福建省莆田第八中学2013-2014学年高二上学期期中考试数学（理）试题

莆田第八中学2013-2014学年高二上学期期中考试
数学理试题
一、选择题（每小题5分，总分60分）
1．下列四个命题中的真命题是(　　)
A．?x∈R，x2＋3<0 B．?x∈N，x2≥1 C．?x∈Z，使x5<1 D．?x∈Q，x2＝3
2、从2005个编号中抽取20个号码入样，采用系统抽样的方法，则抽样的间隔为 （ ）
A．99 B、99.5
3．方程表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是 （ ）
A． B．（0，2） C．（1，+∞） D．（0，1）
4．若，则“”是“方程表示双曲线”的( )
A.充分不必要条件. B.必要不充分条件. C.充要条件. D.既不充分也不必要条件.
5．某大学数学系共有本科生1 000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4∶3∶2∶1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为 (　　)．
A．80 B．40 C．60 D．20
6．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产A产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据：
x
3
4
5
6
y
2.5
t
4
4.5
根据上表提供的数据，求得y关于x的线性回归方程为＝0.7x＋0.35，那么表中t的值为(　　)
A．3 B．3.15 C．3.5 D．4.5
7．双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8.从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为 (　　)
A．－1 B．0 C．1 D．3
10．抛物线截直线所得弦长等于（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
11．过原点的直线与双曲线有两个交点，则直线的斜率的取值范围为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
12．已知Ω＝{(x，y)|x＋y≤6，x≥0，y≥0}，A＝{(x，y)|x≤4，y≥0，x－2y≥0}，若向区域Ω上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为(　　)
A. B. C. D.
二、填空题（每小题4分，总分16分）
13.已知命题p：，则命题p的否定是_________________；若命题p为假命题，则实数a的取值范围是_______________．
14.以双曲线-=1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是___ .
15．若点A的坐标为（3，2），F为抛物线的焦点，点P是抛物线上的一动点，则取得最小值时，点P的坐标是 。
16．方程所表示的曲线为C，有下列命题：
①若曲线C为椭圆，则；
②若曲线C为双曲线，则或；
③曲线C不可能为圆；
④若曲线C表示焦点在上的双曲线，则。
以上命题正确的是 。（填上所有正确命题的序号）
三、解答题题（本题共6小题，共74分）
17．（12分）已知动圆过定点F(0,2)，且与定直线L:y=-2相切.求动圆圆心的轨迹C的方程。
18.（12分）若p:q:且是的充分不必要条件,求实数的取值范围.
19．(12分)已知双曲线与椭圆共焦点，且以为渐近线，求双曲线方程．
20．（12分）椭圆的两个焦点F1、F2，点P在椭圆C上，且PF1⊥F1F2,,|PF1|=,
|PF2|=. （1）求椭圆C的方程； （2）若直线L过圆（x+2）2+（y-1）2=5的圆心M交椭圆于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线L的方程。
21．(12分)某校高三数学竞赛初赛考试后，对90分以上(含90分)的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示．若130～140分数段的人数为2人．
(1)求这组数据的平均数M；
(2)现根据初赛成绩从第一组和第五组(从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第五组)中任意选出两人，形成帮扶学习小组．若选出的两人成绩之差大于20，则称这两人为“黄金搭档组”，试求选出的两人为“黄金搭档组”的概率．
22、（14分）椭圆＞＞与直线交于、两点，且，其中为坐标原点.
（1）求的值；
（2）若椭圆的离心率满足≤≤，求椭圆长轴的取值范围.
草稿纸
高二理科数学必修3、选修2-1模块测试卷答案
三、解答题题（本题共6小题，共74分）
17.解：依题意，圆心的轨迹是以F(0,2)为焦点，L:y=-2为准线的抛物线上
因为抛物线焦点到准线距离等于4, 所以圆心的轨迹方程是x2=8y
18 .解：由题意p:，所以.
所以或.
q:，所以或.
又因为，所以 所以.

(2) 法一：设A，B的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2）. 由圆的方程为（x+2）2+(y－1)2=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）. 从而可设直线l的方程为 y=k(x+2)+1,
代入椭圆C的方程得 （4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k－27=0.
因为A，B关于点M对称. 所以 解得，
所以直线l的方程为 即8x-9y+25=0. (经检验，符合题意)
法二：已知圆的方程为（x+2）2+(y－1)2=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）.
设A，B的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).由题意x1x2且
① ②
由①－②得 ③
因为A、B关于点M对称，所以x1+ x2=－4, y1+ y2=2, 代入③得＝，即直线l的斜率为，所以直线l的方程为y－1＝（x+2），即8x－9y+25=0.(经检验，所求直线方程符合题意.)
{A1，B1}，{A2，B1}，{A3，B1}，{A4，B1}，{A1，B2}，{A2，B2}，{A3，B2}，{A4，B2}，22、解：设，由OP ⊥ OQ x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0
又将
，代入①化简得 .
(2) 又由（1）知，∴长轴 2a ∈ [].
故P(A)＝.