河北春晖中学2013-2014学年高中数学人教B版必修5学案+章末检测：第三章 不等式（7份）（7份打包）

第三章　不等式
§3.1　不等关系与不等式
1．不等式的基本性质
对于任意的实数a，b，有以下事实：
a>b?a－b>0；
a＝b?a－b＝0；
a这三条基本性质是差值比较法的理论依据．
例如：已知a>b>0，m>0，要比较与的大小，就可以采用以下方法：
－＝＝.
∵m>0，a>b>0，∴b－a<0，
∴<0，∴<.
2．不等式的性质包括“单向性”和“双向性”两个方面
单向性：
(1)a>b，b>c?a>c.
(2)a>b，c>d?a＋c>b＋d.
(3)a>b，c>0?ac>bc.
(4)a>b，c<0?ac(5)a>b>0，c>d>0?ac>bd.
(6)a>b>0，n为正实数?an>bn.
双向性：
(1)a－b>0?a>b；a－b＝0?a＝b；
a－b<0?a(2)a>b?b(3)a>b?a＋c>b＋c.
单向性主要用于证明不等式；双向性是解不等式的基础(当然也可用于证明不等式)．
若把c>0作为大前提，则a>b?ac>bc，若把c<0作为大前提，则a>b?ac解不等式：－x＋解　－x＋?－2x＋9<8x－1 (不等式两边都乘以12，等式方向不改变)
?－2x<8x－10 (不等式两边都加上－9)
?－10x<－10 (不等式两边都加上－8x)
?x>1 (不等式两边都乘以－，不等式方向改变！)
3．正分数的一个有趣性质
在a>b>0，m>0的条件下，我们可以利用比较法证明下列事实：<<1<<.
由<可知：一个正的真分数，分子、分母加上同一个正数，分数值将增大．例如：
<<<<<<<.
由<可知：一个正的假分数，分子、分母加上同一个分数，分数值将减小．例如：
>>>>>>>.
从函数的观点看：
当a>b>0时，函数f(x)＝在x∈[0，＋∞)上是单调递增的；函数f(x)＝在[0，＋∞)上是单调递减的．
一、利用作差法比较实数大小
方法链接：作差比较法比较两个实数大小，步骤可按如下四步进行，作差——变形——判断差的符号——得出结论．比较法的关键在于变形，变形过程中，常用的方法为因式分解和配方法．
例1　已知m∈R，a>b>1，f(x)＝，试比较f(a)与f(b)的大小．
解　可将f(a)与f(b)分别表示出来，然后根据m，a，b的取值范围进行比较，但由于m的取值不确定，所以应用分类讨论的方法求解．
由于f(x)＝，
所以f(a)＝，f(b)＝，
于是f(a)－f(b)＝－＝，
由于a>b>1，所以b－a<0，(a－1)(b－1)>0.
当m>0时，<0，所以f(a)当m<0时，>0，所以f(a)>f(b)；
当m＝0时，＝0，所以f(a)＝f(b)．
二、利用作商法比较实数大小
方法链接：作商比较法比较两个实数的大小，依据如下：
(1)若a，b都是正数，则a>b?>1；
a(2)若a，b都是负数，则a>b?<1.
a1；a＝b?＝1.
作商比较法的基本步骤为：
①作商；②变形；③与1比较大小；④下结论．
例2　设a>0，b>0，且a≠b，试比较aabb，abba，(ab)三者的大小．
解　∵＝aa－·bb－＝a·b＝
当a>b>0时，>1，a－b>0，>0
∴>0＝1，∴aabb>(ab).
当0∴>0＝1，∴aabb>(ab).
所以，不论a>b>0还是0(ab).
同理：(ab)>abba.综上所述，aabb>(ab)>abba.
三、利用不等式的性质比较大小
方法链接：利用不等式的性质比较代数式的大小，有时要结合函数的单调性加以判断．
例3　对于0①loga(1＋a)loga
③a1＋aa1＋
其中成立的是(　　)
A．①与③ B．①与④
C．②与③ D．②与④
解析　∵0而y＝loga x在(0，＋∞)上与y＝ax在R上均为减函数，
∴loga(1＋a)>loga，a1＋a>a1＋.
答案　D
四、利用不等式性质求参数范围
方法链接：在含有参变量的某些函数、方程和不等式中，有时要求确定参变量的取值范围．此类问题常常使学生感到束手无策，即使能解，过程也十分繁琐．对这类问题，如能把参变量分离出来，问题就会化难为易，化繁为简，下面以例说明．
例4　是否存在实数a，使不等式＋＋＋…＋>loga (a－1)＋对一切大于1的自然数n都恒成立？如果存在，试确定a的取值范围，否则说明原因．
解　记f(n)＝＋＋＋…＋ (n∈N*，且n≠1)．如果存在题意中要求的实数a，
那么loga(a－1)＋<[f(n)]min
∴f(n)－f(n＋1)＝－－
＝－<0，
∴f(n)为增函数，
故[f(n)]min＝f(2)＝＋＝，
loga(a－1)＋<，
由此可解得1误用不等式的性质而致错
例　已知：1≤a－b≤2且2≤a＋b≤4，求4a－2b的范围．
[错解]　由于1≤a－b≤2①
2≤a＋b≤4②
①＋②得3≤2a≤6
≤a≤3③
②＋①×(－1)得0≤2b≤3
0≤b≤④
③×4＋④×(－2)得3≤4a－2b≤12.
[点拨]　上面的解法看上去似乎每一步都是合情合理的，但实际上答案是错误的．那到底是为什么呢？我们先看不等式4a－2b≥3什么时候取等号，由上述解题过程可知，当a＝且b＝时，才取等号，而此时a－b＝0，不满足①式，因此4a－2b是不能等于3的．同理可验证4a－2b也不能等于12，出现上述错误的原因是“同向不等式两边分别相加所得不等式与原不等式同向”这一性质是单向的，用它来做变形，是非同解变形．因此结论是错误的．
[正解]　换元法
令a＋b＝μ，a－b＝v，则2≤μ≤4,1≤v≤2.
由　解得.
∴4a－2b＝4·－2·
＝2μ＋2v－μ＋v＝μ＋3v.
而2≤μ≤4,3≤3v≤6，则5≤μ＋3v≤10.
∴5≤4a－2b≤10.
例　设00，a≠1，试比较|loga(1－x)|和|loga(1＋x)|的大小．
解　方法一　首先判断对数式loga(1－x)和loga(1＋x)的符号，以便去掉绝对值符号，然后作差比较．解题过程必须注意对数函数的单调性．
∵0(1)当a>1时，loga(1－x)<0，loga(1＋x)>0
∴P＝|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|
＝－loga(1－x)－loga(1＋x)
＝－loga(1－x2)
∵0<1－x2<1，∴－loga(1－x2)>0.
故P>0，得|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|.
(2)当0loga(1－x)>0，loga(1＋x)<0
∴P＝|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|
＝loga(1－x)＋loga(1＋x)
＝loga(1－x2)
∵0<1－x2<1，∴loga(1－x2)>0.即P>0.
故|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|
综上所述，当a>0，a≠1时，均有
|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|.
方法二　将两数平方去绝对值后作差比较，由于对数函数的底数取值范围对对数式正负取值有影响，故需分类讨论．
P＝log(1－x)－log(1＋x)
＝[loga(1－x)＋loga(1＋x)][loga(1－x)－loga(1＋x)]
＝loga(1－x2)loga
由已知00<1－x2<1,0<1－x<1,1<1＋x<2，
∴0<1－x<1＋x，∴0<<1.
(1)当a>1时，loga(1－x2)<0，loga <0，
∴P>0；
(2)当0loga(1－x2)>0，loga >0，∴P>0
综合(1)、(2)知，当a>0，a≠1时总有
log(1－x)>log(1＋x)
故|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|.
方法三　将两式用作商法进行比较，根据对数换底公式
＝|log(1＋x)(1－x)|
∵0∴0<1－x2<1，
∴1－x<
∴log(1＋x)(1－x)∴|log(1＋x)(1－x)|>1，
∴|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|.
