1.4.1有理数的乘法
一、选择题
1．一个有理数和它的相反数相乘，积为（ ）
A．正数 B．负数 C．正数或0 D．负数或0
2．下列说法正确的是（ ）
A．异号两数相乘，取绝对值较大的因数的符号;
B．同号两数相乘，符号不变;
C．两数相乘，如果积为负数，那么这两个因数异号;
D．两数相乘，如果积为正数，那么这两个因数都为正数
3．已知abc>0，a>c，ac<0，下列结论正确的是（ ）
A．a<0，b<0，c>0 B．a>0，b>0，c<0
C．a>0，b<0，c<0 D．a<0，b>0，c>0
4．如果ab=0，那么一定有（ ）
A．a=b=0 B．a=0 C．b=0 D．a，b至少有一个为0
5．三个数的积是正数，那么三个数中负数的个数是（ ）
A．1个 B．0个或2个 C．3个 D．1个或3个
6．绝对值不大于4的整数的积是（ ）
A．6 B．-6 C．0 D．24
二．填空题
1．计算（-2）×（-4）=_______．
2．计算（-）×（-）=________．
3．5×（-4.8）+│-2.3│=________．
4．若x-y=3，则2x-2y=________．
5．在-2，3，4，-5这四个数中，任取两个数相乘，所得的积最大的是_______．
6．若干个有理数相乘，其积是负数，则负因数的个数是_______．
7．+（16）×5×（-29.4）×0×（-7）=______．
8．-4×125×（-25）×（-8）=________．
9．在，，，中，任意取两个数相乘，所得积最大的是______，最小的是______。
10．所有大于且不大于的整数的和是________，积是_________。
三．解答题
1．计算
（1）（-10）×（-）×（-0.1）×6； （2）-3××1×（-0.25）．
(3)
2．计算-13×-0.34×+×（-13）-×0.34．
3．计算（-+-）×│-12│．
4．小林和小华二人骑自行车的速度分别为每小时12千米和每小时11千米，若两人都行驶2小时，小林和小华谁走的路程长？长多少千米？
5．登山队员攀登珠穆朗玛峰，在海拔3000m时，气温为-20℃，已知每登高1000m，气温降低6℃，当海拔为5000m和8000m时，气温分别是多少？
6．某班分小组举行知识竞赛，评分标准是：答对一道题加10分，答错一道题扣10分，不答不得分．已知每个小组的基本分为100分，有一个小组共答20道题，其中答对了10道题，不答的有2道题，结合你学过的有理数运算的知识，求该小组最后的得分是多少．
参考答案：
一、选择题
1
2
3
4
5
6
B
C
C
D
A
C
二．填空题
1．8 [提示：同号相乘得正．]
2．
3．-21．7 [提示：注意运算顺序．]
4．6 [提示：2x-2y=2（x-y）=2×3=6．]
5．12 [提示：3×4=12，其余积为负数和小于12．]
6．奇数 [提示：由几个不为零的有理数相乘的法则可知．]
7．0 [提示：任何有理数同0相乘都得0．]
8．-100000 [提示：原式=-（4×125×25×8）=-100000．
9. 15; -10
10. 0; 0
三．解答题
17．解：（1）（-10）×（-）×（-0.1）×6
=-（10×××6）
=-2．
（2）-3××1×（-0.25）
=3×××
=．
2．解：-13×-0.34×+×（-13）-×0.34
=-13×+×（-13）-0.34×-×0.34
=-13×（+）-0.34×（+）
=-13×1-0.34×1
=-13-0.34
=-13.34．
3．解：（-+-）×│-12│
=（-+-）×12
=（-）×12+×12+（-）×12
=-6+8-3=-1．
4．解：小林走的路程为12×2=24（千米），小华走的路程为11×2=22（千米），
因为24>22，所以小林走的路程比小华长，小林比小华多走24-22=2（千米），
答：小林走的路程比小华长2千米．
5．解：当海拔为5000m时，-20-×6=-32（℃）；
当海拔为8000m时，-20-×6=-50℃，
因此当海拔为5000m时，气温为-32℃，当海拔为8000m时，气温为-50℃．
