上海市徐汇区名校2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题（含解析）

上海市徐汇区名校2022-2023学年高二下学期期中考试
数学
一、填空题（本大题满分36分，本大题共有12题）
1. 已知直线在轴上的截距是3，在轴上的截距是，则的方程是______．
2. 若动点分别在直线和上移动，则AB中点到原点距离的最小值为________．
3. 点与两个定点，的距离的比为，则点的轨迹方程为______．
4. 将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是________.
5. 将3个红球，4个篮球，2个黄球排成一排（相同颜色的球是一样的），有______种排法．
6. 点，点，点在坐标轴上，且为直角，这样点有______个．
7. 二项式的展开式中含有非零常数项，则正整数的最小值为______．
8. 已知点，动点的纵坐标小于等于零，且点的坐标满足方程，则直线的斜率的取值范围是______．
9. 将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有_________种(用数字作答).
10. 在某种没有平局的比赛中，选手每赢一局可以得到1点积分，每输一局会失去1点积分，若选手连赢了3局或更多的比赛，则从连赢的第三局开始，每赢一局会得到2点积分，现在设某选手的胜率为60%，则他第6局的获得的分数的数学期望是______．
11. 如图，在的方格表中按照下面的条件填入6个圆圈，满足各行．各列至少有一个圆圈；同一格不能填2个圆圈．则不同的符合条件的填入方法有______种．
12. 已知六个字母以随机顺序排成一行，若小明每次操作可以互换2个字母的位置，则小明必须进行5次操作才能将六个字母排成的顺序的排列情况有______种．
二、选择题（本大题满分12分，本大题共有4题）
13. 已知一个圆的方程满足：圆心在点，且过点原点，则它的方程为（ ）
A. B.
C. D.
14. 掷两颗均匀的大小不同的骰子，记“两颗骰子的点数和为10”为事件A，“小骰子出现的点数大于大骰子出现的点数”为事件B，则为（ ）
A B. C. D.
15. 过点作一条直线，它夹在两条直线：和：之间的线段恰被点平分，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
16. 两个黑帮帮主甲和乙决定以如下方式决斗：甲带了一名手下A ，而乙带了两名手下和，规定任意一名手下向敌方成员开枪时，会随机命中敌方的一个尚未倒下的人，且命中每个人的概率相等，并且，三名手下被命中一次之后就会倒下，而甲被命中三次后倒下，乙被命中两次后倒下，只要甲或者乙任意一人倒下，决斗立刻结束，未倒下的一人胜出.决斗开始时，A先向敌方成员开枪，之后若B未倒下，则B向敌方成员开枪，之后按C，A，B，C，A，B，……的顺序依次进行，则甲最终获胜的概率是（ ）
A. B. C. D.
三、解答題（本大题满分52分，本大题共有5题）
17. 已知随机变量，若，，求的值．
18. 求抛物线：上的点到直线：的最小距离．
19. 某校举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生（男女生各一半）的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为）进行统计，按照，，，，的分组作出如图所示的频率分布直方图，已知得分在，的频数分别为16，4．
（1）求样本容量和频率分布直方图中的，的值；
（2）70分以下称为“不优秀”，其中男．女姓中成绩优秀分别有24人和30人，请完成列联表，并判断是否有的把握认为“学生的成绩优秀与性别有关”？
男生 女生 总计
优秀
不优秀
总计
010 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
附：，．
20. 为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：
直径 58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 合计
件数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 100
经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值，用样本估计总体.
（1）将直径小于等于或直径大于零件认为是次品，从设备的生产流水线上随意抽取3个零件，计算其中次品个数的数学期望；
（2）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的概率）：①；②；③.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备的性能等级并说明理由.
21. （1）已知、为正整数，，求证：：
（2）已知、为正整数，求证：；
（3）、为正整数，，求证：．
上海市徐汇区名校2022-2023学年高二下学期期中考试
数学试题 答案解析
一、填空题（本大题满分36分，本大题共有12题）
1. 已知直线在轴上的截距是3，在轴上的截距是，则的方程是______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意利用截距式求直线的方程，再化为一般式．
【详解】因为直线在轴上的截距是，在轴上的截距是，
则直线l的方程是，即，
故答案为：．
2. 若动点分别在直线和上移动，则AB中点到原点距离的最小值为________．
【答案】
【解析】
【分析】分别求得，原点O到直线和的距离，结合，即可求得AB的中点到原点的距离的最小值.
