第三章 不等式
§3.1 不等关系与不等式
自主学习
知识梳理
1．比较实数a，b的大小
(1)文字叙述
如果a－b是正数，那么a________b；如果a－b为______，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a______b，反之也成立．
(2)符号表示
a－b>0?a________b；a－b＝0?a________b；a－b<0?a________b.
2．常用的不等式的基本性质
(1)a>b?b________a(对称性)；
(2)a>b，b>c?a________c(传递性)；
(3)a>b?a＋c________b＋c(可加性)；
(4)a>b，c>0?ac______bc；a>b，c<0?ac______bc；
(5)a>b，c>d?a＋c________b＋d；
(6)a>b>0，c>d>0?ac________bd；
(7)a>b>0，n∈N，n≥2?an________bn；
(8)a>b>0，n∈N，n≥2?________.
自主探究
已知a>0，如何比较a与的大小．
对点讲练
知识点一 不等式的性质及运用
例1 a、b、c为实数，判断下列语句是否正确．
(1)若a>b，则ac
(2)若ac2>bc2，则a>b；
(3)若aab>b2；
(4)若c>a>b>0，则>；
(5)若a>b，>，则a>0，b<0.
总结 在不等式的各性质中，乘法的性质极易出错，即在不等式两边同乘或除以一个数时，必须要确定该数是正数、负数或零，否则结论就不确定．
变式训练1 判断下列各语句是否正确，并说明理由．
(1)若<且c>0，则a>b；
(2)若a>b>0且c>d>0，则 > ；
(3)若a>b，ab≠0，则<；
(4)若a>b，c>d，则ac>bd.
知识点二 利用不等式的性质求取值范围
例2 已知12总结 求含字母的数或式的取值范围时，一要注意题设中的条件，二要正确使用不等式的性质求解，本例极易犯同向不等式相减或相除的错误：12变式训练2 已知－≤α<β≤，求，的取值范围．
知识点三 比较两实数的大小
例3 (1)比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小；
(2)设x，y，z∈R，比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小．
总结 作差后变形是比较大小的关键一环，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式．
变式训练3 比较x6＋1与x4＋x2的大小，其中x∈R.
1．比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了．
a－b>0?a>b；a－b＝0?a＝b；a－b<0?a2．作差法比较的一般步骤
第一步：作差；
第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”；
第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0.(不确定的要分情况讨论)
最后得结论．
概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．
3．不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依性质进行，千万不可想当然.
课时作业
一、选择题
1．若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是( )
A.< B．a2>b2
C.> D．a|c|>b|c|
2．已知a、b为非零实数，且aA．a2C.< D.<
3．已知a1、a2∈(0,1)．记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是( )
A．MN
C．M＝N D．不确定
4．若a>0且a≠1，M＝loga(a3＋1)，N＝loga(a2＋1)，则M，N的大小关系为( )
A．MN D．M≥N
5．若a>b>c且a＋b＋c＝0，则下列不等式中正确的是( )
A．ab>ac B．ac>bc
C．a|b|>c|b| D．a2>b2>c2
二、填空题
6．若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a－b的取值范围是________．
7．若x∈R，则与的大小关系为________．
8．设n>1，n∈N，A＝－，B＝－，则A与B的大小关系为________．
三、解答题
9．设a>b>0，试比较与的大小．
10．设f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，其中x＞0且x≠1，试比较f(x)与g(x)的大小．
第三章 不等式
§3.1 不等关系与不等式
知识梳理
1．(1)> 0 < (2)> ＝ <
2．(1)< (2)> (3)> (4)>；< (5)> (6)> (7)> (8)>
自主探究
解 作差比较大小，注意对a分类讨论．
∵a－＝＝
∴当a>1时，>0，∴a>；
当a＝1时，＝0，∴a＝；
当0对点讲练
例1 解 (1)c是正、负或为零未知，因而缺少判断ac与bc的大小依据，错误．
(2)由ac2>bc2知c≠0，∴c2>0，∴a>b，正确．
(3)?a2>ab；又?ab>b2，∴a2>ab>b2，正确．
(4)∵a>b>0，∴－a<－b，∴c－a又∵c>a>b>0，∴>0，在c－a>0，又a>b>0，
∴>，正确．
(5)由已知条件知a>b?a－b>0，
又>?－>0?>0，
∵a－b>0，∴b－a<0，∴ab<0.
又a>b，∴a>0，b<0，正确．
变式训练1 解 (1)?<，但推不出a>b，(1)错．
(2)?>>0? > 成立，(2)对．
(3)错．例如，当a＝1，b＝－1时，不成立．
(4)错．例如，当a＝c＝1，b＝d＝－2时，不成立．
例2 解 ∵15∴12－36又<<，∴<<，∴<<4.
∴－24变式训练2 解 ∵－≤α<β≤，
∴－≤<，－<≤.
上面两式相加得：－<<.
∵－<≤，∴－≤－<，
∴－≤<.
又知α<β，∴α－β<0，故－≤<0.
综上，－<<，－≤<0.
例3 解 (1)∵(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)
＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7<0.
∴(a＋3)(a－5)<(a＋2)(a－4)．
(2)∵5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)
＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1
＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0
∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，当且仅当x＝y＝且z＝1时取等号．
变式训练3 解 x6＋1－(x4＋x2)＝x6－x4－x2＋1
＝x4(x2－1)－(x2－1)＝(x2－1)(x4－1)
＝(x2－1)2(x2＋1)≥0.
∴当x＝±1时，x6＋1＝x4＋x2；
当x≠±1时，x6＋1>x4＋x2.
综上所述，x6＋1≥x4＋x2，
当且仅当x＝±1时取等号．
课时作业
1．C [对A，若a>b，b<0，则>0，<0，
此时>，∴A不成立；
对B，若a＝1，b＝－2，则a2对C，∵c2＋1≥1，且a>b，∴>恒成立，
∴C正确；
对D，当c＝0时，a|c|＝b|c|，∴D不成立．]
2．C [对于A，在a对于B，当a<0，b>0时，a2b>0，ab2<0，a2b对于C，∵a0，
∴－＝<0，
∴<；
对于D，当a＝－1，b＝1时，＝＝－1.]
3．B [M－N＝a1a2－a1－a2＋1＝(1－a1)(1－a2)>0，
∴M>N，∴选B.也可用特殊值法：取a1＝a2＝∈(0,1)
则M＝，N＝0.∴M>N.]
4．C [当a>1时，a3＋1>a2＋1，此时，y＝loga x为R＋上的增函数，∴loga(a3＋1)>loga(a2＋1)，
当0loga(a2＋1)，
∴a>0且a≠1时，总有M>N.]
5．A [由a>b>c及a＋b＋c＝0知a>0，c<0，?ab>ac.]
6．[－1,6]
解析 ∵－1≤b≤2，∴－2≤－b≤1，又1≤a≤5.
∴－1≤a－b≤6.
7.≤
解析 －＝＝≤0.
∴≤.
8．A>B
解析 A＝，B＝
∵＋<＋，并且都为正数．
∴A>B.
9．解 方法一 作差法
∵－＝
＝＝
∵a>b>0，∴a＋b>0，a－b>0,2ab>0.
∴>0，∴>.
方法二 作商法
∵a>b>0，∴>0，>0.
∴＝＝＝1＋>1.
∴>.
10．解 f(x)－g(x)＝1＋logx3－2logx2＝logx，
①当或
即1＜x＜时，logx＜0，∴f(x)＜g(x)；
②当＝1，即x＝时，logx＝0，
即f(x)＝g(x)；
③当或
即0＜x＜1，或x＞时，logx＞0，即f(x)＞g(x)．
综上所述，当1＜x＜时，f(x)＜g(x)；
当x＝时，f(x)＝g(x)；
当0＜x＜1，或x＞时，f(x)＞g(x)．
§3.2 均值不等式(一)
自主学习
知识梳理
1．如果a，b∈R，那么a2＋b2______2ab(当且仅当________时取“＝”号)．
2．若a，b都为________数，那么________(当且仅当a________b时，等号成立)，称上述不等式为________不等式，其中________称为a，b的算术平均值，________称为a，b的几何平均值．
3．均值不等式的常用推论
(1)ab≤2≤ (a，b∈R)；
(2)当x>0时，x＋≥________；
当x<0时，x＋≤________.
(3)当ab>0时，＋≥________；
当ab<0时，＋≤________.
(4)a2＋b2＋c2________ab＋bc＋ca，(a，b，c∈R)．
自主探究
1.
下面是均值不等式≤的一种几何解释，请你补充完整．
如图所示，AB为⊙O的直径，AC＝a，CB＝b，过点C作CD⊥AB交⊙O上半圆于D，连结AD，BD.由射影定理可知，CD＝__________，而OD＝__________，因为OD________CD，所以________，当且仅当C与O________，即________时，等号成立．
2．当a>0，b>0时，≤≤≤ 这是一条重要的均值不等式链，请你给出证明．
对点讲练
知识点一 利用均值不等式比较大小
例1 已知正数0A．a2＋b2 B．2 C．2ab D．a＋b
总结 (1)大小比较除了用比较法，也可利用已知的不等式．(2)本题是选择题，因此也可以采用赋值法，取特殊值解决．
变式训练1 设0A. B．b C．2ab D．a2＋b2
知识点二 利用均值不等式证明不等式
例2 设a、b、c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.
总结 在利用均值不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用均值不等式．
变式训练2 已知a，b，c为不等正实数，且abc＝1.
求证：＋＋<＋＋.
知识点三 利用均值不等式解含参数问题
例3 a>b>c，n∈M且＋≥，求n的最大值．
总结 解决恒成立问题时，常用分离参数的方法求出参数的取值范围．
变式训练3 已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为( )
A．8 B．6 C．4 D．2
1．设a，b是两个正实数，用min(a，b)表示a，b中的较小的数，用max(a，b)表示a，b中的较大的数，则有min(a，b)≤≤≤≤ ≤max(a，b)．当且仅当a＝b时，取到等号．
2．两个不等式a2＋b2≥2ab与≥都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取‘＝’号”这句话的含义要有正确的理解．
一方面：当a＝b时，＝；另一方面：当＝时，也有a＝b.