5．解：根据题意，得100+10×10+（20-10-2）×（-10）=100+100-80=120（分）．
答：该小组最后的得分是120分．
1.4.1有理数的乘法(第一课时)
一、选择题
下列算式中，积为正数的是（ ）
A．（－2）×（＋） B．（－6）×（－2） C．0×（－1） D．（＋5）×（－2）
2．下列说法正确的是（ ）
A．异号两数相乘，取绝对值较大的因数的符号
B．同号两数相乘，符号不变
C．两数相乘，如果积为负数，那么这两个因数异号
D．两数相乘，如果积为正数，那么这两个因数都是正数
3．计算（－2）×（－3）×（－1）的结果是（ ）
A．－6 B．－5 C．－8 D．5
4．如果ab＝0，那么一定有（ ）
A．a＝b＝0 B．a＝0 C．a，b至少有一个为0 D．a，b最多有一个为0
5．下面计算正确的是（ ）
A．－5×（－4）×（－2）×（－2）＝5×4×2×2＝80
B．12×（－5）＝－50
C．（－9）×5×（－4）×0＝9×5×4＝180
D．（－36）×（－1）＝－36
二、填空题
6．计算填空，并说明计算依据：
（1）（－3）×5＝______（ ）；
（2）（－2）×（－6）＝_______（ ）；
（3）0×（－4）＝________（ ）；
7．确定下列各个积的符号，填在空格内：
（1）（－7.4）×（－3.2）_______；
（2）(－2)×（－2）×2（－2）________；
（3）（－）×（－）×（－）×（－）
8．（1）（－3）×（－0.3）＝_______；
（2）（－5）×（3）＝_______；
（3）－0.4×0.2＝_______；
（4）（＋32）×（－60.6）×0×（－9）＝______
9．绝对值大于1，小于4的所有整数的积是______。
10．绝对值不大于5的所有负整数的积是______。
三、解答题
11．计算：
（1）（－13）×（－6）
（2）－×0.15
（3）（＋1）×（－1）
（4）3×（－1）×（－）
（5）－2×4×（－1）×（－3）
（6）（－2）×5（－5）×（－2）×（－7）
答案：
1．B 2．C 3．C 4．C 5．A 6．(1)-15，异号得负，并把绝对值相乘 （2）12，同号得正，并把绝对值相乘 （3）0，一个数与0相乘得0 7．（1）＋ （2）－ （3）＋
8．（1）0.9 （2）－18 （3）－0.08 （4）0
9．36 10。－120 11。（1）78 （2）－0.05 （3）－2 （4）1 （5）－24 （6）700
1.4.1有理数的乘法（第一课时）
学习目标:
1、理解有理数的运算法则;能根据有理数乘法运算法则进行有理的简单运算
2、经历探索有理数乘法法则过程，发展观察、归纳、猜想、验证能力.
3、培养语言表达能力.调动学习积极性，培养学习数学的兴趣.
学习重点：有理数乘法
学习难点：法则推导
教学方法：引导、探究、归纳与练习相结合
教学过程
一、学前准备
计算：
（1）（一2）十（一2）
（2）（一2）十（一2）十（一2）
（3）（一2）十（一2）十（一2）十（一2）
（4）（一2）十（一2）十（一2）十（一2）十（一2）
猜想下列各式的值：
（一2）×2 （一2）×3
（一2）×4 （一2）×5
二、探究新知
1、自学有理数乘法中不同的形式，完成教科书中29~30页的填空．
2、观察以上各式，结合对问题的研究，请同学们回答：
（1）正数乘以正数积为 数，（2）正数乘以负数积为 数，
（3）负数乘以正数积为 数，（4）负数乘以负数积为 数。
提出问题：一个数和零相乘如何解释呢？
3、归纳、总结
两数相乘，同号 ，异号 ，并把 相乘.
任何数与0相乘，都得 .
三、新知应用
1、例1 计算：（1）（－3）×（－9）； （2）8×（－1）； （3）（－）×（-2）.
2、P31例2
四、练习 直接说出下列两数相乘所得积的符号
1. 5×（—3） （—4）×6
（—7）×（—9） 0.9×8
2.计算
1）6×（—9）= . 2）（—4）×6= .
3）（—6）×（—1）= 4）（—6）×0= .
5） 6） .
