2023年深圳市初中学业水平测试数学仿真模拟测试（1）
一、单选题（每题3分，共30分）
1． 若a与2互为倒数，则下列判断正确的是（ ）.
A．a＋2=0 B．a－2=0 C．2a=0 D．2a=1
2．（2022·寻乌模拟）如图，将小立方块①从4个大小相同的小立方块所搭几何体中移走后，所得几何体（ ）
A．俯视图改变，左视图改变 B．俯视图不变，左视图改变
C．主视图改变，左视图不变 D．主视图不变，左视图不变
3．（2022·陵城模拟）某篮球队16名队员的年龄情况如下表，则这些队员年龄的众数和中位数分别是（ ）
年龄（单位：岁） 14 15 16 17 18
人数 3 3 5 3 2
A．16，17 B．16，16 C．16，16.5 D．3，17
4．（2021·射阳模拟）面对2020年突如其来的新冠疫情，党和国家及时采取应对措施，投入大量资金进行新冠疫苗的研究.据统计共投入约57亿元资金.57亿用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·南海模拟）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021九下·平果期中）不等式组的解集是（ ）
A．﹣2≤x＜1 B．﹣2≤x＜2
C．﹣8≤x＜1 D．﹣2≤x或x＞2
7．如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（ ）
A．30° B．20° C．15° D．14°
8．（2023·黄浦模拟）要检验一个四边形的桌面是矩形，可行的测量方案是（ ）
A．任选两个角，测量它们的角度
B．测量四条边的长度
C．测量两条对角线的长度
D．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离
9．（2023九上·播州模拟）将4个全等的小长方形按如图所示的方式摆放拼成一个大长方形，且.设小长方形的宽为，长为，依题意列二元一次方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．一个边长为4的等边三角形ABC的高与⊙O的直径相等，如图放置，⊙O与BC相切于点C，⊙O与AC相交于点E，则CE的长是( )
A． B． C．2 D．3
二、填空题（每空3分，共15分）
11．（2018八上·梁子湖期末）分解因式： .
12．（2022·中山模拟）某人工养殖池塘共有草鱼5000条和其它鱼类若干条，几次随机打捞中共捕获鱼300条，其中草鱼150条，试估计池塘中共养殖鱼 条．
13．（2022·扬州）请填写一个常数，使得关于的方程 有两个不相等的实数根.
14．（2020九下·武汉月考）如图，在YABCD中，E为BC边上一点，且AB=AE，若AE平分∠DAB，∠EAC=25°，则∠AED的度数是 度.
15．（2020·龙湾模拟）如图，在面积为80 cm 的矩形ABCD中作等边△BEF，点E，F分别落在AD，BC上，将△BEF向右平移得到△B1E1F1（点B1在F的左侧），再将△B1E1F1向右平移，使得F1与C重合，得到△B2E2C（点B2在F1的左侧），且第二次平移的距离是第一次平移距离的1.4倍．若FB2= BE，则阴影部分面积为 cm 。
三、解答题（共7题，共55分）
16．（2018·绍兴）
（1）计算：
（2）解方程：x2-2x-1=0
17．（2018·道外模拟）先化简，再求代数式 的值，其中m=2cos30°－tan45°
18．（2021·游仙模拟）疫情期间，游海中学进行了一次线上数学学情调查，九（1）班数学李老师对成绩进行分析，制作如下的频数分布表和频数分布直方图.60到70之间学生成绩尚未统计，根据情况画出的扇形图如图.请解答下列问题：
类别 分数段 频数（人数）
A a
B 16
C 24
D 6
（1）完成频数分布表，a= ▲ ，B类圆心角= ▲ °，并补全频数分布直方图；
（2）全校九年级共有720名学生全部参加此次测试，估计该校成绩范围内的学生有多少人？
（3）九（1）班数学老师准备从D类优生的6人中随机抽取两人进行线上学习经验交流，已知这6人中有两名是无家长管理的留守学生，求恰好只选中其中一名留守学生进行经验交流的概率.
19．（2022·内江）为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动.在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生.现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如表所示：
甲型客车 乙型客车
载客量（人/辆） 35 30
租金（元/辆） 400 320
学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元.