【详解】由题意，直线和，可得，
又由原点O到直线l1的距离，
原点O到直线l2的距离，
所以AB的中点到原点的距离的最小值为.
故答案为：
3. 点与两个定点，的距离的比为，则点的轨迹方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】设出动点，利用条件得到，再化简即可得到结果.
【详解】设点，由题知，两边平方化简得，即，
所以点的轨迹方程为.
故答案为：.
4. 将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是________.
【答案】96
【解析】
【详解】试题分析：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其它号码各为一组，分给4人，共有4×=96种
考点：排列、组合及简单计数问题
5. 将3个红球，4个篮球，2个黄球排成一排（相同颜色的球是一样的），有______种排法．
【答案】1260
【解析】
【分析】利用排列知识即可求出结果.
【详解】因为相同颜色的球是一样的，所以将3个红球，4个篮球，2个黄球排成一排，共有种.
故答案为：1260.
6. 点，点，点在坐标轴上，且为直角，这样的点有______个．
【答案】4
【解析】
【分析】分情况讨论，设出轴上点坐标，利用向量的数量积为0建立方程，由判别式确定解得个数即可.
【详解】若P在x轴上，可设，
则，
由直角可得，
即，，故有两解；
当P在y轴上，可设，
则，
由为直角可得，
即，，故两解.
综上，四个解且无重合点，可知符合条件的点有4个，
故答案为：4
7. 二项式的展开式中含有非零常数项，则正整数的最小值为______．
【答案】5
【解析】
【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项, 令的指数为方程有解，即可求出正整数的最小值.
【详解】由题意，
在中，展开式中含有非零常数项，
展开式的通项为，
∵展开式中含有非零常数项，
∴当时, 解得：
∴当时, 最小，为
故答案为：5.
8. 已知点，动点的纵坐标小于等于零，且点的坐标满足方程，则直线的斜率的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】利用条件，将问题转化成求直线与圆相切时的斜率，再根据图形即可得出结果.
【详解】由题知，动点的纵坐标小于等于零，且点的坐标满足方程，所以点的轨迹方程为，
当直线与圆相切时，设直线方程为，即，
所以，解得，因为的纵坐标小于等于零，所以，
由图易知，直线的斜率的取值范围，
故答案为：
9. 将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有_________种(用数字作答).
【答案】1080
【解析】
【分析】该问题属于平均分组（堆）再分配的问题，先将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，再将其分配到四个不同场馆即得.
【详解】将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人有种方法，进而将其分配到四个不同场馆，有种情况，
由分步计数原理可得，不同的分配方案有45×24=1080种.
故答案为：1080.
【点睛】易错题，在分组过程中，要注意分组重复的情况，理解中分母的意义．
10. 在某种没有平局的比赛中，选手每赢一局可以得到1点积分，每输一局会失去1点积分，若选手连赢了3局或更多的比赛，则从连赢的第三局开始，每赢一局会得到2点积分，现在设某选手的胜率为60%，则他第6局的获得的分数的数学期望是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意结合独立事件概率公式、数学期望的公式进行求解即可..
【详解】前6局中, 连赢六局的概率为，
前6局中, 连赢五局且第6局也赢的概率为，
前6局中, 连赢四局且第6局也赢的概率为，
前6局中, 连赢三局且第6局也赢的概率为，
所以第6局的获得2分的概率为：
，
第6局的获得分的概率为，
第6局的获得分的概率为，
所以第6局的获得的分数的数学期望是，
故答案为：
11. 如图，在的方格表中按照下面的条件填入6个圆圈，满足各行．各列至少有一个圆圈；同一格不能填2个圆圈．则不同的符合条件的填入方法有______种．
【答案】4200
【解析】
【分析】6个圆圈填入5行、5列的表格中，按照题目要求，易知必有某行2个，其他行1个；某列2个，其他列1个，据此分两类讨论，分别求出安排种数，再由分类加法计数原理得解.
