第二章 数列
§2.1 数 列
2．1.1 数 列(一)
自主学习
知识梳理
1．数列的概念
按照一定________排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的________．
2．数列的一般形式
数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为________，其中______称为数列{an}的第1项(或称为______)，a2称为第2项，…，________称为第n项．
3．数列的分类
(1)根据数列的项数可以将数列分为两类：
有穷数列：项数________的数列；
无穷数列：项数________的数列．
(2)按照数列的每一项随序号变化的情况分类：
递增数列：从第2项起，每一项都________它的前一项的数列；
递减数列：从第2项起，每一项都________它的前一项的数列；
常数列：各项________的数列；
摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．
4．数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
5．数列的递推公式
如果已知数列{an}的首项(或前n项)及相邻两项间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式．
自主探究
1．数列1,2,3,4，…的一个通项公式是________．
2．数列1，，，，…的一个通项公式是______________．
3．数列2,4,6,8，…的一个通项公式是____________．
4．数列1,3,5,7，…的一个通项公式是____________．
5．数列1,4,9,16，…的一个通项公式是____________．
6．数列1,2,4,8，…的一个通项公式是____________．
7．数列－1,1，－1,1，…的一个通项公式是____________．
8．数列1，－2,3，－4，…的一个通项公式是____________．
9．数列9,99,999,9 999，…的一个通项公式是____________．
10．数列0.9,0.99,0.999,0.999 9，…的一个通项公式是____________．
对点讲练
知识点一 根据数列的前几项写出数列的一个通项公式
例1 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式．
(1)－1,7，－13,19，…；
(2)0.8,0.88,0.888，…；
(3)，，－，，－，，…；
(4)，1，，，…；
(5)0,1,0,1，….
总结 解决本类问题的关键是观察、归纳各项与对应的项数之间的联系．同时，要善于利用我们熟知的一些基本数列，通过合理的联想、转化而达到问题的解决．
变式训练1 写出下面数列的一个通项公式．
(1)2，4，6，8，…；
(2)10,11,10,11,10,11，…；
(3)－1，，－，，….
知识点二 根据递推公式写出数列的前几项
例2 设数列{an}满足
写出这个数列的前5项．
总结 由递推公式可以确定数列，它也是给出数列的一种常用方法．
变式训练2 在数列{an}中，已知a1＝2，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n≥1)，写出此数列的前6项．
知识点三 数列通项公式的应用
例3 已知数列；
(1)求这个数列的第10项；
(2)是不是该数列中的项，为什么？
(3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；
(4)在区间内有、无数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由．
总结 判断某数是否为数列中的项，只需将它代入通项公式中求n的值，若存在正整数n，则说明该数是数列的项，否则就不是该数列中的项．
变式训练3 已知数列{an}的通项公式an＝.
(1)写出它的第10项；(2)判断是不是该数列中的项．
1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：
(1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的．
(2)可重复性：数列中的数可以重复．
(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关．
2．并非所有的数列都能写出它的通项公式．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1,3.14,3.141，…，它没有通项公式．
3．如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式．例如：数列－1,1，－1,1，－1,1，…的通项公式可写成an＝(－1)n，也可以写成an＝(－1)n＋2，还可以写成an＝其中k∈N*.
课时作业
一、选择题
1．设数列，，2，，…，则2是这个数列的( )
A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项
2．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是( )
A．an＝n2－n＋1 B．an＝
C．an＝ D．an＝n2＋1
3．已知数列{an}中，an＝2n＋1，那么a2n为( )
A．2n＋1 B．4n－1 C．4n＋1 D．4n
4．若数列的前4项为1,0,1,0，则这个数列的通项公式不可能是( )
A．an＝[1＋(－1)n－1]
B．an＝[1－cos(n·180°)]
C．an＝sin2(n·90°)
D．an＝(n－1)(n－2)＋[1＋(－1)n－1]
5．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－n－50，则－8是该数列的( )
A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．非任何一项
二、填空题
6．用火柴棒按下图的方法搭三角形：
按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数an与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是__________．
7．传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras，约公元前570年—公元前500年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们将石子摆成如图所示的三角形状，就将其所对应石子个数称为三角形数，则第10个三角形数是______．
8．数列a，b，a，b，…的一个通项公式是__________．
三、解答题
9．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中的点数．
10．数列{an}中，a1＝1，对所有的n≥2，都有a1·a2·a3·…·an＝n2.
(1)求a3＋a5；
(2)探究是否为此数列中的项；
(3)试比较an与an＋1 (n≥2)的大小．
第二章 数列
§2.1 数 列
2．1.1 数 列(一)
知识梳理
1．顺序 项
2．{an} a1 首项 an
3．(1)有限 无限 (2)大于 小于 相等
自主探究
1．an＝n
2．an＝
3．an＝2n
4．an＝2n－1
5．an＝n2
6．an＝2n－1
7．an＝(－1)n
8．an＝(－1)n＋1n
9．an＝10n－1
10．an＝1－0.1n
对点讲练
例1 解 (1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，
故通项公式为an＝(－1)n(6n－5) (n∈N*)．
(2)数列变形为(1－0.1)，(1－0.01)，(1－0.001)，…，∴an＝ (n∈N*)．
(3)各项的分母分别为21,22,23,24，…易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－，因此原数列可化为－，，－，，…，
∴an＝(－1)n· (n∈N*)．
(4)将数列统一为，，，，…对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn＝2n＋1，对于分母2,5,10,17，…联想到数列1,4,9,16…即数列{n2}，可得分母的通项公式为cn＝n2＋1，
∴可得它的一个通项公式为an＝ (n∈N*)．
(5)an＝或an＝ (n∈N*)或an＝ (n∈N*)．
变式训练1 解 (1)这是个混合数列，
可看成2＋，4＋，6＋，8＋，….
故通项公式an＝2n＋ (n∈N*)．
(2)该数列中各项每两个元素重复一遍，可以利用这个周期性求an.原数列可变形为：
10＋0,10＋1,10＋0,10＋1，….
故其一个通项为：an＝10＋，
或an＝.
(3)通项符号为(－1)n，如果把第一项－1看作－，则分母为3,5,7,9，…，分母通项为2n＋1；分子为3,8,15,24，…，分子通项为(n＋1)2－1即n(n＋2)，
所以原数列通项为：an＝(－1)n (n∈N*)．
例2 解 由题意可知
a1＝1，
a2＝1＋＝1＋＝2，
a3＝1＋＝1＋＝，
a4＝1＋＝1＋＝，
a5＝1＋＝1＋＝.
变式训练2 解 a1＝2，a2＝3，
a3＝3a2－2a1＝3×3－2×2＝5，
a4＝3a3－2a2＝3×5－2×3＝9，
a5＝3a4－2a3＝3×9－2×5＝17，
a6＝3a5－2a4＝3×17－2×9＝33.
例3 (1)解 设f(n)＝
＝＝.
令n＝10，得第10项a10＝f(10)＝.
(2)解 令＝，得9n＝300.
此方程无自然数解，所以不是该数列中的项．
(3)证明 ∵an＝＝＝1－，
又n∈N*，∴0<<1，∴0
∴数列中的各项都在区间(0,1)内．
(4)解 令则，即.∴又∵n∈N*，∴当且仅当n＝2时，上式成立，故区间上有数列中的项，且只有一项为a2＝.
变式训练3 解 (1)a10＝＝.
(2)令＝，化简得：8n2－33n－35＝0，
解得n＝5或n＝－(舍去)．当n＝5时，a5＝－≠.
∴不是该数列中的项．
课时作业
1．B [数列通项公式为an＝，令＝2，解得n＝7.]
2．C
3．C
4．D [令n＝1,2,3,4代入验证即可．]
5．C [n2－n－50＝－8，得n＝7或n＝－6(舍去)．]
6．an＝2n＋1
7．55
解析 三角形数依次为：1,3,6,10,15，…，第10个三角形数为：1＋2＋3＋4＋…＋10＝55.
8．an＝＋(－1)n＋1
解析 a＝＋，b＝－，
故an＝＋(－1)n＋1.
9．解 图(1)只有1个点，无分支；图(2)除中间1个点外，有两个分支，每个分支有1个点；图(3)除中间1个点外，有三个分支，每个分支有2个点；图(4)除中间1个点外，有四个分支，每个分支有3个点；…；猜测第n个图中除中间一个点外，有n个分支，每个分支有(n－1)个点，故第n个图中点的个数为1＋n(n－1)＝n2－n＋1.
10．解 由题意知：an＝ (n≥2)．
(1)a3＋a5＝＋＝.
(2)＝＝a16，∴为数列中的项．
(3)n≥2时，an－an＋1＝－
＝>0，∴an>an＋1.
2.1.1 数 列(二)
自主学习
知识梳理
1．数列可以看作是一个定义域为____________(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列________．
2．一般地，一个数列{an}，如果从________起，每一项都大于它的前一项，即____________，那么这个数列叫做递增数列．如果从________起，每一项都小于它的前一项，即____________，那么这个数列叫做递减数列．如果数列{an}的各项________，那么这个数列叫做常数列．
3．数列的最大、最小项问题，可以通过研究数列的单调性加以解决，若求最大项an，n的值可通过不等式组________________来确定；若求最小项an，n的值可通过解不等式组________________来确定．
自主探究
已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋1－an，试写出a3，a4，a5，a6，a7，a8，你发现数列{an}具有怎样的规律？你能否求出该数列中的第2 011项是多少？
对点讲练
知识点一 利用函数的性质判断数列的单调性
例1 已知数列{an}的通项公式为an＝.
求证：数列{an}为递增数列．
总结 数列是一种特殊的函数，因此可用研究函数单调性的方法来研究数列的单调性．
变式训练1 在数列{an}中，an＝n3－an，若数列{an}为递增数列，试确定实数a的取值范围．
知识点二 求数列的最大项
例2 已知an＝ (n∈N*)，试问数列{an}中有没有最大项？如果有，求出这个最大项；如果没有，说明理由．
总结 先考虑{an}的单调性，再利用单调性求其最值．
变式训练2 已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4，则
(1)数列中有多少项是负数？
(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．
知识点三 由递推公式求通项公式
例3 已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋ (n≥2)，写出该数列的前五项及它的一个通项公式．
总结 已知递推关系求通项公式这类问题要求不高，主要掌握由a1和递推关系先求出前几项，再归纳、猜想an的方法，以及累加：an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1；累乘：an＝··…··a1等方法．
变式训练3 已知数列{an}满足a1＝，anan－1＝an－1－an，求数列{an}的通项公式．
函数与数列的联系与区别
一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数
的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题．
另一方面，还要注意数列的特殊性(离散型)，由于它的定义域是N*或它的子集{1,2，…，n}，因而它的图象是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性，如研究单调性时，由数列的图象可知，只要这些点每个比它前面相邻的一个高(即an>an－1)，则图象呈上升趋势，即数列递增，即{an}递增?an＋1>an对任意的n (n∈N*)都成立．类似地，有{an}递减?an＋1课时作业
一、选择题
1．已知an＋1－an－3＝0，则数列{an}是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数项 D．不能确定
2．已知数列{an}的首项为a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列第4项是( )
A．1 B. C. D.