3.写出下列各数的倒数
1， —1， 5， —5， ，
五、小结
怎么样，这节课有什么收获，还有那些问题没有解决？
六、当堂清
填空题：
1.（+25）×（－8）= 2.（－1.25）×(－4)=
3. 0.01×(－2.7)= 4.（―5）×0.2=
5.（―7.5）× =0 6.(―)× =1
二．选择题
1.如果两个有理数的和为正数，积也是正数，那么这两个数 （ ）
A、都是正数 B、都是负数 C、一正一负 D、符号不能确定
2.如果两个数的积为负数，和也为负数，那么这两个数 （ ）
A、都是负数 B、互为相反数
C、一正一负，且负数的绝对值较大 D、一正一负，且负数的绝对较小
3.两个有理数的和为零，积为零，那么这两个有理数 （ ）
A、至少有一个为零，不必都为零 B、两数都为零
C、不必都为零，但一定是互为相反数 D、以上都不对
4.如果两数之积为零，那么这两个数 （ ）
A、都等于零 B、至少有一个为零
C、互为相反数 D、有一个等于零，另一个不等于零
参考答案：
一、填空题1.－200 2. 5 3. －0.027 4.－１ 5.0 6.－３
二、选择题 A C B B
六、学习反思
1.4.1 有理数的乘法（1）
教学目标
知识与技能
经历探索有理数乘法法则的过程，发展观察、归纳、猜测、验证等能力．
过程与方法
能运用法则进行简单的有理数乘法运算．
情感态度价值观
培养学生的语言表达能力，通过合作学习调动学生学习的积极性，增强学习数学的自信。
教学重点
乘法法则的推导
教学难点
会利用法则进行简单的有理数乘法运算
教学过程（师生活动）
设计理念
设置情境
引入课题
1.计算：
（1）（一2）十（一2）
（2）（一2）十（一2）十（一2）
（3）（一2）十（一2）十（一2）十（一2）
（4）（一2）十（一2）十（一2）十（一2）十（一2）
猜想下列各式的值：
（一2）×2，（一2）×3，（一2）×4，（一2）×5。
（比照小学学过的非负数乘法，引导学生进行猜想和计算。）
2．两个有理数相乘有几种情况？
结论：和有理数的加法一样，分三种情况：同号两个有理数相乘；异号两个有理数相乘；0和有理数相乘。
引起学生的学习兴趣．为下面的学习作铺垫．
交流对话
探究新知
学生自学有理数乘法中不同的形式，完成教科书中29~30页的填空．
观察以上各式，结合对问题的研究，请同学们回答：
（1）正数乘以正数积为 数，（2）正数乘以负数积为 数，
（3）负数乘以正数积为 数，（4）负数乘以负数积为 数。
提出问题：一个数和零相乘如何解释呢？
有理数乘法法则：
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。
问题：有理数相乘应分几步完成？
结论：两数相乘，应分两步完成：一是确定积的符号；二是确定积的绝对值。
培养学生从特殊到一般的归纳思想． 培养学生的概括能力和语言表达能力，学生的概括只要合理都加以鼓励． 使学生明确有理数中包括正数、负数和0，培养完整的分类思想．
让学生进一步理解法则，用概括出的规律指导学生正确地进行运算。
应用新知
体验成功
口答：确定下列两数的积的符号：
(1) 5×(-3) (2) (-4) × 6
(3)（-7） ×（-9） (4）0.5×0.7、
给出教科书31页例1,让学生以独立思考的形式加以解决
由例1中的第(3)小题：（一）× (－2)引入倒数的概念，分组讨论，归纳总结出倒数的定义．
鼓励学生举出互为倒数的例子，并提问，数a(a≠0)的倒数是什么？a为什么不能等于0?
