2023年深圳市初中学业水平测试数学仿真模拟测试（2）
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2023·新都模拟）的倒数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：的倒数是，
故答案为：C.
【分析】乘积为1的两个数互为倒数，据此解答.
2．（2023·江北模拟）如图是某品牌的多功能笔筒，其俯视图为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：俯视图为：.
故答案为：C.
【分析】俯视图是从几何体上面观察所得到的平面图形，据此判断.
3．（2023·深圳模拟）某中学足球队的名队员的年龄如表所示：
年龄（单位：岁）
人数
这名队员年龄的众数和中位数分别是（ ）
A．岁，岁 B．岁，岁 C．岁，岁 D．岁，岁
【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】根据表格中的数据可得，数据从小到大排列为：12，12，12，13，13，13，13，13，14，14，14，14，14，14，15，15，15，15，15，
出现次数最多的为14岁，排在中间的数为14岁，
故答案为：14，14.
【分析】先将数据从小到大排列，再利用众数和中位数的定义求解即可。
4．（2023·绵阳模拟）从人社部获悉：今年年初全国各地进一步拓宽就业渠道，岗位送到家门口．截至3月8日，累计举办各类招聘活动5.1万场，发布岗位3300万个．其中3300万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法—记绝对值大于1的数
【解析】【解答】解：3300万=33000000=3.3×107.
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数.
5．（2023七下·威海期中）下列运算不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【解答】解：A、 ，故此项不符合题意；
B、 ， 故此项不符合题意；
C、 ，故此项不符合题意；
D、 ， 故此项符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方、同底数幂的除法分别计算，再判断即可.
6．（2023·梧州模拟）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解： ，
由①得x≥-1，
由②得x＜2，
∴该不等式组的解集为：-1≤x＜2，
在数轴上表示该不等式组的解集为：
故答案为：A.
【分析】分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，确定出解集，进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式组的解集在数轴上表示出来，从而即可一一判断得出答案.
7．（2023七下·南山期中）已知，如图，，将一副三角尺如图摆放，让一个顶点和一条边分别放在和上，则（ ）
A． B．12° C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】如图：
根据题意可得：∠EGF=45°，∠CGF=30°，∠FEG=90°，
∵AB//CD，
∴∠AEG+∠CGE=180°，
即∠AEF+∠FEG+∠EGF+∠CGF=180°，
∴∠AEF=180°-∠FEG-∠EGF-∠CGF=180°-90°-45°-30°=15°，
故答案为：C.
【分析】根据平行线的性质可得∠AEG+∠CGE=180°，即∠AEF+∠FEG+∠EGF+∠CGF=180°，再求出∠AEF的度数即可。
8．（2023八下·花都期中）下列说法错误的是（ ）
A．菱形的对角线互相垂直且平分
B．矩形的对角线相等
C．有一组邻边相等的四边形是菱形
D．四条边相等的四边形是菱形
【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：A、菱形的对角线互相垂直且平分，此项正确，故不符合题意；
B、矩形的对角线相等，此项正确，故不符合题意；
C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，此项错误，故符合题意；
D、四条边相等的四边形是菱形，此项正确，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据菱形的判定与性质，矩形的性质逐项判断即可.
9．（2023七下·上城期中）工厂需要用铁皮制作包装盒，每张铁皮可制作盒身15个，或制作盒底20个，一个盒身与两个盒底配成一套包装盒，现有40张铁皮，设用张制作盒身，张制作盒底，恰好配套制成包装盒，则下列方程组中符合题意的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设用x张制作盒身，y张制作盒底， 则可制作盒身的数量为15x个，可制作盒底的数量为20y个，由题意，得.
故答案为：C.
【分析】设用x张制作盒身，y张制作盒底， 则可制作盒身的数量为15x个，可制作盒底的数量为20y个，由共有铁皮40张可列方程x+y=40，根据制作的盒身与制作的盒底的数量刚好配套可列方程2×15x=20y，联立两方程组成方程组.
10．（2023·泰山模拟）如图，是的切线，B为切点，与交于点C，以点A为圆心、以的长为半径，作，分别交于点E、F．若，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】切线的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图：连接OB，是的切线，
设
．
故答案为：A．
【分析】连接OB，由切线的性质可得
设 可求出 ，根据阴影部分面积=Rt△AOB的面积-（）即可求解.
