2023年深圳市初中学业水平测试数学仿真模拟测试（3）
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2023·武侯模拟）下列各数中，倒数是它本身的数是（ ）
A．1 B．0 C．2 D．
2．（2022·龙岗模拟）下列四个几何体中，左视图为圆的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2020·高新模拟）一组数据1，3，6，1，2的众数与中位数分别是（ ）
A．1，6 B．1，1 C．2，1 D．1，2
4．（2022·怀化）2022年3月11日，新华社发文总结2021年中国取得的科技成就，其中包括“奋斗者”号载人潜水器最深下潜至10909米.其中数据10909用科学记数法表示为（ ）
A．10.909×102 B．1.0909×103
C．0.10909×104 D．1.0909×104
5．下面的计算一定正确的是
A． B．
C． D．
6．（2022九下·长沙月考）不等式组的解集在数轴上可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2021·河南模拟）将一副三角板按如图所示的位置摆放， ， ， ，点 在边 上，边 ， 交于点 ．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．有如下四个命题：
（1）三角形有且只有一个内切圆；
（2）四边形的内角和与外角和相等；
（3）顺次连接四边形各边中点所得的四边形一定是菱形；
（4）一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形．
其中真命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2022九下·瑞安开学考）如图，两个三角形的面积分别是6和4，对应阴影部分的面积分别是m和n，则m-n等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．（2020九上·海安期中）Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心的⊙C与AB相切，则⊙C的半径是（ ）
A．2 B．2.4 C．2.5 D．2.6
二、填空题（每空3分，共15分）
11．（2020八下·太和期末）因式分解：a2b2﹣1＝ ．
12．（2020九上·瑞安期中）某烟花爆竹厂从5000件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有3件不合格，估计该厂这5000件产品中不合格品约为 件．
13．（2018九上·铜梁期末）若关于 的一元二次方程(m-1)x2-4x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为 ．
14．（2021·吴中模拟）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、C分别在x轴和y轴的正半轴上，点A（1，0），点C（0，5），反比例函数的图象经过点B，则k的值为 .
15．（2021·铁西模拟）如图，在正方形 中， 为 边中点，连接 ，将 沿 翻折，得到 ，延长 分别交 、 延长线于 、 两点，连接 ，延长 交 边于点 ，则下列正确的有
①四边形 为平行四边形；② ，③ ，④ ；
三、解答题（共7题，共55分）
16．（2019·昆明模拟）计算：
17．（2017·杨浦模拟）先化简，再求值： ，其中x=6tan30°﹣2．
18．（2021·抚顺模拟）为了遏制新型冠状病毒疫情的蔓延势头，各地教育部门在推迟各级学校开学时间的同时提出“停课不停学”的要求，各地学校也都开展了远程网络教学，某校为学生提供四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答疑在线讨论，为了了解学生的需求，该校通过网络对本校部分学生进行了“你对哪类在线学校方式最感兴趣”的调查，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图
（1）本次调查的人数有多少人？
（2）请补全条形图；
（3）请求出“在线答疑”在扇形图中的圆心角度数；
（4）小宁和小娟都参加了远程网络教学活动，请求出小宁和小娟选择同一种学习方式的概率．
19．（2022九下·长沙月考）疫情期间，某口罩公司销售一种成本为每盒60元的口罩，规定试销期间销售单价不低于成本价，且获利不得高于30%，经试销发现，销售量y（万盒）与销售单价x（元）之同的函数图象如图.
（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围：
（2）求当销售单价为多少时，销售利润最大，最大利润为多少万元？
20．（2023·佛山模拟）如图，抛物线与y轴相交于点C，且经过两点，连接．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线在x轴下方图形上的一动点，是否存在点P，使，若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由；
（3）若抛物线顶点为M，对称轴与x轴的交点为N，点Q为x轴上一动点，以Q、M、N为顶点的三角形与相似．请直接写出点Q坐标．
21．（2021·黄石模拟）如图，在 中， 是直径， 是弦， ，连接 交 于点 ， .
（1）求证： 是 的切线；
（2）过点 作 于 ，交 于 ，已知 ， .求 的长；
（3）在（2）的条件下，求△ 的面积.
22．（2021·老河口模拟）在矩形ABCD中， （k为常数），点P是对角线BD上一动点（不与B，D重合），将射线PA绕点P逆时针旋转90°与射线CB交于点E，连接AE.
（1）特例发现：如图1，当k=1时，将点P移动到对角线交点处，可发现点E与点B重合，则 = ，∠AEP= ；当点P移动到其它位置时，∠AEP的大小 （填“改变”或“不变”）；
（2）类比探究：如图2，若k≠1时，当k的值确定时，请探究∠AEP的大小是否会随着点P的移动而发生变化，并说明理由；
（3）拓展应用：当k≠1时，如图2，连接PC，若PC⊥BD， ，PC=2，求AP的长.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：A、1÷1=1，故此选项符合题意；
B、0没有倒数，故此选项不符合题意；
C、1÷2=，故此选项不符合题意；
D、1÷（-2）=-，故此选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】用1除以一个数等于这个数的倒数，分别求出各个数的个数，即可判断得出答案.