练习：填空：
1×（-3）= ；（－1） ×（－3）＝
1×a= ； （一1） ×a= ·
给出教科书31页例2，利用气温变化这样的实际问题来巩固有理数的乘法法则．
对有理数的乘法关键是确定积的符号及时应用，让学生初步体验成功的喜悦。通过讨论让学生理解有理数倒数的定义与小学里是一样的。让学生初步体验用字母表示数的方法，并明确0没有倒数。
通过练习让学生归纳出一个数同1相乘得身，一个数同－1相乘得它的相反数让学生体验数学来源于实践又服务于实践的思想。
课堂练习
教科书 33页练习第1，2
加深学生对法则和倒数的理解
课堂小结
有理数的乘法法则和倒数的定义
本课作业
课件13张PPT。1.4.1 有理数的乘法
第一课时请你思考观察下面的等式，你能发现什么规律？3×3 =9 3×2 =6 ,3×1 = 3,3×0 = 0,3×(?1) =－3,
3×(?2) = ,
3×(?3) = ,
3×(?4) = ,第二个因数逐次减少 1 时，积 怎么变化?－6－9－12积逐次递减 3 。请你思考观察下面的等式，你能发现什么规律？3×3 =9 3×2 =6 ,3×1 = 3,3×0 = 0, (?1) ×3=－3,
(?2) × 3= ,
(?3) ×3= ,
(?4) ×3= ,第二个因数逐次减少 1 时，积 怎么变化?－6－9－12积逐次递减 3 。请你思考利用前面的结论完成下面各式，你能发现什么规律？第二个因数逐次减少 1 时，积 怎么变化?积逐次增加 3 。(?3)×3 = ,(?3)×2 = ,(?3)×1 = ,?9?6?3(?3)×(?1) = ,
(?3)×(?2) = ,
(?3)×(?3) = ,
(?3)×(?4) = ,36912有理数的乘法法则 两数相乘，同号得 ，异号得 ，
并把绝对值相乘；任何数与零相乘得 。正负零感受法则、理解法则 有理数乘法法则也秉承了有理数加减的探究思路，即将问题予以归类处理，分类计算，这样有助于我们问题的解决。
例如计算（-７）×（-４）一，是同号相乘，所乘得的结果应为正。二，可以先得到（-７）×（-４）= +（ ）的判断三，把绝对值相乘，得出结果。所以有
（-７）×（-４）=+（２８） 的结果 同步练习1
口答：
(1)6×(-9)； (2)(-6)×(-9)； (3)(-6)×9； (4)(-6)×1； (5)(-6)×(-1)； (6)6×(-1)； (7)(-6)×0； (8)0×(-6)；新知应用 例1 计算：
(1) (?3)×9 ； (2) 8×(?1) ；
(3）解：(1) (?3)×9 (2) 8×(?1)
= ?(3×9) =－(8×1)
=?27 ; =－8;(3) =1 ;确定积的符号 绝对值相乘倒 数 的 定 义 乘积为 1 的两个有理数称作互为倒数.同步练习2 请说出下列各数的倒数：( 1 )（ 3 ）－２（ 2 ）（４）（５）－２.５( 7 )( 8 )( 6 ) 1( 9 ) 0－1同步练习3 1、两数相乘，同号得 ，异号得 ，
绝对值相乘；0 乘 任何数得 。正负0 2、几个有理数相乘，因数都不为 0 时，
积的符号由 确定：负因数的个数奇数个为负，偶数个为正。 有一因数为 0 时，积是 .0 0没有倒数,倒数等于本身的数是+1,-1.3、作 业这节课就到这里，下课！1.4.1 有理数乘法（3）
教学目标
知识与技能
熟练有理数的乘法运算并能用乘法运算律简化运算．
过程与方法
让学生通过观察、思考、探究、讨论，主动地进行学习．
情感态度价值观
培养学生语言表达能力以及与他人沟通、交往能力，激发学习数学的兴趣
教学重点
正确运用运算律，使运算简化
教学难点
运用运算律，使运算简化
教学过程（师生活动）
设计理念
设置情境
引入课题
上节课我们学习了有理数的乘法，下面我们做几道题：（用课件演示）计算下列各题．并比较它们的结果：
1.（－7）×8与8×（－7）
2.[（－2）×（－6）]×5与（－2）×[（－6）×5]
3.（－）×（－）与（－）×（－）
4.[×（－）]×（－4）与×[（－）×（－4）]
让学生自由选择其中的一组问题进行计算，然后在组内交流，验证答案的正确性．
让学生复习有理数的乘法运算，给出两组题让学生自由选择以满足不同层次的要求，在形式上用
比较的方式，让学生在解题的过程中有目的性地思考，为下面引出运算律作铺垫
分析问题
探究新知
提出问题：上面我们做的题中，你发现了什么？在有理数运算律中，乘法的交换律，结合律以及分配律还成立吗？
让学生独立思考，用自己的语言来描述三个运算律并引导学生用字母来表示三个运算律。
乘法分配律：
一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加.