（1）参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？
（2）每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？
（3）学校租车总费用最少是多少元？
20．（2020九下·长沙开学考）如图1，在平面直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别为 和 ，点E为x轴正半轴上的一个动点，过点A、B、E作 的外接圆 ，连结 并延长交圆于点D，连结 、 ．
（1）求证： ．
（2）当 时，求 的长度．
（3）如图2，连结 ，求线段 的最小值及当 最小时 的外接圆圆心C的坐标．
21．（2021九上·朝阳期末）在平面直角坐标系中，抛物线（m是常数）的顶点为A．
（1）用含m的代数式表示抛物线L的对称轴．
（2）当，抛物线L的最高点的纵坐标为6时，求抛物线L对应的函数表达式．
（3）已知点、，当时，设的面积为S．求S与m之间的函数关系式，并求S的最小值．
（4）已知矩形MNPQ的四个顶点的坐标分别为、、、，当抛物线L与边MN、PQ各有1个交点分别为点D、E时，若点D到y轴的距离和点E到x轴的距离相等，直接写出m的值．
22．（2022·深圳）
（1）【探究发现】如图①所示，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点．求证：
（2）【类比迁移】如图②，在矩形中，为边上一点，且将沿翻折到处，延长交边于点延长交边于点且求的长．
（3）【拓展应用】如图③，在菱形中，为边上的三等分点，将沿翻折得到，直线交于点求的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】a与2互为倒数，则2a=1，
∴a=，
则A：a+2=2≠0，所以本选项错误；
B：a-2=-1≠0，所以本选项错误；
C：2a=1≠0，所以本选项错误；
D：2a=1，所以本选项正确，
故选：D．
【分析】根据倒数的定义作答．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：将小立方块①从4个大小相同的小立方块所搭几何体中移走后，所得几何体的主视图不变，左视图由原来的2列变为1列，俯视图由原来的两层变为一层．
故答案为：A．
【分析】根据三视图的定义求解即可。
3．【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】篮球队16名队员的年龄出现次数最多的是16岁，共出现5次，因此众数是16岁，
将这16名队员的年龄从小到大排列，处在中间位置的两个数都是16岁，因此中位数是16岁，故B符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据中位数和众数的定义求解即可。
4．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：57亿=5700000000= ，
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数，据此解答即可.
5．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、 与 不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B、 ，故本选项不合题意；
C、 ，故本选项符合题意；
D、 ，故本选项不合题意；
故答案为：C．
【分析】根据同类项的运算、同底数幂的乘法、积的乘方以及幂的乘方的性质，计算得到答案即可。
6．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①得，；
解不等式②得，；
∴不等式组的解集为：
故答案为：B.
【分析】首先分别求出两个不等式的解集，然后取其公共部分即为不等式组的解集.
7．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，∠2=30°，
∠1=∠3﹣∠2=45°﹣30°=15°．
故选C．
【分析】延长两三角板重合的边与直尺相交，根据两直线平行，内错角相等求出∠2，再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
8．【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】A、任意两个角只能判定一对角互补或相等，或两个直角，有可能为直角梯形，判断四边形为矩形需要3个角是直角，选项A不符合题意；
B、四条边的关系为对边相等，可能仅是平行四边形，选项B不符合题意；
C、对角线长度相等但是不是平行四边形时，仅为普通四边形，选项C不符合题意；
D、根据对角线交点到四个顶点的距离分别相等，判断对角线互相平分则为平行四边形，又通过对角线相等判断为矩形．
故答案为：D．
【分析】利用矩形的判定方法求解即可。
9．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：解∶根据题意，得.
故答案为：∶A.
【分析】根据AB=12可得x+y=12；根据AD=3x可得y=3x，联立可得方程组.
10．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理；切线的性质
【解析】【分析】连接OC，并过点O作OF⊥CE于F，根据等边三角形的性质，等边三角形的高等于底边高的倍．题目中一个边长为4cm的等边三角形ABC与⊙O等高，说明⊙O的半径为，即OC=，又∠ACB=60°，故有∠OCF=30°，在Rt△OFC中，可得出FC的长，利用垂径定理即可得出CE的长。
连接OC，并过点O作OF⊥CE于F，
∵△ABC为等边三角形，边长为4，
∴高为2，即OC=，
∵∠ACB=60°，故有∠OCF=30°，
∴在Rt△OFC中，可得FC=，
∴CE=3．
故选D.
【点评】本题知识点多，中考性强，在中考中比较常见，一般出现在选择、填空的最后一题，难度较大。
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：
.
故答案为： .
【分析】先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式继续分解因式.
12．【答案】10000
【知识点】用样本估计总体
【解析】【解答】解：∵几次随机打捞中共捕获鱼300条，其中草鱼150条，
∴样本中草鱼的占比为 ，
∴估计池塘中共养殖鱼 条，
故答案为：10000．
【分析】先求出样本中草鱼的百分比，再利用样本估计整体的方法列出算式求解即可。
13．【答案】0（答案不唯一）
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：设这个常数为a，
∵要使原方程有两个不同的实数根，
∴，
∴，
∴满足题意的常数可以为0，
故答案为：0（答案不唯一）.
【分析】设这个常数为a，根据方程有两个不相等的实数根可得△>0，代入求解可得a的范围，据此解答.
14．【答案】85
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，BC=AD，∴∠EAD=∠AEB.
又∵AB=AE，∴∠B=∠AEB，∴∠B=∠EAD.在△ABC和△EAD中，∵AB=AE，∠ABC=∠EAD，BC=AD，∴△ABC≌△EAD（SAS），∴∠AED=∠BAC.
∵AE平分∠DAB，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠AEB=∠B，∴△ABE为等边三角形，∴∠BAE=60°，∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=85°，∴∠AED=∠BAC=85°.
故答案为85.