2．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：左视图为从左往右看得到的视图，
A.球的左视图是圆，
B.圆柱的左视图是长方形，
C.圆锥的左视图是等腰三角形，
D.圆台的左视图是等腰梯形，
故答案为：A.
【分析】根据三视图的定义求解即可。
3．【答案】D
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：∵数据：1，3，6，1，2中，1出现了2次，出现的次数最多，∴众数是1，
把1，3，6，1，2从小到大排列为：1，1，2，3，6，
最中间的数是2，则中位数是2.
故答案为：D.
【分析】中位数定义：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数个，则称处于中间位置的数为这组数据的中位数，如果数据有偶数个，则称中间两个数的平均数为这组数据的中位数；众数：一组数据中出现次数最多的数。
4．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：10909用科学记数法可以表示：1.0909×104.
故答案为：D.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此即可得出答案.
5．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【分析】根据合并同类项，幂的乘方与积的乘方，单项式乘单项式，同底数幂的除法运算法则逐一计算作出判断：
A、b3+b3=2b3，故本选项错误；
B、
，故本选项错误；
C、5y3 3y5=15y8，故本选项正确；
D、b9÷b3=b6，故本选项错误。
故选C。
6．【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵，
∴的解集为-2＜x≤4
∴数轴表示为
故答案为：B.
【分析】求出不等式x-1≤3的解集，与x>-2的公共部分即为不等式组的解集，然后根据解集的表示方法进行判断.
7．【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解： ，
．
又 是 的外角，
，
故选：A．
【分析】根据 ，可得 ，再根据外角的性质，利用 可求得结果．
8．【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：（1）三角形的内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，有且只有一个交点，所以任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆，则正确；
（2）根据题意得：（n﹣2） 180=360，
解得n=4．
则四边形的内角和与外角和相等正确；
（3）顺次连接四边形各边中点所得的四边形一定是矩形，故不正确；
（4）一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，正确；
故选C．
【分析】根据三角形的内切圆的定义、多边形内角和公式、菱形的性质和平行四边形的性质，对每一项分别进行分析，即可得出答案．
9．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设重合的空白部分面积为
则由题意可知
两式相减得
故答案为：A.
【分析】设重合的空白部分面积为a，根据两个三角形的面积分别是6和4可得m+a=6、n+a=4，将两式相减可得m-n的值.
10．【答案】B
【知识点】勾股定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图示：⊙C与AB相切，即
∵ ， ， ，
∴
∵ ，
∴
∴ ，
则 .
故答案为：B.
【分析】根据切线的性质可得CD⊥AB，利用勾股定理可得AB=5，利用两角对应相等可证△ABC∽△ACD，利用相似三角形对应边成比例即可求解.
11．【答案】(ab+1)(ab-1)
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：a2b2﹣1
＝(ab)2-12
=(ab+1)(ab-1)，
故答案为：(ab+1)(ab-1)．
【分析】利用平方差公式分解因式即可。
12．【答案】150
【知识点】用样本估计总体
【解析】【解答】解：∵某灯具厂从5000件同批次产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有3件不合格，
∴不合格率为：3÷100=3%，
∴估计该厂这5000件产品中不合格品为5000×3%=150件．
故答案为：150．
【分析】根据100件中不合格的产品有3件，可求出不合格率，再用5000×不合格率，可求出结果。
13．【答案】 且
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴m 1≠0且△=16 4(m 1)>0，解得m<5且m≠1，
∴m的取值范围为m<5且m≠1.
故答案为:m<5且m≠1.
【分析】由一元二次方程 有两个不相等的实数根，可得m 1≠0且△>0，据此解答即可.
14．【答案】9
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求反比例函数解析式；正方形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：过B作BE⊥x轴于E，BF⊥y轴于F，则∠EBF＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠EBF＝∠ABC＝90°，
∴∠ABE＝∠CBF，
在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF(AAS)，
∴BE＝BF，AE＝CF，
∴四边形OEBF是正方形，
设正方形OEBF的边长为m，
∵点A(1，0)，点C(0，5)，
∴OA＝1，OC＝5，
∴AE＝m﹣1，CF＝5﹣m，
∴m﹣1＝5﹣m，
∴m＝3，
∴B(3，3)，
∵反比例函数的图象经过点B，
∴k＝3×3＝9，
故答案为：9.
【分析】过B作BE⊥x轴于E，BF⊥y轴于F，由正方形的性质得出AB＝BC，再由同角的余角相等得出∠ABE＝∠CBF，然后利用AAS证明△ABE≌△CBF，得出BE＝BF，AE＝CF，四边形OEBF是正方形，设正方形OEBF的边长为m，再把AE和CF用含a的代数式表示，利用AE＝CF，构建方程求解，进而求出B点坐标，再利用待定系数法求k即可.