课时作业
一、选择题
1．已知a>0，b>0，则，， ，中最小的是( )
A. B. C. D.
2．已知m＝a＋ (a>2)，n＝x2－2 (x<0)，则m、n之间的大小关系是( )
A．m>n B．m3．设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有( )
A．1≤ab≤ B．ab<1<
C．ab<<1 D.4．若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈恒成立，则a的最小值为( )
A．0 B．－2 C．－ D．－3
5．如果正数a，b，c，d满足a＋b＝cd＝4，那么( )
A．ab≤c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一
B．ab≥c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一
C．ab≤c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一
D．ab≥c＋d，且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一
二、填空题
6．若lg x＋lg y＝1，则＋的最小值为________．
7．若a<1，则a＋有最______值，为________．
8．设正数x，y满足＋≤a·恒成立，则a的最小值是______．
三、解答题
9．已知a、b、c都是实数，求证：a2＋b2＋c2≥.
10．已知x>y>0，xy＝1，求证：≥2.
§3.2 均值不等式(一)
知识梳理
1．≥ a＝b
2．正 ≥ ＝ 均值
3．(2)2 －2 (3)2 －2 (4)≥
自主探究
1. ≥ ≥ 重合 a＝b
2．证明 由于≤成立，只须证明
≥和 ≥成立即可．
∵－＝－＝
＝＝≥0
∴ ≥，即≤.
∵2－2＝－
＝＝＝≥0.
∴ ≥，即≤ .
所以≤ ≤≤ .
对点讲练
例1 D [因为a、b∈(0,1)，a≠b，所以a＋b>2，a2＋b2>2ab，所以，最大的只能是a2＋b2与a＋b之一．而a2＋b2－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)，又0变式训练1 B [∵ab<2，∴ab<，∴2ab<.
∵>>0，∴ >，∴a2＋b2>.
∵b－(a2＋b2)＝(b－b2)－a2＝b(1－b)－a2＝ab－a2
＝a(b－a)>0，∴b>a2＋b2，∴b最大．]
例2 证明 ∵a、b、c都是正数，∴、、也都是正数．
∴＋≥2c，＋≥2a，＋≥2b，
三式相加得2≥2(a＋b＋c)，
即＋＋≥a＋b＋c.
变式训练2 证明 ∵＋≥2＝2，＋≥2＝2，＋≥2＝2
∴2≥2(＋＋)，
即＋＋≥＋＋.
∵a，b，c不全相等，∴＋＋<＋＋.
例3 解 方法一 ∵＋≥，且a>b>c.
∴n≤＋＝
∵对a、b、c上式都成立，∴n≤min
≥＝4.
∴n≤4，∴n的最大值为4.
方法二 ∵a>b>c，∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4.
∴n≤4，∴n的最大值为4.
变式训练3 C [只需求(x＋y)的最小值大于等于9即可，
又(x＋y)＝1＋a·＋＋a≥a＋1＋2 ＝a＋2 ＋1，等号成立仅当a·＝即可，所以()2＋2 ＋1≥9，
即()2＋2 －8≥0求得≥2或≤－4(舍去)，所以a≥4，即a的最小值为4.]
课时作业
1．D [方法一 特殊值法．
令a＝4，b＝2，则＝3，＝，
＝，＝.∴最小．
方法二 ＝，由≤≤≤ .可知最小．]
2．A [∵m＝(a－2)＋＋2≥2＋2＝4，n＝22－x2<22＝4.∴m>n.]
3．B [∵ab≤2，a≠b，∴ab<1，
又∵>＝1，∴>1，∴ab<1<.]
4．B [x2＋ax＋1≥0在x∈上恒成立
?ax≥－x2－1?a≥max
∵x＋≥2，∴－≤－2，∴a≥－2.]
5．A [∵a＋b≥2，∴ab≤2＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号．
c＋d≥2，
∴c＋d≥2＝4，当且仅当c＝d＝2时取等号．
故c＋d≥ab，当且仅当a＝b＝c＝d＝2时取等号．]
6．2
解析 ∵lg x＋lg y＝1，∴xy＝10，∴＋＝＋≥2.]
7．大 －1
解析 ∵a<1，∴a－1<0，
∴－＝(1－a)＋≥2，
∴a－1＋≤－2，
∴a＋≤－1.
8.
解析 由已知a≥max，
∵≤ 成立，
∴＋≤·
∴max＝，∴a≥.
9．证明 ∵a2＋b2≥2ab①
b2＋c2≥2bc②
c2＋a2≥2ac③
a2＋b2＋c2＝a2＋b2＋c2④
由①＋②＋③＋④得：
3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac
3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2，即a2＋b2＋c2≥.
10．证明 ∵xy＝1
∴＝＝
＝(x－y)＋≥2＝2.
当且仅当，即时取等号．
§3.2 均值不等式(二)
自主学习
知识梳理
1．设x，y为正实数
(1)若x＋y＝s(和s为定值)，则当________时，积xy有最________值为________．
(2)若xy＝p(积p为定值)，则当________时，和x＋y有最________值为________．
2．利用均值不等式求积的最大值或和的最小值时，需满足：
(1)x，y必须是________；
(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为______________；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为________．
(3)等号成立的条件是否满足．
利用均值不等式求最值时，一定要注意三个前提条件，这三个前提条件概括为“一正、二定、三相等”．
自主探究
请探究函数y＝x＋(a>0)在x∈(0，＋∞)上的单调性．并利用该类函数的单调性求函数y＝sin x＋，x∈(0，π)的最小值．
对点讲练
知识点一 利用均值不等式求函数的最值
例1 已知x≥，则f(x)＝有( )
A．最大值 B．最小值 C．最大值1 D．最小值1
总结 本题看似无法使用均值不等式，但对函数式进行分离，便可创造出使用均值不等式的条件．
变式训练1 已知x<，求函数f(x)＝4x－2＋的最大值．
知识点二 利用均值不等式求代数式的最值
例2 已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值．
总结 利用均值不等式求代数式的最值时，经常要对代数式进行变形，配凑出均值不等式满足的条件，同时要注意考察等号成立的条件．
变式训练2 已知正数a，b满足ab＝a＋b＋3.求a＋b的最小值．
知识点三 均值不等式的实际应用
例3 如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．
(1)现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？
总结 涉及不等式的应用时，要首先建立函数关系式，适时巧用均值不等式求其最值．
变式训练3 甲乙两人同时从宿舍到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步；如果两人步行、跑步速度均相同，则谁先到教室？
1．利用均值不等式求最值必须满足“一正、二定、三相等”三个条件，并且和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值．
2．使用均值不等式求最值时，若等号取不到，则考虑用函数单调性求解．
3．解决实际应用问题，关键在于弄清问题的各种数量关系，抽象出数学模型，利用均值不等式解应用题，既要注意条件是否具备，还要注意有关量的实际含义.
课时作业
一、选择题
1．函数y＝log2 (x>1)的最小值为( )
A．－3 B．3 C．4 D．－4
2．已知点P(x，y)在经过A(3,0)，B(1,1)两点的直线上，则2x＋4y的最小值为( )
A．2 B．4 C．16 D．不存在
3．若xy是正数，则2＋2的最小值是( )
A．3 B. C．4 D.
4．若关于x的不等式(1＋k2)x≤k4＋4的解集是M，则对任意实常数k，总有( )
A．2∈M,0∈M B．2?M,0?M
C．2∈M,0?M D．2?M,0∈M
二、填空题
5．建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________元．
6．函数y＝loga(x＋3)－1 (a>0，a≠1)的图象恒过点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为________．
7．周长为＋1的直角三角形面积的最大值为______．
8．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨．
三、解答题
9．求下列函数的最小值．
(1)设x，y都是正数，且＋＝3，求2x＋y的最小值；
(2)设x>－1，求y＝的最小值．
10．某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增，问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)?
§3.2 均值不等式(二)
知识梳理
1．(1)x＝y 大 (2)x＝y 小 2
2．(1)正数 (2)定值 定值
自主探究
证明 当x∈(0，＋∞)时，设x1则y1－y2＝x1＋－x2－
＝(x1－x2)＋＝.
∴当x1、x2∈(0，)时，y1－y2>0，即y1>y2；
当x1、x2∈(，＋∞)时，y1－y2<0，即y1∴y在(0，)上是减函数，在(，＋∞)上是增函数．
若求y＝sin x＋，x∈(0，π)的最小值．
可令t＝sin x∈(0，1]，
则y＝t＋在t∈(0,1]上是减函数．
∴y≥5，当t＝1，即sin x＝1，x＝时取“＝”．
对点讲练
例1 D [f(x)＝＝
＝≥1.
当且仅当x－2＝，即x＝3时等号成立．]
变式训练1 解 因为x<，所以5－4x>0，
所以f(x)＝4x－2＋＝－＋3
≤－2＋3＝－2＋3＝1
当5－4x＝，即x＝1时，f(x)max＝1.
例2 解 方法一 ∵＋＝1，
∴x＋y＝(x＋y)·＝10＋＋.
∵x>0，y>0，∴＋≥2＝6.
当且仅当＝，即y＝3x时，取等号．
又＋＝1，∴x＝4，y＝12.
∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16.
方法二 由＋＝1，得x＝，
∵x>0，y>0，∴y>9.
x＋y＝＋y＝y＋＝y＋＋1
＝(y－9)＋＋10.∵y>9，∴y－9>0，
∴y－9＋＋10≥2＋10＝16，
当且仅当y－9＝，即y＝12时取等号．
又＋＝1，则x＝4，
∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16.
变式训练2 解 方法一 ∵a＋b＋3＝ab≤，
设a＋b＝t，t>0，则t2≥4t＋12.
解得：t≥6 (t≤－2舍去)，∴(a＋b)min＝6.
方法二 ∵ab＝a＋b＋3，∴b＝>0，∴a>1.
∴a＋b＝a＋＝a＋＋1
＝(a－1)＋＋2≥2＋2＝6.
当且仅当a－1＝，即a＝3时，取等号．
例3 解 (1)设每间虎笼长x m，宽为y m，则由条件知：4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.
设每间虎笼面积为S，则S＝xy.
方法一 由于2x＋3y≥2＝2，
∴2≤18，得xy≤，
即S≤，当且仅当2x＝3y时，等号成立．
由解得
故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使面积最大．
方法二 由2x＋3y＝18，得x＝9－y.
∵x>0，∴0S＝xy＝y＝(6－y)·y.
∵00，∴S≤·2＝.
当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.
(2)由条件知S＝xy＝24.设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y.
方法一 ∵2x＋3y≥2＝2＝24，
∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，
当且仅当2x＝3y时，等号成立．
由 解得
故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长最小．
方法二 由xy＝24，得x＝.∴l＝4x＋6y＝＋6y
＝6≥6×2＝48.
当且仅当＝y，即y＝4时，等号成立，此时x＝6.
故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长最小．
变式训练3 解 设路程为s，跑步速度为v1，步行速度为v2，t甲＝＋＝
s＝·v1＋·v2?t乙＝，
∴＝≥＝1.
