2023-2024学年九年级数学上册（沪教版）24.2比例线段（第2课时）课件(共38张PPT)

(共38张PPT)
24.2比例线段（第2课时）-黄金分割
第24章 相似三角形
教师
xxx
沪教版 九年级第一学期
黄金分割
黄金分割的应用
黄金分割点的讨论
01
03
02
CONTANTS
目 录
黄金分割
01
知识精讲
情境引入
凡是美的东西，都有共同的特征，这就是部分与部分以及部分与整体之间的协调一致
——毕达哥拉斯
情景引入
情境引入
东方明珠塔，塔高468米。
在设计的最初，设计师将塔身设计为直线型（如图1）。
后来，为了使平直单调的塔身变得丰富多彩，更协调、美观，设计师决定在靠近塔尖的黄金分割点处设计一个球体（如图2）
情景引入
情境引入
0
我们可以建立如图所示的数学模型，度量图中线段AB、AC的长度，并计算线段AB与AC、BC与AB的比值.
东
方
明
珠
塔
“黄金分割点”究竟特别在哪里呢？
计算可得：
AB：AC≈0.62
BC：AB≈0.62
推测：
AB：AC=BC：AB
探究新知
芭蕾舞演员表演时，身体各部分之间适当的比例给人以匀称、协调的美感。
为什么舞台上翩翩起舞的芭蕾舞演员要踮起脚尖呢？
因为踮起脚尖可以让芭蕾舞演员的下半身显得更加修长，给人以匀称、协调的美感。
探究新知
让我们从数学角度来分析“这种美感”产生的根源
度量图中线段AB、AC的长度，并计算线段AB与AC、BC与AB的比值.
计算可得：
AB：AC≈0.62
BC：AB≈0.62
推测：
AB：AC=BC：AB
探究新知
知识精讲
01
古希腊数学家、天文学家欧多克赛斯提出一个问题∶
能否将一条线段 AB分成不相等的两部分，使较短的线段BC与较长线段AC的比等于AC与原线段AB的比？（如图）
解：设AB=“1”，AC=x，则BC=AB-AC=1-x
由=，得：=x，即x ＋x-1=0
解得：x1=，x2=（不合题意，舍去）
∴AC=，∴==
探究新知
A
C
B
其近似值为 0.618．
如果其中较长线段
AC与AB的比
为全线段与较短线段的比例中项，
如图，已知线段AB长度为a ，点C是AB上一点，且使 AB：AC=AC：PB.求线段AC的长和 的值.
AC
AB
比值
如图，点 C 把线段AB
这样的线段分割叫做
分割点叫做这条线段的
黄金分割，
黄金分割点，
黄金数，
概念学习：
AB
AC
=
AC
BC
( 或 AC2=AB·BC )，
( 或BC与AC的比 )
叫做黄金比.
AC
AB
BC
AC
A
C
B
分成两条线段 AC 和 BC
(AC>BC)，
即
叫做
=
=
或
即
探究新知
从黄金分割的定义上理解：
从比值上理解黄金比：
较长线段
全线段
全线段
较长线段
较长线段
较短线段
=
=
较短线段
较长线段
=
理解定义
A
C
B
较长线段2
= 全线段×较短线段
或
其近似值为 0.618．
如果其中较长线段
AC与AB的比
为全线段与较短线段的比例中项，
比值
如图，点 C 把线段AB
这样的线段分割叫做
分割点叫做这条线段的
黄金分割，
黄金分割点，
黄金数，
AB
AC
=
AC
BC
( 或 AC2=AB·BC )，
( 或BC与AC的比 )
叫做黄金比.