【详解】6个圆圈填入5行、5列的表格中，按照题目要求，易知必有某行2个，其他行1个；某列2个，其他列1个.
①如果该行和该列的交界处有圆圈，则去掉这个圆圈恰好每行每列1个，有5!=120种，新增的这个交界处圆圈有20种填法，共计:120×20= 2400种;
②如果该行和该列的交界处没有圆圈，选定该行该列的方式有种，在该行该列分别填入2个圆圈的方法有种，最后再把剩下2个圆圈填入方格，有2种填法，共计: 种;
综上，不同的符合条件的填入方法有4200种.
故答案为：种
12. 已知六个字母以随机顺序排成一行，若小明每次操作可以互换2个字母的位置，则小明必须进行5次操作才能将六个字母排成的顺序的排列情况有______种．
【答案】120
【解析】
【分析】利用条件，先假设有一个字母已排在正确位置上，经过分析判断得出不符合题意，从而得出每个字母均不在正确的位置上，再利用分步计数原理即可求出结果.
【详解】因为小明必须经过5次操作才能将六个字母排成ABCDEF的顺序，
这里研究排序混乱到什么程度才需要“必须经过5次操作”排成ABCDEF的顺序，
这里不妨记A，B，C，D，E，F六个字母对应的位次分别为1，2，3，4，5，6，
首先，考虑一种情况：假设字母“A”已经排在自己的位置，即排在1号位，
其他字母均不在自己位置，易知把其他五个字母调换到自己的位置至少需要经过4次操作，
即第一次让“B”归位，第二次让“C”归位，第三次让“D”归位，第四次将“E”与“F”同时归位，
这样仅需进行4次操作，不满足题意；
所以，要满足“必须进行5次操作”的情况，
则每个字母均不在自己位置的情况，这样1号位有5种选择，
放在1号位那个字母对应的位次就有4种选择，
以此类推，总的排序方法有种.
故答案为：120.
【点睛】解决本题的关键在于，先通过假设字母“A”已经排在自己的位置，即排在1号位，再分析出不符合条件，从而得到怎样的排序才符合条件，将问题转成利用分步计数原理来解决.
二、选择题（本大题满分12分，本大题共有4题）
13. 已知一个圆的方程满足：圆心在点，且过点原点，则它的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用条件求出半径，再根据圆的标准方程求解.
【详解】设圆的半径为，因为圆心是，且过点，所以，所以半圆的方程为，
故选：D.
14. 掷两颗均匀的大小不同的骰子，记“两颗骰子的点数和为10”为事件A，“小骰子出现的点数大于大骰子出现的点数”为事件B，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，利用古典概型公式分别计算事件A发生的概率与事件AB发生的概率，再利用条件概率计算公式即可算出P ( B|A)的值.
【详解】根据题意，记小骰子的点数为，大骰子的点数为，
事件A包含的基本事件有“”，“”，“”共3个,
事件A发生的概率，
而事件A B包含的基本事件有“”一个，
可得事件AB发生的概率，
故选：D
15. 过点作一条直线，它夹在两条直线：和：之间的线段恰被点平分，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】当斜率不存在时，不符合题意，当斜率存在时，设所求直线方程为，进而得出交点，根据点为两交点的中点建立等式，求出的值，从而即可解决问题.
【详解】如果直线斜率不存在时，直线方程为：，不符合题意；
所以直线斜率存在设为，
则直线方程为，
联立直线得： ，
联立直线得：，，
所以直线与直线，直线的交点为：
，
又直线夹在两条直线和之间的线段恰被点平分，
所以，
解得：，
所以直线的方程为：，
故选：B.
16. 两个黑帮帮主甲和乙决定以如下方式决斗：甲带了一名手下A ，而乙带了两名手下和，规定任意一名手下向敌方成员开枪时，会随机命中敌方的一个尚未倒下的人，且命中每个人的概率相等，并且，三名手下被命中一次之后就会倒下，而甲被命中三次后倒下，乙被命中两次后倒下，只要甲或者乙任意一人倒下，决斗立刻结束，未倒下的一人胜出.决斗开始时，A先向敌方成员开枪，之后若B未倒下，则B向敌方成员开枪，之后按C，A，B，C，A，B，……的顺序依次进行，则甲最终获胜的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分析按被击中顺序来表示的甲获胜的事件，分别求出概率，利用互斥事件概率加法公式求和得解.