∴t甲≥t乙，当且仅当v1＝v2时“＝”成立．
由实际情况知v1>v2，∴t甲>t乙．∴乙先到教室．
课时作业
1．B
2．B [∵点P(x，y)在直线AB上，∴x＋2y＝3.
∴2x＋4y≥2＝2＝4.]
3．C [2＋2
＝x2＋y2＋＋＋
＝＋＋
≥1＋1＋2＝4.
当且仅当x＝y＝或x＝y＝－时取等号．]
4．A [∵(1＋k2)x≤k4＋4，∴x≤.
∵＝
＝(1＋k2)＋－2≥2－2.
∴x≤2－2，M＝{x|x≤2－2}，
∴2∈M,0∈M.]
5．1 760
解析 设水池的造价为y元，长方形底的一边长为x m，由于底面积为4 m2，所以另一边长为 m．那么
y＝120·4＋2·80·＝480＋320
≥480＋320·2＝1 760(元)．
当x＝2，即底为边长为2 m的正方形时，水池的造价最低，为1 760元．
6．8
解析 ∵A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上，
∴－2m－n＋1＝0，
即2m＋n＝1，mn>0，∴m>0，n>0.
＋＝＋＝2＋＋＋2
≥4＋2·＝8.
当且仅当＝，即m＝，n＝时等号成立．
故＋的最小值为8.
7.
解析 设直角三角形的两条直角边边长分别为a、b，则＋1＝a＋b＋≥2＋，解得ab≤，当且仅当a＝b＝时取“＝”，所以直角三角形面积S≤，即S的最大值为.
8．20
解析 设一年的总运费与总存储费用之和为y万元，
则y＝×4＋4x＝4≥160万元，
当且仅当x＝，即x＝20时取到最小．
9．解 (1)2x＋y＝＝(2x＋y)
＝≥(2＋4)＝.
当且仅当＝时取“＝”，即y2＝4x2，∴y＝2x.
又∵＋＝3，求出x＝，y＝.
∴2x＋y的最小值为.
(2)∵x>－1，∴x＋1>0，设x＋1＝t>0，
则x＝t－1，
于是有y＝＝
＝t＋＋5≥2＋5＝9，
当且仅当t＝，即t＝2时取等号，此时x＝1.
∴当x＝1时，函数y＝取得最小值为9.
10．解 设使用x年的年平均费用为y万元．
由已知，得y＝，
即y＝1＋＋(x∈N*)．
由均值不等式知y≥1＋2 ＝3，当且仅当＝，即x＝10时取等号．因此使用10年报废最合算，年平均费用为3万元．
§3.3 一元二次不等式及其解法(一)
自主学习
知识梳理
1．一元一次不等式
一元一次不等式经过变形，可以化成ax>b (a≠0)的形式．
(1)若a>0，解集为________________；(2)若a<0，解集为________________．
2．一元二次不等式
一元二次不等式经过变形，可以化成下列两种标准形式：
(1)ax2＋bx＋c>0 (a>0)；(2)ax2＋bx＋c<0 (a>0)．
3．一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系如下表所示：
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集
(－∞，x1)∪(x2，＋∞)
{x|x∈R且x≠－}
R
ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集
{x|x1< x?
?
自主探究
一元二次不等式的解集与一元二次方程根之间存在怎样的关系，并利用这种关系解决下面的问题：已知不等式x2－ax－b<0的解集为{x|2对点讲练
知识点一 一元二次不等式的解法
例1 求下列不等式的解集
(1)－2x2－x＋1>0；
(2)(x2－x－1)(x2－x＋1)>0.
总结 一元二次不等式的解法一般按照“三步曲”：第一步，化二次项的系数为正数；第二步，求解相应的一元二次方程的根；第三步，根据根的情况结合图象写出一元二次不等式的解集．
变式训练1 求下列关于x的不等式的解集．
(1)－x2＋7x>6；
(2)x2－(2m＋1)x＋m2＋m<0.
知识点二 解含参数的一元二次不等式
例2 解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a∈R)．
总结 解含参数的一元二次不等式时要注意对参数分类讨论．讨论一般分为三个层次，第一层次是二次项系数为零和不为零；第二层次是有没有实数根的讨论，即判别式Δ>0，Δ＝0，Δ<0；第三层次是根的大小的讨论．
变式训练2 解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0.
知识点三 一元二次不等式与一元二次方程的关系
例3 若不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为，求关于x的不等式cx2－bx＋a<0的解集．
总结 利用根与系数关系寻找根之间的联系，借此求出方程的根，其中观察根与系数关系的结构变化是解题的关键．
变式训练3 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|α0的解集．
1．解一元二次不等式可按照“一看，二算，三写”的步骤完成，但应注意，当二次项系数为负数时，一般先化为正数再求解，一元二次不等式的解集是一个集合，要写成集合的形式．
2．含参数的一元二次不等式的求解往往要分类讨论，分类标准要明确，表达要有层次，讨论结束后要进行总结．
3．由一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或ax2＋bx＋c<0 (a>0))的解集为{x|xx2}(或{x|x1课时作业
一、选择题
1．不等式－6x2－x＋2≤0的解集是( )
A. B.
C. D.
2．不等式f(x)＝ax2－x－c>0的解集为{x|－23．函数y＝lg(x2－4)＋的定义域是( )
A．(－∞，－2)∪[0，＋∞)
B．(－∞，－6]∪(2，＋∞)
C．(－∞，－2]∪[0，＋∞)
D．(－∞，－6)∪[2，＋∞)
4．若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x的解集为R，则实数m的取值范围是( )
A．(－2,2) B．(－2,2]
C．(－∞，－2)∪[2，＋∞) D．(－∞，2)
5．已知x1、x2是方程x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5＝0(k∈R)的两个实数根，则x＋x的最大值为( )
A．18 B．19 C．5 D．不存在
二、填空题
6．二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分对应点如下表：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
y
6
0
－4
－6
－6
－4
0
6
则不等式ax2＋bx＋c>0的解集是______________．
7．不等式－18．若函数f(x)＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，则实数a的取值范围是________．
三、解答题
9．已知x2＋px＋q<0的解集为，求不等式qx2＋px＋1>0的解集．
10．解关于x的不等式：ax2－2x＋1>0.
§3.3 一元二次不等式及其解法(一)
知识梳理
1．(1) (2)
自主探究
解 一元二次不等式解集的端点值一般是对应的一元二次方程的根．例如本题，方程x2－ax－b＝0的根就是2和3.
∴，∴.
对点讲练
例1 解 (1)由－2x2－x＋1>0，得2x2＋x－1<0，因式分解得(x＋1)(2x－1)<0，
∴－1(2)∵x2－x＋1＝2＋>0，
∴(x2－x－1)(x2－x＋1)>0.
即解不等式x2－x－1>0，由求根公式知
x1＝，x2＝.
∴x2－x－1>0的解集是.
∴原不等式的解集为.
变式训练1 解 (1)∵－x2＋7x>6，∴－x2＋7x－6>0.
∴x2－7x＋6<0，∴(x－1)(x－6)<0.
∴1(2)x2－(2m＋1)x＋m2＋m<0，
因式分解得(x－m)[x－(m＋1)]<0.
∵m即不等式的解集为{x|m例2 解 原不等式移项得ax2＋(a－2)x－2≥0，化简为(x＋1)(ax－2)≥0.
当a＝0时，x≤－1；当a>0时，x≥或x≤－1；
当－2当a＝－2时，x＝－1；
当a<－2时，－1≤x≤.
综上所述，
当a>0时，解集为；
当a＝0时，解集为；
当－2当a＝－2时，解集为；
当a<－2时，解集为.
变式训练2 解 将不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0变形为
(x－a)(x－a2)>0.∵a2－a＝a(a－1)．
∴当a<0或a>1时，aa2}．
当0a}．
当a＝0或1时，解集为{x|x∈R且x≠a}．
综上知，当a<0或a>1时，
不等式的解集为{x|xa2}；
当0a}；
当a＝0或1时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠a}．
例3 解 由ax2＋bx＋c≥0的解集为，
知a<0，且关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别为－，2，
∴，∴b＝－a，c＝－a.
所以不等式cx2－bx＋a<0可变形为x2－x＋a<0，即2ax2－5ax－3a>0.
又因为a<0，所以2x2－5x－3<0，所以所求不等式的解集为.
变式训练3 解 ∵α、β为方程ax2＋bx＋c＝0的两根，
∴α＋β＝－，αβ＝.∵a<0，
∴cx2＋bx＋a>0同解变形为x2＋x＋1<0.
由根与系数关系将α、β代入，
得αβx2－(α＋β)x＋1<0.即αβ<0，
由0<α<β，可知>.
所以不等式cx2＋bx＋a>0的解集为.
课时作业
1．B
2．C [由已知?
y＝f(－x)＝ax2＋x－c，
即y＝－x2＋x＋2，其图象为C.]
3．B
4．B
5．A [由已知方程有两实数根得：Δ≥0，
解得－4≤k≤－，
又x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝－(k＋5)2＋19，
∴当k＝－4时，x＋x有最大值，最大值为18.]
6．{x|x<－2或x>3}
7．{x|－3≤x<－2或08．a>
解析 f(x)＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R.
∴a>0且Δ＝1－4a2<0，∴a>.
9．解 ∵x2＋px＋q<0的解集为，
∴－，是方程x2＋px＋q＝0的两实数根，
由根与系数的关系得，
∴，
∴不等式qx2＋px＋1>0可化为－x2＋x＋1>0，
即x2－x－6<0，∴－2∴不等式qx2＋px＋1>0的解集为{x|－210．解 ①当a＝0时，不等式即－2x＋1>0，
∴解集为；
②当a<0时，Δ＝4－4a>0，
此时不等式为x2－x＋<0，
由于方程x2－x＋＝0的两根分别为、，且>，
∴不等式的解集为
；
③当a>0时，若00，此时不等式
即x2－x＋>0.
∵<，
∴当0.
若a＝1，则不等式为(x－1)2>0，
∴当a＝1时，不等式解集为{x|x∈R且x≠1}；
若a>1时，则Δ<0，不等式解集为R.
综上所述，当a<0时，不等式的解集为
；
当a＝0时，不等式的解集为；
当0；
当a＝1时，不等式的解集为；
当a>1时，不等式的解集为R.
§3.3 一元二次不等式及其解法(二)
自主学习
知识梳理
1．解分式不等式的同解变形法则
(1)>0?________________；
(2)≤0?________________；
(3)≥a?≥0.
