[科目] 数学
[关键词] 黄金分割/艺术/方程/圆
[文件] sxbj32.doc
[标题] 黄金分割
[内容]
黄金分割
17世纪的英国美学家夏里兹曾说：“凡是美的都是合谐的和比例合度的；凡是和谐的和比例合度的就是真的，凡是既美而又真的也就是在结果上愉快和完善的”。
那么，在人们的眼中，什么样的事物才算是美的？人们在探求美的规律的过程中，有这样的发现：著名的维纳斯女神像，以及太阳神阿波罗的塑像，从肚脐到脚底的高度与全身高度之比为0．618。在达·芬奇、提香等众多著名艺术家的作品中，有许多比例关系，也都是0．618。
希腊古城雅典有一座大理石彻成的神庙，其中有一尊雅典娜女神像，由象牙黄金雕制而成，姿态十分优美。专家研究后发现：她的腰长（即从肚脐到脚底的距离）与身高的比值，恰好等于0．618。
据专家调查，芭蕾演员虽身材修长，但其腰长与身高之比平均约为0．58，只有在翩翩起舞时、踮起脚尖，方能展现0．618的魅力。
德国一位名叫费希纳的心理学家，曾经专门召开过一个“矩形展览会”，每件展品的边长均在35厘米以下。他邀请了592位朋友到会参观，要求每位参观者在看完之后投票选出自己心中认为最美的矩形，结果下面四种矩形得票最多：5×8，8×13，13×21，21×34。这组矩形的短边与长边之比均接近0．618。
为什么人们对0．618如此钟爱？它又是怎样的一个数？这恐怕还得从古希腊毕达哥拉斯的一句名言谈起：“凡是美的东西都具有共同的特征，就是部分与部分及部分与整体之间的协调一致性。”
假设C是线段AB的一个分点，为了实现其“协调一致”，那么应该有
这个神秘的数原来是方程的正根，平时我们只取它的近似值，又称为“黄金比”；导致这一比值的分割，便称为“黄金分割”；上例中的C点则称为线段AB的“黄金分割点”。
自从古希腊数学家欧多克索首次发现了“黄金比”之时，它便成了一条公认的美学规律。建筑师们常常把它作为门窗的比例；一位报幕员在报幕时往往不会站在舞台正中两会站在舞台的黄金分割点上，给观众留下更美好的形象；就连我们国家庄严美丽的国旗图案中的正五角形，也蕴含着黄金比：正五角形的每条边恰好被与之相交的另外两边黄金分割。
黄金比在数学、美学、艺术中显示出了艺大的作用，随处可以见到它的影子。难怪中世纪意大利数学家帕西奥里称之为“神圣比例”。首次将它冠以“黄金”美称的，则是意大利著名科学家、艺术家和工程师达·芬奇。
有趣的是，黄金比还可以用下面的两种方法求出：
根据方程对其进行无穷多次迭代则有：
根据，也进行无穷多次迭代，可得
黄金比甚至还有和著名的“斐波那契”数列有着密切的联系。13世纪的意大利著名数学家斐波那契在他的一部著作中提出了一个有趣的兔子繁殖的问题：假设生两个月后就有了繁殖能力，而每天对具有繁殖能力的兔子每个月都会再生下一对兔子。那么，由刚出生的一对兔子开始，一年以后将会有多少对兔子呢？
如此递推，不难推算一年之后F12＝144。斐波那契数列就是由此问题而产生的无穷递推数列，它有一个特点：其中任一数都是它前面两数之和，即
在斐波那契数列中，前后两项的比值随着n的增大，总是越来越接近于黄金比，实际上，它正是以为极限的，即
因此，斐波那契数列也被称为“黄金数列”。
黄金比还有许多应用。实际上，在欧几里得的《几何原本》第二卷命题11中，就给出了黄金分割的一种作法，后来在第十三卷开头，又列出了关于黄金分割的五个命题。利用黄金比还可以作圆的内接五边形和圆内接正十边形。
在日常生产、生活和工程设计中，常常会面临这样一个问题：如何用最少的时间和步骤得出最佳的方案。比如说，要配制一种化学药剂，需要在其中加入10克～50克的酒精，那么应该加多少呢，通常的方法是从加互克开始，然后是2克、3克……不断重复试验直至找到最佳值。这种办法费时费力而且很盲目。优选法就是为了减少步骤而得到相同结果的迅捷方法，其中以黄金比为核心的0．618法最为人们所称道。
还是举一个例子来说明0．618法的步骤：假若配制一种药剂需要加入1000～2000克的酒精，应该如何尝试求出最佳值？
首先可以找一张大纸条，上面均匀地标好从l000到2000的数值，然后取其黄金分割点1618，划上一条线，再把纸条从正中央对折，在1618的线的正下方对应的点1382上也划了条竖线，相当于求出另外一个方向上的黄金分割点，然后取这两个值进行比较，看哪个更接近所需结果，倘若1618的结果比较好，就把纸条从1382剪去，剩下的点1618仍是黄金分割点，然后再对折，再划线，再比较，再剪去不需要的线段，这样很快就可以把范围缩得很小，很容易地就把最佳结果找到了
这种方法在70年代曾被数学家华罗庚在全国大力宣传和推广，产生了巨大的经济效益。
