必修1 第一章 集合与函数概念 1.1.1集合的含义与表示同步训练B卷（含详细解析）
文档属性
| 名称 | 必修1 第一章 集合与函数概念 1.1.1集合的含义与表示同步训练B卷（含详细解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 249.2KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2014-09-12 15:43:51 | ||
图片预览
文档简介
必修1 第一章 集合与函数概念 1.1.1集合的含义与表示同步训练B卷（含详细解析）
一．选择题（共11小题）
1．下列说法正确的是（ ）
A． 某个村子里的高个子组成一个集合
B． 所有较小的正数组成一个集合
C． 集合{1，2，3，4，5}和{5，4，3，2，1}表示同一个集合
D． 这六个数能组成一个含六个元素的集合
2．下列集合中表示同一集合的是（ ）
A． M={（3，2）}，N={3，2} B． M={（x，y）|x+y=1}，N={y|x+y=1}
C． M={（4，5）}，N={（5，4）} D．M={2，1}，N={1，2}
3．若集合{x﹣a∈Z|a﹣1≤x≤a+1}=（ ）
A． {0} B．{﹣1，0} C．{﹣1，0，1} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}
4．已知集合A={x|x2﹣3x+a＞0，x∈R}，且1?A，则实数a的取值范围是（ ）
A． （﹣∞，2] B．[2，+∞） C． （﹣∞，﹣2] D．[﹣2，+∞）
5．已知集合A=，则集合A中的元素个数为（ ）
A． 2 B． 3 C．4 D．5
6．设集合A={1，2，3}，B={0，1，2，4}，定义集合S={（a，b）|a∈A，b∈B，a+b＞ab}，则集合S中元素的个数是（ ）www.21-cn-jy.com
A． 5 B．6 C．8 D． 9
7．设集合P={x|x=2k﹣1，k∈Z}，集合Q={y|y=2n，n∈Z}，若x0∈P，y0∈Q，a=x0+y0，b=x0?y0，则（ ）2-1-c-n-j-y
A． a∈P，b∈Q B． a∈Q，b∈P
C． a∈P，b∈P D． a∈Q，b∈Q
8．，则实数a取值范围为（ ）
A． （﹣∞，﹣1）∪[1，+∞） B． [﹣1，1]
C． （﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） D． （﹣1，1]
9．已知集合M={x|x2﹣4x+4a＜0}且2?M，则实数a的取值范围是（ ）
A． （l，+∞） B． [l，+∞） C．（﹣∞，1] D．[0，1]
10．设数集M同时满足条件①M中不含元素﹣1，0，1，②若a∈M，则∈M．则下列结论正确的是（ ）21·cn·jy·com
A． 集合M中至多有2个元素 B．集合M中至多有3个元素
C． 集合M中有且仅有4个元素 D．集合M中有无穷多个元素
11．对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”，法则如下：当m，n都是正奇数时，m※n=m+n；当m，n不全为正奇数时，m※n=mn．则在此定义下，集合M={（a，b）|a※b=16，a∈N*，b∈N*}中的元素个数是（ ）
A． 7 B． 11 C．13 D．14
二．填空题（共10小题）
12．已知数集M={x，1}，则实数x的取值范围为 _________ ．
13．已知集合{a，b，c}={0，1，2}，且下列三个关系：①?a≠2；②?b=2；③?c≠0有且只有一个正确，则100a+10b+c等于 _________ ．
14．定义集合运算：A*B={z|z=xy，x∈A，y∈B}．设A={1，2}，B={4，6}，则集合A*B的所有元素之和为 _________ ．
15．已知集合，且2∈A，3?A，则实数a的取值范围是 _________ ．
16．已知a≤1时，集合[a，2﹣a]有且只有3个整数，则a的取值范围是 _________ ．
17．设集合D是满足方程y=x2的有序实数对（x，y）的集合，则﹣1 _________ D，（﹣1，1） _________ D．（填“∈”或“?”）．
18．记集合T={0，1，2，3，4，5，6}，，将M中的元素按从大到小顺序列，则第2005个数是 _________ ．
19．如果具有下述性质的x都是集合M中的元素，其中x=a+b（a，b∈Q），则下列元素中，不属于集合M的元素的个数是 _________ ．
①x=0 ②x= ③x=3﹣2④x= ⑤x=．
20．集合S={1，2，3，4，5，6}，A是S的一个子集，当x∈A时，若x﹣1?A，x+1?A，则称x为A的一个“孤立元素”，那么S中无“孤立元素”的4元子集的个数是 _________ ．【出处：21教育名师】
21．设集合A?R，对任意a、b、c∈A，运算“⊕具有如下性质：
（1）a⊕b∈A； （2）a⊕a=0； （3）（a⊕b）⊕c=a⊕c+b⊕c+c
给出下列命题：
①0∈A
②若1∈A，则（1⊕1）⊕1=0；
③若a∈A，且a⊕0=a，则a=0；
④若a、b、c∈A，且a⊕0=a，a⊕b=c⊕b，则a=c．