【分析】先证明∠B=∠EAD，然后利用SAS证明△ABC≌△EAD，得出∠AED=∠BAC.再证明△ABE为等边三角形，可得∠BAE=60°，求出∠BAC的度数，即可得∠AED的度数.
15．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；平移的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：设EF与B1E1相交于点G，B2E2与E1F1相交于点H，过G作MN⊥AD于M，与BC交于点N，过H作PQ⊥AD于点P，与BC交于点Q，则MN＝PQ＝AB．
∵△BEF是等边三角形，四边形ABCD是矩形，
∴∠EBF＝60°，∠ABC＝90°，
∴∠ABE＝90° 60°＝30°，
设AB＝a，则BE＝
∵FB2＝BE，
∴FB2＝
∵由平移知，B2C＝BF＝BE＝
∴BC＝BF＋FB2＋B2C＝
∵矩形ABCD的面积为80cm2
∴×a=80
∵a＞0，
∴a＝4
∴FB2＝a＝4，B2C＝BF＝BE＝＝8，
∵第二次平移的距离是第一次平移距离的1.4倍．
∴B1B2＝E1E2＝1.4BB1＝1.4EE1，
∴BB2＝BB1＋B1B2＝2.4BB1，
∵BB2＝BF＋FB2＝4＋4＝12，
∴2.4BB1＝12，
∴BB1＝5，
∴BB1＝EE1＝5，B1B2＝E1E2＝7，
∴B1F＝B1B2 FB2＝7 4＝3，B2F1＝B1F1 B1F FB2＝8 3 4＝1
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴△GEE1∽△GFB1，△HE1E2∽△HF1B2，
∴GM∶GN＝EE1∶FB1，E1E2×F1B2＝HP×HQ，
∴GM4
∴，，
GM=，
∴GN=HQ=PQ-HP=，
∴S阴影＝S△GEE1＋S△GB1F＋S△HE1E2＋S△HB2F1＝.
故答案为： .
【分析】设EF与B1E1相交于点G，B2E2与E1F1相交于点H，过G作MN⊥AD于M，与BC交于点N，过H作PQ⊥AD于点P，与BC交于点Q，设矩形的宽AB＝a，解Rt△ABE用a表示等边三角形的边，进而用a表示出矩形的长BC，再由矩形的面积求得a，再根据再次平移的距离间的关系求得BB1，再证明△GEE1∽△GFB1，△HE1E2∽△HF1B2，求得四个阴影三角形高GM、GN、HP、HQ，最后便可求得阴影部分的面积．
16．【答案】（1）解 ：原式= - -1+3=2
（2）解 ：∵a=1，b=-2，c=-1
∴ =b2-4ac=4+4=8，
∴x=
x=
∴x1= ，x2=
【知识点】实数的运算；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据特殊锐角的三角形函数值，算术平方根的意义，0指数的意义，负指数的意义，分别化简，再按实数的运算顺序计算即可；
（2）先找出原方程中a，b，c的值，计算出 的值，再根据求根公式即可算出方程的解。
17．【答案】解：原式= = = =
当m= = 时，原式=
【知识点】分式的化简求值；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】将分式进行化简，先将括号内的进行通分化简，然后再将除法转变为乘法，化成最简分式，最后将特殊的锐角三角函数的值代入即可.
18．【答案】（1）解：2；120；补全频数分布直方图为：
（2）解：（人），
所以估计该校成绩范围内的学生有450人；
（3）解：把D类优生的6人分别即为1、2、3、4、5、6，其中1、2为留守学生，画树状图如图：
共有30个等可能的结果，恰好只选中其中一名留守学生进行经验交流的结果有16个，
∴恰好只选中其中一名留守学生进行经验交流的概率为.
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）调查的总人数为：（人），
∴，
B类圆心角的度数为，
故答案为：2，120；
【分析】（1）利用类别C的频数除以所占的比例可得总人数，进而可得a的值，利用类别B的频数除以总人数，然后乘以360°即可得到B类圆心角的度数，根据a的值可补全频数分布直方图；
（2）利用C、D类别的频数之和除以总人数，然后乘以720即可；
（3）把D类优生的6人分别记为1、2、3、4、5、6，其中1、2为留守学生，画出树状图，找出总情况数以及恰好只选中其中一名留守学生进行经验交流的情况数，然后利用概率公式进行计算.
19．【答案】（1）解：设参加此次劳动实践活动的老师有x人，参加此次劳动实践活动的学生有（30x+7）人，
根据题意得：30x+7＝31x﹣1，
解得x＝8，
∴30x+7＝30×8+7＝247，
答：参加此次劳动实践活动的老师有8人，参加此次劳动实践活动的学生有247人；
（2）解：师生总数为247+8＝255（人），
∵每位老师负责一辆车的组织工作，
∴一共租8辆车，
设租甲型客车m辆，则租乙型客车（8﹣m）辆，
根据题意得：，
解得3≤m≤5.5，
∵m为整数，
∴m可取3、4、5，
∴一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆；
（3）解：设租甲型客车m辆，则租乙型客车（8﹣m）辆，
由（2）知：3≤m≤5.5，
设学校租车总费用是w元，
w＝400m+320（8﹣m）＝80m+2560，
∵80＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴m＝3时，w取最小值，最小值为80×3+2560＝2800（元），
答：学校租车总费用最少是2800元.
