河北省定州市名校2022-2023学年高一下学期5月月考数学试题（含解析）

定州市名校2022-2023学年高一下学期5月月考
数学试题
一、选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知，则（ ）．
A． B． C． D．
2．如图，在四边形中，，，点在线段上，且，设，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知的斜二测画法的直观图为，若，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，，是三个两两不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题：①若，，，，则；②若，，，则；③若，，，则；④若，，，则.其中所有正确命题的编号是（ ）
A．①②③④ B．②③④ C．②④ D．③④
5．如图是我国古代米斗，它是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行等必备的用具.它是随着粮食生产而发展出来的用具，早在先秦时期就有，到秦代统一了度量衡，汉代又进一步制度化，十升为斗、十斗为石的标准最终确定下来.若将某个米斗近似看作一个四棱台.上、下两个底面都是正方形，侧棱均相等，上底面边长为25cm，下底面边长为15cm，侧棱长为10cm，则该米斗的容积约为（ ）
A．2830 B．2850 C．2870 D．2890
6．已知平面向量，，则与夹角的大小为（ ）
A． B． C． D．
7．在中，，，，点D在直线BC上，满足，则（ ）．
A． B． C． D．3
8．在三棱锥中，，，，，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知复数，下列命题正确的是（ ）
A． B．若，则
C． D．若，则为实数
10．蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物．巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成．巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜．如图是一个蜂巢的正六边形开口，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．在上的投影向量为
11．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若为斜三角形，则
C．若，则是锐角三角形
D．若，则一定是等边三角形
12．如图，在矩形AEFC中，，EF=4，B为EF中点，现分别沿AB、BC将△ABE、△BCF翻折，使点E、F重合，记为点P，翻折后得到三棱锥P-ABC，则（ ）
A．三棱锥的体积为 B．直线PA与直线BC所成角的余弦值为
C．直线PA与平面PBC所成角的正弦值为 D．三棱锥外接球的半径为
三、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.
13．设复数满足条件，那么的最大值为_____．
14．在棱长为2的正方体中，若E为棱的中点，则平面截正方体的截面面积为______．
15．小赵想利用正弦定理的知识测量某钟塔的高度，他在该钟塔塔底点的正西处的点测得该钟塔塔顶点的仰角为，然后沿着东偏南的方向行进了后到达点（，，三点处于同一水平面），且点在点北偏东方向上，则该钟塔的高度为__________．（参考数据：取）
16．传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.由于这个“圆柱容球”是阿基米德生前最引以为豪的发现，于是他留下遗言：他死后，墓碑上要刻上一个“圆柱容球”的几何图形.如图，在底面半径为1的圆柱内的球O与圆柱的上、下底面及母线均相切，设A，B分别为圆柱的上、下底面圆周上一点，且与所成的角为，则与圆柱的底面所成角的正切值为__________；直线与球O的球面交于两点M，N，则的值为_______.
四、解答题：本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知向量，，．
(1)当时，求的值；
(2)求的取值范围．
18.（12分）
在中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，且．
(1)求C；
(2)若，求A．
19.（12分）
如图，AC为圆锥SO底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，，
(1)求圆锥SO的侧面积；
(2)若点是的中点，求三棱锥的体积
20.（12分）
设的内角的对边分别为，已知．
(1)判断的形状（锐角、直角、钝角三角形），并给出证明；
(2)求的最小值．
21.（12分）
如图，在三棱柱中，若G，H分别是线段AC，DF的中点.
(1)求证： ；
(2)在线段CD上是否存在一点，使得平面 平面BCF，若存在，指出的具体位置并证明；若不存在，说明理由.
22.（12分）
已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形.
(1)求证：；
(2)求点到平面的距离；
(3)若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并说明点此时所在的位置.
定州市名校2022-2023学年高一下学期5月月考
数学答案
1．C
2．D【详解】在梯形中，，且，则，
因为在线段上，且，则，
，
所以，.
3．C【详解】由条件可知，，
由，解得，
4．B【详解】若，，，，则平行或相交，故①错误；
若，，则，而，所以，故②正确；
若，，，由线面平行的性质定理可得，故③正确；
由选项可知④正确，
5．D【详解】画出此四棱台，如下：则cm，cm，
cm，过点B作BP⊥底面EFGH于点P，
点P落在对角线HF上，过点P作PQ⊥EF于点Q，连接BQ，因为平面EFGH，
所以BP⊥EF，因为，平面BPQ，所以EF⊥平面BPQ，
因为平面BPQ，所以EF⊥BQ，其中cm，
同理可得cm，
由勾股定理得：cm，
故cm，
正方形EFGH的面积为 ，
正方形ABCD的面积为 ，
则该米斗的容积 ，
6．B【详解】设与的夹角为，
则，.