1．如果xA．yC．1解析　不等式转化为
?1答案　D
2．若0A．a1b1＋a2b2 B．a1a2＋b1b2
C．a1b2＋a2b1 D.
解析　方法一　特殊值法．
令a1＝，a2＝，b1＝，b2＝，
则a1b1＋a2b2＝＝，a1a2＋b1b2＝＝，
a1b2＋a2b1＝＝，
∵>>，∴最大的数应是a1b1＋a2b2.
方法二　作差法．
∵a1＋a2＝1＝b1＋b2且0∴a2＝1－a1>a1，b2＝1－b1>b1，
∴0又a1b1＋a2b2＝a1b1＋(1－a1)(1－b1)
＝2a1b1＋1－a1－b1，
a1a2＋b1b2＝a1(1－a1)＋b1(1－b1)
＝a1＋b1－a－b，
a1b2＋a2b1＝a1(1－b1)＋b1(1－a1)
＝a1＋b1－2a1b1，
∴(a1b2＋a2b1)－(a1a2＋b1b2)＝a＋b－2a1b1
＝(a1－b1)2≥0，
∴a1b2＋a2b1≥a1a2＋b1b2.
∵(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)
＝4a1b1＋1－2a1－2b1
＝1－2a1＋2b1(2a1－1)
＝(2a1－1)(2b1－1)
＝4>0，
∴a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1.
∵(a1b1＋a2b2)－＝2a1b1＋－a1－b1
＝b1(2a1－1)－(2a1－1)＝(2a1－1)
＝2>0，
∴a1b1＋a2b2>.
综上可知，最大的数应为a1b1＋a2b2.
答案　A
§3.2　均值不等式
1．一个常用的均值不等式链
设a>0，b>0，则有：
min{a，b}≤≤ ≤≤ ≤max{a，b}，
当且仅当a＝b时，所有等号成立．
若a>b>0，则有：
b<<<< 2．均值不等式的拓展
(1)a，b∈R，都有ab≤≤成立．
(2)a2＋b2≥2ab可以加强为a2＋b2≥2|a|·|b|，当且仅当|a|＝|b|时取等号．
(3)a，b，c∈R，都有a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca成立．
(4)若ab>0，则＋≥2.
3．利用均值不等式求最值的法则
均值不等式≤ (a，b为正实数)常用于证明不等式或求代数式的最值．
(1)当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即ab≤2，当且仅当a＝b时，等号成立．
(2)当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即a＋b≥2，当且仅当a＝b时，等号成立．
注意：利用均值不等式求代数式最值，要注意满足三个条件：①两个正数；②两个正数的积或和为定值；③取最值时，等号能成立．概括为“一正、二定(值)、三相等”．
4．函数f(x)＝x＋ (k>0)的单调性在求最值中的应用
有些最值问题由于条件的限制使等号取不到，其最值又确实存在，我们可以利用函数f(x)＝x＋ (k>0)的单调性加以解决．
利用函数单调性的定义可以证明函数f(x)＝x＋ (k>0)在(0，]上单调递减，在[，＋∞)上单调递增．
因为函数f(x)＝x＋ (k>0)是奇函数，所以f(x)＝x＋ (k>0)在(－∞，－]上为增函数，在[－，0)上为减函数．
函数f(x)＝x＋ (k>0)在定义域上的单调性如右图所示．
例如：求函数f(x)＝sin2x＋，x∈(0，π)的最小值．
解　令t＝sin2x，x∈(0，π)，g(t)＝t＋.
t∈(0,1]，易知g(t)在(0,1]上为单调递减函数，
所以当t＝1时，g(t)min＝6.
即sin x＝1，x＝时，f(x)min＝6.
一、利用均值不等式求最值
方法链接：均值不等式是求函数最值的有利工具，在使用均值不等式求函数最值时，要注意应用条件“一正、二定、三相等”．不要仅仅关注结构上的定值，而忽略对相等条件的考察．
例1　求函数y＝的最大值．
解　设t＝，从而x＝t2－2(t≥0)，则y＝.
当t＝0时，y＝0；当t>0时，y＝≤＝.
当且仅当2t＝，即t＝时等号成立．
即当x＝－时，ymax＝.
二、利用均值不等式解恒成立问题
方法链接：含参数的不等式恒成立问题，通过分离参数，把参数的范围化归为函数的最值问题．a>f(x)恒成立?a>[f(x)]max，a例2　已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1) B．(－∞，2－1)
C．(－1,2－1) D．(－2－1,2－1)
解析　由f(x)>0得32x－(k＋1)·3x＋2>0，
解得k＋1<3x＋，而3x＋≥2，
∴k＋1<2，k<2－1.
答案　B
三、利用均值不等式证明不等式
方法链接：证明不等式时应根据求证式两端的结构，合理选择重要不等式及其变形不等式；本题的证明方法在论证对称不等式时具有一定的普遍性．
例3　已知a>2，求证：loga(a－1)·loga(a＋1)<1.
证明　因为a>2，所以loga(a－1)>0，loga(a＋1)>0.
又loga(a－1)≠loga(a＋1)，
所以<
＝loga(a2－1)四、均值不等式的实际应用
方法链接：应用均值不等式解决实际问题时，要注意把要求最值的变量设为函数，列函数解析式时，要注意所设变量的范围．
例4　某公司计划用一块土地建造一幢总面积为A m2的办公大楼，已知征地的费用是2 388元/m2，每层的建筑面积相同，土地的征用面积是每层面积的2.5倍，经工程技术人员核算，第一、二层的建设费用相同，费用为445元/m2，以后每增高一层，建筑费用就增加30元/m2，试设计这幢办公楼的楼层数，使总费用最少，并求其最少总费用．(总费用＝建筑费用＋征地费用)
解　设建造这幢办公楼的楼层数为n，总费用为y元，
当n＝1时，y＝2.5·A·2 388＋445A＝6 415A(元)，
当n＝2时，y＝2.5··2 388＋445A＝3 430A(元)，
当n≥3时，y＝2.5··2 388＋445·＋(445＋30)·＋(445＋60)·＋…＋[445＋30(n－2)]·＝6 000·＋15nA＋400A≥2A＋400A
＝1 000A(元)(当且仅当n＝20时取等号)．
即n＝20时，有最小值1 000A元，所以，当建造这幢办公楼的楼层数为20时，总费用最少，为1 000A元．
1．忽略应用均值不等式的前提条件而致错
例1　求f(x)＝2＋log2x＋(0[错解]　f(x)＝2＋log2x＋
≥2＋2＝2＋2.
∴f(x)min＝2＋2.
这实际是一个错解，错在哪里？请你找出来．
[点拨]　∵0[正解]　∵00，>0.
∴(－log2x)＋≥2 ＝2.
∴log2x＋≤－2.
∴f(x)＝2＋log2x＋≤2－2.
当且仅当log2x＝时，即x＝2－时取等号．
∴f(x)max＝2－2.
2．忽略等号成立的条件而致错
例2　已知m2＋n2＝a，x2＋y2＝b (a、b为大于0的常数且a≠b)，求mx＋ny的最大值．
[错解]　∵mx≤，ny≤，
∴mx＋ny≤＋＝＝.
当且仅当m＝x，n＝y时取“＝”．
[点拨]　如果m＝x，n＝y，则会有m2＋n2＝x2＋y2＝a＝b，这与条件“a≠b”矛盾，如果m＝x，n＝y中有一个不成立，则“＝”取不到，则不满足使用均值不等式的条件．
[正解]　利用三角代换可避免上述问题．
∵m2＋n2＝a，∴设 (α∈[0,2π))，
∵x2＋y2＝b，∴设(β∈[0,2π))
∴mx＋ny＝cos αcos β＋sin αsin β
＝(cos αcos β＋sin αsin β)＝cos(α－β)≤
∴(mx＋ny)max＝，
当且仅当cos(α－β)＝1，α＝β时取“＝”．
3．两次利用均值不等式而致错
例3　已知x>0，y>0，且x＋2y＝1，求＋的最小值．
[错解]　因为x>0，y>0，且x＋2y＝1，
＋＝(x＋2y)≥2×2＝4.