3．若a1＝1，an＋1＝，给出的数列{an}的第34项是( )
A. B．100 C. D.
4．已知an＝ (n∈N*)，记数列{an}的前n项和为Sn，则使Sn>0的n的最小值为( )
A．10 B．11 C．12 D．13
5．已知数列{an}满足an＋1＝若a1＝，
则a2 010的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题
6．已知数列{an}满足：a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋an，(n∈N*)，则使an>100的n的最小值是________．
7．设an＝－n2＋10n＋11，则数列{an}从首项到第m项的和最大，则m的值是________．
8．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an＋n，则a2 009＝________.
三、解答题
9．已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{an}满足f(log2an)＝－2n.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)证明：数列{an}是递减数列．
10．在数列{an}中，a1＝，an＝1－ (n≥2，n∈N*)．
(1)求证：an＋3＝an； (2)求a2 010.
2．1.1 数 列(二)
知识梳理
1．正整数集N* 函数值
2．第二项 an＋1>an 第二项 an＋13.
自主探究
解 a1＝1，a2＝2，a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，a6＝－1，a7＝1，a8＝2，….
发现：an＋6＝an，数列{an}具有周期性，周期T＝6，
证明如下：
∵an＋2＝an＋1－an，
∴an＋3＝an＋2－an＋1＝(an＋1－an)－an＋1＝－an.
∴an＋6＝－an＋3＝－(－an)＝an.
∴数列{an}是周期数列，且T＝6.
∴a2 011＝a335×6＋1＝a1＝1.
对点讲练
例1 证明 an＝＝1－
an＋1－an＝－
＝＝.
由n∈N*，得an＋1－an>0，即an＋1>an.
∴数列{an}为递增数列．
变式训练1 解 若{an}为递增数列，则an＋1－an≥0.
即(n＋1)3－a(n＋1)－n3＋an≥0恒成立．
即a≤(n＋1)3－n3＝3n2＋3n＋1恒成立，
即a≤(3n2＋3n＋1)min，
∵n∈N*，∴3n2＋3n＋1的最小值为7.
∴a的取值范围为a≤7.
例2 解 因为an＋1－an＝n＋1·(n＋2)－n·(n＋1)
＝n＋1·＝n＋1·，
则当n≤7时，n＋1·>0，
当n＝8时，n＋1·＝0，
当n≥9时，n＋1·<0，
所以a1a10>a11>a12>…，
故数列{an}存在最大项，最大项为a8＝a9＝.
变式训练2 解 (1)an＝n2－5n＋4＝2－，
当n＝2,3时，an<0.∴数列中有两项是负数．
(2)∵an＝n2－5n＋4＝2－，可知对称轴方程为n＝＝2.5.又因n∈N*，故n＝2或3时，an有最小值，其最小值为－2.
例3 解 由递推公式得a1＝1，
a2＝1＋＝，a3＝＋＝，
a4＝＋＝，a5＝＋＝.
故数列的前五项分别为1，，，，.
∴通项公式为an＝＝2－.
变式训练3 解 ∵anan－1＝an－1－an，∴－＝1.
∴＝＋＋＋…＋＝2＋1＋1＋…＋ ＝n＋1.
∴＝n＋1，∴an＝.
课时作业
1．A
2．B
3．C [a2＝＝＝，a3＝＝＝，a4＝＝＝，猜想an＝，
∴a34＝＝.]
4．B [∵－a1＝a10，－a2＝a9，－a3＝a8，－a4＝a7，－a5＝a6，∴S11>0，则当n≥11时，Sn>0，故n最小为11.]
5．C [计算得a2＝，a3＝，a4＝，
故数列{an}是以3为周期的周期数列，
又知2 010除以3能整除，所以a2 010＝a3＝.]
6．12
7．10或11
解析 令an＝－n2＋10n＋11≥0，则n≤11.
∴a1>0，a2>0，…，a10>0，a11＝0.
∴S10＝S11且为Sn的最大值．
8．2 017 036
解析 由a1＝0，an＋1＝an＋n得
an＝an－1＋n－1，an－1＝an－2＋n－2，
?
a2＝a1＋1，
a1＝0，
累加可得an＝0＋1＋2＋…＋n－1＝，
∴a2 009＝＝2 017 036.
9．(1)解 因为f(x)＝2x－2－x，f(log2an)＝－2n，
所以2log2 an－2－log2an＝－2n，an－＝－2n，
所以a＋2nan－1＝0，解得an＝－n±.
因为an>0，所以an＝－n.
(2)证明 ＝
＝<1.
又因为an>0，所以an＋110．(1)证明 an＋3＝1－＝1－＝1－
＝1－＝1－＝1－
＝1－＝1－(1－an)＝an.∴an＋3＝an.
(2)解 由(1)知数列{an}的周期T＝3，
a1＝，a2＝－1，a3＝2.
∴a2 010＝a3×670＝a3＝2.
2.1.2 数列的递推公式(选学)
自主学习
知识梳理
1．通项公式与递推公式的区别与联系
定义
不同点
相同点
通项公式
如果数列{an}的第n项an与项数n之间的关系可用一个函数式an＝f(n)来表示，则这个公式称为{an}的通项公式
给出n的值，可求出{an}的第n项an
可确定一个数列；可求出数列中任意一项
递推公式
如果已知数列{an}的第一项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与前一项an－1(或前几项)之间的关系可用一个公式来表示，则这个公式叫做{an}的递推公式
由第一项(或前几项)的值，经过一次(或多次)运算，逐项地求出an
2.由数列的递推公式求通项公式的常用方法
(1)累加法：an＋1＝an＋f(n) (f(n)可求和)
an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝a1＋f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)．
(2)累乘法：an＋1＝an·f(n) (f(n)为含n的代数式)
an＝a1···…·＝a1·f(1)·f(2)·…·f(n－1)．
3．数列{an}的通项an与其前n项和Sn之间的关系是：当n＝1时，a1＝S1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1.
4．Sn与an的混合关系式有两个思路
(1)消去Sn，转化为an的递推关系式，再求an；
(2)消去an，转化为Sn的递推关系式，求出Sn后，再求an.
自主探究
1．已知数列{an}，a1＝2，an＋1＝an＋2，试用累加法推导{an}的通项公式．
2．已知数列{an}，a1＝2，an＋1＝2an，试用累乘法推导{an}的通项公式．
对点讲练
知识点一 利用累加法求通项公式
例1 已知：a1＝1，an＋1＝an＋(2n＋1)，求an.
总结 形如an＋1＝an＋f(n)的递推数列，常用累加法求其通项公式，关键是不断变换递推公式中的“下标”．
变式训练1 已知数列{an}，a1＝1，以后各项由an＋1＝an＋给出，试用累加法求通项公式an.(提示：＝－)．
知识点二 利用累乘法求通项公式
例2 已知：a1＝1，an＋1＝2n·an，求an.
总结 形如an＋1＝anf(n)的递推数列，常用累乘法求其通项公式．
变式训练2 已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝n2an，且a1＝1，求{an}的通项公式．
知识点三 由实际问题提炼出递推公式
例3 某县位于沙漠地带，人与自然长期进行着顽强的斗争，到2010年底全县的绿化率已达30%.从2011年开始，每年将出现这样的局面，即原有沙漠面积的16%将被绿化，与此同时，由于各种原因，原有绿化面积的4%又被沙化．设全县面积为1,2010年底绿化面积为a1＝，经过n年绿化总面积为an＋1.求证：an＋1＝＋an.
总结 在实际问题中，若题目条件给出的是相邻年份的数量关系时，可以考虑构建递推数列模型．
变式训练3 在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰是由6颗珠宝(图中圆圈表示珠宝)构成如图1所示的正六边形，第三件首饰如图2，第四件首饰如图3，第五件首饰如图4，以后每件首饰都在前一件上按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，设第n件首饰所用珠宝数为f(n)，求f(n＋1)－f(n)的值．
1．数列的递推公式是给出数列的另一重要形式，一般地，只要给出数列的首项或前几项以及数列的相邻两项或几项之间的运算关系，就可以依次求出数列的各项．
2．由数列的递推公式求通项公式是数列的重要问题之一，是高考考查的热点，累加法、累乘法是解决这类问题的常用技巧.
课时作业
一、选择题
1．数列{an}满足an＋1＝an＋n，且a1＝1，则a5的值为( )
A．9 B．10 C．11 D．12
2．已知数列{an}的首项为a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列的第4项是( )
A. B. C. D.
3．已知数列{an}满足a1＝，anan－1＝an＋an－1，则这个数列的第5项是( )
A．1 B. C. D..
4．已知数列{an}对任意的p，q∈N*满足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，那么a10等于( )
A．－165 B．－33 C．－30 D．－21
5．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋2n－1，求出a2，a3，a4后，归纳猜想an的表达式为( )
A．3n－2
B．n2－2n＋2
C．3n－1
D．4n－3
二、填空题
6．数列{an}中，a1＝1，an＋1an＝a＋(－1)n＋1 (n∈N*)，则＝________.
7．数列{an}中，a1＝3，a2＝7，当n≥1时，an＋2等于anan＋1的个位数，则该数列的第2 010项是______．
三、解答题
8．函数f(n)＝.
数列{an}的通项an＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2n) (n∈N*)．
(1)求a1，a2，a4的值；
(2)写出an与an－1的一个递推关系式．(注：1＋3＋5＋…(2n－1)＝4n－1)
9．某餐厅供应1 000名学生用餐，每星期一有A、B两种菜可供选择，调查资料显示星期一选A菜的学生中有20%在下周一选B菜，而选B菜的学生中有30%在下周一选A菜，用An、Bn分别表示在第n个星期一选A菜、B菜的学生数，试写出An与An－1的关系及Bn与Bn－1的关系．
2．1.2 数列的递推公式(选学)
自主探究
1．解 ∵an＋1－an＝2
∴(n－1)个式子相加得：
an－a1＝2(n－1)，
∴an＝a1＋2(n－1)＝2n或
an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝2＋2(n－1)＝2n.
2．解 ∵＝2
∴(n－1)个式子相乘得：＝2n－1，
∴an＝a1·2n－1＝2n
或an＝a1···…·＝a1·2n－1＝2n.
对点讲练
例1 解 ∵an＋1－an＝2n＋1，
∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝[1＋(2n－1)]×＝n2.
变式训练1 解 ∵an＋1－an＝，
∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝1＋＋＋…＋＝1＋＋＋…＋＝2－.
