吉林地区中考数学全真模拟卷（含解析）

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吉林地区中考数学全真模拟卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，是的直径，与相切于点A，与相交于点C，若，则的度数是（　　）

A． B． C． D．
2．以如图（1）（以O为圆心，半径为1的半圆）作为“基本图形”，分别经历如下变换：①只要向右平移1个单位；②先以直线为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位；③先绕着点O旋转，再向右平移一个单位；④绕着的中点旋转即可．其中能得到图（2）的是（ ）

A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②
3．如图，在平面直角坐标系中，已知等腰直角，，轴，若，点A、C在反比例函数的图像上，则（ ）

A．3 B．4 C．8 D．10
4．如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，以下结论错误的是( )

A．是的平分线 B．
C．点在线段的垂直平分线上 D．
5．如图是小明同学在体育课上跳远后留下的脚印，他的跳远成绩是线段（ ）的长度，这样测量的依据是（ ）
A．，两点之间，线段最短 B．，两点确定一条直线
C．，垂线段最短 D．，三角形两边之和大于第三边
6．如图，在中，．依据尺规作图的痕迹，不能推出的结论是（ ）

A． B． C． D．
7．班级组织了一次跳远比赛，若成绩以为标准，小明跳出了，记做，则小亮跳出了应记作( )
A． B． C． D．
8．由，得，则的值可能是（ ）
A．1 B．0.5 C．0 D． 1
二、填空题
9．如图，在矩形中，，，E是边上一点，将沿直线折叠，得到，当点F落到矩形的对角线上时，线段的长为______．

10．如图，圆形挂钟分针针尖到圆心的距离为，经过20分钟，分针针尖转过的弧长为______cm．（结果保留）

11．小丽去药店购买口罩和酒精消毒湿巾，若买只一次性医用口罩和包酒精消毒湿巾，需付元；若买只一次性医用口罩和包酒精消毒湿巾，需付元；设一只一次性医用口罩元，一包酒精消毒湿巾元，根据题意可列二元一次方程组：______ ．
12．计算：______．
13．关于x的方程的解是______.
14．如图，在中，，，P为边上一动点，以为边作平行四边形，则对角线长度的最小值是___________．
三、解答题
15．如图，在中，E为边上一点，连结，将沿翻折，使点的对称点落在边上，连结．

求证：四边形是菱形．
若，，求四边形的周长为______．
16．“双减”政策下，为切实提高课后服务质量，某中学开展了丰富多彩的课后服务活动，设置了体育活动、劳动技能、经典阅读三大板块课程（依次记为A，B，C）．若该校小丽和小慧两名同学随机选择一个板块课程．
(1)小慧选择体育活动课程的概率是______．
(2)用画树状图或列表的方法，求小丽和小慧选择同一个板块课程的概率．
17．在平面直角坐标系中，抛物线经过、两点，点P在抛物线上，其横坐标为m．
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
(2)当点P在y轴右侧且到x轴的距离是4时，求m的值；
点Q是抛物线上一点，其横坐标为，抛物线上点P、Q之间的部分图象记为G（包括点P、点Q），当图象G上恰有2个点到直线的距离为1时，直接写出m的取值范围；
设点，以为对角线作矩形，矩形的边分别与x轴、y轴平行，当矩形的边与抛物线有两个交点，且最高点与最低点的纵坐标之差为1时，直接写出m的值．
18．图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的端点都在格点上，在给定的网格中，只用无刻度的直尺，按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写画法．

在图①中画，使；
(2)在图②中画，使是轴对称图形；
（3）在图③中画，使边上的高将分成面积比为的两部分．
已知二次函数 是常数．
当时，求二次函数．图象的顶点坐标．
(2)设二次函数的图象为．
①当时，求图象与轴交点坐标．
②若图象的最高点到轴的距离为，到直线的距离为，且，求的值．
③过点作关于轴的对称点，连接，线段绕点逆时针旋转得线段，以、为邻边作矩形．若图象落在矩形内部图象的对应函数值随的增大而增大时，直接写出的取值范围．
20．如图，为等腰直角三角形，，延长至点，使，四边形是矩形，其对角线、交于点，连结交于点．