所以＋的最小值为4.
[点拨]　上述解答是错误的，错因是连续两次使用均值不等式解题忽视了等号成立的一致性．
[正解]　因为x>0，y>0，且x＋2y＝1，
所以＋＝＋＝1＋2＋＋
≥3＋2＝3＋2.
当且仅当＝且x＋2y＝1，
即x＝－1，y＝1－时，取得等号．
所以＋的最小值为3＋2.
例　若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，求ab的取值范围.
解　方法一　把代数式ab转化为a(或b)的函数．
∵ab＝a＋b＋3，∴b＝∵b>0，∴a>1.
∴ab＝＝＝
＝(a－1)＋＋5
∵a>1，∴a－1>0，∴(a－1)＋≥2＝4.
∴ab≥9，当且仅当a－1＝，即a＝3，b＝3时，取“＝”．
方法二　利用均值不等式a＋b≥2，把a＋b转化为ab，再求ab的范围．
∵a＋b≥2，∴ab＝a＋b＋3≥2＋3.
∴ab－2－3≥0，∴(－3)(＋1)≥0.
∴≥3，∴ab≥9，
从以上过程可以看出：当且仅当a＝b＝3时，取“＝”．
方法三　把a，b视为一元二次方程x2＋(3－ab)x＋ab＝0的两个根，那么该方程应有两个正根．
所以有：
其中由Δ＝(3－ab)2－4ab＝a2b2－10ab＋9
＝(ab－9)(ab－1)≥0，解得ab≥9或ab≤1.
∵x1＋x2＝ab－3>0，∴ab≥9.
又ab＝a＋b＋3，∴a＋b＝6，
∴当且仅当a＝b＝3时取“＝”．
1．已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是(　　)
A. B．4 C. D．5
解析　∵a＋b＝2，∴＝1.∴＋＝(＋)()＝＋(＋)≥＋2＝(当且仅当＝，即b＝2a时，“＝”成立)，故y＝＋的最小值为.
答案　C
2．(2009·天津)设a>0，b>0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为(　　)
A．8 B．4 C．1 D.
解析　由题意知3a·3b＝3，即3a＋b＝3，
所以a＋b＝1.
因为a>0，b>0，所以＋＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b时，等号成立．
答案　B
赏析　本题考查了等比中项的概念、均值不等式，解答本题时要注意等号成立的条件是否具备，防止最小值取不到．
3.3　一元二次不等式及其解法
1．一元一次不等式
通过同解变形，一元一次不等式可化为：ax>b.若a>0，则其解集为.若a<0，则其解集为.
若a＝0，b<0，解集为R；b≥0，解集为?.
2．三个“二次”的关系
通过同解变形，一元二次不等式可化为：ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0 (a>0)．
不妨设方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1、x2且x1从函数观点来看，一元二次不等式ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)在x轴上方部分的点的横坐标x的集合；ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集，就是二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)在x轴下方部分的点的横坐标x的集合．
从方程观点来看，一元二次方程的根是对应的一元二次不等式解集的端点值．
3．简单的高次不等式的解法——数轴穿根法
数轴穿根法来源于实数积的符号法则，例如要解不等式(x－1)(x－2)(x－3)>0.我们可以列表如下：
x的区间
x<1
12x>3
x－1
－
＋
＋
＋
x－2
－
－
＋
＋
x－3
－
－
－
＋
(x－3)(x－2)
·(x－1)
－
＋
－
＋
把表格的信息“浓缩”在数轴得：
据此，可写出不等式(x－1)(x－2)(x－3)>0的解集是{x|13}．
一般地，利用数轴穿根法解一元高次不等式的步骤是：
(1)化成形如p(x)＝(x－x1)(x－x2)…(x－xn)>0 (或<0)的标准形式；
(2)将每个因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每个点画曲线；
(3)奇次根依次穿过，偶次根穿而不过(即不要改变符号)；
(4)根据曲线显现出的p(x)的符号变化规律，标出p(x)的正值区间和负值区间；
(5)写出不等式的解集，并检验零点是否在解集内．
4．分式不等式的解法
(1)>0?f(x)·g(x)>0.
(2)<0?f(x)·g(x)<0.
(3)≥0?.
(4)≤0?.
注意：解不等式时，一般情况下不要在两边约去相同的因式．
例如：解不等式：>.
解　原不等式?－>0
?>0?>0
?x<－或－3.
∴原不等式的解集为
∪∪(3，＋∞)．
5．恒成立问题
(1)f(x)≥a，x∈D恒成立?f(x)min≥a，x∈D恒成立；
f(x)≤a，x∈D恒成立?f(x)max≤a，x∈D恒成立；
(2)ax2＋bx＋c>0恒成立?或
ax2＋bx＋c<0恒成立?或.
6．一元二次方程根的分布
我们以ax2＋bx＋c＝0 (a>0)为例，借助开口方向向上的二次函数的图象给出根的分布的充要条件.
根的分布
二次函数的图象
充要条件
x1f(k)<0
x1kk1k1一、分式不等式的解法
方法链接：解分式不等式通常是移项通分再求解，切忌随意去分母(仅在分母恒大于零时可以去分母)．
例1　解不等式：≥x.
解　原不等式?－x≥0
?≥0
?≥0
?≤0
?≤0
?≤0.
由图可知，原不等式的解集为{x|x<－1或2≤x<3}．
二、含参数不等式的解法
方法链接：对于含有参数的不等式，由于参数的取值范围不同，其结果就不同，因此必须对参数进行分类讨论，即要产生一个划分参数的标准．
例2　解不等式：解　原不等式?>0
?(x＋2)(kx＋3k＋2)>0
当k＝0时，原不等式解集为{x|x>－2}；
当k>0时，(kx＋3k＋2)(x＋2)>0，
变形为(x＋2)>0
∵＝3＋>3>2，∴－<－2.
∴x<－或x>－2.
故解集为.
当k<0时，原不等式?(x＋2)<0
由(－2)－＝.
∴当－2不等式的解集为；
当k＝－2时，－＝－2，
原不等式?(x＋2)2<0不等式的解集为?；
当k<－2时，>0，－2>－.
不等式的解集为.
综上所述，当k＝0时，不等式的解集为{x|x>－2}；
当k>0时，不等式的解集为
；
当－2；
当k＝－2时，不等式的解集为?；
当k<－2时，不等式的解集为
.
三、恒成立问题的解法
方法链接：在含参数的恒成立不等式问题中，参数(“客”)和未知数(“主”)是相互牵制、相互依赖的关系，在这里是已知参数a(“客”)的取值范围，反过来求x(“主”)的取值范围，若能转换“主”与“客”两者在问题中的地位：视参数a为“主”，未知数x为“客”，则关于x的一元二次不等式就立即转化为关于a的一元一次不等式，运用反“客”为“主”的方法，使问题迎刃而解．
例3　已知不等式x2＋px＋1>2x＋p.
(1)如果不等式当|p|≤2时恒成立，求x的取值范围；
(2)如果不等式当2≤x≤4时恒成立，求p的取值范围．
分析　题中不等式含有两个字母x，p，由(1)的条件可知，应视p为变量，x为常量，再求x的范围；由(2)的条件可知，应视x为变量，p为常量，再求p的范围．
解　(1)不等式化为：(x－1)p＋x2－2x＋1>0，
令f(p)＝(x－1)p＋x2－2x＋1，
则f(p)的图象是一条直线．又因为|p|≤2，
所以－2≤p≤2，于是得：
即即
∴x>3或x<－1.故x的取值范围是x>3或x<－1.
(2)不等式可化为(x－1)p>－x2＋2x－1，
∵2≤x≤4，∴x－1>0.