例2 解 ∵＝2n，
∴an＝a1···…·＝1·21·22·…·2n－1
＝21＋2＋3＋…＋(n－1)＝2[1＋(n－1)]×
＝2.
变式训练2 解 ∵Sn＝n2an，∴Sn＋1＝(n＋1)2an＋1
∴Sn＋1－Sn＝(n＋1)2an＋1－n2an
∴an＋1＝(n＋1)2an＋1－n2an∴(n2＋2n)an＋1＝n2an
∴(n＋2)an＋1＝nan.∴＝.
∴an＝a1···…···
＝1····…···＝.
例3 证明 由已知可得an确定后，an＋1表示如下：
an＋1＝an·(1－4%)＋(1－an)·16%，
即an＋1＝80%an＋16%＝an＋.
变式训练3 解 珠宝的数目依次是：
f(1)＝1，f(2)＝1＋5，f(3)＝1＋5＋9，
f(4)＝1＋5＋9＋13，f(5)＝1＋5＋9＋13＋17，…，
∴f(2)－f(1)＝5，f(3)－f(2)＝9，f(4)－f(3)＝13，
f(5)－f(4)＝17，…，∴f(n＋1)－f(n)＝4n＋1.
课时作业
1．C [a5＝a4＋4＝a3＋3＋4＝a2＋2＋3＋4
＝a1＋1＋2＋3＋4＝11.]
2．B [∵a1＝1，an＋1＝an＋，∴a2＝×a1＋＝1，
a3＝a2＋＝，a4＝a3＋＝＋＝.]
3．B [∵anan－1＝an＋an－1，a1＝∴an＝，∴a2＝＝－1，a3＝＝，a4＝－1，a5＝.]
4．C [a2＝a1＋a1＝－6，∴a1＝－3，
a3＝a1＋a2＝－9，a4＝a2＋a2＝－12，
a5＝a1＋a4＝－15，a10＝2a5＝－30.]
5．B [由an＋1＝an＋2n－1
a2－a1＝1，
a3－a2＝3，
a4－a3＝5
……
an－an－1＝2n－3.
相加得an－a1＝1＋3＋5＋…＋(2n－3)＝(n－1)2，
∴an＝(n－1)2＋a1＝n2－2n＋2.]
6.
解析 a2＝2，a3＝，＝＝＝.
7．9
解析 列举出数列的前9项，依次是3、7、1、7、7、9、3、7、1、7，观察发现数列具有周期性且周期为6，所以a2 010＝a6＝9.
8．解 (1)a1＝f(1)＋f(2)＝f(1)＋f(1)＝2.
a2＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)
＝f(1)＋f(3)＋f(1)＋f(2)＝1＋3＋a1＝6.
a4＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(16)＝86.
(2)an－1＝f(1)＋f(2)＋…＋f(2n－1)
an＝f(1)＋f(2)＋…＋f(2n)
＝f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(2n－1)＋f(2)＋f(4)＋f(6)＋…＋f(2n)
＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2n－1)∴an＝an－1＋4n－1 (n≥2)．
9．解 由题意知：
由An－1＋Bn－1＝1 000，得Bn－1＝1 000－An－1.
所以An＝0.8An－1＋0.3(1 000－An－1)＝0.5An－1＋300.
同理，Bn＝0.2(1 000－Bn－1)＋0.7Bn－1＝0.5Bn－1＋200.
§2.2 等差数列
2．2.1 等差数列
自主学习
知识梳理
1．等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的差都等于____常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的____，通常用字母______表示．
2．等差中项
如果A＝，那么A叫做a与b的____________．
3．等差数列的单调性
等差数列的公差________时，数列为递增数列；________时，数列为递减数列；________时，数列为常数列．
4．等差数列的通项公式
an＝____________，当d＝0时，an＝________，an是关于n的________函数；当d≠0时，an＝____________，an是关于n的________函数，点(n，an)分布在一条以________为斜率的直线上，是这条直线上的一列________的点．
5．等差数列的性质
(1)若{an}是等差数列，且k＋l＝m＋n(k、l、m、n∈N*)，则____________．
(2)若{an}是等差数列且公差为d，则{a2n}也是________，公差为________．
(3)若{an}是等差数列且公差为d，则{a2n－1＋a2n}也是____________，公差为________．
自主探究
如果等差数列{an}的首项是a1，公差是d，你能用两种方法求其通项吗？
对点讲练
知识点一 等差数列的通项公式
例1 若{an}是等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75.
总结 方法一：先求出a1，d，然后求a75；方法二：应用通项公式的变形公式an＝am＋(n－m)d求解．
变式训练1 在等差数列{an}中，已知am＝n，an＝m，求am＋n的值．
知识点二 等差数列的性质
例2 已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式．
总结 要求通项公式，需要求出首项a1和公差d，由a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45直接求解很困难，我们可以换个思路，利用等差数列的性质，注意到a1＋a7＝a2＋a6＝2a4问题就简单了．
变式训练2 成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数．
知识点三 等差数列的判断
例3 已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－ (n≥2)，令bn＝.
(1)求证：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
总结 判断一个数列{an}是否是等差数列，关键是看an＋1－an是否是一个与n无关的常数．
变式训练3 若，，是等差数列．
求证：a2，b2，c2成等差数列．
1．证明数列{an}为等差数列的方法
(1)定义法：an＋1－an＝d (d为常数，n≥1)?{an}为等差数列或an－an－1＝d (d为常数，n≥2)?{an}为等差数列．
(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2?{an}是等差数列．
(3)通项法：an＝pn＋q (p、q∈R)?{an}是等差数列，只要说明an为n的一次函数，就可下结论说{an}是等差数列．
2．三个数成等差数列可设为：a－d，a，a＋d或a，a＋d，a＋2d；
四个数成等差数列可设为：a－3d，a－d，a＋d，a＋3d或a，a＋d，a＋2d，a＋3d.
课时作业
一、选择题
1．在等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10的值为( )
A．24 B．22 C．20 D．－8
2．已知等差数列{an}中，a2＝－9，＝－，则an为( )
A．14n＋3 B．16n－4 C．15n－39 D．15n＋8
3．等差数列{an}的公差d<0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8，则数列{an}的通项公式是( )
A．an＝2n－2 (n∈N*)
B．an＝2n＋4 (n∈N*)
C．an＝－2n＋12 (n∈N*)
D．an＝－2n＋10 (n∈N*)
4．等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8等于( )
A．45 B．75 C．180 D．300
5．在数列{an}中，a1＝2,2an＋1＝2an＋1，则a101的值为( )
A．49 B．50 C．51 D．52
二、填空题
6．若m≠n，两个等差数列m、a1、a2、n与m、b1、b2、b3、n的公差分别为d1和d2，则的值为______．
7．已知是等差数列，且a4＝6，a6＝4，则a10＝______.
8．已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m－n|＝______.
三、解答题
9．等差数列{an}的公差d≠0，试比较a4a9与a6a7的大小．
10．已知等差数列{an}：3,7,11,15，….
(1)135,4m＋19(m∈N*)是{an}中的项吗？请说明理由．
(2)若am、at(m、t∈N*)是数列{an}中的项，则2am＋3at是数列{an}中的项吗？并说明你的理由．
2．2.1 等差数列
知识梳理
1．2 同一个 公差 d
2．等差中项
3．d>0 d<0 d＝0
4．a1＋(n－1)d a1 常数 dn＋(a1－d) 一次 d 孤立
5．(1)ak＋al＝am＋an (2)等差数列 2d
(3)等差数列 4d
自主探究
解 第一种方法：根据等差数列的定义，可以得到
a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，….所以
a2＝a1＋d，
a3＝a2＋d＝(a1＋d)＋d＝a1＋2d，
a4＝a3＋d＝(a1＋2d)＋d＝a1＋3d，
…
由此得出：an＝a1＋(n－1)d.
第二种方法：由等差数列的定义知，an－an－1＝d(n≥2)，
所以 (n－1)个
将以上(n－1)个等式两边分别相加，可得an－a1＝(n－1)d，即an＝a1＋(n－1)d.
对点讲练
例1 解 设{an}的公差为d.
方法一 由题意知解得
所以a75＝a1＋74d＝＋74×＝24.
方法二 因为a60＝a15＋(60－15)d，
所以d＝＝＝，
所以a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×＝24.
变式训练1 解 方法一 设公差为d，
则d＝＝＝－1，
从而am＋n＝am＋(m＋n－m)d＝n＋n·(－1)＝0.
方法二 设等差数列的通项公式为an＝an＋b(a，b为常数)，则
得a＝－1，b＝m＋n.所以am＋n＝a(m＋n)＋b＝0.
例2 解 因为a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，
所以a4＝5.又因为a2a4a6＝45，所以a2a6＝9，
即(a4－2d)(a4＋2d)＝9，(5－2d)(5＋2d)＝9，
解得d＝±2.
若d＝2，an＝a4＋(n－4)d＝2n－3；
若d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝13－2n.
变式训练2 解 设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则由题设得
∴ 解得或
所以这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.
例3 (1)证明 ∵an＝4－ (n≥2)，
∴an＋1＝4－ (n∈N*)．
∴bn＋1－bn＝－＝－
＝－＝＝.
∴bn＋1－bn＝，n∈N*.
∴{bn}是等差数列，首项为，公差为.
(2)解 b1＝＝，d＝.
∴bn＝b1＋(n－1)d＝＋(n－1)＝.
∴＝，∴an＝2＋.
变式训练3 证明 ∵，，是等差数列，
∴＋＝.
∴(a＋b)(c＋a)＋(b＋c)(c＋a)＝2(a＋b)(b＋c)
∴(c＋a)(a＋c＋2b)＝2(a＋b)(b＋c)
∴2ac＋2ab＋2bc＋a2＋c2＝2ab＋2ac＋2bc＋2b2
∴a2＋c2＝2b2，∴a2，b2，c2成等差数列．
课时作业
1．A
2．C [∵a2＝－9，＝－，
∴a3＝－×(－9)＝6，∴d＝a3－a2＝15，
∴an＝a2＋(n－2)d＝－9＋(n－2)×15＝15n－39.]
3．D [由??
所以an＝a1＋(n－1)d，即an＝8＋(n－1)(－2)，
得an＝－2n＋10.]
4．C [方法一 设{an}首项为a1，公差为d，
则a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝a1＋2d＋a1＋3d＋a1＋4d＋a1＋5d＋a1＋6d＝5a1＋20d即5a1＋20d＝450，a1＋4d＝90，
∴a2＋a8＝a1＋d＋a1＋7d＝2a1＋8d＝180.
方法二 ∵a3＋a7＝a4＋a6＝2a5＝a2＋a8，
∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝(a2＋a8)＝450，
∴a2＋a8＝180.]
5．D [∵2an＋1＝2an＋1，∴an＋1－an＝.
故数列{an}是首项为2，公差为的等差数列．
∴a101＝a1＋100d＝2＋100×＝52.]