2．处理不等式恒成立问题的常用方法
(1)一元二次不等式恒成立的情况：
ax2＋bx＋c>0 (a≠0)恒成立?____________；
ax2＋bx＋c≤0 (a≠0)恒成立?____________.
(2)一般地，若函数y＝f(x)，x∈D既存在最大值，也存在最小值，则：
a>f(x)，x∈D恒成立?________________；
a 自主探究
对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)，你能借助二次函数的图象，探求两根满足下列特征的等价条件吗？
(1)两个正根?________________；
(2)两个负根?________________；
(3)一正一负根?________________；
(4)两根都小于k?________________；
(5)一根大于k，一根小于k?________________.
(注：答案不唯一)．
对点讲练
知识点一 分式不等式的解法
例1 解下列不等式：
(1)≥－2；(2)<0.
变式训练1 解不等式：>1.
知识点二 恒成立问题
例2 设函数f(x)＝mx2－mx－1.
(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；
(2)对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．
总结 含参数的二次不等式在某区间内恒成立，常有两种处理方法：方法一是利用二次函数在区间上的最值来处理；方法二是分离出参数再去求函数的最值．
变式训练2 若不等式2x－1>m(x2－1)对满足|m|≤2的所有实数都成立，求x的取值范围．
知识点三 一元二次方程根的分布
例3 设a∈R，关于x的一元二次方程7x2－(a＋13)x＋a2－a－2＝0有两实根x1，x2，且0总结 解二次方程根的分布问题，首先要分清对应的二次函数的开口方向，及根所在的区间范围，列出有关的不等式及不等式组，进而求解．
变式训练3 若方程4x＋(m－3)·2x＋m＝0有两个不相同的实根，求m的取值范围．
1．解分式不等式时一定要等价变形为一边为零的形式，再化归成整式不等式(组)或高次不等式．若不等式含有等号时，分母不为零．
2．用数轴穿根法解高次不等式的过程可简记为“化正、化积、穿根、写出”四个步骤，某些点是保留还是去掉，要认真检查．
3．对于有的恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数予以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到下述简单结论：(1)a>f(x)恒成立?a>f(x)max；(2)a4．解有关一元二次方程根的分布及其他综合问题，要注意结合对应的二次函数图象特征，使问题更简单、直观.
课时作业
一、选择题
1．不等式(x－1)≥0的解集是( )
A．{x|x>1} B．{x|x≥1}
C．{x|x≥1或x＝－2} D．{x|x≥－2或x＝1}
2．不等式<2的解集为( )
A．{x|x≠－2} B．R
C．? D．{x|x<－2或x>2}
3．若a>0，b>0，则不等式－b<A．－C．x<－或x> D．x<－或x>
4．设函数f(x)＝则不等式f(x)>f(1)的解集是( )
A．(－3,1)∪(3，＋∞)
B．(－3,1)∪(2，＋∞)
C．(－1,1)∪(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(1,3)
5．对任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是( )
A．13
C．12
二、填空题
6．如果A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝?，则实数a的取值范围为________．
7．已知x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，则k的取值范围是________．
8．已知关于x的不等式<1的解集为{x|x<1或x>3}，则a的值是________．
三、解答题
9．已知函数f(x)＝(a，b为常数)，且方程f(x)－x＋12＝0有两个实根为x1＝3，x2＝4.
(1)求函数f(x)的解析式；(2)设k>1，解关于x的不等式：f(x)<.
10．已知函数f(x)＝lg[(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1]．
(1)若f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)的值域为(－∞，＋∞)，求实数a的取值范围．
§3.3 一元二次不等式及其解法(二)
知识梳理
1．(1)f(x)·g(x)>0 (2)
2．(1) (2)a>f(x)max a自主探究
(1) (2) (3)
(4) (5)
对点讲练
例1 解 (1)≥－2?＋2≥0?≥0?≥0?
∴x<2或x≥5.
∴原不等式的解集为{x|x<2或x≥5}．
(2)原不等式的解集由下面两个不等式组的解集的并集构成．
(1)
由①解得{x|x<－3或x>1}；
由②解得{x|x<－2或x>3}．
∴不等式组(1)的解集是{x|x<－3或x>3}．
由③解得{x|－3由④解得{x|－2∴不等式组(2)的解集是{x|－2综上，原不等式的解集是{x|x<－3或－23}．
变式训练1 解 因为x2＋x＋1>0，
所以原不等式可化为x＋2>x2＋x＋1，
即x2－1<0，解得－1所以原不等式的解集为{x|－1例2 解 (1)要mx2－mx－1<0恒成立，
若m＝0，显然－1<0.
若m≠0，?－4∴－4(2)要f(x)<－m＋5，就要使m2＋m－6<0，x∈[1,3]．
方法一 令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3]，
当m>0时，g(x)在[1,3]上是增函数，
∴g(x)max＝g(3)，
∴7m－6<0，得m<.∴0当m＝0时，－6<0恒成立．
当m<0时，g(x)在[1,3]上是减函数．
∴f(x)max＝g(1)＝m－6<0，得m<6.∴m<0.
综上所述，m<.
方法二 ∵x2－x＋1＝2＋>0，
又∵m(x2－x＋1)－6<0，∴m<.
∵函数y＝＝在[1,3]上的最小值为.
∴只需m<即可．
变式训练2 解 不等式变为m(x2－1)－(2x－1)<0，
即f(m)＝m(x2－1)－(2x－1)<0在{m|－2≤m≤2}上恒成立，故解得即x的取值范围是.
例3 解 设f(x)＝7x2－(a＋13)x＋a2－a－2.
因为x1，x2是方程f(x)＝0的两个实根，
且0所以
?
?
?
?－2所以a的取值范围是{a|－2变式训练3 解 令2x＝t，则原方程变为t2＋(m－3)t＋m＝0，
∵t>0.∴关于t的二次方程有两不同正根的充要条件为：，解得0∴所求m的取值范围为(0,1)．
课时作业
1．C [当x＝－2时，0≥0成立．当x>－2时，原不等式变为x－1≥0，即x≥1.
∴不等式的解集为{x|x≥1或x＝－2}．]
2．A [原不等式?x2－2x－2<2x2＋2x＋2?x2＋4x＋4>0?(x＋2)2>0，∴x≠－2.
∴不等式的解集为{x|x≠－2}．]
3．D [－b<?或?x>或x<－.]
4．A [f(1)＝12－4×1＋6＝3，
当x≥0时，x2－4x＋6>3，解得x>3或0≤x<1；
当x<0时，x＋6>3，解得－3所以f(x)>f(1)的解集是x∈(－3,1)∪(3，＋∞)．]
5．B [设g(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)
g(a)>0恒成立且a∈[－1,1]
??
?x<1或x>3.]
6．0≤a≤4
解析 a＝0时，A＝?；当a≠0时，A＝??ax2－ax＋1≥0恒成立??0综上所述，实数a的取值范围为0≤a≤4.
7．k≤2或k≥4
解析 x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，
把x＝1代入不等式得k2－6k＋8≥0，解得k≥4或k≤2.
8.
解析 原不等式化为－1＝<0，其等价于(x－1)[(a－1)x＋1]<0.
∵不等式的解集为{x|x<1或x>3}，
∴x＝＝3，解得a＝.
9．解 (1)将x1＝3，x2＝4分别代入方程－x＋12＝0
得 解得，
所以f(x)＝ (x≠2)．
(2)不等式即为<，
可转化为<0.即(x－2)(x－1)(x－k)>0.
①当12}；
②当k＝2时，不等式为(x－2)2(x－1)>0，原不等式的解集为{x|12}；
③当k>2时，原不等式的解集为{x|1k}．
综上知，
当12}；
当k＝2时，不等式的解集为{x|12}；
当k>2时，不等式的解集为{x|1k}．
10．解 (1)当a2－1≠0时，由
得a<－1或a>.又a2－1＝0时，得a＝±1.
a＝－1时，满足题意．a＝1时，不合题意．
∴实数a的取值范围为a≤－1或a>.
(2)只要t＝(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1能取到(0，＋∞)上的任何值，则f(x)的值域为R，
故当a2－1≠0时，有得1又当a2－1＝0，即a＝1时，t＝2x＋1符合题意．
a＝－1时不合题意．
∴实数a的取值范围为1≤a≤.
3.4 不等式的实际应用
1．解有关不等式的应用题，首先要选用合适的字母表示题中的未知数，再由题中给出的不等量关系，列出关于未知数的不等式(组)，然后解列出的不等式(组)，最后结合问题的实际意义写出答案．
2．在实际应用问题中，若应用均值不等式求最值同样必须确保“一正、二定、三相等”的原则．“一正”即必须满足“各项为正数”；“二定”即求和的最小值必须拼凑成其积为“定值”，求积的最大值必须使其和为“定值”；“三相等 ”就是必须验证等号是否成立．
3．对于形如y＝x＋ (k>0)的函数，如果利用均值不等式求最值，等号条件不存在，那么这时就可以考虑利用函数的单调性进行求解．
(1)当x>0时，f(x)＝x＋≥2(k>0)，当x＝时取“＝”．另外，我们还可以证明f(x)在区间(0，]上为减函数，在区间[，＋∞)上为增函数，据此单调性来求函数的值域．
(2)当x<0时，∵f(x)＝x＋ (k>0)(x≠0)为奇函数．
∴f(x)在(－∞，－]上为增函数，在[－，0)上为减函数．
一、构建一元二次不等式模型解决
实际问题
方法链接：二次函数、一元二次不等式在实际生活中有着广泛的应用，构建一元二次不等式模型时应注意自变量的实际含义．
例1 一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x(辆)与创造的价值y(元)之间有如下的关系：y＝－2x2＋220x.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6 000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？
解 设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车，
根据题意，得－2x2＋220x>6 000.
移项整理，得x2－110x＋3 000<0，解得50因为x只能取整数值，所以，当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在51～59辆之间时，这家工厂能够获得6 000元以上的收益．
二、利用均值不等式解决实际问题
方法链接：均值不等式：≤(a，b是正实数)在求最值问题中有着广泛的应用．应用时一定要注意“一正、二定、三相等”的要领．
例2
如图，某农厂要修建3个矩形养鱼塘，每个面积为10 000 m2，鱼塘前面要留4 m宽的运料通道，其余各边为2 m宽的堤埂，问每个鱼塘的长、宽各为多少时占地面积最少？
解 设每个鱼塘的宽为x m，则x>0，
且AB＝3x＋8，AD＝＋6，
总面积y＝AB·AD＝(3x＋8)
＝30 048＋＋18x
≥30 048＋2＝32 448，
当且仅当18x＝，即x＝时，等号成立，
此时＝150.
