江西省九江市彭泽县2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题（含解析）

彭泽县2022-2023学年高一下学期期中考试
数学
一、单选题（每题5分，共40分）
1．已知复数，则的虚部为（ ）
A．2 B． C． D．
2．设，则“ “是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必条件
3．有下列四个说法，其中正确的是（　　）
A．圆柱的母线与轴垂直
B．圆锥的母线长等于底面圆直径
C．圆台的母线与轴平行
D．球的直径必过球心
4．如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在河的这边测定CD＝1km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠DCA＝45°，∠ACB＝60°，则A、B两点距离是（ ）
A．km B．km C．km D．km
5．如图所示，等腰梯形中，，点为线段上靠近的三等分点，点为线段的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
6．在中，角、、的对边分别是、、，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
7．《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田．已知正八边形ABCDEFGH的边长为，点P是正八边形ABCDEFGH边上的一点，则的最小值是（ ）．
A． B． C． D．4
8．已知函数的一个零点是，函数图像的一条对称轴是直线，则当取得最小值时，函数的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（每题5分，共20分）
9．下列命题正确的是（ ）
A．若复数z满足，则；
B．若复数z满足，则z是纯虚数；
C．若复数，满足，则；
D．若复数，满足且，则．
10．以长为8 cm，宽为6 cm的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的底面面积为（ ）
A．64π cm2 B．36π cm2
C．54π cm2 D．48π cm2
11．关于平面向量下列说法错误的是（ ）
A．若，且，则
B．对任意非零向量是一个单位向量
C．若，则与的夹角为锐角
D．“存在唯一的实数使”是“”的充要条件
12．在锐角中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的有（ ）
A． B．的取值范围为
C．的取值范围为 D．的取值范围为
三、填空题（共20分）
13．已知，，是平面向量，是单位向量.若，，且，则的取值范围是________.
14．在锐角中，角的对边分别为，若，，则边的取值范围是____．
15．符号表示不超过的最大整数，如，，定义函数：，在下列命题正确的是________．
①；
②当时，；
③函数的定义域为，值域为；
④函数是增函数，奇函数．
16．已知向量，，且，，则（）的最小值为________．
四、解答题（共70分）
17．已知复数．
(1)若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围．
(2)若复数，求的共轭复数．
18．已知向量，，其中，.
（1）求，；
（2）求与夹角的大小.
19．中学阶段是学生身体发育最重要的阶段，长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康．某校为了解甲、乙两班学生每周自我熬夜学习的总时长（单位：小时），分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查，得到他们最近一周自我熬夜学习的总时长的样本数据：
甲班 8 13 28 32 39
乙班 12 25 26 28 31
如果学生平均每周自我熬夜学习的总时长超过26小时，则称为“过度熬夜”．
(1)请根据样本数据，分别估计甲、乙两班的学生平均每周自我熬夜学习时长的平均值；
(2)从样本甲、乙两班所有“过度熬夜”的学生中任取2人，求这2人都来自甲班的概率．
20．内角A，B，C的对边分别为，，，且.
(1)求的值；
(2)若，求的值.
21．如图，在四边形中，，，，△ABC为等边三角形，是的中点.设，.
(1)用，表示，；
(2)求∠BAE的余弦值.
22．已知函数的部分图像如图所示．
(1)求函数的解析式；
(2)将的图像上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图像，求函数的解析式与单调递增区间；
(3)在第（2）问的前提下，对于任意，是否总存在实数，使得成立？若存在，求出实数m的值或取值范围；若不存在，说明理由．
1．A
由条件得，
所以，其虚部为2.
故选：A．
2．B
由，得，又由，得，
因为集合，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
3．D
对于A中，根据圆柱的几何结构特征，圆柱的母线与轴平行，所以A错误；
对于B中，由圆锥的几何结构特征，圆锥的母线长与底面圆直径不一定相等，所以B错误；
对于C中，根据圆台的几何结构特征，圆台的母线与轴不平行，所以C错误；
对于D中，根据球的几何结构特征，球的直径必过球心，所以D正确.
故选：D.
4．C
由题意可得，，
在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
在中，由余弦定理得
，
所以 km.