∴p>＝1－x.由于不等式当2≤x≤4时恒成立，所以p>(1－x)max.
而2≤x≤4，所以(1－x)max＝－1，
于是p>－1.故p的取值范围是p>－1.
四、一元二次方程根的分布
方法链接：一元二次方程根的分布一般要借助一元二次函数的图象加以分析，准确找到限制根的分布的充要条件．常常从以下几个关键点去限制，①判别式，②对称轴，③根所在区间端点函数值的符号．
例4　已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.若方程有两根，其中一根在(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的取值范围．
解　设f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1，
根据题意，画出示意图由图分析可得，m满足不等式组
　
解得：－五、一元二次不等式的实际应用
方法链接：解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，解出不等式后还应注意变量应具有的“实际含义”．
例5　国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点．即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点．试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.
分析　
对比项
调整前
调整后
税率
8%
(8－x)%
收购量
m(吨)
(1＋2x%)m(吨)
税收总收入
2 400m×8%
2 400(1＋2x%)m
×(8－x)%
解　设税率调低后的“税收总收入”为y元．
y＝2 400m(1＋2x%)·(8－x)%
＝－m(x2＋42x－400) (0依题意，y≥2 400m×8%×78%
即：－m(x2＋42x－400)≥2 400m×8%×78%
整理得x2＋42x－88≤0，解得－44≤x≤2.
根据x的实际意义，知01．忽略判别式的适用范围而致错
例1　若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对x∈R恒成立，求实数a的取值范围．
[错解]　不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0，
对x∈R恒成立．
?
?－2[点拨]　当a－2＝0时，原不等式不是一元二次不等式，不能应用根的判别式，应当单独检验不等式是否成立．
[正解]　当a－2＝0，即a＝2时，
原不等式为－4<0，所以a＝2时成立．
当a－2≠0时，由题意得，
即，
解得－2综上所述，可知－2温馨点评　在中学阶段，“判别式”是与“二次”联系在一起的，对于一元一次不等式不能应用判别式法来判断．在处理形如ax2＋bx＋c的问题时，要注意对x2系数的讨论．
2．混淆“定义域为R”与“值域为R”的区别而致错
例2　若函数y＝lg(ax2－2x＋a)的值域为R，求a的取值范围．
[错解1]　∵函数y＝lg(ax2－2x＋a)的值域为R.
∴ax2－2x＋a>0对x∈R恒成立．
∴，即，∴a>1.
[错解2]　∵函数y＝lg(ax2－2x＋a)的值域为R.
∴代数式ax2－2x＋a能取遍一切正值．
∴Δ＝4－4a2≥0，∴－1≤a≤1.
[点拨]　上述解法1把值域为R误解为定义域为R；解法2虽然理解题意，解题方向正确，但是忽略了a<0时，代数式ax2－2x＋a不可能取到所有正数，从而也是错误的．
[正解]　当a＝0时，y＝lg(－2x)值域为R，
a＝0适合．
当a≠0时，ax2－2x＋a＝a2＋为使y＝lg(ax2－2x＋a)的值域为R，
代数式ax2－2x＋a应取到所有正数．
所以a应满足，解得0综上所述，0≤a≤1.
例　解不等式：≤3－lg x.
解　方法一　≤3－lg x
??
??1≤lg x≤2?10≤x≤100.
方法二　设＝t，
则lg x＝t2＋1 (t≥0)．
∴≤3－lg x?
?0≤t≤1
?0≤≤1
?1≤lg x≤2
?10≤x≤100.
方法三　解方程＝3－lg x，
解得：x＝100.
令f(x)＝，
易知f(x)在[10，＋∞)为增函数，
g(x)＝3－lg x在[10，＋∞)为减函数．
且f(100)＝g(100)＝1.为使f(x)≤g(x)，
则10≤x≤100.
方法四　令lg x＝t，f(t)＝，g(t)＝3－t.
在同一坐标系中画出它们的图象如图所示：
易知交点为(2,1)．
当1≤t≤2时，f(t)≤g(t)．
即≤3－lg x成立．
由1≤t≤2，即1≤lg x≤2，
解得：10≤x≤100.
1．若不等式≤k(x＋2)－的解集为区间[a，b]，且b－a＝2，则k＝________.
解析　令y1＝，
y2＝k(x＋2)－，在同一个坐标系中作出其图象，因≤k(x＋2)－的解集为[a，b]且b－a＝2.
结合图象知b＝3，a＝1，即直线与圆的交点坐标为(1,2)．
∴k＝＝.
答案　
赏析　本题主要考查解不等式、直线过定点问题以及数形结合的数学方法．
2．设0(ax)2的解集中的整数恰有3个，则(　　)
A．－1C．1解析　(x－b)2>(ax)2，(a2－1)x2＋2bx－b2<0，要使x的解集中恰有3个整数，必须有a2－1>0.
又a＋1>0，∴a>1.
不等式变形为[(a－1)x＋b][(a＋1)x－b]<0.
∵a>1，b>0，∴>0,0<<1，
∴其中含三个整数，∴－3≤<－2,2<≤3.
∴2a－2∴∴∴1答案　C
赏析　本题考查了一元二次不等式知识灵活地运用．
§3.4　不等式的实际应用
自主学习
知识梳理
1．设a，b是两个正数，则≤________≤________≤ .
2．已知x，y是正数，如果xy是常数p，则x＋y有最______值，且这个值是________；如果x＋y是常数S，则xy有最______值，且这个值是________．
3．解有关不等式应用题的步骤
(1)设未知数．用字母表示题中的未知数．
(2)列不等式(组)．找出题中的不等量关系，列出关于未知数的不等式(组)．
(3)解不等式(组)．运用不等式知识求解不等式(组)，同时要注意未知数在实际问题中的取值范围．
(4)答．规范地写出答案．
自主探究
向a克糖水中加入m克糖，糖水变得更甜了．你能把这一现象用一个不等式表示出来吗？
对点讲练
知识点一　和一次不等式或分式不等式有关的应用题
例1　某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：
消费金额(元)的范围
[200，400)
[400，500)
[500，700)
[700，900)
…
获得奖券的金额(元)
30
60
100
130
…
根据上述促销的方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠．例如，购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为：400×0.2＋30＝110(元)．
设购买商品得到的优惠率＝. 试问：
(1)若购买一件标价为1 000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？
(2)对于标价在[500,800](元)内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到不小于的优惠率？
总结　本题中的优惠额实质上是一个分段函数．
变式训练1　商场出售的A型冰箱每台售价为2 190元，每日耗电量为1度，而B型节能冰箱每台售价虽比A型冰箱高出10%，但每日耗电量却为0.55度．现将A型冰箱打折出售(打一折后的售价为原价的)，问商场至少打几折，消费者购买才合算(按使用期为10年，每年365天，每度电0.40元计算)?
知识点二　和二次不等式有关的应用问题
例2　汽车在行驶过程中，由于惯性作用，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要因素，在一个限速为40千米/时以内的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事后现场测得甲车的刹车距离为12米，乙车的刹车距离为超过10米，又知甲、乙两种车型的刹车距离s(米)与车速x(千米/时)之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2，问两车相撞的主要责任是谁？
总结　解实际应用问题，审题是关键，要把实际问题准确提炼为相应的不等式问题后再求解．
变式训练2　某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24 000元，为了减小耕地损失，决定按耕地价格的t%征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少t万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9 000万元，t应在什么范围内变动？
知识点三　和均值不等式有关的应用问题
例3　经过长期观测得到，在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间的函数关系为y＝ (v>0)．
(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.1千辆/小时)
(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？
总结　不等式的应用性问题，最值问题是重点，要读懂题意、理解实际背景、领悟数学实质，抽象归纳出其中的数量关系，建立数学模型，常用均值不等式求解．
变式训练3　某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格(每件x元)在501．解有关不等式的实际问题时，若文字较长，数据较多，要学会正确地梳理数据，准确地找出数据之间的主要联系，建立能反映问题实质的数学模型，再利用不等式求解．
2．解不等式实际应用题的思路
课时作业
一、选择题
1.