二、填空题（每空3分，共15分）
11．（2023·绵阳模拟）因式分解： ．
【答案】m（x-2y）（x+2y）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：mx2-4my2=m(x2-4y2)=m(x+2y)(x-2y).
故答案为：m(x+2y)(x-2y).
【分析】首先提取公因式m，然后利用平方差公式进行分解.
12．（2022·虹口模拟）为了解某区九年级3200名学生中观看2022北京冬奥会开幕式的情况，随机调查了其中200名学生，结果有150名学生全程观看了开幕式，请估计该区全程观看冬奥会开幕式的九年级学生人数约为 ．
【答案】2400
【知识点】用样本估计总体
【解析】【解答】解：估计该区全程观看冬奥会开幕式的九年级学生人数约为（人）
故答案为：2400
【分析】根据题意列出算式求解即可。
13．（2023·榕城模拟）若m、n是方程的两个实数根，则m+n的值为 ．
【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】由根与系数的关系可得：，
∵m、n是方程的两个实数根，
∴m+n=3，
故答案为：3.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系直接求解即可。
14．（2023·西安模拟）如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，与反比例函数的图象在第一象限内交于点C，轴，轴，垂足分别为点D、E，当矩形与的面积相等时，则b的值为 ．
【答案】2
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：令y=x+b中的x=0，可得y=b；令y=0，可得x=-b，
∴A（-b，0），B（0，b），
∴S△AOB=b2.
∵点C在反比例函数y=的图象上，
∴S矩形OECD=2，
∵矩形ODCE与△OAB的面积相等，
∴b2=2，
解得b=2或-2.
∵一次函数的图象与y轴的交点在正半轴，
∴b=2.
故答案为：2.
【分析】分别令一次函数解析式中的x=0、y=0，求出y、x，可得A（-b，0），B（0，b），由三角形的面积公式可得S△AOB=b2，根据反比例函数系数k的几何意义可得S矩形OECD=2，结合题意可求出b的值.
15．（2023·苍溪模拟）如图，线段为的直径，点C在的延长线上，，，点P是上一动点，连接，以为斜边在的上方作Rt，且使，连接，则长的最大值为 ．
【答案】
【知识点】三角形三边关系；含30°角的直角三角形；点与圆的位置关系；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，作△CEO，使∠CEO=90°，∠ECO=60°，连接OP，
∵AB=4，BC=2，
∴CO=4，
在Rt△COE中，∠OEC=90°，∠ECO=60°，
∴∠EOC=30°，
∴CO=2CE，OE=，
∵∠OCP+∠PCE=∠PCE+∠ECD=60°，
∴∠OCP=∠ECD，
∵∠PDC=90°，∠DCP=60°，
∴CP=2CD，
∴，
∴△COP∽△CED，
∴，
即ED=OP=1，
∵点E是定点，DE是定长，
∴点D在半径为1的圆E上，
∵OD≤OE+DE，
∴，
∴OD的最大值为：.
故答案为：.
【分析】作△CEO，使∠CEO=90°，∠ECO=60°，连接OP，根据含30°角直角三角形的性质得CO=2CE，OE=，CP=2CD，根据角的和差推出∠OCP=∠ECD，进而由有两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似得△COP∽△CED，由相似三角形对应边成比例可得ED=OP=1，则点D在半径为1的圆E上，进而根据三角形三边关系及点与圆的位置关系可得答案.
三、解答题（共7题，共55分）
16．（2023·耿马模拟）计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】利用有理数的乘法法则、特殊角三角函数值、零指数幂及负整数幂的性质进行化简即可.
17．（2023八下·涡阳期中）先化简，再求值：，其中
【答案】解：原式 ，
，
，
，
当 时，
原式 ，
，
，
，
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】将括号内通分并利用同分母分式减法法则计算，再将除法转化为乘法，进行约分即可化简，最后将x值代入计算即可.