式子表示为 a（b＋c）= ab＋ac
乘法交换律：
两个数相乘，交换因数的位置，积不变。
ab＝ba.
乘法结合律：
三个数相乘，先把前两个数相积乘，或者先把后两个数相乘，积不变.
(ab)c＝a(bc).
学生通过观察思考主动地进行学习，在共同探索，共同发现的过程中分享成功的喜悦。并使学生感受到集体的力量。培养学生的语言表达能力及从特殊到一般的归纳能力。
应用新知
体验成功
1.出示料书34页例4：
用两种方法计算
（＋－）×12
采用大组竞赛的方法，让其中的两个大组采用一般的运算顺序进行计算，另两个大组采用运算律进行计算．
例2、计算下列各题
1）、6×（－10）×0.1×
2）、71×（－8）
3）、（＋3）×（3－7）××
通过本例让学生学会选用运算律来简化运算。指导学生仔细观察、认真分析各题特点，规划各题的解题方案，恰当选用运算律。
变式练习：9 ×15.
采取小组合作的方法，不限制学生的解题思路．
通过竞赛让学生更深刻地体验到运用运算律可简化运算，同也增强学生的竞争意识与集体荣誉感．通过上是的比较，学生会选取用这算律来简化运算，形成知识的正迁移．通过变式练习，让学生在认识层次上有所提高．
课堂练习
第34页练习
小结与作业
课堂小结
1.有理数乘法的运算及表示方法
2.如何运用运算律来简化运算
本课作业
课件20张PPT。1.4.1 有理数的乘法
第三课时知识回顾同学们，还记得我们以前学过的乘法运算律吗？ 试观察以下的式子：３×５ ５ × ３是否等于＝＝是否等于(３×５) ×2 ３ × (５ ×2)满足交换律满足结合律简便计算，并说出根据是什么：小学数学乘法的
交换律和结合律小学数学的分配律摇身一变：活动一通过计算你发现了什么 ? 两个数相乘，交换因数的位置，积__________.不变即：ab= ba 乘法交换律：请同学们先计算.再认真观察,并比较它们的结果： 活动二请同学们先计算.再认真观察并比较它们的结果： 通过计算你又发现了什么 ?三个数相乘，先把前两个数相乘，
或者先把后两个数相乘，积_______ 乘法结合律：即：（ab）c = a（b c ）不变小试牛刀活动三请同学们先计算.再认真观察,并比较它们的结果： （1）（2）通过计算你又有什么新的发现了 ?一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积_____相加乘法的分配律：即：（a+b）c = ac +bc再试一试（2）（1）例1 计算：（第（2）题用两种方法） 解：解：我会做：看谁算的快：能力提高：解：你来试试：1.乘法结合律用字母表示为（ ）。
(ab)c=a(bc)达标检测D(-3670)( 1 )
（1）本节我们主要学习了哪些内容？
（2）在运算过程中，你最容易犯哪些错误？如果a,b,c分别表示任一有理数，
那么：
乘法交换律：
乘法结合律：
乘法分配律：ab=ba(ab)c=a(bc)a(b+c)=ab+ac作 业这节课就到这里，下课！1.4.1 有理数的乘法（2）
教学目标
知识与技能
巩固有理数的乘法法则，探索多个有理数相乘时，积的符号的确定方法．
过程与方法
发展学生的观察、归纳、猜测、验证等能力．
情感态度价值观
能让学生在独立思考的基础上，积极参与对数学问题的讨论，敢于发表自己的观点，并尊重与理解他人的见解，能从交流中获益．
教学重点
正确进行多个有理数的乘法运算
教学难点
多个有理数相乘时积的符号的确定方法
教学过程（师生活动）
设计理念
设置情境
引入课题
课件演示翻牌游戏，桌上有9张反面向上的扑克牌，
每次翻动其中任意2张（包括已翻过的牌），使它们从一面向上变为另一面向上，这样一直做下去，观察能否使所有的牌都正面向上？
利用学生课前准备的纸牌，以小组的形式开展试验，并且在课件中用动画的形式不停地翻动其中的任意两张牌．让其中一个小组的代表发表试验后的结论：不论翻多少次，都不会使9张牌都正面朝上．
提问：从这个结果，你能想到其中的数学道理吗？
以游戏的形式，激起学生的探究欲望，使学生以饱满的热情投入到课堂中来．
学生亲自动手，验证自己的想象，得出结论，再经过交流、思考，升华认识．
问题的提出让学生意识到只有学习了本节课的知识，才能解释其中的选理，激起他们的学习兴趣．
分析问题
探究新知
观察：下列各式的积是正的还是负的？
2×3×4×（－5），
2×3×（-4） ×（－5），
2×（×3）× (×4)×（－5），
（－2) ×(－3) ×(－4) ×（－5).