如图所示，某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N)为二次函数关系．则每辆客车营运多少年，其营运的年平均利润最大？(　　)
A．3年 B．4年 C．5年 D．6年
2．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站(　　)
A．5 km处 B．4 km处 C．3 km处 D．2 km处
3．把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是(　　)
A. cm2 B．4 cm2
C．3 cm2 D．2 cm2
4．做一个面积为1平方米，形状为直角三角形的框架，有下列四种长度的钢管供选用，其中最合理(够用且最省料)的是(　　)
A．4.7米 B．4.8米 C．4.9米 D．5米
二、填空题
5．三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，其中一条侧棱长为1，另两条侧棱长的和为4，则此三棱锥体积的最大值是______．
6．用两种材料做一个矩形框，按要求其长边和宽边选用价格每米分别为3元和5元的材料，且长和宽必须为整数，现预算花费不超过100元，则做成的矩形框的最大面积是________．
三、解答题
7.
某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200 m2的十字型地域．现计划在正方形MNPQ上建一花坛，造价为4 200元/m2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/m2，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/m2.
(1)设总造价为S元，AD的边长为x m，试建立S关于x的函数关系式；
(2)计划至少要投入多少元，才能建造这个休闲小区．
§3.4　不等式的实际应用
知识梳理
1.　
2．小　2　大　S2
自主探究
解　设原来a克糖水中含糖b克，加入m克糖后，糖水浓度变大了，用不等式表示为<(其中a，b，m均为正数，且a>b)．
证明如下：
－＝＝，
又a，b，m均为正数且a>b，
∴a－b>0，m(a－b)>0，a(a＋m)>0，∴>0.
因此，>，也就是糖水浓度更大了，糖水变得更甜了．
对点讲练
例1　解　(1)＝33%.
(2)设商品的标价为x元，则500≤x≤800，
消费额：400≤0.8x≤640，由已知得
①或②.
不等式组①无解，不等式组②的解为625≤x≤750.
因此，当顾客购买标价在[625,750]元内的商品时，可得到不小于的优惠率．
变式训练1　解　设商场将A型冰箱打x折出售，则消费者购买A型冰箱需耗资2 190×＋365×10×1×0.4(元)，
购买B型冰箱需耗资2 190(1＋10%)＋365×10×0.55×0.4(元)．
依题意，得2 190×＋365×10×1×0.4≤2 190×(1＋10%)＋365×10×0.55×0.4.
解不等式，得x≤8.
因此，商场应将A型冰箱至少打八折出售，消费者购买才合算．
例2　解　由题意知，对于甲车，令0.1x＋0.01x2＝12，解得x＝30或x＝－40(舍去)．即甲车的车速是30千米/时，没有超过限速．对于乙车，令0.05x＋0.005x2>10，解得x>40或x<－50(舍去)，即乙车超过了限速40千米/时，故乙车应负主要责任．
变式训练2　解　由题意可列不等式如下：
·24 000·t%≥9 000?3≤t≤5.
所以t%应控制在3%到5%范围内．
例3　解　(1)依题意，
y＝≤＝，
当且仅当v＝，即v＝40时，上式等号成立，
所以ymax＝≈11.1(千辆/小时)．
(2)由条件得>10，
整理得v2－89v＋1 600<0，
即(v－25)(v－64)<0，解得25故当v＝40千米/小时时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/小时．如果要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应大于25千米/小时且小于64千米/小时．
变式训练3　解　设销售价定为每件x元(50每天获得利润y元，则y＝(x－50)·P＝，
令t＝x－50，t∈(0,30]．
∴y＝＝＝≤＝2 500.
当且仅当t＝10，即x＝60时，ymax＝2 500.
∴要想每天获得的利润最多，销售价格每件应定为60元．
课时作业
1．C　[由图象设y＝a(x－6)2＋11 (a<0)．
当x＝4时，y＝7，∴4a＋11＝7，
∴a＝－1.∴y＝11－(x－6)2＝－x2＋12x－25
∴＝12－≤12－10＝2.
当且仅当x＝，即x＝5时，取“＝”，故选C.]
2．A　[设仓库应建在离车站x千米处．
由已知得y1＝2＝，得k1＝20，
∴y1＝，y2＝8＝k2·10，
得k2＝，∴y2＝x，
∴y1＋y2＝＋≥2＝8，
当且仅当＝，即x＝5时，费用之和最小．]
3．D　[设一个正三角形的边长为x cm，则另一个三角形的边长为(4－x) cm，两个三角形的面积和为
S＝x2＋(4－x)2＝[(x－2)2＋4]
≥2 (cm2)．]
4．C　[设直角三角形框架的两直角边分别为a，b.
则直角三角形框架的长度为＋a＋b
≥＋2＝(2＋)，
∵ab＝1.∴ab＝2，
∴＋(a＋b)≥(2＋)＝2＋2.
∵2＋2>4.8.∴应选用4.9米长的钢管．]
5.
解析　设一条侧棱长为x，另一条长为4－x，
则V＝·x(4－x)≤2＝.
当且仅当x＝2时“＝”成立．
6．40 m2
解析　设该矩形框长为x，宽为y，
则3x＋5y≤50(x、y∈N*)，
故≤≤25，于是xy≤，
又x、y∈N*，xy≤41，
若xy＝41，则只有x＝41，y＝1，与3x＋5y≤50不符；
若xy＝40，则x＝8，y＝5或x＝10，y＝4，
故矩形框的最大面积为40 m2.
7．解　(1)设DQ＝y，
则x2＋4xy＝200，y＝.
S＝4 200x2＋210×4xy＋80×4×y2
＝38 000＋4 000x2＋ (0(2)S＝38 000＋4 000x2＋
≥38 000＋2＝118 000，
当且仅当4 000x2＝，
即x＝时，Smin＝118 000(元)．
即计划至少要投入11.8万元才能建造这个休闲小区．
3.5　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
1．二元一次不等式(组)表示平面区域
(1)直角坐标平面内的一条直线Ax＋By＋C＝0把整个坐标平面分成三部分，即直线两侧的点集和直线上的点集．
(2)若点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)在直线l：Ax＋By＋C＝0的同侧(或异侧)，则Ax1＋By1＋C与Ax2＋By2＋C同号(或异号)．
(3)二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．
2．画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法
(1)直线定界，即若不等式不含等号，应把直线画成虚线；含有等号，把直线画成实线．
(2)特殊点定域，即在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的区域就是包括这个点的这一侧，否则就表示直线的另一侧．特别地，当C≠0时，常把原点作为测试点．当C＝0时，常把点(1,0)或点(0,1)作为测试点．
3．补充判定二元一次不等式表示的区域的一种方法
先证一个结论
已知点P(x1，y1)不在直线l：Ax＋By＋C＝0 (B≠0)上，证明：
(1)P在l上方的充要条件是B(Ax1＋By1＋C)>0；
(2)P在l下方的充要条件是B(Ax1＋By1＋C)<0.
证明　(1)∵B≠0，∴直线方程化为y＝－x－，
∵P(x1，y1)在直线上方，∴对同一个横坐标x1，直线上点的纵坐标小于y1，即y1>－x1－.(*)
∵B2>0，∴两端乘以B2，(*)等价于B2y1>(－Ax1－C)B，
即B(Ax1＋By1＋C)>0.
(2)同理，由点P在l下方，可得y1<－x1－，从而得B2y1<(－Ax1－C)B，
移项整理为B(Ax1＋By1＋C)<0.∵上述解答过程可逆，∴P在l上方?B(Ax1＋By1＋C)>0，
P在l下方?B(Ax1＋By1＋C)<0.