6.
解析 n－m＝3d1，d1＝(n－m)．
又n－m＝4d2，d2＝(n－m)．
∴＝＝.
7.
解析 －＝－＝2d，即d＝.
所以＝＋4d＝＋＝，所以a10＝.
8.
解析 由题意设这4个根为，＋d，＋2d，＋3d.则＋＝2，∴d＝，
∴这4个根依次为，，，，
∴n＝×＝，m＝×＝或n＝，m＝，
∴|m－n|＝.
9．解 设an＝a1＋(n－1)d，
则a4a9－a6a7＝(a1＋3d)(a1＋8d)－(a1＋5d)(a1＋6d)
＝(a＋11a1d＋24d2)－(a＋11da1＋30d2)＝－6d2<0，所以a4a910．解 (1)依题意有a1＝3，d＝7－3＝4，
∴an＝3＋4(n－1)＝4n－1.
设an＝4n－1＝135，得n＝34，∴135是数列{an}的第34项．
由于4m＋19＝4(m＋5)－1，且m∈N*，
∴4m＋19是数列{an}的第m＋5项．
(2)∵am、at是数列{an}中的项，∴am＝4m－1，at＝4t－1.
∴2am＋3at＝2(4m－1)＋3(4t－1)＝4(2m＋3t－1)－1.
∵2m＋3t－1∈N*，
∴2am＋3at是数列{an}中的第2m＋3t－1项．
2.2.2 等差数列的前n项和(一)
自主学习
知识梳理
1．把a1＋a2＋…＋an叫数列{an}的前n项和，记做________．例如a1＋a2＋…＋a16可以记做________；a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝________ (n≥2)．
2．若{an}是等差数列，则Sn可以用首项a1和末项an表示为Sn＝____________；若首项为a1，公差为d，则Sn可以表示为Sn＝____________.
3．写出下列常见等差数列的前n项和
(1)1＋2＋3＋…＋n＝____________.
(2)1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝________.
(3)2＋4＋6＋…＋2n＝________.
4．等差数列前n项和的性质
(1)若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为________．
(2)Sm，S2m，S3m分别为{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成______数列．
(3)设两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，则＝.
自主探究
教材是怎样推导等差数列{an}前n项和的？试一试写出推导过程．
对点讲练
知识点一 有关等差数列前n项和的计算
例1 在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.
总结 在解决等差数列问题时，如已知a1，an，n，d，Sn中任意三个，可求其余两个，这种问题简称为“知三求二”型．
变式训练1 设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列的前n项和，求Tn.
知识点二 等差数列前n项和性质的应用
例2 (1)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m；
(2)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知＝，求的值．
总结 等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易，事半功倍的效果．
变式训练2 已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则使得为整数的正整数n的个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
知识点三 等差数列前n项和的实际应用
例3 甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m.
(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？
(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？
总结 建立等差数列的模型时，注意相遇时甲、乙两人的路程和是两个等差数列的前n项和．
变式训练3 现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )
A．9 B．10 C．19 D．29
1．求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法．
2．等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量，通常已知其中三个量，可求另外两个量．
在求等差数列的和时，一般地，若已知首项a1及末项an，用公式Sn＝较好，若已知首项a1及公差d，用公式Sn＝na1＋d较好．
3．等差数列的性质比较多，学习时，不必死记硬背，可以在结合推导过程中加强记忆，并在解题中熟练灵活地应用.
课时作业
一、选择题
1．等差数列{an}中，S10＝4S5，则等于( )
A. B．2 C. D．4
2．已知等差数列{an}中，a＋a＋2a3a8＝9，且an<0，则S10为( )
A．－9 B．－11 C．－13 D．－15
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于( )
A．63 B．45 C．36 D．27
4．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( )
A．765 B．665
C．763 D．663
5．一个四边形的四个内角成等差数列，最小角为40°，则最大角为( )
A．140° B．120°
C．100° D．80°
二、填空题
6．设{an}是公差为－2的等差数列，如果a1＋a4＋…＋a97＝50，那么a3＋a6＋…＋a99＝________.
7．在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n的值为______．
8．已知两个等差数列{an}、{bn}，它们的前n项和分别是Sn、S′n，若＝，则＝______.
三、解答题
9．已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a3·a4＝117，a2＋a5＝22.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)若数列{bn}是等差数列，且bn＝，求非零常数c.
10．已知等差数列{an}的前三项为a－1,4,2a，记前n项和为Sn.
(1)设Sk＝2 550，求a和k的值；
(2)设bn＝，求b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1的值．
2．2.2 等差数列的前n项和(一)
知识梳理
1．Sn S16 Sn－1
2. na1＋n(n－1)d
3．(1)n(n＋1) (2)n2 (3)n2＋n
4．(1) (2)等差
自主探究
解 等差数列{an}的前n项和Sn可以采用倒序相加法推导，具体过程如下：
Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，又Sn＝an＋an－1＋an－2＋…＋a1
在等差数列中有：a1＋an＝a2＋an－1＝…＝an＋a1.
∴2Sn＝(a1＋an)×n
∴Sn＝.①
由于an＝a1＋(n－1)d代入①，
得Sn＝na1＋d.②
对点讲练
例1 解 由
得
解方程组得或
变式训练1 解 设等差数列{an}的公差为d，
则Sn＝na1＋n(n－1)d，
∵S7＝7，S15＝75，∴，
即，解得，
∴＝a1＋(n－1)d＝－2＋(n－1)，
∴－＝，
∴数列是等差数列，其首项为－2，公差为，
∴Tn＝n(－2)＋×＝n2－n.
例2 解 (1)方法一 在等差数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列．∴30,70，S3m－100成等差数列．
∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.
方法二 在等差数列中，，，成等差数列，
∴＝＋.
即S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210.
(2)＝＝＝.
变式训练2 D [＝＝＝
＝＝7＋，∴n＝1,2,3,5,11.]
例3 解 (1)设n分钟后第1次相遇，依题意，
有2n＋＋5n＝70，整理得n2＋13n－140＝0.
解之得n＝7，n＝－20(舍去)．
第1次相遇是在开始运动后7分钟．
(2)设n分钟后第2次相遇，依题意，
有2n＋＋5n＝3×70，整理得n2＋13n－420＝0.
解之得n＝15，n＝－28(舍去)．
第2次相遇是在开始运动后15分钟．
变式训练3 B [钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n＝.
当n＝19时，S19＝190.当n＝20时，S20＝210>200.
∴n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．]
课时作业
1．A [由题意得：10a1＋×10×9d＝4(5a1＋×5×4d)，
∴10a1＋45d＝20a1＋40d，∴10a1＝5d，∴＝.]
2．D [由a＋a＋2a3a8＝9得(a3＋a8)2＝9，
∵an<0，∴a3＋a8＝－3，
∴S10＝＝＝＝－15.]
3．B [数列{an}为等差数列，则S3，S6－S3，S9－S6为等差数列，即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，
∵S3＝9，S6－S3＝27，则S9－S6＝45.
∴a7＋a8＋a9＝S9－S6＝45.]
4．B [因a1＝2，d＝7,2＋(n－1)×7<100，∴n<15，
∴n＝14，S14＝14×2＋×14×13×7＝665.]
5．A [方法一 设等差数列为{an}，最大角为a4，则a1＝40°，n＝4，S4＝360°.由360°＝，得a4＝140°.
方法二 设其公差为d，由4×40°＋d＝360°，得d＝()°.于是，最大的角为40°＋3d＝140°.]
6．－82
解析 ∵a3＋a6＋…＋a99，a1＋a4＋…＋a97分别是33项之和，
∴(a3＋a6＋…＋a99)－(a1＋a4＋…＋a97)
＝(a3－a1)＋(a6－a4)＋…＋(a99－a97)
＝2d＋2d＋…＋2d＝33×2d＝33×(－4)＝－132，
∴a3＋a6＋…＋a99＝－132＋50＝－82.
7．10
解析 S奇＝＝165，S偶＝＝150
∵a1＋a2n＋1＝a2＋a2n，∴＝＝，∴n＝10.
8.
解析 方法一 ＝＝＝，
∴＝＝＝＝.
方法二 由＝，可知公差d≠0，
设Sm＝km(2m＋3)，S′m＝km(3m－1) (k∈R，且k≠0)，
则＝＝ (m≥2)，∴＝＝.
9．解 (1)设等差数列{an}的公差为d，且d>0.
∵a3＋a4＝a2＋a5＝22，又a3·a4＝117，
∴a3，a4是方程x2－22x＋117＝0的两个根．
又公差d>0，∴a3∴，∴，∴an＝4n－3.
(2)由(1)知，Sn＝n·1＋·4＝2n2－n，
∴bn＝＝.∴b1＝，b2＝，b3＝.
∵{bn}是等差数列，∴2b2＝b1＋b3，∴2c2＋c＝0，
∴c＝－ (c＝0舍去)．
10．解 (1)由已知得a1＝a－1，a2＝4，a3＝2a，
又a1＋a3＝2a2，∴(a－1)＋2a＝8，即a＝3.
∴a1＝2，公差d＝a2－a1＝2.
由Sk＝ka1＋d，得2k＋×2＝2 550，
即k2＋k－2 550＝0，解得k＝50或k＝－51(舍去)．
∴a＝3，k＝50.
(2)由Sn＝na1＋d，
得Sn＝2n＋×2＝n2＋n.
∴bn＝＝n＋1.∴{bn}是等差数列．
则b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1＝(3＋1)＋(7＋1)＋(11＋1)＋…＋(4n－1＋1)＝2n2＋2n
∴b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1＝2n2＋2n.
2.2.2 等差数列的前n项和(二)
自主学习
知识梳理
1．前n项和Sn与an之间的关系
对任意数列{an}，Sn是前n项和，Sn与an的关系可以表示为an＝
2．等差数列前n项和公式Sn＝____________＝________________.
3．等差数列前n项和的最值
(1)在等差数列{an}中
当a1>0，d<0时，Sn有________值，使Sn取到最值的n可由不等式组________________确定；
当a1<0，d>0时，Sn有________值，使Sn取到最值的n可由不等式组________________确定．(2)因为Sn＝n2＋n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有________值；当d<0时，Sn有________值；且n取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值．
4．一个有用的结论
若Sn＝an2＋bn，则数列{an}是等差数列．反之亦然．
自主探究
在等差数列{an}中，an＝2n－14，试用两种方法求该数列前n项和Sn的最值．
对点讲练
知识点一 已知前n项和Sn，求an
例1 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2－3n，求通项公式an.
总结 已知前n项和Sn求通项an，先由n＝1时，a1＝S1求得a1，再由n≥2时，an＝Sn－Sn－1求an，最后验证a1是否符合an，若符合则统一用一个解析式表示．
变式训练1 已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋b，求an.