18．（2023·苍溪模拟）“校园安全”受到全社会的广泛关注，卧龙中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了两幅尚不完整的统计图，如图所示，请根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有 人，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为 度；
（2）请补全条形统计图；
（3）若从对校园安全知识达到了“了解”程度的3个女生和2个男生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率．
【答案】（1）60；90
（2）解：了解的人数有：60-15-30-10=5（人），补图如下：
（3）解：画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，恰好抽到1个男生和1个女生的有12种情况，
∴恰好抽到1个男生和1个女生的概率为：．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：（1） 接受问卷调查的学生共有：30÷50％=60（人），
扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为：360°×=90°；
故答案为：60，90；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用“了解很少”的学生人数除以其所占的百分比可求出本次接受问卷调查的学生人数；用360°乘以“基本了解”的学生人数所占的百分比可求出扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角度数；
（2）用本次调查的总人数分别减去条形统计图中其它几类的人数即可求出“了解”的人数，据此可补全条形统计图；
（3）此题是抽取不放回类型，根据题意画出树状图，由图可知：共有20种等可能的结果，恰好抽到1个男生和1个女生的有12种情况，从而根据概率公式可算出答案.
19．（2023·河源模拟）2022年北京冬奥会点燃了人们对冰雪运动的热情，各种有关冬奥会的纪念品也一度脱销．某实体店购进了甲、乙两种纪念品各30个，共花费1080元．已知乙种纪念品每个进价比甲种纪念品贵4元．
（1）甲、乙两种纪念品每个进价各是多少元？
（2）这批纪念品上架之后很快售罄．该实体店计划按原进价再次购进这两种纪念品共100件，销售官网要求新购进甲种纪念品数量不低于乙种纪念品数量的（不计其他成本）．已知甲、乙纪念品售价分别为24元/个，30元/个．请问实体店应怎样安排此次进货方案，才能使销售完这批纪念品获得的利润最大？
【答案】（1）解：设甲种纪念品每件进价是x元，乙种纪念品每件进价为y元，
由题意得，
解得．
答：甲种纪念品每件进价是16元，乙种纪念品每件进价为20元．
（2）解：设新购甲种纪念品m件，则乙种纪念品为件，设销售完这批纪念品获得的利润为w元．
由题意可得：，解得
∴
．
∵，
∴w随m的增大而减小，且，
∴当时，w有最大值，此时．
答：购进甲种纪念品25件，乙种纪念品75件时利润最大．
【知识点】一次函数的实际应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲种纪念品每件进价是x元，乙种纪念品每件进价为y元，根据题意列出方程组，再求解即可；
（2）设新购甲种纪念品m件，则乙种纪念品为件，设销售完这批纪念品获得的利润为w元，根据题意列出函数解析式，再利用一次函数的性质求解即可。
20．（2023·扶风模拟）如图，抛物线经过坐标原点O与点，正比例函数与抛物线交于点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P是第四象限抛物线上的一个动点，过点P作轴于点N，交于点M，是否存在点P，使得与以点N、A、P为顶点的三角形相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将，代入中得：
，
解得：，
即抛物线的解析式为：；
（2）解：存在，①如图1，过A点作直线lOB，与抛物线交于点P时，此时，
将代入得：k=，
∵lOB，
∴设直线l解析式为：，
将代入得：，，
∴直线l解析式为：，
则：，
解得：x=或x=3（舍去），
将x=代入，得y=，
即P点坐标为；
②如图2，当∠OMN=∠PAN，时，
∴，
设P点坐标为，则ON=t，AN=3-t，PN=，
∵M横坐标为t，
∴M纵坐标为：，即MN=
∴，
解得：t=2，
检验：当t=2时，，，
故t=2是该分式方程的根，
将x=2代入，得y=-2，
∴P点坐标为：，
综上所述，P点坐标为或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）将点A，B的坐标代入函数解析式，可得到关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值，可得到抛物线的解析式.
（2）过A点作直线lOB，与抛物线交于点P时，此时△OMN∽△APN，利用待定系数法求出直线OB的函数解析式，利用l∥OB，设直线l解析式为：，将点A的坐标代入函数解析式，可求出m的值，可得到直线l的函数解析式，将其函数解析式和抛物线联立方程组，解方程组求出方程组的解，即可得到点P的坐标；②如图2，当∠OMN=∠PAN，此时△OMN∽△PAN，利用相似三角形的对应边成比例可得到，利用抛物线的解析式设P点坐标为，则ON=t，AN=3-t，PN=，同时可表示出MN的长，即可得到关于t的方程，解方程求出t的值，然后求出点P的坐标；综上所述可得到点P的坐标.
