江西省九江市彭泽县2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题（含解析）

彭泽县2022-2023学年高二下学期期中考试
数学
一、单选题（每题5分，共40分）
1．直线x－y＝0 的倾斜角为(　　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
2．函数在上的平均变化率为（ ）
A．1 B．2 C． D．
3．若数列为等差数列，为其前项和，且，则 （ ）
A． B． C． D．
4．已知，圆：与圆：有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．若函数有极大值和极小值，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知递增数列满足．若，，则数列的前2023项和为（ ）
A．2044242 B．2045253 C．2046264 D．2047276
7．数列是首项和公比均为2的等比数列，为数列的前项和，则使不等式成立的最小正整数的值是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
8．已知，且满足，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（每题5分，共20分）
9．下列求导正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
10．从正方体的8个顶点中任选4个不同顶点，然后将它们两两相连，可组成空间几何体．这个空间几何体可能是（ ）
A．每个面都是直角三角形的四面体；
B．每个面都是等边三角形的四面体；
C．每个面都是全等的直角三角形的四面体；
D．有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体．
11．已知曲线C的方程为，则（ ）
A．当时，曲线C是半径为2的圆
B．存在实数k，使得曲线C的离心率为的双曲线
C．当时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为
D．“”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件
12．已知， 数列满足 ， 且对一切， 有，则（ ）
A．是等比数列 B．是等比数列
C．的前项和为 D．
三、填空题（共20分）
13．已知，则直线必过定点______.
14．曲线在点处的切线方程为__________.
15．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是_______．
16．若，设表示的整数部分，表示的小数部分，如，．已知数列的各项都为正数，，且，则________．
四、解答题（共70分）
17．已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的单调增区间．
18．已知，分别是正方形边，的中点，交于，垂直于所在平面．
(1)求证：平面．
(2)若，，求点到平面的距离．
19．为了研究学生每天整理数学错题的情况，某课题组在某市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图1为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图2为学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图.若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于4天视为“不经常整理”. 已知数学成绩优秀的学生中，经常整理错题的学生占.

数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计
经常整理
不经常整理
合计
(1)求图1中的值；
(2)根据图1、图2中的数据，补全上方列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析数学成绩优秀与经常整理数学错题是否有关
(3)用频率估计概率，在全市中学生中按“经常整理错题”与“不经常整理错题”进行分层抽样，随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈.求这2名同学中经常整理错题且数学成绩优秀的人数恰为1人的概率.
附：
20．已知等差数列满足，且，，成等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)设，的前n项和分别为，.若的公差为整数，且，求.
21．已知椭圆的离心率为，且点在C上.
(1)求C的方程；
(2)设C的左顶点为P，点A，B为C上与P不重合的两点，且，证明：直线恒过定点.
22．已知函数，，其中.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若方程在(为自然对数的底数)上存在唯一实数解，求实数的取值范围.
1．B
直线x－y＝0 的斜率为1，设其倾斜角为α，则0°≤α＜180°，由tanα＝1，得α＝45°，故选B.
2．D
平均变化率为.
故选：D.
3．D
解：∵数列为等差数列，为其前项和，且，
∴，
∴，
∴.
故选：D.
4．C
解：圆圆心，半径为，圆的圆心，半径为，
因为圆与圆有两个不同的交点，
所以圆与圆相交，
所以，即，
，
所以，解得.
故选：C.
5．C
，根据题意知方程有两个不等实根，
于是得，整理得，解得或，
所以的取值范围是.
故选：C
6．D
因为，所以，所以数列是等差数列，
设公差为，因为数列为递增数列，所以，
由，得，即，
由，得，将代入，得，
又，所以，，
所以数列的前2023项和为.
故选：D
7．B
因为数列是首项和公比均为2的等比数列，所以，则，
所以，则，
不等式整理得，
当时，左边，右边，显然不满足不等式；
当时，左边，右边，显然满足不等式；
且当时，左边，右边，则不等式恒成立；
故当不等式成立时的最小值为9.
故选：B.
8．B
由，得，
由，得，
由，得，
令函数，显然，求导得，
当时，，单调递减，当时，单调递增，
于是，即有，而，
所以.