分成两条线段 AC 和 BC
(AC>BC)，
即
叫做
AC
AB
BC
AC
=
=
或
即
探究新知
知识精讲
议一议：“黄金分割”在生活中还有哪些应用呢？
数学课本是长方形，其宽与长的比约为0.618
一片树叶也蕴含着“黄金分割”
鹦鹉螺外壳，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618
……
探究新知
黄金分割点的讨论
02
议一议：一条线段有几个黄金分割点？以线段AC为例
∴线段的黄金分割点有两个
A
C
【分析】
设B为黄金分割点
①若B1靠近点A（AB1②若B2靠近点C（AB2>BC）
B1
B2
探究新知
议一议：已知AC的长度，点B为线段AC的黄金分割点，求AB的长度
【分析】
B点有两种可能性，需分类讨论
A
C
B1
B2
①AB1∵点B为线段AC的黄金分割点
∴=
∴==1-=1-=
∴AB=(1-)AC=AC
②AB2>BC2
∵点B为线段AC的黄金分割点
∴=
∴AB=AC
探究新知
【题型：求线段的长】
已知AC的长度，点B为线段AC的黄金分割点，求AB的长度
①ABBC时AB=AC
题型总结
探究新知
1、过点B作BC⊥AB，
用尺规作图找出黄金分割点
2、连接AC，
3、以点A为圆心、AE为半径画弧，
1
.
2
AB
BC
=
A
B
C
E
P
你能说明这样作图的道理吗？
如图，给定一条线段AB，如何找出它的黄金分割点呢？
操 作
交AC于点E；
交AB于点P.
则点P即为所求.
我们通过如下作图来达到要求：
并在垂线上截取
以点C为圆心、CB为半径画弧，
探究新知
全线段
较长线段
较长线段
较短线段
=
较长线段
全线段
=
较短线段
较长线段
=
较长线段2
= 全线段×较短线段
或
如何判断某点是线段的黄金分割点？
归纳总结
①
②
③
探究新知
1、已知点C在线段AB上，且C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，则下列结论正确的是( )
A. AB2=AC·BC B. BC2=AC·AB
C. AC= BC
D. BC= AC
D
课堂练习
2、上海东方明珠电视塔高468m，上球体是塔身的黄金分割点，它到塔底部的距离大约是多少米(精确到0.1m)？
468m

= 468×0.618
较长线段
全线段
=
较长线段
=
×全线段
468×
≈ 289.2
(m)
方法技巧：
课堂练习
3、已知线段 AB=6cm，点P为线段AB的黄金分割点，求线段AP的长.
解：
① 当 AP>BP 时，
AP=
较长线段
全线段
=
较长线段
=
×全线段
AB
=
(cm)
② 当 APBP=
AB
=
(cm)
较短线段=
全线段 -
较长线段
∴ AP=
AB-BP=
6-
=
(cm)
综上所述：
线段 AP的长为 cm 或 cm.
方法技巧：
=
=
×6
×6
课堂练习
5、【2018春 常熟市期末】如图，已知点C是线段AB的黄金分割点，且BC＞AC．若S1表示以BC为边的正方形面积，S2表示长为AB、宽为AC的矩形面积，则S1与S2的大小关系为（　　）
4、演员报幕时应站在舞台的黄金分割处，若舞台长10米，则演员应站在距舞台一端 米远的地方.
A．S1＞S2 B．S1=S2
C．S1＜S2 D．不能确定
或
B
课堂练习
6、在人体躯干（脚底到肚脐的长度）与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618，越给人以美感．张女士原来脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60，她的身高为1.60m，她应该选择多高的高跟鞋穿上看起来更美？（精确到十分位）
解：
由题意可得，
下半身长是 160×0.6=96 (cm)
设选择的高跟鞋的高度是xcm.
96+x
160+x
=
即
96+x
160+x
=0.168
解得
x≈7.5
∴ 她应该选择7.5cm左右的高跟鞋穿上看起来更美.
根据黄金分割的定义，得
课堂练习
7、如图，在五角星形中，AD=BC，C，D两点都是AB的黄金分割点，AB=1，求CD的长.
解：
∵ C、D两点都是AB的黄金分割点
BD=
AB
=
∴ AC=
∴ AD=
AB-BD=
1-
∵ AD=BC
∴ AD=BC
∴ CD=
AB-AD-BC
=1-
课堂练习
8、如图所示，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．
(1) 求AM，DM的长；
(2) 点M是AD的黄金分割点吗？为什么？
2
1
课堂练习
黄金分割的应用
03
宽与长的比
巴台农神庙
（Parthenom Temple）
F
C
A
E
B
D
如果把图中用虚线表示的矩形画成如图所示的矩形ABCD，以矩形ABCD 的宽为边在其内部作正方形AEFD，那么我们可以惊奇地发现 ， 点E是AB 的黄金分割点吗？矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗？为什么
BE
BC
=
BC
AB
这种矩形给人以美感．
等于黄金比的矩形
也称为黄金矩形.
