沪科版八年级数学下册18章勾股定理的应用试题（含答案）

勾股定理的应用
一、解答题
1．如图，把一块直角三角形土地划出一个三角形后，测得米，米，米，米．
（1）求证：；
（2）求图中阴影部分土地的面积．
2．如图，城气象台测得台风中心在城正西方向的处，以每小时的速度向北偏东的方向移动，距台风中心的范围内是受台风影响的区域．
（1）城是否受到这次台风的影响？为什么？
（2）若城受到这次台风的影响，那么城遭受这次台风影响有多长时间？
3．如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦9米处（车尾到大厦墙面），升起云梯到火灾窗口，已知云梯长15米，云梯底部距地面3米，问：发生火灾的住户窗口距离地面有多高？
4．已知有一块四边形的空地，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，若每平方米草皮需要100元，求需要投入多少元经费？
5．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，中，，，，求的长．
6．如图，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上．他想知道风筝距地面的高度．于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后把风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线末端刚好接触地面（如图为示意图）．请你帮小旭求出风筝距离地面的高度．
7．如图，湖的两岸有，两点，在与成直角的方向上的点处测得米，米．
（1）求，两点间的距离；
（2）求点到直线的距离．
8．如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺尺），将它往前推进两步尺），此时踏板升高离地五尺尺），求秋千绳索或的长度．
9．如图，某电信公司计划在，两乡镇间的处修建一座信号塔，且使，两个村庄到的距离相等．已知于点，于点，，，，求信号塔应该建在离乡镇多少千米的地方？
10．如图，一架2.5米长的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯足到墙底端的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？
11．笔直的河流一侧有一旅游地，河边有两个漂流点，．其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点，，在同一直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）求原路线的长．
12．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：
13．（1）求满足的未知数的值．
（2）如图，为修铁路需要通隧道，测得，，，若每天凿，则需要几天才能把隧道凿通？
14．在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一处需要爆破．已知点与公路上的停靠站的距离为500米，与公路上另一停靠站的距离为1200米，且，如图，为了安全起见，爆破点周围半径400米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路段是否有危险，是否需要暂时封锁？请通过计算进行说明．
15．如图所示的一块草坪，已知，，，，，求这块草坪的面积．
16．如图所示，一架梯子斜靠在墙面上，且的长为2.5米．
（1）若梯子底端离墙角的距离为1.5米，求这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端下滑0.5米到点，那么梯子的底端在水平方向滑动的距离为多少米？
17．如图，学校操场边上一块空地（阴影部分）需要绿化，连接，测出，，，，，求需要绿化部分的面积．
18．如图，在甲村到乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有处需要爆破．已知点与公路上的停靠站、的距离分别为和，且，为了安全起见，如果爆破点周围半径的区域内不能有车辆和行人，问在进行爆破时，公路段是否需要暂时封闭，为什么？
19．一架云梯长，如图那样斜靠在一面墙上，云梯顶端离地面．
（1）这架云梯的底端距墙角有多远？
（2）如果云梯的顶端下滑了，那么它的底部在水平方向滑动了多少？
20．如图，某斜拉桥的主梁垂直于桥面与点，主梁上有两根拉索分别为、．
（1）若拉索，、的长度分别为10米、26米，则拉索　　米；
（2）若、的长分别为13米，20米，且固定点、之间的距离为21米，求主梁的高度．
21．如图是俱乐部新打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小敏，该项目段和段均由不锈钢管材打造，总长度为26米，长方形和长方形均为木质平台的横截面，点在上，点在上，点在上，经过现场测量得知：米，米．