21．（2023·道里模拟）已知：内接于，为的直径，直径垂直于弦于点H，连接，过点作的切线交延长线于点．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，点在上，连接交于点，若，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，点在上，作垂足为点，，，，求的长．
【答案】（1）证明：如图，连接．
∵是的切线，
∴，
∴，
设，
则，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：如图，延长到点，使，连接并延长交于点，过点作垂足为点．
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴
∵
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴，即
∴
∴，，
在中
在中，，，，，
在中
在中
解可得
∴．
【知识点】切线的性质；圆的综合题；解直角三角形
【解析】【分析】（1）先求出 ， 再求出 ， 最后证明求解即可；
（2）利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（3）利用全等三角形的判定与性质先求出RF的值，再求出FM=MB，最后利用锐角三角函数计算求解即可。
22．（2023·苍溪模拟）【问题探究】
（1）如图1，在菱形中，，于点F，，与交于点N，则的长为 ；
（2）如图2，点M是正方形对角线上的动点，连接于点H，连接．若，在M点从C到A的运动过程中，求的最小值；
（3）【问题解决】
如图3，某市欲规划一块形如矩形的休闲旅游观光区，其中米，米，点E、F是观光区的两个入口（点E、F分别为的中点），P，Q分别在线段上，设计者欲从P到Q修建绿化带，从B到H修建绿化带，绿化带宽度忽略不计，且满足，点H在上，．为了方便市民游览，计划从D到H修建观光通道，根据设计要求，请你帮助设计者求出观光通道的最小值．
【答案】（1）
（2）解：如图所示，取AB的中点O，
∵，
∴，
∴点H在以O为圆心，以AB为直径的圆上运动，
∴当O、C、H三点共线时，CH有最小值，最小值为OC-OB，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴；
（3）解：如图所示，连接EF交PQ于K，连接BK，取BK的中点O，过点O作MN∥AD交CD于N，交AB于M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，，
∵E、F分别为AB、CD的中点，
∴，
又∵，
∴四边形EFDA是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得；
同理可证四边形EFNM是矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
在中，；
∵，即，
∴点H在以O为圆心，以BK为直径的圆上运动，
∴当D、H、O三点共线时，DH有最小值，最小值即为OD-OK，
∴．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；点与圆的位置关系；相似三角形的判定与性质；四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=AD=3，AD∥BC，
∴BF=BC-CF=1，
∵AF⊥BC，
∴∠AFB=90°，
在Rt△ABF中，由勾股定理得AF=，
∵AD∥BC，
∴△ADN∽△FBN，
∴，
∴；
故答案为：；
【分析】（1）在Rt△ABF中，由勾股定理计算出AF的长，根据平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似可判断出△ADN∽△FBN，由相似三角形对应边成比例可得 ，据此就可以算出FN的长了；
（2）取AB的中点O，由圆周角定理可得点H在以O为圆心，以AB为直径的圆上运动，由点与圆的位置关系得当O、C、H三点共线时，CH有最小值，最小值为OC-OB，在Rt△OBC中，用勾股定理算出OC，即可解决此题；
（3）连接EF交PQ于K，连接BK，取BK的中点O，过点O作MN∥AD交CD于N，交AB于M，由矩形的性质得CD=AB=800m，∠A=90°，CD∥AB，AD=BC=600m，进而判断出四边形EFDA是矩形，得EF=AD=600m，根据平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似可判断出△FKQ∽△EKP，由相似三角形对应边成比例可求出EK的长，在Rt△BEK中，由勾股定理算出BK；同理可证四边形EFNM是矩形，得MN=EF=600m，EF∥MN，FN=EM，根据平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似可判断出△BOM∽△BKE，由相似三角形对应边成比例可求出OM、BM的长，在Rt△ODN中，由勾股定理算出OD，由圆周角定理可得点H在以O为圆心，以BK为直径的圆上运动，由点与圆的位置关系可得当D、H、O三点共线时，DH有最小值，最小值即为OD-OK，从而此题得解.