其中正确命题的序号是 _________ （把你认为正确的命题的序号都填上）．
三．解答题（共8小题）
22．已知集合A={a+2，（a+1）2，|a|}，若1∈A，求实数a的值．
23．已知a∈S，1?S，∈S，求证：1﹣∈S．
24．已知集合M={x|（x﹣3）?（x﹣a）＜0，x∈N，a∈R}，若集合M中有且只有一个元素，求实数a的取值范围．2·1·c·n·j·y
25．已知集合M={x|x=m+n，m、n∈Z}
（1）若t∈Z，试判断t是否是集合M的元素；
（2）若x1、x2∈M，试判断x1+x2及x1x2是否属于集合M，如果属于，请给出证明；若不属于，请给出反例．
26．设集合A={x|x=4n+2，n∈Z+}，B={y|y=4n+3，n∈Z+}，若x∈A，y∈B，试推断x+y和x﹣y与集合B的关系．
27．已知集合A={x|x=a+b，a，b∈Q}，若x1，x2∈A
（1）试问x1x2，是否属于A；
（2）若B={x|x=a+b，a，b∈Z}，试问x1x2，是否属于B，为什么？
28．设A是实数集，满足若a∈A，则∈A，a≠1且1?A．
（1）若2∈A，则A中至少还有几个元素？求出这几个元素．
（2）A能否为单元素集合？请说明理由．
（3）若a∈A，证明：1﹣∈A．
29．已知集合A={a1，a2，a3，…，an}，其中ai∈R（1≤i≤n，n＞2），l（A）表示ai+aj（1≤i＜j≤n）中所有不同值的个数．
（1）设集合P={2，4，6，8}，Q={2，4，8，16}，分别求l（P）和l（Q）的值；
（2）若集合A={2，4，8，…，2n}，求l（A）的值．
参考答案及解析
一．选择题（共11小题）
1．下列说法正确的是（ ）
1，0.5，，，，这六个数中，0.5==，=，故组成的集合只含三个元素，
故选C
2．下列集合中表示同一集合的是（ ）
A． M={（3，2）}，N={3，2} B． M={（x，y）|x+y=1}，N={y|x+y=1}
C． M={（4，5）}，N={（5，4）} D．M={2，1}，N={1，2}
答案：D
解：A、M={（3，2）}，M集合的元素表示点的集合，N={3，2}，N表示数集，故不是同一集合，故A错误；21世纪教育网版权所有
B、M={（x，y）|x+y=1}，M集合的元素表示点的集合，N={y|x+y=1}，N表示直线x+y=1的纵坐标，是数集，故不是同一集合，故B错误；
C、M={（4，5）} 集合M的元素是点（4，5），N={（5，4）}，集合N的元素是点（5，4），故C错误；
D、M={2，1}，N={1，2}根据集合的无序性，集合M，N表示同一集合，故D正确；
故选D．
3．若集合{x﹣a∈Z|a﹣1≤x≤a+1}=（ ）
A． {0} B．{﹣1，0} C．{﹣1，0，1} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}
解：∵1?A，
∴1∈?RA，
即1﹣3+a≤0，
解得a≤2，
故实数a的取值范围是（﹣∞，2]，
故选：A．
5．已知集合A=，则集合A中的元素个数为（ ）
A． 2 B． 3 C．4 D．5
答案：C
解：∵A={x|x∈Z且}={﹣1，1，3，5}，
∴集合A中的元素有4个，
答案：C．
6．设集合A={1，2，3}，B={0，1，2，4}，定义集合S={（a，b）|a∈A，b∈B，a+b＞ab}，则集合S中元素的个数是（ ）
A． 5 B．6 C．8 D． 9
答案：C
解：∵集合A={1，2，3}，B={0，1，2，4}，a∈A，b∈B，
∴a可取1，2，3，b可取0，1，2，4．
b=0，由a+b=3，ab=0，a+b＞ab成立，数对（3，0）为S的一个元素；
b=1，由a+b=4，ab=3，a+b＞ab成立，数对（3，1）为S的一个元素；
b=2，由a+b=5，ab=6，a+b＞ab不成立，数对（3，2）不是S的元素；
b=4，由a+b=7，ab=12，a+b＞ab不成立，数对（3，4）不是S的元素．
故S的元素有八个，分别为：（1，0），（1，1），（1，2），（1，4），（2，0），（2，1），（3，0），（3，1）．21教育名师原创作品
故答案为：C．
7．设集合P={x|x=2k﹣1，k∈Z}，集合Q={y|y=2n，n∈Z}，若x0∈P，y0∈Q，a=x0+y0，b=x0?y0，则（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A． a∈P，b∈Q B． a∈Q，b∈P
C． a∈P，b∈P D． a∈Q，b∈Q
答案：A
解：∵x0∈P，y0∈Q，
设x0=2k﹣1，y0=2n，n，k∈Z，
则x0+y0=2k﹣1+2n=2（n+k）﹣1∈P，
x0y0=（2k﹣1）（2n）=2（2nk﹣n），故x0y0∈Q．
故a∈P，b∈Q，
故选A．
8．，则实数a取值范围为（ ）
A． （﹣∞，﹣1）∪[1，+∞） B． [﹣1，1]
C． （﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） D． （﹣1，1]
答案：B
解：根据题意，若1?A，
则当x=1时，有＜0不成立，即≥0成立或无意义，
若≥0成立，解≥0可得，﹣1＜x≤1，
若无意义，则a=﹣1，
综合可得，﹣1≤a≤1，
故选B．