求证：；
(2)求的值．
21．图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．

网格中的形状是；
在图①中确定一点D．连结、，使与全等；
在图②中的边上确定一点E，连结，使．
端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜元，某商家用元购进的猪肉粽和用元购进的豆沙粽盒数相同．求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价．
23．如图，在中，，是边上的中线，，．

求证：四边形是菱形；
若，，则的值为______．
24．不透明的袋子中有三枚除颜色外都相同的棋子，其中有两枚是白色的，一枚是黑色的；从中随机同时摸出两枚棋子，请用列表法或画树状图法求摸出的两枚棋子颜色相同的概率．
参考答案：
1．B
【分析】先根据切线的性质得到，再利用直角三角形的两个锐角互余和圆周角定理得到求解即可．
【详解】解：∵与相切于点A，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定义以及直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解答的关键．
2．B
【分析】根据轴对称变换，平移变换，旋转变换的特征结合图形解答即可．
【详解】解：由图可知，图（1）先以直线为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位，即可得到图（2），故②符合题意 ；
图（1）先绕着点旋转，再向右平移一个单位，即可得到图（2），故③符合题意 ；
图（1）绕着的中点旋转即可得到图（2），故④符合题意 ；
图（1）只要向右平移1个单位不能得到图（2），故①不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了几何变换的类型，熟练掌握常见的几种几何变换－平移、翻折、旋转的特征是解题的关键．
3．C
【分析】过A点作于D点，由等腰直角三角形的性质可得，用含k的式子表示出A、C两点的坐标，根据即可求出k的值.
【详解】解：如图，过A点作于D点，