知识点二 等差数列前n项和最值问题
例2 在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求Sn的最大值．
总结 在等差数列中，求Sn的最大(小)值，其思路是找出某一项，使这项及它前面的项皆取正(负)值或零，而它后面的各项皆取负(正)值，则从第1项起到该项的各项的和为最大(小)．由于Sn为关于n的二次函数，也可借助二次函数的图象或性质求解．
变式训练2 等差数列{an}中，a1<0，S9＝S12，该数列前多少项的和最小？
知识点三 已知{an}为等差数列，求{|an|}的前n项和
例3 已知等差数列{an}中，记Sn是它的前n项和，若S2＝16，S4＝24，求数列{|an|}的前n项和Tn.
总结 等差数列{an}前n项的绝对值之和，由绝对值的意义，应首先分清这个数列的哪些项是负的，哪些项是非负的，然后再分段求出前n项的绝对值之和．
变式训练3 数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0 (n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Sn.
1．公式an＝Sn－Sn－1并非对所有的n∈N*都成立，而只对n≥2的正整数才成立．由Sn求通项公式an＝f(n)时，要分n＝1和n≥2两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示．
2．求等差数列前n项和的最值
(1)二次函数法：用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观．
(2)通项法：当a1>0，d<0，时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，时，Sn取得最小值．
3．求等差数列{an}前n项的绝对值之和，关键是找到数列{an}的正负项的分界点.
课时作业
一、选择题
1．设数列{an}是等差数列，且a2＝－8，a15＝5，Sn是数列{an}的前n项和，则( )
A．S9C．S112．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5A．9 B．8 C．7 D．6
3．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于( )
A. B. C. D.
4．数列{an}的前n项和Sn＝3n－2n2 (n∈N*)，则当n≥2时，下列不等式成立的是( )
A．Sn>na1>nan
B．Sn>nan>na1
C．na1>Sn>nan
D．nan>Sn>na1
5．设{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5S8，则下列结论错误的是( )
A．d<0
B．a7＝0
C．S9>S5
D．S6与S7均为Sn的最大值
二、填空题
6．数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2－n(n∈N*)，则通项an＝________.
7．等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d<0，则使前n项和Sn取得最大值的自然数n是______．
8．在等差数列{an}中，已知前三项和为15，最后三项和为78，所有项和为155，则项数n＝________.
三、解答题
9．已知f(x)＝x2－2(n＋1)x＋n2＋5n－7.
(1)设f(x)的图象的顶点的纵坐标构成数列{an}，求证：{an}为等差数列；
(2)设f(x)的图象的顶点到x轴的距离构成{bn}，求{bn}的前n项和．
10．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，且S12>0，S13<0.
(1)求公差d的范围；
(2)问前几项的和最大，并说明理由．
2．2.2 等差数列的前n项和(二)
知识梳理
1．S1 Sn－Sn－1
2. na1＋d
3．(1)最大 最小 (2)最小 最大
自主探究
解 方法一 ∵an＝2n－14，∴a1＝－12，d＝2.
∴a1∴当n＝6或n＝7时，Sn取到最小值．
易求S7＝－42，∴Sn最小，(Sn)min＝－42.
方法二 ∵an＝2n－14，∴a1＝－12.
∴Sn＝＝n2－13n＝2－.
∴当n＝6或n＝7时，Sn最小，且(Sn)min＝－42.
对点讲练
例1 解 当n＝1时，a1＝S1＝－1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－5.
又∵a1＝－1，适合an＝4n－5，∴an＝4n－5 (n∈N*)．
变式训练1 解 当n＝1时，a1＝S1＝3＋b.
n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2·3n－1
因此，当b＝－1时，a1＝2适合an＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1.
当b≠－1时，a1＝3＋b不适合an＝2·3n－1，
∴an＝.
综上可知，当b＝－1时，an＝2·3n－1；
当b≠－1时，an＝.
例2 解 方法一 利用前n项和公式和二次函数性质．
由S17＝S9，得25×17＋×(17－1)d
＝25×9＋×(9－1)d，
解得d＝－2，所以Sn＝25n＋(n－1)(－2)
＝－(n－13)2＋169，
由二次函数性质可知，当n＝13时，Sn有最大值169.
方法二 先求出d＝－2，因为a1＝25>0，
由 得
所以当n＝13时，Sn有最大值．
S13＝25×13＋×(－2)＝169.
因此Sn的最大值为169.
方法三 由S17＝S9，得a10＋a11＋…＋a17＝0，
而a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14，
故a13＋a14＝0.由方法一知d＝－2<0，
又因为a1>0，所以a13>0，a14<0，
故当n＝13时，Sn有最大值．
S13＝25×13＋×(－2)＝169.
因此Sn的最大值为169.
变式训练2 解 方法一 由S9＝S12，得d＝－a1，
由，得，
解得10≤n≤11.∴当n为10或11时，Sn取最小值，
∴该数列前10项或前11项的和最小．
方法二 由S9＝S12，得d＝－a1，
由Sn＝na1＋d＝n2＋n，
得Sn＝·n2＋·n
＝－2＋a1 (a1<0)，
由二次函数性质可知n＝＝10.5时，Sn最小．
但n∈N*，故n＝10或11时Sn取得最小值．
例3 解 由S2＝16，S4＝24，得
即 解得
所以等差数列{an}的通项公式为an＝11－2n (n∈N*)．
(1)当n≤5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋10n.
(2)当n≥6时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋a5－a6－a7－…－an＝2S5－Sn
＝2×(－52＋10×5)－(－n2＋10n)＝n2－10n＋50，
故Tn＝
变式训练3 解 (1)∵an＋2－2an＋1＋an＝0.
∴an＋2－an＋1＝an＋1－an＝…＝a2－a1.
∴{an}是等差数列且a1＝8，a4＝2，
∴d＝－2，an＝a1＋(n－1)d＝10－2n.
(2)∵an＝10－2n，令an＝0，得n＝5.
当n>5时，an<0；当n＝5时，an＝0；当n<5时，an>0.
∴当n>5时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)
＝T5－(Tn－T5)＝2T5－Tn
＝2×(9×5－25)－9n＋n2＝n2－9n＋40，
当n≤5时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋an＝Tn＝9n－n2.
∴Sn＝.
课时作业
1．B [由已知得d＝＝1，
∴a1＝－9，∴a10＝a1＋9d＝0，∴S10＝S9＋a10＝S9.]
2．B [由an＝，∴an＝2n－10.
由5<2k－10<8，得：7.53．A [方法一 ＝＝?a1＝2d，
＝＝＝.
方法二 由＝，得S6＝3S3.S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9仍然是等差数列，
公差为(S6－S3)－S3＝S3，从而S9－S6＝S3＋2S3＝3S3?S9＝6S3，S12－S9＝S3＋3S3＝4S3?S12＝10S3，
所以＝.]
4．C [由an＝，解得an＝5－4n.
∴a1＝5－4×1＝1，∴na1＝n，∴nan＝5n－4n2，
∵na1－Sn＝n－(3n－2n2)＝2n2－2n＝2n(n－1)>0.
Sn－nan＝3n－2n2－(5n－4n2)＝2n2－2n>0.
∴na1>Sn>nan.]
5．C [由S50.又S6＝S7?a7＝0.
由S7>S8?a8<0，因此，S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)<0.]
6．2n－2
7．5或6
解析 d<0，|a3|＝|a9|，∴a3>0，a9<0且a3＋a9＝0，
∴a6＝0，∴a1>a2>…>a5>0，a6＝0,0>a7>a8>….
∴当n＝5或6时，Sn取到最大值．
8．10
解析 由已知，a1＋a2＋a3＝15，
an＋an－1＋an－2＝78，两式相加，得
(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋(a3＋an－2)＝93，
即a1＋an＝31.由Sn＝＝＝155，得n＝10.
9．(1)证明 f(x)＝[x－(n＋1)]2＋3n－8，
∴an＝3n－8，∵an＋1－an＝3，∴{an}为等差数列．
(2)解 bn＝|3n－8|.当1≤n≤2时，bn＝8－3n，b1＝5.
Sn＝＝.
当n≥3时，bn＝3n－8，Sn＝5＋2＋1＋4＋…＋(3n－8)
＝7＋＝.
∴Sn＝
10．解 (1)根据题意，有：
整理得：解之得：－(2)∵d<0，∴a1>a2>a3>…>a12>a13>…，
而S13＝＝13a7<0，∴a7<0.
又S12＝＝6(a1＋a12)＝6(a6＋a7)>0，∴a6>0.∴数列{an}的前6项和S6最大．
§2.3 等比数列
2．3.1 等比数列
自主学习
知识梳理
1．如果一个数列从第________项起，每一项与它的前一项的________都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的________，通常用字母q表示(q≠0)．
2．等比数列的通项公式：____________.
3．等比中项的定义
如果x、G、y成等比数列，那么G叫做x与y的____________，且G2＝________.
4．对于正整数m，n，p，q，若m＋n＝p＋q，则等比数列中am，an，ap，aq的关系是________________．
5．证明一个数列是等比数列最基本的方法是定义，即____________________(用数学式子表示)．
自主探究
首项为a1，公比为q的等比数列在各条件下的单调性如下表：
a1
a1>0
a1<0
q范围
0q＝1
q>1
0q＝1
q>1
{an}的单调性
对点讲练
知识点一 等比数列通项公式的应用
例1 已知{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝，求{an}的通项公式．
总结 等比数列的通项公式an＝a1qn－1中有四个量a1，q，n，an.已知其中三个量可求得第四个，简称“知三求一”．
变式训练1 已知等比数列{an}，若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求an.
知识点二 等比数列性质的应用
例2 已知{an}为等比数列．
(1)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；
(2)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
总结 在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，利用这一性质可以化繁为简．
变式训练2 设{an}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝215，求a2·a5·a8·…·a29的值．
知识点三 等比数列的判断与证明
例3 已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an－1) (n∈N*)．
(1)求a1，a2；(2)求证：数列{an}是等比数列．
总结 利用等比数列的定义＝q (q≠0)是判定一个数列是否是等比数列的基本方法．
变式训练3 设Sn为数列{an}前n项和，Sn＝kn2＋n，n∈N*，其中k是常数．
(1)求a1及an；
(2)若对于任意的m∈N*，am，a2m，a4m成等比数列，求k的值．
1．等比数列的判断或证明
(1)利用定义：＝q (与n无关的常数)．
(2)利用等比中项：a＝anan＋2 (n∈N*)．
2．如果证明数列不是等比数列，可以通过具有三个连续项不成等比数列来证明，即存在an0，an0＋1，an0＋2，使a2n0＋1≠an0·an0＋2，也可以用反证法．
3．等比数列{an}的通项公式an＝a1qn－1共涉及an，a1，q，n四个量，已知其中三个量可求得第四个.