7．B【详解】由题意知，，
则，得C为BD的中点，
所以，得，
有，
所以.
8．A【详解】为直角三角形,取PB中点O，
，
中,,,,,
所以O为球心，,外接球的表面积为.
9．AC【详解】对于A，设，
则
，故A正确；
对于B，当时，，故B错误；
对于C，设，，，，故C正确；
对于D，设，，，
当或时，，故D错误.
10．BCD【详解】连接，与交于点，如图所示，
对于A：，显然由图可得与为相反向量，故A错误；
对于B：由图易得，直线平分角，且为正三角形，根据平行四边形法则有，与共线且同方向，
易知，均为含角的直角三角形，
故，，即，
所以，
又因为，故，
故，故B正确；
对于C：设正六边形的边长为，
则，，
所以，故C正确；
对于D：易知，则在上的投影向量为，故D正确，
11．ABD【详解】对于A，由正弦定理和比例性质得，故A正确；
对于B，由题意，，则 ，
所以，故B正确；
对于C，因为，所以，所以，
所以C为钝角，是钝角三角形，故C错误；
对于D，因为，所以，所以，且A，B，，所以，所以为等边三角形，故D正确．
12．BD【详解】由题意可得，
又平面，
所以平面，
在中，，边上的高为，
所以，故A错误；
对于B，平行平移得到所成角，
所以直线PA与直线BC所成角的余弦值为，故B正确；
对于C，，
设点到平面的距离为，
由，得，解得，
所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值为，故C错误；
由B选项知，，则，
所以的外接圆的半径，
设三棱锥外接球的半径为，
又因为平面，
则，所以，
即三棱锥外接球的半径为，故D正确.
13．【详解】因为，则，
当且仅当时，等号成立，故的最大值为.
14．【详解】如图，在正方体中，
平面平面，
平面与平面的交线必过且平行于，
故平面经过的中点，连接，得截面，
易知截面是边长为的菱形，其对角线，
，截面面积．
15．【详解】如图，，，
则．
由正弦定理，得，
所以．
16．
【详解】设过A的圆柱的母线在底面的端点为，则，
则就是与圆柱的底面所成的角，
由，得，则；
在直角三角形中，，，
所以与圆柱的底面所成角的正切值为；
连接，由，得，取的中点为G，则；
因为，，
所以；
由及，得G也是的中点，所以.
17．【详解】（1）因为，所以，得，
又，所以．
（2） ，
因为，所以，则，
所以，故．
18．【详解】（1）∵，∴，∴，
由于C是三角形内角，∴．
（2）由正弦定理可得，
∴
∴，∴，
∴，∴．
∵，∴，
由于B是三角形内角 ，∴，则．
19．【详解】（1）圆锥母线长为：，
圆锥侧面扇形弧长为：，
圆锥SO的侧面积为：.
（2）点是的中点，所以为等腰直角三角形，
根据勾股定理可知，
由此可得，
.
20．【详解】（1）是钝角三角形.
由题意可知，，得，
所以,于是有，得或，即或，
又，，
所以是钝角三角形.
（2）由（1）知，,,有，
所以
当且仅当，即（为锐角），等号成立，
所以的最小值为
21．【详解】（1）连接，
∵为平行四边形，由题意可得：G是线段BD的中点，
则G，H分别是线段BD，DF的中点，故 .
（2）存在，P是线段CD的中点，
理由如下：
由（1）可知： ，
平面，平面，
∴ 平面，
连接，
∵P、H分别是线段CD、DF的中点，则 ，
平面，平面，
∴ 平面，
，面，
故平面 平面BCF.
22．【详解】（1）因为点在底面上的射影是与的交点，所以平面.
因为平面，所以 .
因为四边形为菱形，所以 .
因为平面，
所以平面.
因为平面，所以.
（2）由题意可得、与都是边长为2的等边三角形，
所以，.
所以.
因为，所以.
设点到平面的距离为，
由得，
即，解得.
故点到平面的距离为.
（3）设直线与平面所成的角为，平面，
∴到平面的距离即为到平面的距离.
过作垂线平面交于点，则，
此时，要使最大，则需使最小，此时.
由题意可知：，因为平面，且，
所以，，
在中，由余弦定理可得：，
所以，
由面积相等，
即，经计算得，
，则，
此时在线段上靠近点的处.
答案第4页，共4页