15．【答案】①②④
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ 为 边中点，将 沿 翻折，得到 ，
∴
∴ ，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵四边形 是正方形，
∴ ，即
∴四边形 是平行四边形，故①符合题意；
∵
∴∠
∴∠
∴
设 ，则 ，
由翻折得
∴ ，即 是直角三角形，
∴
∴ ，解得，
∴
∴ ，故②符合题意；
∵∠ ，
∴△
∴
∵
∴
∴
，故③不符合题意；
∵ ，
∴
∵
∴
∴
∵ ，
∴ ，即
∵
∴
∴ ，故④符合题意；
∴正确的序号是①②④．
故答案为：①②④．
【分析】证明 得 ，再由正方形的性质得 即可判断①；证明 ，设 ，求出 ，即可得 ，从而判断②；证明△ ，求出 ，根据三角形面积比可得结论故可判断③；证明 ，求得 ，可得出 ，故可判断④．
16．【答案】解：原式＝2﹣1+1﹣9+ ＝﹣6.5.
【知识点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】由负整数指数幂的性质可得（）-2=9，由0指数幂的性质可得=1，由特殊角的三角函数值可得cos60°=，然后运用实数的运算性质即可求解。
17．【答案】原式= ﹣ = ﹣ = ，
当x=6tan30°﹣2=2 ﹣2时，原式=
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】原式第二项利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，利用特殊角的三角函数值求出x的值，代入计算即可求出值．
18．【答案】（1）解：本次调查的人数有 （人）；
（2）解：在线答题的人数有： （人），
补图如下：
（3）解：“在线答疑”在扇形图中的圆心角度数是 ；
（4）解：记四种学习方式：在线阅读、在线听课、在线答疑、在线讨论，分别为A、B、C、D则可画树状图如下：
共有16种结果，且每种结果出现的可能性相同，恰好选中小宁和小娟选择同一种学习方式的有4种，则P（小宁和小娟选择同一种学习方式） ．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法
【解析】【分析】（1）利用“在线阅读”的人数除以百分数即可求出总人数；
（2）用总人数减去“在线阅读”、“在线听课”和“在线讨论”求出“在线答疑”的人数，再补全条形统计图即可；
（3）利用“在线答疑”的人数除以总人数再乘以360度即可；
（4）利用树状图求出所有情况，再利用概率公式求解即可。
19．【答案】（1）解：由题意得：，
解得：.
故y与x之间的函数关系式为：y=x+120，
∵成本为每盒60元的口罩，销售单价不低于成本单价，且获利不得高于30%，
∴，
∴60≤x≤78；
（2）解：设销售利润为w（万元），
w=（x-60）（-x+120）=-x2+180x-7200=-（x-90）2+900，
∵抛物线开口向下，
∴当x＜90时，w随x的增大而增大，
而60≤x≤78，
故当x=78时，w=（78-60）×（120-78）=756.
答：当销售价定为78元/件时，商家可以获得最大利润，最大利润是756元.
【知识点】一次函数的实际应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设y=kx+b，将（63，57）、（70，50）代入求出k、b的值，进而可得y与x的函数关系式，根据销售单价不低于成本单价，且获利不得高于30%可得销售单价的最大值为60×(1+30%)=78，据此解答；
（2）设销售利润为w万元，根据利润=(售价-成本)×销售量可得w与x的关系式，然后根据二次函数的性质进行解答.
20．【答案】（1）解：将代入得，，
解得，
∴，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图1，作交轴于，使，延长交轴于，过作于，
当，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，
在中，由勾股定理得，
∵，
∴为的平分线，
∴，
设，
∴，即 ，
∴，
解得，
∴，
设直线的解析式为，将代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
联立，
解得，，
∴；
（3）解：点坐标为 或或或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：(3)由题意知，抛物线的对称轴为直线，
当，，
∴，，，
∵以Q、M、N为顶点的三角形与相似，且，
∴分，两种情况求解；
设，则，
①当时，，即，
解得，
∴，
解得 ，，
∴此时的点坐标为 或；
②当时，，即，
解得，
∴，
解得，，
∴此时的点坐标为或；
综上所述，点坐标为 或或或．
【分析】（1）利用待定系数法求出 抛物线的解析式为即可作答；
（2）先求出 ， 再利用勾股定理求出BE=12，最后联立方程组求解即可；
（3）分类讨论，利用相似三角形的性质计算求解即可。
21．【答案】（1）证明：连接BE
在 中， 是直径，
∴∠AEB=90°，∠B+∠EAB=90°，
又∵
∴∠DAE+∠EAB=90°，即AD⊥AB
∴ 是 的切线；
（2）解：延长EF交⊙O于H，
∵EF⊥AB，AB是直径，
∴ ，
∴∠EBA=∠AEH，
∵∠EAG=∠CAE，
∴△EAG∽△CAE，
∴ ，
∵AC=AD，
∴∠D=∠C，
∵∠C=∠DAE，
∴∠D=∠DAE，
∴AE=DE=2 ，
又∠BFE=∠BAD=90°，
∴AD∥EF，
∴∠D=∠CEF，
∴∠C=∠CEF，
∴CG=GE=3，
∴AC=AG+CG=AG+3，
∴ ，
∴AG=-8（舍）或AG=5，
即AG的长为5.