课时作业
一、选择题
1．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么( )
A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9
C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9
2．在等比数列{an}中，an>0，且a2＝1－a1，a4＝9－a3，则a4＋a5的值为( )
A．16 B．27 C．36 D．81
3．在由正数组成的等比数列{an}中，若a4a5a6＝3，log3a1＋log3a2＋log3a8＋log3a9的值为( )
A. B. C．2 D．3
4．一个数分别加上20,50,100后得到的三数成等比数列，其公比为( )
A. B. C. D.
5．已知数列{an}是公差为2的等差数列，且a1，a2，a5成等比数列，则a2为( )
A．－2 B．－3 C．2 D．3
二、填空题
6．在等比数列{an}中，a1＝1，a5＝16，则a3＝________.
7．首项为3的等比数列的第n项是48，第2n－3项是192，则n＝________.
8．一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是________．
三、解答题
9．等比数列的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项．
2．3.1 等比数列
知识梳理
1．2 比 公比
2．an＝a1qn－1
3．等比中项 xy
4．am·an＝ap·aq
5.＝q, (n∈N*)
自主探究
递减 常数列 递增 递增 常数列 递减
对点讲练
例1 解 设等比数列{an}的公比为q，则q≠0.
a2＝＝，a4＝a3q＝2q，∴＋2q＝.
解得q1＝，q2＝3.当q＝时，a1＝18，
∴an＝18×n－1＝2×33－n.
当q＝3时，a1＝，∴an＝×3n－1＝2×3n－3.
综上，当q＝时，an＝2×33－n；当q＝3时，an＝2×3n－3.
变式训练1 解 由等比数列的定义知a2＝a1q，a3＝a1q2代入已知得，
?
?
将a1＝代入①得2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝.
由②得或
当a1＝1，q＝2时，an＝2n－1；当a1＝4，q＝时，an＝23－n.
例2 解 (1)a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a＋2a3a5＋a
＝(a3＋a5)2＝25，∵an>0，∴a3＋a5>0，∴a3＋a5＝5.
(2)根据等比数列的性质
a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9.
∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95.
∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a9a10)
＝log395＝5log39＝10.
变式训练2 解 a1·a2·a3·…·a30
＝(a1a30)·(a2a29)·…·(a15·a16)＝(a1a30)15＝215，
∴a1a30＝2.a2·a5·a8·…·a29＝(a2a29)·(a5a26)·(a8a23)·(a11a20)·(a14a17)＝(a2a29)5＝(a1a30)5＝25＝32.
例3 (1)解 由S1＝(a1－1)，得a1＝(a1－1)，
∴a1＝－.又S2＝(a2－1)，
即a1＋a2＝(a2－1)，得a2＝.
(2)证明 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝(an－1)－(an－1－1)，得＝－，又＝－，
所以{an}是首项为－，公比为－的等比数列．
变式训练3 解 (1)由Sn＝kn2＋n，得a1＝S1＝k＋1，
an＝Sn－Sn－1＝2kn－k＋1(n≥2)．
a1＝k＋1也满足上式，所以an＝2kn－k＋1，n∈N*.
(2)由am，a2m，a4m成等比数列，
得(4mk－k＋1)2＝(2km－k＋1)(8km－k＋1)，
将上式化简，得2km(k－1)＝0，因为m∈N*，
所以m≠0，故k＝0或k＝1.
课时作业
1．B [∵b2＝(－1)×(－9)＝9且b与首项－1同号，∴b＝－3，且a，c必同号．]
2．B [由已知a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，∴q2＝9.
∴q＝3(q＝－3舍)，∴a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27.]
3．A [∵a4a6＝a，
∴a4a5a6＝a＝3，得a5＝3.
∵a1a9＝a2a8＝a，
∴log3a1＋log3a2＋log3a8＋log3a9＝log3(a1a2a8a9)
＝log3a＝log33＝.]
4．A [设这个数为x，则(50＋x)2＝(20＋x)·(100＋x)，解得x＝25，∴这三个数为45,75,125，公比q为＝.]
5．D [因为a1，a2，a5成等比数列，所以a＝a1·a5，
即a＝(a2－2)·(a2＋6)．解得a2＝3.]
6．4
解析 q4＝＝16，∴q2＝4，a3＝a1q2＝4.
7．5
解析 设公比为q，
则??q2＝4，得q＝±2.由(±2)n－1＝16，得n＝5.
8.
解析 设三边为a，aq，aq2 (q>1)，则(aq2)2＝(aq)2＋a2，
∴q2＝.较小锐角记为θ，则sin θ＝＝.
9．解 由题意可列关系式：
②÷①得：q(1－q)＝＝，∴q＝，
∴a1＝＝＝96.
又∵a6＝a1q5＝96×＝3，∴a5，a7的等比中项为3.
2.3.2 等比数列的前n项和(一)
自主学习
知识梳理
1．等比数列前n项和公式
(1)公式：Sn＝.
(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q＝1的情况．
2．等比数列前n项和的一个常用性质
在等比数列中，若等比数列{an}的公比为q，当q＝－1，且m为偶数时，Sm＝S2m＝S3m＝0，此时Sm、S2m－Sm、S3m－S2m不成等比数列；当q≠－1或m为奇数时，Sm、S2m－Sm、S3m－S2m成等比数列．
3．推导等比数列前n项和的方法叫____________法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和．
自主探究
阅读教材后，完成下面等比数列前n项和公式的推导过程．
方法一：设等比数列a1，a2，a3，…，an，…，它的前n项和是Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an.
由等比数列的通项公式可将Sn写成
Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1.①
①式两边同乘以q得
qSn＝____________________________________.②
①－②，得(1－q)Sn＝____________，由此得q≠1时，
Sn＝________________，因为an＝____________，所以上式可化为Sn＝________________.当q＝1时，Sn＝____________.
方法二：由等比数列的定义知
＝＝…＝＝q.
当q≠1时，
＝q，即＝q.
故Sn＝________________.
当q＝1时，Sn＝________________.
方法三：Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1
＝a1＋q(a1＋a1q＋…＋a1qn－2)
＝a1＋qSn－1＝a1＋q(Sn－an)
当q≠1时，Sn＝________________＝________________.
当q＝1时，Sn＝________________.
对点讲练
知识点一 等比数列前n项和的计算
例1 在等比数列{an}中，S3＝，S6＝，求an.
总结 涉及等比数列前n项和时，要先判断q＝1是否成立，防止因漏掉q＝1而出错．
变式训练1 在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a3an－2＝128，Sn＝126，求n和q.
知识点二 利用等比数列前n项和的性质解题
例2 在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.
总结 通过两种解法比较，可看出，利用等比数列前n项和的性质解题，思路清晰，过程较为简捷．
变式训练2 等比数列的前n项和为Sn，若S10＝10，S20＝30，S60＝630，求S70的值．
知识点三 错位相减法的应用
例3 求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn (x≠0)．
总结 一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{anbn}的前n项和时，可采用这一思路和方法．
变式训练3 求数列1,3a,5a2,7a3，…，(2n－1)·an－1的前n项和．
1．在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”．
2．前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况．
3．教材中的推导方法叫做错位相减法，这种方法是我们应该掌握的重要方法之一．它适合数列{anbn}的求和，其中{an}代表等差数列，{bn}代表等比数列，即一个等差数列与一个等比数列对应项的乘积构成的新数列的求和可用此法.
课时作业
一、选择题
1．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}前7项的和为( )
A．63 B．64 C．127 D．128
2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2，S6＝18，则等于( )
A．－3 B．5 C．－31 D．33
3．已知公比为q (q≠1)的等比数列{an}的前n项和为Sn，则数列的前n项和为( )
A. B.
C. D.
4．在等比数列{an}中，公比q是整数，a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，则此数列的前8项和为( )
A．514 B．513
C．512 D．510
5．在等比数列中，S30＝13S10，S10＋S30＝140，则S20等于( )
A．90 B．70 C．40 D．30
二、填空题
6．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则＝________.
7．若等比数列{an}中，a1＝1，an＝－512，前n项和为Sn＝－341，则n的值是________．
8．如果数列{an}的前n项和Sn＝2an－1，则此数列的通项公式an＝________.
三、解答题
9．设等比数列{an}的公比q<1，前n项和为Sn.已知a3＝2，S4＝5S2，求{an}的通项公式．
2．3.2 等比数列的前n项和(一)
知识梳理
1．(1) na1
3．错位相减
自主探究
a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn－1＋a1qn a1－a1qn a1qn－1 na1 na1
na1
对点讲练
例1 解 由已知S6≠2S3，则q≠1，又S3＝，S6＝，即
②÷①得1＋q3＝9，
∴q＝2.可求得a1＝，因此an＝a1qn－1＝2n－2.
变式训练1 解 ∵a3·an－2＝a1·an，∴a1an＝128，
解方程组
得①或②
将①代入Sn＝，可得q＝，
由an＝a1qn－1可解得n＝6.
将②代入Sn＝，可得q＝2，
由an＝a1qn－1可解得n＝6.故n＝6，q＝或2.
例2 解 方法一 因为S2n≠2Sn，所以q≠1，
由已知得
②÷①得1＋qn＝，即qn＝.③
将③代入①得＝64，
所以S3n＝＝64×＝63.
方法二 因为{an}为等比数列，且q≠1，
所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列，
所以(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，
所以S3n＝＋S2n＝＋60＝63.
变式训练2 解 设b1＝S10，b2＝S20－S10，…，则b7＝S70－S60.
因为S10，S20－S10，S30－S20，…，S70－S60成等比数列，所以b1，b2，…，b7成等比数列，首项为b1＝10，公比为q＝＝＝2.求得b7＝10·26＝640.由S70－S60＝640，
得S70＝1 270.
例3 解 (1)当x＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝.
(2)当x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，
xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1，
∴(1－x)Sn＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1＝－nxn＋1.
∴Sn＝－.
综上可得Sn＝.
变式训练3 解 (1)当a＝0时，Sn＝1.
(2)当a＝1时，数列变为1,3,5,7，…，(2n－1)，
则Sn＝＝n2.
(3)当a≠1且a≠0时，
有Sn＝1＋3a＋5a2＋7a3＋…＋(2n－1)an－1①
aSn＝a＋3a2＋5a3＋7a4＋…＋(2n－1)an②
①－②得Sn－aSn＝1＋2a＋2a2＋2a3＋…＋2an－1－(2n－1)an，
(1－a)Sn＝1－(2n－1)an＋2(a＋a2＋a3＋a4＋…＋an－1)＝1－(2n－1)an＋2·
＝1－(2n－1)an＋，
又1－a≠0，∴Sn＝＋.
综上，Sn＝.
课时作业
1．C [设公比为q，则由a1＝1，a5＝16得a5＝a1q4，
即16＝q4，由q>0，得q＝2.
则S7＝＝＝127.]
2．D [由题意知公比q≠1，＝＝1＋q3＝9，
∴q＝2，＝＝1＋q5＝1＋25＝33.]