【知识点】一元一次方程的其他应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）设参加此次劳动实践活动的老师有x人，根据每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带可得学生的总数为(30x+7)人；根据每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生可得学生总数为(31x-1)人，然后根据学生数一定列出方程，求解即可；
（2）根据（1）的结果可得师生总数为247+8＝255（人），由题意可得一共租8辆车，设租甲型客车m辆，则租乙型客车(8-m)辆，根据租金总费用不超过3000元可得400m+320(8-m)≤3000；根据总人数为255人可得35m+30(8-m)≥255，联立可求出m的范围，结合m为正整数可得m的取值，据此可得租车方案；
（3）设租甲型客车m辆，则租乙型客车(8-m)辆，由（2）知：3≤m≤5.5，设学校租车总费用是w元，根据甲型客车的辆数×租金+乙型客车的辆数×租金可得w与m的关系式，然后结合一次函数的性质进行解答.
20．【答案】（1）证明：由题意可得：AD为⊙O的直径，
∴∠ABD=∠AOE=90°，
∵∠ADB=∠AEB，∠AOE=90°
∴∠OAE=∠BAD；
（2）解：∵ 和 ，
∴OA=6，OB= ，
∴AB= ，
∵AD=15，
由（1）得：∠OAE=∠BAD，∠ABD=∠AOE，
∴△ABD∽△AOE，
∴ ，
即 ，
解得：AE= ，
∴OE= ；
（3）解：设直线BD与y轴交于点F，
∵AB⊥BD，
∴∠OBD=∠OAB=90°-∠ABO，
直线AB位置不变，
∴直线BD位置不变，
∴当OD⊥BD时，OD最小，
此时，OD=OB×sin∠OBD=OB×sin∠OAB= × = × =9，
BD= ，
过点D作DG⊥BE于点G，设OG=x，则BG= -x，
在△OBD中，BD2-BG2=OD2-OG2，
即 ，
解得：x= ，即OG= ，
DG= ，
由题意可得点D在第三象限，
∴点D坐标为（ ， ），而点A（0，6），
∴点C坐标为（ ， ），即（ ， ）.
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用圆周角可得：∠ABD=∠AOE=90°，再利用等角的余角即可证出结论；（2）利用角相等证出△ABD∽△AOE，再利用相似三角形的性质求解即可；（3）先利用解直角三角形求解BD，再利用勾股定理求DG，最后解点C的坐标即可。
21．【答案】（1）解：∵，
∴抛物线L的对称轴为直线．
（2）解：∵当时，，且，
又∵当时，抛物线L的最高点的纵坐标为6，
∴．
∴当时，．
解得：．
∴抛物线L对应的函数表达式为；
（3）解：如图，过点A作AD∥y轴的垂线交线段BC于点D．
∵，
∴．
∵点A为抛物线L的顶点，
∴．
设直线BC的解析式为 ，
∵点、，
∴ ，解得： ，
∴直线BC所对应的函数表达式为．
∴．
∴，
∴
∵，
∴当时，有最小值．
∴S的最小值为，
（4）m的值为，
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：（4）根据题意得：点D的横坐标为3，点E的横坐标为，
∴D到y轴的距离是3，
∵当 时， ，
∴E到x轴的距离为，
∵点D到y轴的距离和点E到x轴的距离相等，
∴，
即或，
解得：或．
【分析】（1）把解析式化为顶点式，即得对称轴为直线x=m；
（2）由于抛物线开口向上，且当x=2时，y==5，由于当时，抛物线L的最高点的纵坐标为6，可得 ，从而可得当时 ，y= ，解出m值即得解析式；
（3）过点A作AD∥y轴的垂线交线段BC于点D． 可得，可得， 求出直线BC为，可得，从而求出，根据求出S与m之间的函数关系式 ，然后二次函数的性质求解即可；
（4）根据题意得：点D的横坐标为3，点E的横坐标为，可知D到y轴的距离是3，当 时，由点D到y轴的距离和点E到x轴的距离相等，可得，解出方程即可.
22．【答案】（1）解：将沿翻折到处，四边形是正方形，
，，
，
，，
；
（2）解：延长，交于，如图：
设，
在中，，
，
解得，
，
，，
，
，即，
，，
，，
，，
，即，
，
设，则，
，
，
，即，
解得，
的长为；
（3）解：（Ⅰ）当时，延长交于，过作于，如图：
设，，则，
，
，
，
，
沿翻折得到，
，，，
是的角平分线，
，即①，
，
，，，
在中，，
②，
联立①②可解得，
；
（Ⅱ）当时，延长交延长线于，过作交延长线于，如图：
同理，
，即，
由得：，
可解得，
，
综上所述，的长为或．
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；四边形的综合
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的判定方法证明即可；
（2）利用勾股定理和相似三角形的判定与性质计算求解即可；
（3）分类讨论，利用相似三角形的性质和勾股定理计算求解即可。
1 / 12023年深圳市初中学业水平测试数学仿真模拟测试（1）
一、单选题（每题3分，共30分）
1． 若a与2互为倒数，则下列判断正确的是（ ）.