（3）解：过点G作GM⊥AE
由（2）可知，AE= ，AG=5，CG=EG=3
设ME=x，则AM=
根据勾股定理可得 ，解得
∴MG=
∴
又∵
∴
∴ .
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角，可得到∠AEB=90°，再利用同弧所对的圆周角相等，可证得∠ACD=∠B，由此可推出AD⊥AB，然后利用切线的判定定理，可证得结论；
（2）延长EF交⊙O于H，利用垂径定理及圆周角定理可证得∠EBA=∠AEH，利用有两组对应角相等三角形相似，可证得△EAG∽△CAE，利用相似三角形的对应边成比例，可得比例式；再证明AE=DE，CG=EG，由此可求出AC的长；然后可建立关于AG的方程，解方程求出符合题意的AG的长；
（3）过点G作GM⊥AE，设ME=x，可表示出AM的长，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，由此可得到MG的长；然后利用三角形的面积公式可求出△AEG的面积及△ECG的面积，即可求出△AEC的面积.
22．【答案】（1）1；45°；不变
（2）解：∠AEP的大小不变.
理由如下：过点P分别作AB，BC的垂线，垂足分别为M，N.
∴∠PMA=∠PMB=∠PNB=∠PNC=90°.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠MBN=∠BAD=∠BCD=90°，
∴四边形PMBN是矩形，
∴∠MPN=90°，PN=BM，
又∵∠APE=90°，
∴∠APM＋∠MPE=∠EPN＋∠MPE=90°，
∴∠APM=∠EPN.
又∵∠PMA=∠PNB，
∴△PAM∽△PEN，
∴ = .
在Rt△PBM和Rt△BAD中，tan∠ABD= .
在Rt△APE中，tan∠AEP= .
∵k为定值，
∴∠AEP的大小不变.
（3）解：∵PC⊥BD，∠BCD=90°，
∴∠PBC＋∠PCB=∠PBC＋∠BDC=∠BPE＋∠EPC=90°.
∵AE∥PC，
∴∠AEB=∠PCB，∠AEP=∠EPC.
∵tan∠AEP=k，tan∠ABD=k，
∴∠AEP=∠ABD.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，
∴∠ABD=∠BDC，
∴∠AEB=∠PCB=∠BDC=∠AEP=∠EPC，∠PBC=∠BPE，
∴BE=PE=EC.
∵∠AEB=∠BDC，∠ABE=∠BCD，
∴△ABE∽△BCD，
∴ ，即 ，
∴BC2=2AB2，
∴ ，k= .
在Rt△BPC中，tan∠PCB= =tan∠AEP=k= ，
∴PB= PC= ，
由勾股定理得 ，
∴PE= BC= ，
∴PA= PE= .
【知识点】四边形的综合；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：（1）如图，∵k=1，
∴在矩形ABCD是正方形，
∵点P移动到对角线交点处，
∴PA=PE，∠AEP=45°，
故 ，
如图，当点P移动到其它位置时，过点P分别作AB，BC的垂线，垂足分别为M，N.
∴∠PMA=∠PMB=∠PNB=∠PNC=90°.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠MBN=90°，PN=PM，
∴四边形PMBN是正方形，
∴∠MPN=90°，
∵∠APE=90°，
∴∠APM＋∠MPE=∠EPN＋∠MPE=90°，
∴∠APM=∠EPN.
又∵∠PMA=∠PNB，
∴△PAM≌△PEN，
∴PA=PE，
∴∠AEP=45°，
故 ，∠AEP的大小不变；
故答案为：1，45°，不变；
【分析】 （1）点P移动到对角线交点处， 利用正方形的性质可证得PA=PE，由此可得到PA与PE的比值；同时可求出∠AEP的度数；当点P移动到其它位置时，过点P分别作AB，BC的垂线，垂足分别为M，N，利用正方形的性质，可证得PM=PN，利用余角的性质可推出∠APM=∠EPN，再利用ASA可证得△PAM≌△PEN，利用全等三角形的性质可知PA=PE，同时可求出∠AEP的度数，即可作出判断.
（2）过点P分别作AB，BC的垂线，垂足分别为M，N，易证四边形PMBN是矩形，利用矩形的性质可证得∠MPN=90°，PN=BM，利用余角的性质可推出∠APM=∠EPN，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△PAM∽△PEN，可得对应边成比例；在Rt△PBM和Rt△BAD中，利用锐角三角函数的定义可得对应边之比为k；然后根据k为定值，可证得∠AEP的大小不变.
（3）利用垂直的定义可证得∴∠PBC＋∠PCB=90°，利用平行线的性质可推出∠AEB=∠PCB，∠AEP=∠EPC；结合已知可证得∠AEP=∠ABD，利用矩形的性质可推出AB=CD，AD=BC，AB∥CD，可得到∠ABD=∠BDC，从而可证得BE=PE=EC；再证明△ABE∽△BCD，利用相似三角形的对应边成比例，可推出BC2=2AB2，从而可求出k的值；利用勾股定理求出BC的值，由此可求出PE，PA的值.