（1）小敏猜想立柱段的长为10米，请判断小敏的猜想是否正确？如果正确，请写出理由，如果错误，请求出立柱段的正确长度；
（2）为加强游戏安全性，俱乐部打算再焊接一段钢索，经测量米，请你求出要焊接的钢索的长．（结果不必化简成最简二次根式）
22．某中学初二年级游同学在学习了勾股定理后对《九章算术》勾股章产生了学习兴趣．今天，他学到了勾股章第7题：
“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”本题大意是：如图，木柱，绳索比木柱长三尺，的长度为8尺，求：绳索的长度．
23．如图，一个直径为的杯子，在它的正中间竖直放一根小木棍，小木棍露出杯子外，当小木棍倒向杯壁时（小木棍底端不动），小木棍顶端正好触到杯口，求小木棍长度．
24．如图，一个直径为（即的圆柱形杯子，在杯子底面的正中间点处竖直放一根筷子，筷子露出杯子外（即，当筷子倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端正好触到杯，求筷子的长度．
答案
一、解答题
1．（1）证明：，米，米，
（米，
米，米，
，
；
（2）解：图中阴影部分土地的面积（平方米）．
2．解：（1）城受到这次台风的影响，
理由：由点向作垂线，垂足为，
在中，，，则，
因为，所以城要受台风影响；
（2）设上点，千米，则还有一点，有
千米．
因为，所以是等腰三角形，
因为，所以是的垂直平分线，，
在中，千米，千米，
由勾股定理得，（千米），
则千米，
遭受台风影响的时间是：（小时），
答：城遭受这次台风影响时间为4小时．
3．解：过点作，垂足为，
由题意可知：米，米，米；
在中，根据勾股定理，得，
即，，，
（米，
（米；
答：发生火灾的住户窗口距离地面15米．
4．解：连接，
在中，，
在中，，，
而，
即，
，
，
故（元，
答：需要投入3600元经费．
5．解：在中，，
，
，，
设，则，
，
解得：，
答：的长为．
6．解：设，则，
由图可得，，，
中，，
即，
解得，
答：风筝距离地面的高度为12米．
7．解：（1）是直角三角形，
由勾股定理，得．
米，米，
．
，
米．
即，两点间的距离是36米．
（2）过点作于点．
因为，
所以．
所以（米，
即点到直线的距离是28.8米．
8．解：设尺，
尺，尺，
（尺，尺，
在中，尺，尺，尺，
根据勾股定理得：，
整理得：，
即，
解得：，
则秋千绳索的长度为14.5尺．
9．解：设，则，
，，
和都是直角三角形，
，，
又，，，
，
解得．
答：信号塔应该建在离乡镇30千米的地方．
10．解；在直角中，已知，，
则，
，
在直角△中，，且为斜边，
，
答：梯足向外移动了．
11．解：（1）是直角三角形，
理由是：在中，
，
，
，
是直角三角形且；
（2）设千米，则千米，
在中，由已知得，，，
由勾股定理得：，
解这个方程，得，
答：原来的路线的长为千米．
12．解：在中，，；
根据勾股定理可得：
小汽车的速度为；
；
这辆小汽车超速行驶．
答：这辆小汽车超速了．
13．解：（1），
；
（2）因为，
所以．
又因为在中，，
所以
需要的时间：（天，
14．解：公路不需要暂时封锁．
理由如下：如图，过作于．
，
，
因为米，米，
所以，根据勾股定理有（米．
因为
所以（米．
由于400米米，故没有危险，
因此段公路不需要暂时封锁．
15．解：连接，则在中，
，
，
在中，，
，
，
，
．
答：这块地的面积是216平方米．
16．解：（1）根据勾股定理：
所以梯子距离地面的高度为：米；
（2）梯子下滑了0.5米即梯子距离地面的高度为米，
根据勾股定理：米，
所以当梯子的顶端下滑0.5米时，梯子的底端水平后移了米，
答：当梯子的顶端下滑0.5米时，梯子的底端水平后移了0.5米．
17．解：，
在中，，，
由勾股定理得，
在中，，，
，
，
需要绿化部分的面积，
答：需要绿化部分的面积为24．
18．解：如图，过点作于点．
在中，由勾股定理，得：，
所以，
由，
得，
解得，
因为，所以爆破公路段有危险，需要暂时封锁．
19．解：（1）在中，由勾股定理得，
即，
，
答：这架云梯的底端距墙角有7 远；
（2）云梯的顶端下滑了至点，
，
在△中，由勾股定理得，
即，
，
，
答：梯子的底端在水平方向也滑动了．
20．解：（1），、的长度分别为10米、26米，
（米，
（2），
，
，
，
，
，
（米．
21．解：（1）不正确，理由如下：
由题意得：米，米，
设米，则米，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
米，
（米，
小敏的猜想不正确，立柱段的正确长度长为9米．
（2）由题意得：米，
（米，
在中，由勾股定理得：（米．
22．解：设尺，则尺，
，
是直角三角形，
由勾股定理得：，
即，
解得：（尺，
答：绳索的长度是尺．
23．解：设杯子的高度是，那么小木棍的高度是，
杯子的直径为，
杯子半径为，
，
即，
解得：，
．
答：小木棍长．
24．解：设筷子的长度是，那么杯子的高度是，
杯子的直径为，
杯子半径为，
，
即，
解得：，
答：筷子的长度是