A．a＋2=0 B．a－2=0 C．2a=0 D．2a=1
【答案】D
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】a与2互为倒数，则2a=1，
∴a=，
则A：a+2=2≠0，所以本选项错误；
B：a-2=-1≠0，所以本选项错误；
C：2a=1≠0，所以本选项错误；
D：2a=1，所以本选项正确，
故选：D．
【分析】根据倒数的定义作答．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2．（2022·寻乌模拟）如图，将小立方块①从4个大小相同的小立方块所搭几何体中移走后，所得几何体（ ）
A．俯视图改变，左视图改变 B．俯视图不变，左视图改变
C．主视图改变，左视图不变 D．主视图不变，左视图不变
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：将小立方块①从4个大小相同的小立方块所搭几何体中移走后，所得几何体的主视图不变，左视图由原来的2列变为1列，俯视图由原来的两层变为一层．
故答案为：A．
【分析】根据三视图的定义求解即可。
3．（2022·陵城模拟）某篮球队16名队员的年龄情况如下表，则这些队员年龄的众数和中位数分别是（ ）
年龄（单位：岁） 14 15 16 17 18
人数 3 3 5 3 2
A．16，17 B．16，16 C．16，16.5 D．3，17
【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】篮球队16名队员的年龄出现次数最多的是16岁，共出现5次，因此众数是16岁，
将这16名队员的年龄从小到大排列，处在中间位置的两个数都是16岁，因此中位数是16岁，故B符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据中位数和众数的定义求解即可。
4．（2021·射阳模拟）面对2020年突如其来的新冠疫情，党和国家及时采取应对措施，投入大量资金进行新冠疫苗的研究.据统计共投入约57亿元资金.57亿用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：57亿=5700000000= ，
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数，据此解答即可.
5．（2021·南海模拟）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、 与 不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B、 ，故本选项不合题意；
C、 ，故本选项符合题意；
D、 ，故本选项不合题意；
故答案为：C．
【分析】根据同类项的运算、同底数幂的乘法、积的乘方以及幂的乘方的性质，计算得到答案即可。
6．（2021九下·平果期中）不等式组的解集是（ ）
A．﹣2≤x＜1 B．﹣2≤x＜2
C．﹣8≤x＜1 D．﹣2≤x或x＞2
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①得，；
解不等式②得，；
∴不等式组的解集为：
故答案为：B.
【分析】首先分别求出两个不等式的解集，然后取其公共部分即为不等式组的解集.
7．如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是（ ）
A．30° B．20° C．15° D．14°
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，∠2=30°，
∠1=∠3﹣∠2=45°﹣30°=15°．
故选C．
【分析】延长两三角板重合的边与直尺相交，根据两直线平行，内错角相等求出∠2，再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
8．（2023·黄浦模拟）要检验一个四边形的桌面是矩形，可行的测量方案是（ ）
A．任选两个角，测量它们的角度
B．测量四条边的长度
C．测量两条对角线的长度
D．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离
【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】A、任意两个角只能判定一对角互补或相等，或两个直角，有可能为直角梯形，判断四边形为矩形需要3个角是直角，选项A不符合题意；
B、四条边的关系为对边相等，可能仅是平行四边形，选项B不符合题意；
C、对角线长度相等但是不是平行四边形时，仅为普通四边形，选项C不符合题意；
D、根据对角线交点到四个顶点的距离分别相等，判断对角线互相平分则为平行四边形，又通过对角线相等判断为矩形．
故答案为：D．
【分析】利用矩形的判定方法求解即可。
9．（2023九上·播州模拟）将4个全等的小长方形按如图所示的方式摆放拼成一个大长方形，且.设小长方形的宽为，长为，依题意列二元一次方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：解∶根据题意，得.
故答案为：∶A.
【分析】根据AB=12可得x+y=12；根据AD=3x可得y=3x，联立可得方程组.
10．一个边长为4的等边三角形ABC的高与⊙O的直径相等，如图放置，⊙O与BC相切于点C，⊙O与AC相交于点E，则CE的长是( )
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理；切线的性质
【解析】【分析】连接OC，并过点O作OF⊥CE于F，根据等边三角形的性质，等边三角形的高等于底边高的倍．题目中一个边长为4cm的等边三角形ABC与⊙O等高，说明⊙O的半径为，即OC=，又∠ACB=60°，故有∠OCF=30°，在Rt△OFC中，可得出FC的长，利用垂径定理即可得出CE的长。
连接OC，并过点O作OF⊥CE于F，
∵△ABC为等边三角形，边长为4，
∴高为2，即OC=，
∵∠ACB=60°，故有∠OCF=30°，
∴在Rt△OFC中，可得FC=，
∴CE=3．
故选D.
【点评】本题知识点多，中考性强，在中考中比较常见，一般出现在选择、填空的最后一题，难度较大。
二、填空题（每空3分，共15分）
11．（2018八上·梁子湖期末）分解因式： .