1 / 12023年深圳市初中学业水平测试数学仿真模拟测试（2）
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2023·新都模拟）的倒数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·江北模拟）如图是某品牌的多功能笔筒，其俯视图为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·深圳模拟）某中学足球队的名队员的年龄如表所示：
年龄（单位：岁）
人数
这名队员年龄的众数和中位数分别是（ ）
A．岁，岁 B．岁，岁 C．岁，岁 D．岁，岁
4．（2023·绵阳模拟）从人社部获悉：今年年初全国各地进一步拓宽就业渠道，岗位送到家门口．截至3月8日，累计举办各类招聘活动5.1万场，发布岗位3300万个．其中3300万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023七下·威海期中）下列运算不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·梧州模拟）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023七下·南山期中）已知，如图，，将一副三角尺如图摆放，让一个顶点和一条边分别放在和上，则（ ）
A． B．12° C． D．
8．（2023八下·花都期中）下列说法错误的是（ ）
A．菱形的对角线互相垂直且平分
B．矩形的对角线相等
C．有一组邻边相等的四边形是菱形
D．四条边相等的四边形是菱形
9．（2023七下·上城期中）工厂需要用铁皮制作包装盒，每张铁皮可制作盒身15个，或制作盒底20个，一个盒身与两个盒底配成一套包装盒，现有40张铁皮，设用张制作盒身，张制作盒底，恰好配套制成包装盒，则下列方程组中符合题意的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023·泰山模拟）如图，是的切线，B为切点，与交于点C，以点A为圆心、以的长为半径，作，分别交于点E、F．若，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每空3分，共15分）
11．（2023·绵阳模拟）因式分解： ．
12．（2022·虹口模拟）为了解某区九年级3200名学生中观看2022北京冬奥会开幕式的情况，随机调查了其中200名学生，结果有150名学生全程观看了开幕式，请估计该区全程观看冬奥会开幕式的九年级学生人数约为 ．
13．（2023·榕城模拟）若m、n是方程的两个实数根，则m+n的值为 ．
14．（2023·西安模拟）如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，与反比例函数的图象在第一象限内交于点C，轴，轴，垂足分别为点D、E，当矩形与的面积相等时，则b的值为 ．
15．（2023·苍溪模拟）如图，线段为的直径，点C在的延长线上，，，点P是上一动点，连接，以为斜边在的上方作Rt，且使，连接，则长的最大值为 ．
三、解答题（共7题，共55分）
16．（2023·耿马模拟）计算：．
17．（2023八下·涡阳期中）先化简，再求值：，其中
18．（2023·苍溪模拟）“校园安全”受到全社会的广泛关注，卧龙中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了两幅尚不完整的统计图，如图所示，请根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有 人，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为 度；
（2）请补全条形统计图；
（3）若从对校园安全知识达到了“了解”程度的3个女生和2个男生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率．
19．（2023·河源模拟）2022年北京冬奥会点燃了人们对冰雪运动的热情，各种有关冬奥会的纪念品也一度脱销．某实体店购进了甲、乙两种纪念品各30个，共花费1080元．已知乙种纪念品每个进价比甲种纪念品贵4元．
（1）甲、乙两种纪念品每个进价各是多少元？
（2）这批纪念品上架之后很快售罄．该实体店计划按原进价再次购进这两种纪念品共100件，销售官网要求新购进甲种纪念品数量不低于乙种纪念品数量的（不计其他成本）．已知甲、乙纪念品售价分别为24元/个，30元/个．请问实体店应怎样安排此次进货方案，才能使销售完这批纪念品获得的利润最大？
20．（2023·扶风模拟）如图，抛物线经过坐标原点O与点，正比例函数与抛物线交于点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P是第四象限抛物线上的一个动点，过点P作轴于点N，交于点M，是否存在点P，使得与以点N、A、P为顶点的三角形相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（2023·道里模拟）已知：内接于，为的直径，直径垂直于弦于点H，连接，过点作的切线交延长线于点．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，点在上，连接交于点，若，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，点在上，作垂足为点，，，，求的长．
22．（2023·苍溪模拟）【问题探究】
（1）如图1，在菱形中，，于点F，，与交于点N，则的长为 ；
（2）如图2，点M是正方形对角线上的动点，连接于点H，连接．若，在M点从C到A的运动过程中，求的最小值；
（3）【问题解决】
如图3，某市欲规划一块形如矩形的休闲旅游观光区，其中米，米，点E、F是观光区的两个入口（点E、F分别为的中点），P，Q分别在线段上，设计者欲从P到Q修建绿化带，从B到H修建绿化带，绿化带宽度忽略不计，且满足，点H在上，．为了方便市民游览，计划从D到H修建观光通道，根据设计要求，请你帮助设计者求出观光通道的最小值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：的倒数是，
故答案为：C.
