不等式关系[下学期]

§1.1 不等关系
教学目标
1．知识目标：了解不等式的意义，能根据条件列出不等式.
2．能力目标：通过列不等式，培养学生的分析问题的能力.
3．情感目标：通过用不等式解决实际问题，使学生感受数学与人类生活的联系，激发学生学习数学的兴趣.
教学重点
用不等关系解决实际问题.
教学难点
正确根据题意列出不等式.
教学方法
自主探索法.
教学过程
1．创设情境，自然引入
通过等式，知道利用等式可以解决许多问题.同时，我们也知道在现实生活中还存在许多不等关系，利用不等关系同样可以解决实际问题.本节课我们就来了解不等关系，以及不等关系的应用.
2．设问质疑，探究尝试
举例说明不等关系在现实生活中的应用，
如：张三的身高比李四的身高高5公分；用天平称重量时，两个托盘不平衡等.
如何用式子表示不等关系呢？请看例题.
如图1－1，用两根长度均为l cm的绳子，分别围成一个正方形和圆.
(1)如果要使正方形的面积不大于25 cm2， 那么绳长l应满足怎样的关系式？
（2）如果要使圆的面积大于100 cm2,那么绳长l应满足怎样的关系式？
（3）当l=8时，正方形和圆的面积哪个大？l=12呢
（4）你能得到什么猜想？改变l的取值，再试一试.
本题中首先要弄明白两个问题，一个是正方形和圆的面积计算公式，另一个是了解“不大于”“大于”等词的含意.
正方形的面积等于边长的平方,圆的面积是πR2，其中R是圆的半径.
两数比较有大于、等于、小于三种情况，“不大于”就是等于或小于.
解：（1）因为绳长l为正方形的周长，所以正方形的边长为，得面积为（）2，要使正方形的面积不大于25 cm2，就是
（）2≤25，
即≤25.
（2）因为圆的周长为l，所以圆的半径为R=，要使圆的面积不小于100 cm2，就是
π·（）2＞100
即＞100
（3）当l=8时，正方形的面积为=4（cm2）.
圆的面积为≈5.1（cm2）.
∵4＜5.1
∴此时圆的面积大.
当l=12时，正方形的面积为=9（cm2）.
圆的面积为≈11.5（cm2）
9＜11.5
此时还是圆的面积大.
（4）我们可以猜想，用长度均为l cm的两根绳子分别围成一个正方形和圆，无论l取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即
＞.
因为分子都是l 2相等、分母4π＜16，根据分数的大小比较，分子相同的分数，分母大的反而小，因此不论l取何值，都有＞.
3.变式训练,巩固提高
（1）通过测量一棵树的树围（树干的周长）可以计算出它的树龄.通常规定以树干离地面1.5 m的地方作为测量部位，某树栽种时的树围为5 cm，以后树围每年增加约为3 cm.这棵树至少生长多少年其树围才能超过2.4 m？（只列关系式）.
解：设这棵树至少生长x年其树围才能超过2.4 m，得
3x+5＞240
观察由上述问题得到的关系式，它们有什么共同特点？
由≤25
>100
＞
3x+5＞240
（2）燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到10 m以外的安全区域.已知导火线的燃烧速度为0.02 m/s，人离开的速度为4 m/s，导火线的长x(m)应满足怎样的关系式？
分析：导火线燃烧的时间要大于人走10 m所用时间.
解：.
4．归纳总结，概括知识
一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式（inequality）.
用不等式表示
（1）a是正数；
（2）a是负数；
（3）a与6的和小于5；
（4）x与2的差小于－1；
（5）x的4倍大于7；
（6）y的一半小于3.
解：（1）a＞0;
（2）a＜0;
（3）a+6＜5;
（4）x－2＜－1;
（5）4x＞7;
（6）y＜3.
5．发散思维，解决问题
（1）当x=2时，不等式x+3＞4成立吗？
当x=1.5时，成立吗？
当x=－1呢？
解：当x=2时，x+3=2+3=5＞4成立，
当x=1.5时，x+3=1.5+3=4.5＞4成立；
当x=－1时，x+3=－1+3=2＞4,不成立.
（2）a,b两个实数在数轴上的对应点如图1.（2）所示：
用“＜”或“＞”号填空：
①a__________b; ②|a|__________|b|;
③a+b__________0; ④a－b__________0;
⑤a+b__________a－b; ⑥ab__________a.
解：由图可知：a＞0,b＜0,|a|＜|b|.
①a＞b;②|a|＜|b|;
③a+b＜0;④a－b＞0;
⑤a+b＜a－b;⑥ab＜a.
6．总结串联，纳入系统
能根据题意列出不等式，特别要注意“不大于”，“不小于”等词语的理解.
通过不等关系的式子归纳出不等式的概念.
教学检测
1．判断下列各式哪些是等式、哪些是不等式、哪些既不是等式也不是不等式.
①x+y ②3x＞7 ③5=2x+3 ④x2≥0 ⑤2x－3y=1 ⑥52
2．在下列各题中的空格处，填上适当的不等号.
(1) －2__________1
(2) (－1)2__________(－2)2
(3) －__________－
(4)－0.31__________
(5)4x2+1__________0
(6)－x2__________0
(7)2x2+2y+1__________x2+2y
(8)a2__________0
(9)x为任意有理数，x－3________x－4.
(10)若a＜0，b＜0，则a·b________ab2.
(11)若a＜b，则a+5________b+5.
(12)若a＞b，c＜0，则a+c________b+c.
(13)若a＞b，则ac2________bc2.
3．用不等式表示：
（1）x的与5的差小于1；
（2）x与6的和大于9；
（3）8与y的2倍的和是正数；
（4）a的3倍与7的差是负数；
（5）x的4倍大于x的3倍与7的差；
（6）x的与1的和小于－2；
（7）x与8的差的不大于0.
4．已知a＞0，b＜0，且a+b＜0，试将a，－b，－|a|，－|b|用“＜”号按从小到大的顺序连接起来.
5．已知|x－5|=5－x，求x的取值范围.
参考答案
1．等式有③⑤，不等式有②④，既不是等式也不是不等式的有①⑥.
2. (1)＜ (2)＜ (3)＜ (4)＜ (5)＞ (6)≤ (7)＞
(8)≥ (9)＞ (10)＞ (11)＜ (12)＞ (13)≥
3．（1） x－5＜1;
（2）x+6＞9;
（3）8+2y＞0;
（4）3a－7＜0;
（5）4x＞3x－7;
（6）x+1＜－2;
（7）（x－8）≤0.
4．－|b|＜－|a|＜a＜－b
5.x≤5
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