沪科版八年级数学下册试题 勾股定理与最短路径问题（含答案）
文档属性
| 名称 | 沪科版八年级数学下册试题 勾股定理与最短路径问题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 701.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-06-08 14:36:50 | ||
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文档简介
勾股定理与最短路径问题
一、选择题
1．如图所示的圆柱体中底面圆的半径是，高为3，若一只小虫从点出发沿着圆柱体的侧面爬行到点，则小虫爬行的最短路程是
A．5 B． C． D．4
2．如图，台阶阶梯每一层高，宽，长，一只蚂蚁从点爬到点，最短路程是
A． B． C．120 D．130
3．如图，圆柱的高为，底面半径为，在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面处的食物，已知四边形的边、恰好是上、下底面的直径、问：蚂蚁食到食物爬行的最短距离是 ．
A．5 B． C． D．
4．小南同学报名参加了南开中学的攀岩选修课，攀岩墙近似一个长方体的两个侧面，如图所示，他根据学过的数学知识准确地判断出：从点攀爬到点的最短路径为 米．
A．16 B． C． D．
5．如图，有一圆柱，其高为，它的底面周长为，在圆柱外侧距下底的处有一只蚂蚁，它想得到距上底的处的食物，则蚂蚁经过的最短距离为
A． B． C． D．
6．如图，圆柱体盒子放在水平地面上，该圆柱体的高为，点离盒底的距离为，底面半径为，一只蚂蚁沿着该圆柱体盒子的表面从点爬行到点，则该蚂蚁爬行的最短路程为 ．
A．6 B．10 C． D．
7．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为、、．和是这个台阶上两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程为
A． B． C． D．
8．如图，有一个长宽高分别为，，的长方体，有一只小蚂蚁想从点爬到点处，则它爬行的最短路程为
A． B． C． D．
9．如图，正四棱柱的底面边长为，侧棱长为，一只蚂蚁从点出发，沿棱柱侧面到点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是 ．
A． B． C． D．12
10．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20分米，3分米和2分米，和是这个台阶的两个端点，点上有一只蚂蚁想到点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为 ．
12．如图，小冰想用一条彩带缠绕圆柱4圈，正好从点绕到正上方的点，已知圆柱底面周长是，高为，则所需彩带最短是 ．
13．如图，有一圆柱形油罐，底面周长为，高为．从处环绕油罐建梯子，梯子的顶端点正好在点的正上方，梯子最短需要 ．
14．如图，有一圆柱，其高为，它的底面周长为，在圆柱下底面处有一只蚂蚁，它想得到上面处的食物，其中离上沿，则蚂蚁经过的最短路程为 ．
15．如图，正方体的棱长为，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点沿着正方体表面爬到点处．那么蚂蚁爬行的最短路程是 ．
16．如图，一个圆柱形工艺品高为18厘米，底面周长12厘米．现在需要从下底的处绕侧面两周，到上底的正上方）处镶嵌一条金丝，则金丝至少 厘米．
17．如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为 ．（杯壁厚度不计）
18．如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从顶点出发，经过3个面爬到顶点，如果它运动的路径是最短的，则最短路径为 ．
三、解答题
19．如图，长方体的长为，宽为，高为，点与点之间的距离为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点去吃一滴蜜糖．
（1）求出点到点的距离；
（2）求蚂蚁从点爬到点的最短路程是多少？
20．如图，（1）一只蚂蚁要从长方体的一个顶点沿表面爬行到顶点，怎样爬行路线最短？为什么？
（2）若长方体的长为3、宽为1、高为2，蚂蚁要沿长方体的表面，从顶点走到顶点，试画出不重复情况的展开示意图，并通过计算比较求出最短距离．
21．如图，一只蚂蚁从长为、宽为，高是的长方体纸箱的点沿纸箱爬到点，那么它所走的最短路线的长是多少？
22．在科幻世界里有各种造型奇特的小山．如图1是一座三棱锥小山，侧面展开图如图2所示，每个侧面完全相同．一只小狐狸在半山腰点处想饱览四周风景，它沿路径“”绕小山一周最终以最短路径到达山脚处，当小狐狸沿侧面的路径运动时，若，则称这段路为“上坡路”；若，则称这段路为“下坡路”；若，则称这段路为“上坡路”；若，则称这段路为“下坡路”．当时，在图2中画出从点沿侧面环绕一周到达山脚点处的最短路径，并判断在侧面、侧面上走的是上坡路还是下坡路？