【详解】对于甲来说，一旦唯一一名手下 A被击毙，则甲方必败，同理，若乙方B、
C两名手下被击毙，则乙方必败(题目定义开枪顺序是三名手下轮流开枪，甲与乙不参与开枪)，按照被击中的顺序表示事件，易知甲获胜的方式有如下几种：
乙甲甲乙，B甲C，C甲B，B甲乙甲，C甲乙甲，事件概率分别记为，
则，，，，，
所以甲最终获胜的概率是,
故选：A
三、解答題（本大题满分52分，本大题共有5题）
17. 已知随机变量，若，，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】根据二项分布的期望、方差公式计算可得.
【详解】因为随机变量，
所以，，
两式相除可得，
解得.
18. 求抛物线：上的点到直线：的最小距离．
【答案】
【解析】
【分析】设出抛物线上的点坐标，利用点到直线的距离公式求解作答.
【详解】设抛物线上的点，则点P到直线，
即的距离，
当且仅当时取等号，
所以所求最短距离为.
19. 某校举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生（男女生各一半）的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为）进行统计，按照，，，，的分组作出如图所示的频率分布直方图，已知得分在，的频数分别为16，4．
（1）求样本容量和频率分布直方图中的，的值；
（2）70分以下称为“不优秀”，其中男．女姓中成绩优秀的分别有24人和30人，请完成列联表，并判断是否有的把握认为“学生的成绩优秀与性别有关”？
男生 女生 总计
优秀
不优秀
总计
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
附：，．
【答案】（1）
（2）联表见解析，没有
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图，计算样本容量及的大小即可；
（2）由题意列出联表，计算与临界值比较得出结论.
【小问1详解】
由题意可知，样本容量，，
【小问2详解】
100位学生中男女生各有50名，成绩优秀共有54名，所以学生的成绩优秀与性别列联表如下表;
男生 女生 总计
优秀 24 30 54
不优秀 26 20 46
总计 50 50 100
，
没有90%的把握认为“学生的成绩优秀与性别有关”.
20. 为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：
直径 58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 合计
件数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 100
经计算，样本的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值，用样本估计总体.
（1）将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品，从设备的生产流水线上随意抽取3个零件，计算其中次品个数的数学期望；
（2）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的概率）：①；②；③.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备的性能等级并说明理由.
【答案】（1）；（2）设备的性能为丙级别.理由见解析
【解析】
【分析】（1）对于次品个数的数学期望的求法可采取古典概率的算法，先求出次品率，用符合条件的次品数/样本总数，次品可通过寻找直径小于等于或直径大于的零件个数求得，再根据该分布符合，进行期望的求值
（2）根据（2）提供的评判标准，再结合样本数据算出在每个对应事件下的概率，通过比较发现，
，
，
三个条件中只有一个符合，等级为丙
【详解】解：（1）由图表知道：直径小于或等于的零件有2件，大于的零件有4件，共计6件，
从设备的生产流水线上任取一件，取到次品的概率为，依题意，
故；
（2）由题意知，，，
，，，，
所以由图表知道：
，
，
，
所以该设备的性能为丙级别.
【点睛】对于正态分布题型数据分析，需要结合的含义来进行理解，根据题设中如；②；
③来寻找对应条件下的样品数，计算出概率值，再根据题设进行求解，此类题型对数据分析能力要求较高，在统计数据时必须够保证数据的准确性，特别是统计个数和计算，等数据时
21. （1）已知、为正整数，，求证：：
（2）已知、为正整数，求证：；
（3）、为正整数，，求证：．
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据组合数的公式及阶乘的定义化简变形即可得证；
（2）由组合数的性质可证明；
（3）利用（1）和（2）的结论，及可证明.
【详解】（1），
.
（2）由知，
.
（3）由（1）可知，时，，
而，
故，
，
故，其中