从而得出下列结论：
(1)B>0时，二元一次不等式Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0上方的平面区域(不包括直线)，而Ax＋By＋C<0表示直线Ax＋By＋C＝0下方的平面区域(不包括直线)．
(2)B<0时，二元一次不等式Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0下方的区域(不包括直线)，而二元一次不等式Ax＋By＋C<0表示直线Ax＋By＋C＝0上方的平面区域(不包括直线)．
(3)B＝0且A>0时，Ax＋C>0表示直线Ax＋C＝0右方的平面区域(不包括直线)，Ax＋C<0表示直线Ax＋C＝0左方的平面区域(不包括直线)．
(4)B＝0且A<0时，Ax＋C>0表示直线Ax＋C＝0左方的平面区域(不包括直线)，Ax＋C<0表示直线Ax＋C＝0右方的平面区域(不包括直线)．
一、二元一次不等式组表示的平面区域
方法链接：只要准确找出每个不等式所表示的平面区域，然后取出它们的重叠部分，就可以得到二元一次不等式组所表示的平面区域．
例1　在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A＝{(x，y)|x＋y≤1，且x≥0，y≥0}，则平面区域B＝{(x＋y，x－y)|(x，y)∈A}的面积为(　　)
A．2 B．1 C. D.
解析　令得，
得画出平面区域B的可行域如图，得到面积为1.
答案　B
二、平面区域所表示的二元一次不等式(组)
方法链接：由平面区域确定不等式时，我们可以选用特殊点进行判断，把特殊点代入直线方程Ax＋By＋C＝0，根据代数式Ax＋By＋C的符号写出对应的不等式，根据是否包含边界来调整符号．
例2　如图所示，四条直线x＋y－2＝0，x－y－1＝0，x＋2y＋2＝0,3x－y＋3＝0围成一个四边形，则这个四边形的内部区域(不包括边界)可用不等式组____________表示．
解析　(0,0)点在平面区域内，(0,0)点和平面区域在直线x＋y－2＝0的同侧，把(0,0)代入到x＋y－2，得0＋0－2<0，所以直线x＋y－2＝0对应的不等式为x＋y－2<0，
同理可得到其他三个相应的不等式为x＋2y＋2>0,3x－y＋3>0，x－y－1<0，
则可得所求不等式组为
答案　
三、和平面区域有关的非线性问题
方法链接：若目标函数为线性时，目标函数的几何意义与直线的截距有关．
若目标函数为形如z＝，可考虑(a，b)与(x，y)两点连线的斜率．
若目标函数为形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，可考虑(x，y)与(a，b)两点距离的平方．
例3　已知点P(x，y)满足点Q(x，y)在圆(x＋2)2＋(y＋2)2＝1上，则|PQ|的最大值与最小值为(　　)
A．6,3 B．6,2 C．5,3 D．5,2
解析　
可行域如图阴影部分，设|PQ|＝d，则由图中圆心C(－2，－2)到直线4x＋3y－1＝0的距离最小，则到点A距离最大．
由
得(－2,3)．
∴dmax＝|CA|＋1＝5＋1＝6，dmin＝－1＝2.
答案　B
四、简单的线性规划问题
方法链接：线性规划问题最后都能转化为求二元一次函数z＝ax＋by (ab≠0)的最值，将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值．
例4　某家具公司制作木质的书桌和椅子两种家具，需要木工和漆工两道工序，已知木工平均四个小时做一把椅子，八个小时做一张书桌，该公司每星期木工最多有8 000个工作时；漆工平均两小时漆一把椅子，一个小时漆一张书桌，该公司每星期漆工最多有1 300个工作时，又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元，根据以上条件，怎样安排生产能获得最大利润？
解　依题意设每星期生产x把椅子，y张书桌，
那么利润p＝15x＋20y.
其中x，y满足限制条件.
即点(x，y)的允许区域为图中阴影部分，它们的边界分别为4x＋8y＝8 000(即AB)，2x＋y＝1 300(即BC)，x＝0(即OA)和y＝0(即OC)．
对于某一个确定的p＝p0满足p0＝15x＋20y，且点(x，y)属于阴影部分的解x，y就是一个能获得p0元利润的生产方案．
对于不同的p，p＝15x＋20y表示一组斜率为－的平行线，且p越大，相应的直线位置越高；p越小，相应的直线位置越低．按题意，要求p的最大值，需把直线p＝15x＋20y尽量地往上平移，又考虑到x，y的允许范围，当直线通过B点时，处在这组平行线的最高位置，此时p取最大值．
由，得B(200,900)，
当x＝200，y＝900时，p取最大值，
即pmax＝15×200＋20×900＝21 000，
即生产200把椅子、900张书桌可获得最大利润21 000元．
1．忽略截距与目标函数值的关系而致错
例1　设E为平面上以A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界)，求z＝4x－3y的最大值与最小值．
[错解]　
把目标函数z＝4x－3y化为y＝x－z.
根据条件画出图形如图所示，
当动直线y＝x－z通过点C时，z取最大值；
当动直线y＝x－z通过点B时，z取最小值．
∴zmin＝4×(－1)－3×(－6)＝14；zmax＝4×(－3)－3×2＝－18.
[点拨]　直线y＝x－z的截距是－z，当截距－z最大即过点C时，目标函数值z最小；而当截距－z最小即过点B时，目标函数值z最大．此处容易出错．
[正解]　把目标函数z＝4x－3y化为y＝x－z.
当动直线y＝x－z通过点B时，z取最大值；
当动直线y＝x－z通过点C时，z取最小值．
∴zmax＝4×(－1)－3×(－6)＝14；
zmin＝4×(－3)－3×2＝－18.
2．最优整数解判断不准而致错
例2　设变量x，y满足条件求S＝5x＋4y的最大值．
[错解]　依约束条件画出可行域如图所示，如先不考虑x、y为整数的条件，则当直线5x＋4y＝S过点A时，S＝5x＋4y取最大值，Smax＝18 .
因为x、y为整数，所以当直线5x＋4y＝t平行移动时，从点A起通过的可行域中的整点是C(1,2)，此时Smax＝13.
[点拨]　上述错误是把C(1,2)作为可行域内唯一整点，其实还有一个整点B(2,1)，此时S＝14才是最大值．
[正解]　依据已知条件作出图形如图所示，因为B(2，1)也是可行域内的整点，由此得SB＝2×5＋1×4＝14，由于14>13，故Smax＝14.
例　某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘．根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有(　　)
A．5种　　　B．6种　　　C．7种　　　D．8种
解析　方法一　由题意知，按买磁盘盒数多少可分三类：买4盒磁盘时，只有1种选购方式；买3盒磁盘时，有买3片或4片软件两种选购方式；买2盒磁盘时，可买3片、4片、5片或6片软件，有4种选购方式，故共有1＋2＋4＝7种不同的选购方式．
方法二　先买软件3片，磁盘2盒，共需320元，还有180元可用，按不再买磁盘，再买1盒磁盘、再买两盒磁盘三类，仿方法一可知选C.
方法三　设购买软件x片，磁盘y盒．
则，画出线性约束条件表示的平面区域，如图所示．
落在阴影部分(含边界)区域的整点有(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)共7个整点．
答案　C
1．设实数x，y满足不等式组且x，y为整数，则3x＋4y的最小值是(　　)
A．14 B．16
C．17 D．19
答案　B
解析　作出可行域，如图中阴影部分所示，点(3,1)不在可行域内，利用网格易得点(4,1)符合条件，故3x＋4y的最小值是3×4＋4×1＝16.
2．若x，y满足约束条件，目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围是(　　)
A．(－1,2) B．(－4,2)
C．(－4,0] D．(－2,4)
解析　作出可行域如图所示，直线ax＋2y＝z仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－<2，
即－4答案　B
赏析　本题考查线性规划的基本知识，要利用好数形结合．

章末整合
知识概览
对点讲练
知识点一　一元二次不等式的解集
例1　已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}，
(1)求a，b；
(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0.