故选：B
9．AD
对于，的导数为，故选项正确；
对于，的导数为，故选项错误；
对于，的导数为，故选项错误；
对于，的导数为，故选项正确，
故选：AD.
10．ABD
对于A，每个面都是直角三角形的四面体，如：E﹣ABC，所以A正确；
对于B，每个面都是等边三角形的四面体，如E﹣BGD，所以B正确；
对于C，若四面体的每个面都是全等的直角三角形，则必有直角边等于斜边，而这样的直角三角形不存在，所以C错误；
对于D，有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体，如：A﹣BDE，所以D正确；
故选：ABD．
11．ACD
由题意，曲线C的方程为，
当时，曲线C为，曲线C为圆，半径为2，所以A正确；
使得曲线C为离心率为的双曲线，可得，方程无解，所以B不正确；
当时，曲线C为，表示焦点在轴上的双曲线，其渐近线方程为，所以C正确；
当时，曲线C为椭圆，焦点坐标在x轴上；当，曲线表示焦点坐标在y轴上的椭圆，所以“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”可知“”，反之不成立，所以“”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件，所以D正确.
故选：ACD
12．BCD
由题意可得，，，
，即不是等比数列，故A错误；
，，
，
，
是以1为首项，3为公比的等比数列，故B正确；
的前项和为，故C正确；
，则，故D正确；
故选：BCD.
13．
解：因为，故，
故直线即为，
整理得到，
由可得，故定点为.
故答案为：
14．
依题意，，，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
故答案为：
15．
．
16．/
由得，
，
，
依次类推知，所以，
故答案为：
17．(1)；
(2)，.
（1），则
则，又，
则曲线在点处的切线方程为，即
（2），
则，
由可得或，
则函数的单调增区间为，.
18．(1)证明见解析
(2)
（1）证明：如图所示，连接交于，
因为是正方形边，的中点，，所以，
又因为垂直于所在平面，平面，所以，
因为且平面，所以平面．
（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，因为，，
则，，，，
可得，，
设平面的法向量，则，
令时，可得，所以
又因为向量，
则点到面的距离.
19．(1)；
(2)有关
(3)
（1）由题意可得，解得；
（2）数学成绩优秀的有人，不优秀的人人，
经常整理错题的有人，
不经常整理错题的是人，经常整理错题且成绩优秀的有人，则
数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计
经常整理 35 25 60
不经常整理 15 25 40
合计 50 50 100
零假设为：数学成绩优秀与经常整理数学错题无关，
根据列联表中的数据，经计算得到可得，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关联，此推断犯错误的概率不大于；
（3）由分层抽样知，随机抽取的5名学生中经常整理错题的有3人，
不经常整理错题的有2人，
则（为经常整理数学错题且数学成绩优秀的人数）可能取为0，1，2，
经常整理错题的3名学生中，
恰抽到人记为事件，则
参与座谈的2名学生中经常整理错题且数学成绩优秀的恰好抽到人记为事件
则，，，
.
20．(1)或
(2)
（1）设等差数列的公差为d，∵，∴，
∵，，成等比，∴，
即，得，解得或，
∴当时，；
当时，；
∴或.
（2）因为等差数列的公差为整数，由（1）得，
所以，则，
∴.
∴
.
21．(1)
(2)证明见解析
(1)
由题意知：，解得，故C的方程为；
(2)
由题意知，，直线的斜率不为0，设直线：，联立椭圆方程有，
化简得，设，则，
则，，
由可得，即，化简得，
即，化简得，解得或，
又点A，B与P不重合，故，即直线：，恒过点.
22．（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）.
（1）当时，
则当时，，为减函数
当时，，为增函数
故的单调递增区间为，单调递减区间为
（2）∵，∴
即；令，
由题意得只需函数在上有唯一的零点；
又，其中，
①当时，恒成立，单调递增，
又，则函数在区间上有唯一的零点；
②当时，恒成立，单调递减，
又，则函数在区间上有唯一的零点；
③当时，当时，，
单调递减，又，∴，
则函数在区间上有唯一的零点；
当时，，单调递增，
则当时，在上没有零点，符合题意，
即，解得：，∴当时，
在上没有零点，此时函数在区间上有唯一的零点；
所以实数的取值范围是.