故选：C.
5．A
，
，
，
，
故选：A.
6．C
，由正弦定理得，
则，
，，可得.
由余弦定理可得.
故选：C.
7．B
过点作直线的垂线，垂足为点，，
如图，由平面向量数量积的几何意义可知，等于的模与在方向上的投影的乘积，
当点在线段上时，在方向上的投影取最小值，
此时，，，，
故的最小值为.
故选：B.
8．B
依题意得，，即，
解得或（其中，）.①
又，
即（其中）.②
由①②得或，
即或（其中，，），
因此的最小值为.
因为，所以（）.
又，所以，
所以，
令（），则（）.
因此，当取得最小值时，的单调递增区间是（）.
故选:B.
9．BD
A选项，若，则，但不是实数，所以A选项错误.
B选项，依题意，，设，
则，
所以，所以为纯虚数，B选项正确.
C选项，，则，但，C选项错误.
D选项，设，其中不同时为，
依题意，，即，
所以，
，
即，
由于不同时为，所以，
所以，所以D选项正确.
故选：BD
10．AB
分别以长为8 cm，宽为6 cm的边所在的直线为旋转轴，
即可得到两种不同大小的圆柱，其底面面积分别为64π cm2,36π cm2.
故选：AB
11．ACD
若，且,只需，故A错误；
对任意非零向量是一个单位向量，模长为1，方向与相同，故B正确；
若，则与的夹角为锐角或与夹角为0°，故C错误；
时，实数不唯一，故D错误.
故选：ACD.
12．AD
在中，由正弦定理可将式子化为
，
把代入整理得，
，
解得或，即或(舍去).
所以.
选项A正确.
选项B：因为为锐角三角形，，所以.
由解得，故选项B错误.
选项C：，
因为，所以，，
即的取值范围.故选项C错误.
选项D：
.
因为，所以， .
令，，则.
由对勾函数的性质知，函数在上单调递增.
又，，所以.
即的取值范围为.故选项D正确.
故选：AD.
13．
由是单位向量．若，，
设，
则，，
又，
则，
则，
则，
又，
所以，（当或时取等）
即的取值范围是，，
故答案为：，．
14．
在锐角中，有，，，
由余弦定理得，
把代入得，，
又，所以.有，
由，得.
在中由正弦定理得，，
，
因为，所以，.
故答案为：.
15．①②③
表示数的小数部分，则①正确，
当时，，②正确，
函数的定义域为，值域为，③正确，
当时，；当时，，
当时，；当时，，
则，即有不为增函数，
由，，可得，即有不为奇函数，④错误．
故答案为：①②③
16．
17．(1)
(2)
（1）因为,
所以
因为复数在复平面上对应的点在第四象限，所以 ，所以，
即实数的取值范围为
（2），所以.
18．（1），；（2）.
（1）由已知可得，，
所以，，
，因此，；
（2）由平面向量数量积的坐标运算可得，
，因此，.
19．(1)24.4小时
(2)
（1）甲班样本数据的平均值为，
由此估计甲班学生每周平均熬夜时间24小时；
乙班样本数据的平均值为，
由此估计乙班学生每周平均熬夜时间24.4小时．
（2）由题知，甲班“过度熬夜”的有3人，记为，乙班“过度熬夜”的有2人，记为，
从中任取2人，有，共10种可能，
其中都来自甲班的有，共3种可能，
所以所求概率．
20．(1)2
(2)
（1）因为
由正弦定理，
所以
，
即，
故.
（2）因为，又，
所以.
.
21．(1)，
(2)
（1）解：由图可知，
因为E是CD的中点，
所以，
（2）解：因为，为等边三角形，
所以，，
所以，
所以，
.
则，
所以∠BAE的余弦值为.
22．(1)
(2)，单调递增区间为
(3)存在；
（1）由图可知，，则，，所以，．所以，即
又，所以当时，，所以．
（2）将的图像上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得：，再向右平移个单位长度得到：，由，，解得，，所以函数的单调递增区间为
（3）由，得，由，得，所以，所以．又，得，所以．
由题可知，得，解得，所以存在，使得成立．