高中数学人教版 选修2-1（理科） 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.1 抛物线及其标准方程
一、选择题
1．抛物线 的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．抛物线 的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
3．抛物线 的准线方程是 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
4．过抛物线 的焦点作直线交抛物线于 ， ，如果 ，那么 （ ）
A． B． C． D．4
5．（2016·陕西模拟）已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，AF=| x0|，则x0=（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
6．已知抛物线 与双曲线 有一个相同的焦点，则动点 的轨迹是（ ）
A．椭圆的一部分 B．双曲线的一部分
C．抛物线的一部分 D．直线的一部分
二、填空题
7．若抛物线 的焦点与双曲线 的右焦点重合，则p的值为（ ）
A．-2 B．2 C．4 D．-4
8．抛物线 上的一点 到焦点的距离为 ，则点 的纵坐标为 .
9．已知圆 与抛物线 的准线相切，则 的值为 .
10．已知抛物线 的焦点与椭圆 的一个焦点重合，则 ．
三、解答题
11．求满足下列条件的抛物线的标准方程．
（1）过点 ；
（2）焦点 在直线 上．
12．设圆 的方程为 ，求与 轴相切，且与已知圆 相外切的动圆的圆心 的轨迹方程．
13．已知抛物线 ，焦点为 ，准线为 ，抛物线 上一点 的横坐标为 ，且点 到准线 的距离为 ．
（1）求抛物线 的方程；
（2）若 为抛物线 上的动点，求线段 的中点 的轨迹方程．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】抛物线的标准方程
【解析】【解答】 ，焦点坐标为 .
故答案为：D
【分析】先转化为抛物线的标准方程，根据抛物线的焦点坐标直接得到答案。
2．【答案】B
【知识点】抛物线的标准方程
【解析】【解答】化抛物线方程 为标准方程 ，因此抛物线 的准线方程为 ，故答案为：B.
【分析】先转化为抛物线的标准方程，再根据抛物线的准线方程直接得到答案。
3．【答案】B
【知识点】抛物线的标准方程
【解析】【解答】抛物线 的标准方程是 ，则其准线方程为
所以 ．故答案为：B．
【分析】根据准线方程可得到抛物线的参数P，从而可得到抛物线的标准方程，进而可得到答案。
4．【答案】A
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】根据抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离等于到抛物线准线的距离，
所以 ，故答案为：A．
【分析】灵活运用抛物线的性质：抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离，从而得到答案。
5．【答案】A
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：抛物线C：y2=x的焦点为F ，
∵A（x0，y0）是C上一点，AF=| x0|，
∴ =x0+ ，
解得x0=1．
故选：A．
【分析】利用抛物线的定义、焦点弦长公式即可得出．
6．【答案】C
【知识点】抛物线的简单性质；圆锥曲线的综合
【解析】【解答】抛物线的焦点为 ，根据题意知，此点也是双曲线的焦点，则有 ， ，所以动点 的轨迹是抛物线的一部分.
【分析】首先根据抛物线得到焦点坐标，由相同焦点的条件把焦点代入双曲线可得到参数m与n之间的关系，从而得到答案。
7．【答案】C
【知识点】抛物线的简单性质；圆锥曲线的综合
【解析】【解答】由双曲线方程知： ，右焦点为 ，
所以
【分析】根据双曲线标准方程得到右焦点后，即可根据抛物线的焦点得到抛物线的标准方程。
8．【答案】
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】由题意得，抛物线的标准方程为 ，准线方程为 ，设点 ，根据抛物线的定义可知，点 到焦点的距离等于点 到准线的距离，所以 ，解得 .
【分析】转化为抛物线的标准方程后可得到抛物线的准线方程，再根据抛物线的性质得到点M的横坐标，代入抛物线即可求出点M的纵坐标。
9．【答案】
【知识点】抛物线的简单性质；圆锥曲线的综合
【解析】【解答】圆 的圆心为 ，半径 ，抛物线 的准线为 ，由题意可知 或 （舍去）.
【分析】根据圆的一般方程得到圆的标准方程后求出圆心坐标与半径，再根据抛物线的标准方程得到准线方程，再由相切等价于圆心到准线距离为半径，得到答案。
10．【答案】
【知识点】圆锥曲线的综合
【解析】【解答】将抛物线 的方程化为标准方程是 ，所以其焦点是 ，因为抛物线 的焦点与椭圆 的一个焦点重合，因此 ，解得 ，故应填 .
【分析】根据椭圆的标准方程得到两个焦点，联系抛物线的标准方程得到抛物线的唯一焦点，进而得到答案。
11．【答案】（1）解：由于点 在第二象限，∴过 的抛物线开口向左或开口向上．
若抛物线开口向左，则焦点在 轴上，设其方程为 ，将点 代入可得 ，
∴ .∴抛物线的方程为 .