9．已知集合M={x|x2﹣4x+4a＜0}且2?M，则实数a的取值范围是（ ）
A． （l，+∞） B． [l，+∞） C．（﹣∞，1] D．[0，1]
A． 集合M中至多有2个元素 B．集合M中至多有3个元素
C． 集合M中有且仅有4个元素 D．集合M中有无穷多个元素
答案：C
解：若集合只含有一个元素，则=a，即1+a=a﹣a2，
即﹣a2=1，不成立．
当a=3，则=﹣2∈M
所以∈M
所以∈M
所以，=3
开始重复了，所以 M={3，﹣2，﹣，}，
当a=2时，即2∈M，则=﹣3∈M，
若﹣3∈M，则∈M，
若﹣∈M，则∈M，
若∈M，有∈M，
则A={2，﹣3，﹣，}，此时也只要四个元素，
根据归纳推理可得，集合M中有且仅有4个元素．
故选：C
11．对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”，法则如下：当m，n都是正奇数时，m※n=m+n；当m，n不全为正奇数时，m※n=mn．则在此定义下，集合M={（a，b）|a※b=16，a∈N*，b∈N*}中的元素个数是（ ）
A． 7 B． 11 C．13 D．14
答案：C
解：由题意，当m，n都是正奇数时，m※n=m+n；当m，n不全为正奇数时，m※n=mn；
若a，b都是正奇数，则由a※b=16，可得a+b=16，此时符合条件的数对为（1，15），（3，13），…（15，1）满足条件的共8个；21*cnjy*com
若m，n不全为正奇数时，m※n=mn，由a※b=16，可得ab=16，则符合条件的数对分别为（1，16），（2，8），（4，4），（8，2），（16，1）共5个；
故集合M={（a，b）|a※b=16，a∈N*，b∈N*}中的元素个数是13．
故选：C．
二．填空题（共10小题）
12．已知数集M={x，1}，则实数x的取值范围为 （﹣∞，1）∪（1，+∞） ．
解：在数集M={x，1}中，
由元素的互异性知x≠1，
∴x的取值范围是（﹣∞，1）∪（1，+∞）；
故答案为：（﹣∞，1）∪（1，+∞）．
13．已知集合{a，b，c}={0，1，2}，且下列三个关系：①?a≠2；②?b=2；③?c≠0有且只有一个正确，则100a+10b+c等于 201 ．www-2-1-cnjy-com
解：由{a，b，c}={0，1，2}得，a、b、c的取值有以下情况：
当a=0时，b=1、c=2或b=2、c=1，此时不满足条件；
当a=1时，b=0、c=2或b=2、c=0，此时不满足条件；
当a=2时，b=1、c=0，此时不满足条件；
当a=2时，b=0、c=1，此时满足条件；
综上得，a=2、b=0、c=1，代入100a+10b+c=201，
故答案为：201．
14．定义集合运算：A*B={z|z=xy，x∈A，y∈B}．设A={1，2}，B={4，6}，则集合A*B的所有元素之和为 30 ．
解：因为A*B={z|z=xy，x∈A，y∈B}．A={1，2}，B={4，6}，
所以集合A*B={4，6，8，12}，
所以4+6+8+12=30．
故答案为：30．
15．已知集合，且2∈A，3?A，则实数a的取值范围是 ．
解：∵，且2∈A，3?A，
∴，
解得：．
故答案为．
16．已知a≤1时，集合[a，2﹣a]有且只有3个整数，则a的取值范围是 ﹣1＜a≤0 ．
解：∵a≤1，∴2﹣a≥1．
当a=1时，2﹣a=1，不合题意；
当a=0时，2﹣a=2，符合题意；
当a=﹣1时，2﹣a=3，不合题意．
∴﹣1＜a≤0．
故答案为：﹣1＜a≤0．
17．设集合D是满足方程y=x2的有序实数对（x，y）的集合，则﹣1 ? D，（﹣1，1） ∈ D．（填“∈”或“?”）．21cnjy.com
解：∵集合D是点集，
∴﹣1?D，
当x=﹣1时，y=1，
即1∈D，
故答案为：?，∈．
18．记集合T={0，1，2，3，4，5，6}，，将M中的元素按从大到小顺序列，则第2005个数是 ．
解：M={}，
其中，
则下列元素中，不属于集合M的元素的个数是 1 ．
①x=0 ②x= ③x=3﹣2④x= ⑤x=．
解：①x=0=0+0?，其中a=0，b=0∈Q，∴①满足条件．
②x==0+1，其中a=0，b=1∈Q，∴②满足条件．
③x=3﹣2，其中a=3∈Q，但b=﹣2π?Q，∴③不满足条件．
④x==，其中a=3，b=2∈Q，∴④满足条件
⑤x=+==4+0．其中a=4，b=0∈Q，∴⑤满足条件．
∴只有③不满足条件．
故答案为：1个．
20．集合S={1，2，3，4，5，6}，A是S的一个子集，当x∈A时，若x﹣1?A，x+1?A，则称x为A的一个“孤立元素”，那么S中无“孤立元素”的4元子集的个数是 6 ．【来源：21cnj*y.co*m】
解：∵S={1，2，3，4，5，6}，
其中不含“孤立元”的集合4个元素必须是：
共有{1，2，3，6}，{1，3，4，6}，{1，4，5，6}，{1，2，3，4}，{1，2，4，5}，{2，3，4，5}共6个【版权所有：21教育】
那么S中无“孤立元素”的4个元素的子集A的个数是6个．
故答案为6．
21．设集合A?R，对任意a、b、c∈A，运算“⊕具有如下性质：
（1）a⊕b∈A； （2）a⊕a=0； （3）（a⊕b）⊕c=a⊕c+b⊕c+c
给出下列命题：
①0∈A
②若1∈A，则（1⊕1）⊕1=0；
③若a∈A，且a⊕0=a，则a=0；