3．D [数列也是等比数列，且首项为，公比为，
其前n项和为：＝·＝.]
4．D [由a1＋a4＝18和a2＋a3＝12
得方程组，解得或.
∵q为整数，∴q＝2，a1＝2，S8＝＝29－2＝510.]
5．C [q≠1 (否则S30＝3S10)，由，
得，∴，∴q20＋q10－12＝0.
∴q10＝3，
∴S20＝＝S10(1＋q10)＝10×(1＋3)＝40.]
6.
解析 由等比数列的定义，
S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝＋a2＋a2q＋a2q2，
得＝＋1＋q＋q2＝.
7．10
解析 Sn＝，∴－341＝，∴q＝－2，
又∵an＝a1qn－1，∴－512＝(－2)n－1，∴n＝10.
8．2n－1
解析 当n＝1时，S1＝2a1－1，∴a1＝2a1－1，
∴a1＝1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2an－1)－(2an－1－1)
∴an＝2an－1，∴{an}是等比数列，∴an＝2n－1，n∈N*.
9．解 方法一 由已知a1≠0，Sn＝，
则
由②得1－q4＝5(1－q2)．∴(q2－4)(q2－1)＝0.
又q<1.∴q＝－1或q＝－2.
当q＝－1时，a1＝2，an＝2×(－1)n－1.
当q＝－2时，a1＝，an＝×(－2)n－1.
方法二 ∵S4＝5S2，∴a1＋a2＋a3＋a4＝5(a1＋a2)．
∴a3＋a4＝4(a1＋a2)．
(1)当a1＋a2＝0，即a2＝－a1，
即q＝－1时，a3＋a4＝0适合；
∵a3＝2，∴a1＝＝2，∴an＝2×(－1)n－1.
(2)当a1＋a2≠0时，＝4.即q2＝4.又q<1，∴q＝－2，a1＝＝，此时，an＝×(－2)n－1.
2.3.2 等比数列的前n项和(二)
自主学习
知识梳理
1．等比数列{an}的前n项和为Sn，当公比q≠1时，Sn＝________________＝____________；当q＝1时，Sn＝________.
2．等比数列前n项和的性质
(1)连续m项的和(如Sm、S2m－Sm、S3m－S2m)，仍构成________数列．(注意：q≠－1或m为奇数)
(2)Sm＋n＝Sm＋qmSn(q为数列{an}的公比)．
(3)若{an}是项数为偶数、公比为q的等比数列，则＝________.
3．若{an}是等比数列，且公比q≠1，则前n项和Sn＝(1－qn)＝A(qn－1)．其中A＝________.
4．解决等比数列的前n项和的实际应用问题，关键是在实际问题中建立等比数列模型．
自主探究
利用等比数列前n项公式证明an＋an－1b＋an－2b2＋…＋bn＝，其中n∈N*a，b是不为0的常数，且a≠b.
对点讲练
知识点一 等比数列前n项和的证明问题
例1 设{an}是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和，证明：>log0.5Sn＋1.
总结 本题关键是证明Sn·Sn＋2变式训练1 已知等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别为Sn，S2n，S3n.
求证：S＋S＝Sn(S2n＋S3n)．
知识点二 等比数列前n项和的实际应用
例2 为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2010年开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.
(1)以2010年为第一年，设第n年出口量为an吨，试求an的表达式；
(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2010年最多出口多少吨？(保留一位小数)
参考数据：0.910≈0.35.
总结 本题建立等比数列的模型及弄清项数是关键，运算中往往要运用指数或对数不等式，常需要查表或依据题设中所给参考数据进行近似计算，对其结果要按照要求保留一定的精确度．
变式训练2
一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m吗？
知识点三 等差数列、等比数列的综合问题
例3 设{an}是等差数列，bn＝an，已知：b1＋b2＋b3＝，b1b2b3＝，求等差数列的通项an.
总结 (1)一般地，如果{an}是等差数列，公差为d，且cn＝can (c>0且c≠1)，那么数列{cn}是等比数列，公比q＝cd.
(2)一般地，如果{an}是各项为正数的等比数列，公比为q，且cn＝logaan(a>0且a≠1)，那么数列{cn}为等差数列，公差d＝logaq.
变式训练3 在等比数列{an}中，an>0 (n∈N*)，公比q∈(0,1)，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，又a3与a5的等比中项为2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log2 an，数列{bn}的前n项和为Sn，当＋＋…＋最大时，求n的值．
1．深刻理解等差(比)数列的性质，熟悉它们的推导过程是解题的关键．两类数列的性质既有类似的部分，又有区别，要在应用中加强记忆．同样，用好其性质也会降低解题的运算量，从而减少错误．
2．在等差数列与等比数列中，经常要根据条件列方程(组)求解，在解方程时，仔细体会两种情形中解方程组的方法的不同之处．
3．利用等比数列解决实际问题，关键是构建等比数列模型．要确定a1与项数n的实际含义，同时要搞清是求an还是求Sn的问题.
课时作业
一、选择题
1．某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为( )
A．1.14a B．1.15a
C．10(1.15－1)a D．11(1.15－1)a
2．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则a＋a＋…＋a等于( )
A．(2n－1)2 B.(2n－1)2
C．4n－1 D.(4n－1)
3．一弹性球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( )
A．300米 B．299米
C．199米 D．166米
4．若等比数列{an}的公比q>0，且q≠1，又a1<0，那么( )
A．a2＋a6>a3＋a5
B．a2＋a6C．a2＋a6＝a3＋a5
D．a2＋a6与a3＋a5的大小不确定
5．在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋a3＝6，a2＋a3＋a4＝－3，则a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8等于( )
A. B. C. D.
二、填空题
6．若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝______.
7．如果b是a，c的等差中项，y是x与z的等比中项，且x，y，z都是正数，则(b－c)logmx＋(c－a)logmy＋(a－b)logmz＝______.
8．等比数列{an}的首项a1＝511，公比q＝，记Cn＝a1·a2·a3·…·an，则当Cn达到最大时，n的值是________．
三、解答题
9．有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项和为21，中间两项和为18，求这四个数．
10．从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.
(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an，bn的表达式；
(2)至少经过多少年旅游业的总收入才能超过总投入？
2．3.2 等比数列的前n项和(二)
知识梳理
1. na1
2．)(1)等比 (3)q
3.
自主探究
证明 ∵a≠0，b≠0，a≠b，∴≠1.
∴左端＝an＋an－1b＋an－2b2＋…＋bn
＝an＝＝＝＝右端．
∴an＋an－1b＋an－2b2＋…＋bn＝.
对点讲练
例1 证明 设{an}的公比为q，由题设知a1>0，q>0，
当q＝1时，Sn＝na1，从而Sn·Sn＋2－S
＝na1·(n＋2)a1－(n＋1)2a＝－a<0.
当q≠1时，Sn＝，
从而Sn·Sn＋2－S
＝－＝－aqn<0.
综上知，Sn·Sn＋2∴log0.5(Sn·Sn＋2)>log0.5S.
即>log0.5Sn＋1.
变式训练1 证明 方法一 设此等比数列的公比为q，首项为a1，
当q＝1时，则Sn＝na1，S2n＝2na1，S3n＝3na1，
S＋S＝n2a＋4n2a＝5n2a，
Sn(S2n＋S3n)＝na1(2na1＋3na1)＝5n2a，
∴S＋S＝Sn(S2n＋S3n)．
当q≠1时，则Sn＝(1－qn)，
S2n＝(1－q2n)，S3n＝(1－q3n)，
∴S＋S＝2·[(1－qn)2＋(1－q2n)2]
＝2·(1－qn)2·(2＋2qn＋q2n)．
又Sn(S2n＋S3n)＝2·(1－qn)2·(2＋2qn＋q2n)，
∴S＋S＝Sn(S2n＋S3n)．
方法二 根据等比数列性质，
有S2n＝Sn＋qnSn＝Sn(1＋qn)，S3n＝Sn＋qnSn＋q2nSn，
∴S＋S＝S＋[Sn(1＋qn)]2＝S(2＋2qn＋q2n)，
Sn(S2n＋S3n)＝S(2＋2qn＋q2n)．
∴S＋S＝Sn(S2n＋S3n)．
例2 解 (1)由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项a1＝a，公比q＝1－10%＝0.9，∴an＝a·0.9n－1 (n≥1)．
(2)10年的出口总量S10＝＝10a(1－0.910)．
∵S10≤80，∴10a(1－0.910)≤80，即a≤，
∴a≤12.3.故2010年最多出口12.3吨．
变式训练2 解 用an表示热气球在第n分钟上升的高度，由题意，得an＋1＝an，
因此，数列{an}是首项a1＝25，公比q＝的等比数列．
热气球在前n分钟内上升的总高度为：
Sn＝a1＋a2＋…＋an＝
＝＝125×<125.
故这个热气球上升的高度不可能超过125 m.
例3 解 设等差数列{an}的公差为d，
则＝＝an＋1－an＝d.
∴数列{bn}是等比数列，公比q＝d.
∴b1b2b3＝b＝，∴b2＝.
∴，解得或.
当时，q2＝16，∴q＝4(q＝－4<0舍去)
此时，bn＝b1qn－1＝·4n－1＝22n－5.
由bn＝5－2n＝an，∴an＝5－2n.
当时，q2＝，∴q＝
此时，bn＝b1qn－1＝2·n－1＝2n－3＝an，
∴an＝2n－3.
综上所述，an＝5－2n或an＝2n－3.
变式训练3 解 (1)∵a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，
∴a＋2a3a5＋a＝25，
又an>0，∴a3＋a5＝5.又a3与a5的等比中项为2，
∴a3a5＝4，而q∈(0,1)，∴a3>a5，∴a3＝4，a5＝1.
∴q＝，a1＝16，
∴an＝16×n－1＝25－n.
(2)bn＝log2 an＝5－n，∴bn＋1－bn＝－1，
∴{bn}是以b1＝4为首项，－1为公差的等差数列，
∴Sn＝，∴＝，
∴当n≤8时，>0；当n＝9时，＝0；当n>9时，<0.
∴当n＝8或9时，＋＋＋…＋最大．
课时作业
1．D [注意去年产值为a，今年起5年内各年的产值分别为1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a.
∴1.1a＋1.12a＋1.13a＋1.14a＋1.15a＝11a(1.15－1)．]
2．D [易知{an}为等比数列且an＝2n－1.
∴{a}也是等比数列，a＝1，公比为4.
∴a＋a＋…＋a＝＝(4n－1)．]
3．A [小球10次着地共经过100＋100＋50＋…＋100×8＝299≈300.]