概念学习：
黄金矩形
探究新知
练习：矩形的长和宽分别为 a 和 b，下列数据能构成黄金矩形的是( )
A. a=4，b=
B. a=4，b=
C. a=2，b=
D. a=2，b=
D
宽与长的比
等于黄金比的矩形
也称为黄金矩形.
探究新知
追溯历史文化
早在古希腊，数学家、天文学家欧多克索斯（Eudoxus，约前400——前347）曾提出：能否将一条线段分成不相等的两部分，使较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比？这就是黄金分割问题.
而发现黄金分割的是古希腊哲学家毕达哥拉斯。一天，毕达哥拉斯从一家铁匠铺路过，被铺子中那有节奏的叮叮当当的打铁声所吸引，便站在那里仔细聆听，似乎这声音中隐匿着什么秘密。他走进作坊，拿出一把尺量了一下铁锤和铁砧的尺寸，发现它们之间存在着一种十分和谐的关系。回到家里，毕达哥拉斯拿出一根线，想将它分为两段。怎样分才最好呢？经过反复比较，他最后确定0.618 ：1的比例截断最优美。后来，意大利著名科学家、艺术家达·芬奇给这个比例冠以“黄金”二字的美名。
天文学家开普勒（Johannes Kepler,1571——1630）把这种分割线段的方法称为神圣分割，并指出，毕达哥拉斯定理（勾股定理）和黄金分割“是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉”。 而历史上最早正式在书中使用“黄金分割”这个名称的是欧姆（Martin Ohm，1792——1872）。19世纪以后，“黄金分割”的说法逐渐流行起来… …
探究新知
人与黄金分割
人体肚脐不但是黄金点美化身型，有时还是医疗效果黄金点，许多民间名医在肚脐上贴药治好了某些疾病。人体最感舒适的温度是23℃(体温)，也是正常人体温（37℃）的黄金点（23=37×0.618）。这说明医学与0.618有千丝万缕联系,尚待开拓研究。人体还有几个黄金点：肚脐上部分的黄金点在咽喉，肚脐以下部分的黄金点在膝盖，上肢的黄金点在肘关节。上肢与下肢长度之比均近似0.618.
探究新知
在人的面部，五官的分布越符合黄金分割，看起来就越美．
B
C
A
人与黄金分割
探究新知
绘画艺术中的黄金分割
著名画家达 芬奇的蒙娜丽莎构图就完美的体现了黄金分割在油画艺术上的应用。通过下面两幅图片可以看出来，蒙娜丽莎的头和两肩在整幅画面中都处于完美的体现了黄金分割，使得这幅油画看起来是那么的和谐和完美.
探究新知
雕塑－－维纳斯
雕塑断臂女神维纳斯的体型完全与黄金比相符,即以人的肚脐为分界点,上身与下身之比,或者说下身与全身之比约是0.618 这样的身体给人的感觉就是非常的匀称，充满着美感.
建筑中的神秘数字
探究新知
建筑中的神秘数字
知道这是什么地方吗？
文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异。高（137米）与底边长（227米）之比为0.629,但这些金字塔底面的边长与高这比都接近于0.618.
探究新知
巴黎圣母院
联合国总部大厦
古希腊巴台农神庙
黄金分割，尤其宽与长的比为黄金比的矩形，在古典及现代建筑中都有广泛的应用．
建筑中的神秘数字
武器装备与黄金分割
当发射子弹的步枪刚刚制造出来的时候，它的枪把和枪身的长度比例很不科学合理，很不方便于抓握和瞄准。到了1918年，一个名叫阿尔文·约克的美远征军下士，对这种步枪进行了改造，改进后的枪型枪身和枪把的比例恰恰符合0.618的比例。
探究新知
黄金分割
点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果 , 那么称线段AB被点C黄金分割.点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比称为黄金比.
黄金分割点：一条线段有两个黄金分割点
黄金比：较长线段：原线段 =
定义
课堂小结
感谢观看