④若a、b、c∈A，且a⊕0=a，a⊕b=c⊕b，则a=c．
其中正确命题的序号是 ①③④ （把你认为正确的命题的序号都填上）．
解：①由（1）a⊕b∈A； （2）a⊕a=0，0∈A，故①正确；
②由（2）a⊕a=0； （3）（a⊕b）⊕c=a⊕c+b⊕c+c知1∈A，则（1⊕1）⊕1=1，故②不正确；
③当a=0时，若a∈A，且a⊕0=a，则a=0显然成立，当a≠0时，若若a∈A，且a⊕0=a，则在（3）中令c=0，发现此时（a⊕b）⊕c=a⊕c+b⊕c+c无意义，故a=0，③正确；
④a⊕0=a或得a=0，又a⊕b=c⊕b，故有a=c=0，所以④正确；
综上①③④正确
故答案为①③④
三．解答题（共8小题）
22．已知集合A={a+2，（a+1）2，|a|}，若1∈A，求实数a的值．
解：∵1∈A；
∴若a+2=1，则a=﹣1，A={1，0，1}，不满足集合的互异性，∴a≠﹣1；
若（a+1）2=1，则a=0，或﹣2，a=0时，A={2，1，0}；a=﹣2时，A={0，1，2}； 21*cnjy*com
若|a|=1，则a=±1，由前面知a≠﹣1；a=1时，A={3，4，1}．
综上得实数a的值为：﹣2，0，1．
23．已知a∈S，1?S，∈S，求证：1﹣∈S．
证明：因为a∈S，a≠0，∈S，
可得=1﹣∈S．
所以a∈S，可得1﹣∈S．
命题得证．
24．已知集合M={x|（x﹣3）?（x﹣a）＜0，x∈N，a∈R}，若集合M中有且只有一个元素，求实数a的取值范围．
解：∵M={x|（x﹣3）?（x﹣a）＜0，x∈N，a∈R}，若集合M中有且只有一个元素，
∴1＜a＜2或4＜a＜5，∴实数a的取值范围是（1，2）∪（4，5）
25．已知集合M={x|x=m+n，m、n∈Z}
（1）若t∈Z，试判断t是否是集合M的元素；
（2）若x1、x2∈M，试判断x1+x2及x1x2是否属于集合M，如果属于，请给出证明；若不属于，请给出反例．
解：（1）∵M={x|x=m+n，m、n∈Z}，∴当n≠0时，x为无理数，若t∈Z，则t是不是集合M的元素．
当n=0时，x为整数，若t∈Z，则t是集合M的元素．
（2）若x1、x2∈M，则x1=a+b，x2 =c+d，且a、b、c、d∈Z，
∴x1+x2=a+c+（b+d），仍是m+n，m、n∈Z的形式，故x1+x2 属于集合M．
根据 x1x2 =ac+2bd+（ad+bc），仍是m+n，m、n∈Z的形式，故x1x2 属于集合M．
26．设集合A={x|x=4n+2，n∈Z+}，B={y|y=4n+3，n∈Z+}，若x∈A，y∈B，试推断x+y和x﹣y与集合B的关系．21·世纪*教育网
解：因为集合A={x|x=4n+2，n∈Z+}，B={y|y=4n+3，n∈Z+}，又x∈A，y∈B，
所以x=4n1+2，y=4n2+3，
则x+y=4（n1+n2）+5=4（n1+n2+1）+1，
x﹣y=4（n1﹣n2）﹣1=4（n1﹣n2﹣1）+3，
因为n1，n2∈Z+，
所以n1+n2+1∈Z+，n1﹣n2﹣1不一定属于z+，
所以x+y?B，x﹣y?B．
27．已知集合A={x|x=a+b，a，b∈Q}，若x1，x2∈A
（1）试问x1x2，是否属于A；
（2）若B={x|x=a+b，a，b∈Z}，试问x1x2，是否属于B，为什么？
解：（1）∵x1，x2∈A，集合A={x|x=a+b，a，b∈Q}，
∴设x1=a1+b1，x2=a2+b2，（a1，a2，b1，b2∈Q），
则x1x2=a1a2+2b1b2+（a1b2+a2b1），
∵a1a2+2b1b2∈Q，a1b2+a2b1∈Q，
∴x1x2∈A；
=+，
∵∈Q，∈Q，
∴∈A．
（2）∵x1，x2∈B，集合B={x|x=a+b，a，b∈Z}，
∴设x1=a1+b1，x2=a2+b2，（a1，a2，b1，b2∈Z），
则x1x2=a1a2+2b1b2+（a1b2+a2b1），
∵a1a2+2b1b2∈Z，a1b2+a2b1∈Z，
∴x1x2∈B；
=+，
∵∈Z，∈Z不一定成立
∴∈B不一定成立．
28．设A是实数集，满足若a∈A，则∈A，a≠1且1?A．
（1）若2∈A，则A中至少还有几个元素？求出这几个元素．
（2）A能否为单元素集合？请说明理由．
（3）若a∈A，证明：1﹣∈A．
解：（1）∵2∈A，
∴==﹣1∈A；
∴==∈A；
∴==2∈A．
因此，A中至少还有两个元素：﹣1和．
（2）用反证法，如果A为单元素集合，则a=有解，
整理得a2﹣a+1=0，
由△=1﹣4=﹣3＜0，则该方程无实数解，
故在实数范围内，A不可能是单元素集．
（3）证明：a∈A?∈A?∈A，
而=﹣=1﹣，即1﹣∈A．
29．已知集合A={a1，a2，a3，…，an}，其中ai∈R（1≤i≤n，n＞2），l（A）表示ai+aj（1≤i＜j≤n）中所有不同值的个数．21教育网
（1）设集合P={2，4，6，8}，Q={2，4，8，16}，分别求l（P）和l（Q）的值；
（2）若集合A={2，4，8，…，2n}，求l（A）的值．
解：（1）由2+4=6，2+8=10，2+16=18，4+8=12，4+16=20，8+16=24，
得l（Q）=6
（2）因为集合A={a1，a2，a3，…，an}最多有个ai+aj（1≤i＜j≤n）的值，
所以l（A）≤．
又集合A={2，4，8，…，2n}，任取ai+aj，ak+al（1≤i＜j≤n，1≤k＜l≤n），