回顾归纳　(1)解含参数的不等式(x－a)(x－b)>0，要讨论a与b的大小再确定不等式的解．解一元二次不等式的一般过程是：一看(看二次项系数的符号)，二算(计算判别式，判断方程根的情况)，三写(写出不等式的解集)．
(2)应注意讨论ax2＋bx＋c>0的二次项系数a是否为零的情况．
(3)要注意体会数形结合与分类讨论的数学思想，分类讨论要做到“不重”“不漏”“最简”的三原则．
变式训练1　解关于x的不等式56x2＋ax－a2<0.
知识点二　利用均值不等式求最值
例2　(1)设0(2)求＋a (a<4)的取值范围；
(3)已知x>0，y>0，且x＋y＝1，求＋的最小值．
回顾归纳　利用均值不等式求函数最值，可利用条件对函数式进行转化，构造成均值不等式成立的形式．应用时应满足“一正、二定、三相等”特别是相等条件的运用，可同时求得取得最值时应满足的条件．
变式训练2　(1)求函数y＝ (x>－1)的最小值；
(2)已知：x>0，y>0且3x＋4y＝12.求lg x＋lg y的最大值及相应的x，y值．
知识点三　简单的线性规划
例3　已知x、y满足约束条件.
(1)求目标函数z＝2x－y的最大值和最小值；
(2)求z＝的取值范围．
回顾归纳　线性规划实质上是“数形结合”思想的一种体现，即将最值问题直观、简便地寻找出来，是一种较为简捷的求最值的方法．
变式训练3　实系数一元二次方程x2＋ax＋2b＝0有两个根，一个根在区间(0,1)内，另一根在区间(1,2)内，求：
(1)点(a，b)对应的区域的面积；(2)的取值范围；
(3)(a－1)2＋(b－2)2的值域．

1．不等式的基本性质是比较大小、不等式性质的证明、不等式的证明、解不等式的主要依据．
2．不等式ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0的解集就是使二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0或小于0时的x的取值范围，应结合一元二次函数的图象去理解一元二次不等式的解集，解集的端点即为相应方程的实根或相应函数的零点．
3．应用均值不等式时，要创设符合定理的条件，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的目的在于使等号能够成立.
课时作业
一、选择题
1．若a<0，b<－1，则下列不等式成立的是(　　)
A．a>> B.>>a
C.>>a D.>a>
2．不等式组有解，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－1,3) B．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
C．(－3,1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
3．不等式≥2的解集是(　　)
A. B.
C.∪(1,3] D.∪(1,3]
4．向量＝(1,0)，＝(1,1)，O为坐标原点，动点P(x，y)满足条件，则点P的变化范围用阴影表示为(　　)
5．设x，y满足约束条件 若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为12，则＋的最小值为(　　)
A. B. C. D．4
二、填空题
6．若A＝(x＋3)(x＋7)，B＝(x＋4)(x＋6)，则A、B的大小关系为________．
7．函数y＝x(1－2x)(08．若正数a、b满足＋＝2，则a＋b的最小值为________．
三、解答题
9．若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3(1)解不等式2x2＋(2－a)x－a>0；
(2)b为何值时，ax2＋bx＋3≥0的解集为R.
10．某商店预备在一个月内分批购买每张价值为20元的书桌共36台，每批都购入x台(x是正整数)，且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比，若每批购入4台，则该月需用去运费和保管费共52元，现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费．
(1)求该月需用去的运费和保管费的总费用f(x)；
(2)能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．
章末整合
对点讲练
例1　解　(1)因为不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}，所以x1＝1与x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，且b>1.
由根与系数的关系，得
解得所以a＝1，b＝2.
(2)由(1)知不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0，
即x2－(2＋c)x＋2c<0，即(x－2)(x－c)<0.
①当c>2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|2②当c<2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为{x|c③当c＝2时，不等式(x－2)(x－c)<0的解集为?.
综上，当c>2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0的解集为{x|2当c<2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0的解集为{x|c当c＝2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0的解集为?.
变式训练1　解　原不等式可化为(7x＋a)(8x－a)<0，
即<0.
①当－<，即a>0时，－②当－＝，即a＝0时，原不等式解集为?；
③当－>，即a<0时，综上知，当a>0时，原不等式的解集为
；
当a＝0时，原不等式的解集为?；
当a<0时，原不等式的解集为.
例2　解　(1)∵0∴0<3x<6,8－3x>2>0，
∴y＝≤＝＝4，
当且仅当3x＝8－3x，即x＝时，取等号．
∴当x＝时，y＝有最大值4.
(2)当a<4时，a－4<0，
∴＋a＝＋(a－4)＋4＝－＋4
≤－2＋4＝－2＋4，
当且仅当＝(4－a)，即a＝4－时，取等号．
∴＋a的取值范围是(－∞，－2＋4]．
(3)∵x>0，y>0，且x＋y＝1，
∴＋＝(x＋y)＝10＋＋
≥10＋2＝18.
当且仅当＝，即x＝2y时，等号成立，
∴当x＝，y＝时，＋有最小值18.
变式训练2　解　(1)∵x>－1，∴x＋1>0.
∴y＝＝
＝(x＋1)＋＋5≥2＋5＝9.
当且仅当x＋1＝，即x＝1时，等号成立．
∴当x＝1时，函数y＝ (x>－1)的最小值为9.
(2)∵x>0，y>0，且3x＋4y＝12.
∴xy＝(3x)·(4y)≤2＝3.
∴lg x＋lg y＝lg xy≤lg 3.
当且仅当3x＝4y＝6，即x＝2，y＝时等号成立．
∴当x＝2，y＝时，lg x＋lg y取最大值lg 3.
例3　解　作出不等式组表示的可行域如图：
作直线l：2x－y＝0，并平行移动使它过可行域内的B点，此时z有最大值；过可行域内的C点，此时z有最小值，
解，得B(5,3)，解，得C，
∴zmax＝2×5－3＝7，zmin＝2×1－＝－.
(2)D点坐标为(－5，－5)，由图可知，kBD≤z≤kCD，
∵kBD＝＝，kCD＝＝，
∴z＝的取值范围是.
变式训练3　解　(1)设f(x)＝x2＋ax＋2b，
由题意可得，即，
∴，
故a，b满足的约束条件为
，画出约束条件的可行域如图阴影部分，
解，得A(－3,1)．
又B(－2,0)，C(－1,0)，故点(a，b)对应区域的面积
S＝×1×1＝.
(2)可看作区域内点(a，b)与D(1,2)连线的斜率，由图知：kCD＝＝1，kAD＝＝，
∴<<1.
(3)(a－1)2＋(b－2)2可看作区域内点(a，b)到D(1,2)的距离d的平方，
而由图知CDAD2＝(1＋3)2＋(2－1)2＝17，
∴8即(a－1)2＋(b－2)2的值域为(8,17)．
课时作业
1．C　2.A　3.D　4.A　5.A　6.A8.
解析　a＋b＝(a＋b)×1＝(a＋b)×
＝＋2＋＋≥＋2＋2＝，
当且仅当＝时取“＝”．
9．解　(1)由题意知1－a<0且－3和1是方程(1－a)x2－4x＋6＝0的两根，∴，解得a＝3.
∴不等式2x2＋(2－a)x－a>0
即为2x2－x－3>0，解得x<－1或x>.
∴所求不等式的解集为.
(2)ax2＋bx＋3≥0，即为3x2＋bx＋3≥0，
若此不等式解集为R，则b2－4×3×3≤0，
∴－6≤b≤6.
10．解　(1)设题中比例系数为k，若每批购入x台，则共需分批，每批价值20x.