1 / 12023年深圳市初中学业水平测试数学仿真模拟测试（3）
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2023·武侯模拟）下列各数中，倒数是它本身的数是（ ）
A．1 B．0 C．2 D．
【答案】A
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：A、1÷1=1，故此选项符合题意；
B、0没有倒数，故此选项不符合题意；
C、1÷2=，故此选项不符合题意；
D、1÷（-2）=-，故此选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】用1除以一个数等于这个数的倒数，分别求出各个数的个数，即可判断得出答案.
2．（2022·龙岗模拟）下列四个几何体中，左视图为圆的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：左视图为从左往右看得到的视图，
A.球的左视图是圆，
B.圆柱的左视图是长方形，
C.圆锥的左视图是等腰三角形，
D.圆台的左视图是等腰梯形，
故答案为：A.
【分析】根据三视图的定义求解即可。
3．（2020·高新模拟）一组数据1，3，6，1，2的众数与中位数分别是（ ）
A．1，6 B．1，1 C．2，1 D．1，2
【答案】D
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：∵数据：1，3，6，1，2中，1出现了2次，出现的次数最多，∴众数是1，
把1，3，6，1，2从小到大排列为：1，1，2，3，6，
最中间的数是2，则中位数是2.
故答案为：D.
【分析】中位数定义：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数个，则称处于中间位置的数为这组数据的中位数，如果数据有偶数个，则称中间两个数的平均数为这组数据的中位数；众数：一组数据中出现次数最多的数。
4．（2022·怀化）2022年3月11日，新华社发文总结2021年中国取得的科技成就，其中包括“奋斗者”号载人潜水器最深下潜至10909米.其中数据10909用科学记数法表示为（ ）
A．10.909×102 B．1.0909×103
C．0.10909×104 D．1.0909×104
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：10909用科学记数法可以表示：1.0909×104.
故答案为：D.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此即可得出答案.
5．下面的计算一定正确的是
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方
【解析】【分析】根据合并同类项，幂的乘方与积的乘方，单项式乘单项式，同底数幂的除法运算法则逐一计算作出判断：
A、b3+b3=2b3，故本选项错误；
B、
，故本选项错误；
C、5y3 3y5=15y8，故本选项正确；
D、b9÷b3=b6，故本选项错误。
故选C。
6．（2022九下·长沙月考）不等式组的解集在数轴上可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵，
∴的解集为-2＜x≤4
∴数轴表示为
故答案为：B.
【分析】求出不等式x-1≤3的解集，与x>-2的公共部分即为不等式组的解集，然后根据解集的表示方法进行判断.
7．（2021·河南模拟）将一副三角板按如图所示的位置摆放， ， ， ，点 在边 上，边 ， 交于点 ．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解： ，
．
又 是 的外角，
，
故选：A．
【分析】根据 ，可得 ，再根据外角的性质，利用 可求得结果．
8．有如下四个命题：
（1）三角形有且只有一个内切圆；
（2）四边形的内角和与外角和相等；
（3）顺次连接四边形各边中点所得的四边形一定是菱形；
（4）一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形．
其中真命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：（1）三角形的内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，有且只有一个交点，所以任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆，则正确；
（2）根据题意得：（n﹣2） 180=360，
解得n=4．
则四边形的内角和与外角和相等正确；
（3）顺次连接四边形各边中点所得的四边形一定是矩形，故不正确；
（4）一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，正确；
故选C．
【分析】根据三角形的内切圆的定义、多边形内角和公式、菱形的性质和平行四边形的性质，对每一项分别进行分析，即可得出答案．
9．（2022九下·瑞安开学考）如图，两个三角形的面积分别是6和4，对应阴影部分的面积分别是m和n，则m-n等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设重合的空白部分面积为
则由题意可知
两式相减得
故答案为：A.
【分析】设重合的空白部分面积为a，根据两个三角形的面积分别是6和4可得m+a=6、n+a=4，将两式相减可得m-n的值.
10．（2020九上·海安期中）Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心的⊙C与AB相切，则⊙C的半径是（ ）
A．2 B．2.4 C．2.5 D．2.6
【答案】B
【知识点】勾股定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图示：⊙C与AB相切，即
∵ ， ， ，
∴
∵ ，
∴
∴ ，
则 .
故答案为：B.
【分析】根据切线的性质可得CD⊥AB，利用勾股定理可得AB=5，利用两角对应相等可证△ABC∽△ACD，利用相似三角形对应边成比例即可求解.
二、填空题（每空3分，共15分）
11．（2020八下·太和期末）因式分解：a2b2﹣1＝ ．
【答案】(ab+1)(ab-1)
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：a2b2﹣1
＝(ab)2-12
=(ab+1)(ab-1)，
故答案为：(ab+1)(ab-1)．
【分析】利用平方差公式分解因式即可。
12．（2020九上·瑞安期中）某烟花爆竹厂从5000件同类产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有3件不合格，估计该厂这5000件产品中不合格品约为 件．
【答案】150
【知识点】用样本估计总体
【解析】【解答】解：∵某灯具厂从5000件同批次产品中随机抽取了100件进行质检，发现其中有3件不合格，
∴不合格率为：3÷100=3%，
∴估计该厂这5000件产品中不合格品为5000×3%=150件．
故答案为：150．
【分析】根据100件中不合格的产品有3件，可求出不合格率，再用5000×不合格率，可求出结果。
13．（2018九上·铜梁期末）若关于 的一元二次方程(m-1)x2-4x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为 ．
【答案】 且
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴m 1≠0且△=16 4(m 1)>0，解得m<5且m≠1，
∴m的取值范围为m<5且m≠1.