若抛物线开口向上，则焦点在 轴上，设其方程为 ，将点 代入可得， ，
∴ ，∴抛物线的方程为 .
综上所述，抛物线的标准方程为 或
（2）解：①∵直线 与 轴的交点为 ，∴抛物线的焦点是 ，
∴ ，∴ ，
∴抛物线的标准方程是 .
②∵直线 与 轴的交点为 ，即抛物线的焦点是 ，
∴ ，∴ ，∴抛物线的标准方程是
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【分析】注意分类讨论是关键；
（1）中点M的象限决定开口向左或向右，利用待定系数法代入点M直接得到两个标准方程；
（2）中直线与x、y轴各有一个交点，所以要注意有两种情况，利用待定系数法代入点M求出答案。
12．【答案】解：当 时，如图所示，圆 的方程可化为 ，所以 .直线 的方程为 .
结合已知条件，得动圆圆心 到定点 和到定直线l的距离相等，所以动圆圆心 的轨迹为抛物线．根据抛物线的定义可得其轨迹方程为 ．
当 时，圆 与 轴相切，若圆 与 轴切于原点，则必与圆 相切．
根据外切的条件，得 的轨迹方程为 ，若圆 与 轴不相切于原点，则不符合条件．所以动圆圆心 的轨迹方程为 或
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质；圆锥曲线的综合；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【分析】由圆的一般方程化为圆的标准方程来得到圆心坐标与半径大小。根据外切及与y轴相切建立等量关系，再根据抛物线的性质得到答案。
13．【答案】（1）解：抛物线 的准线方程为 ，∵抛物线 上一点 的横坐标为 ，且点 到准线l的距离为 ，∴根据抛物线的定义可知， ，∴ ，∴抛物线 的方程是
（2）解：由（1）可知 ，设 ， ，则
即
而点 在抛物线 上，∴ ，∴ ，
即 ，所以点 的轨迹方程是
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【分析】（1）可根据抛物线标准方程可得到关于p的焦点坐标与准线方程，利用抛物线的性质与题设给的等量关系即可得到抛物线的标准方程；
（2）可利用中点坐标公式，用待定系数法得到点P与点M的等量关系，进而根据点在抛物线上，直接代入即可得到轨迹方程。
1 / 1高中数学人教版 选修2-1（理科） 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.1 抛物线及其标准方程
一、选择题
1．抛物线 的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】抛物线的标准方程
【解析】【解答】 ，焦点坐标为 .
故答案为：D
【分析】先转化为抛物线的标准方程，根据抛物线的焦点坐标直接得到答案。
2．抛物线 的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】抛物线的标准方程
【解析】【解答】化抛物线方程 为标准方程 ，因此抛物线 的准线方程为 ，故答案为：B.
【分析】先转化为抛物线的标准方程，再根据抛物线的准线方程直接得到答案。
3．抛物线 的准线方程是 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】抛物线的标准方程
【解析】【解答】抛物线 的标准方程是 ，则其准线方程为
所以 ．故答案为：B．
【分析】根据准线方程可得到抛物线的参数P，从而可得到抛物线的标准方程，进而可得到答案。
4．过抛物线 的焦点作直线交抛物线于 ， ，如果 ，那么 （ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】根据抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离等于到抛物线准线的距离，
所以 ，故答案为：A．
【分析】灵活运用抛物线的性质：抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离，从而得到答案。
5．（2016·陕西模拟）已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，AF=| x0|，则x0=（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】A
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：抛物线C：y2=x的焦点为F ，
∵A（x0，y0）是C上一点，AF=| x0|，
∴ =x0+ ，
解得x0=1．
故选：A．
【分析】利用抛物线的定义、焦点弦长公式即可得出．
6．已知抛物线 与双曲线 有一个相同的焦点，则动点 的轨迹是（ ）
A．椭圆的一部分 B．双曲线的一部分
C．抛物线的一部分 D．直线的一部分
【答案】C
【知识点】抛物线的简单性质；圆锥曲线的综合
【解析】【解答】抛物线的焦点为 ，根据题意知，此点也是双曲线的焦点，则有 ， ，所以动点 的轨迹是抛物线的一部分.