答 鱼塘的长为150 m，宽为 m时，占地面积最少．
三、利用函数单调性求最值问题
方法链接：对于形如y＝x＋的函数，如果利用均值不等式求最值，等号条件不存在，那么这时就可以考虑用函数的单调性进行求解．
例3 某工厂有旧墙一面，长14米，现在准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形、面积为126平方米的厂房，工程条件是：
①建1米新墙的费用为a元；②修1米旧墙的费用为元；③拆去1米旧墙，用所得材料建1米新墙的费用为元．经讨论有两种方案：(1)利用旧墙的一段x米(x<14)为矩形厂房一面的边长；(2)矩形厂房利用旧墙的一面边长x≥14；问如何利用旧墙，即x为多少米时，建造费用最省？(1)、(2)两种方案哪个更好？
分析 以建造总费用为目标函数，通过函数求最小值来解本题．
解 设利用旧墙的一面矩形边长为x米，
则矩形的另一面边长为米．
(1)利用旧墙的一段x米(x<14)为矩形一面边长，
则修旧墙费用为x·元．
将剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为(14－x)·元，
其余建新墙的费用为a元．
故总费用为
y＝x·＋·a＋a
＝a＝7a (0≥7a·＝35a，
当且仅当＝，即x＝12时，ymin＝35a元．
(2)若利用旧墙的一面矩形边长x≥14，
则修旧墙的费用为·14＝a元．
建新墙的费用为a，
故总费用为y＝a＋a
＝a＋2a (x≥14)．
设14≤x1－＝(x1－x2).
∵14≤x1196.
从而1－>0，所以函数y在[14，＋∞)上为增函数．
故当x＝14时，ymin＝a＋2a
＝35.5a>35a.
综上所述，采用第(1)种方案，利用旧墙12米为矩形的一面边长时，建墙总费用最省，为35a元．
四、函数、数列、不等式在实际问题中的综合应用
方法链接：不等式的知识，尤其是解不等式、均值不等式求最值常常融于函数、数列应用题中加以考查．一般是先建立函数模型或数列模型，再利用不等式的知识求某些量的范围或最值．
例4 2009年推出一种新型家用轿车，购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.7万元，汽车的维修费为：第一年无维修费用，第二年为0.2万元，从第三年起，每年的维修费均比上一年增加0.2万元．
(1)设该辆轿车使用n年的总费用(包括购买费用、保险费、养路费、汽油费及维修费)为f(n)，求f(n)的表达式；
(2)这种汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年，年平均费用最少)?
解 (1)由题意得：每年的维修费构成一等差数列，n年的维修总费用为＝0.1n2－0.1n(万元)
所以f(n)＝14.4＋0.7n＋(0.1n2－0.1n)
＝0.1n2＋0.6n＋14.4(万元)
(2)该辆轿车使用n年的年平均费用为
＝＝0.1n＋0.6＋
≥2＋0.6＝3(万元)．
当且仅当0.1n＝时取等号，此时n＝12.
答 这种汽车使用12年报废最合算．
五、均值不等式在物理学科中的应用
方法链接：均值不等式在物理学科中的电学、力学部分中经常用到，应用时也要注意验证等号是否取到．
例5
如图所示，电路中电源的电动势为ε，内阻为r，R1为固定电阻，求可变电阻R2调至何值时，它所消耗的电功率最大，其最大电功率是多少？
分析 依据物理知识，建立数量关系，借助二元均值不等式求出最大值．
解 由电学公式，电功率P＝UI，
有P2＝U2I2＝.
∵U2(ε－U2)≤2＝(定值)，
∴仅当U2＝ε－U2，即2U2＝ε时，P2达到最大值，
最大值为.在ε＝2U2的两端除以I(＝I1＝I2)，
得2R2＝r＋R2＋R1.
∴R2＝r＋R1.
∴可变电阻R2调至r＋R1时，所消耗的电功率最大，最大电功率是.
利用均值不等式时忽略等号成立条件而致错
例 甲、乙两地相距s km，汽车从甲地匀速行驶到乙地速度不得超过每小时c km，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(km/h)的平方成正比，比例系数为b，固定部分为a元．
(1)将全程运输成本y(元)表示为速度v的函数，并指出该函数的定义域；
(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大的速度行驶？
[错解] (1)依题意知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，因此全程运输成本为
y＝(a＋bv2)·＝s，
∵a>0，b>0，s>0，v>0，∴定义域为(0，c]．
(2)由(1)知：y＝s≥2·s＝2s.
当＝bv，即v2＝，v＝时，取“＝”．
所以，汽车以 km/h的速度行驶时，全程运输成本最少．
[点拨] 本题中的a，b，c均为字母常量，且为正实数，v是全程运输成本函数中的自变量，v∈(0，c]，但是 与c的大小不确定，上述解答中的最小值2s 不一定能取到，应当按 与c的大小分类讨论．
[正解] (1)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为
y＝a·＋bv2·＝s，
故所求函数及其定义域为y＝s，v∈(0，c]．
(2)∵s，a，b，v都是正数，∴s≥2s(当且仅当＝bv，即v＝时取“＝”)
∴①若 ≤c，则v＝时全程运输成本最少．
②若 >c，函数y＝＋bv在上是减函数，
证明如下：设0＝(v1－v2)＝
∵v1∴v1v2<，∴v1v2－<0，∴y1－y2>0，即y1>y2，
∴函数y＝＋bv在上是减函数．
又∵c< ，∴函数在(0，c]上也是减函数．
∴v＝c时，全程运输成本最小．
综上可知：当 ≤c时，v＝时全程运输成本最少；当>c时，v＝c时全程运输成本最少．
例
如图所示，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比．现有制箱材料60平方米．问当a、b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计)?
解 方法一 设y为流出的水中杂质的质量分数，则y＝，其中k>0为比例系数，依题意，即所求的a、b值使y值最小．根据题设，有4b＋2ab＋2a＝60 (a>0，b>0)，
得b＝ (0于是y＝＝＝＝≥＝.
当且仅当a＋2＝时取等号，y取得最小值.
这时a＝6或a＝－10(舍去)，将a＝6代入①式得b＝3，故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．
方法二 依题意，即所求的a、b值使ab最大．
由题设知4b＋2ab＋2a＝60 (a>0，b>0)，
即a＋2b＋ab＝30 (a>0，b>0)．
∵a＋2b≥2，∴2·＋ab≤30.
当且仅当a＝2b时，上式取等号．
由a>0，b>0，解得0即当a＝2b时，ab取得最大值，其最大值为18.
∴2b2＝18.解得b＝3，a＝6.
故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．
围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45 元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．
(1)将y表示为x的函数；
(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．
解 (1)设矩形的另一边长为a m，
则y＝45x＋180(x－2)＋180×2a
＝225x＋360a－360.由已知xa＝360，得a＝，
所以y＝225x＋－360(x>2)．
(2)∵x>0，∴225x＋≥2＝10 800.
∴y＝225x＋－360≥10 440.
当且仅当225x＝时，等号成立．即当x＝24 m，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元．
赏析 本小题主要考查函数和不等式等基础知识，考查用均值不等式求最值和运用数学知识解决实际问题的能力．
§3.5 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
3．5.1 二元一次不等式(组)所表示的平面区域
自主学习
知识梳理
1．二元一次不等式(组)的概念
(1)含有________未知数，并且未知数的次数是____的不等式叫做二元一次不等式．由几个二元一次不等式组成的不等式组叫做二元一次不等式组．
(2)满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x，y)，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．
2．二元一次不等式表示平面区域
在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C>0表示直线________________某一侧所有点组成的平面区域，把直线画成________以表示区域不包括边界．
不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成________．
3．二元一次不等式(组)表示平面区域的确定
(1)把直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C所得的符号都________．
(2)在直线Ax＋By＋C＝0的一侧取某个特殊点(x0，y0)，由____________的符号可以断定Ax＋By＋C>0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．
(3)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式表示的平面点集的________，即各个不等式所表示的平面区域的____________．
自主探究
已知点A(1,3)与B(6,2)，直线l：2x－3y＋a＝0.
(1)若a＝1，则点A与原点位于直线l的________侧，点B与原点位于直线l的________侧．
(2)若点A与B位于直线l的异侧，则a的取值范围是____________．
(3)若点A与B位于直线l的同侧，则a的取值范围是____________．
对点讲练
知识点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域
例1 画出下列不等式(组)表示的平面区域．
(1)2x－y－6≥0； (2)
总结 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分，但要注意是否包含边界．
变式训练1 画出不等式组表示的区域．
知识点二 平面区域的面积问题
例2 在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A＝{(x，y)|x＋y≤1，且x≥0，y≥0}，则平面区域B＝{(x＋y，x－y)|(x，y)∈A}的面积为( )
A．2 B．1 C. D.
变式训练2 若A为不等式组表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过A中的那部分区域的面积为______．
知识点三 平面区域内的整点个数问题
例3 利用平面区域求不等式组的整数解．
总结 求某个平面区域内的整点，一般采用代入验证法来求，要做到不漏掉任何一个整点．
变式训练3 画出2x－31．二元一次不等式(组)的解集对应着坐标平面的一个区域，该区域内每一个点的坐标均满足不等式(组)．常用特殊点法确定二元一次不等式表示的是直线哪一侧的部分．
2．画平面区域时，注意边界线的虚实问题．
3．求平面区域内的整点个数时，要有一个明确的思路不可马虎大意，常先确定x的范围，再逐一代入不等式组，求出y的范围最后确定整数解的个数.