【分析】乘积为1的两个数互为倒数，据此解答.
2．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：俯视图为：.
故答案为：C.
【分析】俯视图是从几何体上面观察所得到的平面图形，据此判断.
3．【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】根据表格中的数据可得，数据从小到大排列为：12，12，12，13，13，13，13，13，14，14，14，14，14，14，15，15，15，15，15，
出现次数最多的为14岁，排在中间的数为14岁，
故答案为：14，14.
【分析】先将数据从小到大排列，再利用众数和中位数的定义求解即可。
4．【答案】C
【知识点】科学记数法—记绝对值大于1的数
【解析】【解答】解：3300万=33000000=3.3×107.
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数.
5．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【解答】解：A、 ，故此项不符合题意；
B、 ， 故此项不符合题意；
C、 ，故此项不符合题意；
D、 ， 故此项符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方、同底数幂的除法分别计算，再判断即可.
6．【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解： ，
由①得x≥-1，
由②得x＜2，
∴该不等式组的解集为：-1≤x＜2，
在数轴上表示该不等式组的解集为：
故答案为：A.
【分析】分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，确定出解集，进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式组的解集在数轴上表示出来，从而即可一一判断得出答案.
7．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】如图：
根据题意可得：∠EGF=45°，∠CGF=30°，∠FEG=90°，
∵AB//CD，
∴∠AEG+∠CGE=180°，
即∠AEF+∠FEG+∠EGF+∠CGF=180°，
∴∠AEF=180°-∠FEG-∠EGF-∠CGF=180°-90°-45°-30°=15°，
故答案为：C.
【分析】根据平行线的性质可得∠AEG+∠CGE=180°，即∠AEF+∠FEG+∠EGF+∠CGF=180°，再求出∠AEF的度数即可。
8．【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：A、菱形的对角线互相垂直且平分，此项正确，故不符合题意；
B、矩形的对角线相等，此项正确，故不符合题意；
C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，此项错误，故符合题意；
D、四条边相等的四边形是菱形，此项正确，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据菱形的判定与性质，矩形的性质逐项判断即可.
9．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设用x张制作盒身，y张制作盒底， 则可制作盒身的数量为15x个，可制作盒底的数量为20y个，由题意，得.
故答案为：C.
【分析】设用x张制作盒身，y张制作盒底， 则可制作盒身的数量为15x个，可制作盒底的数量为20y个，由共有铁皮40张可列方程x+y=40，根据制作的盒身与制作的盒底的数量刚好配套可列方程2×15x=20y，联立两方程组成方程组.
10．【答案】A
【知识点】切线的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图：连接OB，是的切线，
设
．
故答案为：A．
【分析】连接OB，由切线的性质可得
设 可求出 ，根据阴影部分面积=Rt△AOB的面积-（）即可求解.
11．【答案】m（x-2y）（x+2y）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：mx2-4my2=m(x2-4y2)=m(x+2y)(x-2y).
故答案为：m(x+2y)(x-2y).
【分析】首先提取公因式m，然后利用平方差公式进行分解.
12．【答案】2400
【知识点】用样本估计总体
【解析】【解答】解：估计该区全程观看冬奥会开幕式的九年级学生人数约为（人）
故答案为：2400
【分析】根据题意列出算式求解即可。
13．【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】由根与系数的关系可得：，
∵m、n是方程的两个实数根，
∴m+n=3，
故答案为：3.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系直接求解即可。
14．【答案】2
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：令y=x+b中的x=0，可得y=b；令y=0，可得x=-b，
∴A（-b，0），B（0，b），
∴S△AOB=b2.
∵点C在反比例函数y=的图象上，
∴S矩形OECD=2，
∵矩形ODCE与△OAB的面积相等，
∴b2=2，
解得b=2或-2.