4．B [(a2＋a6)－(a3＋a5)＝a1(q＋q5)－a1(q2＋q4)
＝a1q(q4－q3－q＋1)＝a1q(q－1)2(q2＋q＋1)
∵a1<0，q>0且q≠1，q2＋q＋1>0，
∴a1q(q－1)2(q2＋q＋1)<0，∴a2＋a65．A
6．－
解析 显然q≠1，此时应有Sn＝A(qn－1)，
又Sn＝·3n＋t，∴t＝－.
7．0
解析 ∵a，b，c成等差数列，设公差为d，
则(b－c)logmx＋(c－a)logmy＋(a－b)logmz
＝－dlogmx＋2dlogmy－dlogmz
＝dlogm＝dlogm1＝0.
8．9
解析 由an＝511×n－1>1，解得n≤9.
即a1>a2>…>a9>1>a10>a11>….∴当n＝9时，Cn最大．
9．解 设这四个数分别为x，y,18－y,21－x，则由题意得，
解得，或.
故所求的四个数为3,6,12,18或，，，.
10．解 (1)第一年投入为800万元，
第二年投入为800×万元，…，
第n年投入为800×n－1万元．
所以n年内总投入为：
an＝800＋800×＋…＋800×n－1
＝800×
＝4 000×.
第一年旅游业收入为400万元，第二年旅游业收入为400×万元，…，第n年旅游业收入为400×n－1万元，所以n年内的旅游业总收入为：
bn＝400＋400×＋…＋400×n－1
＝400×＝1 600×.
(2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，则bn－an>0，即
1 600×－4 000×>0，
化简得：2n＋5n－7>0，
设x＝n，则5x2－7x＋2>0，解得x<或x>1，
∵n≥1，∴x＝n<1，
∴x>1(舍去)，
即n<，由此得n≥5.
∴至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入．
本章回顾
两种数列的基本公式及性质
等差数列{an}
等比数列{an}
定义
an＋1－an＝d (d为常数)
等价形式an＋1＋an－1＝2an
＝q (q≠0)(q为常数)
等价形式an＋1·an－1＝a (an≠0)
通项公式
an＝a1＋(n－1)d
变形：an＝am＋(n－m)d
an＝a1·qn－1
变形：an＝am·qn－m
中项
a，A，b成等差数列?A＝
(A称为a，b的等差中项)
a，G，b成等比数列?G＝± (ab>0)
(G称为a，b的等比中项)
前n项和公式
Sn＝na1＋d＝
q＝1时，Sn＝na1
q≠1时，Sn＝＝
基本性质
若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq
若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq
若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap
若m＋n＝2p，则am·an＝a
{an}是常数列?d＝0
{an}是常数列?q＝1
{an}递增?d>0
{an}递增?或
{an}递减?d<0
{an}递减?或
Sm、S2m－Sm、S3m－S2m成等差数列
Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等比数列
(q≠－1或m为奇数)
若项的下标成等差数列，则相应的项成等差数列
若项的下标成等差数列，则相应的项成等比数列
若{an}，{bn}成等差数列，则{an＋bn}，{an－bn}成等差数列
{an}，{bn}成等比数列，则，，{an·bn}成等比数列
一、取倒数法和取对数法求通项
例1 已知数列{an}满足an＋1＝，a1＝2.求an.
解 对an＋1＝两边取倒数得：
＝，
∴＝＋n＋1.
令bn＝，则bn＋1＝bn＋n＋1.
∴bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)
＝1＋2＋3＋…＋n
＝1－n.
∴an＝＝＝.
例2 在数列{an}中，an＋1＝3a，a1＝3.求an.
解 由已知，an>0，对an＋1＝3a两边取常用对数得：lg an＋1＝2lg an＋lg 3.
令bn＝lg an.则bn＋1＝2bn＋lg 3.
∴bn＋1＋lg 3＝2(bn＋lg 3)．
∴{bn＋lg 3}是等比数列，
首项是b1＋lg 3＝lg 3＋lg 3＝2lg 3.
∴bn＋lg 3＝2n－1·(b1＋lg 3)＝2nlg 3.
∴bn＝(2n－1)lg 3＝lg 32n－1＝lg an.
∴an＝32n－1.
二、运用恒等变形求数列前n项和
例3 已知数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意的n∈N*满足2Sn＝3an－3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}的通项公式是bn＝，前n项和为Tn，求证：对于任意的正数n，总有Tn<1.
(1)解 由已知得 (n≥2)．
故2(Sn－Sn－1)＝2an＝3an－3an－1，
即an＝3an－1 (n≥2)．
故数列{an}为等比数列，且q＝3.
又当n＝1时，2a1＝3a1－3，
∴a1＝3.∴an＝3n.
(2)证明 bn＝＝－.
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝＋＋…＋
＝1－<1.
例4 已知数列{an}的前n项和Sn，对一切正整数n，点(n，Sn)都在函数f(x)＝2x＋2－4的图象上．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝an·log2an，求数列{bn}的前n项和Tn.
解 (1)由题意，Sn＝2n＋2－4，
n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋2－2n＋1＝2n＋1，
当n＝1时，a1＝S1＝23－4＝4，也适合上式，
∴数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，n∈N*.
(2)∵bn＝anlog2an＝(n＋1)·2n＋1，
∴Tn＝2·22＋3·23＋4·24＋…＋n·2n＋(n＋1)·2n＋1，①
2Tn＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋n·2n＋1＋
(n＋1)·2n＋2.②
②－①得，
Tn＝－23－23－24－25－…－2n＋1＋(n＋1)·2n＋2
＝－23－＋(n＋1)·2n＋2
＝－23－23(2n－1－1)＋(n＋1)·2n＋2
＝(n＋1)·2n＋2－23·2n－1
＝(n＋1)·2n＋2－2n＋2＝n·2n＋2.
三、运用方程(组)的思想解数列问题
例5 等差数列{an}中，a4＝10，且a3，a6，a10成等比数列，求数列{an}前20项的和S20.
解 设数列{an}的公差为d，
则a3＝a4－d＝10－d，a6＝a4＋2d＝10＋2d，
a10＝a4＋6d＝10＋6d.
由a3，a6，a10成等比数列得a3a10＝a，
即(10－d)(10＋6d)＝(10＋2d)2，
整理得10d2－10d＝0，解得d＝0或d＝1.
当d＝0时，S20＝20a4＝200.
当d＝1时，a1＝a4－3d＝10－3×1＝7.
∴S20＝20a1＋d＝20×7＋190＝330.
例6 已知数列{an}和{bn}满足a1＝m，an＋1＝λan＋n，bn＝an－＋.
(1)当m＝1时，求证：对于任意的实数λ，数列{an}一定不是等差数列；
(2)当λ＝－时，试判断数列{bn}是否为等比数列．
(1)证明 当m＝1时，
a1＝1，a2＝λ＋1，a3＝λ(λ＋1)＋2＝λ2＋λ＋2.
假设数列{an}是等差数列，由a1＋a3＝2a2，
得λ2＋λ＋3＝2(λ＋1)，
即λ2－λ＋1＝0，Δ＝－3<0，∴方程无实根．
故对于任意的实数λ，数列{an}一定不是等差数列．
(2)解 当λ＝－时，
an＋1＝－an＋n，bn＝an－＋.
bn＋1＝an＋1－＋
＝－＋
＝－an＋－
＝－＝－bn.
又b1＝m－＋＝m－，
∴当m≠时，数列{bn}是以m－为首项，－为公比的等比数列；
当m＝时，数列{bn}不是等比数列．
四、运用函数的思想解数列问题
例7 设bn＝(1＋r)qn－1，r＝219.2－1，q＝，求数列的最大项和最小项的值．
解 ＝
＝＝1＋.
记cn＝，则cn＝1＋.
作出函数y＝＋1的图象．
易知：c20c22>…>1.
∴最高点为(21，c21)，最低点(20，c20)．
∴最大项为c21，c21＝2.25，最小项为c20，c20＝－4.
五、构建数列模型解实际应用题
例8 甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额为a万元，由于经营方式不同，甲超市前n年的总销售额为(n2－n＋2)万元，乙超市第n年的销售额比前一年销售额多an－1万元
(1)求甲、乙两超市第n年销售额的表达式；
(2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，将会出现在第几年？
解 (1)设甲、乙两超市第n年的销售额分别为an，bn.
则有：a1＝a，n≥2时：
an＝(n2－n＋2)－[(n－1)2－(n－1)＋2]
＝(n－1)a.
∴an＝
bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)
＝a＋a＋a2＋…＋an－1
＝a，(n∈N*)．
(2)易知bn<3a，所以乙将被甲超市收购，
由bn<an得：a<(n－1)a.
∴n＋4n－1>7，∴n≥7.
即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购．
例9 某油料库已储油料a t，计划正式运营后的第一年进油量为已储油量的25%，以后每年的进油量为上一年底储油量的25%，且每年运出b t，设an为正式运营第n年底的储油量．
(1)求an的表达式并加以证明；
(2)为应对突发事件，该油库年底储油量不得少于a t，如果b＝a t，该油库能否长期按计划运营？如果可以请加以证明，如果不行请说明理由．(取lg 2＝0.30，lg 3＝0.48)．
解 (1)依题意油库原有储油量为a t，则
a1＝(1＋25%)a－b＝a－b，
an＝(1＋25%)an－1－b＝an－1－b (n≥2，n∈N*)，
令an－x＝(an－1－x)，则an＝an－1－，
于是b＝，即x＝4b，∴an－4b＝(an－1－4b)，
∴数列{an－4b}是公比为，首项为a－5b的等比数列．
an－4b＝(a1－4b)n－1
＝n－1
＝na－5b·n－1，
∴an＝na＋4b－5bn－1
＝na－4b.
(2)若b＝a t时，该油库第n年年底储油量不少于a t，即na－×4×a≥a，
即n≤3，
∴n≤log 3＝＝＝4.8，
可见该油库只能在5年内运营，因此不能长期运营．
1．等差数列性质多，三点共线可求和
例1 在等差数列{an}中，S10＝20，S50＝200，求S2 010的值．
解 由Sn＝An2＋Bn，知＝An＋B，所以点在直线y＝Ax＋B上，于是点，，三点共线，
∴＝成立．
把S10＝20，S50＝200代入上式，
解得：S2 010＝205 020.
2．数列图象莫轻视，大题小作显神奇
例2 设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1>0，S12>0，S13<0，指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大，并说明理由？
解 ∵{an}是等差数列，∴Sn＝n2＋n，
∵S12>0，S13<0.∴a13＝S13－S12<0，
∵a1>0，a13<0，∴d<0.
∴点(n，Sn)分布在开口方向向下的抛物线y＝x2＋x的图象上．
设二次函数y＝x2＋x的对称轴为n0，则2n0是二次函数的一个零点．
∵S12>0，S13<0，
∴12<2n0<13，
∴6易知n＝6对应的A点(6，S6)与对称轴的距离比n＝7对应的B点(7，S7)与对称轴的距离更小．
∴A点为最高点，S6最大．