由题意f(x)＝·4＋k·20x，由x＝4时，y＝52，得k＝＝.∴f(x)＝＋4x (0≤x≤36，x∈N*)．
(2)由(1)知f(x)＝＋4x (0∴f(x)＝2＝48(元)．
当且仅当＝4x，即x＝6时，上式等号成立．
故只需每批购入6张书桌，可以使资金够用．

第三章　章末检测
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．原点和点(1,1)在直线x＋y＝a两侧，则a的取值范围是(　　)
A．a<0或a>2 B．0C．a＝0或a＝2 D．0≤a≤2
2．如果a∈R，且a2＋a<0，那么a，a2，－a，－a2的大小关系是(　　)
A．a2>a>－a2>－a
B．－a>a2>－a2>a
C．－a>a2>a>－a2
D．a2>－a>a>－a2
3．不等式<的解集是(　　)
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(0,2) D．(－∞，0)∪(2，＋∞)
4．设0A．loga b＋logb a≥2
B．loga b＋logb a≥－2
C．loga b＋logb a≤－2
D．loga b＋logb a>2
5．在R上定义运算D○×：xD○×y＝x(1－y)，若不等式(x－a)D○×(x＋a)<1对任意实数x成立，则(　　)
A．－1C．－6．如果a>b，则下列不等式成立的个数为(　　)
①<；②a3>b3；③>；④2a>2b；⑤>1；
⑥ac2lg(b2＋1)；
⑧若a>b且c>d，则lg(a－d)>lg(b－c)．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．若实数x，y满足条件目标函数z＝2x－y，则(　　)
A．zmax＝ B．zmax＝－1
C．zmax＝2 D．zmin＝0
8．下列不等式：①a2＋1>2a；②|x＋|≥2；③≤2 (a，b为正实数)；④x2＋≥1.其中正确的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
9．设x，y∈R，a>1，b>1，若ax＝by＝3，a＋b＝2，则＋的最大值为(　　)
A．2 B. C．1 D.
10．若正数a，b满足ab－(a＋b)＝1，则a＋b的最小值为(　　)
A．2＋2 B．2－2
C.＋2 D.－2
11．若不等式组的整数解只有－2，则k的取值范围是(　　)
A．－3≤k<2 B．－3C．k<－2 D．k≥－3
12．若a是1＋2b与1－2b的等比中项，则的最大值为(　　)
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．不等式>0的解集是________．
14．已知实数x，y满足则的最大值为________．
15．函数f(x)＝(2－a2)x＋a在区间[0,1]上恒为正，则实数a的取值范围是________．
16．一批货物随17列货车从A市以v千米/小时匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于2千米，那么这批货物全部运到B市，最快需要________小时．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)设a、b∈R，解关于x的不等式a2x＋b2(1－x)≥[ax＋b(1－x)]2.
18．(12分)若x19．(12分)解不等式：
(3x2－2x－5)≤(4x2＋x－5)．
20.(12分)已知f(x)＝x2－2ax＋2，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．
21．(12分)某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形的休闲区A1B1C1D1和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示)．
(1)若设休闲区的长和宽的比＝x，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式；
(2)要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？
22．(12分)某营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075 kg的碳水化合物，0.06 kg的蛋白质，0.06 kg的脂肪.1 kg食物A含有0.105 kg碳水化合物，0.07 kg蛋白质，0.14 kg脂肪，花费28元．而1 kg食物B含有0.105 kg碳水化合物，0.14 kg蛋白质，0.07 kg脂肪，花费21元．为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少千克？
第三章　章末检测
1．B
2．B
3．D　[0?x<0或x>2.]
4．C　[∵0且loga b·logb a＝1，∴loga b＋logb a≤－2.]
5．C　[(x－a)D○×(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)<1
?－x2＋x＋(a2－a－1)<0恒成立
?Δ＝1＋4(a2－a－1)<0?－6．C　[其中只有②和④是正确的．]
7．C　[如图，当z＝2x－y过A时，
zmax＝2×－1＝2.]
8．C　[a2＋1－2a＝(a－1)2≥0，即a2＋1≥2a，①不正确．
＝|x|＋≥2＝2，②正确．
因为a，b为正实数，所以a＋b≥2?≥2，③不正确．
x2＋＝x2＋1＋－1
≥2－1≥1，④正确．]
9．C　[因为a>1，b>1，ax＝by＝3，a＋b＝2，
所以x＝loga3，y＝logb3.
＋＝＋＝log3a＋log3b＝log3ab≤log32＝log32＝1，当且仅当a＝b时，等号成立．]
10．A　[∵a＋b＝ab－1≤－1，
∴(a＋b)2－4(a＋b)－4≥0，
又∵a、b均为正数，
∴a＋b≥2＋2.]
11．A　[x2－x－2>0?x<－1或x>2.
2x2＋(5＋2k)x＋5k<0?(2x＋5)(x＋k)<0.
在数轴上考察它们的交集可得－3≤k<2.]
12．B　[由题意知a2＝(1＋2b)(1－2b)，
∴a2＋4b2＝1≥2＝4|ab|，∴|ab|≤，
∴≤≤
＝≤.当且仅当|a|＝2|b|时取等号．]
13．{x|－56}
14.
[0,1]
解析　画出不等式组
对应的平面区域，＝表示平面区域上的点P(x，y)与原点的连线的斜率．A(1,1)，B(3,0)，
∴0≤≤1.
15．(0,2)
解析　当2－a2＝0，得a＝±.由题意知a＝时符合题意．当2－a2≠0时，f(x)是一次函数，在[0,1]上也是单调的，
∴即解得：0综上可知016．8
解析　这批货物从A市全部运到B市的时间为t，则t＝＝＋
≥2 ＝8(小时)，当且仅当＝，即v＝100时等号成立，此时t＝8小时．
17．解　原不等式?(a2－b2)x＋b2
≥(a－b)2x2＋2(a－b)bx＋b2
?(a－b)2x≥(a－b)2x2?(a－b)2(x2－x)≤0
当a＝b时，x∈R，当a≠b时，(a－b)2>0，
∴x2－x≤0，∴0≤x≤1.
综上所述，当a＝b时，不等式的解集为R；
当a≠b时，不等式的解集为{x|0≤x≤1}．
18．解　∵(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)
＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]＝(x－y)·(－2xy)
∵x∵x<0，y<0，∴－2xy<0.
∴(x－y)·(－2xy)>0.
∴(x2＋y2)(x－y)>(x2－y2)(x＋y)．
19．解　原不等式等价于
?
?
?－3≤x<－
故原不等式的解集为.
20．解　方法一　f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图象的对称轴为x＝a，
①当a∈(－∞，－1)时，结合图象知，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(－1)＝2a＋3，要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a，
即2a＋3≥a，解得a≥－3，又a<－1，
∴－3≤a<－1.
②当a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2，由2－a2≥a，解得－2≤a≤1.
又a≥－1，∴－1≤a≤1.
综上所述，所求a的取值范围为－3≤a≤1.
方法二　由已知得x2－2ax＋2－a≥0在[－1，＋∞)上恒成立，
令g(x)＝x2－2ax＋2－a，即Δ＝4a2－4(2－a)≤0或，解得－3≤a≤1.
21．解　(1)设休闲区的宽B1C1为a米，则其长A1B1为ax米，∴a2x＝4 000?a＝，
∴S＝(a＋8)(ax＋20)
＝a2x＋(8x＋20)a＋160
＝4 000＋(8x＋20)·＋160
＝80＋4 160(x>1)．
(2)S≥1 600＋4 160＝5 760(当且仅当2＝?x＝2.5)，即当x＝2.5时，公园所占面积最小．此时a＝40，ax＝100，即休闲区A1B1C1D1的长为100米，宽为40米．
22．解　据已知数据列出下表：
食物/kg
碳水化合物/kg
蛋白质/kg
脂肪/kg
A
0.105
0.07
0.14
B
0.105
0.14
0.07
设每天食用x kg食物A，y kg食物B，总成本为z.
那么①
目标函数为z＝28x＋21y
二元一次不等式组①等价于②
作出二元一次不等式组②表示的平面区域，如图即可行域．
由z＝28x＋21y，它可以变为y＝－x＋由图中可行域可以看出，当直线28x＋21y＝z经过点B时，截距最小，此时z亦最小．
解方程组
得
∴B点的坐标为.
∴zmin＝28×＋21×＝16.
由此可以知，每天食用食物A约 kg，食用食物B约 kg，可使花费最少为16元．