∵一次函数的图象与y轴的交点在正半轴，
∴b=2.
故答案为：2.
【分析】分别令一次函数解析式中的x=0、y=0，求出y、x，可得A（-b，0），B（0，b），由三角形的面积公式可得S△AOB=b2，根据反比例函数系数k的几何意义可得S矩形OECD=2，结合题意可求出b的值.
15．【答案】
【知识点】三角形三边关系；含30°角的直角三角形；点与圆的位置关系；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，作△CEO，使∠CEO=90°，∠ECO=60°，连接OP，
∵AB=4，BC=2，
∴CO=4，
在Rt△COE中，∠OEC=90°，∠ECO=60°，
∴∠EOC=30°，
∴CO=2CE，OE=，
∵∠OCP+∠PCE=∠PCE+∠ECD=60°，
∴∠OCP=∠ECD，
∵∠PDC=90°，∠DCP=60°，
∴CP=2CD，
∴，
∴△COP∽△CED，
∴，
即ED=OP=1，
∵点E是定点，DE是定长，
∴点D在半径为1的圆E上，
∵OD≤OE+DE，
∴，
∴OD的最大值为：.
故答案为：.
【分析】作△CEO，使∠CEO=90°，∠ECO=60°，连接OP，根据含30°角直角三角形的性质得CO=2CE，OE=，CP=2CD，根据角的和差推出∠OCP=∠ECD，进而由有两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似得△COP∽△CED，由相似三角形对应边成比例可得ED=OP=1，则点D在半径为1的圆E上，进而根据三角形三边关系及点与圆的位置关系可得答案.
16．【答案】解：原式
．
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】利用有理数的乘法法则、特殊角三角函数值、零指数幂及负整数幂的性质进行化简即可.
17．【答案】解：原式 ，
，
，
，
当 时，
原式 ，
，
，
，
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】将括号内通分并利用同分母分式减法法则计算，再将除法转化为乘法，进行约分即可化简，最后将x值代入计算即可.
18．【答案】（1）60；90
（2）解：了解的人数有：60-15-30-10=5（人），补图如下：
（3）解：画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，恰好抽到1个男生和1个女生的有12种情况，
∴恰好抽到1个男生和1个女生的概率为：．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：（1） 接受问卷调查的学生共有：30÷50％=60（人），
扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为：360°×=90°；
故答案为：60，90；
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用“了解很少”的学生人数除以其所占的百分比可求出本次接受问卷调查的学生人数；用360°乘以“基本了解”的学生人数所占的百分比可求出扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角度数；
（2）用本次调查的总人数分别减去条形统计图中其它几类的人数即可求出“了解”的人数，据此可补全条形统计图；
（3）此题是抽取不放回类型，根据题意画出树状图，由图可知：共有20种等可能的结果，恰好抽到1个男生和1个女生的有12种情况，从而根据概率公式可算出答案.
19．【答案】（1）解：设甲种纪念品每件进价是x元，乙种纪念品每件进价为y元，
由题意得，
解得．
答：甲种纪念品每件进价是16元，乙种纪念品每件进价为20元．
（2）解：设新购甲种纪念品m件，则乙种纪念品为件，设销售完这批纪念品获得的利润为w元．
由题意可得：，解得
∴
．
∵，
∴w随m的增大而减小，且，
∴当时，w有最大值，此时．
答：购进甲种纪念品25件，乙种纪念品75件时利润最大．
【知识点】一次函数的实际应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲种纪念品每件进价是x元，乙种纪念品每件进价为y元，根据题意列出方程组，再求解即可；
（2）设新购甲种纪念品m件，则乙种纪念品为件，设销售完这批纪念品获得的利润为w元，根据题意列出函数解析式，再利用一次函数的性质求解即可。
20．【答案】（1）解：将，代入中得：
，
解得：，
即抛物线的解析式为：；
（2）解：存在，①如图1，过A点作直线lOB，与抛物线交于点P时，此时，
将代入得：k=，
∵lOB，
∴设直线l解析式为：，
将代入得：，，
∴直线l解析式为：，
则：，
解得：x=或x=3（舍去），
将x=代入，得y=，
即P点坐标为；
②如图2，当∠OMN=∠PAN，时，
∴，
设P点坐标为，则ON=t，AN=3-t，PN=，
∵M横坐标为t，
∴M纵坐标为：，即MN=
∴，
解得：t=2，
检验：当t=2时，，，
故t=2是该分式方程的根，
将x=2代入，得y=-2，
∴P点坐标为：，
综上所述，P点坐标为或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）将点A，B的坐标代入函数解析式，可得到关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值，可得到抛物线的解析式.