当j≠l时，不妨设j＜l，则ai+aj＜2aj=2j+1≤al＜ak+al，即ai+aj≠ak+al．
当j=l，i≠k时，ai+aj≠ak+al．
因此，当且仅当i=k，j=l时，ai+aj=ak+al．
即所有ai+aj（1≤i＜j≤n）的值两两不同，
所以l（A）=．
一．选择题（共11小题）
1．下列说法正确的是（ ）
A． 某个村子里的高个子组成一个集合
B． 所有较小的正数组成一个集合
C． 集合{1，2，3，4，5}和{5，4，3，2，1}表示同一个集合
D． 这六个数能组成一个含六个元素的集合
2．下列集合中表示同一集合的是（ ）
A． M={（3，2）}，N={3，2} B． M={（x，y）|x+y=1}，N={y|x+y=1}
C． M={（4，5）}，N={（5，4）} D．M={2，1}，N={1，2}
3．若集合{x﹣a∈Z|a﹣1≤x≤a+1}=（ ）
A． {0} B．{﹣1，0} C．{﹣1，0，1} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}
4．已知集合A={x|x2﹣3x+a＞0，x∈R}，且1?A，则实数a的取值范围是（ ）
A． （﹣∞，2] B．[2，+∞） C． （﹣∞，﹣2] D．[﹣2，+∞）
5．已知集合A=，则集合A中的元素个数为（ ）
A． 2 B． 3 C．4 D．5
6．设集合A={1，2，3}，B={0，1，2，4}，定义集合S={（a，b）|a∈A，b∈B，a+b＞ab}，则集合S中元素的个数是（ ）www.21-cn-jy.com
A． 5 B．6 C．8 D． 9
7．设集合P={x|x=2k﹣1，k∈Z}，集合Q={y|y=2n，n∈Z}，若x0∈P，y0∈Q，a=x0+y0，b=x0?y0，则（ ）2-1-c-n-j-y
A． a∈P，b∈Q B． a∈Q，b∈P
C． a∈P，b∈P D． a∈Q，b∈Q
8．，则实数a取值范围为（ ）
A． （﹣∞，﹣1）∪[1，+∞） B． [﹣1，1]
C． （﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） D． （﹣1，1]
9．已知集合M={x|x2﹣4x+4a＜0}且2?M，则实数a的取值范围是（ ）
A． （l，+∞） B． [l，+∞） C．（﹣∞，1] D．[0，1]
10．设数集M同时满足条件①M中不含元素﹣1，0，1，②若a∈M，则∈M．则下列结论正确的是（ ）21·cn·jy·com
A． 集合M中至多有2个元素 B．集合M中至多有3个元素
C． 集合M中有且仅有4个元素 D．集合M中有无穷多个元素
11．对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”，法则如下：当m，n都是正奇数时，m※n=m+n；当m，n不全为正奇数时，m※n=mn．则在此定义下，集合M={（a，b）|a※b=16，a∈N*，b∈N*}中的元素个数是（ ）
A． 7 B． 11 C．13 D．14
二．填空题（共10小题）
12．已知数集M={x，1}，则实数x的取值范围为 _________ ．
13．已知集合{a，b，c}={0，1，2}，且下列三个关系：①?a≠2；②?b=2；③?c≠0有且只有一个正确，则100a+10b+c等于 _________ ．
14．定义集合运算：A*B={z|z=xy，x∈A，y∈B}．设A={1，2}，B={4，6}，则集合A*B的所有元素之和为 _________ ．
15．已知集合，且2∈A，3?A，则实数a的取值范围是 _________ ．
16．已知a≤1时，集合[a，2﹣a]有且只有3个整数，则a的取值范围是 _________ ．
17．设集合D是满足方程y=x2的有序实数对（x，y）的集合，则﹣1 _________ D，（﹣1，1） _________ D．（填“∈”或“?”）．
18．记集合T={0，1，2，3，4，5，6}，，将M中的元素按从大到小顺序列，则第2005个数是 _________ ．
19．如果具有下述性质的x都是集合M中的元素，其中x=a+b（a，b∈Q），则下列元素中，不属于集合M的元素的个数是 _________ ．
①x=0 ②x= ③x=3﹣2④x= ⑤x=．
20．集合S={1，2，3，4，5，6}，A是S的一个子集，当x∈A时，若x﹣1?A，x+1?A，则称x为A的一个“孤立元素”，那么S中无“孤立元素”的4元子集的个数是 _________ ．【出处：21教育名师】
21．设集合A?R，对任意a、b、c∈A，运算“⊕具有如下性质：
（1）a⊕b∈A； （2）a⊕a=0； （3）（a⊕b）⊕c=a⊕c+b⊕c+c
给出下列命题：
①0∈A
②若1∈A，则（1⊕1）⊕1=0；
③若a∈A，且a⊕0=a，则a=0；
④若a、b、c∈A，且a⊕0=a，a⊕b=c⊕b，则a=c．
其中正确命题的序号是 _________ （把你认为正确的命题的序号都填上）．
三．解答题（共8小题）
22．已知集合A={a+2，（a+1）2，|a|}，若1∈A，求实数a的值．
23．已知a∈S，1?S，∈S，求证：1﹣∈S．