23．如图，已知圆柱底面的直径，圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点，嵌有一圈长度最短的金属丝．
（1）现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ．
（2）求该长度最短的金属丝的长．
24．如图1，一只蚂蚁要从边长为正方体的一个顶点沿表面爬行到顶点，怎样爬行路线最短？如果要爬行到顶点呢？请完成下列问题：
（1）图2是将立方体表面展开的一部分，请将正方体的表面展开图补充完整；（画一种即可）
（2）在图2中画出点到点的最短爬行路线，最短路径为： ；
（3）在图2中标出点，并画出、两点的最短爬行路线（画一种即可），最短路径为 ．
答案
一、选择题
．．．．．．．．．．
二、填空题
11．25分米． 12．13． 13．26． 14．．
15．． 16．30． 17．15． 18．．
三、解答题
19．（1），
答：点到点的距离为；
（2）把上面展开到左侧上，连接，
如图1，
根据勾股定理得：；
把右侧面展开到正面上，连接，如图2，
根据勾股定理得：，
则需要爬行的最短距离是．
把向上的面展开到正面上，连接，如图3，
根据勾股定理得：，
综上所述，从点爬到点的距离为：，，；
，
则需要爬行的最短距离是．
20．（1）连接，蚂蚁沿着爬行路线最短；
理由：两点之间线段最短；
（2）因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．
①展开前面右面由勾股定理得；
②展开前面上面由勾股定理得；
③展开左面上面由勾股定理得．
所以最短路径的长为．
21．由题意可得，
当展开前面和右面时，最短路线长是：；
当展开前面和上面时，最短路线长是：；
当展开左面和上面时，最短路线长是：；
，
一只蚂蚁从长为、宽为，高是的长方体纸箱的点沿纸箱爬到点，那么它所走的最短路线的长是．
22．如图2，连接交于点，交于点，
线段即为从点沿侧面环绕一周到达山脚点处的最短路径，
则，，
，
，，，
，
，，
，，
，
，
在侧面上走的是上坡路，
，
，
，，
，
，
，
，
在侧面上走的是下坡路，
答：在侧面上走的是上坡路，在侧面上走的是下坡路．
23．（1）因圆柱的侧面展开面为长方形，展开应该是两线段，且有公共点．
故选：；
（2）解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度．
圆柱底面的直径，圆柱的高，
该长度最短的金属丝的长为．
24．（1）如图所示，
（2）如图所示，连接，线段的即为点到点的最短爬行路线，
故答案为：线段；
（3）如图所示，线段即为、两点的最短爬行路线，
故答案为：线段．
一、选择题
1．如图所示的圆柱体中底面圆的半径是，高为3，若一只小虫从点出发沿着圆柱体的侧面爬行到点，则小虫爬行的最短路程是
A．5 B． C． D．4
2．如图，台阶阶梯每一层高，宽，长，一只蚂蚁从点爬到点，最短路程是
A． B． C．120 D．130
3．如图，圆柱的高为，底面半径为，在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面处的食物，已知四边形的边、恰好是上、下底面的直径、问：蚂蚁食到食物爬行的最短距离是 ．
A．5 B． C． D．
4．小南同学报名参加了南开中学的攀岩选修课，攀岩墙近似一个长方体的两个侧面，如图所示，他根据学过的数学知识准确地判断出：从点攀爬到点的最短路径为 米．
A．16 B． C． D．
5．如图，有一圆柱，其高为，它的底面周长为，在圆柱外侧距下底的处有一只蚂蚁，它想得到距上底的处的食物，则蚂蚁经过的最短距离为
A． B． C． D．
6．如图，圆柱体盒子放在水平地面上，该圆柱体的高为，点离盒底的距离为，底面半径为，一只蚂蚁沿着该圆柱体盒子的表面从点爬行到点，则该蚂蚁爬行的最短路程为 ．
A．6 B．10 C． D．
7．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为、、．和是这个台阶上两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程为
A． B． C． D．
8．如图，有一个长宽高分别为，，的长方体，有一只小蚂蚁想从点爬到点处，则它爬行的最短路程为
A． B． C． D．
9．如图，正四棱柱的底面边长为，侧棱长为，一只蚂蚁从点出发，沿棱柱侧面到点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是 ．
A． B． C． D．12
10．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20分米，3分米和2分米，和是这个台阶的两个端点，点上有一只蚂蚁想到点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为 ．