【分析】首先根据抛物线得到焦点坐标，由相同焦点的条件把焦点代入双曲线可得到参数m与n之间的关系，从而得到答案。
二、填空题
7．若抛物线 的焦点与双曲线 的右焦点重合，则p的值为（ ）
A．-2 B．2 C．4 D．-4
【答案】C
【知识点】抛物线的简单性质；圆锥曲线的综合
【解析】【解答】由双曲线方程知： ，右焦点为 ，
所以
【分析】根据双曲线标准方程得到右焦点后，即可根据抛物线的焦点得到抛物线的标准方程。
8．抛物线 上的一点 到焦点的距离为 ，则点 的纵坐标为 .
【答案】
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】由题意得，抛物线的标准方程为 ，准线方程为 ，设点 ，根据抛物线的定义可知，点 到焦点的距离等于点 到准线的距离，所以 ，解得 .
【分析】转化为抛物线的标准方程后可得到抛物线的准线方程，再根据抛物线的性质得到点M的横坐标，代入抛物线即可求出点M的纵坐标。
9．已知圆 与抛物线 的准线相切，则 的值为 .
【答案】
【知识点】抛物线的简单性质；圆锥曲线的综合
【解析】【解答】圆 的圆心为 ，半径 ，抛物线 的准线为 ，由题意可知 或 （舍去）.
【分析】根据圆的一般方程得到圆的标准方程后求出圆心坐标与半径，再根据抛物线的标准方程得到准线方程，再由相切等价于圆心到准线距离为半径，得到答案。
10．已知抛物线 的焦点与椭圆 的一个焦点重合，则 ．
【答案】
【知识点】圆锥曲线的综合
【解析】【解答】将抛物线 的方程化为标准方程是 ，所以其焦点是 ，因为抛物线 的焦点与椭圆 的一个焦点重合，因此 ，解得 ，故应填 .
【分析】根据椭圆的标准方程得到两个焦点，联系抛物线的标准方程得到抛物线的唯一焦点，进而得到答案。
三、解答题
11．求满足下列条件的抛物线的标准方程．
（1）过点 ；
（2）焦点 在直线 上．
【答案】（1）解：由于点 在第二象限，∴过 的抛物线开口向左或开口向上．
若抛物线开口向左，则焦点在 轴上，设其方程为 ，将点 代入可得 ，
∴ .∴抛物线的方程为 .
若抛物线开口向上，则焦点在 轴上，设其方程为 ，将点 代入可得， ，
∴ ，∴抛物线的方程为 .
综上所述，抛物线的标准方程为 或
（2）解：①∵直线 与 轴的交点为 ，∴抛物线的焦点是 ，
∴ ，∴ ，
∴抛物线的标准方程是 .
②∵直线 与 轴的交点为 ，即抛物线的焦点是 ，
∴ ，∴ ，∴抛物线的标准方程是
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【分析】注意分类讨论是关键；
（1）中点M的象限决定开口向左或向右，利用待定系数法代入点M直接得到两个标准方程；
（2）中直线与x、y轴各有一个交点，所以要注意有两种情况，利用待定系数法代入点M求出答案。
12．设圆 的方程为 ，求与 轴相切，且与已知圆 相外切的动圆的圆心 的轨迹方程．
【答案】解：当 时，如图所示，圆 的方程可化为 ，所以 .直线 的方程为 .
结合已知条件，得动圆圆心 到定点 和到定直线l的距离相等，所以动圆圆心 的轨迹为抛物线．根据抛物线的定义可得其轨迹方程为 ．
当 时，圆 与 轴相切，若圆 与 轴切于原点，则必与圆 相切．
根据外切的条件，得 的轨迹方程为 ，若圆 与 轴不相切于原点，则不符合条件．所以动圆圆心 的轨迹方程为 或
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质；圆锥曲线的综合；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【分析】由圆的一般方程化为圆的标准方程来得到圆心坐标与半径大小。根据外切及与y轴相切建立等量关系，再根据抛物线的性质得到答案。
13．已知抛物线 ，焦点为 ，准线为 ，抛物线 上一点 的横坐标为 ，且点 到准线 的距离为 ．
（1）求抛物线 的方程；
（2）若 为抛物线 上的动点，求线段 的中点 的轨迹方程．
【答案】（1）解：抛物线 的准线方程为 ，∵抛物线 上一点 的横坐标为 ，且点 到准线l的距离为 ，∴根据抛物线的定义可知， ，∴ ，∴抛物线 的方程是
（2）解：由（1）可知 ，设 ， ，则
即
而点 在抛物线 上，∴ ，∴ ，
即 ，所以点 的轨迹方程是
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【分析】（1）可根据抛物线标准方程可得到关于p的焦点坐标与准线方程，利用抛物线的性质与题设给的等量关系即可得到抛物线的标准方程；
（2）可利用中点坐标公式，用待定系数法得到点P与点M的等量关系，进而根据点在抛物线上，直接代入即可得到轨迹方程。
1 / 1