24．已知集合M={x|（x﹣3）?（x﹣a）＜0，x∈N，a∈R}，若集合M中有且只有一个元素，求实数a的取值范围．2·1·c·n·j·y
25．已知集合M={x|x=m+n，m、n∈Z}
（1）若t∈Z，试判断t是否是集合M的元素；
（2）若x1、x2∈M，试判断x1+x2及x1x2是否属于集合M，如果属于，请给出证明；若不属于，请给出反例．
26．设集合A={x|x=4n+2，n∈Z+}，B={y|y=4n+3，n∈Z+}，若x∈A，y∈B，试推断x+y和x﹣y与集合B的关系．
27．已知集合A={x|x=a+b，a，b∈Q}，若x1，x2∈A
（1）试问x1x2，是否属于A；
（2）若B={x|x=a+b，a，b∈Z}，试问x1x2，是否属于B，为什么？
28．设A是实数集，满足若a∈A，则∈A，a≠1且1?A．
（1）若2∈A，则A中至少还有几个元素？求出这几个元素．
（2）A能否为单元素集合？请说明理由．
（3）若a∈A，证明：1﹣∈A．
29．已知集合A={a1，a2，a3，…，an}，其中ai∈R（1≤i≤n，n＞2），l（A）表示ai+aj（1≤i＜j≤n）中所有不同值的个数．
（1）设集合P={2，4，6，8}，Q={2，4，8，16}，分别求l（P）和l（Q）的值；
（2）若集合A={2，4，8，…，2n}，求l（A）的值．
参考答案及解析
一．选择题（共11小题）
1．下列说法正确的是（ ）
1，0.5，，，，这六个数中，0.5==，=，故组成的集合只含三个元素，
故选C
2．下列集合中表示同一集合的是（ ）
A． M={（3，2）}，N={3，2} B． M={（x，y）|x+y=1}，N={y|x+y=1}
C． M={（4，5）}，N={（5，4）} D．M={2，1}，N={1，2}
答案：D
解：A、M={（3，2）}，M集合的元素表示点的集合，N={3，2}，N表示数集，故不是同一集合，故A错误；21世纪教育网版权所有
B、M={（x，y）|x+y=1}，M集合的元素表示点的集合，N={y|x+y=1}，N表示直线x+y=1的纵坐标，是数集，故不是同一集合，故B错误；
C、M={（4，5）} 集合M的元素是点（4，5），N={（5，4）}，集合N的元素是点（5，4），故C错误；
D、M={2，1}，N={1，2}根据集合的无序性，集合M，N表示同一集合，故D正确；
故选D．
3．若集合{x﹣a∈Z|a﹣1≤x≤a+1}=（ ）
A． {0} B．{﹣1，0} C．{﹣1，0，1} D．{﹣2，﹣1，0，1，2}
解：∵1?A，
∴1∈?RA，
即1﹣3+a≤0，
解得a≤2，
故实数a的取值范围是（﹣∞，2]，
故选：A．
5．已知集合A=，则集合A中的元素个数为（ ）
A． 2 B． 3 C．4 D．5
答案：C
解：∵A={x|x∈Z且}={﹣1，1，3，5}，
∴集合A中的元素有4个，
答案：C．
6．设集合A={1，2，3}，B={0，1，2，4}，定义集合S={（a，b）|a∈A，b∈B，a+b＞ab}，则集合S中元素的个数是（ ）
A． 5 B．6 C．8 D． 9
答案：C
解：∵集合A={1，2，3}，B={0，1，2，4}，a∈A，b∈B，
∴a可取1，2，3，b可取0，1，2，4．
b=0，由a+b=3，ab=0，a+b＞ab成立，数对（3，0）为S的一个元素；
b=1，由a+b=4，ab=3，a+b＞ab成立，数对（3，1）为S的一个元素；
b=2，由a+b=5，ab=6，a+b＞ab不成立，数对（3，2）不是S的元素；
b=4，由a+b=7，ab=12，a+b＞ab不成立，数对（3，4）不是S的元素．
故S的元素有八个，分别为：（1，0），（1，1），（1，2），（1，4），（2，0），（2，1），（3，0），（3，1）．21教育名师原创作品
故答案为：C．
7．设集合P={x|x=2k﹣1，k∈Z}，集合Q={y|y=2n，n∈Z}，若x0∈P，y0∈Q，a=x0+y0，b=x0?y0，则（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A． a∈P，b∈Q B． a∈Q，b∈P
C． a∈P，b∈P D． a∈Q，b∈Q
答案：A
解：∵x0∈P，y0∈Q，
设x0=2k﹣1，y0=2n，n，k∈Z，
则x0+y0=2k﹣1+2n=2（n+k）﹣1∈P，
x0y0=（2k﹣1）（2n）=2（2nk﹣n），故x0y0∈Q．
故a∈P，b∈Q，
故选A．
8．，则实数a取值范围为（ ）
A． （﹣∞，﹣1）∪[1，+∞） B． [﹣1，1]
C． （﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） D． （﹣1，1]
答案：B
解：根据题意，若1?A，
则当x=1时，有＜0不成立，即≥0成立或无意义，
若≥0成立，解≥0可得，﹣1＜x≤1，
若无意义，则a=﹣1，
综合可得，﹣1≤a≤1，
故选B．
9．已知集合M={x|x2﹣4x+4a＜0}且2?M，则实数a的取值范围是（ ）
A． （l，+∞） B． [l，+∞） C．（﹣∞，1] D．[0，1]
A． 集合M中至多有2个元素 B．集合M中至多有3个元素
C． 集合M中有且仅有4个元素 D．集合M中有无穷多个元素
答案：C
解：若集合只含有一个元素，则=a，即1+a=a﹣a2，
即﹣a2=1，不成立．