故答案为:m<5且m≠1.
【分析】由一元二次方程 有两个不相等的实数根，可得m 1≠0且△>0，据此解答即可.
14．（2021·吴中模拟）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、C分别在x轴和y轴的正半轴上，点A（1，0），点C（0，5），反比例函数的图象经过点B，则k的值为 .
【答案】9
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求反比例函数解析式；正方形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：过B作BE⊥x轴于E，BF⊥y轴于F，则∠EBF＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠EBF＝∠ABC＝90°，
∴∠ABE＝∠CBF，
在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF(AAS)，
∴BE＝BF，AE＝CF，
∴四边形OEBF是正方形，
设正方形OEBF的边长为m，
∵点A(1，0)，点C(0，5)，
∴OA＝1，OC＝5，
∴AE＝m﹣1，CF＝5﹣m，
∴m﹣1＝5﹣m，
∴m＝3，
∴B(3，3)，
∵反比例函数的图象经过点B，
∴k＝3×3＝9，
故答案为：9.
【分析】过B作BE⊥x轴于E，BF⊥y轴于F，由正方形的性质得出AB＝BC，再由同角的余角相等得出∠ABE＝∠CBF，然后利用AAS证明△ABE≌△CBF，得出BE＝BF，AE＝CF，四边形OEBF是正方形，设正方形OEBF的边长为m，再把AE和CF用含a的代数式表示，利用AE＝CF，构建方程求解，进而求出B点坐标，再利用待定系数法求k即可.
15．（2021·铁西模拟）如图，在正方形 中， 为 边中点，连接 ，将 沿 翻折，得到 ，延长 分别交 、 延长线于 、 两点，连接 ，延长 交 边于点 ，则下列正确的有
①四边形 为平行四边形；② ，③ ，④ ；
【答案】①②④
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ 为 边中点，将 沿 翻折，得到 ，
∴
∴ ，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵四边形 是正方形，
∴ ，即
∴四边形 是平行四边形，故①符合题意；
∵
∴∠
∴∠
∴
设 ，则 ，
由翻折得
∴ ，即 是直角三角形，
∴
∴ ，解得，
∴
∴ ，故②符合题意；
∵∠ ，
∴△
∴
∵
∴
∴
，故③不符合题意；
∵ ，
∴
∵
∴
∴
∵ ，
∴ ，即
∵
∴
∴ ，故④符合题意；
∴正确的序号是①②④．
故答案为：①②④．
【分析】证明 得 ，再由正方形的性质得 即可判断①；证明 ，设 ，求出 ，即可得 ，从而判断②；证明△ ，求出 ，根据三角形面积比可得结论故可判断③；证明 ，求得 ，可得出 ，故可判断④．
三、解答题（共7题，共55分）
16．（2019·昆明模拟）计算：
【答案】解：原式＝2﹣1+1﹣9+ ＝﹣6.5.
【知识点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】由负整数指数幂的性质可得（）-2=9，由0指数幂的性质可得=1，由特殊角的三角函数值可得cos60°=，然后运用实数的运算性质即可求解。
17．（2017·杨浦模拟）先化简，再求值： ，其中x=6tan30°﹣2．
【答案】原式= ﹣ = ﹣ = ，
当x=6tan30°﹣2=2 ﹣2时，原式=
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】原式第二项利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，利用特殊角的三角函数值求出x的值，代入计算即可求出值．
18．（2021·抚顺模拟）为了遏制新型冠状病毒疫情的蔓延势头，各地教育部门在推迟各级学校开学时间的同时提出“停课不停学”的要求，各地学校也都开展了远程网络教学，某校为学生提供四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答疑在线讨论，为了了解学生的需求，该校通过网络对本校部分学生进行了“你对哪类在线学校方式最感兴趣”的调查，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图
（1）本次调查的人数有多少人？
（2）请补全条形图；
（3）请求出“在线答疑”在扇形图中的圆心角度数；
（4）小宁和小娟都参加了远程网络教学活动，请求出小宁和小娟选择同一种学习方式的概率．
【答案】（1）解：本次调查的人数有 （人）；
（2）解：在线答题的人数有： （人），
补图如下：
（3）解：“在线答疑”在扇形图中的圆心角度数是 ；
（4）解：记四种学习方式：在线阅读、在线听课、在线答疑、在线讨论，分别为A、B、C、D则可画树状图如下：
共有16种结果，且每种结果出现的可能性相同，恰好选中小宁和小娟选择同一种学习方式的有4种，则P（小宁和小娟选择同一种学习方式） ．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法
【解析】【分析】（1）利用“在线阅读”的人数除以百分数即可求出总人数；
（2）用总人数减去“在线阅读”、“在线听课”和“在线讨论”求出“在线答疑”的人数，再补全条形统计图即可；
（3）利用“在线答疑”的人数除以总人数再乘以360度即可；
（4）利用树状图求出所有情况，再利用概率公式求解即可。
19．（2022九下·长沙月考）疫情期间，某口罩公司销售一种成本为每盒60元的口罩，规定试销期间销售单价不低于成本价，且获利不得高于30%，经试销发现，销售量y（万盒）与销售单价x（元）之同的函数图象如图.