（2）过A点作直线lOB，与抛物线交于点P时，此时△OMN∽△APN，利用待定系数法求出直线OB的函数解析式，利用l∥OB，设直线l解析式为：，将点A的坐标代入函数解析式，可求出m的值，可得到直线l的函数解析式，将其函数解析式和抛物线联立方程组，解方程组求出方程组的解，即可得到点P的坐标；②如图2，当∠OMN=∠PAN，此时△OMN∽△PAN，利用相似三角形的对应边成比例可得到，利用抛物线的解析式设P点坐标为，则ON=t，AN=3-t，PN=，同时可表示出MN的长，即可得到关于t的方程，解方程求出t的值，然后求出点P的坐标；综上所述可得到点P的坐标.
21．【答案】（1）证明：如图，连接．
∵是的切线，
∴，
∴，
设，
则，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：如图，延长到点，使，连接并延长交于点，过点作垂足为点．
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴
∵
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴，即
∴
∴，，
在中
在中，，，，，
在中
在中
解可得
∴．
【知识点】切线的性质；圆的综合题；解直角三角形
【解析】【分析】（1）先求出 ， 再求出 ， 最后证明求解即可；
（2）利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（3）利用全等三角形的判定与性质先求出RF的值，再求出FM=MB，最后利用锐角三角函数计算求解即可。
22．【答案】（1）
（2）解：如图所示，取AB的中点O，
∵，
∴，
∴点H在以O为圆心，以AB为直径的圆上运动，
∴当O、C、H三点共线时，CH有最小值，最小值为OC-OB，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴；
（3）解：如图所示，连接EF交PQ于K，连接BK，取BK的中点O，过点O作MN∥AD交CD于N，交AB于M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，，
∵E、F分别为AB、CD的中点，
∴，
又∵，
∴四边形EFDA是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得；
同理可证四边形EFNM是矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
在中，；
∵，即，
∴点H在以O为圆心，以BK为直径的圆上运动，
∴当D、H、O三点共线时，DH有最小值，最小值即为OD-OK，
∴．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；点与圆的位置关系；相似三角形的判定与性质；四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=AD=3，AD∥BC，
∴BF=BC-CF=1，
∵AF⊥BC，
∴∠AFB=90°，
在Rt△ABF中，由勾股定理得AF=，
∵AD∥BC，
∴△ADN∽△FBN，
∴，
∴；
故答案为：；
【分析】（1）在Rt△ABF中，由勾股定理计算出AF的长，根据平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似可判断出△ADN∽△FBN，由相似三角形对应边成比例可得 ，据此就可以算出FN的长了；
（2）取AB的中点O，由圆周角定理可得点H在以O为圆心，以AB为直径的圆上运动，由点与圆的位置关系得当O、C、H三点共线时，CH有最小值，最小值为OC-OB，在Rt△OBC中，用勾股定理算出OC，即可解决此题；
（3）连接EF交PQ于K，连接BK，取BK的中点O，过点O作MN∥AD交CD于N，交AB于M，由矩形的性质得CD=AB=800m，∠A=90°，CD∥AB，AD=BC=600m，进而判断出四边形EFDA是矩形，得EF=AD=600m，根据平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似可判断出△FKQ∽△EKP，由相似三角形对应边成比例可求出EK的长，在Rt△BEK中，由勾股定理算出BK；同理可证四边形EFNM是矩形，得MN=EF=600m，EF∥MN，FN=EM，根据平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似可判断出△BOM∽△BKE，由相似三角形对应边成比例可求出OM、BM的长，在Rt△ODN中，由勾股定理算出OD，由圆周角定理可得点H在以O为圆心，以BK为直径的圆上运动，由点与圆的位置关系可得当D、H、O三点共线时，DH有最小值，最小值即为OD-OK，从而此题得解.
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