当a=3，则=﹣2∈M
所以∈M
所以∈M
所以，=3
开始重复了，所以 M={3，﹣2，﹣，}，
当a=2时，即2∈M，则=﹣3∈M，
若﹣3∈M，则∈M，
若﹣∈M，则∈M，
若∈M，有∈M，
则A={2，﹣3，﹣，}，此时也只要四个元素，
根据归纳推理可得，集合M中有且仅有4个元素．
故选：C
11．对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”，法则如下：当m，n都是正奇数时，m※n=m+n；当m，n不全为正奇数时，m※n=mn．则在此定义下，集合M={（a，b）|a※b=16，a∈N*，b∈N*}中的元素个数是（ ）
A． 7 B． 11 C．13 D．14
答案：C
解：由题意，当m，n都是正奇数时，m※n=m+n；当m，n不全为正奇数时，m※n=mn；
若a，b都是正奇数，则由a※b=16，可得a+b=16，此时符合条件的数对为（1，15），（3，13），…（15，1）满足条件的共8个；21*cnjy*com
若m，n不全为正奇数时，m※n=mn，由a※b=16，可得ab=16，则符合条件的数对分别为（1，16），（2，8），（4，4），（8，2），（16，1）共5个；
故集合M={（a，b）|a※b=16，a∈N*，b∈N*}中的元素个数是13．
故选：C．
二．填空题（共10小题）
12．已知数集M={x，1}，则实数x的取值范围为 （﹣∞，1）∪（1，+∞） ．
解：在数集M={x，1}中，
由元素的互异性知x≠1，
∴x的取值范围是（﹣∞，1）∪（1，+∞）；
故答案为：（﹣∞，1）∪（1，+∞）．
13．已知集合{a，b，c}={0，1，2}，且下列三个关系：①?a≠2；②?b=2；③?c≠0有且只有一个正确，则100a+10b+c等于 201 ．www-2-1-cnjy-com
解：由{a，b，c}={0，1，2}得，a、b、c的取值有以下情况：
当a=0时，b=1、c=2或b=2、c=1，此时不满足条件；
当a=1时，b=0、c=2或b=2、c=0，此时不满足条件；
当a=2时，b=1、c=0，此时不满足条件；
当a=2时，b=0、c=1，此时满足条件；
综上得，a=2、b=0、c=1，代入100a+10b+c=201，
故答案为：201．
14．定义集合运算：A*B={z|z=xy，x∈A，y∈B}．设A={1，2}，B={4，6}，则集合A*B的所有元素之和为 30 ．
解：因为A*B={z|z=xy，x∈A，y∈B}．A={1，2}，B={4，6}，
所以集合A*B={4，6，8，12}，
所以4+6+8+12=30．
故答案为：30．
15．已知集合，且2∈A，3?A，则实数a的取值范围是 ．
解：∵，且2∈A，3?A，
∴，
解得：．
故答案为．
16．已知a≤1时，集合[a，2﹣a]有且只有3个整数，则a的取值范围是 ﹣1＜a≤0 ．
解：∵a≤1，∴2﹣a≥1．
当a=1时，2﹣a=1，不合题意；
当a=0时，2﹣a=2，符合题意；
当a=﹣1时，2﹣a=3，不合题意．
∴﹣1＜a≤0．
故答案为：﹣1＜a≤0．
17．设集合D是满足方程y=x2的有序实数对（x，y）的集合，则﹣1 ? D，（﹣1，1） ∈ D．（填“∈”或“?”）．21cnjy.com
解：∵集合D是点集，
∴﹣1?D，
当x=﹣1时，y=1，
即1∈D，
故答案为：?，∈．
18．记集合T={0，1，2，3，4，5，6}，，将M中的元素按从大到小顺序列，则第2005个数是 ．
解：M={}，
其中，
则下列元素中，不属于集合M的元素的个数是 1 ．
①x=0 ②x= ③x=3﹣2④x= ⑤x=．
解：①x=0=0+0?，其中a=0，b=0∈Q，∴①满足条件．
②x==0+1，其中a=0，b=1∈Q，∴②满足条件．
③x=3﹣2，其中a=3∈Q，但b=﹣2π?Q，∴③不满足条件．
④x==，其中a=3，b=2∈Q，∴④满足条件
⑤x=+==4+0．其中a=4，b=0∈Q，∴⑤满足条件．
∴只有③不满足条件．
故答案为：1个．
20．集合S={1，2，3，4，5，6}，A是S的一个子集，当x∈A时，若x﹣1?A，x+1?A，则称x为A的一个“孤立元素”，那么S中无“孤立元素”的4元子集的个数是 6 ．【来源：21cnj*y.co*m】
解：∵S={1，2，3，4，5，6}，
其中不含“孤立元”的集合4个元素必须是：
共有{1，2，3，6}，{1，3，4，6}，{1，4，5，6}，{1，2，3，4}，{1，2，4，5}，{2，3，4，5}共6个【版权所有：21教育】
那么S中无“孤立元素”的4个元素的子集A的个数是6个．
故答案为6．
21．设集合A?R，对任意a、b、c∈A，运算“⊕具有如下性质：
（1）a⊕b∈A； （2）a⊕a=0； （3）（a⊕b）⊕c=a⊕c+b⊕c+c
给出下列命题：
①0∈A
②若1∈A，则（1⊕1）⊕1=0；
③若a∈A，且a⊕0=a，则a=0；
④若a、b、c∈A，且a⊕0=a，a⊕b=c⊕b，则a=c．
其中正确命题的序号是 ①③④ （把你认为正确的命题的序号都填上）．
解：①由（1）a⊕b∈A； （2）a⊕a=0，0∈A，故①正确；
②由（2）a⊕a=0； （3）（a⊕b）⊕c=a⊕c+b⊕c+c知1∈A，则（1⊕1）⊕1=1，故②不正确；
