题诊断分析
学生在初中已经学习分布的初步概念，会绘制频数分布直方图，对样本估计总体有一定的认识.进入高一后，前面也刚学习过抽样的相关知识，对用图、表来反映样本的规律有较强的意识，较好掌握了列表、绘图等的基本方法，同时也具有一定的分析问题解决问题的能力.高一的学生已经具备了相当的生活经验，对本节课所提供的生活实例也有所体会，为新知识的学习与新方法的掌握打下了基础.再加上学生初中对学习该内容已有的经验，可以说在生活、知识、技能、方法等方面都为学生学习本节课内容打下了基础.
但是，在教学过程中，学生学习该内容也可能出现以下困难：
学生的生活经验的不足会影响对实际问题的理解与思考.如：对频率分布直方图的数据分析，再用来决策于实际问题，对学生会有一定难度。
学生虽然在初中对这部分内容有所学习，但因遗忘等原因，对频数分布直方图的绘制会有一定困难，再加上频率分布直方图学生并没有接触过，对数据分析缺乏目的性，会引起学生认识上的困惑.如：已经学习了频数分布直方图，为什么还要绘制频率分布直方图？为什么纵坐标要选用频数/组距？等
（3）因缺乏统计思维的训练，学生对统计思想、方法的理解会有一定的困难等.如：为什么能用样本的频率分布估计总体？为什么通过样本得出的规律具有随机性？等
所以在教学过程中，一定的复习回顾初中的频数分布表和频数分布直方图也很关键，有助于学生回忆，避免遗忘，并通过类比画出频率分布直方图，结合具体实例，按照步骤一步步绘制，明确各个步骤的前因后果．课堂上以学生的主动参与为主，让学生积极讨论，注重问题的提出、解决的过程.体会统计的思维过程，让学生动手操作可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．最终回到对实际问题的决策上，同时，教师设计问题串，激发学生探索欲望，引导学生对知识进行理解，提出与现实生活紧密相联的问题，促进学生进行思考，达到突出教学重点，突破教学难点让学生认识统计的作用，体会统计思维与确定思维性的差异.
四、教学过程设计
一、情景引入
观看与本节内容有关的生活视频
师生活动:师生共同观看视
设计意图：数学研究的问题不是凭空设想的，而是源于生活, 观看视频激发学生学习的兴趣，为下一步学习做铺垫.并且进行一定的德育教育 。
二、构建新知
环节一:引出问题
我国是世界上严重缺水的国家之一,城市缺水问题较为突出,某市政府为了节约生活用水,计划在本市试行居民生活用水定额管理,即确定一个居民月用水量标准a,用水量不超过a的部分按平价收费,超出a的部分按议价收费.
问题（1）:如果希望确定一个比较合理的标准，以使大部分居民的水费支出不受影响，你认为需要做哪些工作？
为了制定一个较为合理的标准a，必须先了解在全市所有居民用户中，月用水量在不同范围内的居民用户所占的比例情况。
问题（2）：为了了解全市居民日常用水量的整体分布情况，用怎样的方法了解？
如果经费时间允许，我们可以通过全面调查获得过去一年全市所有居民用户的月均用水数据，进而得到月均用水量在不同范围内的居民用户所占的比例。
由于全市居民较多，通常采取抽样调查的方式，通过分析样本观测数据，来估计全市居民用户月均用水量的分布情况。
师生活动：教师引入具体问题，展现目的，并提出问题：学生对问题进行讨论，进而得到要进行数据收集、整理、描述、处理等.
设计意图：由学生身边实例入手，激发学生的学习兴趣，探索热情，特别是问题提出，增加了学生的参与感.也让学生充分体会数学来源于生活，研究统计具有较强的实际意义.
环节二:构建研究路径
问题（1）：从这组杂乱的数据中我们能发现什么信息呢？
如果将这组数据按从小到大排序，发现这组数据的最小值是1.3t,最大值是28.0t，其他在1.3t和28.0t之间。
问题（2）：其实，面对多而杂乱的数据，我们往往又无法直接从原始数据中理解它们所包含的信息.怎么办？
一幅图胜过一千个字，看懂图是21世纪的成年人所必须具备的能力
为了更深入地挖掘数据蕴含的信息，需要对数据作进一步的整理与分析。
为了探索一组数据的取值规律，一般采取两种方法：
①用表格整理数据
②用图表示数据
问题（3）:同学们在初中都学过哪些图或表格直观表示数据？
频数分布图、条形图、扇形图、折线图和频数分布表,
可以发现无论是表格还是图形都会使数据所包含的信息更加的清晰、直观.这样更有利于从数据中提取信息、传递信息.