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：
.
故答案为： .
【分析】先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式继续分解因式.
12．（2022·中山模拟）某人工养殖池塘共有草鱼5000条和其它鱼类若干条，几次随机打捞中共捕获鱼300条，其中草鱼150条，试估计池塘中共养殖鱼 条．
【答案】10000
【知识点】用样本估计总体
【解析】【解答】解：∵几次随机打捞中共捕获鱼300条，其中草鱼150条，
∴样本中草鱼的占比为 ，
∴估计池塘中共养殖鱼 条，
故答案为：10000．
【分析】先求出样本中草鱼的百分比，再利用样本估计整体的方法列出算式求解即可。
13．（2022·扬州）请填写一个常数，使得关于的方程 有两个不相等的实数根.
【答案】0（答案不唯一）
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：设这个常数为a，
∵要使原方程有两个不同的实数根，
∴，
∴，
∴满足题意的常数可以为0，
故答案为：0（答案不唯一）.
【分析】设这个常数为a，根据方程有两个不相等的实数根可得△>0，代入求解可得a的范围，据此解答.
14．（2020九下·武汉月考）如图，在YABCD中，E为BC边上一点，且AB=AE，若AE平分∠DAB，∠EAC=25°，则∠AED的度数是 度.
【答案】85
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，BC=AD，∴∠EAD=∠AEB.
又∵AB=AE，∴∠B=∠AEB，∴∠B=∠EAD.在△ABC和△EAD中，∵AB=AE，∠ABC=∠EAD，BC=AD，∴△ABC≌△EAD（SAS），∴∠AED=∠BAC.
∵AE平分∠DAB，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠AEB=∠B，∴△ABE为等边三角形，∴∠BAE=60°，∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=85°，∴∠AED=∠BAC=85°.
故答案为85.
【分析】先证明∠B=∠EAD，然后利用SAS证明△ABC≌△EAD，得出∠AED=∠BAC.再证明△ABE为等边三角形，可得∠BAE=60°，求出∠BAC的度数，即可得∠AED的度数.
15．（2020·龙湾模拟）如图，在面积为80 cm 的矩形ABCD中作等边△BEF，点E，F分别落在AD，BC上，将△BEF向右平移得到△B1E1F1（点B1在F的左侧），再将△B1E1F1向右平移，使得F1与C重合，得到△B2E2C（点B2在F1的左侧），且第二次平移的距离是第一次平移距离的1.4倍．若FB2= BE，则阴影部分面积为 cm 。
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；平移的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：设EF与B1E1相交于点G，B2E2与E1F1相交于点H，过G作MN⊥AD于M，与BC交于点N，过H作PQ⊥AD于点P，与BC交于点Q，则MN＝PQ＝AB．
∵△BEF是等边三角形，四边形ABCD是矩形，
∴∠EBF＝60°，∠ABC＝90°，
∴∠ABE＝90° 60°＝30°，
设AB＝a，则BE＝
∵FB2＝BE，
∴FB2＝
∵由平移知，B2C＝BF＝BE＝
∴BC＝BF＋FB2＋B2C＝
∵矩形ABCD的面积为80cm2
∴×a=80
∵a＞0，
∴a＝4
∴FB2＝a＝4，B2C＝BF＝BE＝＝8，
∵第二次平移的距离是第一次平移距离的1.4倍．
∴B1B2＝E1E2＝1.4BB1＝1.4EE1，
∴BB2＝BB1＋B1B2＝2.4BB1，
∵BB2＝BF＋FB2＝4＋4＝12，
∴2.4BB1＝12，
∴BB1＝5，
∴BB1＝EE1＝5，B1B2＝E1E2＝7，
∴B1F＝B1B2 FB2＝7 4＝3，B2F1＝B1F1 B1F FB2＝8 3 4＝1
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴△GEE1∽△GFB1，△HE1E2∽△HF1B2，
∴GM∶GN＝EE1∶FB1，E1E2×F1B2＝HP×HQ，
∴GM4
∴，，
GM=，
∴GN=HQ=PQ-HP=，
∴S阴影＝S△GEE1＋S△GB1F＋S△HE1E2＋S△HB2F1＝.
故答案为： .
【分析】设EF与B1E1相交于点G，B2E2与E1F1相交于点H，过G作MN⊥AD于M，与BC交于点N，过H作PQ⊥AD于点P，与BC交于点Q，设矩形的宽AB＝a，解Rt△ABE用a表示等边三角形的边，进而用a表示出矩形的长BC，再由矩形的面积求得a，再根据再次平移的距离间的关系求得BB1，再证明△GEE1∽△GFB1，△HE1E2∽△HF1B2，求得四个阴影三角形高GM、GN、HP、HQ，最后便可求得阴影部分的面积．
三、解答题（共7题，共55分）
16．（2018·绍兴）
（1）计算：
（2）解方程：x2-2x-1=0
【答案】（1）解 ：原式= - -1+3=2
（2）解 ：∵a=1，b=-2，c=-1
∴ =b2-4ac=4+4=8，
∴x=
x=
∴x1= ，x2=
【知识点】实数的运算；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据特殊锐角的三角形函数值，算术平方根的意义，0指数的意义，负指数的意义，分别化简，再按实数的运算顺序计算即可；
（2）先找出原方程中a，b，c的值，计算出 的值，再根据求根公式即可算出方程的解。
17．（2018·道外模拟）先化简，再求代数式 的值，其中m=2cos30°－tan45°
【答案】解：原式= = = =
当m= = 时，原式=
【知识点】分式的化简求值；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】将分式进行化简，先将括号内的进行通分化简，然后再将除法转变为乘法，化成最简分式，最后将特殊的锐角三角函数的值代入即可.