（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围：
（2）求当销售单价为多少时，销售利润最大，最大利润为多少万元？
【答案】（1）解：由题意得：，
解得：.
故y与x之间的函数关系式为：y=x+120，
∵成本为每盒60元的口罩，销售单价不低于成本单价，且获利不得高于30%，
∴，
∴60≤x≤78；
（2）解：设销售利润为w（万元），
w=（x-60）（-x+120）=-x2+180x-7200=-（x-90）2+900，
∵抛物线开口向下，
∴当x＜90时，w随x的增大而增大，
而60≤x≤78，
故当x=78时，w=（78-60）×（120-78）=756.
答：当销售价定为78元/件时，商家可以获得最大利润，最大利润是756元.
【知识点】一次函数的实际应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设y=kx+b，将（63，57）、（70，50）代入求出k、b的值，进而可得y与x的函数关系式，根据销售单价不低于成本单价，且获利不得高于30%可得销售单价的最大值为60×(1+30%)=78，据此解答；
（2）设销售利润为w万元，根据利润=(售价-成本)×销售量可得w与x的关系式，然后根据二次函数的性质进行解答.
20．（2023·佛山模拟）如图，抛物线与y轴相交于点C，且经过两点，连接．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线在x轴下方图形上的一动点，是否存在点P，使，若存在，求出点P坐标；若不存在，说明理由；
（3）若抛物线顶点为M，对称轴与x轴的交点为N，点Q为x轴上一动点，以Q、M、N为顶点的三角形与相似．请直接写出点Q坐标．
【答案】（1）解：将代入得，，
解得，
∴，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图1，作交轴于，使，延长交轴于，过作于，
当，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，
在中，由勾股定理得，
∵，
∴为的平分线，
∴，
设，
∴，即 ，
∴，
解得，
∴，
设直线的解析式为，将代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
联立，
解得，，
∴；
（3）解：点坐标为 或或或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：(3)由题意知，抛物线的对称轴为直线，
当，，
∴，，，
∵以Q、M、N为顶点的三角形与相似，且，
∴分，两种情况求解；
设，则，
①当时，，即，
解得，
∴，
解得 ，，
∴此时的点坐标为 或；
②当时，，即，
解得，
∴，
解得，，
∴此时的点坐标为或；
综上所述，点坐标为 或或或．
【分析】（1）利用待定系数法求出 抛物线的解析式为即可作答；
（2）先求出 ， 再利用勾股定理求出BE=12，最后联立方程组求解即可；
（3）分类讨论，利用相似三角形的性质计算求解即可。
21．（2021·黄石模拟）如图，在 中， 是直径， 是弦， ，连接 交 于点 ， .
（1）求证： 是 的切线；
（2）过点 作 于 ，交 于 ，已知 ， .求 的长；
（3）在（2）的条件下，求△ 的面积.
【答案】（1）证明：连接BE
在 中， 是直径，
∴∠AEB=90°，∠B+∠EAB=90°，
又∵
∴∠DAE+∠EAB=90°，即AD⊥AB
∴ 是 的切线；
（2）解：延长EF交⊙O于H，
∵EF⊥AB，AB是直径，
∴ ，
∴∠EBA=∠AEH，
∵∠EAG=∠CAE，
∴△EAG∽△CAE，
∴ ，
∵AC=AD，
∴∠D=∠C，
∵∠C=∠DAE，
∴∠D=∠DAE，
∴AE=DE=2 ，
又∠BFE=∠BAD=90°，
∴AD∥EF，
∴∠D=∠CEF，
∴∠C=∠CEF，
∴CG=GE=3，
∴AC=AG+CG=AG+3，
∴ ，
∴AG=-8（舍）或AG=5，
即AG的长为5.
（3）解：过点G作GM⊥AE
由（2）可知，AE= ，AG=5，CG=EG=3
设ME=x，则AM=
根据勾股定理可得 ，解得
∴MG=
∴
又∵
∴
∴ .
【知识点】圆的综合题
【解析】【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角，可得到∠AEB=90°，再利用同弧所对的圆周角相等，可证得∠ACD=∠B，由此可推出AD⊥AB，然后利用切线的判定定理，可证得结论；
（2）延长EF交⊙O于H，利用垂径定理及圆周角定理可证得∠EBA=∠AEH，利用有两组对应角相等三角形相似，可证得△EAG∽△CAE，利用相似三角形的对应边成比例，可得比例式；再证明AE=DE，CG=EG，由此可求出AC的长；然后可建立关于AG的方程，解方程求出符合题意的AG的长；
（3）过点G作GM⊥AE，设ME=x，可表示出AM的长，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，由此可得到MG的长；然后利用三角形的面积公式可求出△AEG的面积及△ECG的面积，即可求出△AEC的面积.