在初中，我们曾用频数分布表和频数分布图来整理和表示这种数值型数据，由此能使我们清楚地知道数据分布在各个小组的个数。
在这个实际问题中，因为我更关心月均用水量在不同范围内的居民占全市居民用户的比例，所PPT出示杂乱的样本数据
师生活动：教师提出3个问题。经学生讨论，发现，数据较乱，需要找到分析数据的方法.回顾旧知，挖掘旧知与新知之间的关联。以选择频率分布表和频率分布直方图在整理和表示数据。
设计意图：教师提出问题引起学生讨论，发现问题，启发学生自主寻找解决方法。因为学生初中阶段已经学习了一些统计知识,根据先行组织者理论，引导学生充分挖掘原有知识与新知识的关联，为新知识的学习提供借鉴. 构建本节课的研究蓝图，体现新知识都是在原有知识上建构的.
环节三：绘制频率分布表和频率分布直方图
下面将通过几个思考问题的探究呈现频率分布直方图的画法 ：
思考1：上述100个样本数据的变化范围是什么？差是多少？
第一步:求极差
数据中最大值与最小值的差.
28.0-1.3=26.7
思考2：为什么要对数据分组呢？
第二步:决定组距与组数
预案：不分组很难看出样本中的数字所包含的信息，分组后，计算出频率，从而估计总体的分布特征.
思考3：分成多少组合适呢？每组数据区间是多少？
说明：将数据分组要注意以下几点：
①．数据分组可以等距也可以不等距，根据数据的特点而定，为了方便，往往按等距分组。
②．组距的选择力求“取整”
③．合适的组距和组数对发现数据分布规律有重要意义，组数太多或太少，都会影响我们了解数据的分布情况.一般来说数据的个数越多,所分组数也越多.当样本容量不超过100时,常分成5～12组.
④．若K=整数，则组数=K
若K≠整数，则组数=K＋1
分组时可以先确定组距，也可以先确定组数
如：我们取所有组距为3
（28.0-1.3）÷3=8.9
所以将数据分为9组。
思考4：如何设定各组数据的范围呢？
第三步：将数据分组
分组 频数 频率
[1.2，4.2） 23 0.23
[4.2，7.2） 32 0.32
[7.2，10.2） 13 0.13
[10.2，13.2） 9 0.09
[13.2，16.2） 9 0.09
[16.2，19.2） 5 0.05
[19.2，22.2） 3 0.03
[22.2，25.2） 4 0.04
[25.2，28.2] 2 0.02
合计 100 1
说明：(1)根据已知组距、组数，如果长度超过了极差，我们可以使第一组的左端点略小于数据中的最小值。
(2)各组均为左闭右开区间，最后一组是闭区间，原则是使得所有数据都在这些小组范围之内。
[1.2，4.2），[4.2，7.2），[7.2，10.2），
…，[25.2，28.2].
思考5：你能将这些数据用表格反映出来吗？
第四步：列频率分布表
说明：计算各小组的频率，例如第一小组的频率是：第一组频数/样本容量=23/100=0.23.由此方法作出频率分布表。
思考（1）我们还可以用更直观的方式表现出来吗？
思考（2）：频率分布直方图的横轴、纵轴分布表示什么？
第五步：画频率分布直方图
横轴：代表为月均用水量
纵轴：频率/组距
注意：纵坐标不是频率，而是频率/组距.(只作说明，为什么要取它作为纵坐标，可画完图再解释)
师生活动：师生共同回顾频数分布直方图的方法、步骤.边交流、边复习并对每一步进行详细说明.(教师进行某些“注意要点”说明)
设计意图：以问题串的形式设计，使得知识间的逻辑关系更清晰.注重统计分析过程的理性分析，突出统计思想方法，初步感受统计思维的特点. 使学生在复习中巩固，在巩固中提升，为学习频率分布直方图打下基础.
教师板书步骤并展示，为学生自己操作提供步骤线索)
三、合作探究
提出问题
（1）每个小矩形的宽表示什么？高表示什么？
结论：组距，频率/组距
（2）每个小矩形的面积表示什么？
结论:每个小矩形的面积都代表该小组数据在样本数据中所频率.
（3）所有小矩形的面积之和等于多少？
结论：所有小矩形的面积和＝1
（4）从整体来看，月均用水量样本观测数据的分布是怎样的？
结论：是不对称的，图形左边高，右边低，右边有一个较长的尾巴。
（5）月均用水量处于较高值区域还是较低值区域？在哪个区域最为集中？
结论：较低值区域，[1.2,7.2)
（6）随着月均用水量的增加，居民用户呈现什么趋势？
结论：呈降低趋势
有了样本观测数据的频率分布，我们可以用它估计总体的取值规律。根据100户居民用户的月均用水量的频率分布，可以推测该市全体居民用户月均用水量也会有类似的分布，即大部分居民用户月均用水量集中在较低值区域。
这使我们确定用水量标准时，可以定一个合适的值，以达到既不影响大多数居民用户的水费支出，又能节水的目的。
需要注意的是，由于样本的随机性，这种估计可能会存在一定误差，但这一误差一般不会影响我们对总体分布情况的大致了解。
师生活动：教师提出问题，师生共同讨论交流，以认识频率分布直方图.并分析频率分布直方图的特点
设计意图：问题（1）（2）强化频率分布直方图中各小长方形的意义.促使学生建立各小矩形的“数”“形”意义的联系.问题（4）～（6）让学生初步感受直方图的作用,如何对总体的分布规律进行简单的估计, 体会统计思想.