18．（2021·游仙模拟）疫情期间，游海中学进行了一次线上数学学情调查，九（1）班数学李老师对成绩进行分析，制作如下的频数分布表和频数分布直方图.60到70之间学生成绩尚未统计，根据情况画出的扇形图如图.请解答下列问题：
类别 分数段 频数（人数）
A a
B 16
C 24
D 6
（1）完成频数分布表，a= ▲ ，B类圆心角= ▲ °，并补全频数分布直方图；
（2）全校九年级共有720名学生全部参加此次测试，估计该校成绩范围内的学生有多少人？
（3）九（1）班数学老师准备从D类优生的6人中随机抽取两人进行线上学习经验交流，已知这6人中有两名是无家长管理的留守学生，求恰好只选中其中一名留守学生进行经验交流的概率.
【答案】（1）解：2；120；补全频数分布直方图为：
（2）解：（人），
所以估计该校成绩范围内的学生有450人；
（3）解：把D类优生的6人分别即为1、2、3、4、5、6，其中1、2为留守学生，画树状图如图：
共有30个等可能的结果，恰好只选中其中一名留守学生进行经验交流的结果有16个，
∴恰好只选中其中一名留守学生进行经验交流的概率为.
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）调查的总人数为：（人），
∴，
B类圆心角的度数为，
故答案为：2，120；
【分析】（1）利用类别C的频数除以所占的比例可得总人数，进而可得a的值，利用类别B的频数除以总人数，然后乘以360°即可得到B类圆心角的度数，根据a的值可补全频数分布直方图；
（2）利用C、D类别的频数之和除以总人数，然后乘以720即可；
（3）把D类优生的6人分别记为1、2、3、4、5、6，其中1、2为留守学生，画出树状图，找出总情况数以及恰好只选中其中一名留守学生进行经验交流的情况数，然后利用概率公式进行计算.
19．（2022·内江）为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动.在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生.现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如表所示：
甲型客车 乙型客车
载客量（人/辆） 35 30
租金（元/辆） 400 320
学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元.
（1）参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？
（2）每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？
（3）学校租车总费用最少是多少元？
【答案】（1）解：设参加此次劳动实践活动的老师有x人，参加此次劳动实践活动的学生有（30x+7）人，
根据题意得：30x+7＝31x﹣1，
解得x＝8，
∴30x+7＝30×8+7＝247，
答：参加此次劳动实践活动的老师有8人，参加此次劳动实践活动的学生有247人；
（2）解：师生总数为247+8＝255（人），
∵每位老师负责一辆车的组织工作，
∴一共租8辆车，
设租甲型客车m辆，则租乙型客车（8﹣m）辆，
根据题意得：，
解得3≤m≤5.5，
∵m为整数，
∴m可取3、4、5，
∴一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆；
（3）解：设租甲型客车m辆，则租乙型客车（8﹣m）辆，
由（2）知：3≤m≤5.5，
设学校租车总费用是w元，
w＝400m+320（8﹣m）＝80m+2560，
∵80＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴m＝3时，w取最小值，最小值为80×3+2560＝2800（元），
答：学校租车总费用最少是2800元.
【知识点】一元一次方程的其他应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）设参加此次劳动实践活动的老师有x人，根据每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带可得学生的总数为(30x+7)人；根据每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生可得学生总数为(31x-1)人，然后根据学生数一定列出方程，求解即可；
（2）根据（1）的结果可得师生总数为247+8＝255（人），由题意可得一共租8辆车，设租甲型客车m辆，则租乙型客车(8-m)辆，根据租金总费用不超过3000元可得400m+320(8-m)≤3000；根据总人数为255人可得35m+30(8-m)≥255，联立可求出m的范围，结合m为正整数可得m的取值，据此可得租车方案；
（3）设租甲型客车m辆，则租乙型客车(8-m)辆，由（2）知：3≤m≤5.5，设学校租车总费用是w元，根据甲型客车的辆数×租金+乙型客车的辆数×租金可得w与m的关系式，然后结合一次函数的性质进行解答.