③当a=0时，若a∈A，且a⊕0=a，则a=0显然成立，当a≠0时，若若a∈A，且a⊕0=a，则在（3）中令c=0，发现此时（a⊕b）⊕c=a⊕c+b⊕c+c无意义，故a=0，③正确；
④a⊕0=a或得a=0，又a⊕b=c⊕b，故有a=c=0，所以④正确；
综上①③④正确
故答案为①③④
三．解答题（共8小题）
22．已知集合A={a+2，（a+1）2，|a|}，若1∈A，求实数a的值．
解：∵1∈A；
∴若a+2=1，则a=﹣1，A={1，0，1}，不满足集合的互异性，∴a≠﹣1；
若（a+1）2=1，则a=0，或﹣2，a=0时，A={2，1，0}；a=﹣2时，A={0，1，2}； 21*cnjy*com
若|a|=1，则a=±1，由前面知a≠﹣1；a=1时，A={3，4，1}．
综上得实数a的值为：﹣2，0，1．
23．已知a∈S，1?S，∈S，求证：1﹣∈S．
证明：因为a∈S，a≠0，∈S，
可得=1﹣∈S．
所以a∈S，可得1﹣∈S．
命题得证．
24．已知集合M={x|（x﹣3）?（x﹣a）＜0，x∈N，a∈R}，若集合M中有且只有一个元素，求实数a的取值范围．
解：∵M={x|（x﹣3）?（x﹣a）＜0，x∈N，a∈R}，若集合M中有且只有一个元素，
∴1＜a＜2或4＜a＜5，∴实数a的取值范围是（1，2）∪（4，5）
25．已知集合M={x|x=m+n，m、n∈Z}
（1）若t∈Z，试判断t是否是集合M的元素；
（2）若x1、x2∈M，试判断x1+x2及x1x2是否属于集合M，如果属于，请给出证明；若不属于，请给出反例．
解：（1）∵M={x|x=m+n，m、n∈Z}，∴当n≠0时，x为无理数，若t∈Z，则t是不是集合M的元素．
当n=0时，x为整数，若t∈Z，则t是集合M的元素．
（2）若x1、x2∈M，则x1=a+b，x2 =c+d，且a、b、c、d∈Z，
∴x1+x2=a+c+（b+d），仍是m+n，m、n∈Z的形式，故x1+x2 属于集合M．
根据 x1x2 =ac+2bd+（ad+bc），仍是m+n，m、n∈Z的形式，故x1x2 属于集合M．
26．设集合A={x|x=4n+2，n∈Z+}，B={y|y=4n+3，n∈Z+}，若x∈A，y∈B，试推断x+y和x﹣y与集合B的关系．21·世纪*教育网
解：因为集合A={x|x=4n+2，n∈Z+}，B={y|y=4n+3，n∈Z+}，又x∈A，y∈B，
所以x=4n1+2，y=4n2+3，
则x+y=4（n1+n2）+5=4（n1+n2+1）+1，
x﹣y=4（n1﹣n2）﹣1=4（n1﹣n2﹣1）+3，
因为n1，n2∈Z+，
所以n1+n2+1∈Z+，n1﹣n2﹣1不一定属于z+，
所以x+y?B，x﹣y?B．
27．已知集合A={x|x=a+b，a，b∈Q}，若x1，x2∈A
（1）试问x1x2，是否属于A；
（2）若B={x|x=a+b，a，b∈Z}，试问x1x2，是否属于B，为什么？
解：（1）∵x1，x2∈A，集合A={x|x=a+b，a，b∈Q}，
∴设x1=a1+b1，x2=a2+b2，（a1，a2，b1，b2∈Q），
则x1x2=a1a2+2b1b2+（a1b2+a2b1），
∵a1a2+2b1b2∈Q，a1b2+a2b1∈Q，
∴x1x2∈A；
=+，
∵∈Q，∈Q，
∴∈A．
（2）∵x1，x2∈B，集合B={x|x=a+b，a，b∈Z}，
∴设x1=a1+b1，x2=a2+b2，（a1，a2，b1，b2∈Z），
则x1x2=a1a2+2b1b2+（a1b2+a2b1），
∵a1a2+2b1b2∈Z，a1b2+a2b1∈Z，
∴x1x2∈B；
=+，
∵∈Z，∈Z不一定成立
∴∈B不一定成立．
28．设A是实数集，满足若a∈A，则∈A，a≠1且1?A．
（1）若2∈A，则A中至少还有几个元素？求出这几个元素．
（2）A能否为单元素集合？请说明理由．
（3）若a∈A，证明：1﹣∈A．
解：（1）∵2∈A，
∴==﹣1∈A；
∴==∈A；
∴==2∈A．
因此，A中至少还有两个元素：﹣1和．
（2）用反证法，如果A为单元素集合，则a=有解，
整理得a2﹣a+1=0，
由△=1﹣4=﹣3＜0，则该方程无实数解，
故在实数范围内，A不可能是单元素集．
（3）证明：a∈A?∈A?∈A，
而=﹣=1﹣，即1﹣∈A．
29．已知集合A={a1，a2，a3，…，an}，其中ai∈R（1≤i≤n，n＞2），l（A）表示ai+aj（1≤i＜j≤n）中所有不同值的个数．21教育网
（1）设集合P={2，4，6，8}，Q={2，4，8，16}，分别求l（P）和l（Q）的值；
（2）若集合A={2，4，8，…，2n}，求l（A）的值．
解：（1）由2+4=6，2+8=10，2+16=18，4+8=12，4+16=20，8+16=24，
得l（Q）=6
（2）因为集合A={a1，a2，a3，…，an}最多有个ai+aj（1≤i＜j≤n）的值，
所以l（A）≤．
又集合A={2，4，8，…，2n}，任取ai+aj，ak+al（1≤i＜j≤n，1≤k＜l≤n），
当j≠l时，不妨设j＜l，则ai+aj＜2aj=2j+1≤al＜ak+al，即ai+aj≠ak+al．
当j=l，i≠k时，ai+aj≠ak+al．
因此，当且仅当i=k，j=l时，ai+aj=ak+al．
即所有ai+aj（1≤i＜j≤n）的值两两不同，
所以l（A）=．