22．（2021·老河口模拟）在矩形ABCD中， （k为常数），点P是对角线BD上一动点（不与B，D重合），将射线PA绕点P逆时针旋转90°与射线CB交于点E，连接AE.
（1）特例发现：如图1，当k=1时，将点P移动到对角线交点处，可发现点E与点B重合，则 = ，∠AEP= ；当点P移动到其它位置时，∠AEP的大小 （填“改变”或“不变”）；
（2）类比探究：如图2，若k≠1时，当k的值确定时，请探究∠AEP的大小是否会随着点P的移动而发生变化，并说明理由；
（3）拓展应用：当k≠1时，如图2，连接PC，若PC⊥BD， ，PC=2，求AP的长.
【答案】（1）1；45°；不变
（2）解：∠AEP的大小不变.
理由如下：过点P分别作AB，BC的垂线，垂足分别为M，N.
∴∠PMA=∠PMB=∠PNB=∠PNC=90°.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠MBN=∠BAD=∠BCD=90°，
∴四边形PMBN是矩形，
∴∠MPN=90°，PN=BM，
又∵∠APE=90°，
∴∠APM＋∠MPE=∠EPN＋∠MPE=90°，
∴∠APM=∠EPN.
又∵∠PMA=∠PNB，
∴△PAM∽△PEN，
∴ = .
在Rt△PBM和Rt△BAD中，tan∠ABD= .
在Rt△APE中，tan∠AEP= .
∵k为定值，
∴∠AEP的大小不变.
（3）解：∵PC⊥BD，∠BCD=90°，
∴∠PBC＋∠PCB=∠PBC＋∠BDC=∠BPE＋∠EPC=90°.
∵AE∥PC，
∴∠AEB=∠PCB，∠AEP=∠EPC.
∵tan∠AEP=k，tan∠ABD=k，
∴∠AEP=∠ABD.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，
∴∠ABD=∠BDC，
∴∠AEB=∠PCB=∠BDC=∠AEP=∠EPC，∠PBC=∠BPE，
∴BE=PE=EC.
∵∠AEB=∠BDC，∠ABE=∠BCD，
∴△ABE∽△BCD，
∴ ，即 ，
∴BC2=2AB2，
∴ ，k= .
在Rt△BPC中，tan∠PCB= =tan∠AEP=k= ，
∴PB= PC= ，
由勾股定理得 ，
∴PE= BC= ，
∴PA= PE= .
【知识点】四边形的综合；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：（1）如图，∵k=1，
∴在矩形ABCD是正方形，
∵点P移动到对角线交点处，
∴PA=PE，∠AEP=45°，
故 ，
如图，当点P移动到其它位置时，过点P分别作AB，BC的垂线，垂足分别为M，N.
∴∠PMA=∠PMB=∠PNB=∠PNC=90°.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠MBN=90°，PN=PM，
∴四边形PMBN是正方形，
∴∠MPN=90°，
∵∠APE=90°，
∴∠APM＋∠MPE=∠EPN＋∠MPE=90°，
∴∠APM=∠EPN.
又∵∠PMA=∠PNB，
∴△PAM≌△PEN，
∴PA=PE，
∴∠AEP=45°，
故 ，∠AEP的大小不变；
故答案为：1，45°，不变；
【分析】 （1）点P移动到对角线交点处， 利用正方形的性质可证得PA=PE，由此可得到PA与PE的比值；同时可求出∠AEP的度数；当点P移动到其它位置时，过点P分别作AB，BC的垂线，垂足分别为M，N，利用正方形的性质，可证得PM=PN，利用余角的性质可推出∠APM=∠EPN，再利用ASA可证得△PAM≌△PEN，利用全等三角形的性质可知PA=PE，同时可求出∠AEP的度数，即可作出判断.
（2）过点P分别作AB，BC的垂线，垂足分别为M，N，易证四边形PMBN是矩形，利用矩形的性质可证得∠MPN=90°，PN=BM，利用余角的性质可推出∠APM=∠EPN，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△PAM∽△PEN，可得对应边成比例；在Rt△PBM和Rt△BAD中，利用锐角三角函数的定义可得对应边之比为k；然后根据k为定值，可证得∠AEP的大小不变.
（3）利用垂直的定义可证得∴∠PBC＋∠PCB=90°，利用平行线的性质可推出∠AEB=∠PCB，∠AEP=∠EPC；结合已知可证得∠AEP=∠ABD，利用矩形的性质可推出AB=CD，AD=BC，AB∥CD，可得到∠ABD=∠BDC，从而可证得BE=PE=EC；再证明△ABE∽△BCD，利用相似三角形的对应边成比例，可推出BC2=2AB2，从而可求出k的值；利用勾股定理求出BC的值，由此可求出PE，PA的值.
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