频率分布直方图特征
环节1、思考：分别以3和27为组数，对数据进行等距分组，画出100户居民用户月均用水量的频率分布直方图。观察图形，你发现不同的组数对于直方图呈现数据分布规律有什么影响？
问题（1）观察图，同一组数据，组数不同，得到的直方图形状相同吗？分别说说各有什么特点？
结论：图（1）中直方图的组数少、组距大，从图中容易看出，数据分布的整体规律是随着月均用水量的增加，居民用户数的频率在降低，而且月均用水量在区间[1.2，10.2)内的居民用户数的频率，远大于在另两个区间[10.2，19.2)和[19.2，28.2)内的频率，这说明大部分居民用户的月均用水量都少于10.2t。
图（2）中直方图的组数多、组距小，从图中可以看出，数据主要集中在低值区，尤其在区间[5.2，6.2)内最为集中，从总体上看，随着月均用水量的增加，居民用户数的频率呈下降趋势，但存在个别区间频率变大或者缺少的现象。
当频率分布直方图的组数少、组距大时，容易从中看出数据整体的分布特点，但由于无法看出每组内的数据分布情况，损失了较多的原始数据信息.
当频率分布直方图的组数多、组距小时，保留了较多的原始数据信息，但由于小长方形较多，有时图形会变得非常不规则，不容易从中看出总体数据的分布特点.
对于同一组数据，因为组距、组数不同而得到不同形状的直方图，会给人以不同的频率分布印象，这种印象有时会影响人们对总体的判断.因此，我们要注意积累数据分组、合理使用图表的经验.
环节2、利用GeoGebra软件给学生展示不同分组的频率分布直方图。
当样本量n比较大时，可以用经验公式
K≈1+3.3lgn来确定分组数。
师生活动：学生分组合作思考相关的问题，探究得出画频率分布直方图的步骤以及特别注意的方面。
师生活动：学生分组合作思考相关的问题，探究得出画频率分布直方图的步骤以及特别注意的方面。
设计意图：通过GeoGebra软件绘制的频率分布直方图，拉动滑动条，改变组数，让学生直观感受不同组数对直方图形状的影响。会产生分组合作交流，培养学生合作的精神和探索的能力。
五、归纳小结
教师与学生一起回顾本节课所学内容，并请学生回答以下问题。
1、画频率分布表和频率分布直方图的方法；
2、每个小矩形的面积表示什么？
3、所有小长方形的面积之和等于多少？
师生活动：由教师引导学生自己总结本节课所研究的问题，总结出绘制频率分布直方图的方法、步骤。
设计意图：回顾整理本节研究的内容（基本知识和基本技能）、研究方法（基本思想方法）、和研究途径（基本活动经验），让学生明确本节课学习的内容和要求（四基）.
布置作业
教科书第第197页 练习第1,2题
六、目标检测设计
1.从某校高一学生中抽取50名参加数学竞赛，成绩分组(单位：分)及各组的频数如下：
[40，50)，2； [70, 80), 15；
[50, 60)，3； [80，90)，12
[60, 70), 10； [90，100]，8.
(1)列出样本的频率分布表(含累积频率)；
(2)画出频率分布直方图；
解：(1)频率分布表如下：
成绩分组 频数 频率 频率/组距
[40，50) 2 0.04 0.004
[50，60) 3 0.06 0.006
[60，70) 10 0.2 0.02
[70，80) 15 0.3 0.03
[80，90) 12 0.24 0.024
[90，100] 8 0.16 0.016
合计 50 1.00
（2）频率分布直方图如图所示
设计意图：考察学生对频率分布表和频率分布直图的掌握情况。
2．某校高一年级共有800名学生参加了数学检测，现随机抽取部分学生的数学成绩并分组如下∶，得到的频率分布直方图，如图所示．
（1）样本数据落在范围[100，110)内的频率为多少？
（2）样本数据落在范围[130，140)内的频数为多少？
（3）直方图中[120，130)小组对应频率为多少？
（4）直方图中[120，130)小组对应长方形高为a，则a对应的数值是多少？
（5）试根据以上数据，估计该校高一年级学生的数学检测成绩不低于120分的人数．
设计意图：考察学生对频率分布直方图的相关概念的掌握情况，提高学生概括问题、解决问题的能力。
七、板书设计
总体取值规律的估计 画频率分布直方图步骤 求极差（最大值-最小值） 决定组距与组数（组数=极差/组距） 将数据分组（左闭右开，最后全闭） 列频率分布表 频率=频数/样本容量 电子屏幕 画频率分布直方图 小矩形： 宽：组距 高：频率/组距 面积：宽×高=组距×频率/组距=频率 总面积之和=1