20．（2020九下·长沙开学考）如图1，在平面直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别为 和 ，点E为x轴正半轴上的一个动点，过点A、B、E作 的外接圆 ，连结 并延长交圆于点D，连结 、 ．
（1）求证： ．
（2）当 时，求 的长度．
（3）如图2，连结 ，求线段 的最小值及当 最小时 的外接圆圆心C的坐标．
【答案】（1）证明：由题意可得：AD为⊙O的直径，
∴∠ABD=∠AOE=90°，
∵∠ADB=∠AEB，∠AOE=90°
∴∠OAE=∠BAD；
（2）解：∵ 和 ，
∴OA=6，OB= ，
∴AB= ，
∵AD=15，
由（1）得：∠OAE=∠BAD，∠ABD=∠AOE，
∴△ABD∽△AOE，
∴ ，
即 ，
解得：AE= ，
∴OE= ；
（3）解：设直线BD与y轴交于点F，
∵AB⊥BD，
∴∠OBD=∠OAB=90°-∠ABO，
直线AB位置不变，
∴直线BD位置不变，
∴当OD⊥BD时，OD最小，
此时，OD=OB×sin∠OBD=OB×sin∠OAB= × = × =9，
BD= ，
过点D作DG⊥BE于点G，设OG=x，则BG= -x，
在△OBD中，BD2-BG2=OD2-OG2，
即 ，
解得：x= ，即OG= ，
DG= ，
由题意可得点D在第三象限，
∴点D坐标为（ ， ），而点A（0，6），
∴点C坐标为（ ， ），即（ ， ）.
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用圆周角可得：∠ABD=∠AOE=90°，再利用等角的余角即可证出结论；（2）利用角相等证出△ABD∽△AOE，再利用相似三角形的性质求解即可；（3）先利用解直角三角形求解BD，再利用勾股定理求DG，最后解点C的坐标即可。
21．（2021九上·朝阳期末）在平面直角坐标系中，抛物线（m是常数）的顶点为A．
（1）用含m的代数式表示抛物线L的对称轴．
（2）当，抛物线L的最高点的纵坐标为6时，求抛物线L对应的函数表达式．
（3）已知点、，当时，设的面积为S．求S与m之间的函数关系式，并求S的最小值．
（4）已知矩形MNPQ的四个顶点的坐标分别为、、、，当抛物线L与边MN、PQ各有1个交点分别为点D、E时，若点D到y轴的距离和点E到x轴的距离相等，直接写出m的值．
【答案】（1）解：∵，
∴抛物线L的对称轴为直线．
（2）解：∵当时，，且，
又∵当时，抛物线L的最高点的纵坐标为6，
∴．
∴当时，．
解得：．
∴抛物线L对应的函数表达式为；
（3）解：如图，过点A作AD∥y轴的垂线交线段BC于点D．
∵，
∴．
∵点A为抛物线L的顶点，
∴．
设直线BC的解析式为 ，
∵点、，
∴ ，解得： ，
∴直线BC所对应的函数表达式为．
∴．
∴，
∴
∵，
∴当时，有最小值．
∴S的最小值为，
（4）m的值为，
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：（4）根据题意得：点D的横坐标为3，点E的横坐标为，
∴D到y轴的距离是3，
∵当 时， ，
∴E到x轴的距离为，
∵点D到y轴的距离和点E到x轴的距离相等，
∴，
即或，
解得：或．
【分析】（1）把解析式化为顶点式，即得对称轴为直线x=m；
（2）由于抛物线开口向上，且当x=2时，y==5，由于当时，抛物线L的最高点的纵坐标为6，可得 ，从而可得当时 ，y= ，解出m值即得解析式；
（3）过点A作AD∥y轴的垂线交线段BC于点D． 可得，可得， 求出直线BC为，可得，从而求出，根据求出S与m之间的函数关系式 ，然后二次函数的性质求解即可；
（4）根据题意得：点D的横坐标为3，点E的横坐标为，可知D到y轴的距离是3，当 时，由点D到y轴的距离和点E到x轴的距离相等，可得，解出方程即可.
22．（2022·深圳）
（1）【探究发现】如图①所示，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点．求证：
（2）【类比迁移】如图②，在矩形中，为边上一点，且将沿翻折到处，延长交边于点延长交边于点且求的长．
（3）【拓展应用】如图③，在菱形中，为边上的三等分点，将沿翻折得到，直线交于点求的长．
【答案】（1）解：将沿翻折到处，四边形是正方形，
，，
，
，，
；
（2）解：延长，交于，如图：
设，
在中，，
，
解得，
，
，，
，
，即，
，，
，，
，，
，即，
，
设，则，
，
，
，即，
解得，
的长为；
（3）解：（Ⅰ）当时，延长交于，过作于，如图：
设，，则，
，
，
，
，
沿翻折得到，
，，，
是的角平分线，
，即①，
，
，，，
在中，，
②，
联立①②可解得，
；
（Ⅱ）当时，延长交延长线于，过作交延长线于，如图：
同理，
，即，
由得：，
可解得，
，
综上所述，的长为或．
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；四边形的综合
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的判定方法证明即可；
（2）利用勾股定理和相似三角形的判定与性质计算求解即可；
（3）分类讨论，利用相似三角形的性质和勾股定理计算求解即可。
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