课时作业
一、选择题
1．不等式2x－y－6>0表示的平面区域在直线2x－y－6＝0的( )
A．左上方 B．右上方 C．左下方 D．右下方
2．如图所示，表示满足不等式(x－y)(x＋2y－2)>0的点(x，y)所在的区域为( )
3．不等式组表示的平面区域内整点的个数是( )
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
4．若平面区域D的点(x，y)满足不等式组，则平面区域D的面积是( )
A.＋ B．1＋
C.＋ D．1＋
5．在平面直角坐标系中，不等式组(a为常数)表示的平面区域的面积是9，那么实数a的值为( )
A．3＋2 B．－3＋2
C．－5 D．1
二、填空题
6．点(3,1)和(－4,6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，则a的取值范围为________．
7．△ABC的三个顶点坐标为A(3，－1)，B(－1,1)，C(1，3)，则△ABC的内部及边界所对应的二元一次不等式组是________________．
8．不等式组所表示的平面区域的面积等于______．
三、解答题
9．画出不等式组所表示的平面区域并求其面积．
10．画出不等式组表示的平面区域，并求其中的整数解(x，y)．
§3.5 二元一次不等式(组)与简单
的线性规划问题
3．5.1 二元一次不等式(组)所表示
的平面区域
知识梳理
1．(1)两个 1
2． Ax＋By＋C＝0 虚线 实线
3．(1)相同 (2)Ax0＋By0＋C (3)交集 公共部分
自主探究
(1)异 同 (2)－67
对点讲练
例1 解 (1)如图1，先画出直线2x－y－6＝0，取原点O(0，0)代入2x－y－6中，因为2×0－1×0－6＝－6<0，所以在直线2x－y－6＝0左上方的所有点(x，y)都满足2x－y－6<0，故直线2x－y－6＝0右下方的区域就是2x－y－6>0，因此2x－y－6≥0表示直线右下方的区域(包含边界)；
图1 图2
(2)先画出直线x－y＋5＝0(画成实线)，如图2取原点O(0，0)，代入x－y＋5，因为0－0＋5＝5>0，所以原点在x－y＋5>0表示的平面区域内，即x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及其右下方的点的集合，同理可得，x＋y≥0表示直线x＋y＝0上及其右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及其左方的点的集合，即图中阴影部分即为所求平面区域(含边界)．
变式训练1 解 不等式x<3表示直线x＝3左侧点的集合；不等式2y≥x即x－2y≤0表示直线x－2y＝0上及左上方点的集合；不等式3x＋2y≥6，
即3x＋2y－6≥0表示直线3x＋2y－6＝0上及右上方点的集合；不等式3y0表示直线x－3y＋9＝0右下方点的集合．综上可得，不等式组表示的平面区域是如图所示的阴影部分．
例2 B [记x＋y＝m，x－y＝n，则x＝，y＝
∴，
即
作出可行域可知面积为1.]
变式训练2
解析
如图所示，区域A表示的平面区域为△OBC内部及其边界组成的图形，当a从－2连续变化到1时扫过的区域为四边形ODEC所围成的区域．
又D(0,1)，B(0,2)，
E，C(－2,0)．
S四边形ODEC＝S△OBC－S△BDE＝2－＝.
例3
解 把x＝3代入6x＋7y≤50，得y≤4，
又∵y≥2，∴整点有：(3,2)、(3,3)、(3,4)；
把x＝4代入6x＋7y≤50，
得y≤3，
∴整点有：(4,2)(4,3)．
把x＝5代入6x＋7y≤50，得y≤2，∴整点有：(5,2)；
把x＝6代入6x＋7y≤50，得y≤2，整点有(6,2)；
把x＝7代入6x＋7y≤50，得y≤，与y≥2不符．
∴整数解共有7个为(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)．
变式训练3 解 由于2x－3平面区域如图所示：
而其中的正整数解为(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,2)、(2,3)，共5组．
课时作业
1．D [将(0,0)代入2x－y－6，得－6<0.
∴(0,0)点在不等式2x－y－6>0表示的平面区域的异侧．
∴不等式表示的平面区域在对应直线的右下方．]
2．B [不等式(x－y)(x＋2y－2)>0等价于不等式组
(Ⅰ)或不等式组(Ⅱ)
分别画出不等式组(Ⅰ)和(Ⅱ)所表示的平面区域，再求并集，可得正确答案为B.]
3．C [画出可行域后，可按x＝0，x＝1，x＝2，x＝3分类代入检验，符合要求的点有(0,0)，(1,0)，(2,0)，(3,0)，(1,1)，(2,1)共6个．]
4．B [画出平面区域，如图，阴影部分面积S＝1＋.]
5．D
[区域如图，易求得
A(－2,2)，B(a，a＋4)，C(a，－a)．
S△ABC＝|BC|·|a＋2|
＝(a＋2)2＝9，得a＝1.]
6．(－7,24)
7.
解析 如图直线AB的方程为x＋2y－1＝0(可用两点式或点斜式写出)
直线AC的方程为2x＋y－5＝0
直线BC的方程为x－y＋2＝0
把(0,0)代入2x＋y－5＝－5<0
∴AC左下方的区域为2x＋y－5<0.
∴同理可得△ABC区域(含边界)为.
8.
解析
平面区域如图．
解得A(1,1)，
易得B(0,4)，C，
|BC|＝4－＝.
∴S△ABC＝××1＝.
9．解
如图所示，其中的阴影部分便是不等式组表示的平面区域．
由得A(1,3)．
同理得B(－1,1)，C(3，－1)．∴|AC|＝＝2，
而点B到直线2x＋y－5＝0距离为d＝＝，
∴S△ABC＝|AC|·d＝×2×＝6.
10．解 作出平面区域，如图所示．
可求得顶点坐标，，，
故x，y的范围是－结合图形并经检验可得整数解有
(0,0)，(0，－1)，(1,0)，(1，－1)，(2，－2)．
3.5.2 简单线性规划(一)
自主学习
知识梳理
线性规划中的基本概念
名称
意义
约束条件
由变量x，y组成的________________
线性约束条件
由x，y的________不等式(或方程)组成的不等式组
目标函数
欲求最大值或最小值所涉及的变量x，y的函数解析式
线性目标函数
关于x，y的________解析式
可行解
满足________________的解(x，y)
可行域
所有________组成的集合
最优解
使目标函数取得________________的可行解
线性规划问题
在____________条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
自主探究
在线性目标函数z＝Ax＋By (B≠0)中，目标函数z的最值与截距之间有怎样的对应关系？请完成下面的填空．
1．线性目标函数z＝Ax＋By (B≠0)对应的斜截式直线方程是__________________，在y轴上的截距是________，当z变化时，方程表示一组____________的直线．
2．当B>0时，截距最大时，z取得________值，截距最小时，z取得________值；
当B<0时，截距最大时，z取得________值，截距最小时，z取得________值．
对点讲练
知识点一 求线性目标函数的最值问题
例1 线性约束条件下，求z＝2x－y的最大值和最小值．
变式训练1 设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋3y的最小值为( )
A．6 B．7 C．8 D．23
知识点二 求非线性目标函数的最值问题
例2 已知实数x、y满足，试求z＝的最大值和最小值．
总结 若目标函数为形如z＝，可考虑(a，b)与(x，y)两点连线的斜率．
若目标函数为形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，可考虑(x，y)与(a，b)两点距离的平方．
变式训练2 已知，则x2＋y2的最小值和最大值分别是________．
知识点三 和平面区域有关的参数问题
例3 设二元一次不等式组，所表示的平面区域为M，使函数y＝ax (a>0，a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是( )
A．(1,3] B．[2，] C．[2,9] D．[，9]
总结 准确作出可行域，熟知指数函数y＝ax的图象特征是解决本题的关键．
变式训练3 若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是________．
1．用图解法求线性目标函数的最值时，要搞清楚z的含义，z总是与直线在y轴上的截距有关．
2．作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解．
3．在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题.
课时作业
一、选择题
1．已知点P(x，y)的坐标满足条件
则x2＋y2的最大值为( )
A. B．8 C．16 D．10
2．若变量x，y满足则z＝3x＋2y的最大值是( )
A．90 B．80 C．70 D．40
3．在坐标平面上有两个区域M和N，其中区域M＝，区域N＝{(x，y)|t≤x≤t＋1,0≤t≤1}，区域M和N公共部分的面积用函数f(t)表示，则f(t)的表达式为( )
A．－t2＋t＋ B．－2t2＋2t
C．1－t2 D.(t－2)2
4．若实数x，y满足则的取值范围是( )
A．(－1,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．[1，＋∞)
二、填空题
5．设变量x，y满足约束条件则z＝x－3y的最小值为________．
6．已知且u＝x2＋y2－4x－4y＋8，则u的最小值为________．
三、解答题
7．已知1≤x＋y≤5，－1≤x－y≤3，求2x－3y的取值范围．
8．求不等式组表示的平面区域的面积．
3．5.2 简单线性规划(一)
知识梳理
不等式或方程 一次 一次 线性约束条件
可行解 最大值或最小值 线性约束
自主探究
1．y＝－x＋ 互相平行
2．最大 最小 最小 最大
对点讲练
例1 解 如图作出线性约束条件
下的可行域，包含边界：其中三条直线中x＋3y＝12与3x＋y＝12交于点A(3,3)，
x＋y＝10与x＋3y＝12交于点B(9,1)，
x＋y＝10与3x＋y＝12交于点C(1,9)，
作一组与直线2x－y＝0平行的直线l：2x－y＝z
即y＝2x－z，然后平行移动直线l，直线l在y轴上的截距为－z，当l经过点B时，－z取最小值，此时z最大，即zmax＝2×9－1＝17；当l经过点C时，－z取最大值，此时z最小，即zmin＝2×1－9＝－7.∴zmax＝17，zmin＝－7.
变式训练1 B [作出可行域如图所示：
由图可知，z＝2x＋3y经过点A(2,1)时，z有最小值，z的最小值为7.]
例2 解 由题意知，作出线性约束条件下的可行域如图所示，且可求得A(2,3)，B(0,2)，C(1,0)．由于z＝＝，
所以z的几何意义是点(x，y)与点M(－1，－1)连线的斜率，
因此的最值就是点(x，y)与点M(－1，－1)连线的斜率的最值，
结合图可知，直线MB的斜率最大，直线MC的斜率最小，即zmax＝kMB＝3，此时x＝0，y＝2；
zmin＝kMC＝，此时x＝1，y＝0.
变式训练2 5,25
解析 作出不等式组的可行域如图所示，
由，
得A(1,3)，
由，
得B(3,4)，
由，
得C(2,1)，
设z＝x2＋y2，则它表示可行域内的点到原点的距离的平方，结合图形知，原点到点B的距离最大，
注意到OC⊥AC，∴原点到点C的距离最小．
故zmax＝||2＝25，zmin＝||2＝5.
例3 C [作二元一次不等式组的可行域如图所示，
由题意得A(1,9)，C(3,8)．
当y＝ax过A(1,9)时，a取最大值，此时a＝9；
当y＝ax过C(3,8)时，a取最小值，此时a＝2，
∴2≤a≤9.]
变式训练3 0解析
不等式表示的平面区域如图所示，
当x＋y＝a过A时表示的区域是△AOB，
此时a＝；
当a>时，表示区域是△AOB；
当x＋y＝a过B(1,0)时表示的区域是△DOB，此时a＝1；
当0当a<0时不表示任何区域，
当1故0课时作业
1．D [画出不等式组对应的可行域如下图所示：
易得A(1,1)，OA＝，B(2,2)，OB＝2，C(1,3)，OC＝.