思考：几个不是0的数相乘，积的符号与负因数的个数之间有什么关系？
分组讨论交流，鼓励学生通过观察实例，用自己的语言表达所发现的规律。
利用所得到的规律，引导学生探讨翻牌游戏中的数学道理。
这组式子利用负因数的个教逐个增加的形式，让学生马上可以淆出积的符号和负因数的个数有关．培养学生善于观察，勤于思考的习惯，让学生体验获得结论的过程．使学生灵活应用所学知识，提高认识并通过活动，增强小组合作及资源共享意识
应用新知
体验成功
出示教科书32页例2，在解题前先引导学生思考多个不是0的数相乘，先做哪一步，再做哪一步？
思考：你能看出下列式子的结果吗？如果能，请说明理由
7.8×(－8.1)×O× (－19.6)
引导学生根据已有的知识进行解答，得出几个数相乘，其中因数为0时的特殊规律 .
出示教科书中33页的练习，让学生独立思考，完成计算
学生带着目的性去学习，能更好的掌握相关知识，在思维层次上进行总结，以更好的解决问题．培养学生通过观察全面地有条理思考数学问盈，促进综合能力的发展．使学生熟悉运算方法，对所学知识加以巩固．
课堂练习
小结与作业
课堂小结
多个有理数相乘时的符号确定方法
本课作业
课件13张PPT。1.4.1 有理数的乘法
第二课时知识回顾有理数乘法法则 问题探究 （1）2×3 ×4 ×（-5）
（2）2×3 ×（-4） ×（-5）
（3）2×（-3） ×（-4） ×（-5）
（4）（-2）×（-3） ×（-4 ）×（-5）
-+-+判断下列各式的符号：7.8 ×（-8.1） ×0 ×（-19.6 ） ？
新知探究 用“>”、“<”或“=”填空。
（1）（-3）×（-5） ×（-7） ×（-9） 0
（2）（+8.36） ×（+2.9） ×（-7.89） 0
（3）50 ×（-2） ×（-3） ×（-2） ×（-5） 0
（4）（-3） ×（-2） ×（-1） 0
（5）739 ×（-123） ×（-329） ×0 0><><=1.（1）如果2个数的乘积为负数，其中有个 负因数。（2）如果3个数的乘积为负数，其中有个 负因数。（3）如果4个数的乘积为负数，其中有个 负因数。（4）如果5个数的乘积为负数，其中有个 负因数。（5）如果101个数的乘积为负数，其中有个 负因数。11或31或31,3,51,3,…,101思考你能发现其中的规律吗?2015个数的乘积为负数,其中负因数个
数有几种可能?（2）三个有理数积为正数,其中有 个负因数.（3）三个有理数的积为零，则这三个数中 （ ）
A 没有一个为零 B 必须三个全为零
C 最多一个为零 D至少有一个为零“没有”或“2”D（4）（1-2）×（2-3） ×（3-4） × … ×（99-100）
= ．-1计算：
（1）（-7）×8
（2）8 ×（-7）
（3）[（-4） ×（-6）] ×5
（4）（-4） ×[（-6） ×5]所以：（-7） ×8=8 ×（-7）所以：[（-4） ×（-6）] ×5=（-4） ×[（-6） ×5]1.用“<”“>”或“=”填空。
（1）若a <0，则a 2a
（2）若a A 若ab=1，则a=1，b=1；
B 若ab>0，则a >0，b >0；
C 若|a|=|b|，则a+b=0；
D 若a+b=0，则|a|=|b|。
（1）本节我们主要学习了哪些内容？
（2）在运算过程中，你最容易犯哪些错误？作 业这节课就到这里，下课！