∵是等腰直角三角形，且轴，
，
，
，
解得.
故选：C
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，及待定系数法求k的值，熟练掌握待定系数法是解题的关键.
4．D
【分析】A根据作图的过程可以判定是的角平分线；B利用角平分线的定义可以推知，则由直角三角形的性质来求的度数；C利用等角对等边可以证得，由线段垂直平分线的判定可以证明点在的垂直平分线上；D利用角所对的直角边是斜边的一半求出，进而可得，则．
【详解】解：根据作图方法可得是的平分线，故A正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，故B正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴点在的垂直平分线上，故C正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
则，故D错误，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题主要考查角平分线的尺规作图，角平分线的定义，等角对等边，线段垂直平分线的判定，含直角三角形的性质等知识，能够熟练通过尺规作图的痕迹得出是角平分线是解题关键．
5．C
【分析】根据垂线段最短解答．
【详解】解：他的跳远成绩是线段的长度，这样测量的依据是垂线段最短．
故选：C．
【点睛】本题考查了垂线段最短的性质在实际生活中的应用，需熟练掌握．
6．D
【分析】根据尺规作图的痕迹得：垂直平分，根据线段垂直平分线的性质可得，，再由直角三角形的性质可得，即可．
【详解】解：根据尺规作图的痕迹得：垂直平分，
∴，，故A，B选项正确，不符合题意；
∵，
∴，故C选项正确，不符合题意；
在中，，
∴，故D选项错误，符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，尺规作图，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
7．B
【分析】根据正负数的意义，即可求解．
【详解】解：∵成绩以为标准，小明跳出了，记做，
∴小亮跳出了应记作，
故选：B．
【点睛】本题考查了正负数的意义，熟练掌握正负数的意义是解题的关键．
8．D
【分析】根据不等式的性质即可求解．
【详解】解：∵，x，
不等号的方向发生改变，
∴
故选：D．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
9．
【分析】根据余角性质得出，证明，得出 ，求出．
【详解】解：在矩形中，，，
根据折叠可知，点与点F关于对称，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴ ，
即 ，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质,轴对称的性质，熟练掌握相关知识点，证明，是解题的关键．
10．
【分析】根据弧长公式可求得．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆周的弧长公式和钟表上分针所走过的角度与时间之间的关系．弧长公式为，需要注意的是求弧长需要知道圆心角的度数和半径；分针1分钟走过的角度为．
11．
【分析】根据“买只一次性医用口罩和包酒精消毒湿巾，需付元；买只一次性医用口罩和包酒精消毒湿巾，需付元”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：买只一次性医用口罩和包酒精消毒湿巾，需付元，
∴；
买只一次性医用口罩和包酒精消毒湿巾，需付元，
∴．
根据题意可列二元一次方程组．
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
12．
【分析】利用分式的乘法法则计算即可．
【详解】解：原式．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的运算，掌握分式的乘法法则是解决本题的关键．
13．x＝1
【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
【详解】解：，
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键是需要掌握解分式方程必须检验．
14．
【分析】如图，由平行四边形的性质可知O是中点，最短也就是最短，过O作的垂线，根据勾股定理求出，进而可求出的最小值．
【详解】如图，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵最短也就是最短，
∴过O作与，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴．
∵，
∵
∴，
∴的最小值，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形判定与性质，勾股定理，以及垂线段最短的性质，解题的关键是判断出最短的位置．
15．(1)见解析
(2)8
【分析】（1）由翻折得，，，，然后根据平行四边形的性质即可解决问题；
（2）由平行四边形的性质和菱形的性质可得是等边三角形，进而可得，，，的长度，即可求四边形的周长．
【详解】（1）证明：由翻折得，，，，
在中，
，
，
，
，
，
四边形是菱形；
（2）解：，
，
，
由(1)知四边形是菱形，
∴，
∵，
是等边三角形，
，
，
四边形的周长．
【点睛】本题考查了折叠问题，平行四边形的性质，菱形的性质，等边三角形的性质，关键是灵活运用这些性质解决问题．
16．(1)
(2)
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中小慧和小丽选同一个板块课程的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：根据题意可得：
小慧选择体育活动课程的概率是，
故答案为：；
（2）解：画出树状图如下：
，
共有12种等可能的结果，其中小慧和小丽选同一个板块课程的结果有3种，
小慧和小丽选同一个板块课程的概率为．
【点睛】本题主要考查的是用列表法或画树状图法求概率，用列表法或画树状图法不重复遗漏的列出所有等可能的结果是解题的关键．
17．(1)
(2)m的值是或1
(3)m的取值范围是或
(4)或或
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）由题意可得、，根据图象G上恰有2个点到直线的距离为1，可得，，或，，进行求解即可；
（3）根据点P与点M在同一象限，且点M在点P的上方，或点M 点P的下方，点P和点M在不同象限， 进行分类讨论即可．
【详解】（1）解：把、代入，，解得
∴；
（2）解：当时，，解得：，；
当时，，解得：，
∵点P在y轴右侧，
∴，
∴舍去，
综上所述，m的值是或1；
（3）解：由题意可得，、，
①如图1，∵图象G上恰有2个点到直线的距离为1，
∴，，
解得：，或，
∴，

如图②，∵图象G上恰有2个点到直线的距离为1，
∴，，
解得：或，，
∴，
综上所述，m的取值范围是或；

（4）解：如图③，∵、，轴，轴，
∴、，
∴，解得：（舍），，

如图④，∵、，轴，轴，
∴，，
∵时，，即抛物线与线段的交点坐标为：，
∴，解得：，

如图⑤，∵、，轴，轴，
∴、，
∴，解得：（舍），
综上所述，或或．

【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数解析式、二次函数与几何问题、解一元二次方程、解一元二次不等式，熟练掌握相关知识，运用分类讨论思想是解题的关键．
18．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）利用正方形的性质确定点C，即可得到；
（2）以为腰，作等腰直角三角形即为所求（答案不唯一）；
（3）取格点M、N，连接，根据相似三角形的相似比确定点E，即为所求．
【详解】（1）解：如图①，为所求（答案不唯一）；