∴(x2＋y2)max＝OC2＝()2＝10.
∴(x2＋y2)max＝OC2＝()2＝10.]
2．C [作出可行域如图所示 .
由于2x＋y＝40、x＋2y＝50的斜率分别为－2、－，而3x＋2y＝0的斜率为－，故线性目标函数的倾斜角大于2x＋y＝40的倾斜角而小于x＋2y＝50的倾斜角，由图知，3x＋2y＝z经过点A(10,20)时，z有最大值，z的最大值为70.]
3．A [作出不等式组所表示的平面区域．
由t≤x≤t＋1,0≤t≤1，得
f(t)＝S△OEF－S△AOD－S△BFC
＝1－t2－(1－t)2＝－t2＋t＋.]
4．B
[可行域如图阴影部分所示，的几何意义是区域内点与(1,0)连线的斜率，易求得>1或<－1.]
5．－8
解析 作出可行域如图所示．
可知当x－3y＝z经过点A(－2，2)时，z有最小值，此时z的最小值为－2－3×2＝－8.
6.
解析 点(x，y)在图中阴影部分，
由已知得(x－2)2＋(y－2)2＝()2，
则＝＝，umin＝.
7．解
作出一元二次方程组
所表示的平面区域(如图)即可行域．
考虑z＝2x－3y，把它变形为y＝x－z，得到斜率为
，且随z变化的一组平行直线，－z是直线在y轴上的截距，当直线截距最大且满足约束条件时目标函数z＝2x－3y取得最小值；当直线截距最小且满足约束条件时目标函数z＝2x－3y取得最大值．
由图可知，当直线z＝2x－3y经过可行域上的点A时，截距最大，即z最小．
解方程组，
得A的坐标为(2,3)．
所以zmin＝2x－3y＝2×2－3×3＝－5.
当直线z＝2x－3y经过可行域上的点B时，截距最小，即z最大．
解方程组，
得B的坐标为(2，－1)，所以zmax＝2x－3y＝2×2－3×(－1)＝7.
∴2x－3y的取值范围是[－5,7]．
8．解 不等式组
所表示的可行域如图所示，
其可行域为两个等腰直角三角形，其底边长分别为1与11，高分别为与，
所以，可行域的面积为×1×＋×11×＝.
3.5.2 简单线性规划(二)
自主学习
知识梳理
1．用图解法解线性规划问题的步骤：
(1)分析并将已知数据列出表格；(2)确定线性约束条件；(3)确定线性目标函数；(4)画出可行域；(5)利用线性目标函数(直线)求出最优解；根据实际问题的需要，适当调整最优解(如整数解等)．
2．在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小．
3．线性规划实质上是“数形结合”思想的一种体现，即将最值问题利用图形直观、形象、简便地寻找出来．
自主探究
结合下面的具体问题想一想，在什么情况下，目标函数的最优解可能有无数多个？
在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z＝x＋ay取得最小值的最优解有无数个，则a的一个可能值为( )
A．－3 B．3 C．－1 D．1
对点讲练
知识点一 实际应用中的最优解问题
例1 某家具厂有方木料90 m3，五合板600 m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3，五合板2 m2，生产每个书橱需要方木料0.2 m3，五合板1 m2，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元．
(1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？
(2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？
(3)怎样安排生产可使所得利润最大？
总结 利用图解法解决线性规划实际问题，要注意合理利用表格，处理繁杂的数据；另一方面约束条件要注意实际问题的要求，如果要求整点，则用逐步平移法验证．
变式训练1 某工厂有甲、乙两种产品，按计划每天各生产不少于15吨，已知生产甲产品1吨需煤9吨，电力4千瓦，劳动力3个(按工作日计算)；生产乙产品1吨需煤4吨，电力5千瓦，劳动力10个；甲产品每吨价7万元，乙产品每吨价12万元；但每天用煤量不得超过300吨，电力不得超过200千瓦，劳动力只有300个，当每天生产甲产品________吨，乙产品______吨时，既能保证完成生产任务，又能使工厂每天的利润最大．
知识点二 实际应用中的最优整数解问题
例2 要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：
规模类型
钢板类型
A规格
B规格
C规格
第一种钢板
2
1
1
第二种钢板
1
2
3
今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？
总结 在实际应用问题中，有些最优解往往需要整数解(比如人数、车辆数等)而直接根据约束条件得到的不一定是整数解，可以运用枚举法验证求最优整数解，或者运用平移直线求最优整数解．最优整数解有时并非只有一个，很可能是许多个，应具体情况具体分析．
变式训练2 某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y需满足约束条件则z＝10x＋10y的最大值是________．
1．解答线性规划的实际应用问题应注意的问题：
(1)在线性规划问题的应用中，常常是题中的条件较多，因此认真审题非常重要；
(2)线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断；
(3)结合实际问题，未知数x、y等是否有限制，如x、y为正整数、非负数等；
(4)图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范．
2．当可行域的边界顶点不是整点(横纵坐标均为整数)，则它不是最优整数解，此时必须在可行域内该点的附近调整为整点．常用调整方法有：
(1)平移直线法：先在可行域内打网格，再描整点，平移直线l，最先经过或最后经过的整点坐标是最优整数解．
(2)检验优值法：当可行域内整点个数较少时，也可将整点坐标逐一代入目标函数求值，经比较得出最优解．
(3)调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程知识调整最优值，最后筛选出最优整数解.
课时作业
一、选择题
1．若实数x，y满足则z＝x＋2y的最小值是( )
A．0 B.
C．1 D．2
2.
如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，若使目标函数z＝ax＋y (a>0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值为( )
A. B.
C．4 D.
3．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为( )
A．36万元 B．31.2万元
C．30.4万元 D．24万元
4．如图所示，目标函数z＝kx－y的可行域为四边形OABC，仅点B(3,2)是目标函数的最优解，则k的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题
5．某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为________元．
6．已知平面区域D由以A(1,3)、B(5,2)、C(3,1)为顶点的三角形内部和边界组成．若在区域D上有无穷多个点(x，y)可使目标函数z＝x＋my取得最小值，则m＝________.
三、解答题
7．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
8．某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个与55个，所用原料分别为A、B两种规格的金属板，每张面积分别为2 m2与3 m2.用一张A种规格的金属板可造甲种产品3个，乙种产品5个；用一张B种规格的金属板可造甲、乙两种产品各6个．问A、B两种规格金属板各取多少张，才能完成计划，并使总的用料面积最省？
3．5.2 简单线性规划(二)
自主探究
A [－＝＝，∴a＝－3.
结论：当目标函数对应的直线经过可行域的一条边界时，最优解可能有无数多个．]
对点讲练
例1 解 由题意可画表格如下：
方木料(m3)
五合板(m2)
利润(元)
书桌(个)
0.1
2
80
书橱(个)
0.2
1
120
(1)设只生产书桌x个，可获得利润z元，
则??x≤300.
所以当x＝300时，zmax＝80×300＝24 000(元)，
即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24 000元．
(2)设只生产书橱y个，可获利润z元，
则??y≤450.
所以当y＝450时，zmax＝120×450＝54 000(元)，
即如果只安排生产书橱，最多可生产450个书橱，获得利润54 000元．
(3)设生产书桌x张，书橱y个，利润总额为z元，则
?
z＝80x＋120y.
在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域．
作直线l：80x＋120y＝0，即直线l：2x＋3y＝0.
把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，此时z＝80x＋120y取得最大值．
由
解得点M的坐标为(100,400)．
所以当x＝100，y＝400时，
zmax＝80×100＋120×400
＝56 000(元)．
因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大．
变式训练1 20 24
解析
设每天生产甲产品x吨，乙产品y吨，总利润为S万元，
依题意约束条件为：
目标函数为S＝7x＋12y
从图中可以看出，当直线S＝7x＋12y经过点A时，直线的纵截距最大，所以S也取最大值．
解方程组
得A(20,24)，故当x＝20，y＝24时，
Smax＝7×20＋12×24＝428(万元)
例2 解 设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张．
.
作出可行域(如图)：(阴影部分)
目标函数为z＝x＋y
作出一组平行直线x＋y＝t，其中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，经过直线x＋3y＝27和直线2x＋y＝15的交点A，直线方程为x＋y＝.由于和都不是整数，而最优解(x，y)中，x，y必须都是整数，所以可行域内点不是最优解．经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x＋y＝12，经过的整点是B(3,9)和C(4,8)，它们都是最优解．
答 要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种：第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张．两种方法都最少要截两种钢板共12张．
变式训练2 90
解析
该不等式组表示平面区域如图阴影所示，由于x，y∈N*，计算区域内与点最近的整点为(5,4)，当x＝5，y＝4时，z取得最大值为90.
课时作业
1．A
2．B [由y＝－ax＋z知当－a＝kAC时，最优解有无穷多个．∵kAC＝－，∴a＝.]
3．B [设投资甲项目x万元，投资乙项目y万元，
可获得利润为z万元，则
z＝0.4x＋0.6y.
由图象知，目标函数z＝0.4x＋0.6y在A点取得最大值．
∴ymax＝0.4×24＋0.6×36＝31.2(万元)．]
4．C [y＝kx－z.若k>0，则目标函数的最优解是点A(4,0)或点C(0，4)，不符合题意．
∴k<0，∵只有点(3,2)是目标函数的最优解．
∴kAB5．2 300
解析 设需租赁甲种设备x台，乙种设备y台，则
目标函数为z＝200x＋300y.
作出其可行域，易知当x＝4，y＝5时，z＝200x＋300y有最小值2 300元．
6．1
解析 如图所示，目标函数可化为y＝－x＋，
若m>0，则z的最小值对应截距的最小值，可知m＝1，满足题意；
若m<0，则z的最小值对应截距的最大值，m＝－1及－2均不合题意．
7．解 设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，由题意知
目标函数z＝x＋0.5y.
上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分(含边界)即可行域．
作直线l0：x＋0.5y＝0，并作平行于直线l0的一组直线x＋0.5y＝z，z∈R，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线x＋0.5y＝0的距离最大，这里M点是直线x＋y＝10和0.3x＋0.1y＝1.8的交点．
解方程组
得x＝4，y＝6，
此时z＝1×4＋0.5×6＝7(万元)．
∵7>0，
∴当x＝4，y＝6时，z取得最大值．
答 投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大．
8．解 设A、B两种金属板各取x张、y张，用料面积为z，则约束条件为
目标函数z＝2x＋3y.作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域，如下图所示．
z＝2x＋3y变为y＝－x＋，得斜率为－，在y轴上的截距为.