12．如图，小冰想用一条彩带缠绕圆柱4圈，正好从点绕到正上方的点，已知圆柱底面周长是，高为，则所需彩带最短是 ．
13．如图，有一圆柱形油罐，底面周长为，高为．从处环绕油罐建梯子，梯子的顶端点正好在点的正上方，梯子最短需要 ．
14．如图，有一圆柱，其高为，它的底面周长为，在圆柱下底面处有一只蚂蚁，它想得到上面处的食物，其中离上沿，则蚂蚁经过的最短路程为 ．
15．如图，正方体的棱长为，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点沿着正方体表面爬到点处．那么蚂蚁爬行的最短路程是 ．
16．如图，一个圆柱形工艺品高为18厘米，底面周长12厘米．现在需要从下底的处绕侧面两周，到上底的正上方）处镶嵌一条金丝，则金丝至少 厘米．
17．如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为 ．（杯壁厚度不计）
18．如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从顶点出发，经过3个面爬到顶点，如果它运动的路径是最短的，则最短路径为 ．
三、解答题
19．如图，长方体的长为，宽为，高为，点与点之间的距离为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点去吃一滴蜜糖．
（1）求出点到点的距离；
（2）求蚂蚁从点爬到点的最短路程是多少？
20．如图，（1）一只蚂蚁要从长方体的一个顶点沿表面爬行到顶点，怎样爬行路线最短？为什么？
（2）若长方体的长为3、宽为1、高为2，蚂蚁要沿长方体的表面，从顶点走到顶点，试画出不重复情况的展开示意图，并通过计算比较求出最短距离．
21．如图，一只蚂蚁从长为、宽为，高是的长方体纸箱的点沿纸箱爬到点，那么它所走的最短路线的长是多少？
22．在科幻世界里有各种造型奇特的小山．如图1是一座三棱锥小山，侧面展开图如图2所示，每个侧面完全相同．一只小狐狸在半山腰点处想饱览四周风景，它沿路径“”绕小山一周最终以最短路径到达山脚处，当小狐狸沿侧面的路径运动时，若，则称这段路为“上坡路”；若，则称这段路为“下坡路”；若，则称这段路为“上坡路”；若，则称这段路为“下坡路”．当时，在图2中画出从点沿侧面环绕一周到达山脚点处的最短路径，并判断在侧面、侧面上走的是上坡路还是下坡路？
23．如图，已知圆柱底面的直径，圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点，嵌有一圈长度最短的金属丝．
（1）现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是 ．
（2）求该长度最短的金属丝的长．
24．如图1，一只蚂蚁要从边长为正方体的一个顶点沿表面爬行到顶点，怎样爬行路线最短？如果要爬行到顶点呢？请完成下列问题：
（1）图2是将立方体表面展开的一部分，请将正方体的表面展开图补充完整；（画一种即可）
（2）在图2中画出点到点的最短爬行路线，最短路径为： ；
（3）在图2中标出点，并画出、两点的最短爬行路线（画一种即可），最短路径为 ．
答案
一、选择题
．．．．．．．．．．
二、填空题
11．25分米． 12．13． 13．26． 14．．
15．． 16．30． 17．15． 18．．
三、解答题
19．（1），
答：点到点的距离为；
（2）把上面展开到左侧上，连接，
如图1，
根据勾股定理得：；
把右侧面展开到正面上，连接，如图2，
根据勾股定理得：，
则需要爬行的最短距离是．
把向上的面展开到正面上，连接，如图3，
根据勾股定理得：，
综上所述，从点爬到点的距离为：，，；
，
则需要爬行的最短距离是．
20．（1）连接，蚂蚁沿着爬行路线最短；
理由：两点之间线段最短；
（2）因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．
①展开前面右面由勾股定理得；
②展开前面上面由勾股定理得；
③展开左面上面由勾股定理得．
所以最短路径的长为．
21．由题意可得，
当展开前面和右面时，最短路线长是：；
当展开前面和上面时，最短路线长是：；
当展开左面和上面时，最短路线长是：；
，
一只蚂蚁从长为、宽为，高是的长方体纸箱的点沿纸箱爬到点，那么它所走的最短路线的长是．
22．如图2，连接交于点，交于点，
线段即为从点沿侧面环绕一周到达山脚点处的最短路径，
则，，
，
，，，
，
，，
，，
，
，
在侧面上走的是上坡路，
，
，
，，
，
，
，
，
在侧面上走的是下坡路，
答：在侧面上走的是上坡路，在侧面上走的是下坡路．
23．（1）因圆柱的侧面展开面为长方形，展开应该是两线段，且有公共点．
故选：；
（2）解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度．
圆柱底面的直径，圆柱的高，
该长度最短的金属丝的长为．
24．（1）如图所示，
（2）如图所示，连接，线段的即为点到点的最短爬行路线，
故答案为：线段；
（3）如图所示，线段即为、两点的最短爬行路线，
故答案为：线段．