（2）解：如图②，为所求（答案不唯一）；

（3）取格点M、N，连接，根据相似三角形的相似比确定点E，即为所求．
解：如图③，为所求（答案不唯一）．

【点睛】本题考查了作图——轴对称变换，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
19．(1)
(2)①；②或；③或或
【分析】（1）将解析式化为顶点式，即可求解；
（2）①将代入，然后令，即可求解；
②根据和两种情况，分别根据最高点的纵坐标，结合题意求得，解方程即可求解；
③根据题意，四边形是正方形，依题意，抛物线对称轴的左侧部分在正方形内部，分别画出图形，找到临界点，求得的值，进而即可求解．
【详解】（1）
∴此二次函数图象的顶点坐标为
（2）①当时，有
令时，则有
解得，，
∵
∴不符合题意舍去，
∴
所以图象与轴的交点坐标为
②解：∵
∵若图象的最高点到轴的距离为，到直线的距离为，且，
当时，，则最高点为顶点，即，则，
∴解得，(舍去)
∵，
当时，当最高点为与的交点，
依题意，
解得(舍去)，，
综上所述，或
③情形一：当时，则，
∵
∴，
由旋转可得，
∴矩形是正方形，
如图所示，当点在抛物线上时，
即
解得：（舍去）或
∴当时，图象落在矩形内部图象的对应函数值随的增大而增大时，
当点重合时，四边形不存在，此时，解得：
情形二：当时，如图所示，当抛物线对称轴在上时，即
解得：，
根据图形可知当时，不符合题意，
情形二：当时，当点在抛物线上时，可知
∴符合题意，
当时，则此时点在第二象限，如图所示，
∵四边形是正方形，，，
∴ ，
∴，
将点代入抛物线，即
解得：（舍去）或
∴当时，符合题意，

综上所述，当图象落在矩形内部图象的对应函数值随的增大而增大时，或或．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，旋转的性质，正方形的性质与判定，熟练掌握二次函数的性质，分类讨论是解题的关键．
20．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用矩形的性质和垂直平分线的判定，可得；根据全等三角形的判定，可得；即可证得；
（2）利用垂直平分线的性质，三角形的全等的判定和性质可得，利用特殊角的三角函数值求得，即可求得的值．
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵，
∴
∴．
（2）连接，如图：

由（1）得垂直且平分
故，
在与中
∴
∴
∵，为等腰直角三角形
∴
∴
∴
【点睛】本题考查了矩形的性质，垂直平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，特殊角的三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握这些图形的性质．
21．(1)直角三角形
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）利用勾股定理及其逆定理进行证明即可；
（2）利用的判定方法，确定点的位置即可；
（3）根据是直角三角形，确定点的位置即可．
【详解】（1）解：由勾股定理，得：，
∵，
∴，
∴是直角三角形．
（2）如图所示，点即为所求；
（任选其一均可）；
（3）如图所示：点即为所求；

由图和（1）可知：，
又，
∴．
【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定，相似三角形的判定．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
22．猪肉粽每盒进价为元，豆沙粽每盒进价为元．
【分析】根据猪肉粽数量与豆沙粽数量相同数量关系列分式方程，求解即可．
【详解】解：设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价为元，
则，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
∴豆沙粽每盒进价为：．
答：猪肉粽每盒进价为40元，豆沙粽每盒进价为30元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，解此题的关键是根据题意列出分式方程，注意分式方程要检验．
23．(1)见解析
(2)
【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，根据斜边上的中线等于斜边的一半，得到，即可得证；
（2）根据菱形的性质，得到，勾股定理求出的长，根据正切的定义，进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵在中，，是边上的中线，
∴，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：∵在中，，，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查菱形的判定和性质，求正切值，直角三角形斜边上的中线以及勾股定理．熟练掌握菱形的判定方法，正切的定义，是解题的关键．
24．摸出的两枚棋子颜色相同的概率是．
【分析】根据题意，列出表格，可得一共有6种等可能结果，其中摸出的两枚棋子颜色相同的有2种，再由概率公式计算，即可求解．
【详解】解：根据题意，列出表格如下：
白1 白2 黑
白1 白2、白1 黑、白1
白2 白1、白2 黑、白2
黑 白1、黑 白2、黑
一共有6种等可能结果，其中摸出的两枚棋子颜色相同的有2种，
所以摸出的两枚棋子颜色相同的概率是．
【点睛】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，明确题意，准确画出树状图或列出表格是解题的关键
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