当直线z＝2x＋3y过可行域上的点M时，截距最小，z最小．解方程组得M点的坐标为(5,5)．
此时zmin＝2×5＋3×5＝25(m2)．
因此，两种金属板各取5张时，用料面积最省．
本章回顾
1．不等式的基本性质
(1)比较两个实数的大小
两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a－b>0?a>b；a－b＝0?a＝b；a－b<0?a0，则>1?a>b；＝1?a＝b；<1?a(2)不等式的性质
①对称性：a>b?b②传递性：a>b，b>c?a>c；
③加法法则：a>b?a＋c>b＋c；
④移项法则：a＋b>c?a>c－b；
⑤同向可加性：a>b，c>d?a＋c>b＋d；
⑥乘法法则：a>b，c>0?ac>bc或a>b，c<0?ac⑦同向正数不等式可乘性：
a>b>0，c>d>0?ac>bd；
⑧乘方法则：a>b>0，n∈N*?an>bn；
⑨开方法则：a>b>0，n∈N*?>.
2．不等式的解法
(1)一元一次不等式的解法
一元一次不等式ax＋b>0 (a≠0)的解集为
①当a>0时，；
②当a<0时，.
(2)一元二次不等式的一般形式为
ax2＋bx＋c>0，或ax2＋bx＋c<0 (a≠0)．
一元二次不等式、一元二次方程及二次函数间的关系
判别式
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
方程ax2＋bx＋c＝0
有两不等实根x1，x2(x1有两相等实根x1＝x2
无实根
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
不等式ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集
{x|xx2}
{x|x≠－}
R
不等式ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集
{x|x1?
?
3.二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
(1)二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的平面区域(半平面)且不含边界直线；不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域(半平面)包含边界直线．
(2)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，使得Ax＋By＋C的值的符号相同，也就是位于同一半平面内的点，其坐标适合同一个不等式Ax＋By＋C>0(或Ax＋By＋C<0)，而位于另一个半平面内的点，其坐标适合另一个不等式Ax＋By＋C<0(或Ax＋By＋C>0)．
(3)判断不等式Ax＋By＋C>0所表示的平面区域，可在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧的半平面内选取一个特殊点，如选原点或坐标轴上的点来验证Ax＋By＋C的符号的正负．当C≠0时，常选用原点(0,0)；当C＝0时，选用点(1,0)或(0,1)．这种方法概括为“直线定边界，特殊点定区域”．
4．均值不等式及常用变形
(1)对于任意实数a、b，都有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
(2)如果a≥0，b≥0，那么≤，当且仅当a＝b时，等号成立．
(3)设a，b为正实数，则有：
min{a，b}≤≤ ≤≤ ≤max{a，b}．
(4)若ab>0，则＋≥2.
(5)a，b∈R，都有ab≤≤成立．
(6)a，b，c∈R，都有a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
一、分类讨论思想在解含参数不等式中的应用
例1 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.
分析 先求出相应方程的根，再就两根的大小进行讨论．
解 原不等式可化为(x－1)(ax－1)<0.
(1)当a＝0时，原不等式化为－x＋1<0，∴x>1，
所以原不等式的解集为{x|x>1}；
(2)当a<0时，原不等式化为(x－1)>0，
又<0，∴x<或x>1，
所以原不等式的解集为；
(3)当a>0时，原不等式化为(x－1)<0，
对应方程(x－1)＝0的两根为1和.
①当01，∴1②当a＝1时，原不等式可化为(x－1)2<0，无解；
③当a>1时，<1，∴综上所述，当a<0时，原不等式的解集为
；
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x>1}；
当0当a＝1时，原不等式的解集为?；
当a>1时，原不等式的解集为.
二、数形结合思想在线性规划中的应用
例2 已知实数x，y满足
(1)若z＝2x＋y，求z的最大值和最小值；
(2)若z＝x2＋y2，求z的最大值和最小值；
(3)若z＝，求z的最大值和最小值．
分析 表示点(x，y)与原点(0,0)的距离，表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率．
解
不等式组
表示的平面区域
如图所示．
图中阴影部分即为可行域．
由
得 ∴A(1,2)；
由得 ∴B(2,1)；
由得 ∴M(2,3)．
(1)∵z＝2x＋y，∴y＝－2x＋z，
当直线y＝－2x＋z经过可行域内点M(2,3)时，直线在y轴上的截距最大，此时z也最大，zmax＝2×2＋3＝7.
当直线y＝－2x＋z经过可行域内点A(1,2)时，
直线在y轴上的截距最小，此时z也最小，zmin＝2×1＋2＝4.
所以z的最大值为7，最小值为4.
(2)过原点(0,0)作直线l垂直直线x＋y－3＝0，垂足为N，
则直线l的方程为y＝x，
由 得 ∴N，
点N在线段AB上，也在可行域内．
此时可行域内点M到原点的距离最大，点N到原点的距离最小．
又OM＝，ON＝ ，
即 ≤≤.∴≤x2＋y2≤13，
所以，z的最大值为13，最小值为.
(3)∵kOA＝2，kOB＝，∴≤≤2，
所以z的最大值为2，最小值为.
三、分离参数在恒成立问题中的应用
例3 设函数f(x)＝lg ，其中a∈R，n∈N*且n≥2，如果当x∈(－∞，1]时，f(x)有意义，求a的取值范围．
解 由题意知，当x∈(－∞，1]时，
1＋2x＋3x＋…＋(n－1)x＋nx·a>0恒成立(n∈N*且n≥2)．
所以a>－，
令g(x)＝－，
因为函数y＝－x (1≤k≤n－1)在(－∞，1]上递增，所以g(x)在(－∞，1]上递增，
所以g(x)≤g(1)＝－
＝－(n－1)，所以a>－(n－1)即为所求．
例4 若关于x的方程4x＋a·2x＋a＋1＝0有实数解，求实数a的取值范围．
解 令2x＝t>0，换元后转化为一元二次方程在(0，＋∞)上有实数解．求a的范围，另外若将参数a分离出来，则问题转化为求函数值域问题，用均值不等式很容易求解．
令2x＝t>0，原方程化为t2＋at＋a＋1＝0
∴a＝－＝－＝－
＝－≤－2＋2＝2－2.
∴a的取值范围是a≤－2.
四、函数单调性在求最值中的应用
例5 已知a，b为正实数，且a＋b＝1，求y＝的最小值．
解 y＝＝ab＋＋＋
＝ab＋＋＝ab＋＋
＝ab＋－2.
令ab＝t，∵a＋b＝1，∴ab≤＝.
∴t∈，∵y＝ab＋－2＝t＋－2
在上单调递减，∴ymin＝＋8－2＝.
当且仅当t＝，ab＝，即a＝b＝时取“＝”．
例6 (综合应用)
某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m2的三级污水处理池(平面图如图所示)．如果池四周围墙建造单价为400元/m，中间两道隔墙建造单价为248元/m，池底建造单价为80元/m2，水池所有墙的厚度忽略不计．
(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；
(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16 m，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．
分析 首先把造价表示为某一变量的函数，再利用均值不等式、函数单调性等知识求出最小值．
解 设污水处理池的长为x m，则宽为 m，再设总造价为y元，则有
(1)y＝2x×400＋×2×400＋248×2×＋80×200
＝800x＋＋16 000≥2
＋16 000＝2×800×18＋16 000＝44 800，
当且仅当800x＝，即x＝18 m时，y取得最小值．
∴当污水池的长为18 m，宽为 m时总造价最低，
为44 800元．
(2)∵0∴12.5≤x≤16，x≠18，
∴不能用均值不等式，但我们可用函数单调性定义证明上述目标函数在区间[12.5,16]上是减函数，从而利用单调性求得最小值．
由(1)知，y＝φ(x)＝800＋16 000 (12.5≤x≤16)．
对任意x1、x2∈[12.5,16]，设x1则φ(x1)－φ(x2)＝800
＝>0.∴φ(x1)>φ(x2)，
故y＝φ(x)在[12.5,16]上为减函数．
从而有φ(x)≥φ(16)＝45 000，
∴当污水池的长度为16 m，宽为12.5 m时有最低总造价，最低总造价为45 000元．
五、放缩法在证明不等式中的应用
例7 已知0loga(ax＋ay)≤loga2＋.
证明 ∵0＝loga2＋logaa＝loga2＋(x＋y)＝loga2＋(x－x2)
＝loga2＋－2≤loga2＋＝右边
∴loga(ax＋ay)≤loga2＋.
六、比较法在证明不等式中的应用
例8 如果a2＋b2＋c2＝1，a，b，c是实数，试证：－≤ab＋bc＋ca≤1.
证明 先证：ab＋bc＋ca≤1
∵1－(ab＋bc＋ca)＝(a2＋b2＋c2)－(ab＋bc＋ca)
＝[(a2＋b2－2ab)＋(b2＋c2－2bc)＋(c2＋a2－2ca)]
＝[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0
∴1≥ab＋bc＋ca
即ab＋bc＋ca≤1.
再证：ab＋bc＋ca≥－.
∵ab＋bc＋ca－＝ab＋bc＋ca＋
＝ab＋bc＋ca＋＝(a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca)
＝(a＋b＋c)2≥0.
∴ab＋bc＋ca≥－.即－≤ab＋bc＋ca
综上所述，－≤ab＋bc＋ca≤1.
1．灵活拆项求函数最值
例1 求函数y＝的最小值．
解 y＝＝＋
＝＋－.
∵＋≥2＝4.
当且仅当＝，即x＝0时，取到最小值4.
因为－≥，
当x＝0时，－取到最小值－.
所以，ymin＝4－＝.
当且仅当x＝0时取到这一最小值．
2．分数的小性质有着大用途
例2 求证：···…·<.
证明 由真分数的性质知：
<<<<<<…<<
设A＝···…··
B＝···…··
易知：0即2
<·
∴2
<·····…···
即2<<
∴···…·<.
3．利用一次函数的保号性证明不等式
例3 设|a|<1，|b|<1，|c|<1，
求证：ab＋bc＋ca＋1>0.
证明 设f(x)＝(a＋b)x＋ab＋1
当x∈(－1,1)时，f(x)>0恒成立
?f(－1)>0且f(1)>0
∵f(－1)＝ab＋1－a－b＝(a－1)(b－1)>0
且f(1)＝a＋b＋ab＋1＝(a＋1)(b＋1)>0
∴当x∈(－1,1)时，f(x)＝(a＋b)x＋ab＋1>0恒成立．
∵c∈(－1,1)，∴f(c)＝ac＋bc＋ab＋1>0成立．
即ab＋bc＋ca＋1>0成立．
